Закон збереження енергії ланцюгів постійного струму. Закон збереження енергії у конденсаторних схемах Закон збереження електричної енергії

Є однією з форм закону збереження енергії та належать до фундаментальних законів природи.

Перший закон Кірхгофа є наслідком принципу безперервності електричного струму, відповідно до якого сумарний потік зарядів через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю, тобто. кількість зарядів, що виходять через цю поверхню, повинна дорівнювати кількості вхідних зарядів. Підстава цього принципу очевидно, т.к. при його порушенні електричні зарядиусередині поверхні мали або зникати, або виникати без видимих причин.

Якщо заряди переміщуються всередині провідників, вони утворюють у яких електричний струм. Розмір електричного струму може змінитися лише у вузлі ланцюга, т.к. зв'язки вважаються ідеальними провідниками. Тому, якщо оточити вузол довільною поверхнею S(Рис. 1), то потоки зарядів через цю поверхню будуть тотожні струмам у провідниках утворюють вузол і сумарний струм у вузлі повинен дорівнювати нулю.

Для математичного запису цього закону необхідно прийняти систему позначень напрямків струмів стосовно розглянутого вузла. Можна вважати струми спрямовані до вузла позитивними, як від вузла – негативними. Тоді рівняння Кірхгофа для вузла рис. 1 матиме вигляд або .

Узагальнюючи сказане на довільне число гілок, що сходяться у вузлі, можна сформулювати перший закон Кірхгофа наступним чином:

Очевидно, що обидві формулювання рівноцінні та вибір форми запису рівнянь може бути довільним.

При складанні рівнянь за першим законом Кірхгофа напрямки струмів у гілках електричного ланцюга обирають зазвичай довільно . При цьому необов'язково навіть прагнути, щоб у всіх вузлах ланцюга були присутні струми різних напрямків. Може вийти так, що в будь-якому вузлі всі струми гілок, що сходяться в ньому, будуть направлені до вузла або від вузла, порушуючи тим самим принцип безперервності. У цьому випадку в процесі визначення струмів один або кілька з них виявляться негативними, що свідчить про перебіг цих струмів у протилежному напрямку спочатку прийнятому.

Другий закон Кірхгофа пов'язані з поняттям потенціалу електричного поля, як роботи, здійснюваної під час переміщення одиничного точкового заряду у просторі. Якщо таке переміщення відбувається по замкнутому контуру, то сумарна робота при поверненні у вихідну точку дорівнюватиме нулю. В іншому випадку шляхом обходу контуру можна було б отримувати енергію, порушуючи закон її збереження.

Кожен вузол або точка електричного ланцюга має власний потенціал і, переміщаючись уздовж замкнутого контуру, ми виконуємо роботу, яка при поверненні у вихідну точку дорівнюватиме нулю. Це властивість потенційного електричного поля та описує другий закон Кірхгофа у застосуванні до електричного ланцюга.

Він також як і перший закон формулюється у двох варіантах, пов'язаних з тим, що падіння напруги на джерелі ЕРС чисельно дорівнює електрорушійній силі, але має протилежний знак. Тому, якщо якась гілка містить опір і джерело ЕРС, напрямок якої згідно з напрямком струму, то при обході контуру ці два складові падіння напруги будуть враховуватися з різними знаками. Якщо ж падіння напруги на джерелі ЕРС врахувати в іншій частині рівняння, його знак буде відповідати знаку напруги на опорі.

Сформулюємо обидва варіанти другого закону Кірхгофа , т.к. вони принципово рівноцінні:

Примітка:знак + вибирається перед падінням напруги на резисторі, якщо напрямок протікання струму через нього та напрямок обходу контуру збігаються; для падінь напруги на джерелах ЕРС знак + вибирається, якщо напрям обходу контуру та напрям дії ЕРС зустрічні незалежно від напрямку протікання струму;

Примітка:знак + для ЕРС вибирається в тому випадку, якщо напрямок її дії збігається з напрямом обходу контуру, а для напруг на резисторах знак + вибирається, якщо в них збігаються напрямок протікання струму та напрямок обходу.

Тут як і у першому законі обидва варіанти коректні, але практично зручніше використовувати другий варіант, т.к. у ньому простіше визначити знаки доданків.

За допомогою законів Кірхгофа для будь-якого електричного ланцюга можна скласти незалежну систему рівнянь та визначити будь-які невідомі параметри, якщо їх кількість не перевищує число рівнянь. Для виконання умов незалежності ці рівняння мають складатись за певними правилами.

Загальна кількість рівнянь Nу системі дорівнює числу гілок мінус число гілок, містять джерела струму , тобто. .

Найбільш простими за висловами є рівняння за першим законом Кірхгофа, проте їх кількість не може бути більшою за кількість вузлів мінус один.

Відсутні рівняння складаються у другому закону Кірхгофа, тобто.

Сформулюємо алгоритм складання системи рівнянь за законами Кірхгофа:

Примітка:Знак ЕРС вибирають позитивним, якщо напрямок її дії збігається з напрямом обходу незалежно від напрямку струму; а знак падіння напруги на резистори приймають позитивним, якщо напрям струму в ньому збігається з напрямом обходу.

Розглянемо цей алгоритм з прикладу рис 2.

Тут світлими стрілками позначені вибрані довільно вибрані напрями струмів у гілках ланцюга. Струм у галузі з може бути обраний довільно, т.к. тут він визначається дією джерела струму.

Число гілок ланцюга дорівнює 5, а т.к. одна з них містить джерело струму, то загальна кількість рівнянь Кірхгофа дорівнює чотирьом.

Число вузлів ланцюга дорівнює трьом ( a, bі c), тому кількість рівнянь за першим закономКірхгофа дорівнює двом і їх можна складати для будь-якої пари з цих трьох вузлів. Нехай це будуть вузли aі bтоді

За другим законом Кірхгофа потрібно скласти два рівняння. Усього для даного електричного ланцюга можна скласти шість контурів. З цього числа потрібно виключити контури, що замикаються по гілці джерелом струму. Тоді залишаться лише три можливі контури (рис. 2). Вибираючи будь-яку пару з трьох, ми можемо забезпечити умову, щоб усі гілки, крім гілки з джерелом струму, потрапили принаймні в один із контурів. Зупинимося на першому і другому контурах і задаємо довільний напрямок їхнього обходу як показано на малюнку стрілками. Тоді

Незважаючи на те, що при виборі контурів і складанні рівнянь усі гілки з джерелами струму мають бути виключені, другий закон Кірхгофа дотримується і для них. При необхідності визначення падіння напруги на джерелі струму або інших елементах гілки з джерелом струму це можна зробити після вирішення системи рівнянь. Наприклад, на рис. 2 можна створити замкнутий контур з елементів , і для нього буде справедливо рівняння

Закон збереження енергії стверджує, що енергія тіла ніколи не зникає і не з'являється знову, вона може лише перетворюватися з одного виду на інший. Цей закон є універсальним. У різних розділах фізики він має своє формулювання. Класична механікарозглядає закон збереження механічної енергії.

Повна механічна енергія замкнутої системи фізичних тіл, між якими діють консервативні сили, є постійною величиною. Так формулюється закон збереження енергії у механіці Ньютона.

Замкненою, чи ізольованою, прийнято вважати фізичну систему, яку не діють зовнішні сили. У ній не відбувається обміну енергією з навколишнім простором, і власна енергія, яку вона володіє, залишається незмінною, тобто зберігається. У такій системі діють лише внутрішні силиі тіла взаємодіють один з одним. У ній можуть відбуватися лише перетворення потенційної енергії на кінетичну і навпаки.

Найпростіший приклад замкнутої системи – снайперська гвинтівката куля.

Види механічних сил

Сили, що діють усередині механічної системи, прийнято розділяти на консервативні та неконсервативні.

Консервативнимивважаються сили, робота яких залежить від траєкторії руху тіла, якого вони прикладені, а визначається лише початковим і кінцевим становищем цього тіла. Консервативні сили називають також потенційними. Робота таких сил по замкнутому контурі дорівнює нулю. Приклади консервативних сил сила тяжіння, сила пружності.

Всі інші сили називаються неконсервативними. До них відносяться сила тертя та сила опору. Їх називають також дисипативнимисилами. Ці сили за будь-яких рухах у замкнутої механічної системі здійснюють негативну роботу, і за їх дії повна механічна енергія системи зменшується (диссипирует). Вона перетворюється на інші, не механічні види енергії, наприклад, в теплоту. Тому закон збереження енергії в замкнутій механічній системі може виконуватися тільки якщо неконсервативні сили в ній відсутні.

Повна енергія механічної системи складається з кінетичної та потенційної енергії та є їх сумою. Ці види енергій можуть перетворюватися один на одного.

Потенціальна енергія

Потенційну енергію називають енергією взаємодії фізичних тіл чи його частин між собою. Вона визначається їх взаємним розташуванням, тобто, відстанню з-поміж них, і дорівнює роботі, яку треба зробити, щоб перемістити тіло з точки відліку до іншої точки в полі дії консервативних сил.

Потенційну енергію має будь-яке нерухоме фізичне тіло, підняте на якусь висоту, тому що на нього діє сила тяжіння, що є консервативною силою. Таку енергію має вода на краю водоспаду, санки на вершині гори.

Звідки ця енергія з'явилася? Поки фізичне тіло піднімали на висоту, зробили роботу та витратили енергію. Ось ця енергія і запаслася у піднятому тілі. І тепер ця енергія готова до роботи.

Величина потенційної енергії тіла визначається висотою, де знаходиться тіло щодо якогось початкового рівня. За точку відліку ми можемо прийняти будь-яку обрану нами точку.

Якщо розглядати положення тіла щодо Землі, то потенційна енергія тіла лежить на поверхні Землі дорівнює нулю. А на висоті h вона обчислюється за такою формулою:

Е п = m ɡ h ,

де m - маса тіла

ɡ - прискорення вільного падіння

h - Висота центру мас тіла щодо Землі

ɡ = 9,8 м/с 2

При падінні тіла з висоти h 1 до висоти h 2 сила тяжіння здійснює роботу. Ця робота дорівнює зміні потенційної енергії та має негативне значення, оскільки величина потенційної енергії при падінні тіла зменшується.

A = - ( E п2 - E п1) = - ∆ E п ,

де E п1 - Потенційна енергія тіла на висоті h 1 ,

E п2 - потенційна енергія тіла на висоті h 2 .

Якщо ж тіло піднімають на якусь висоту, то виконують роботу проти тяжкості. І тут вона має позитивне значення. А величина потенційної енергії тіла зростає.

Потенційною енергією володіє і пружно деформоване тіло (стиснена або розтягнута пружина). Її величина залежить від жорсткості пружини і від того, на яку довжину її стиснули або розтягнули, і визначається за такою формулою:

Е п = k · (∆x) 2 / 2 ,

де k - Коефіцієнт жорсткості,

∆x - Подовження або стиснення тіла.

Потенційна енергія пружини може виконувати роботу.

Кінетична енергія

У перекладі з грецької «кінема» означає «рух». Енергія, яку фізичне тіло отримує внаслідок свого руху, називається кінетичної. Її величина залежить від швидкості руху.

Футбольний м'яч, що котиться полем, скотилися з гори і продовжують рухатися санки, випущена з лука стріла - всі вони мають кінетичну енергію.

Якщо тіло перебуває у стані спокою, його кінетична енергія дорівнює нулю. Як тільки на тіло діє сила або кілька сил, воно почне рухатися. А якщо тіло рухається, то сила, що діє на нього, здійснює роботу. Робота сили, під впливом якої тіло зі стану спокою перейде у рух і змінить свою швидкість від нуля до ν , називається кінетичною енергією тіла масою m .

Якщо ж у початковий момент часу тіло вже перебувало у русі, та його швидкість мала значення ν 1 , а в кінцевий момент вона дорівнювала ν 2 , то робота, виконана силою або силами, що діють на тіло, дорівнюватиме прирощенню кінетичної енергії тіла.

∆ E k = E k 2 - E k 1

Якщо напрямок сили збігається з напрямком руху, то відбувається позитивна робота, і кінетична енергія тіла зростає. А якщо сила спрямована у бік, протилежний до напрямку руху, то відбувається негативна робота, і тіло віддає кінетичну енергію.

Закон збереження механічної енергії

Еk 1 + Е п1= Е k 2 + Е п2

Будь-яке фізичне тіло, що знаходиться на якійсь висоті, має потенційну енергію. Але під час падіння воно цю енергію починає втрачати. Куди ж вона поділася? Виявляється, вона нікуди не зникає, а перетворюється на кінетичну енергію цього тіла.

Припустимо , на якійсь висоті нерухомо закріплений вантаж. Його потенційна енергія у цій точці дорівнює максимальному значенню.Якщо ми відпустимо його, він почне падати з певною швидкістю. Отже, почне набувати кінетичної енергії. Але водночас почне зменшуватись його потенційна енергія. У точці падіння кінетична енергія тіла досягне максимуму, а потенційна зменшиться до нуля.

Потенційна енергія м'яча, кинутого з висоти, зменшується, а кінетична енергія зростає. Санки, що перебувають у стані спокою на вершині гори, мають потенційну енергію. Їхня кінетична енергія в цей момент дорівнює нулю. Але коли вони почнуть котитися вниз, кінетична енергія збільшуватиметься, а потенційна зменшуватиметься на таку саму величину. А сума їх значень залишиться незмінною. Потенційна енергія яблука, що висить на дереві, при падінні перетворюється на його кінетичну енергію.

Ці приклади наочно підтверджують закон збереження енергії, який свідчить, що повна енергія механічної системи є величиною постійної . Величина повної енергії системи не змінюється, а потенційна енергія перетворюється на кінетичну і навпаки.

На яку величину зменшиться потенційна енергія, таку ж збільшиться кінетична. Їхня сума не зміниться.

Для замкнутої системи фізичних тіл справедлива рівність
E k1 + E п1 = E k2 + E п2,
де E k1 , E п1 - кінетична та потенційна енергії системи до будь-якої взаємодії, E k2 , E п2 - Відповідні енергії після нього.

Процес перетворення кінетичної енергії в потенційну і навпаки можна побачити, спостерігаючи за маятником, що розгойдується.

Натиснути на картинку

Перебуваючи у вкрай правому становищі, маятник наче завмирає. У цей момент його висота над точкою відліку максимальна. Отже, максимальна та потенційна енергія. А кінетична дорівнює нулю, тому що він не рухається. Але наступної миті маятник починає рух вниз. Зростає його швидкість, отже, збільшується кінетична енергія. Але зменшується висота, зменшується потенційна енергія. У нижній точці вона дорівнюватиме нулю, а кінетична енергія досягне максимального значення. Маятник пролетить цю точку і почне підніматися вгору ліворуч. Почне збільшуватись його потенційна енергія, а кінетична зменшуватиметься. І т.д.

Для демонстрації перетворень енергії Ісаак Ньютон вигадав механічну систему, яку називають колискою Ньютона або кулями Ньютона .

Натиснути на картинку

Якщо відхилити убік, а потім відпустити першу кулю, то її енергія та імпульс передадуться останньому через три проміжні кулі, які залишаться нерухомими. А остання куля відхилиться з такою ж швидкістю і підніметься на таку саму висоту, що й перша. Потім остання куля передасть свою енергію та імпульс через проміжні кулі першому і т.д.

Куля, відведена убік, має максимальну потенційну енергію. Його кінетична енергія у цей момент нульова. Почавши рух, він втрачає потенційну енергію і набуває кінетичної, яка в момент зіткнення з другою кулею досягає максимуму, а потенційна стає рівною нулю. Далі кінетична енергія передається другій, потім третій, четвертій і п'ятій кулях. Останній, отримавши кінетичну енергію, починає рухатися і піднімається на таку ж висоту, на якій знаходилася перша куля на початку руху. Його кінетична енергія в цей момент дорівнює нулю, а потенційна дорівнює максимальному значенню. Далі він починає падати і так само передає енергію куль у зворотній послідовності.

Так триває досить довго і могло б продовжуватись до нескінченності, якби не існувало неконсервативних сил. Але насправді в системі діють дисипативні сили, під впливом яких кулі втрачають свою енергію. Поступово зменшується їх швидкість та амплітуда. І, зрештою, вони зупиняються. Це підтверджує, що закон збереження енергії виконується лише у відсутності неконсервативних сил.

За спеціальною домовленістю з редколегією та редакцією журналу «Квант»

Закон збереження енергії визначає у самому загальному виглядіенергетичний баланс при всіляких змін у будь-якій системі. Запишемо його так:

де Aзовніш - робота, виконана над розглянутою системою зовнішніми силами, Δ W -зміна енергії системи, Q -кількість теплоти, що виділяється у системі. Домовимося, що якщо Aзовніш > 0, то над системою здійснюють позитивну роботу, а якщо Aвнеш< 0, положительную работу совершает система; если ΔW> 0, то енергія системи збільшується, і якщо Δ W < 0, энергия уменьшается; наконец, если Q> 0, то системі виділяється тепло, і якщо Q < 0, тепло системой поглощается.

У цій статті ми розглянемо, як закон збереження енергії працює в електростатиці. У загальному випадку електростатична система містить заряди, що взаємодіють між собою, що знаходяться в електричному полі.

Розглянемо кожне доданок у рівнянні (1) окремо.

Почнемо з енергії. Енергія взаємодії зарядів виражається через характеристики електричного поля системи зарядів. Так, наприклад, енергія зарядженого конденсатора ємністю Cзадається відомим виразом

(2)

де q -заряд обкладок, U -напруга між ними. Нагадаємо, що конденсатор - це система двох провідників (обкладок, пластин), що має таку властивість: якщо з однієї обкладки на іншу перенести заряд q(т. е. одну обкладку зарядити зарядом + q, а іншу – q), то всі силові лінії створеного таким чином поля будуть починатися на одній (позитивно зарядженій) обкладці та закінчуватись на іншій. Поле конденсатора існує лише усередині нього.

Енергію зарядженого конденсатора можна представити також як енергію поля, локалізованого в просторі між пластинами із щільністю енергії де E -Напруженість поля. По суті, саме цей факт дає підстави говорити про поле як про об'єкт, що реально існує, - цей об'єкт має щільність енергії. Але треба пам'ятати, що це просто еквівалентний спосіб визначення енергії взаємодії зарядів (яку тепер ми називаємо енергією електричного поля). Таким чином, ми можемо вважати енергію конденсатора як за формулами (2), так і за формулою

(3)

де V -об'єм конденсатора. Останньою формулою легко користуватися, звичайно, тільки у разі однорідного поля, але уявлення енергії в такій формі дуже наочне, а тому зручне.

Звичайно, крім енергії взаємодії зарядів (енергії електричного поля) в енергію системи може входити і кінетична енергія заряджених тіл, їх потенційна енергія в полі тяжкості, і енергія пружин, прикріплених до тіл, і т.п.

Тепер про роботу зовнішніх сил. Крім звичайної механічної роботи Aхутро (наприклад, розсування пластин конденсатора), для електричної системи можна говорити про роботу зовнішнього електричного поля. Наприклад, про роботу батареї, що заряджає або перезаряджає конденсатор. Завдання батареї - створити фіксовану, властиву даному джерелурізницю потенціалів між тими тілами, до яких вона приєднана. Робить вона це єдино можливим способом- забирає заряд від одного тіла та передає його іншому. Джерело ніколи не створює заряди, а лише переміщує їх. Загальний заряд системи у своїй зберігається - це з наріжних законів природи.

У джерелах різних конструкцій електричне поле, необхідне переміщення зарядів, створюють різні «механізми». У батареях та акумуляторах – це електрохімічні реакції, у динамомашинах – електромагнітна індукція. Істотно, що з обраної системи зарядів (заряджених тіл) це полі - зовнішнє, стороннє. Коли через джерело з ЕРС від негативного полюса до позитивного протікає заряд Δ q, сторонні сили виконують роботу

При цьому якщо Δ q> 0, то Aбат > 0 – батарея розряджається; якщо ж Δ q < 0, то Aбат< 0 - батарея заряджається і накопичується в ній хімічна (або магнітна) енергія.

Зрештою, про виділення тепла. Зауважимо лише, що це джоулева тепло, тобто. тепло, пов'язане з перебігом струму через опір.

Тепер обговоримо декілька конкретних завдань.

Завдання 1. Два однакові плоскі конденсатори ємністю Cкожен приєднані до двох однакових батарей з ЕРС. Якоїсь миті один конденсатор відключають від батареї, а інший залишають приєднаним. Потім повільно розводять пластини обох конденсаторів, зменшуючи ємність кожного nразів. Яка механічна робота відбувається у кожному випадку?

Якщо процес зміни заряду на конденсаторі здійснюється весь час повільно, тепло не виділятиметься. Справді, через резистор опором Rпротек заряд Δ qза час t, то на резистори за цей час виділиться кількість теплоти

При досить великих tкількість теплоти Qможе виявитися як завгодно малим.

У першому випадку фіксований заряд на пластинах (батарею відключено), рівний Механічна робота визначається зміною енергії конденсатора:

У другому випадку фіксовано різницю потенціалів на конденсаторі та працює батарея, тому

Через батарею протікає заряд

Цей заряд менший за нуль, отже, батарея заряджається і її робота

Енергія поля в конденсаторі зменшується:

Таким чином,

Заряджання батареї відбувається за рахунок роботи з розсування пластин та за рахунок енергії конденсатора.

Зауважимо, що слова про розсування пластин значної ролі не відіграють. Такий же результат буде за будь-яких інших змін, що призводять до зменшення ємності в nразів.

Завдання 2. У схемі, зображеній малюнку, знайдіть кількість теплоти, що виділилося у кожному резистори після замикання ключа. Конденсатор ємністю C 1 заряджений до напруги U 1 , а конденсатор ємністю C 2 - до напруги U 2 . Опір резисторів R 1 і R 2 .

Закон збереження енергії (1) для даної системи має вигляд

Початкова енергія конденсаторів дорівнює

Для визначення енергії у кінцевому стані скористаємося тим, що сумарний заряд конденсаторів може змінитися. Він дорівнює (для випадків, коли конденсатори були з'єднані однойменно або різноіменно зарядженими пластинами відповідно). Після замикання ключа цим зарядом виявляється заряджений конденсатор ємністю C 1 + C 2 (конденсатори ємностями C 1 і C 2 з'єднані паралельно). Таким чином,

Як і має бути, в обох випадках виділяється тепло – є джоулеві втрати. Чудово, що кількість теплоти, що виділилася, не залежить від опору ланцюга - при малих опорах течуть великі струми і навпаки.

Тепер знайдемо як кількість теплоти Qрозподіляється між резисторами. Через опори R 1 і R 2 у кожний момент процесу перезарядки течуть однакові струми, отже, у кожний момент потужності, що виділяються на опорах, рівні

Отже,

Крім того, . Тому остаточно

Завдання 3. У схемі малюнку 2 конденсатор ємністю Cзаряджений до напруги U. Яка кількість хімічної енергії запасеться в акумуляторі з ЕРС після замикання ключа? Яка кількість теплоти виділиться у резисторі?

Початковий заряд на конденсаторі . Після закінчення перезаряджання заряд на конденсаторі стане рівним . Заряд, що протік через батарею, у випадку, коли до мінуса батареї підключено негативно заряджену обкладку конденсатора, буде дорівнює

В іншому випадку акумулятор буде розряджатися (Δ q> 0). А в першому випадку при акумулятор заряджається (Δ q < 0), и количество химической энергии, запасенной в аккумуляторе после замыкания ключа, равно работе батареи:

Тепер запишемо закон збереження енергії (1) –

– і знайдемо кількість теплоти, що виділилася:

Завдання 4. Плоский конденсатор знаходиться у зовнішньому однорідному полі з напруженістю, перпендикулярною пластинам. На пластинах площею Sрозподілені заряди + qі – q. Відстань між пластинами d. Яку мінімальну роботу треба здійснити, щоб поміняти пластини місцями? Розташувати паралельно полю? Вийняти з поля?

Робота буде мінімальною, коли процес проводиться дуже повільно – при цьому не виділяється тепло. Тоді, згідно із законом збереження енергії,

Щоб знайти Δ W, Скористайтеся формулою (3). Поле між пластинами є суперпозицією поля даного плоского конденсатора -

- І зовнішнього поля.

При зміні пластин місцями поле змінюється на –, а поле зовні не змінюється, тобто зміна енергії системи пов'язана зі зміною її густини між пластинами конденсатора:

Якщо напрями векторів та були однакові, то щільність енергії між пластинами зменшилася після зміни пластин місцями, і якщо напрями були протилежні, то щільність енергії збільшилася. Таким чином, у першому випадку - конденсатор хоче сам розвернутися і його треба утримувати. A < 0), а во втором случае

Коли пластини конденсатора розташовані паралельно до поля і перпендикулярні один одному. Енергія поля всередині конденсатора у цьому випадку дорівнює . Тоді

Коли конденсатор вийняли з поля, там, де він був, поле стало , а ньому самому тепер поле , тобто. Δ Wі A min виявляються такими самими, як і в попередньому випадку.

Завдання 5. Конденсатор ємністю Збез діелектрика заряджений зарядом q. Яка кількість теплоти виділиться в конденсаторі, якщо його заповнити речовиною з діелектричною проникністю? Те саме, але конденсатор приєднаний до батареї з ЕРС.

При заливанні діелектрика ємність конденсатора збільшилася ε разів.

У першому випадку фіксований заряд на пластинах, зовнішніх сил немає і закон збереження енергії (1) має вигляд

Тепло виділяється з допомогою зменшення енергії взаємодії зарядів.

У другому випадку є робота батареї та фіксована напруга на конденсаторі:

Вправи

1. Два однакові плоскі конденсатори ємністю Зкожен з'єднаний паралельно і заряджений до напруги U. Пластини одного з конденсаторів повільно розводять на велику відстань. Яка при цьому відбувається робота?

2. Два конденсатори, кожен ємністю З, заряджені до напруги Uта з'єднані через резистор (рис. 4). Пластини одного з конденсаторів швидко розсувають, так що відстань між ними збільшується вдвічі, а заряд на пластинах за час їхнього переміщення не змінюється. Яка кількість теплоти виділиться у резисторі?

3. Плоский повітряний конденсатор приєднаний до батареї з ЕРС. Площа пластин S, відстань між ними d. У конденсаторі знаходиться металева плита завтовшки d 1, паралельна пластинам (рис. 5). Яку мінімальну роботу слід витратити, щоб видалити плиту з конденсатора?

4. Велика тонка провідна пластина площею Sта завтовшки dпоміщена в однорідне електричне поле з напруженістю перпендикулярної поверхні пластини. Яка кількість теплоти виділиться у пластині, якщо поле миттєво вимкнути? Яку мінімальну роботу треба здійснити, щоб видалити пластину з поля?

5. Одна із пластин плоского конденсатора підвішена на пружині (рис. 6). Площа кожної пластини S, відстань між ними у початковий момент d. Конденсатор підключили на короткий час до батареї, і він зарядився до напруги U. Якою має бути мінімальна жорсткість пружини, щоб не відбулося торкання пластин? Зміщення пластин за час зарядки знехтувати.

Відповіді.

1. (Весь заряд виявляється на конденсаторі, пластини якого не розсували).

2. (у перший момент після розведення пластин замкнутими одна на одну виявляються конденсатор ємністю Зз напругою Uта конденсатор ємністю З/2 з напругою 2 U).

3. (Мінімальна робота з видалення плити дорівнює різниці зміни енергії конденсатора та роботи батареї).

4. (Одразу після вимкнення зовнішнього поля в пластині є поле поляризаційних зарядів, напруженість якого дорівнює Е видалення пластини з поля еквівалентно створенню поля з напруженістю Е в об'ємі пластини).

5. (результат виходить із закону збереження енергії і умови рівноваги пластини ).

2.12.1 Стороннє джерело електро магнітного полята електричного струму в електричному ланцюзі.

☻ Стороннє джерело є таким складовоюелектричного кола, без якого електричний струм у ланцюзі не можливий. Це поділяє електричний ланцюг на дві частини, одна з яких здатна проводити струм, але не збуджує його, а інша стороння - проводить струм і збуджує його. Під впливом ЕРС стороннього джерела в ланцюзі збуджується як електричний струм, а й електромагнітне полі, причому те й інше супроводжується у своїй передачею енергії від джерела в ланцюг.

2.12.2 Джерело ЕРС та джерело струму.

☻ Стороннє джерело в залежності від свого внутрішнього опору може бути джерелом ЕРС або джерелом струму

Джерело ЕРС:
,

не залежить від .

Джерело струму:
,

не залежить від .

Таким чином, будь-яке джерело, яке витримує стабільну напругу в ланцюгу при зміні струму, може розглядатися як джерело ЕРС. Це стосується і джерел стабільної напруги в електричних мережах. Очевидно, умови
або
для реальних сторонніх джерел слід розглядати як ідеалізовані наближення, зручні для аналізу та розрахунку електричних кіл. Так при
взаємодія стороннього джерела з ланцюгом визначається простими рівностями

,
,
.

Електромагнітне поле в електричному ланцюзі.

☻ Сторонні джерела є або накопичувачами, або генераторами енергії. Передача енергії джерелами в ланцюг відбувається лише через електромагнітне поле, яке збуджується джерелом у всіх елементах ланцюга, незалежно від їх технічних особливостей та прикладного значення, а також від поєднання фізичних властивостей у кожному їх. Саме електромагнітне поле є тим первинним фактором, який задає розподіл енергії джерела по елементах ланцюга та визначає фізичні процеси в них, у тому числі електричний струм.

2.12.4 Опір у ланцюгах постійного та змінного струму.

Рис 2.12.4

Узагальнені схеми одноконтурних ланцюгів постійного та змінного струму.

☻ У простих одноконтурних ланцюгах постійного та змінного струму залежність струму від ЕРС джерела можна виразити подібними формулами

,
.

Це дає можливість і самі ланцюги уявити подібними схемами, як показано на рис.2.12.4.

Важливо підкреслити, що в ланцюзі змінного струму величина означає не активний опір ланцюга , А імпеданс ланцюга, який перевершує активний опір з тієї причини, що індуктивні та ємнісні елементи ланцюга надають змінному струму додатковий реактивний опір, так що

,
.

Реактивні опори і визначаються частотою змінного струму , індуктивністю індуктивних елементів (котушок) та ємністю ємнісних елементів (кондесаторів)

2.12.5 Фазовий зсув

☻ Елементи ланцюга з реактивними опорами викликають у ланцюзі змінного струму особливе електромагнітне явище-зсув по фазі між ЕРС і струмом

,
,

де - фазовий зсув, можливі значення якого визначаються рівнянням

Відсутність фазового зсуву можлива у двох випадках, коли
або коли ємнісні та індуктивні елементи в ланцюзі відсутні. Фазовий зсув ускладнює виведення потужності джерела в електричний ланцюг.

2.12.6 Енергія електромагнітного поля в елементах ланцюга.

☻ Енергія електромагнітного поля в кожному елементі ланцюга складається з енергії електричного поля та енергії магнітного поля

Однак елемент ланцюга може бути так виконаний, що для нього один із доданків цієї суми буде домінуючим, а інше – не суттєвим. Так, при характерних частотах змінного струму в конденсаторі
, а в котушці, навпаки,
. Тому можна вважати, що конденсатор є накопичувачем енергії електричного поля, а котушка-накопичувачем енергії магнітного поля і для них відповідно

,
,

де враховано, що для конденсатора
, а для котушки
. Дві котушки в одному ланцюгу можуть бути індуктивно незалежними або індуктивно пов'язаними через своє загальне магнітне поле. В останньому випадку енергія магнітних полів котушок доповнюється енергією їхньої магнітної взаємодії.

,
.

Коефіцієнт взаємної індукції
залежить від ступеня індуктивного зв'язку між котушками, зокрема від них взаємного розташування. Індуктивний зв'язок може бути не суттєвим або відсутнім повністю, тоді
.

Характерним елементом електричного кола є резистор опором . Для нього енергія електромагнітного поля
, т.к.
. Оскільки в резистори енергія електричного поля відчуває незворотне перетворення на енергію теплового руху, то для резистора

де кількість теплоти відповідає закону Джоуля-Ленца.

Особливим елементом електричного ланцюга є її електромеханічний елемент, здатний під час проходження крізь нього електричного струму виконувати механічну роботу. Електричним струмом у подібному елементі збуджується сила чи момент сили, під впливом яких відбуваються лінійні чи кутові переміщення самого елемента чи його частин щодо друг друга. Ці механічні явища, пов'язані з електричним струмом, супроводжуються перетворенням енергії електромагнітного поля в елементі на його механічну енергію, так що

де робота
виражається відповідно до її механічного визначення.

2.12.7 Закон збереження та перетворення енергії в електричному ланцюзі.

☻ Стороннє джерело є не тільки джерелом ЕРС, а й джерелом енергії в електричному ланцюзі. За час
від джерела в ланцюг надходить енергія, що дорівнює роботі ЕРС джерела

де
- Потужність джерела, або що теж, інтенсивність надходження енергії від джерела в ланцюг. Енергія джерела перетворюється на ланцюга на інші види енергії. Так в одноконтурному ланцюзі
з механічним елементом робота джерела супроводжується зміною енергії електромагнітного поля у всіх елементах ланцюга у повній відповідності до енергетичного балансу

Дане рівняння для аналізованого ланцюга виражає закони збереження енергії. З нього випливає

Після відповідних підстановок рівняння балансу потужності можна подати у вигляді

Це рівняння в узагальненій формі виражає закон збереження енергії в електричному ланцюзі на основі поняття потужності.

Закон

Кірхгофа

☻ Після диференціювання та скорочення струму з представленого закону збереження енергії як наслідок випливає закон Кірхгофа

де в замкнутому контурі перераховані напруги на елементах ланцюга означають

,
,

,
,
.

2.12.9 Застосування закону збереження енергії для розрахунку електричного кола.

☻ Наведені рівняння закону збереження енергії та закону Кірхгофа відносяться лише до квазістаціонарних струмів, при яких ланцюг не є джерелом випромінювання електромагнітного поля. Рівняння закону збереження енергії дозволяє у простій і наочній формі аналізувати роботу численних одноконтурних електричних кіл як змінного, і постійного струму.

Вважаючи константи
рівними нулю окремо чи їх поєднанні, можна розраховувати різні варіанти електричних ланцюгів, зокрема при
і
. Нижче розглядаються деякі варіанти розрахунку таких кіл.

2.12.10 Ланцюг
при

☻ Одноконтурний ланцюг, в якому через резистор конденсатор заряджається від джерела з постійною ЕРС (
). Приймається:
,
,
, а також
при
. За таких умов закон збереження енергії для цього ланцюга може бути записаний у наступних рівнозначних варіантах

З рішення останнього рівняння випливає:

,
.

2.12.11 Ланцюг
при

☻ Одноконтурний ланцюг, в якому джерело постійної ЕРС (
) замикається на елементи і . Приймається:
,
,
, а також
при
. За таких умов закон збереження енергії для цього ланцюга можна подати у наступних рівнозначних варіантах

Із вирішення останнього рівняння випливає

2.12.12 Ланцюг
при
і

☻ Одноконтурний ланцюг без джерела ЕРС і без резистора, в якому заряджений конденсатор замикається на індуктивний елемент . Приймається:
,
,
,
,
, а також при

і
. За таких умов закон збереження енергії для цього ланцюга з урахуванням того, що

Останнє рівняння відповідає вільним незагасаючим коливанням. З його вирішення випливає

,
,

,
,
.

Цей ланцюг є коливальним контуром.

2.12.13 ЛанцюгRLCпри

☻ Одноконтурний ланцюг без джерела ЕРС, в якому заряджений конденсатор Ззамикається на елементи ланцюга R та L. Приймається:
,
, а також при

і
. За таких умов законним є закон збереження енергії для даного ланцюга з урахуванням того, що
, може бути записаний у таких варіантах

Останнє рівняння відповідає вільним загасаючим коливанням. З його вирішення випливає

,
,
,
.

Цей ланцюг є коливальним контуром з дисипативним елементом – резистором, через який загальна енергія електромагнітного поля під час коливань зменшується.

2.12.14 ЛанцюгRLCпри

☻ Одноконтурний ланцюг RCLє коливальний контур з дисипативним елементом. У ланцюзі діє змінна ЕРС
і збуджує у ній вимушені коливання, зокрема і резонанс.

Приймається:
. За цих умов закон збереження енергії може бути записаний у кількох рівнозначних варіантах.

З рішення останнього рівняння випливає, що коливання струму в ланцюзі є вимушеними і відбуваються із частотою діючої ЕРС
, але зі зрушенням фаз по відношенню до неї, так що

де - фазовий зсув, значення якого визначається рівнянням

Потужність, що надходить у ланцюг від джерела, змінна

Усереднене значення цієї потужності за одним періодом коливань визначається виразом

Рис 2.12.14

Резонанс залежності

Таким чином виводиться з джерела в ланцюг потужність визначається фазовим зсувом. Очевидно за його відсутності зазначена потужність стає максимальною і це відповідає резонансу в ланцюзі. Він досягається тому, що опір ланцюга за відсутності фазового зсуву набуває мінімального значення, що дорівнює тільки активному опору.

Звідси випливає, що з резонансі виконуються умови.

,
,
,

де - Резонансна частота.

При вимушених коливаннях струму його амплітуда залежить від частоти

Резонансне значення амплітуди досягається за відсутності фазового зсуву, коли
і
. Тоді

На рис. 2.12.14 показано резонансну криву
при вимушених коливанняхв ланцюзіRLC.

2.12.15 Механічна енергія в електричному ланцюгу

☻ Механічна енергія порушується особливими електромеханічними елементами ланцюга, які під час проходження ними електричного струму виконують механічну роботу. Це можуть бути електричні двигуни, електромагнітні вібратори та ін.

Варіанти технічної реалізації електромеханічних елементів майже безмежні. Але в будь-якому випадку відбувається те саме фізичне явище – перетворення енергії електромагнітного поля на механічну енергію

Важливо наголосити, що це перетворення відбувається в умовах електричного ланцюга та при безумовному виконанні закону збереження енергії. Слід врахувати, що електромеханічний елемент ланцюга за будь-якого свого призначення та технічного виконання є накопичувачем енергії електромагнітного поля.
. Вона накопичується на внутрішніх ємнісних або індуктивних частинах електромеханічного елемента, між якими збуджується механічна взаємодія. При цьому механічна потужність електромеханічного елемента ланцюга визначається не енергією
, а похідною за часом від неї, тобто. інтенсивністю її зміни Рвсередині самого елемента

Таким чином, у разі простого ланцюга, коли стороннє джерело ЕРС замкнено тільки на електромеханічний елемент, закон збереження енергії подається у вигляді

де враховано неминучі незворотні теплові втрати потужності стороннього джерела. У разі складнішого ланцюга, в якому є додаткові накопичувачі енергії електромагнітного поля W , закон збереження енергії записується у вигляді

Враховуючи що
і
, останнє рівняння можна записати у вигляді

У простому ланцюгу
і тоді

Суворіший підхід вимагає врахування процесів тертя, які додатково зменшують корисну механічну потужність електромеханічного елемента ланцюга.

У всіх явищах, що відбуваються у природі, енергія не виникає і не зникає. Вона тільки перетворюється з одного виду на інший, при цьому її значення зберігається.

Закон збереження енергії- фундаментальний закон природи, який полягає в тому, що для ізольованої фізичної системи може бути введена скалярна фізична величина, яка є функцією параметрів системи та називається енергією, що зберігається з часом. Оскільки закон збереження енергії належить немає конкретних величин і явищ, а відбиває загальну, застосовну скрізь і завжди, закономірність, його можна назвати не законом, а принципом збереження енергії.

Закон збереження енергії

У електродинаміці закон збереження енергії історично формулюється як теореми Пойтинга.

Зміна електромагнітної енергії, укладеної у певному обсязі, за певний інтервал часу дорівнює потоку електромагнітної енергії через поверхню, що обмежує даний обсяг, і кількості теплової енергії, що виділилася в даному обсязі, взятої зі зворотним знаком.

$ \frac(d)(dt)\int_(V)\omega_(em)dV=-\oint_(\partial V)\vec(S)d\vec(\sigma)-\int_V \vec(j)\ cdot \vec(E)dV $

Електромагнітне поле має енергію, яка розподіляється у просторі, зайнятому полем. При зміні параметрів поля змінюється і розподіл енергії. Вона перетікає з однієї області простору до іншої, переходячи, можливо, до інших форм. Закон збереження енергіїдля електромагнітного поля є наслідком польових рівнянь.

Всередині деякої замкнутої поверхні S,обмежує обсяг простору V, зайнятого полем, міститься енергія W- Енергія електромагнітного поля:

W =Σ(εε 0 E i 2/2+μμ 0 H i 2/2)ΔV i .

Якщо в цьому обсязі є струми, то електричне поле проводить над зарядами, що рухаються, роботу, за одиницю часу рівну

N =Σ ij̅ i ×E̅ i . ΔV i .

Це величина енергії поля, яка перетворюється на інші форми. З рівнянь Максвелла випливає, що

ΔW + NΔt = -Δt∮ SS̅×n̅. dA,

де ΔW- Зміна енергії електромагнітного поля в аналізованому обсязі за час Δt,а вектор S̅ = E̅ × H̅називається вектором Пойнтінга.

Це закон збереження енергії в електродинаміці.

Через малий майданчик завбільшки ΔAз одиничним вектором нормалі n̅за одиницю часу у напрямку вектора n̅протікає енергія S̅ × n̅.ΔA,де S̅- Значення вектор Пойнтінгу межах майданчика. Сума цих величин за всіма елементами замкнутої поверхні (позначена знаком інтеграла), що стоїть у правій частині рівності , є енергією, що з обсягу, обмеженого поверхнею, за одиницю часу (якщо ця величина негативна, то енергія втікає в обсяг). Вектор Пойнтінгвизначає потік енергії електромагнітного поля через майданчик, він відмінний від нуля всюди, де векторний добуток векторів напруженості електричного та магнітного полів відмінно від нуля.

Можна виділити три основних напрями практичного застосування електрики: передача та перетворення інформації (радіо, телебачення, комп'ютери), передача імпульсу та моменту імпульсу (електродвигуни), перетворення та передача енергії (електрогенератори та лінії електропередачі). І імпульс, і енергія переносяться полем через порожній простір, наявність середовища призводить лише до втрат. Енергія не передається по дротах! Проводи зі струмом потрібні для формування електричного та магнітного полів такої конфігурації, щоб потік енергії, що визначається векторами Пойнтінга у всіх точках простору, був спрямований від джерела енергії до споживача. Енергія може передаватися без проводів, тоді її переносять електромагнітні хвилі. (Внутрішня енергія Сонця зменшується, виноситься електромагнітними хвилями, переважно світлом. Завдяки частині цієї енергії підтримується життя Землі.)

Закон збереження енергії

У механіці закон збереження енергії стверджує, що в замкнутій системі частинок повна енергія, яка є сумою кінетичної та потенційної енергії і не залежить від часу, тобто є інтегралом руху. Закон збереження енергії справедливий лише замкнутих систем, тобто за відсутності зовнішніх полів чи взаємодій.

Сили взаємодії між тілами, котрим виконується закон збереження механічної енергії, називаються консервативними силами. Закон збереження механічної енергії не виконується для сил тертя, оскільки за наявності сил тертя відбувається перетворення механічної енергії на теплову.

Математичне формулювання

Еволюція механічної системи матеріальних точок з масами $m_i$ за другим законом Ньютона задовольняє системі рівнянь

\[ m_i\dot(\mathbf(v)_i) = \mathbf(F)_i \]

де
$\mathbf(v)_i $ - швидкості матеріальних точок, а $\mathbf(F)_i $ - сили, що діють на ці точки.

Якщо подати сили як суму потенційних сил $\mathbf(F)_i^p $ і непотенційних сил $\mathbf(F)_i^d $ , а потенційні сили записати у вигляді

\[ \mathbf(F)_i^p = - \nabla_i U(\mathbf(r)_1, \mathbf(r)_2, \ldots \mathbf(r)_N) \]

то, домноживши всі рівняння на $\mathbf(v)_i$ можна отримати

\[ \frac(d)(dt) \sum_i \frac(mv_i^2)(2) = - \sum_i \frac(d\mathbf(r)_i)(dt)\cdot \nabla_i U(\mathbf(r) )_1, \mathbf(r)_2, \ldots \mathbf(r)_N) + \sum_i \frac(d\mathbf(r)_i)(dt) \cdot \mathbf(F)_i^d \]

Перша сума у правій частині рівняння є нічим іншим, як похідною за часом від складної функції, а отже, якщо ввести позначення

\[ E = \sum_i \frac(mv_i^2)(2) + U(\mathbf(r)_1, \mathbf(r)_2, \ldots \mathbf(r)_N) \]

і назвати цю величину механічною енергією, то, інтегруючи рівняння з часу t=0 до моменту часу t, можна отримати

\[ E(t) - E(0) = \int_L \mathbf(F)_i^d \cdot d\mathbf(r)_i \]

де інтегрування проводиться вздовж траєкторій руху матеріальних точок.

Таким чином, зміна механічної енергії системи матеріальних точок з часом дорівнює роботі непотенційних сил.

Закон збереження енергії в механіці виконується лише для систем, у яких усі сили потенційні.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!