Розглянемо квадратне рівняння.
Визначимо його коріння.
Немає дійсного числа, квадрат якого дорівнює -1. Але якщо формулою визначити оператор iяк уявну одиницю, то розв'язання цього рівняння можна записати у вигляді 
. При цьому 
і 
- Комплексні числа, в яких -1 це дійсна частина, 2 або в другому випадку -2 - уявна частина. Уявна частина – це також дійсне (речове) число. Уявна частина, помножена на уявну одиницю, означає вже уявна кількість.
У загальному вигляді комплексне число має вигляд
z = x + iy ,
де x, y– речові числа, – уявна одиниця. У ряді прикладних наук, наприклад, в електротехніці, електроніці, теорії сигналів уявна одиниця позначається через j. Речові числа x = Re(z)і y =Im(z)називаються речовинної та уявної частинамичисла z.Вираз називається алгебраїчною формоюзаписи комплексного числа.
Будь-яке дійсне число є окремим випадком комплексного числа у вигляді 
. Уявне число теж окремий випадок комплексного числа 
.
Визначення безлічі комплексних чисел С
Цей вираз читається так: безліч З, що складається з елементів , таких як xі yналежать безлічі дійсних чисел Rі - це уявна одиниця. Зазначимо, що й т.д.
Два комплексні числа 
і 
рівні, якщо тільки якщо рівні їх дійсні і уявні частини, тобто. та .
Комплексні числа і функції широко використовуються в науці та техніці, зокрема, в механіці, аналізі та розрахунку ланцюгів змінного струму, аналогової електроніки, теорії та обробки сигналів, теорії автоматичного управління та ін прикладних науках.
- Арифметика комплексних чисел
Додавання двох комплексних чисел полягає у додаванні їх дійсних і уявних частин, тобто.
Відповідно різниця двох комплексних чисел
Комплексне число 
називається комплексно пов'язанимчислу z =x +iy.
Комплексно пов'язані числа z і z * відрізняються знаками уявної частини. Очевидно, що
.
Будь-яка рівність між комплексними виразами залишається справедливою, якщо у цій рівності всюди iзамінити на -
i, тобто. перейти до рівності сполучених чисел. Числа iі –
iалгебраїчно невиразні, оскільки 
.
Добуток (множення) двох комплексних чисел може бути обчислено наступним чином:
Розподіл двох комплексних чисел:
приклад:
- Комплексна площина
Комплексне число графічно можна у прямокутної системі координат. Задамо в площині прямокутну систему координат (x, y).
На осі Oxбудемо мати дійсні частини x, вона називається справжньою (речовинною) віссю, на осі Ой-Уявні частини yкомплексних чисел. Вона має назву уявної осі. При цьому кожному комплексному числу відповідає певна точка площини і така площина називається комплексною площиною. Точці Акомплексної площині буде відповідати вектор ОА.
Число xназивається абсцисоюкомплексного числа y – ординатою.
Пара комплексно сполучених чисел відображається точками, розташованими симетрично щодо дійсної осі.
 |
Якщо на площині поставити полярну систему координат, то кожне комплексне число zвизначається полярними координатами. При цьому модульчисла 
– це полярний радіус крапки, а кут 
- її полярний кут чи аргумент комплексного числа z.
Модуль комплексного числа 
завжди невід'ємний. Аргумент комплексного числа не визначається однозначно. Головне значення аргументу має задовольняти умову 
. Кожній точці комплексної площини відповідає також загальне значення аргументу. Аргументи, що відрізняються значенням, кратним 2π, вважаються рівними. Аргумент числа нуль не визначено.
Головне значення аргументу визначають за словами:
Очевидно, що
При цьому
, 
.
Подання комплексного числа zу вигляді
називається тригонометричною формою комплексного числа.
приклад.
- Показова форма комплексних чисел
Розкладання в ряд Маклоренадля функцій дійсного аргументу 
має вигляд:
Для експоненційної функції комплексного аргументу zрозкладання має аналогічний характер
.
Розкладання до ряду Маклорена для експоненційної функції уявного аргументу можна як
Тотоство, що вийшло, називається формулою Ейлера.
Для негативного аргументу воно має вигляд
Комбінуючи ці вирази, можна визначити такі вирази для синуса та косинуса
.
Користуючись формулою Ейлера, із тригонометричної форми подання комплексних чисел
можна отримати показову(Експоненційну, полярну) форму комплексного числа, тобто. його подання у вигляді
,
де 
- Полярні координати точки з прямокутними координатами ( x,y).
Число, пов'язане комплексному числу, у показовій формі записується наступним чином.
Для показової форми легко визначити наступні формули множення та поділу комплексних чисел
Тобто, у показовій формі твір та поділ комплексних чисел виконується простіше, ніж у формі алгебри. При множенні модулі помножувачів перемножуються, а аргументи складаються. Це правило поширюється на будь-яку кількість співмножників. Зокрема, при множенні комплексного числа zна iвектор zповертається проти годинникової стрілки на 90
При розподілі модуль чисельника ділиться на модуль знаменника, і з аргументу чисельника віднімається аргумент знаменника.
Використовуючи показову форму комплексних чисел, можна отримати вирази відомих тригонометричних тотожностей. Наприклад, з тотожності
за допомогою формули Ейлера можна записати
Прирівнюючи дійсну та уявну частини в даному виразі, отримуємо вирази для косинуса та синуса суми кутів.
- Ступені, коріння та логарифми комплексних чисел
Зведення комплексного числа у натуральний ступінь nпроводиться за формулою
приклад. Обчислимо 
.
Уявимо число у тригонометричній формі
’
Застосовуючи формулу зведення у ступінь, отримаємо
Поклавши у виразі значення r= 1, отримаємо так звану формулу Муавра, за допомогою якої можна визначати вирази синусів та косінусів кратних кутів.
Корінь n-й ступеня з комплексного числа zмає nрізних значень, що визначаються за виразом
приклад. Знайдемо.
Для цього висловимо комплексне число () до тригонометричної форми
.
За формулою обчислення кореня з комплексного числа, одержуємо
Логарифм комплексного числа z– це число w, для котрого . Натуральний логарифм комплексного числа має безліч значень і обчислюється за формулою
Складається з дійсної (косинусоїдальної) та уявної (синусоїдальної) частини. Таку напругу можна представляти як вектор довжиною U m, початковою фазою (кутом) , що обертається з кутовою швидкістю ω .
При цьому якщо комплексні функції складаються, то складаються їх речові та уявні частини. Якщо комплексна функція множиться на константу чи речову функцію, її речова і уявна частини множаться той самий множник. Диференціювання/інтегрування такої комплексної функції зводиться до диференціювання/інтегрування речовинної та уявної частини.
Наприклад, диференціювання виразу комплексної напруги
полягає в множенні його на iω - речова частина функції f(z), а 
- Уявна частина функції. Приклади: 
.
Значення zзображується точкою в комплексній площині z, а відповідне значення w- точкою в комплексній площині w. При відображенні w = f(z)лінії площини zпереходять у лінії площини w, фігури однієї площини фігури інший, але форми ліній або фігур можуть істотно змінитися.
