Прямокутна система координат- прямолінійна система - координат з взаємно перпендикулярними осями на площині або в просторі. Найбільш проста і тому система координат, що часто використовується. Дуже легко і прямо узагальнюється для просторів будь-якої розмірності, що сприяє її широкому застосуванню.
Пов'язані терміни: декартовийзазвичай називають прямокутну систему координат з однаковими масштабами по осях (названої так на ім'я Рене Декарта), а загальною декартовою системою координатназивають афінну систему координат (не прямокутну).
Енциклопедичний YouTube
-
1 / 5
Прямокутна система координат на площині утворюється двома взаємно перпендикулярними осями координат O (\displaystyle O), Яка називається початком координат , на кожній осі обрано позитивний напрямок.
Положення точки A (\displaystyle A)на площині визначається двома координатами x (\displaystyle x)і y (\displaystyle y). Координата x (\displaystyle x)дорівнює довжині відрізка O B (\displaystyle OB)координата y (\displaystyle y)- Довжині відрізка O C (\displaystyle OC) O B (\displaystyle OB)і O C (\displaystyle OC)визначаються лініями, проведеними з точки A (\displaystyle A)паралельно осям Y ′ Y (\displaystyle Y"Y)і X ′ X (\displaystyle X"X)відповідно.
При цьому координаті x (\displaystyle x) B (\displaystyle B)лежить на промені (а не на промені O X (\displaystyle OX), Як на малюнку). Координаті y (\displaystyle y)приписується знак мінус, якщо точка C (\displaystyle C)лежить на промені. Таким чином, O X ′ (\displaystyle OX")і O Y ′ (\displaystyle OY")є негативними напрямками осей координат (кожна вісь координат розглядається як числова вісь).
Ось x (\displaystyle x)називається віссю абсцис, а вісь y (\displaystyle y)- віссю ординат. Координата x (\displaystyle x)називається абсцисою крапки A (\displaystyle A)координата y (\displaystyle y) - ординатою крапки A (\displaystyle A).
A (x, y) (\displaystyle A(x,\;y)) A = (x, y) (\displaystyle A = (x, \; y))або вказують належність координат конкретної точки за допомогою індексу:
x A , x B (\displaystyle x_(A),x_(B))Прямокутна система координат у просторі(у цьому параграфі мається на увазі тривимірний простір, про багатовимірніші простори - див. нижче) утворюється трьома взаємно перпендикулярними осями координат O X (\displaystyle OX), O Y (\displaystyle OY)і O Z (\displaystyle OZ). Осі координат перетинаються у точці O (\displaystyle O), Яка називається початком координат, на кожній осі обрано позитивний напрямок, вказаний стрілками, і одиниця виміру відрізків на осях. Одиниці виміру зазвичай (не обов'язково) однакові всім осей. O X (\displaystyle OX)- вісь абсцис, O Y (\displaystyle OY)- вісь ординат , O Z (\displaystyle OZ)- Вісь-аплікат.
Положення точки A (\displaystyle A)у просторі визначається трьома координатами x (\displaystyle x), y (\displaystyle y)і z (\displaystyle z). Координата x (\displaystyle x)дорівнює довжині відрізка O B (\displaystyle OB)координата y (\displaystyle y)- Довжині відрізка O C (\displaystyle OC)координата z (\displaystyle z)- Довжині відрізка O D (\displaystyle OD)у вибраних одиницях виміру. Відрізки O B (\displaystyle OB), O C (\displaystyle OC)і O D (\displaystyle OD)визначаються площинами, проведеними з точки A (\displaystyle A)паралельно площинам Y O Z (\displaystyle YOZ), X O Z (\displaystyle XOZ)і X O Y (\displaystyle XOY)відповідно.
Координата x (\displaystyle x)називається абсцисою точки A (\displaystyle A)координата y (\displaystyle y)- ординатою точки A (\displaystyle A)координата z (\displaystyle z)- аплікатої точки A (\displaystyle A).
Символічно це записують так:
A (x, y, z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) A = (x, y, z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))або прив'язують запис координат до конкретної точки за допомогою індексу:
x A , y A , z A (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))Кожна вісь розглядається як числова, пряма, тобто має позитивний напрямок, а точкам, що лежать на негативному промені приписуються негативні значення координати (відстань береться зі знаком мінус). Тобто, якби, наприклад, точка B (\displaystyle B)лежала не як на малюнку - на промені O X (\displaystyle OX), а на його продовженні у зворотний біквід крапки O (\displaystyle O)(На негативній частині осі O X (\displaystyle OX)), то абсциса x (\displaystyle x)крапки A (\displaystyle A)була б негативною (мінус відстані O B (\displaystyle OB)). Аналогічно і двох інших осей.
Усі прямокутні системи координат у тривимірному просторі поділяються на два класи - праві(також використовуються терміни позитивні, стандартні) та ліві. Зазвичай за замовчуванням намагаються використовувати праві координатні системи, а при їх графічному зображенні ще й мають у своєму розпорядженні їх, якщо можна, в одному з декількох звичайних (традиційних) положень. (На рис. 2 зображено праву координатну систему). Праву та ліву системи координат неможливо поворотами поєднати так, щоб збіглися відповідні осі (та їх напрями). Визначити, до якого класу відноситься якась конкретно взята система координат, можна, використовуючи правило правої руки, правила гвинта і т. п. (позитивний напрямок осей вибирають так, щоб при повороті осі O X (\displaystyle OX)проти годинникової стрілки на 90° її позитивний напрямок збігся з позитивним напрямом осі O Y (\displaystyle OY)якщо цей поворот спостерігати з боку позитивного напрямку осі O Z (\displaystyle OZ)).
Прямокутна система координат у багатовимірному просторі
Прямокутна система координат може бути використана і в просторі, будь-якій кінцевій розмірності аналогічно тому, як це робиться для тривимірного простору. Кількість координатних осей при цьому дорівнює розмірності, простору (у цьому параграфі будемо позначати її n).
Для позначення координат зазвичай застосовують не різні літери, а ту саму літеру з числовим індексом. Найчастіше це:
x 1, x 2, x 3, … x n. (\displaystyle x_(1),x_(2),x_(3),\dots x_(n).)Для позначення довільної i-ої координати з цього набору використовують літерний індекс:
а нерідко позначення x i , (\displaystyle x_(i),)використовують і для позначення всього набору, маючи на увазі, що індекс пробігає весь набір значень: i = 1, 2, 3, … n (\displaystyle i = 1,2,3,\dots n).
У будь-якій розмірності простору прямокутні координатні системи діляться на два класи, праві та ліві (або позитивні та негативні). Для багатовимірних просторів якусь одну з координатних систем довільно (умовно) називають правою, а інші виявляються правими чи лівими залежно від того, тієї ж вони орієнтації чи ні.
Прямокутні координати вектора
Для визначення прямокутних координат вектора(застосовувані для представлення векторів будь-якої розмірності) можна виходити з того, що координати вектора (спрямованого відрізка), початок якого знаходиться на початку координат, збігаються з координатами кінця .
Для векторів (спрямованих відрізків), початок яких не збігається з початком координат, прямокутні координати можна визначити одним із двох способів:
- Вектор можна перенести так, щоб його початок співпав із початком координат). Тоді його координати визначаються способом, описаним на початку параграфа: координати вектора, перенесеного так, що його початок збігається з початком координат - це координати його кінця.
- Натомість можна просто відняти з координат кінця вектора (спрямованого відрізка) координати його початку.
- Для прямокутних координат поняття координати вектора збігається з поняттям ортогональної проекції вектора на напрямок відповідної координатної осі.
У прямокутних координатах дуже просто записуються всі операції над векторами:
- Додавання та множення на скаляр:
(Це вірно для будь-якої розмірності nі навіть, нарівні з прямокутними, для косокутних координат).
a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n (\displaystyle \mathbf(a) \cdot \mathbf(b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\dots +a_(n)b_(n)) a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i , (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)b_(i),)(Тільки у прямокутних координатах з одиничним масштабом по всіх осях).
- Через скалярний твір можна визначити довжину вектора
- і k (\displaystyle \mathbf (k) )
e x (\displaystyle \mathbf(e) _(x)), e y (\displaystyle \mathbf(e) _(y))і e z (\displaystyle \mathbf(e) _(z)).
Можуть також застосовуватися позначення зі стрілками ( i → (\displaystyle (\vec (i))), j → (\displaystyle (\vec (j)))і k → (\displaystyle (\vec (k)))або e → x (\displaystyle (\vec (e))_(x)), e → y (\displaystyle (\vec (e))_(y))і e → z (\displaystyle (\vec (e))_(z))) або інші відповідно до звичайного способу позначення векторів у тій чи іншій літературі.
При цьому у разі правої системи координат дійсні такі формули з векторними творами ортів:
Для більш високих, ніж 3, розмірності (або для загального випадку, коли розмірність може бути будь-який) зазвичай для ортів застосовують замість цього позначення з числовими індексами, досить часто це
e 1 , e 2 , e 3 , … e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( e) _(n),)де n- Розмірність простору.
Вектор будь-якої розмірності розкладається по базису (координати є коефіцієнтами розкладання):
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n (\displaystyle \mathbf(a) =a_(1)\mathbf(e) _(1)+a_(2)\mathbf ( e) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\dots +a_(n)\mathbf (e) _(n)) a = ∑ i = 1 n a i e i , (\displaystyle \mathbf (a) =\sum \limitsП'єр-Ферма, проте його роботи були вперше опубліковані вже після його смерті. Декарт та Ферма застосовували координатний метод лише на площині.Координатний метод для тривимірного простору вперше застосував Леонард Ейлер вже у XVIII столітті. Використання ортів сходить, мабуть, до
1.10. ПРЯМОКУТНІ КООРДИНАТИ НА КАРТАХ
Прямокутні координати (плоскі) - лінійні величини: абсцис Хта ординатаY,визначальні положення точок на площині (на карті) щодо двох взаємно перпендикулярних осей ХіY(Рис. 14). Абсцисса Хта ординатаYкрапки А-відстані від початку координат до основ перпендикулярів, опущених з точки Ана відповідні осі, із зазначенням знака.
Мал. 14.Прямокутні координати
У топографії та геодезії, а також на топографічних картах орієнтування проводиться по півночі з рахунком кутів по ходу годинникової стрілки, тому для збереження знаків тригонометричних функцій положення осей координат, прийняте в математиці, повернуто на 90 °.
Прямокутні координати на топографічних картах СРСР застосовуються за координатними зонами. Координатні зони – частини земної поверхні, обмежені меридіанами з довготою, кратною 6°. Перша зона обмежена меридіанами 0° і 6°, друга-б" і 12°, третя-12° та 18° і т.д.
Рахунок зон походить від Грінвічського меридіана із заходу на схід. Територія СРСР розташовується в 29 зонах: від 4-ї до 32-ї включно. Протяжність кожної зони з півночі на південь близько 20000 км.Ширина зони на екваторі близько 670 км,на широті 40 ° - 510 км, тшироті 50 ° -430 км,на широті 60 ° -340 км.
Усі топографічні карти межах цієї зони мають загальну систему прямокутних координат. Початком координат у кожній зоні служить точка перетину середнього (осьового) меридіана зони з екватором (мал. 15), середній меридіан зони відповідає
Мал. 15.Система прямокутних координат на топографічних картах: а-одної зони; б-частини зони
осі абсцис, а екватор - осі ординат. При такому розташуванні координатних осей абсциси точок, розташованих на південь від екватора, і ординати точок, розташованих на захід від середнього меридіана, матимуть негативні значення. Для зручності користування координатами на топографічних картах прийнято умовний рахунок ординат, що виключає негативні значення ординат. Це досягнуто тим, що відлік ординат йде не від нуля, а від величини 500 км,Т. е. початок координат у кожній зоні як би перенесено на 500 кмвліво вздовж осіY.Крім того, для однозначного визначення положення точки прямокутних координат на земній кулідо значення координатиYліворуч приписується номер зони (однозначне чи двозначне число).
Залежність між умовними координатами та його дійсними значеннями виражається формулами:
X" = Х-, У =У-500 000,
де X"і Y" -дійсні значення ординат;X , Y -умовні значення ординат. Наприклад, якщо точка має координати
Х = 5 650 450: Y = 3 620 840,
то це означає, що точка розташована в третій зоні на видаленні 120 км 840 мвід середнього меридіана зони (620840-500000) і на північ від екватора на відстані 5650 км 450 м.
Повні координати - Прямокутні координати, записані (названі) повністю, без будь-яких скорочень. У прикладі, наведеному вище, наведені повні координати об'єкта:
Х = 5 650 450; Y = 3620 840.
Скорочені координати застосовуються для прискорення цілеу-зання по топографічній карті, в цьому випадку вказуються тільки десятки і одиниці кілометрів і метри. Наприклад, скорочені координати цього об'єкта будуть:
Х = 50 450; Y = 20 840.
Скорочені координати не можна застосовувати при цільовказівці на стику координатних зон і якщо район дій охоплює простір довжиною понад 100 кмпо широті чи довготі.
Координатна (кілометрова) сітка -сітка квадратів на топографічних картах, утворена горизонтальними та вертикальними лініями, проведеними паралельно осям прямокутних координат через певні інтервали (табл. 5). Ці лінії називаються кілометровими. Координатна сітка призначається для визначення координат об'єктів та нанесення на карту об'єктів за їх координатами, для цілевказівки, орієнтування карти, вимірювання дирекційних кутів і для наближеного визначення відстаней і площ.
Таблиця 5 Координатні сітки на картах
Масштаби карт
Розміри сторін квадратів
Площі квадратів, кв. km
на карті, см
на території, км
1:25 000
1
1:50 000
1:100 000
1:200 000
На карті масштабу 1:500000 координатна сітка повністю не показується; наносяться тільки виходи кілометрових ліній на всі боки рамки (через 2 см).За потреби по цих виходах координатна сітка може бути прокреслена на карті.
Кілометрові лінії на картах підписуються біля їх зарамкових виходів і в кількох перетинах усередині листа (рис. 16). Крайні на аркуші карти кілометрові лінії підписуються повністю, інші-скорочено, двома цифрами (тобто вказуються лише десятки та одиниці кілометрів). Підписи у горизонтальних ліній відповідають відстаням від осі ординат (екватора) за кілометри. Наприклад, підпис 6082 у правому верхньому куткупоказує, що дана лінія віддалена від екватора на видаленні 6082 км.
Підписи вертикальних ліній позначають номер зони (одна або дві перші цифри) та відстань у кілометрах (завжди три цифри) від початку координат, умовно перенесеного на захід від середнього меридіана на 500 км.Наприклад, підпис 4308 у лівому нижньому кутку означає: 4 - номер зони, 308 - відстань від умовного початку координат у кілометрах.
Додаткова координатна (кілометрова) сітка може бути нанесена на топографічних картах масштабу 1:25 000, 1:50000, 1:100000 та 1:200000 по виходах кілометрових ліній у суміжній західній або східній зоні. Виходи кілометрових ліній у вигляді рис з відповідними підписами даються на картах, розташованих протягом 2° на схід і захід від граничних меридіанів зони.
Мал. 16.Координатна (кілометрова) сітка на аркуші карти
Додаткова координатна сітка призначається перетворення координат однієї зони в систему координат інший, сусідньої, зони.
На рис. 17 рисочки на зовнішній стороні західної рамки з підписами 81,6082 та на північній стороні рамки з підписами 3693, 94, 95 і т.д. позначають виходи кілометрових ліній у системі координат суміжної (третьої) зони. При необхідності додаткова координатна сітка прокреслюється на аркуші карти шляхом з'єднання однойменних рис на протилежних сторонах рамки. Збудована сітка є продовженням кілометрової сітки аркуша карти суміжної зони і повинна повністю збігатися (змикатися) з нею при склеюванні картки.
Координатна сітка західної (3-ї) зони
Мал. 17. Додаткова координатна сітка
Робота верстата з ЧПУ тісно пов'язана із системами координат.
Осі координат верстата розкладають як правило паралельно напрямним, що дозволяє при програмуванні обробки в УП безпосередньо вказувати напрямки та величини переміщення робочих органів.
З метою полегшення експлуатації верстатів із ЧПУ в них встановлено єдиний напрямок координатних осей, обов'язковий для всіх виробників.
Як єдина система координат для всіх верстатів з ЧПУ відповідно до ГОСТ 23597-79 (СТ РЕВ 3135-81) прийнято стандартну (праву) декартову систему координат, при якій осі X,Y,Z (рис 4.5) вказують позитивні переміщення інструментів щодо рухомих частин верстата.
Позитивні напрямки руху заготовки щодо нерухомих частин верстата вказують осі X, Y, Z, спрямовані протилежно осям X, Y, Z. Таким чином, позитивним завжди є такий напрямок руху, при якому інструмент і заготівля віддаляються один від одного.
Рис.4.5. Стандартна система координат для верстата з ЧПУ
Кругові переміщення інструменту (наприклад, кутове зміщення осі шпинделя фрезерного верстата) позначають літерами А (навколо осі Х), В (навколо осі Y), С (навколо осі Z), а кругові переміщення заготовки (наприклад, керований за програмою поворот столу на розточувальному) верстаті) - відповідно літерами A",B",C". У поняття "кругові переміщення" не входить обертання шпинделя, що несе інструмент, або шпинделя токарного верстата.
Для позначення вторинних кутових рухів навколо спеціальних осей використовують букви Д та Е.
Для позначення напрямку переміщення двох робочих органів уздовж однієї прямої використовують звані вторинні осі: U (паралельно X), V (паралельно Y), W (паралельно Z). При трьох переміщеннях щодо одного напрямі застосовують ще й звані третинні осі: P,Q,R (див.рис.4.5).
У верстатів різних типів і моделей системи координат розміщують по-різному, визначаючи при цьому позитивні напрямки осей та положення початку координат.
Систему координат верстата, обрану відповідно до рекомендацій ГОСТ 23597-79 (рис.4.5), прийнято називати стандартною. У цій системі позитивні напрямки осей координат визначаються за правилом правої руки. Великий палець (рис.4.6) вказує позитивний напрямок осі абсцис (X), вказівний - осі ординат (Y), середній - осі аплікат (Z). Позитивний напрямок обертань навколо цих осей визначаються іншим правилом правої руки. Відповідно до цього правила, якщо розташувати великий палець у напрямку осі, то інші зігнуті пальці вкажуть позитивний напрямок обертання.
Рис.4.6. Правило правої руки для прямокутної системи координат
Орієнтація осей стандартної системи координат на верстаті зв'язується з напрямком руху при свердлінні на свердлильних, розточувальних, фрезерних та токарних верстатах. Напрямок виведення свердла із заготовки прийнято як позитивний для осі Z, тобто. вісь Z завжди зв'язується з елементом верстата, що обертається - шпинделем. Вісь X перпендикулярна до осі Z і паралельна площині установки заготовки. Якщо такому визначенню відповідають дві осі, то за вісь X приймають ту, вздовж якої можливе переміщення вузла верстата. При відомих осях X та Z вісь Y однозначно визначається з умови розташування осей у правій прямокутній системі координат.
4.1. ПРЯМОКУТНІ КООРДИНАТИ
У топографії найбільшого поширення набули прямокутні координати. Візьмемо на площині дві взаємно перпендикулярні лінії. OХі OY. Ці лінії називають осями координат, а точка їх перетину ( O) - Початком координат.
Мал. 4.1. Прямокутні координати
Положення будь-якої точки на площині можна легко визначити, якщо вказати найкоротші відстані від осей координат до цієї точки. Найкоротшими відстанями є перпендикуляри. Відстань по перпендикулярах від осей координат до цієї точки називають прямокутними координатами цієї точки. Відрізки, паралельні осі Xназивають координатами хА , а паралельні осі Y- координатами уА .
Чверть прямокутної системи координат нумеруються. Їхній рахунок йде по ходу годинникової стрілки від позитивного напрямку осі абсцис - I, II, III, IV (рис. 4.1).
Прямокутні координати, про які йшлося, застосовують на площині. Звідси вони отримали назву плоских прямокутних координат. Цю систему координат застосовують на невеликих ділянках місцевості, які приймаються за площину.4.2. ЗОНАЛЬНА СИСТЕМА ПРЯМОКУТНИХ КООРДИНАТ ГАУСА
Під час розгляду питання «Проекції топографічних карт» було зазначено, що поверхню Землі проектується поверхню циліндра, що стосується поверхні Землі по осьовому меридіану. При цьому на циліндр проектується не вся поверхня Землі, а лише її частина, обмежена 3° довготи на захід і 3° на схід від осьового меридіана. Оскільки кожна з проекцій Гауса передає на площину лише фрагмент поверхні Землі, обмежений меридіанами через 6° довготи, всього на поверхню Землі має бути складено 60 проекцій (60 зон). У кожній із 60 проекцій утворюється окрема система прямокутних координат.
У кожній зоні віссю Xє середній (осьовий) меридіан зони, винесений на захід на 500 км від свого фактичного положення, а віссю Y- екватор (рис. 4.2).
Мал. 4.2. Система прямокутних координат
на топографічних картахПеретин винесеного осьового меридіана з екватором буде початком координат: х = 0, у = 0. Точка перетину екватора та фактичного осьового меридіана має координати. : х = 0, у = 500 км.
У кожній зоні є свій початок координат. Рахунок зон ведеться від Грінвічського меридіана на схід. Перша шестиградусна зона розташована між Грінвічським меридіаном та меридіаном зі східною довготою 6º (осьовий меридіан 3º). Друга зона - 6º с.д. - 12º в.д (осьовий меридіан 9º). Третя зона – 12º с.д. - 18º с.д. (осьовий меридіан 15 º). Четверта зона – 18º с.д. - 24º с.д. (осьовий меридіан 21º) і т.д.
Номер зони позначений у координаті упершою цифрою. Наприклад, запис у = 4 525 340 означає, що задана точка знаходиться у четвертій зоні (перша цифра) на відстані 525 340 мвід осьового меридіана зони, винесеного на захід від 500 км.Щоб визначити номер зони за географічними координатами, необхідно до довготи, вираженої в цілих числах градусів, додати 6 і отриману суму розділити на 6. У результаті поділу залишаємо ціле число.
приклад. Визначити номер зони Гауса для точки, що має східну довготу 18º10".
Рішення. До цілого числа градусів довготи 18 додаємо 6 і суму ділимо на 6
(18 + 6) / 6 = 4.
Наша карта знаходиться у четвертій зоні.Труднощі при використанні зональної системи координат виникають у тих випадках, коли топографо-геодезичні роботи проводяться на прикордонних ділянках, розташованих у двох сусідніх (суміжних) зонах. Координатні лінії таких зон розташовуються під кутом одна до одної (рис. 4.3).
Для ліквідації виникаючих ускладнень введено смуга перекриття зон , В якій координати точок можуть бути обчислені у двох суміжних системах. Ширина смуги перекриття 4 °, по 2 ° в кожній зоні.
Додаткова сітка на карті наноситься лише у вигляді виходів її ліній між хвилинною та зовнішньою рамками. Оцифрування її є продовженням оцифрування ліній сітки суміжної зони. Лінії додаткової сітки підписують за зовнішньою рамкою листа. Отже, на аркуші карти, розташованому у східній зоні, при з'єднанні однойменних виходів додаткової сітки одержують кілометрову сітку західної зони. Користуючись цією сіткою, можна визначити, наприклад, прямокутні координати точки Уу системі прямокутних координат західної зони, тобто прямокутні координати точок Аі Убудуть отримані в одній системі координат західної зони.
Мал. 4.3. Додаткові кілометрові лінії на межі зон
На карті масштабу 1:10 000 додаткова сітка розбивається лише на тих аркушах, у яких східний або західний меридіан внутрішньої рамки (рамки трапеції) є межею зони. на топографічних планахдодаткова сітка не наноситься.
4.3. ВИЗНАЧЕННЯ ПРЯМОКУТНИХ КООРДИНАТ ЗА ДОПОМОГОЮ ЦИРКУЛЯ-ВИМІРЮВАЧА
Важливим елементом топографічної карти(План) є прямокутна сітка. На всі листи даної 6-градусної зони сітку наносять у вигляді рядів ліній, паралельних осьовому меридіану та екватору(Рис. 4.2). Вертикальні лінії сітки паралельні до осьового меридіана зони, а горизонтальні - екватора. Рахунок горизонтальних кілометрових ліній ведеться знизу нагору, а вертикальних - зліва направо .
Інтервали між лініями на картах масштабів 1:200 000 – 1:50 000 становлять 2 см, 1:25 000 – 4 см, 1:10 000 – 10 см, що відповідає цілій кількості кілометрів на місцевості. Тому прямокутну сітку називають ще кілометрової, а її лінії - кілометровими.
Кілометрові лінії, найближчі до кутів рамки аркуша картки, підписують повним числом кілометрів, решта – двома останніми цифрами. Напис 60 65 (див. рис. 4.4) на одній з горизонтальних ліній означає, що ця лінія видалена від екватора на 6065 км (на північ): напис 43 07 у вертикальної лінії означає, що вона знаходиться в четвертій зоні і віддалена від початку рахунку ординат на схід на 307 км. Якщо біля вертикальної кілометрової лінії записано тризначне число дрібними цифрами, дві перші позначають номер зони.приклад.Потрібно визначити по карті прямокутні координати точки місцевості, наприклад, пункту державної геодезичної мережі (ГГС) з позначкою 214,3 (рис. 4.4). Спочатку записують (в кілометрах) абсцису південної сторони квадрата, в якому знаходиться ця точка (тобто 6065). Потім за допомогою циркуля-вимірника та лінійного масштабу визначають довжину перпендикуляра Δх= 550 м, опушеного з заданої точкина цю лінію. Отриману величину (в даному випадку 550 м) додають абсцисі лінії. Число 6065550 є абсциса х пункту ДМР.
Ордината пункту ГВС дорівнює ординаті західної сторони того ж квадрата (4307 км), складеної з довжиною перпендикуляра Δу= 250 м, виміряного по карті. Число 4307250 є ордината того ж пункту.
За відсутності циркуля-вимірника відстані вимірюють лінійкою або смужкою паперу.
х = 6065550, у= 4307250
Мал. 4.4. Визначення прямокутних координат за допомогою лінійного масштабу4.4. ВИЗНАЧЕННЯ ПРЯМОКУТНИХ КООРДИНАТ З ДОПОМОГЮ КООРДИНАТОМЕРА
Координатомер - Невеликий косинець з двома перпендикулярними сторонами. По внутрішніх ребрах лінійок нанесені шкали, довжини яких дорівнюють довжині сторони координатних клітин карти даного масштабу. Поділ на координатомір переносять з лінійного масштабу карти.
Горизонтальна шкала поєднується з нижньою лінією квадрата (у якому знаходиться точка), а вертикальна шкала має проходити цю точку. За шкалами визначають відстані від точки до кілометрових ліній.
х А = 6135350 у А = 5577710
Мал. 4.5. Визначення прямокутних координат за допомогою координатоміру4.5. НАНЕСЕННЯ НА КАРТУ ТОЧОК ЗА ЗАДАНИМИ ПРЯМОКУТНИМИ КООРДИНАТАМИ
Щоб нанести на карту точку за заданими прямокутними координатами, надходять таким чином: записи координат знаходять двозначні числа, якими скорочено позначені лінії прямокутної сітки. За першим числом знаходять на карті горизонтальну лінію сітки, по другому - вертикальну. Їхнє перетин утворює південно-західний кут квадрата, в якому лежить точка, яку шукає. На східній і західній сторонах квадрата відкладають від його південної сторони два рівні відрізки, що відповідають у масштабі карти числу метрів в абсцисі х . Кінці відрізків з'єднують прямою лінією і на ній від західної сторони квадрата відкладають у масштабі карти відрізок, що відповідає числу метрів в ординаті; кінець цього відрізка є точкою, що шукається.
4.6. ВИЧИСЛЕННЯ ПЛОСКИХ ПРЯМОКУТНИХ КООРДИНАТ ГАВСУ ЗА ГЕОГРАФІЧНИМИ КООРДИНАТАМИ
Плоскі прямокутні координати Гауса х і у дуже складно пов'язані з географічними координатами φ (широта) та λ (довгота) точок земної поверхні. Припустимо, що певна точка Амає географічні координати φ і λ . Оскільки різниця довгот граничних меридіанів зони дорівнює 6°, то для кожної з зон можна отримати довготи крайніх меридіанів: 1-я зона (0° - 6°), 2-я зона (6° - 12°), 3-я зона (12 ° - 18 °) і т.д. Таким чином, за географічною довготою точки Аможна визначити номер зони, де ця точка знаходиться. При цьому довгота λ ос осьового меридіана зони визначиться за формулою
λ ос = (6 ° n - 3 °),
в якій n- Номер зони.Для визначення плоских прямокутних координат х і у за географічними координатами φ і λ скористаємося формулами, виведеними для референц-еліпсоїда Красовського (референц-еліпсоїд - фігура, максимально наближена до фігури Землі в тій її частині, на якій знаходиться ця держава, або група держав):
х = 6367558,4969 (φ радий ) − (a 0 − l 2 N)sinφ cosφ (4.1)
у(l) = lNcosφ (4.2)У формулах (4.1) та (4.2) прийняті такі позначення:
у(l) - відстань від точки до осьового меридіана зони;
l= (λ - λ ос ) - різниця довгот визначеної точки та осьового меридіана зони);
φ радий - широта точки, виражена радіанною мірою;
N = 6399698,902 - cos 2φ;
а 0 = 32140,404 - cos 2 φ;
а 3 = (0,3333333 + 0,001123 cos 2 φ) cos 2φ – 0,1666667;
а 4 = (0,25 + 0,00252 cos 2φ) cos 2φ - 0,04166;
а 5 = 0,0083 - cos 2φ;
а 6 = (0,166 cos 2 φ - 0,084) cos 2 φ.
у" - відстань від осьового меридіана віднесеного на захід від 500 км.За формулою (4.1) значення координати у(l)одержують щодо осьового меридіана зони, тобто. воно може вийти зі знаками плюс для східної частини зони або мінус - для західної частини зони. Для запису координати yу зональній системі координат необхідно обчислити відстань до точки від осьового меридіана зони, віднесеної на захід на 500 км. (у"в таблиці ) , а попереду набраного значення приписати номер зони. Наприклад, отримано значення
у(l)= -303678,774 м у 47 зоні.
Тоді
у= 47 (500000,000 – 303678,774) = 47196321,226 м.
Для обчислень використовуємо електронні таблиці MicrosoftXL .приклад. Обчислити прямокутні координати точки, що має географічні координати:
φ = 47º02"15,0543" пн.ш.; λ = 65º01"38,2456" с.д.У таблицю MicrosoftXL вводимо вихідні дані та формули (таб. 4.1).
Таблиця 4.1.
D
E
F
Параметр
Обчислення
Град
φ (град)
D2+E2/60+F2/3600
φ (рад)
РАДІАНИ(C3)
Cos 2 φ
№ зони
ЦІЛО((D8+6)/6)
λос (град)
l (град)
D11+E11/60+F11/3600
l (рад)
РАДІАНИ(C12)
6399698,902-((21562,267-
(108,973-0,612*C6^2)*C6^2))*C6^2а 0
32140,404-((135,3302-
(0,7092-0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2а 4
=(0,25+0,00252*C6^2)*C6^2-0,04166
а 6
=(0,166*C6^2-0,084)*C6^2
а 3
=(0,3333333+0,001123*C6^2)*C6^2-0,1666667
а 5
0,0083-((0,1667-(0,1968+0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2
6367558,4969*C4-(((C15-(((0,5+(C16+C17*C20)*C20))
* C20 * C14))) * C5 * C6)
=((1+(C18+C19*C20)*C20))*C13*C14*C6
ОКРУГЛ((500000+C23);3)
ЗЧЕПИТИ(C9;C24)
Вигляд таблиці після обчислень (табл. 4.2).
Таблиця 4.2.
Параметр
Обчислення
Град
φ (град, хв, сек)
φ (градуси)
φ (радіани)
Cos 2 φ
λ (град, хв, сек)
Номер зони
λос (град)
l (хв, сек)
l (градуси)
l (радіани)
а 0
а 4
а 6
а 3
а 5
4.7. ВИЧИСЛЕННЯ ГЕОГРАФІЧНИХ КООРДИНАТ ЗА ПЛОСКИМИ ПРЯМОКУТНИМИ КООРДИНАТАМИ ГАУСА
Для вирішення цього завдання також використовуються формули перерахунку, отримані для референц-еліпсоїда Красовського.
Припустимо, нам необхідно обчислити географічні координати φ і λ крапки Аза її плоскими прямокутними координатами хі у, заданим у зональній системі координат. При цьому значення координати узаписано із зазначенням номера зони та з урахуванням перенесення осьового меридіана зони на захід на 500 км.
Попередньо за значенням узнаходять номер зони, в якій розташована точка, за номером зони визначають довготу λ o осьового меридіана і на відстані від точки до віднесеного на захід осьового меридіана знаходять відстань у(l)від точки до осьового меридіана зони (останнє може бути зі знаком плюс чи мінус).
Значення географічних координат φ і λ за плоскими прямокутними координатами хі узнаходять за формулами:
φ = φ х - z 2 b 2 ρ″ (4.3)
λ = λ 0 + l (4.4)
l = zρ (4.5)У формулах (4.3) та (4.5) :
φ х ″= β″ +(50221746 + cos 2 β)10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = (Х/6367558,4969) ρ″; ρ = 206264,8062 - число секунд в одному радіані
z = У (L) / (Nx сos φx);
N х = 6399698,902 - cos 2 ?
b 2 = (0,5 + 0,003369 cos 2 φ х) sin φ х cos φ х;
b 3 = 0,333333 - (0,166667 - 0,001123 cos2 φ х) cos2 φ х;
b 4 = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 сos 2 ? х) cos 2 ? х;
b 5 = 0,2 - (0,1667 - 0,0088 сos 2 φ х) cos 2 φ х.Для обчислень використовуємо електронні таблиці MicrosoftXL .
приклад. Обчислити географічні координати точки прямокутним:
x = 5213504,619; y = 11654079,966.У таблицю MicrosoftXL вводимо вихідні дані та формули (таб. 4.3).
Таблиця 4.3.
1
Параметр
Обчислення
Град.
мін.
Сік.
2
1
х
5213504,619
2
у
11654079,966
4
3
№*зони
ЯКЩО(C3<1000000;
C3/100000; C3/1000000)5
4
№ зони
ЦІЛО(C4)
6
5
λоос
C5*6-3
7
6
у"
C3-C5*1000000
8
7
у(l)
C7-500000
9
8
ρ″
206264,8062
10
9
β"
C2/6367558,4969*C9
11
10
β радий
РАДІАНИ(C10/3600)
12
11
β
ЦІЛЕ
(C10/3600)ЦІЛЕ
((C10-D12*3600)/60)C10-D12*
3600-E12*6013
12
Sin β
SIN(C11)
14
13
Cos β
COS(C11)
15
14
Cos 2 β
C14^2
16
15
φ х "
C10+(((50221746+((293622+
(2350+22*C14^2)*C14^2))*C14^2)))
*10^-10*C13*C14*C917
16
φ х радий
РАДІАНИ(C16/3600)
18
17
φ х
ЦІЛЕ
(C16/3600)ЦІЛЕ
((C16-D18*3600)/60)C16-D18*
3600-E18*6019
18
Sin φ.
SIN(C17)
20
19
Cos φ х
COS(C17)
21
20
Cos 2 φ х
C20^2
22
21
N х
6399698,902-((21562,267-
(108,973-0,612 * C21) * C21)) * C2123
22
Ν х Cosφ х
C22*C20
24
23
z
C8/(C22*C20)
25
24
z 2
C24^2
26
25
b 4
0,25+(0,16161+0,00562*C21)*C21
27
26
b 2
=(0,5+0,003369*C21)*C19*C20
28
27
b 3
0,333333-(0,166667-0,001123*C21)*C21
29
28
b 5
0,2-(0,1667-0,0088*C21)*C21
30
29
C16-((1-(C26-0,12)
* C25) * C25)) * C25 * C27 * C931
30
φ
=Ціле
(C30/3600)=Ціле
((C30-D31*3600)/60)=C30-D31*
3600-E31*6032
31
l"
=((1-(C28-C29*C25)*C25))*C24*C9
33
32
l 0
=Ціле
(C32/3600)=Ціле
((C32-D33*3600)/60)=C32-D33*
3600-E33*6034
33
λ
C6+D33
Вигляд таблиці після обчислень (табл. 4.4).
Таблиця 4.4.
Параметр
Обчислення
Град.
Номер зони*
Номер зони
λоос (град)
у"
β радий
Cos 2 β
φ х "
φ х радий
φ х
Cos φ х
Cos 2 φ х
N х
Ν х Cos φ х
z 2
b 4
b 2
b 3
b 5
φ
l 0
λ
Якщо обчислення зроблено правильно, копіюємо обидві таблиці однією аркуш, приховуємо рядки проміжних обчислень і колонку № п/п, а залишаємо лише рядки введення вихідних даних, і результатів обчислень. Форматуємо таблицю та коригуємо назви колонок та стовпців на ваш розсуд.
Робочі таблиці можуть виглядати такТаблиця 4.5.
Примітки.
1. Залежно від необхідної точності можна збільшити чи зменшити розрядність.
2. Кількість рядків у таблиці можна скоротити, об'єднавши обчислення. Наприклад, радіани кута не обчислювати окремо, а одразу записати у формулу = SIN (РАДІАНИ (C3)).
3. Округлення у п. 23 табл. 4.1. Виробляємо для «зчеплення». Число розрядів у округленні 3.
4. Якщо не змінити формат осередків у колонках «Град» та «Мін», то нулів перед цифрами не буде. Зміна формату тут виконано лише для зорового сприйняття (за рішенням автора) і результати обчислень не впливає.
5. Щоб не випадково не пошкодити формули, слід захистити таблицю: Сервіс / Захистити лист. Перед захистом виділити осередки для введення вихідних даних, а потім: Формат осередків / Захист / Захищений осередок - прибрати галочку.4.8. ЗВ'ЯЗОК ПЛОСКИЙ ПРЯМОКУТНИЙ І ПОЛЯРНИЙ СИСТЕМ КООРДИНАТ
Простота полярної системи координат та можливість її побудови щодо будь-якої точки місцевості, що приймається за полюс, зумовили її широке застосування у топографії. Щоб пов'язати полярні системи окремих точок місцевості, необхідно перейти до визначення положення останніх у прямокутній системі координат, яка може бути поширена на значно більшу за площею територію. Зв'язок між двома системами встановлюється вирішенням прямої та зворотної геодезичних задач.
Пряме геодезичне завдання полягає у визначенні координат кінцевої точки У (Рис. 4.4) лінії АВза довжиною їїг оризонтального прокладанняd , напрямкуα та координатам початкової точки хА , уА .
Мал. 4.6. Розв'язання прямої та зворотної геодезичних задачТак, якщо прийняти крапку А(рис. 4.4) за полюс полярної системи координат, а пряму АВ- за полярну вісь, паралельну осі ОХто полярними координатами точки Убудуть dі α . Необхідно обчислити прямокутні координати цієї точки у системі ХОУ.
З рис. 3.4 видно, що хУ відрізняється від хА на величину ( хУ - хА ) = Δ хАВ , а уУ відрізняється від уА на величину ( уУ - уА ) = Δ уАВ . Різниці координат кінцевої Ута початковий Аточок лінії АВ Δ хта Δ уназивають збільшеннями координат . Приростами координат є ортогональні проекції лінії АВна осі координат. Координати хУ і уУ можуть бути обчислені за формулами:
хУ = хА + Δ хАВ (4.1)
Значення прирощень визначають із прямокутного трикутника АСВ за заданими dі α, оскільки збільшення Δ хта Δ ує катетами цього прямокутного трикутника:
уУ = уА + Δ уАВ (4.2)Δ хАВ =dcos α (4.3)
Δ уАВ = dsin α (4.4)Знак збільшення координат залежить від кута положення.
Таблиця 4.1.
Підставивши значення прирощень Δ хАВ та Δ уАВ у формули (3.1 та 3.2), отримаємо формули для вирішення прямої геодезичної задачі:
хУ = хА + dcos α (4.5)
уУ = уА + dsin α (4.6)Зворотне геодезичне завдання полягає у визначенні довжини горизонтального прокладанняdта напрямки α лінії АВ за даними координатами її початкової точки А (хА, уА) та кінцевої В (хВ, уВ).Кут напрямку обчислюється за катетами прямокутного трикутника:
tg α =
(4.7)Горизонтальне прокладання d, Визначають за формулою:
d =
(4.8)Для вирішення прямої та зворотної геодезичної задачі можна скористатися електронними таблицями Microsoft Excel .
приклад.
Розрахувати прямокутні координати точки В (хУ ,уУ ).
Задано точку Аз координатами: хА = 6068318,25; уА = 4313450,37. Горизонтальне прокладання (d)між точкою Ата точкою Удорівнює 5248,36 м. Кут між північним напрямом осі ОХта напрямком на точку У(кут положення - α ) дорівнює 30 º.Вводимо вихідні дані та формули в електронні таблиці Microsoft Excel (Таб. 4.2).
Таблиця 4.2.
Вихідні дані
хА
уА
Обчислення
Δ хАВ =d cos α
B4*COS(РАДІАНИ(B5))
Δ уАВ = d sin α
B4*SIN(РАДІАНИ(B5))
хУ
уУ
Вигляд таблиці після обчислень (табл. 4.3).Таблиця 4.3.
Вихідні дані
хА
уА
Обчислення
Δ хАВ =d cos α
Δ уАВ = d sin α
хУ
уУ
приклад.
Задані точки Аі Уз координатами:
хА = 6068318,25; уА = 4313450,37;
хУ = 6072863,46; уУ = 4313450,37.
Розрахувати горизонтальне прокладання dміж точкою Ата точкою В,а також кут α між північним напрямом осі ОХта напрямком на точку У.
Вводимо вихідні дані та формули в електронні таблиці Microsoft Excel (Таб. 4.4).Таблиця 4.4.
Вигляд таблиці після обчислень (табл. 4.5).Вихідні дані
хА
уА
хУ
уУ
Обчислення
ΔхАВ
ΔуАВ
КОРІНЬ(B7^2+B8^2)
Тангенс
Арктангенс
Градуси
ГРАДУСИ(B11)
Вибір
ЯКЩО(B12<0;B12+180;B12)
Кут положення (град)
ЯКЩО(B8<0;B13+180;B13)
Таблиця 4.5.
Вихідні дані
хА
уА
хУ
уУ
Обчислення
ΔхАВ
ΔуАВ
Тангенс
Арктангенс
Градуси
Вибір
Кут положення (град)
Якщо ваші обчислення збіглися з обчисленнями навчального посібника, приховайте проміжні розрахунки, відформатуйте та захистіть таблицю.
Відео
Прямокутні координатиЗапитання та завдання для самоконтролю
- Які величини називають прямокутними координатами?
- На якій поверхні застосовують прямокутні координати?
- У чому полягає суть зональної системи прямокутних координат?
- Назвіть номер шестиградусної зони, де знаходиться м. Луганськ з координатами: 48°35′ пн.ш. 39°20′ сх.д.
- Розрахуйте довготу осьового меридіана шестиградусної зони, де знаходиться м. Луганськ.
- Як ведеться рахунок координат х і у прямокутної системи координат Гауса?
- Поясніть порядок визначення прямокутних координат на топографічній карті за допомогою циркуля-вимірника.
- Поясніть порядок визначення прямокутних координат на топографічній карті за допомогою координатоміру.
- У чому сутність прямого геодезичного завдання?
- У чому суть зворотного геодезичного завдання?
- Яку величину називають збільшенням координат?
- Дайте визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута.
- Як можна застосувати у топографії теорему Піфагора про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника?
Якщо ви знаходитесь в деякій нульовій точці і розмірковуєте над тим, скільки одиниць відстані потрібно пройти строго вперед, а потім - строго вправо, щоб опинитися в деякій іншій точці, то ви вже користуєтеся прямокутною декартовою системою координат на площині. А якщо точка знаходиться вище за площину, на якій ви стоїте, і до ваших розрахунків додається підйом до точки по сходах строго вгору також на певну кількість одиниць відстані, то ви вже користуєтеся прямокутною декартовою системою координат у просторі.
Упорядкована система двох або трьох перпендикулярних один одному осей, що перетинаються, із загальним початком відліку (початком координат) і загальною одиницею довжини називається прямокутною декартовою системою координат .
З ім'ям французького математика Рене Декарта (1596-1662) пов'язують передусім таку систему координат, у якій усім осях відраховується загальна одиниця довжини і осі є прямими. Крім прямокутної існує загальна декартова система координат (афінна система координат). Вона може містити і не обов'язково перпендикулярні осі. Якщо осі перпендикулярні, то система координат є прямокутною.
Прямокутна декартова система координат на площині має дві осі, а прямокутна декартова система координат у просторі - Три осі. Кожна точка на площині чи просторі визначається упорядкованим набором координат - чисел відповідно до одиниці довжини системи координат.
Зауважимо, що, як випливає з визначення, існує декартова система координат і на прямій, тобто в одному вимірі. Введення декартових координат на прямий є одним із способів, за допомогою якого будь-якій точці прямий ставиться у відповідність цілком певне речове число, тобто координата.
Метод координат, що у роботах Рене Декарта, ознаменував собою революційну перебудову всієї математики. З'явилася можливість тлумачити рівняння алгебри (або нерівності) у вигляді геометричних образів (графіків) і, навпаки, шукати рішення геометричних завдань за допомогою аналітичних формул, систем рівнянь. Так, нерівність z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyта перебуває вище цієї площини на 3 одиниці.
За допомогою декартової системи координат належність точки заданої кривої відповідає тому, що числа xі yзадовольняють деякому рівнянню. Так, координати точки кола з центром у заданій точці ( a; b) задовольняють рівняння (x - a)² + ( y - b)² = R² .
Прямокутна декартова система координат на площині
Дві перпендикулярні осі на площині із загальним початком та однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат на площині . Одна з цих осей називається віссю Ox, або віссю абсцис , іншу - віссю Ой, або віссю ординат . Ці осі називаються також координатними осями. Позначимо через Mxі Myвідповідно проекції довільної точки Мна осі Oxі Ой. Як отримати проекцію? Проведемо через точку М Ox. Ця пряма перетинає вісь Oxу точці Mx. Проведемо через точку Мпряму, перпендикулярну до осі Ой. Ця пряма перетинає вісь Ойу точці My. Це показано нижче.
xі yкрапки Мназиватимемо відповідно величини спрямованих відрізків OMxі OMy. Величини цих спрямованих відрізків розраховуються відповідно як x = x0 - 0 і y = y0 - 0 . Декартові координати xі yкрапки М абсцисою і ординатою . Той факт, що точка Ммає координати xі y, позначається так: M(x, y) .
Координатні осі розбивають площину на чотири квадранта нумерація яких показана на малюнку нижче. На ньому вказана розстановка знаків координат точок залежно від їх розташування в тому чи іншому квадранті.
Крім декартових прямокутних координат на площині, часто розглядається також полярна система координат. Про спосіб переходу від однієї системи координат до іншої – в уроці полярна система координат .
Прямокутна декартова система координат у просторі
Декартові координати у просторі вводяться у повній аналогії з декартовими координатами на площині.
Три взаємно перпендикулярні осі у просторі (координатні осі) із загальним початком Oі однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат у просторі .
Одну із зазначених осей називають віссю Ox, або віссю абсцис , іншу - віссю Ой, або віссю ординат третю - віссю Oz, або віссю аплікат . Нехай Mx, My Mz- Проекції довільної точки Мпростору на осі Ox , Ойі Ozвідповідно.
Проведемо через точку М OxOxу точці Mx. Проведемо через точку Мплощину, перпендикулярну до осі Ой. Ця площина перетинає вісь Ойу точці My. Проведемо через точку Мплощину, перпендикулярну до осі Oz. Ця площина перетинає вісь Ozу точці Mz.
Декартові прямокутні координати x , yі zкрапки Мназиватимемо відповідно величини спрямованих відрізків OMx, OMyі OMz. Величини цих спрямованих відрізків розраховуються відповідно як x = x0 - 0 , y = y0 - 0 і z = z0 - 0 .
Декартові координати x , yі zкрапки Мназиваються відповідно до неї абсцисою , ординатою і аплікати .
Попарно взяті координатні осі розташовуються в координатних площинах. xOy , yOzі zOx .
Завдання про точки в декартовій системі координат
приклад 1.
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Знайти координати проекцій цих точок на вісь абсцис.
Рішення. Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь абсцис розташована на самій осі абсцис, тобто осі Ox, а отже має абсцису, рівну абсцисі самої точки, і ординату (координату на осі Ой, Яку вісь абсцис перетинає в точці 0), рівну нулю. Отже отримуємо наступні координати даних точок на вісь абсцис:
Ax (2; 0);
Bx (3; 0);
Cx (-5; 0).
приклад 2.У декартовій системі координат на площині дані точки
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Знайти координати проекцій цих точок на вісь ординат.
Рішення. Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь ординат розташована на осі ординат, тобто осі Ой, а отже має ординату, рівну ординаті самої точки, та абсцису (координату на осі Ox, Яку вісь ординат перетинає в точці 0), рівну нулю. Отже отримуємо наступні координати даних точок на вісь ординат:
Ay (0; 2);
By (0; 1);
Cy (0; -2).
приклад 3.У декартовій системі координат на площині дані точки
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Ox .
Ox Ox Ox, матиме таку ж абсцису, що і дана точка, і ординату, рівну за абсолютною величиною ординаті цієї точки, і протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо осі. Ox :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
приклад 4.Визначити, у яких квадрантах (чвертях, малюнок з квадрантами - наприкінці параграфа "Прямокутна декартова система координат на площині") може бути розташована точка M(x; y) , якщо
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) x − y = 0 ;
4) x + y = 0 ;
5) x + y > 0 ;
6) x + y < 0 ;
7) x − y > 0 ;
8) x − y < 0 .
Приклад 5.У декартовій системі координат на площині дані точки
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой .
Продовжуємо вирішувати завдання разом
Приклад 6.У декартовій системі координат на площині дані точки
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой .
Рішення. Повертаємо на 180 градусів навколо осі Ойспрямований відрізок, що йде від осі Ойдо цієї точки. На малюнку, де позначені квадранти площини, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Ой, матиме таку ж ординату, що і дана точка, і абсцису, рівну за абсолютною величиною абсцис даної точки, і протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо осі. Ой :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Приклад 7.У декартовій системі координат на площині дані точки
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо початку координат.
Рішення. Повертаємо на 180 градусів навколо початку координат спрямований відрізок, що йде від початку координат до цієї точки. На малюнку, де позначені квадранти площини, бачимо, що точка, симетрична даної щодо початку координат, матиме абсцису та ординату, рівні за абсолютною величиною абсцисі та ординаті даної точки, але протилежні їм за знаком. Отже отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо початку координат:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Приклад 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Знайти координати проекцій цих точок:
1) на площину Oxy ;
2) на площину Oxz ;
3) на площину Oyz ;
4) на вісь абсцис;
5) на вісь ординат;
6) на вісь аплікат.
1) Проекція точки на площину Oxyрозташована на цій площині, а отже має абсцису і ординату, рівні абсцисі і ординаті даної точки, і аплікату, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy (2; -3; 0).
2) Проекція точки на площину Oxzрозташована на цій площині, а отже має абсцису і аплікату, рівні абсцисі і аплікату даної точки, і ординату, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Проекція точки на площину Oyzрозташована на цій площині, а отже має ординату і аплікату, рівні ординаті і аплікату даної точки, і абсцису, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oyz :
Ayz (0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь абсцис розташована на самій осі абсцис, тобто осі Ox, а отже має абсцису, рівну абсцисі самої точки, а ордината і апліката проекції дорівнюють нулю (оскільки осі ординат і аплікат перетинають вісь абсцис у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь абсцис:
Ax (4; 0; 0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx (2; 0; 0).
5) Проекція точки на вісь ординат розташована на самій осі ординат, тобто осі Ой, а отже має ординату, рівну ординаті самої точки, а абсцису та аплікату проекції дорівнюють нулю (оскільки осі абсцис і аплікат перетинають вісь ординат у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь ординат:
Ay (0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy (0; -3; 0).
6) Проекція точки на вісь аплікат розташована на самій осі аплікат, тобто осі Oz, а отже має аплікату, рівну аплікату самої точки, а абсцису та ординату проекції дорівнюють нулю (оскільки осі абсцис та ординат перетинають вісь аплікат у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь аплікат:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz (0; 0; 0).
Приклад 9.У декартовій системі координат у просторі дані точки
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо:
1) площині Oxy ;
2) площині Oxz ;
3) площині Oyz ;
4) осі абсцис;
5) осі ординат;
6) осі аплікат;
7) початку координат.
1) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oxy Oxy, матиме абсцису та ординату, рівні абсцисі та ординаті даної точки, і аплікату, рівну за величиною аплікату даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oxzна ту ж відстань. По малюнку, що відображає координатний простір, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Oxz, матиме абсцису та аплікату, рівні абсцисі та аплікату даної точки, і ординату, рівну за величиною ординаті даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oyzна ту ж відстань. По малюнку, що відображає координатний простір, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Oyz, матиме ординату і аплікату, рівні ординаті та аплікату даної точки, і абсцису, рівну за величиною абсцисі даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
За аналогією з симетричними точками на площині та точками простору, симетричними даними щодо площин, зауважуємо, що у разі симетрії щодо деякої осі декартової системи координат у просторі, координата на осі, щодо якої задана симетрія, збереже свій знак, а координати на двох інших осях будуть тими ж за абсолютною величиною, як і координати цієї точки, але протилежними за знаком.
4) Свій знак збереже абсцису, а ордината та апліката поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даним щодо осі абсцис:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Свій знак збереже ордината, а абсцису та аплікату поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даним щодо осі ординат:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Свій знак збереже апліката, а абсциса та ордината поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо осі:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) За аналогією з симетрією у випадку з точками на площині, у разі симетрії щодо початку координат всі координати точки, симетричної даної, будуть рівними за абсолютною величиною координат цієї точки, але протилежними їм за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо початку координат.
