Комбінаторика - це, як і натякає сама назва, розділ математики, що вивчає різні набори або комбінації будь-яких об'єктів (елементів) – чисел, предметів, літер у словах та іншого. Дуже цікавий розділ.) Але з тих чи інших причин складний сприйняття. Чому? Тому що в ньому часто фігурують складніші для візуального сприйняття терміни і позначення. Якщо символи 10, 2, 3/4 і навіть, чи log 2 5 нам візуально зрозумілі, тобто. ми можемо їх якось «помацати», то з позначеннями типу 15!P 9 , , Починаються проблеми. Крім того, у більшості підручників ця тема викладається досить сухо та скрутно для сприйняття. Сподіваюся, цей матеріал хоча б трохи допоможе вирішити ці проблеми і комбінаторика вам сподобається.
З комбінаторними завданнями щодня стикається кожен із нас. Коли вранці ми приймаємо рішення, як одягнутися, ми комбінуємоті чи інші види одягу. Коли готуємо салат, ми поєднуємо інгредієнти. Від того, яка комбінація продуктів обрана, залежить результат – смачно чи несмачно. Правда, питаннями смаку займається вже не математика, а кулінарія, але тим не менш. Коли, граємо «в слова», складаючи маленькі слівця з одного довгого, ми комбінуємо літери. Коли відкриваємо кодовий замок або набираємо номер телефону, то комбінуємо цифри. Завуч школи складає розклад уроків, комбінуючи предмети. Футбольні команди на Чемпіонаті Світу чи Європи розподіляють за групами, утворюючи комбінації. І так далі.)
Комбінаторні завдання люди вирішували ще в давнину (магічні квадрати, шахи), а справжній розквіт комбінаторики припав на VI-VII століття, під час широкого поширення азартних ігор (карти, гральні кістки), коли гравцям доводилося продумувати різні ходи і тим самим фактично також вирішувати комбінаторні завдання.) Разом із комбінаторикою у цей час зародився й інший розділ математики – теорія імовірності . Ці два розділи – дуже близькі родичі і йдуть пліч-о-пліч.) І при вивченні теорії ймовірностей ми не раз зіштовхуватимемося з завданнями комбінаторики.
І почнемо вивчення комбінаторики з такого наріжного поняття, як факторіал .
Що таке факторіал?
Гарне слово «факторіал», але багатьох лякає і ставить у глухий кут. А даремно. У цьому уроці ми розберемося і добре попрацюємо з цим нескладним поняттям.) Це слово походить від латинського «factorialis», що означає «помножуючий». І недарма: в основі обчислення будь-якого факторіалу стоїть звичайне множення.)) Отже, що таке факториал.
Візьмемо якесь натуральне число n . Цілком довільне: хочемо 2, хочемо 10, - яке завгодно, аби натуральне.) Так от, факторіал натурального числа n – це добуток усіх натуральних чисел від 1 до n включно. Позначається так: n! Тобто,
Щоб не розписувати щоразу цей довгий твір, просто вигадали коротке позначення. :) Читається трохи незвично: "ен факторіал" (а не навпаки "факторіал ен", як може здатися).
І все! Наприклад,
Уловлюєте ідею?)) Чудово! Тоді вважаємо приклади:
Відповіді (безладно): 30; 0,1; 144; 6; 720; 2; 5040.
Все вийшло? Прекрасно! Вважати факторіали та вирішувати найпростіші приклади з ними вже вміємо. Йдемо далі. :)
Властивості факторіалу
Розглянемо не дуже зрозуміле з погляду визначення факторіалу вираз 0! Так уже в математиці домовилися, що
Так Так! Така ось цікава рівність. Що від одиниці, що від нуля факторіал один і той же - одиничка.)) Поки приймемо цю рівність за догму, а ось чому це саме так, буде ясно трохи пізніше, на прикладах.))
Наступні дві дуже схожі властивості:
Доводяться вони просто. Прямо за змістом факторіалу.)
Ці дві формулки дозволяють, по-перше, легко вважати факторіал поточного натурального числа через факторіал попередньогочисла. Або наступного через поточний.) Такі формули в математиці називаються рекурентними.
По-друге, за допомогою цих формул можна спрощувати та вважати деякі хитрі висловлювання з факторіалами. Типу таких.
Обчислити:
Як будемо діяти? Послідовно перемножувати всі натуральні числа від 1 до 1999 та від 1 до 2000? Це очманієш! А ось за властивостями приклад вирішується буквально в один рядок:
Або так:
Або таке завдання. Спростити:
Знову працюємо прямо за властивостями:
Навіщо потрібні факторіали та звідки вони з'явилися? Ну, навіщо потрібні – питання філософське. В математиці просто так, чисто для краси, нічого не буває.)) Насправді додатків у факторіалу безліч. Це і біном Ньютона, і теорія ймовірностей, і ряди, і формула Тейлора, і навіть знамените числоe , Яке являє собою ось таку цікаву нескінченну суму:
Чим більше задаєтьсяn , тим більша кількістьдоданків у сумі і тим ближче буде ця сума доe . А в межіпри вона дорівнюватиме в точності числуe . :) Але про цю дивовижну кількість ми поговоримо у відповідній темі. А тут у нас – факторіали та комбінаторика.)
Звідки вони взялися? Вони взялися саме з комбінаторики, з вивчення наборів елементів.) Найпростішим таким набором є перестановка без повторень. З неї і почнемо. :)
Перестановка без повторень
Нехай у нашому розпорядженні є два різнихоб'єкт. Або елемента. Цілком будь-які. Два яблука (червоне та зелене), дві цукерки (шоколадна та карамель), дві книги, дві цифри, дві літери – всього чого завгодно. Аби вони були різними.) Назвемо їхA іB відповідно.
Що з ними робити? Якщо це цукерки, то їх, звичайно, можна з'їсти.)) Ми ж поки що потерпимо і будемо їх розташовувати в різному порядку.
Кожне таке розташування називається перестановкою без повторень. Чому без повторень? Тому, що всі елементи, що беруть участь у перестановці, різні. Це ми поки що для простоти вирішили. Є ще перестановка із повтореннямиде деякі елементи можуть бути однаковими. Але такі перестановки трохи складніші. Про них – пізніше.)
Отже, якщо розглядаються два різні елементи, то можливі такі варіанти:
AB , B A .
Усього два варіанти, тобто. дві перестановки. Не густо.)
А тепер додамо до нашого набору ще один елементC . У цьому випадку перестановок буде вже шість:
ABC , ACB , BAC , BCA , CAB , CBA .
Перестановки із чотирьох елементів будемо будувати так. Спочатку на перше місце поставимо елементA . При цьому решта триелемента можна переставити, як нам відомо, шістьспособами:
Отже, кількість перестановок із першим елементомA одно 6.
Але та сама історія буде виходити, якщо ми на перше місце поставимо будь-якийіз цих чотирьох елементів. Вони ж рівноправні і кожен заслуговує опинитися на першому місці.) Значить, загальна кількість перестановок з чотирьох елементів буде рівним. Ось вони:
Отже, підсумуємо: перестановкою з n елементів називається будь-який упорядкованийнабір з цих nелементів.
Слово «упорядкований» тут є ключовим: кожна перестановка відрізняється лише порядком елементів, а самі елементи в наборі залишаються незмінними.
Залишилося тільки з'ясувати, чому дорівнює кількість таких перестановок з будь-якого числа елементів: адже ми не мазохісти, щоб щоразу виписувати Усерізні варіанти та їх підраховувати. :) Для 4-х елементів ми отримали 24 перестановки – це вже дуже багато для наочного сприйняття. А якщо елементів 10? Або 100? Добре було б сформулювати формулу, яка одним махом підраховувала б кількість всіх таких перестановок для будь-якого числа елементів. І така формула є! Зараз ми її виведемо.) Але спочатку сформулюємо одне дуже важливе у всій комбінаториці допоміжне правило, зване правилом твору .
Правило твору: якщо в наборі є n різних варіантів вибору першого елемента та для кожного з них є m різних варіантів вибору другого елемента, то можна скласти n·m різних пар цих елементів.
А тепер, нехай тепер є набір зn різних елементів
,
де, звісно, . Нам потрібно підрахувати кількість всіх можливих перестановок із елементів цього набору. Розмірковуємо так само.)) На перше місце можна поставити будь-який з цихn елементів. Це означає що кількість способів вибрати перший елемент дорівнює n .
Тепер уявімо, що перший елемент у нас обраний (n способами, як ми пам'ятаємо). Скільки невибраних елементів залишилось у наборі? Правильно,n-1 . :) Це означає, що другий елемент можна вибрати вже тількиn-1 методами. Третій -n-2 способами (бо 2 елементи вже обрані). І так далі, k-й елементможна вибратиn-(k-1) способами, передостанній - двома способами, а останній елемент - тільки одним способом, тому що всі інші елементи так чи інакше вже вибрано. :)
Що ж, тепер конструюємо формулу.
Отже, число способів вибрати перший елемент із набору дорівнюєn . на коженз цихn способів доводиться поn-1 способу вибрати другий. Це означає, що загальна кількість способів вибрати 1-й та 2-й елементи, відповідно до правилом твору, буде одноn(n-1) . Далі, на кожен із них, у свою чергу, припадає поn-2 способу вибрати третій елемент Значить, триелемента можна вибрати вжеn(n-1)(n-2) методами. І так далі:
4 елементи - 
способами,
k елементів способами,
n елементів методами.
Значить, nелементівможна вибрати (або у нашому випадку розташувати) способами.
Число таких способів позначається так:P n . Читається: «Пе з ен». Від французької « P ermutation – перестановка». У перекладі російською означає: «перестановка з n елементів».
Значить,
А тепер подивимося на вираз, що стоїть у правій частині формули. Нічого не нагадує? А якщо переписати праворуч наліво, ось так?
Ну звичайно! Факторіал, своєю персоною. :) Тепер можна коротко записати:
Значить, число всіхможливих перестановок з n різних елементів одно n! .
У цьому полягає основний практичний зміст факториала.))
Тепер ми з легкістю можемо відповісти на багато питань, пов'язаних із комбінаціями та перестановками.)
Скільки способів можна розмістити на полиці 7 різних книг?
P 7 = 7! = 1 · 2· 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040 способами.)
Скільки способами можна скласти розклад (на один день) з 6 різних предметів?
P 6 = 6! = 1 · 2· 3 · 4 · 5 · 6 = 720 методами.
Скільки способами можна розставити в колону 12 осіб?
Не питання! P 12 = 12! = 1 · 2В·3·...·12 = 479001600 методами. :)
Здорово, правда?
На тему перестановок є одне дуже відоме завдання-жарт:
Якось 8 приятелів зайшли до ресторану, в якому стояв великий круглий стіл, і довго сперечалися між собою, як їм краще сісти навколо цього столу. Сперечалися-сперечалися, поки, нарешті, господар ресторану не запропонував їм угоду: «Що ж ви сперечаєтеся? Голодним все одно ніхто з вас не залишиться:) Сядьте спершу хоч якось! Добре запам'ятайте сьогоднішню розсадку. Потім приходьте завтра і сідайте вже інакше. Наступного дня приходьте і сідайте знову по-новому! І так далі ... Як тільки ви переберете всі можливі варіанти розсадки і настане черга сісти знову так, як сьогодні, - то так вже й бути, обіцяю вас годувати у своєму ресторані безкоштовно! Хто залишиться у виграші – господар чи відвідувачі? :)
Що ж, рахуємо число всіх можливих варіантіврозсадження. У нашому випадку це число перестановок із 8 елементів:
P8 = 8! = 40320 способів.
Нехай на рік у нас 365 днів (високосні для простоти враховувати не будемо). Значить, навіть з урахуванням цього припущення, кількість років, яка буде потрібна, щоб перепробувати все можливі способипосадки, складе:
Понад 110 років! Тобто, навіть якщо наших героїв у візках привезуть у ресторан їхньої мами прямо з пологового будинку, то отримати свої безкоштовні обіди вони зможуть лише у віці дуже похилого віку. Якщо, звичайно, всі вісім доживуть до такого віку.))
Все тому, що факторіал - дуже функція, що дуже швидко зростає! Дивіться самі:
До речі, як з погляду перестановок виглядають рівності і1! = 1 ? А ось як: з порожнього набору (0 елементів) ми можемо скласти лише однуперестановка – порожній набір. :) Так само, як і з набору, що складається всього з одного елемента, ми можемо скласти лише однуперестановку - сам цей елемент.
Все зрозуміло з перестановками? Відмінно, тоді робимо завдання.)
Завдання 1
Обчисліть:
а)P 3 б)P 5
в)P 9:P 8 г)P 2000: P 1999
Завдання 2
Чи правда, що
Завдання 3
Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти
а) із цифр 1, 2, 3, 4
б) із цифр 0, 5, 6, 7?
Підказка до пункту б) число не може починатися з цифри 0!
Завдання 4
Слова та фрази з переставленими літерами називаються анаграмами. Скільки анаграм можна становити зі слова «гіпотенуза»?
Завдання 5
Скільки п'ятизначних чисел, що діляться на 4, можна скласти, змінюючи місцями цифри у числі 61135?
Підказка: згадати ознаку ділимості на 4 (за двома останніми цифрами)!
Відповіді безладно: 2000; 3628800; 9; 24; 120; 18; 12; 6.
Ну, як, все вийшло! Вітаю! Рівень 1 пройдено, переходимо на наступний. Називається " Розміщення без повторень."
ФАКТОРІАЛ.
Факторіал – так називають функцію, що часто зустрічається в практиці, визначену для цілих невід'ємних чисел. Назва функції походить від англійського математичного терміна factor- "Множник". Позначається вона n!. Знак факторіалу « ! » був введений в1808 у французькому підручнику Хр. Крампа.
Для кожного цілого позитивного числа nфункція n!дорівнює добутку всіх цілих чисел від 1 до n.
Наприклад:
4! = 1*2*3*4 = 24.
Для зручності вважають за визначенням 0! = 1 . Про те, що нуль - факторіал повинен бути за визначенням дорівнює одиниці, писав в 1656 Дж. Валліс в «Арифметиці нескінченних».
Функція n!зростає зі збільшенням nдуже швидко. Так,
(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)! (1)
Англійська математик Дж. Стірлінг 1970р. запропонував дуже зручну формулудля наближеного обчислення функції n!
де е = 2,7182... - основа натуральних логарифмів.
Відносна помилка при користуванні цією формулою дуже невелика і швидко падає зі збільшенням числа n.
Способи розв'язання виразів, що містять факторіал, розглянемо на прикладах.
Приклад 1. (n! + 1)! = (n! + 1) n! .
Приклад 2. Обчислити 10! 8!
Рішення.Скористаємося формулою (1):
10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!
Приклад 3. Вирішити рівняння (n + 3)! = 90 (n+1)!
Рішення.Згідно з формулою (1) маємо
= (n + 3) (n + 2) = 90.
(n + 3)! = (n + 3)(n+2)(n+1)!(n+1)! (n+1)!
Розкривши дужки у творі, отримуємо квадратне рівняння
n 2 + 5n - 84 = 0, корінням якого є числа n = 7 та n = -12. Однак факторіал визначений тільки для невід'ємних цілих чисел, тобто для всіх цілих чисел n ≥ 0. Тому число n = -12 не задовольняє умові задачі. Отже, n=7.
приклад 4.Знайти хоча б одну трійку натуральних чисел х, уі z, для якої правильна рівність х! = y! z!.
Рішення.З визначення факторіалу натурального числа n слід, що
(n+1)! = (n + 1) n!
Покладемо у цій рівності n + 1 = у! = х, де у- довільне натуральне число, отримаємо
Тепер бачимо, що трійки чисел можна задати у вигляді
(y!; y; y!-1) (2)
де y- натуральне число, більше 1.
Наприклад, справедливі рівності
Приклад 5.Визначити, скільки нулів закінчується десятковий запис числа 32!.
Рішення.Якщо десятковий запис числа Р= 32! закінчується kнулями, то число Рможна уявити у вигляді
Р = q 10 k ,
де число q не ділиться на 10. Це означає, що розкладання числа qна прості множники не містить одночасно 2 та 5.
Тому, щоб відповісти на поставлене запитання, спробуємо визначити, з якими показниками до твір 1 2 3 4 ... 30 31 32 входять числа 2 і 5. Якщо число k- найменший зі знайдених показників, число Р буде закінчуватися kнулями.
Отже, визначимо, скільки чисел серед натуральних чисел від 1 до 32 діляться на 2. Очевидно, що їхня кількість дорівнює 32/2 = 16. Потім визначимо, яка кількість серед знайдених 16 чисел ділиться на 4; потім - яка кількість із них ділиться на 8 і т. д. В результаті отримаємо, що серед тридцяти двох перших натуральних чисел на 2 ділиться 16 чисел,
їх на 4 діляться 32/4 = 8 чисел, їх на 8 діляться 32/8 = 4 числа, їх на 16 діляться 32/16 = 2 числа і, нарешті, їх на 32 діляться 32/32=1, тобто. одне число. Зрозуміло, що сума отриманих кількостей:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
дорівнює показнику ступеня, з яким число 2 входить до 32!
Аналогічно визначимо, скільки чисел серед натуральних чисел від 1 до 32 діляться на 5, а зі знайденої кількості на 10. Розділимо 32 на 5.
Отримаємо 32/5 = 6,4. Отже, серед натуральних чисел від 1 до 32
існує 6 чисел, що діляться на 5. З них на 25 ділиться одне
число, оскільки 32/25 = 1,28. В результаті число 5 входить до числа 32! з показником, рівним сумі 6+1 = 7.
З отриманих результатів випливає, що 32! = 231 5 7 т,де число тне ділиться ні на 2, ні на 5. Тож число 32! містить множник
10 7 і, отже, закінчується на 7 нулів.
Отже, у цьому рефераті визначено поняття факторіалу.
Наведено формулу англійської математики Дж Стірлінга для наближеного обчислення функції n!
При перетворенні виразів, що містять факторіал, корисно використовувати рівність
(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)!
На прикладах докладно розглянуто способи розв'язання задач із факторіалом.
Факторіал використовується в різних формулах комбінаторики,у лавах та ін.
Наприклад, кількість способів збудувати nшколярів в одну шеренгу дорівнює n!.
Число n! дорівнює, наприклад, кількості способів, якими можна розставити n різних книг на книжковій полиці, або, наприклад, число 5! і кількості способів, якими п'ять чоловік можна розсадити на одній лавці. Або, наприклад, число 27! так само кількості способів, якими наш клас з 27 учнів можна побудувати в ряд на уроці фізкультури.
Література
Рязановський А.Р., Зайцев Є.А.
Математика. 5-11 кл.: Додаткові матеріалидо уроку математики. -М.: Дрофа, 2001. - (Бібліотека вчителя).
Енциклопедичний словник молодого математика. / Упоряд. А.П.Савін.-М.: Педагогіка, 1985
Математика. Довідник школяра. / Упоряд. Г.М. Якушева. - М: Філолог. про-во «Слово», 1996.
Що таке факторіали та як їх вирішувати
Факторіал числа n, який в математиці позначають буквою латиниці n, після якої слідує знак оклику!. Виголошується голосом цей вислів як "н факторіал". Факторіал – це результат послідовного множення між собою послідовності натуральних чисел з 1 до шуканого числа n. Наприклад, 5! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5=720Факторіал числа n позначається латинською літерою n! і вимовляється як ен факторіал. Є послідовним перемноженням (твором) всіх натуральних чисел починаючи з 1 до числа n. Наприклад: 6! = 1 х 2 х 3 х 4 х 5 = 720
Факторіал має математичний зміст, тільки тоді, коли це число ціле і позитивне (натуральне). Цей сенс випливає із визначення факторіалу, т.к. всі натуральні числа невід'ємні та цілі. Значення факторіалів, а саме результат множення послідовності від одиниці до числа n, можна подивитися в таблиці факторіалів. Така таблиця можлива через те, що значення факторіалу будь-якого цілого числа відомо заздалегідь і є, так би мовити, табличним значенням.
За визначенням 0! = 1. Тобто якщо є нуль факторіал, ми нічого не перемножуємо і результат буде першим натуральним існуючим числом, тобто один.
Зростання функції факторіалу можна відобразити на графіку. Це буде дуга, схожа на функцію ікса у квадраті, яка прагнутиме швидко вгору.
Факторіал - є функцією, що швидко росте. Вона зростає за графіком швидше, ніж функція багаточлена будь-якого ступеня і навіть експонентна функція. Факторіал зростає швидше за багаточлена будь-якого ступеня та експоненційної функції (але при цьому повільніше подвійної експоненційної функції). Саме тому, щоб порахувати факторіал вручну можуть бути складності, тому що результатом може вийти дуже велике число. Щоб не рахувати факторіал вручну, можна скористатися калькулятором підрахунку факторіалів, за допомогою якого ви можете швидко отримати відповідь. Факторіал застосовується у функціональному аналізі, теорії чисел та комбінаториці, в якій має великий математичний зміст, пов'язаний з числом різноманітних невпорядкованих комбінацій об'єктів (чисел).
Безкоштовний онлайн калькулятор факторіалів
Наш безкоштовний вирішувач дозволяє розрахувати факторіали онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам потрібно зробити - це просто ввести свої дані в калькуляторі. Також ви можете дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете поставити їх у нашій групі Вконтакте.
ФАКТОРІАЛ.
Факторіал – так називають функцію, що часто зустрічається в практиці, визначену для цілих невід'ємних чисел. Назва функції походить від англійського математичного терміна factor- "Множник". Позначається вона n!. Знак факторіалу « ! » був введений в1808 у французькому підручнику Хр. Крампа.
Для кожного цілого позитивного числа nфункція n!дорівнює добутку всіх цілих чисел від 1 до n.
Наприклад:
4! = 1*2*3*4 = 24.
Для зручності вважають за визначенням 0! = 1 . Про те, що нуль - факторіал повинен бути за визначенням дорівнює одиниці, писав в 1656 Дж. Валліс в «Арифметиці нескінченних».
Функція n!зростає зі збільшенням nдуже швидко. Так,
(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)! (1)
Англійська математик Дж. Стірлінг 1970р. запропонував дуже зручну формулудля наближеного обчислення функції n!
де е = 2,7182... - основа натуральних логарифмів.
Відносна помилка при користуванні цією формулою дуже невелика і швидко падає зі збільшенням числа n.
Способи розв'язання виразів, що містять факторіал, розглянемо на прикладах.
Приклад 1. (n! + 1)! = (n! + 1) n! .
Приклад 2. Обчислити 10! 8!
Рішення.Скористаємося формулою (1):
10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!
Приклад 3. Вирішити рівняння (n + 3)! = 90 (n+1)!
Рішення.Згідно з формулою (1) маємо
= (n + 3) (n + 2) = 90.
(n + 3)! = (n + 3)(n+2)(n+1)!(n+1)! (n+1)!
Розкривши дужки у творі, отримуємо квадратне рівняння
n 2 + 5n - 84 = 0, корінням якого є числа n = 7 та n = -12. Однак факторіал визначений тільки для невід'ємних цілих чисел, тобто для всіх цілих чисел n ≥ 0. Тому число n = -12 не задовольняє умові задачі. Отже, n=7.
приклад 4.Знайти хоча б одну трійку натуральних чисел х, уі z, для якої правильна рівність х! = y! z!.
Рішення.З визначення факторіалу натурального числа n слід, що
(n+1)! = (n + 1) n!
Покладемо у цій рівності n + 1 = у! = х, де у- довільне натуральне число, отримаємо
Тепер бачимо, що трійки чисел можна задати у вигляді
(y!; y; y!-1) (2)
де y- натуральне число, більше 1.
Наприклад, справедливі рівності
Приклад 5.Визначити, скільки нулів закінчується десятковий запис числа 32!.
Рішення.Якщо десятковий запис числа Р= 32! закінчується kнулями, то число Рможна уявити у вигляді
Р = q 10 k ,
де число q не ділиться на 10. Це означає, що розкладання числа qна прості множники не містить одночасно 2 та 5.
Тому, щоб відповісти на поставлене запитання, спробуємо визначити, з якими показниками до твір 1 2 3 4 ... 30 31 32 входять числа 2 і 5. Якщо число k- найменший зі знайдених показників, число Р буде закінчуватися kнулями.
Отже, визначимо, скільки чисел серед натуральних чисел від 1 до 32 діляться на 2. Очевидно, що їхня кількість дорівнює 32/2 = 16. Потім визначимо, яка кількість серед знайдених 16 чисел ділиться на 4; потім - яка кількість із них ділиться на 8 і т. д. В результаті отримаємо, що серед тридцяти двох перших натуральних чисел на 2 ділиться 16 чисел,
їх на 4 діляться 32/4 = 8 чисел, їх на 8 діляться 32/8 = 4 числа, їх на 16 діляться 32/16 = 2 числа і, нарешті, їх на 32 діляться 32/32=1, тобто. одне число. Зрозуміло, що сума отриманих кількостей:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
дорівнює показнику ступеня, з яким число 2 входить до 32!
Аналогічно визначимо, скільки чисел серед натуральних чисел від 1 до 32 діляться на 5, а зі знайденої кількості на 10. Розділимо 32 на 5.
Отримаємо 32/5 = 6,4. Отже, серед натуральних чисел від 1 до 32
існує 6 чисел, що діляться на 5. З них на 25 ділиться одне
число, оскільки 32/25 = 1,28. В результаті число 5 входить до числа 32! з показником, рівним сумі 6+1 = 7.
З отриманих результатів випливає, що 32! = 231 5 7 т,де число тне ділиться ні на 2, ні на 5. Тож число 32! містить множник
10 7 і, отже, закінчується на 7 нулів.
Отже, у цьому рефераті визначено поняття факторіалу.
Наведено формулу англійської математики Дж Стірлінга для наближеного обчислення функції n!
При перетворенні виразів, що містять факторіал, корисно використовувати рівність
(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n - 1)!
На прикладах докладно розглянуто способи розв'язання задач із факторіалом.
Факторіал використовується в різних формулах комбінаторики,у лавах та ін.
Наприклад, кількість способів збудувати nшколярів в одну шеренгу дорівнює n!.
Число n! дорівнює, наприклад, кількості способів, якими можна розставити n різних книг на книжковій полиці, або, наприклад, число 5! і кількості способів, якими п'ять чоловік можна розсадити на одній лавці. Або, наприклад, число 27! так само кількості способів, якими наш клас з 27 учнів можна побудувати в ряд на уроці фізкультури.
Література
Рязановський А.Р., Зайцев Є.А.
Математика. 5-11 кл.: Додаткові матеріали для уроку математики. -М.: Дрофа, 2001. - (Бібліотека вчителя).
Енциклопедичний словник молодого математика. / Упоряд. А.П.Савін.-М.: Педагогіка, 1985
Математика. Довідник школяра. / Упоряд. Г.М. Якушева. - М: Філолог. про-во «Слово», 1996.
Запит нагадує, чому число, підняте до нульової потужності, дорівнює одиниці запит, який я дозволив у більш ранній статті. Крім того, дозвольте мені запевнити, що я раніше запевнив, пояснюючи цей очевидний, безсоромно прийнятий, але незрозумілий факт – ставлення не є довільним.
Існує три способи визначити, чому факторний нуль дорівнює одиниці.
Завершити шаблон
1! = 1 * 1 = 1
2! = 1 * 2 = 2
3! = 1 * 2 * 3 = 6
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
Якщо (n-1)! = 1 * 2 * 3 * 4
,(П-3) * (п-2) * (N-1)
Тоді, логічно, n! = 1 * 2 * 3 * 4
,(П-3) * (п-2) * (п-1) * п
Або, n! = n * (n-1)! - (i)
Якщо ви уважно подивіться ці стежки, картина покаже себе. Давайте завершимо його, поки він не зможе отримати законні результати:
4! / 4 = 3!
3! / 3 = 2!
2! / 2 = 1!
1! / 1 = 0!
Або 0! = 1
Можна прийти до такого результату, просто підключивши 1 для «n» (i), щоб отримати:
1! = 1 * (1-1)!
1 = 1 * 0!
Або 0! = 1
Однак це пояснення нічого не говорить про те, чому чинники негативних чисел не можуть існувати. Давайте знову звернемося до нашого шаблону, щоб дізнатися чому.
2! / 2 = 1!
1! / 1 = 0!
0! / 0 =
,Я погодився б, що ці методи трохи підозрілі; вони здаються лукавими, неявними способами визначення факторіалу нуля. Це схоже на суперечки на користь соломи. Однак можна знайти пояснення у полі, все його існування залежить від обчислення факторіалів – комбінаторики.
Домовленості
Розглянемо 4 стільці, які мають бути зайняті 4 людьми. Перший стілець може бути зайнятий будь-яким із цих чотирьох осіб, так що в результаті кількість виборів буде 4. Тепер, що один стілець зайнятий, у нас є 3 варіанти, які потенційно можуть бути зайняті для наступного голови. Аналогічним чином, наступний стілець представляє два варіанти, і останній стілець представляє один вибір; він зайнятий останньою людиною. Таким чином, загальна кількість виборів у нас є 4x3x2x1 або 4!. Або можна сказати, що є 4! способи організувати 4 різні випорожнення.
Отже, коли значення «n» дорівнює нулю, питання переводить до того, які різні способи організації нульового числа об'єктів? Один, звісно! Є лише одна перестановка або один спосіб нічого не влаштувати, бо нема чого влаштовувати. ЩО? Чесно кажучи, це стосується гілки філософії, хоча й одного з неприємних чи фальшивих уявлень про те, що першокурсники довіряють після прочитання Ніцше котирувань на Pinterest.
Давайте розглянемо приклад, який включає фізичні об'єкти, оскільки це може поліпшити розуміння. Факторіали також є центральними для комп'ютерних комбінацій – процесу, що також визначає механізми, але на відміну від перестановки порядок речей не має значення. Різниця між перестановкою та комбінацією полягає у відмінності між кодовим замком і чашею з меланжем із кубиків фруктів. Кодові замки часто помилково називаються кодовими замками, коли їх насправді називають перестановками, оскільки 123 і 321 не можуть їх розблокувати.
Загальна формула визначення кількості шляхів «k» об'єктів може бути організована серед «n» місць:
Зважаючи на те, що для визначення кількості способів вибору або об'єднання об'єктів «k» з об'єктів «n»:
Це дозволяє нам, скажімо, визначити кількість способів, за допомогою яких можна вибрати дві кульки з мішка, який містить п'ять куль різних кольорів. Оскільки порядок обраних куль не важливий, ми посилаємося на другу формулу для обчислення комбінацій, що тягнуть.
Отже, що, якщо значення «n» і «k» такі самі? Давайте замінимо ці значення та дізнаємося. Зауважимо, що факторіал нуля отримано у знаменнику.
Але як ми розуміємо цей математичний розрахунок візуально з погляду нашого прикладу? Розрахунок по суті є вирішенням питання, яке ставить питання: яка різна кількість способів, якими ми можемо вибрати три кульки з сумки, що містить тільки три кулі? Ну звичайно! Вибір їх у будь-якому порядку не вплине! Рівняння обчислення з одним та факторіалом нуля виявляється * барабанним валом *
..
