Ідея графічного методу розв'язання рівняння проста. Потрібно побудувати графіки функцій, що містяться в обох частинах рівняння та знайти абсциси точок перетину. Але будувати графіки деяких функцій складно. Не завжди є необхідність вдаватися до побудови графіків. Такі рівняння можна вирішувати методом підбору кореня, використовуючи властивості монотонності та обмеженості функцій. Це дозволяє досить швидко вирішувати завдання, які пропонуються при здачі ЄДІ.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Муніципальний загальноосвітній заклад
"Гімназія № 24"
Функціонально – графічний метод
Розв'язання рівнянь.
Підготувала вчитель
Данилина Ольга Сергіївна.
Магадан 2007
« Функціонально – графічний метод розв'язання рівнянь»
Мета уроку: сформувати вміння вирішувати рівняння певного типу функціонально – графічним методом, з використанням властивостей обмеженості та монотонності функцій
Структура уроку:
Вступне слово вчителя, ознайомлення з темою уроку, постановка цілі
Актуалізація раніше отриманих знань, необхідні освоєння теми уроку
Презентація провідними, що містить у собі виклад нового матеріалу із зразками розв'язання різних типів рівнянь
Робота з груп, з метою первинного закріплення вивченого
Проведення гри на зразок гри: «Що? Де? Коли?
Підбиття підсумків уроку.
- У вступному слові вчитель ділиться своїм досвідом знайомства з новим методом. говорить про необхідність його освоєння, його значущість, про можливість набуття навичок більш раціонального вирішення рівнянь
- Актуалізація знань:: зростання та зменшення функцій, приклади, властивості монотонності та обмеженості функцій.
- Презентація нової теми з використанням слайдів з викладенням теоретичного матеріалу із зразками розв'язків рівнянь.(див. додаток).
- Робота за групами: Кожній групі лунають картки із завданнями, зразки рішення та оформлення завдань. Провідні урок учні – консультанти контролюють хід виконання завдань, за потреби приходять на допомогу. При роботі, що працюють у групах можуть використовувати комп'ютери, які налаштовані на спеціальну програму, що дозволяє вибудовувати графіки функцій. Завдяки цьому, у скрутних ситуаціях комп'ютер можна використовувати як засіб підказки або як наочно продемонструвати вірність виконаного рішення і правильність обраного методу.
- Захист представником групи виконаних завдань, з використанням мультимедійної дошки, де демонструється рішення рівнянь графічним методом у підтвердженні вірності виконаного завдання. РА
- Проведення гри. Для кожної групи з екрану моніторів звучить питання, заздалегідь записане різними вчителями школи, дається хвилина на обговорення після закінчення якої хлопці повинні дати свою обґрунтовану відповідь. Після цього з знову включеного екрану варіант своєї відповіді представляє вчитель, який раніше ставив питання. Таким багаторазовим повторенням міркувань з нововивченої теми, тим більше вимовними грамотно різними людьми, досягаються найбільш вигідні умови для засвоєння нової теми.
- Підбиття підсумків: Виявлення найкращої «п'ятірки знавців, найкращого гравця.
Запитання до класу;
Чого ви навчилися на сьогоднішньому уроці
Які рівняння можна вирішувати методом підбору
Які властивості функцій у своїй використовуються.
Запитання до учасників гри:
Шановні знавці, за одну хвилину знайдіть корінь цього рівняння та доведіть, що він єдиний.
Відповідь: Сума двох функцій, що зростають, є зростаюча функція. у = монотонно зростає, отже рівняння має один корінь, т.к. графік цієї функції перетинається із прямою у=3 один раз. При х=1 ми отримаємо правильну рівність. Відповідь: х = 1
Шановні знавці, за одну хвилину назвіть функції, які містяться в обох частинах нерівності та знайдіть корінь цього рівняння.
Відповідь: у = - Показова функція, що зростає на безлічі дійсних чисел. у = 6 - х - лінійна функція, вона монотонно зменшується на безлічі дійсних чисел. Значить, графіки функцій перетинаються в одній точці, рівняння має один корінь. При х=2 отримаємо правильну рівність. Відповідь: х = 2
3. Шановні знавці, ви знаєте, що рівняння має єдиний корінь х=3. Через одну хвилину, дайте відповідь, при яких значеннях х, виконується нерівність.
Відповідь: нерівність виконується за х Є , т.к. на даному інтервалі графік функції у =, розташований нижче за графік функції у =
4. Шановні знавці, у багатьох викликає труднощі рішення рівняння. За одну хвилину знайдіть корінь цього рівняння та доведіть, що він єдиний.
Відповідь: корінь рівняння х=-3 є єдиним, т.к.в лівій частині рівняння міститься спадна функція, а правої зростаюча, отже графіки функцій перетинаються в одній точці і рівняння має єдиний корінь.
5. Шановні знавці, у мене до вас непросте запитання. Ви легко знайдете корінь рівняння. Доведіть, що він єдиний. Відповідь: х = 1 - єдиний корінь.
Функціонально – графічний спосіб розв'язання рівнянь.
________________________________________________________________________
Мета уроку: Навчитися вирішувати рівняння методом підстановки, використовуючи властивості монотонності та обмеженості функцій.
_________________________________________________________________________
Довідковий матеріал
- Функція називається зростаючою (зменшуючою) на множині X, якщо на цій множині при збільшенні (зменшенні) аргументу значення функції збільшується (зменшується).
Приклад 1:
- є зростаючими функціями
Приклад 2:
є спадними функціями
Довідковий матеріал
2. Сума двох функцій, що зростають, є зростаюча функція.
Приклад:
3. Сума двох спадних функцій, є спадна функція.
Урок та презентація на тему:
Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.
Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 11 класу
Алгебраїчні завдання з параметрами, 9–11 класи
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"
Діти, нам залишилося розглянути ще один метод розв'язання рівнянь – функціонально-графічний. Суть методу проста, і ми з вами вже користувалися ними.
Нехай нам дано рівняння виду $ f (x) = g (x) $. Ми будуємо два графіки $y=f(x)$ та $y=g(x)$ на одній координатній площині та відзначаємо точки, в яких наші графіки перетинаються. Абсцисса точки перетину (координату з х) - і є рішення нашого рівняння.
Оскільки метод називається функціонально-графічним, то завжди потрібно будувати графіки функцій. Можна скористатися і властивостями функцій. Наприклад, ви бачите явне рішення рівняння у якійсь точці: якщо з функцій суворо зростає, іншу суворо зменшується, це і буде єдине рішення рівняння. Властивості монотонності функцій часто допомагають під час вирішення різних рівнянь.
Згадаймо ще один метод: якщо на проміжку Х, найбільше значення будь-якої з функцій $ y = f (x) $, $ y = g (x) $ дорівнює А, а відповідно найменше значення іншої функції також дорівнює А, то рівняння $ f ( x)=g(x)$ рівносильно системі: $\begin (cases) f(x)=A, g(x)=A. \end (cases)$
приклад.
Розв'язати рівняння: $\sqrt(x+1)=|x-1|$.
Рішення.
Побудуємо графіки функцій на одній координатній площині: $y=\sqrt(x)+1$ і $y=|x-1|$.
Як видно з малюнка, наші графіки перетинаються у двох точках з координатами: А(0;1) і B(4;3). Рішенням вихідного рівняння будуть абсциси цих точок.
Відповідь: $ х = 0 $ і $ х = 4 $.
приклад.
Розв'язати рівняння: $x^7+3x-134=0$.
Рішення.
Перейдемо до рівносильного рівняння $x^7=134-3x$.
Можна помітити, що $х=2$ є рішенням рівняння. Давайте доведемо, що це єдине коріння.
Функція $y=x^7$ – зростає по всій області визначення.
Функція $y=134-3x$ – зменшується по всій області визначення.
Тоді графіки цих функцій або взагалі не перетинаються, або перетинаються в одній точці, точку ми вже знайшли $х=2.$
Відповідь: $ х = 2 $.
приклад.
Розв'язати рівняння: $\frac(8)(x)=\sqrt(x)$.
Рішення.
Це рівняння можна вирішити двома способами.
1. Знову ж таки зауважимо, що $х=4$ – корінь рівняння. На відрізку $, відрізки, інтервали та напівінтервали.
приклад 1. Вирішити рівняння
(18)
Рішення. Очевидно, що х0 не може бути рішенням рівняння (18), тому що тоді 
. Для х>0 функція 
безперервна і строго зростає, як добуток двох безперервних позитивних строго зростаючих для цих х функцій f = x і https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > приймає кожне своє значення рівно одній точці.Легко бачити, що х=1 є рішенням рівняння (18), отже, це його єдине рішення.
Відповідь: х = 1.
приклад 2. Розв'язати нерівність
. (19)
Рішення. Кожна з функцій , , Безперервна і строго зростає на всій осі. Отже, такою самою є і вихідна функція 
. Легко бачити, що за х = 0 функція приймає значення 3. У силу безперервності та суворої монотонності цієї функції при х>0 маємо 
, при х<0 имеем . Отже, рішеннями нерівності (19) є всі х<0.
Відповідь: -∞ приклад 3.
Вирішити рівняння Рішення. Область допустимих значень рівняння (20) є проміжок . На області допустимих значень функції Відповідь: х = 2. приклад 4.
Розв'язати нерівність Вирішення. gif" width="95" height="25 src="> представлені на малюнку 7. З малюнка випливає, що для всіх х з ОДЗ нерівність (26) справедлива. Доведемо це. Для кожного маємо, а для кожного такого маємо, що маємо, що маємо, маємо, маємо приклад 2.
Вирішити рівняння Рішення..gif" width="123" height="24"> та Відповідь: рішень немає. приклад 3.
Вирішити рівняння Рішення..gif" width="95" height="25 src="> представлені на малюнку 9. Легко перевіряється, що точка (-1; -2) є точкою перетину графіків функцій f(x) і g(x), тобто х = -1 є рішення рівняння 28. Проведемо пряму у = х - 1. З малюнка випливає, що вона розташована між графіками функцій у = f (x) і у = g (x) Це спостереження і допомагає довести , Що інших рішень рівняння (28) немає. Для цього доведемо, що х із проміжку (-1; +∞) справедливі нерівності і , а для х із проміжку (-∞; -1) справедливі нерівності https://pandia.ru/text/78/500/images/image229_1 Очевидно, що нерівність справедлива для х>-1, а нерівність https://pandia.ru/text/78/500/images/image228_1.gif". width="89". width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Розв'язаннями цієї нерівності є всі х<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1. Отже, необхідне твердження доведено, і рівняння має єдиний корінь х=-1. Відповідь: х = -1. приклад 4.
Розв'язати нерівність Рішення..gif" width="39" height="19 src=">, тобто ОДЗ складається з трьох проміжків , , "52" height="41">, рівносильно нерівності а в області х>0 воно рівносильне нерівності Ескізи графіків функцій Тому нерівність (31) немає рішень, а нерівність (30) матиме рішеннями всіх із проміжку . Доведемо це. А) Нехай. Нерівність (29) рівносильна цьому проміжку нерівності (30). Легко бачити, що для кожного з цього інтервалу справедливі нерівності Отже, нерівність (30), а разом із нею і вихідне нерівність (29) немає рішень на інтервалі . Б) Нехай. Тоді нерівність (29) також рівнозначна нерівності (30). Для кожного х з цього інтервалу Отже, будь-яке таке х є розв'язком нерівності (30), а тому й вихідної нерівності (29). В) Нехай х>0. У цьому безлічі вихідне нерівність рівнозначно нерівності (31). Очевидно, що для будь-якої х з цієї множини справедливі нерівності Звідси випливає: 1) нерівність (31) не має рішень на тій множині, де 2)
нерівність (31) не має розв'язків на тій множині, де залишається вирішення нерівності (31). ), що належать інтервалу 1 
(20)
і 
безперервні і суворо зменшуються, отже, безперервна і зменшується функція . Тому кожне значення функція h(x) приймає лише у одній точці. Оскільки h(2)=2, то х=2 є єдиним коренем вихідного рівняння.
. Отже, розв'язками нерівності (26) будуть всі х із проміжку [-1;1].
. (27)
представлені малюнку 8. Проведемо пряму у=2. З малюнка випливає, що графік функції f(x) лежить не нижче цієї прямої, а графік функції g(x) не вищий. У цьому ці графіки стосуються прямої у=2 у різних точках. Отже, рівняння немає рішень. Доведемо це. Для кожного маємо, а. У цьому f(x)=2 лише х=-1, а g(x)=2 лише х=0. Це означає, що рівняння (27) немає рішень.
. (28)
.
(29)
, (30)
. (31)
і наведені на малюнку 10.." width="56" і .
,
.
,
,
, тобто нерівність (31) немає рішень на безлічі ;
