Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно в ознайомлювальних цілях і може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.
мета:підвищити мотивацію до навчання; розвивати обчислювальні навички, кмітливість, уміння працювати в команді.
хід заняття
Актуалізація знань. Сьогодні ми продовжимо говорити про окружності. Дозвольте нагадати визначення кола: що називається колом?
окружність - це лінія, що складається з усіх точок площини, які знаходяться на заданій відстані від однієї точки площини, яку називають центром кола.
На слайді зображена окружність, відзначений її центр - точка О, проведені два відрізки: ОА і СВ. Відрізок ОА з'єднує центр кола з точкою на колі. Він називається радіусом (по-латині radius - "спиця в колесі"). Відрізок СВ з'єднує дві точки кола і проходить через її центр. Це діаметр кола (в перекладі з грецького - "діаметр").
Також нам знадобиться визначення хорди окружності - це відрізок, що з'єднує дві точки кола (на малюнку - хорда DE).
Давайте з'ясуємо питання про взаємне розташування прямої та кола.
Наступне питання і він буде основним: з'ясувати властивості, якими володіють пересічні хорди, січні і дотичні.
Доводити ці властивості ви будете на уроках математики, а наше завдання навчитися застосовувати ці властивості при вирішенні завдань, так як вони знаходять широке застосування на іспитах і в формі ЄДІ, і в формі ДПА.
Завдання для команд.
- Зобразити і записати властивість пересічних в точці Р хорд КМ і NF.
- Зобразити і записати властивість дотичної КМ і січною КF.
- Зобразити і записати властивість січних КМ і МF.
Використовуючи дані на малюнку, знайдіть х. слайд 5-6
Хто швидше, правильніше. З подальшим обговоренням і перевіркою рішення всіх задач. Відповідають заробляють для своєї команди заохочувальні бали.
Ну, а тепер приступимо до вирішення більш серйозних завдань. Вашій увазі пропонується три блоки: пересічні хорди, дотична і січна, дві січні. Докладним чином розберемо рішення по одній задачі з кожного блоку.
(Розбирається рішення з докладним записом №4, №7, №12)
2. Практикум з розв'язання задач
а) Пересічні хорди
1. E - точка перетину хорд AB і CD. AE \u003d 4, AB \u003d 10, СE: ED \u003d 1: 6. Знайти CD.
Рішення:
2. E - точка перетину хорд AB і CD. AB \u003d 17, CD \u003d 18, ED \u003d 2CE. Знайти AE і BE.
Рішення:
3. E - точка перетину хорд AB і CD. AB \u003d 10, CD \u003d 11, BE \u003d CE + 1. Знайти CE.
Рішення:
4. E - точка перетину хорд AB і CD. ED \u003d 2AE, CE \u003d DE-1, BE \u003d 10. Знайти CD.
Рішення:
б) Дотична і січна
5. З однієї точки проведені до кола дотична і січна. Дотична дорівнює 6, січна - 18. Визначити внутрішній відрізок січної.
Рішення:
6. З однієї точки проведені до кола дотична і січна. Знайти дотичну, якщо відомо, що вона менше внутрішнього відрізка січної на 4 і більше зовнішнього відрізка на 4.
Рішення:
7. З однієї точки проведені до кола дотична і січна. Знайти січну, якщо відомо, що внутрішній її відрізок відноситься до зовнішнього, як 3: 1, а довжина дотичної дорівнює 12.
Рішення:
8. З однієї точки проведені до кола дотична і січна. Знайти зовнішній відрізок, січною, якщо відомо, що внутрішній її відрізок 12, а довжина дотичної 8.
Рішення:
9. Дотична і січна, які виходять з однієї точки, відповідно рівні 12 і 24. Визначити радіус кола, якщо січна віддалена від центру на 12.
Рішення:
в) Дві січні
10. З однієї точки проведені до кола дві січні, внутрішні відрізки яких відповідно рівні 8 і 16. Зовнішній відрізок другої січною на 1 менше зовнішнього відрізка першої. Знайти довжину кожної січної.
Рішення:
11. З однієї точки проведені до кола дві січні. Зовнішній відрізок першої січною відноситься до свого внутрішнього, як 1: 3. Зовнішній відрізок другої січною на 1 менше зовнішнього відрізка першої і відноситься до свого внутрішнього відрізку, як 1: 8. Знайти довжину кожної січної.
Рішення:
12. Через точку А, яка знаходиться поза колом на відстані 7 від її центру, проведено пряма, яка перетинає коло в точках В і С. Знайдіть довжину радіусу кола, якщо АВ \u003d 3, ВС \u003d 5.
Рішення:
13. З точки А проведені до кола січна довжиною 12 см і дотична, складова внутрішнього відрізка січної. Знайдіть довжину дотичної.
Рішення:
- 10,5; 17,5
- 12;18
3. Закріплення знань
Вважаю, що ви володієте достатнім запасом знань, щоб відправиться в невелику подорож по лабіринтах вашого інтелекту, відвідавши такі станції:
- Міркуй-ка!
- Вирішуй-ка!
- Відповідай-ка!
На станції можна перебувати не більше 6 хвилин. За кожне вірне рішення задачі команда отримує заохочувальні бали.
Командам вручаються маршрутні листи:
Маршрутний лист
| станція | номери завдань | Відмітка про рішення |
| Вирішуй-ка! | №1, №3 | |
| Міркуй-ка! | №5, №8 | |
| Відповідай-ка! | №10, №11 |
Хотілося б підвести підсумки нашого заняття:
Окрім нових знань сподіваюся, ви краще познайомилися один з одним, набули досвіду роботи в команді. А як ви думаєте, отримані знання знаходять десь застосування в житті?
Поет Г. Лонгфелло був ще і математиком. Напевно, тому яскраві образи, що прикрашають математичні поняття, які він використовував у своєму романі "Каванго", дозволяють відобразити на все життя деякі теореми і їх застосування. Читаємо в романі наступне завдання:
"Лілія, на одну п'ядь піднімалася над поверхнею води, під поривом свіжого вітру торкнулася поверхні озера в двох ліктів колишнього місця; виходячи з цього потрібно визначити глибину озера "(1 п'ядь дорівнює 10 дюймам, 2 ліктя - 21 дюйму).
А вирішується ця задача на основі властивості пересічних хорд. Подивіться на малюнок, і стане ясно, як знаходиться глибина озера.
Рішення:
§ 11. Пропорційні відрізки в колі.
1. Ферма моста обмежена дугою кола (рис. 38); висота ферми MK \u003d h \u003d 3 м; радіус дуги АМВ прольоту R \u003d 8,5 м. Обчислити довжину АВ прольоту моста.
2. У склепінчастому підвалі, що має форму напівциліндра, треба поставити дві стійки, кожну на однаковій відстані від найближчої стіни. Визначити висоту стійок, якщо ширина підвалу по низу дорівнює 4 м, а відстань між стійками 2 м.
3. 1) З точки окружності проведений перпендикуляр на діаметр. Визначити його довжину при наступній довжині відрізків діаметра: 1) 12 см і3 см; 2) 16см і 9 см, 3) 2 м і 5 дм.
2) З точки діаметру проведений перпендикуляр до перетину з колом. Визначити довжину цього перпендикуляра, якщо діаметр дорівнює 40 см, а проведений перпендикуляр відстоїть від одного з кінців діаметру на 8 см.
4. Діаметр розділений на відрізки: АС \u003d 8 дм і СВ \u003d 5 м, і з точки С проведений до нього перпендикуляр CD даної довжини. Вказати положення точки D відносно кола, коли CD дорівнює: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.
5. АСВ-півколо; CD - перпендикуляр на діаметр АВ. потрібно:
1) визначити DB, якщо AD \u003d 25 і CD \u003d 10;
2) визначити АВ, якщо AD: DB \u003d 4: 9 і CD \u003d 30;
3) визначити AD, якщо CD \u003d 3AD, а радіус дорівнює r;
4) визначити AD, якщо АВ \u003d 50 і CD \u003d 15.
6. 1) Перпендикуляр, опущений з точки окружності на радіус, рівний 34 см, ділить його у відношенні 8: 9 (починаючи від центру). Визначити довжину перпендикуляра.
2) Хорда BDC перпендикулярна до радіуса ODA. Визначити ВС, якщо АТ \u003d 25 см і AD \u003d 10 см.
3) Ширина кільця, утвореного двома концентричними колами, дорівнює 8 дм; хорда більшої окружності, дотична до меншої, дорівнює 4 м. Визначити радіуси кіл.
7. За допомогою порівняння відрізків довести, що середнє арифметичне двох нерівних чисел більше їх середнього геометричного.
8. Побудувати відрізок, середній пропорційний між відрізками 3 см і 5 см.
9. Побудувати відрізок, рівний: √15; √10; √6; √3.
10. ADB-діаметр; АС-хорда; CD-перпендикуляр до діаметру. Визначити хорду АС: 1) якщо АВ \u003d 2 м і AD \u003d 0,5 м; 2) якщо AD \u003d 4 см і DB \u003d 5 см; 3) якщо AB \u003d 20 м і DB \u003d 15 м.
11. АВ-діаметр; АС-хорда; AD-її проекція на діаметр АВ. потрібно:
1) визначити AD, якщо АВ \u003d 18 см і АС \u003d 12 см;
2) визначити радіус, якщо AС \u003d 12 м і AD \u003d 4 м;
3) визначити DB, якщо AС \u003d 24 см і DB \u003d 7/9 AD.
12. АВ-діаметр; АС-хорда; AD-її проекція на діаметр АВ. потрібно:
1) визначити АС, якщо АВ \u003d 35 см і AC \u003d 5AD;
2) визначити АС, якщо радіус дорівнює r і AC \u003d DB.
13. Дві хорди перетинаються всередині кола. Відрізки однієї хорди рівні 24 см і 14 см; один з відрізків іншої хорди дорівнює 28 см. Визначити другий її відрізок.
14. Мостова ферма обмежена дугою кола (рис. 38); довжина моста АВ \u003d 6 м, висота А \u003d 1,2 м. Визначити радіус дуги (OM \u003d R).
15. Два відрізка АВ і CD перетинаються в точці М так, що МА \u003d 7 см, MB \u003d 21 см,
МС \u003d 3 см і MD \u003d 16 см. Лежать чи точки А, В, С і D на одному колі?
16. Довжина маятника MA \u003d l \u003d 1 м (рис. 39), висота підйому його, при відхиленні на кут α, CA \u003d h\u003d 10 см. Знайти відстань ВС точки В від МА (ВС \u003d х).
17. Для перекладу залізничної колії шириною b \u003d 1,524 м в місці АВ (рис. 40) зроблено закруглення; при цьому виявилося,; що BС \u003d а \u003d 42,4 м. Визначити радіус заокруглення OA \u003d R.
18. Хорда АМВ повернена близько точки М так, що відрізок МА збільшився в 2 1/2 рази. Як змінився відрізок MB?
19. 1) З двох пересічних хорд одна розділилася на частини в 48 см і 3 см, а інша - навпіл. Визначити довжину другої хорди.
2) З двох пересічних хорд одна розділилася на частини в 12 м і 18 м, а інша-в відношенні 3: 8. Визначити довжину другої хорди.
20. З двох пересічних хорд перша дорівнює 32 см, а відрізки інший хорди рівні
12 см і 16 см. Визначити відрізки першої хорди.
21. Січна ABC повернена близько зовнішньої точки А так, що зовнішній її відрізок АВ зменшився в три рази. Як змінилася довжина січною?
22. Нехай ADB і AЕС-дві прямі, які перетинають окружність: перша -в точках D і В, друга-в точках E і С. Потрібно:
1) визначити АЕ, якщо AD \u003d 5 см, DB \u003d 15 см і АС \u003d 25 см;
2) определітьBD, якщо АВ \u003d 24 м, АС \u003d 16 м і ЄС \u003d 10м;
3) визначити АВ і АС, якщо АВ + АС \u003d 50 м, a AD: AE \u003d 3: 7.
23. Радіус кола дорівнює 7 см. З точки, віддаленої від центру на 9 см, проведена січна так, що вона ділиться колом навпіл. Визначити довжину цієї січної.
24. МАВ і MCD-дві \u200b\u200bсічні до однієї окружності. потрібно:
1) визначити CD, якщо МВ \u003d 1 м, MD \u003d 15 дм і CD \u003d MA;
2) визначити MD, якщо MA \u003d 18 см, АВ \u003d 12 см і MC: CD \u003d 5: 7;
3) визначити АВ, якщо АВ \u003d МС, МА \u003d 20 і CD \u003d 11.
25. Дві хорди продовжені до взаємного перетину. Визначити довжину отриманих продовжень, якщо хорди рівні а і b, А їх продовження відносяться, як т: п.
26. З однієї точки проведені до кола січна і дотична. Визначити довжину дотичної, якщо зовнішній і внутрішній відрізки січною відповідно виражаються наступними числами: 1) 4 і 5; 2) 2,25 і 1,75; 3) 1 і 2.
27. Дотична дорівнює 20 см, а найбільша січна, проведена з тієї ж точки, дорівнює 50 см. Визначити радіус кола.
28. Січна більше свого зовнішнього відрізка в 2 1/4 рази. У скільки разів вона більше дотичній, проведеної з тієї ж точки?
29. Загальна хорда двох пересічних кіл продовжена, і з точки, взятої на продовженні, проведені до них дотичні. Довести, що вони рівні.
30. На одній стороні кута А відкладено один за іншим відрізки: АВ \u003d 6 см і ВС \u003d 8 см; а на іншій стороні відкладений відрізок AD \u003d 10 см. Через точки В, С і D проведена окружність. Дізнатися, чи стосується цієї окружності пряма AD, а якщо немає, то чи буде точка D першої (рахуючи від A) або другою точкою перетину.
31. Нехай буде: АВ-дотична і ACD-січна тієї ж кола. потрібно:
1) визначити CD, якщо АВ \u003d 2 см і AD \u003d 4 см;
2) визначити AD, якщо AC: CD \u003d 4: 5 і АВ \u003d 12 см;
3) визначити АВ, якщо AB \u003d CD і АС \u003d а.
32. 1) Як далеко видно з повітряної кулі (рис. 41), що піднявся на висоту 4 км над землею (радіус землі дорівнює \u003d 6370 км)?
2) Гора Ельбрус (на Кавказі) піднімається над рівнем моря на 5 600 м. Як далеко можна бачити з вершини цієї гори?
3) М - спостережний пункт висотою А метрів над землею (рис. 42); радіус землі R, МТ \u003d d є найбільше видиме відстань. Довести, що d \u003d √2R h+ h 2
Зауваження. Так як h 2 внаслідок своєї малості порівняно з 2R h на результат майже не впливає, то можна користуватися наближеною формулою d≈ √2R h .
33. 1) Дотична і січна, що виходять з однієї точки, відповідно рівні 20 см і 40 см; січна віддалена від центру на 8 см. Визначити радіус кола.
2) Визначити відстань від центру до тієї точки, з якої виходять дотична і січна, якщо вони відповідно рівні 4 см і 8 см, а січна віддалена від центру на
12 см.
34. 1) З загальної точки проведені до кола дотична і січна. Визначити довжину дотичної, якщо вона на 5 см більше зовнішнього відрізка січної і на стільки ж менше внутрішнього відрізка.
2) З однієї точки проведені до кола січна і дотична. січна дорівнює а, А її внутрішній відрізок більше зовнішнього відрізка на довжину дотичної. Визначити дотичну.
36. З однієї точки проведені до однієї окружності дотична і січна. Дотична більше внутрішнього і зовнішнього відрізків січної відповідно на 2 см і 4 см. Визначити довжину січною.
36. З однієї точки проведені до кола дотична і січна. Визначити їх довжину, якщо дотична на 20 см менше внутрішнього відрізка січної і на 8 см більше зовнішнього відрізка.
37. 1) З однієї точки проведені до кола січна і дотична. Сума їх дорівнює 30 см, а внутрішній відрізок січної на 2 см менше дотичній. Визначити січну і дотичну.
2) З однієї точки проведені до кола січна і дотична. Сума їх дорівнює 15 см, а зовнішній відрізок січною на 2 см менше дотичній. Визначити січну і дотичну.
38. Відрізок АВ продовжений на відстань ВС. На АВ і АС, як на діаметрах, побудовані окружності. До відрізку АС в точці В проведений перпендикуляр BD до перетину з більшою окружністю. З точки С проведена дотична СК до меншої окружності. Довести, що CD \u003d СК.
39. До даної окружності проведено дві паралельні дотичні і третя дотична, яка перетинає їх. Радіус є середня пропорційна між відрізками третьої дотичній. Довести.
40. Дано дві паралельні прямі на відстані 15 дм одна від одної; між ними дана точка М на відстані 3 дм від однієї з них. Через точку М проведено коло, дотична до обох паралелей. Визначити відстань між проекціями центру і точки М на одну з даних паралелей.
41. У коло радіуса r вписаний трикутник, у якого сума висоти та підстави дорівнює діаметру кола. Визначити висоту.
42. Визначити радіус кола, описаного близько рівнобедреного трикутника: 1) якщо основа дорівнює 16 см, а висота 4 см; 2) якщо бічна сторона дорівнює 12 дм, а висота 9 дм; 3) якщо бічна сторона дорівнює 15 м, а підстава 18 м.
43. У трикутник основа дорівнює 48 дм, а бічна сторона дорівнює 30 дм. Визначити радіуси кіл, описаного і вписаного, і відстань між їх центрами.
44. Радіус дорівнює r, Хорда даної дуги дорівнює а. Визначити хорду подвоєною дуги.
45. Радіус кола дорівнює 8 дм; хорда АВ дорівнює 12 дм. Через точку А проведена дотична, а з точки В-хорда ВС, паралельна дотичній. Визначити відстань між дотичній і хордою ВС.
46. \u200b\u200bТочка А віддалена від прямої MN на відстань з. даним радіусом r описана окружність так, що вона проходить через точку А і стосується лінії MN. Визначити відстань між отриманої точкою дотику і цією точкою А.
теорема 111. 1) Перпендикуляр, опущений з якої-небудь точки окружності на діаметр, среднепропорціонален між частинами діаметра. Цей перпендикуляр називається іноді ординатою.
2) Хорда, що з'єднує кінець діаметра з точкою кола, среднепропорционального між діаметром і відрізком, прилежащем хорді.
Дано. Опустимо з якої-небудь точки C окружності перпендикуляр CD на діаметр AB (рис. 169).
Потрібно довести, що 1) AD / CD \u003d CD / DB, а також 2) AD / AC \u003d AC / AB.
Доведення. З'єднаємо точку C з кінцями діаметру AB, тоді при точці C утворюється прямий кут ACB, в якому відрізок CD є перпендикуляр, опущений з вершини прямого кута на гіпотенузу.
На підставі теореми 100 має місце пропорція:
на підставі теореми 101 пропорція:
AD / AC \u003d AC / AB, DB / CB \u003d CB / AB (1)
слідство. Квадрати хорд відносяться як відповідні відрізки діаметру.
Доведення. З пропорції (1) слідують рівності:
AC 2 \u003d AB · AD, CB 2 \u003d AB · BD
звідки по поділі знаходимо:
AC 2 / CB 2 \u003d AD / DB.
теорема 112. Частини пересічних хорд обернено пропорційні між собою.
Дано дві пересічні хорди AB і CD (рис. 170).
Потрібно довести, що
т. е. велика частина першої хорди відноситься до більшої частини другої як менша частина другої хорди до меншої частини першої.
Доведення. З'єднаємо точку A з C і B з D, тоді утворюються два подібних трикутника ACE і DBE, бо кути при точці E рівні як вертикальні, ∠CAB \u003d ∠CDB як спираються на кінці дуги CB, ∠ACD \u003d ∠ABD як спираються на кінці дуги AD.
З подоби трикутників ACE і DBE випливає пропорція:
BE / DE \u003d CE / AE (a)
З пропорції (a) випливає рівність:
BE · AE \u003d DE · CE
що показує, що твір відрізків однієї дорівнює добутку відрізків інший хорди.
теорема 113. Дві січні, проведені з однієї і тієї ж точки поза колом, обернено пропорційні зовнішнім своїм частинам.
Дано дві січні AB і AC, проведені з точки A (рис 171).
Потрібно довести, що
т. е. перша січна відноситься до другої, як зовнішня частина другої відноситься до зовнішньої частини першої січною.
Доведення. З'єднаємо точки D з C, а B з E.
Два трикутника ∠ABE і ∠ADC подібні, бо кут A загальний, B \u003d C як спираються на кінці однієї і тієї ж дуги DE, отже і ∠ADC \u003d ∠AEB.
З подоби трикутників ADC і ABE випливає пропорція:
AC / AB \u003d AD / AE (ЧТД).
З цієї ж пропорції випливає рівність
AC · AE \u003d AB · AD
що показує, що твір січною на її зовнішній відрізок дорівнює добутку іншого січною на її відрізок (Якщо січні виходять з однієї точки).
теорема 114. Дотична среднепропорционального між цілою січною і зовнішньої її частиною.
Дана дотична AB і січна BC (рис. 172).
Потрібно довести, що
Доведення. З'єднаємо точку A з точками C і D.
Трикутники ABC і ABD подібні, бо кут B загальний, ∠BAD \u003d ∠ACD, отже, ∠CAB \u003d ∠ADB.
BC / AB \u003d AB / BD (ЧТД).
З цієї пропорції випливає рівність:
AB 2 \u003d BC · BD
що показує, що квадрат дотичній дорівнює добутку січної на зовнішню її частину.
Властивість сторін вписаного чотирикутника
теорема 115. У всякому чотирикутнику, вписанном в коло, твір діагоналей дорівнює сумі творів протилежних сторін.
Це припущення, відоме під ім'ям теореми Птоломея, зустрічається в перший раз в творі Птоломея «Альагест» у II столітті по Р. Х.
Дан вписаний чотирикутник ABCD (рис. 173) і проведені діагоналі AC і BD.
Потрібно довести, що AC · BD \u003d AB · CD + BC · AD.
Доведення. Проведемо пряму BE так, щоб кут EBC дорівнював кутку ABD. Два трикутника ABD і BEC подібні, бо ∠ABD \u003d ∠CBE з побудови, ∠ADB \u003d ∠BCE як спираються на одну й ту ж дугу AB, отже,
З подоби цих трикутників випливає пропорція:
BC / BD \u003d EC / AD (a)
Трикутники ABE і BCD подібні, бо ∠ABE \u003d ∠DBC з побудови, ∠BAE \u003d ∠BDC як спираються на дугу BC, отже,
∠BEA \u003d ∠BCD.
З подоби цих трикутників випливає пропорція:
AB / BD \u003d AE / CD (b)
З пропорцій (a) і (b) випливають рівності:
BC · AD \u003d BD · EC
AB · CD \u003d BD · AE
Склавши ці рівності, маємо:
BC · AD + AB · CD \u003d BD · EC + BD · AE \u003d BD (EC + AE)
Так як EC + AE \u003d AC, то
BD · AC \u003d BC · AD + AB · CD (ЧТД).
теорема 116. У всякому вписанном чотирикутнику діагоналі відносяться як суми творів сторін, що спираються на кінці діагоналей.
Дан вписаний чотирикутник ABCD (рис. 174) і проведені діагоналі AC і BD.
Потрібно довести, що
BD / AC \u003d (AD · DC + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)
Доведення. а) Від точки B відкладемо дугу BE рівну DC і з'єднаємо точку E з точками A, B, D.
Для вписаного чотирикутника ABED має місце рівність:
AE · BD \u003d AD · BE + AB · DE.
Так як BE \u003d CD з побудови, DE \u003d BC, бо ◡DE \u003d ◡DC + ◡CE і ◡BC \u003d ◡BE + ◡CE.
Замінивши BE і DE їх величинами, маємо рівність:
AE · BD \u003d AD · CD + AB · BC (a)
b) Відклавши від точки A дугу AF рівну дузі BC і з'єднавши точку F з точками A, D, C, маємо для чотирикутника AFCD рівність:
AC · DF \u003d AF · CD + AD · CF
У цій рівності AF \u003d BC з побудови, CF \u003d AB (бо ◡CF \u003d ◡BC + ◡BF і ◡AB \u003d ◡AF + ◡BF \u003d ◡BC + ◡BF)
Замінюючи величини AF і CF їх величинами, знайдемо рівність:
AC · DF \u003d BC · CD + AD · AB (b)
У равенствах (a) і (b) відрізки AE і DF рівні, бо
◡ADE \u003d AD + DE \u003d ◡AD + ◡BC \u003d ◡AD + ◡AF \u003d ◡DAF
Поділяючи рівності (a) і (b), знаходимо:
BC / AD \u003d (AD · C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)(ЧТД).
Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір і використання персональної інформації
Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.
Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
- Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
винятки:
- У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.
Захист особистих даних
Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.
Розглянемо спочатку січну АС, проведену з зовнішньої по відношенню до даної окружності точки А (рис. 288). З тієї ж точки проведемо дотичну АТ. Будемо називати відрізок між точкою А і найближчою до неї точкою перетину з колом зовнішньої частиною січною (відрізок АВ на рис. 288), відрізок же АС до більш далекій з двох точок перетину - просто січною. Відрізок дотичній від А до точки дотику також коротко називаємо дотичній. тоді справедлива
Теорема. Твір січною на її зовнішню частину дорівнює квадрату дотичній.
Доведення. З'єднаємо точку. Трикутники ACT і ВТ А подібні, так як кут при вершині А у них загальний, а кути ACT і рівні, оскільки обидва вони вимірюються половиною однієї і тієї ж дуги ТВ. Отже, Звідси отримуємо необхідний результат:
Дотична дорівнює середньому геометричному між січною, проведеної з тієї ж точки, і її зовнішньою частиною.
Слідство. Для будь-якої січною, проведеної через дану точку А, твір її довжини на зовнішню частину постійно:
Розглянемо тепер хорди, що перетинаються у внутрішній точці. Справедливо твердження:
Якщо дві хорди перетинаються, то твір відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків інший (маються на увазі відрізки, на які хорда розбивається точкою перетину).
Так, на рис. 289 хорди АВ і CD перетинаються в точці М, і ми маємо Інакше кажучи,
Для даної точки М твір відрізків, на які вона розбиває будь-яку проходить через неї хорду, постійно.
Для доказу зауважимо, що трикутники МВС і MAD подібні: кути СМВ і DMA вертикальні, кути MAD і МСВ спираються на одну й ту ж дугу. Звідси знаходимо
що і потрібно було довести.
Якщо дана точка М лежить на відстані l від центру, то, провівши через неї діаметр і розглядаючи його як одну з хорд, знайдемо, що твір відрізків діаметра, а значить, і будь-який інший хорди, дорівнює Воно ж одно квадрату мінімальної полухорди (перпендикулярної до зазначеному діаметру), що проходить через М.
Теорема про сталість твори відрізків хорди і теорема про сталість твори січною на її зовнішню частину суть два випадки одного і того ж твердження, відмінність полягає лише в тому, чи проводяться січні через зовнішню чи внутрішню точку кола. Тепер можна вказати ще одна ознака, який відрізняє вписані чотирикутники:
У всякому вписанном чотирикутнику твори відрізне, на які розбиваються діагоналі точкою їх перетину, рівні.
Необхідність умови очевидна, так як діагоналі будуть хордами описаного кола. Можна показати, що ця умова також і досить.
