Швидкістю точки називається вектор, що визначає кожен Наразічасу швидкість і напрямок руху точки.

Швидкість рівномірного руху визначається ставленням шляху, пройденого крапкою за деякий проміжок часу, до величини цього проміжку часу.

Швидкість; S-шлях; t-час.

Вимірюється швидкість одиницях довжини, поділених на одиницю часу: м/с; см/с; км/год і т.д.

У разі прямолінійного руху вектор швидкості спрямований уздовж траєкторії у бік її руху.

Якщо точка за рівні проміжки часу проходить нерівні шляхи, цей рух називається нерівномірним. Швидкість є величиною змінної та є функцією часу.

Середньою за цей проміжок часу швидкістю точки називається швидкість такого рівномірного прямолінійного руху, при якому точка за цей проміжок часу отримала б те саме переміщення, як і в її русі.

Розглянемо точку М, яка переміщається криволінійною траєкторією, заданою законом

За проміжок часу?t точка М переміститься в положення М 1 по дузі ММ 1 .Якщо проміжок часу?t малий, то дугу ММ 1 можна замінити хордою і в першому наближенні знайти середню швидкість руху точки

Ця швидкість спрямована по хорді від точки М до точки М1. Справжню швидкість знайдемо шляхом переходу до межі при t> 0

Коли?t> 0, напрямок хорди в межі збігається з напрямом дотичної до траєкторії в точці М.

Таким чином, величина швидкості точки визначається як межа відношення збільшення шляху до відповідного проміжку часу при прагненні останнього до нуля. Напрямок швидкості збігається з дотичної до траєкторії у цій точці.

Прискорення точки

Зазначимо, що у випадку, під час руху криволінійної траєкторії швидкість точки змінюється і за напрямом і за величиною. Зміна швидкості за одиницю часу визначається прискоренням. Іншими словами, прискоренням точки називається величина, що характеризує швидкість зміни швидкості часу. Якщо за інтервал часу?t швидкість змінюється на величину, то середнє прискорення

Справжнім прискоренням точки на даний момент часу t називається величина, до якої прагне середнє прискорення при t > 0, тобто

При відрізку часу вектор прискорення, що прагне до нуля, буде змінюватися і за величиною і за напрямом, прагнучи до своєї межі.

Розмір прискорення

Прискорення може виражатися м/с 2 ; см/с 2 і т.д.

У випадку, коли рух точки задано природним способом, вектор прискорення зазвичай розкладають на дві складові, спрямовані по дотичній і нормалі до траєкторії точки.

Тоді прискорення точки в момент t можна уявити так

Позначимо складові межі через в.

Напрямок вектора не залежить від величини проміжку часу.

Це прискорення завжди збігається з напрямом швидкості, тобто, спрямоване по дотичній траєкторії руху точки і тому називається дотичним або тангенціальним прискоренням.

Друга складова прискорення точки спрямована перпендикулярно до дотичної до траєкторії в даній точці у бік увігнутості кривої і впливає на зміну напрямку вектора швидкості. Ця складова прискорення зветься нормального прискорення.

Оскільки чисельне значення вектора дорівнює збільшенню швидкості точки за проміжок, що розглядається?t часу, то чисельне значення дотичного прискорення

Чисельне значення щодо прискорення точки дорівнює похідної за часом від чисельної величини швидкості. Чисельне значення нормального прискорення точки дорівнює квадрату швидкості точки, поділеному на радіус кривизни траєкторії у відповідній точці кривої

Повне прискорення при нерівномірному криволінійному русі точки складається геометрично з дотичного та нормального прискорень.

Способи завдання руху точки.

Задати рух точки - Це означає вказати правило, за яким у будь-який момент часу можна визначити її положення в заданій системі відліку.

Математичний вираз цього правила називається законом руху , або рівнянням рухуточки.

Існує три способи завдання руху точки:

векторний;

координатний;

природний.

Щоб задати рух векторним способом, потрібно:

à вибрати нерухомий центр;

à положення точки визначити за допомогою радіус-вектора, що починається в нерухомому центрі і закінчується в точці М, що рухається;

à визначити цей радіус-вектор як функцію від часу t: .

Вираз

називається векторним законом рухуточки, або векторним рівнянням руху.

!! Радіус-вектор - це відстань (модуль вектора) + напрямок від центру О на точку М, яку можна визначати різними способами, наприклад, кутами із заданими напрямками.

Щоб задати рух координатним способом , потрібно:

à вибрати та зафіксувати систему координат (будь-яку: декартову, полярну, сферичну, циліндричну та ін.);

à визначити положення точки за допомогою відповідних координат;

à задати ці координати, як функції від часу t.

У декартовій системі координат, таким чином, треба вказати функції

У полярній системі координат слід визначити як функції від часу полярний радіус та полярний кут:

Загалом, при координатному методі завдання слід задавати функції від часу ті координати, з допомогою яких визначається поточне положення точки.

Щоб можна було задавати рух точки природним способомпотрібно знати її траєкторію . Запишемо визначення траєкторії точки.

Траєкторією точки називається безліч її положень за якийсь проміжок часу(зазвичай – від 0 до + ¥).

У прикладі з колесом, що котиться по дорозі, траєкторією точки 1 є циклоїду, а точки 2 – рулетта; у системі відліку, пов'язаної з центром колеса, траєкторії обох точок – кола.

Щоб задати рух точки природним способом, потрібно:

à знати траєкторію точки;

à на траєкторії вибрати початок відліку та позитивний напрямок;

à визначити поточне положення точки довжиною дуги траєкторії від початку відліку до цього поточного положення;

à вказати цю довжину як функцію від часу.

Вираз, що визначає зазначену вище функцію,

називають законом руху точки по траєкторії, або природним рівнянням рухуточки.

Залежно від виду функції (4) точка траєкторії може рухатися по-різному.

3. Траєкторія точки та її визначення.

Визначення поняття «траєкторія точки» було дано раніше у питанні 2. Розглянемо питання про визначення траєкторії точки при різних способахзавдання руху.

Природний метод: траєкторія повинна бути задана, тому знаходити її не треба.

Векторний спосіб : потрібно перейти до координатного способу відповідно до рівностей

Координатний спосіб: потрібно з рівнянь руху (2) або (3) виключити час t.

Координатні рівняння руху задають траєкторію параметрично, через параметр t (час). Для отримання явного рівняння кривої треба виключити параметр з рівнянь.

Після виключення часу з рівнянь (2) виходять два рівняння циліндричних поверхонь, наприклад, як

Перетин цих поверхонь і буде траєкторією точки.

При русі точки по площині завдання спрощується: після виключення часу із двох рівнянь

рівняння траєкторії вийде однією з наступних форм:

При цьому , тому траєкторією точки буде права гілка параболи:

З рівнянь руху випливає, що

тому траєкторією точки буде частина параболи, розташована у правій напівплощині:

Тоді отримаємо

Бо весь еліпс буде траєкторією точки.

При центр еліпса буде на початку координат; при отримаємо коло; параметр k на форму еліпса не впливає, від нього залежить швидкість руху точки еліпсом. Якщо в рівняннях поміняти місцями cos і sin, то траєкторія не зміниться (теж еліпс), але зміниться початкове положення точки і напрямок руху.

Швидкість точки характеризує «швидкість» зміни її становища. Формально: швидкість – переміщення точки за одиницю часу.

Точне визначення.

Тоді Ставлення

І навіщо вона потрібна? Ми вже знаємо, що таке система відліку, відносність руху та матеріальна точка. Що ж, настав час рухатися далі! Тут ми розглянемо основні поняття кінематики, зберемо разом найкорисніші формули з основ кінематики та наведемо практичний приклад розв'язання задачі.

Вирішимо таке завдання: точка рухається по колу радіусом 4 метри. Закон її руху виражається рівнянням S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. У який час нормальне прискорення точки дорівнює 9 м/с^2? Знайти швидкість, тангенціальне та повне прискорення точки для цього моменту часу.

Рішення: ми знаємо, що для того, щоб знайти швидкість, потрібно взяти першу похідну за часом від закону руху, а нормальне прискорення дорівнює приватному квадрату швидкості і радіусу кола, по якому точка рухається. Озброївшись цими знаннями, знайдемо шукані величини.

Потрібна допомога у вирішенні завдань? Професійний студентський сервіс готовий надати її.

1.2. Прямолінійний рух

1.2.4. Середня швидкість

Матеріальна точка (тіло) зберігає свою швидкість незмінною лише за рівномірному прямолінійному русі. Якщо рух є нерівномірним (у тому числі й рівнозмінним), то швидкість тіла змінюється. Такий рух характеризують середньою швидкістю. Розрізняють середню швидкість переміщення та середню дорожню швидкість.

Середня швидкість переміщенняє векторною фізичною величиною, яку визначають за формулою

v → r = r → t ,

де r → - вектор переміщення; ∆t – інтервал часу, за який це переміщення відбулося.

Середня шляхова швидкістьє скалярною фізичною величиною та обчислюється за формулою

v s = S заг t заг,

де S заг = S 1 + S 1 + ... + S n; t заг = t 1 + t 2 + ... + t N.

Тут S 1 = v 1 t 1 – перша ділянка шляху; v 1 - швидкість проходження першої ділянки колії (рис. 1.18); t 1 - час руху першому ділянці шляху тощо.

Мал. 1.18

Приклад 7. Одну чверть шляху автобус рухається зі швидкістю 36 км/год, другу чверть шляху - 54 км/год, шлях, що залишився - зі швидкістю 72 км/год. Розрахувати середню дорожню швидкість автобуса.

Рішення. Загальний шлях, пройдений автобусом, позначимо S:

S заг = S.

S 1 = S /4 - шлях, пройдений автобусом першій ділянці,

S 2 = S /4 - шлях, пройдений автобусом на другій ділянці,

S 3 = S /2 – шлях, пройдений автобусом на третій ділянці.

Час руху автобуса визначається формулами:

• на першій ділянці (S1 = S/4) -

  t 1 = S 1 v 1 = S 4 v 1;

• на другій ділянці (S2 = S/4) -

  t 2 = S 2 v 2 = S 4 v 2;

• на третій ділянці (S 3 = S /2) -

  t 3 = S 3 v 3 = S 2 v 3.

Загальний часруху автобуса складає:

t заг = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) .

v s = S заг t заг = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =

1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2 .

v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 км/год.

Приклад 8. П'яту частину часу міський автобус витрачає на зупинки, решту часу він рухається зі швидкістю 36 км/год. Визначити середню дорожню швидкість автобуса.

Рішення. Загальний час руху автобуса на маршруті позначимо t:

t заг = t.

t 1 = t /5 - час, витрачений на зупинки,

t 2 = 4t/5 – час руху автобуса.

Шлях, пройдений автобусом:

• за час t1 = t/5 -

  S 1 = v 1 t 1 = 0,

оскільки швидкість автобуса v 1 на даному часовому інтервалі дорівнює нулю (v 1 = 0);

• за час t2 = 4t/5 -

  S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t

  де v 2 - Швидкість автобуса на даному тимчасовому інтервалі (v 2 = = 36 км / год).

Загальний шлях автобуса:

S заг = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t.

Обчислення середньої колії автобуса зробимо за формулою

v s = S заг t заг = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2 .

Розрахунок дає значення середньої колійної швидкості:

v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 км/год.

Приклад 9. Рівняння руху матеріальної точки має вигляд x(t) = (9,0 − 6,0t + 2,0t 2) м, де координата задана в метрах, час – у секундах. Визначити середню шляхову швидкість та величину середньої швидкості переміщення матеріальної точки за перші три секунди руху.

Рішення. Для визначення середньої швидкості переміщеннянеобхідно розрахувати переміщення матеріальної точки. Модуль переміщення матеріальної точки в інтервалі часу від t 1 = 0 до t 2 = 3,0 з обчислимо як різницю координат:

| Δr → | = | x (t 2) - x (t 1) | ,

Підстановка значень формулу для обчислення модуля переміщення дає:

| Δr → | = | x (t 2) - x (t 1) | = 9,0 − 9,0 = 0 м.

Таким чином, переміщення матеріальної точки дорівнює нулю. Отже, модуль середньої швидкості переміщення також дорівнює нулю:

| v → r | = | Δr → | t 2 − t 1 = 0 3,0 − 0 = 0 м/с.

Для визначення середньої колійної швидкостіНеобхідно розрахувати шлях, пройдений матеріальною точкою за інтервал часу від t 1 = 0 до t 2 = 3,0 с. Рух точки є рівноповільним, тому необхідно з'ясувати, чи точка зупинки потрапляє у вказаний інтервал.

Для цього запишемо закон зміни швидкості матеріальної точки з часом у вигляді:

v x = v 0 x + a x t = − 6,0 + 4,0 t

де v 0 x = -6,0 м / с - проекція початкової швидкості на вісь Ox; a x = = 4,0 м/с 2 – проекція прискорення на вказану вісь.

Знайдемо точку зупинки з умови

v (τ зуст) = 0,

тобто.

τ зб = v 0 a = 6,0 4,0 = 1,5 с.

Точка зупинки потрапляє у часовий інтервал від t 1 = 0 с до t 2 = 3,0 с. Таким чином, пройдений шлях обчислимо за формулою

S = S 1 + S 2

де S1 = | x (τ зуст) − x (t 1) | - шлях, пройдений матеріальною точкою до зупинки, тобто. за час від t 1 = 0 до τ ост = 1,5 с; S2 = | x (t 2) - x (τ зуст) | - шлях, пройдений матеріальною точкою після зупинки, тобто. за час від τ зост = 1,5 с до t 1 = 3,0 с.

Розрахуємо значення координат у вказані моменти часу:

x(t 1 ) = 9,0 − 6,0 t 1 + 2,0 t 1 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 0 + 2,0 ⋅ 0 2 = 9,0 м;

x (τ ост) = 9,0 − 6,0 τ ост + 2,0 τ ост 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 1,5 + 2,0 ⋅ (1,5) 2 = 4,5 м ;

x (t 2) = 9,0 − 6,0 t 2 + 2,0 t 2 2 = 9,0 − 6,0 ⋅ 3,0 + 2,0 ⋅ (3,0) 2 = 9,0 м .

Значення координат дозволяють обчислити шляхи S1 і S2:

S1 = | x (τ зуст) − x (t 1) | = | 4,5 – 9,0 | = 4,5 м;

S2 = | x (t 2) - x (τ зуст) | = | 9,0 – 4,5 | = 4,5 м,

а також сумарний пройдений шлях:

S = S1 + S2 = 4,5 + 4,5 = 9,0 м.

Отже, шукане значення середньої колійної швидкості матеріальної точки дорівнює

v s = S t 2 − t 1 = 9,0 3,0 − 0 = 3,0 м/с.

Приклад 10. Графік залежності проекції швидкості матеріальної точки від часу є прямою лінією і проходить через точки (0; 8,0) і (12; 0), де швидкість задана в метрах в секунду, час - в секундах. У скільки разів середня колійна швидкість за 16 із руху перевищує величину середньої швидкості переміщення за той самий час?

Рішення. Графік залежності проекції швидкості тіла іноді показаний малюнку.

Для графічного обчислення шляху, пройденого матеріальною точкою, та модуля її переміщення необхідно визначити значення проекції швидкості в момент часу, що дорівнює 16 с.

Існує два способи визначення значення v x у вказаний момент часу: аналітичний (через рівняння прямої) та графічний (через подобу трикутників). Для знаходження v x скористаємося першим способом і складемо рівняння прямої по двох точках:

t − t 1 t 2 − t 1 = v x − v x 1 v x 2 − v x 1 ,

де (t 1; v x 1) - координати першої точки; (t 2 ; v x 2) - координати другої точки. За умовою задачі: t 1 = 0, v x 1 = 8,0, t 2 = 12, v x 2 = 0. З урахуванням конкретних значень координат дане рівняння набуває вигляду:

t − 0 12 − 0 = v x − 8,0 0 − 8,0 ,

v x = 8,0 − 2 3 t.

При t = 16 значення проекції швидкості становить

| v x | = 83 м/с.

Це значення можна отримати також з подоби трикутників.

• Обчислимо шлях, пройдений матеріальною точкою, як суму величин S 1 і S 2:

  S = S 1 + S 2

  де S 1 = 1 2 ⋅ 8,0 ⋅ 12 = 48 м - шлях, пройдений матеріальною точкою за інтервал часу від 0 до 12 с; S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4,0 ⋅ 8 3 = = 16 3 м - шлях, пройдений матеріальною точкою за інтервал часу від 12 до 16 с.

Сумарний пройдений шлях складає

S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 м.

Середня шляхова швидкість матеріальної точки дорівнює

v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 м/с.

• Обчислимо значення переміщення матеріальної точки як модуль різниці величин S1 і S2:

  S = | S 1 − S 2 | = | 48 − 16 3 | = 128 3 м.

Розмір середньої швидкості переміщення становить

| v → r | = | Δr → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 м/с.

Шукане відношення швидкостей одно

v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1,25.

Середня шляхова швидкість матеріальної точки в 1,25 разів перевищує модуль середньої швидкості переміщення.