Условия равновесия пространственной системы сил имеют вид. Пространственная система сил. Решение задачи стандартным способом

Произвольной пространственной системой сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Отсюда вытекает условие равновесия произвольной пространственной системы сил .

В геометрической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю

R = 0, M o = 0 .

В аналитической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю

ΣF kx = 0 , ΣF ky = 0 , ΣF kz = 0 ,

M x (F k) = 0 , M y (F k) = 0 , M z (F k) = 0 .

Центр тяжести. Способы определение центра тяжести. Координаты центра тяжести плоского тела и составленных сечений.

Центр тяжести

Центр тяжести тела - точка приложения силы тяжести (равнодействующей гравитационных сил).

Центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс.

Определение центра тяжести

Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,- трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.

Пусть тело состоит только из двух грузов с массами m 1 и m 2 , соединенных стержнем (рис. 126). Если масса стержня мала по сравнению с массами m 1 и m 2 , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действует сила тяжести:

P 1 =m 1 g, Р 2 =m 2 g;

обе они направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы уже знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке О, которая определяется из условия

Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя массами в отношении обратном отношению масс. Если это тело подвесить в точке О, оно останется в равновесии.

Определение координат центра тяжести

Способы определения координат центра тяжести Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел: 1 Аналитический (путем интегрирования). 2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии. 3 Экспериментальный (метод подвешивания тела). 4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1) и C 2 (x 2 , y 2) . Тогда координаты центра тяжести тела равны Рисунок 1.8 5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9): Рисунок 1.9

Центр тяжести однородных плоских тел

(плоских фигур)

Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А - площадь фигуры, h - ее высота.

Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:

; ; ,

где Ак - площадь части сечения; хк, ук - координаты ЦТ частей сечения.

Выражение называют статическим моментом площади (Sy.).

Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

Определение координат центра тяжести плоских фигур

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) - круг; б) - квадрат, прямоугольник; в) - треугольник; г) - полукруг).

Векторные условия равновесия произвольной системы сил: для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю . Иначе: для того чтобы ~0, необходимы и достаточны условия:

,
или
,
. (19)

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме

Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю .

. (20)

Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил

Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны нулю :

;
;
, (21)

В случае плоской системы сходящихся сил одну из осей координат, обычно
, выбирают перпендикулярной силам, а две другие оси – соответственно в плоскости сил. Для равновесия плоской системы сходящихся сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных координатных осей, лежащих в плоскости сил, были равны нулю:

;
, (22)

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил

Направим ось
параллельно силам:для равновесия пространственной системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, перпендикулярных силам, также были равны нулю :

Условия равновесия плоской системы сил

Расположим оси
и
в плоскости действия сил.

Условия равновесия плоской системы сил в первой форме: для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю :

(24)

Для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма сил была равна нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости сил, также была равна нулю:

(25)

Теорема о трех моментах (вторая форма условий равновесия): для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю :

Третья форма условий равновесия: для равновесия плоской системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю , т.е.

Если система сил находится в равновесии, то ее главный вектор и главный момент равны нулю:

Эти векторные равенства приводят к следующим шести скалярным равенствам:

которые называются условиями равновесия пространственной произвольной системы сил.

Первые три условия выражают равенство нулю главного вектора, следующие три - равенство нулю главного момента системы сил.

В этих условиях равновесия должны учитываться все действующие силы - как активные (задаваемые), так и реакции связей. Последние заранее неизвестны, и условия равновесия становятся уравнениями для определения этих неизвестных - уравнениями равновесия.

Поскольку максимальное число уравнений равно шести, то в задаче на равновесие тела под действием произвольной пространственной систе-мы сил можно определить шесть неизвестных реакций. При большем количестве неизвестных задача становится статически неопределенной.

И еще одно замечание. Если главный вектор и главный момент относительно некоторого центра О равны нулю, то они будут равны нулю относительно любого другого центра. Это прямо следует из материала о перемене центра приведения (доказать самостоятельно). Следовательно, если условия равновесия тела выполняются в одной системе координат, то они будут выполняться и в любой другой неподвижной системе координат. Иными словами, выбор координатных осей при составлении уравнений равновесия совершенно произволен.

Прямоугольная плита (рис. 51, а) весом удерживается в горизонтальном положении сферическим шарниром О, подшипником А и тросом BE, причем точки находятся на одной вертикали. В точке D к плите приложена сила , перпендикулярная стороне OD и наклоненная к плоскости плиты под углом 45°. Определить натяжение троса и реакции опор в точках Он А, если и .

Для решения задачи рассматриваем равновесие плиты. К активным силам Р, G добавляем реакции связей - составляющие реакции сферического шарнира, реакции , подшипника, реакцию троса. Одновременно вводим координатные оси Oxyz (рис. 51, б). Видно, что полученная совокупность сил образует произвольную пространственную систему, в которой силы неизвестны.

Для определения неизвестных составляем уравнения равновесия.

Начинаем с уравнения проекций сил на ось :

Поясним определение проекции вычисление осуществляется в два приема- вначале определяется проекция силы Т на плоскость , далее, проектируя на осъ х (удобнее на ось , параллельную ), находим (см. рис. 51,б):

Этим способом двойного проектирования удобно пользоваться, когда линия действия силы и ось не пересекаются. Далее составляем:

Уравнение моментов сил относительно оси имеет вид:

Моменты сил в уравнении отсутствуют, так как эти силы либо пересекают ось х(), либо ей параллельны . В обоих этих случаях момент силы относительно оси равен нулю (см. с. 41).

Вычисление момента силы часто облегчается, если силу разложить подходящим образом на составляющие и воспользоваться теоремой Вариньона. В данном случае это удобно сделать для силы . Разлагая ее на горизонтальную и вертикальную составляющие, можем написать.

Существуют три вида уравнений равновесия плоской системы сил. Первый, основной вид вытекает непосредственно из условий равновесия:

;

и записывается так:

;
;
.

Два других вида уравнений равновесия также могут быть получены из условий равновесия:

;
;
,

где прямая AB не перпендикулярна осиx ;

;
;
.

Точки A , B и C не лежат на одной прямой.

В отличие от плоской системы сил условиями равновесия произвольной пространственной системы сил являются два векторных равенства:

.

Если эти соотношения спроецировать на прямоугольную систему координат, то получим уравнения равновесия пространственной системы сил:

Задание 1. Определение реакций опор составной конструкции (Система двух тел)

Конструкция состоит из двух ломаных стержней ABC иCDE , соединенных в точкеC неподвижным цилиндрическим шарниром и прикрепленных к неподвижной плоскостиxOy либо с помощью неподвижных цилиндрических шарниров (НШ), либо подвижным цилиндрическим шарниром (ПШ) и жесткой заделкой (ЖЗ). Плоскость качения подвижного цилиндрического шарнира составляет угол с осьюOx. Координаты точкиA , B , C ,D иE , а также способ крепления конструкции приведены в табл. 1. Конструкция загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностиq , перпендикулярной участку ее приложения, парой сил с моментомM и двумя сосредоточенными силами и . Равномерно распределенная нагрузка приложена таким образом, что ее равнодействующая стремится повернуть конструкцию вокруг точкиO против хода часовой стрелки. Участки приложенияq иM , а также точки приложения и , их модули и направления указаны в табл. 2. Единицы задаваемых величин: q – килоньютон на метр (кН/м);M – килоньютон-метр (кНм); и – килоньютон (кН);ипредставлены в градусах, а координаты точек – в метрах. Углы,иследует откладывать от положительного направления осиOx против хода часовой стрелки, если они положительны, и по ходу часовой стрелки – если отрицательны.

Определите реакции внешних и внутренней связей конструкции.

Указания к выполнению задания

На координатной плоскости xOy в соответствии с условием варианта задания (табл. 1) необходимо построить точкиA ,B, C ,D ,E ; изобразить ломаные стержниABC ,CDE ; указать способы крепления этих тел между собой и с неподвижной плоскостьюxOy . Затем, взяв данные из табл. 2, загрузить конструкцию двумя сосредоточенными силами и , равномерно распределенной нагрузкой интенсивностиq и парой сил с алгебраическим моментом M . Так как в задании исследуется равновесие составного тела, далее нужно построить еще один рисунок, изобразив на нем отдельно телаABC и CDE . Внешние (точкиA ,E ) и внутреннюю (точкаС ) связи на обоих рисунках следует заменить на соответствующие реакции, а равномерно распределенную нагрузку – на равнодействующую
(l – длина участка приложения нагрузки), направленную в сторону нагрузки и приложенную к середине участка. Поскольку рассматриваемая конструкция состоит из двух тел, то для нахождения реакций связей нужно составить шесть уравнений равновесия. Существуют три варианта решения этой задачи:

а) составить три уравнения равновесия для составного тела и три – для тела ABC ;

б) составить три уравнения равновесия для составного тела и три – для тела CDE ;

в) составить по три уравнения равновесия для тел АВС иCDE .

Пример

Дано: A (0;0,2);В (0,3:0,2);С (0,3:0,3);D (0,7:0,4);E (0,7:0);
кН/м,
кН, β = - 45˚, и
кН, γ = - 60˚,
кНм.

Определить реакции внешних и внутренней связей конструкции.

Решение. Разобьем конструкцию (рис. 7,а ) в точкеС на составные частиABC иCDE (рис. 7,б ,в ). Заменим шарнирыA иB соответствующими реакциями, составляющие которых укажем на рис. 7. В точкеC изобразим составляющие
- сил взаимодействия между частями конструкции, причем.

Таблица 1

Варианты задания 1

A

Способ крепления конструкции

x A

y A

x B

y B

x C

y C

x D

y D

x E

y E

т. E

Таблица 2

Данные к заданию 1

	Сила			Сила			Момент M
		Значение		Значение			Значение			Значение

Равномерно распределенную нагрузку интенсивности q заменим равнодействующей, кН:

Вектор образует с положительным направлением осиy угол φ, который несложно найти по координатам точекC иD (см. рис. 7,а ):

Для решения задачи воспользуемся первым видом уравнений равновесия, записав их отдельно для левой и правой частей конструкции. При составлении уравнений моментов выберем в качестве моментных точек точки A – для левой иE – для правой частей конструкции, что позволит решить эти два уравнения совместно и определить неизвестные
и .

Уравнения равновесия для тела ABC :

Представим силу как сумму составляющих:
, где. Тогда уравнения равновесия для телаCDE могут быть записаны в виде

.

Решим совместно уравнения моментов, предварительно подставив в них известные значения.

Учитывая, что по аксиоме о равенстве сил действия и противодействия
, из полученной системы найдем, кН:

Тогда из оставшихся уравнений равновесия тел ABC и CDE несложно определить реакции внутренней и внешних связей, кН:

Результаты вычислений представим таблицей:

Рассмотрены методы решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил. Приводится пример решения задачи на равновесие плиты, поддерживаемой стержнями в трехмерном пространстве. Показано, как за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия, можно упростить решение задачи.

Содержание

Порядок решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил

Чтобы решить задачу на равновесие твердого тела с произвольной пространственной системой сил, надо выбрать прямоугольную систему координат и, относительно нее, составить уравнения равновесия.

Уравнения равновесия, для произвольной системы сил, распределенных в трехмерном пространстве, представляют собой два векторных уравнения:
векторная сумма сил, действующих на тело, равна нулю
(1) ;
векторная сумма моментов сил, относительно начала координат, равна нулю
(2) .

Пусть Oxyz - выбранная нами система координат. Спроектировав уравнения (1) и (2) на оси этой системы, получим шесть уравнений:
суммы проекций сил на оси xyz равны нулю
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Здесь мы считаем, что на тело действуют n сил, включая силы реакций опор.

Пусть произвольная сила , с компонентами , приложена к телу в точке . Тогда моменты этой силы относительно осей координат определяются по формулам:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Таким образом, порядок решения задачи, на равновесие с произвольной пространственной системой сил, следующий.

1. Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций. Если опорой является стержень или нить, то сила реакции направлена вдоль стержня или нити.
2. Выбираем прямоугольную систему координат Oxyz .
3. Находим проекции векторов сил на оси координат, , и точек их приложения, . Точку приложения силы можно перемещать вдоль прямой, проведенной через вектор силы. От такого перемещения значения моментов не изменятся. Поэтому выбираем наиболее удобные для расчета точки приложения сил.
4. Составляем три уравнения равновесия для сил (1.x,y,z).
5. Для каждой силы, по формулам (3.x,y,z), находим проекции моментов силы на оси координат.
6. Составляем три уравнения равновесия для моментов сил (2.x,y,z).
7. Если число переменных больше числа уравнений, то задача статически неопределима. Методами статики ее решить нельзя. Нужно использовать методы сопротивления материалов.
8. Решаем полученные уравнения.

Упрощение расчетов

В некоторых случаях удается упростить вычисления, если вместо уравнения (2) использовать эквивалентное условие равновесия.
Сумма моментов сил относительно произвольной оси AA′ равна нулю :
(4) .

То есть можно выбрать несколько дополнительных осей, не совпадающих с осями координат. И относительно этих осей составить уравнения (4).

Пример решения задачи на равновесие произвольной пространственной системы сил

Равновесие плиты, в трехмерном пространстве, поддерживается системой стержней.

Найти реакции стержней, поддерживающих тонкую однородную горизонтальную плиту в трехмерном пространстве. Система крепления стержней показана на рисунке. На плиту действуют: сила тяжести G; и сила P, приложенная в точке A, направленная вдоль стороны AB.

Дано:
G = 28 kН ; P = 35 kН ; a = 7,5 м ; b = 6,0 м ; c = 3,5 м .

Решение задачи

Сначала мы решим эту задачу стандартным способом, применимым для произвольной пространственной системы сил. А затем получим более простое решение, основываясь на конкретной геометрии системы, за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия.

Решение задачи стандартным способом

Этот метод хоть и приведет нас к довольно громоздким вычислениям, но он применим для произвольной пространственной системы сил, и может применяться в расчетах на ЭВМ.

Отбросим связи и заменим их силами реакций. Связями здесь являются стержни 1-6. Вводим вместо них силы , направленные вдоль стержней. Направления сил выбираем наугад. Если мы не угадаем с направлением какой-либо силы, то получим для нее отрицательное значение.

Проводим систему координат Oxyz с началом в точке O .

Находим проекции сил на оси координат.

Для силы имеем:
.
Здесь α 1 - угол между LQ и BQ . Из прямоугольного треугольника LQB :
м ;
;
.

Силы , и параллельны оси z . Их компоненты:
;
;
.

Для силы находим:
.
Здесь α 3 - угол между QT и DT . Из прямоугольного треугольника QTD :
м ;
;
.

Для силы :
.
Здесь α 5 - угол между LO и LA . Из прямоугольного треугольника LOA :
м ;
;
.

Сила направлена по диагонали прямоугольного параллелепипеда. Она имеет следующие проекции на оси координат:
.
Здесь - направляющие косинусы диагонали AQ :
м ;
;
;
.

Выбираем точки приложения сил. Воспользуемся тем, что их можно перемещать вдоль линий, проведенных через векторы сил. Так, в качестве точки приложения силы можно взять любую точку на прямой TD . Возьмем точку T , поскольку для нее x и z - координаты равны нулю:
.
Аналогичным способом выбираем точки приложения остальных сил.

В результате получаем следующие значения компонентов сил и точек их приложений:
; (точка B );
; (точка Q );
; (точка T );
; (точка O );
; (точка A );
; (точка A );
; (точка A );
; (точка K ).

Составляем уравнения равновесия для сил. Суммы проекций сил на оси координат равны нулю.

;

;

.

Находим проекции моментов сил на оси координат.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Составляем уравнения равновесия для моментов сил. Суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю.


;


;


;

Итак, мы получили следующую систему уравнений:
(П1) ;
(П2) ;
(П3) ;
(П4) ;
(П5) ;
(П6) .

В этой системе шесть уравнений и шесть неизвестных. Далее сюда можно подставить численные значения и получить решение системы, используя математическую программу вычисления системы линейных уравнений.

Но, для этой задачи, можно получить решение без использования средств вычислительной техники.

Эффективный способ решения задачи

Мы воспользуемся тем, что уравнения равновесия можно составлять не единственным способом. Можно произвольным образом выбирать систему координат и оси, относительно которых вычисляются моменты. Иногда, за счет выбора осей, можно получить уравнения, которые решаются более просто.

Воспользуемся тем, что, в равновесии, сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю . Возьмем ось AD . Сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю:
(П7) .
Далее заметим, что все силы, кроме пересекают эту ось. Поэтому их моменты равны нулю. Не пересекает ось AD только одна сила . Она также не параллельна этой оси. Поэтому, чтобы выполнялось уравнение (П7), сила N 1 должна равняться нулю:
N 1 = 0 .

Теперь возьмем ось AQ . Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П8) .
Эту ось пересекают все силы, кроме . Поскольку сила не параллельна этой оси, то для выполнения уравнения (П8) необходимо, чтобы
N 3 = 0 .

Теперь возьмем ось AB . Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П9) .
Эту ось пересекают все силы, кроме , и . Но N 3 = 0 . Поэтому
.
Момент от силы относительно оси равен произведению плеча силы на величину проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси. Плечо равно минимальному расстоянию между осью и прямой, проведенной через вектор силы. Если закручивание происходит в положительном направлении, то момент положителен. Если в отрицательном - то отрицательный. Тогда
.
Отсюда
kН .

Остальные силы найдем из уравнений (П1), (П2) и (П3). Из уравнения (П2):
N 6 = 0 .
Из уравнений (П1) и (П3):
kН ;
kН

Таким образом, решая задачу вторым способом, мы использовали следующие уравнения равновесия:
;
;
;
;
;
.
В результате мы избежали громоздких расчетов, связанных с вычислениями моментов сил относительно осей координат и получили линейную систему уравнений с диагональной матрицей коэффициентов, которая сразу разрешилась.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kН ; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kН ; N 5 = 38,6 kН ; N 6 = 0 ;

Знак минус указывает на то, что сила N 4 направлена в сторону, противоположную той, которая указана на рисунке.