Як можна збудувати піраміду? На площині рпобудуємо якийсь багатокутник, наприклад п'ятикутник ABCDE. Поза площиною рВізьмемо точку S. З'єднавши точку S відрізками з усіма точками багатокутника, отримаємо піраміду SABCDE (рис.).

Точка S називається вершиною, а багатокутник ABCDE - основоюцієї піраміди. Таким чином, піраміда з вершиною S і основою ABCDE - це об'єднання всіх відрізків , де М ∈ ABCDE.

Трикутники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA називаються бічними гранямипіраміди, загальні сторони бічних граней SA, SB, SC, SD, SE - бічними ребрами.

Піраміди називаються трикутними, чотирикутними, п-кутовимизалежно від кількості сторін основи. На рис. дано зображення трикутної, чотирикутної та шестикутної пірамід.

Площина, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи, називається діагональної, а отриманий перетин - діагональним.На рис. 186 один із діагональних перерізів шестикутної піраміди заштрихований.

Відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи, називається висотою піраміди (кінцями цього відрізка є вершина піраміди та основа перпендикуляра).

Піраміда називається правильноюякщо основа піраміди є правильним багатокутником і вершина піраміди проектується в його центрі.

Усі бічні грані правильної піраміди – конгруентні рівнобедрені трикутники. У правильної піраміди всі бічні ребра є конгруентними.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемоюпіраміди. Усі апофеми правильної піраміди конгруентні.

Якщо позначити сторону основи через а, а апофему через h, то площа однієї бічної грані піраміди дорівнює 1/2 ah.

Сума площ усіх бічних граней піраміди називається площею бічної поверхніпіраміди та позначається через S бік.

Так як бічна поверхня правильної піраміди складається з nконгруентних граней, то

S бік. = 1/2 ahn= P h / 2 ,

де Р – периметр основи піраміди. Отже,

S бік. = P h / 2

тобто. площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему.

Площа повної поверхні піраміди обчислюється за формулою

S = S ocн. + S бік. .

Обсяг піраміди дорівнює одній третині твору площі її основи S ocн. на висоту Н:

V = 1/3 S ocн. н.

Висновок цієї та деяких інших формул буде дано в одному з наступних розділів.

Побудуємо тепер піраміду в інший спосіб. Нехай даний багатокутний кут, наприклад, п'ятигранний, з вершиною S (рис.).

Проведемо площину ртак, щоб вона перетинала всі ребра даного багатогранного кута у різних точках А, В, С, D, Е (рис.). Тоді піраміду SABCDE можна розглядати як перетин багатогранного кута та напівпростору з кордоном р, В якому лежить вершина S.

Очевидно, що число всіх граней піраміди може бути довільним, але не меншим за чотири. При перетині тригранного кута площиною виходить трикутна піраміда, яка має чотири грані. Будь-яку трикутну піраміду іноді називають тетраедромщо означає чотиригранник.

Усічену пірамідуможна отримати, якщо піраміду перетнути площиною, паралельної площині основи.

На рис. дано зображення чотирикутної усіченої піраміди.

Усічені піраміди також називаються трикутними, чотирикутними, n-вугільнимизалежно від кількості сторін основи. З побудови усіченої піраміди випливає, що вона має дві основи: верхню та нижню. Підстави зрізаної піраміди - два багатокутники, сторони яких попарно паралельні. Бічні грані усіченої піраміди – трапеції.

Висотоюусіченою піраміди називається відрізок перпендикуляра, проведеного з будь-якої точки верхньої основи до площини нижньої.

Правильною усіченою пірамідоюназивається частина правильної піраміди, укладена між основою та площиною перерізу, паралельною основі. Висота бічної грані правильної усіченої піраміди (трапеції) називається апофемою.

Можна довести, що у правильної зрізаної піраміди бічні ребра конгруентні, всі бічні грані конгруентні, всі апофеми конгруентні.

Якщо у правильній усіченій n-вугільній піраміді через аі b nпозначити довжини сторін верхньої та нижньої основ, а через h- Довжину апофеми, то площа кожної бічної грані піраміди дорівнює

1 / 2 (а + b n) h

Сума площ всіх бічних граней піраміди називається площею її бічної поверхні та позначається S бік. . Очевидно, що для правильної усіченої n-вугільної піраміди

S бік. = n 1 / 2 (а + b n) h.

Так як па= Р і nb n= Р 1 - периметри основ усіченої піраміди, то

S бік. = 1/2 (Р + Р 1) h,

т. е. площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди дорівнює половині добутку суми периметрів її підстав на апофему.

Перетин, паралельний основі піраміди

Теорема. Якщо піраміду перетнути площиною, паралельною до основи, то:

1) бічні ребра та висота поділяться на пропорційні частини;

2) у перерізі вийде багатокутник, подібний до основи;

3) площі перерізу та основи відносяться, як квадрати їх відстаней від вершини.

Теорему достатньо довести до трикутної піраміди.

Так як паралельні площини перетинаються третьою площиною паралельним прямим, то (АВ) || (А 1 В 1), (BС) ||(В 1 C 1), (AС) || (A 1 З 1) (рис.).

Паралельні прямі розсікають сторони кута на пропорційні частини і тому

Отже, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 і

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 та

Таким чином,

Відповідні кути трикутників ABC і A 1 B 1 C 1 конгруентні, як кути з паралельними та однаково спрямованими сторонами. Тому

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Площі подібних трикутниківставляться, як квадрати відповідних сторін:

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$

Отже,

$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$

Теорема. Якщо дві піраміди з рівними висотами розсічені на однаковій відстані від вершини площинами, паралельними підстав, то площі перерізів пропорційні площам підстав.

Нехай (чорт. 84) і В 1 - площі основ двох пірамід, H - висота кожної з них, bі b 1 - площі перерізів площинами, паралельними основ і віддаленими від вершин на одну і ту ж відстань h.

Відповідно до попередньої теореми ми матимемо:

$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: і \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ $
звідки
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: або \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$

Слідство.Якщо В = В 1 , то і b = b 1, тобто. якщо у двох пірамід з рівними висотами основи рівновеликі, то рівновеликі та перерізи, що рівновіддаляються від вершини.

Інші матеріали

Розділ третій

Багатогранники

1. ПАРАЛЕЛЕПІПЕД І ПІРАМІДА

Властивості паралельних перерізів у піраміді

74. Теорема. Якщо піраміда (чорт. 83) перетнута площиною, паралельною підставі, то:

1) бічні ребра та висота діляться цією площиною на пропорційні частини;

2) у перетині виходить багатокутник (abcde ), подібний до основи;

3) площі перерізу та основи відносяться, як квадрати їх відстаней від вершини.

1) Прямі abі АВ можна розглядати як лінії перетину двох паралельних площин (основи та січної) третьою площиною ASB; тому ab||AB (§ 16). З цієї ж причини bc||BC, cd||CD, ... і ат||AM; внаслідок цього

S a / a A = S b / b B = S c / c C = ... = S m / m M

2) З подоби трикутників ASB та a S b, потім BSC та b S cі т. д. виводимо:

AB / ab= BS / bs; BS / bs= BC / bc ,

AB / ab= BC / bc

BC / bc= CS / cs; CS / cs= CD / cdзвідки BC / bc= CD / cd .

Також доведемо пропорційність інших сторін багатокутників ABCDE і abcde. Так як, крім того, у цих багатокутників рівні відповідні кути (як утворені паралельними та однаково спрямованими сторонами), то вони подібні.

3) Площі подоби багатокутників відносяться як квадрати подібних сторін; тому

75. Наслідок. У правильної усіченої піраміди верхня основа є правильний багатокутник, подібний до нижньої основи, а бічні грані суть рівні та рівнобічні трапеції.(чорт. 83).

Висота будь-якої з цих трапецій називається апофемоюправильної усіченої піраміди.

76. Теорема. Якщо дві піраміди з рівними висотами розсічені на однаковій відстані від вершини площинами, паралельними підстав, то площі перерізів пропорційні площам підстав.

Нехай (чорт. 84) і В 1 - площі основ двох пірамід, H -висота кожної з них, bі b 1 - площі перерізів площинами, паралельними основ і віддаленими від вершин на одну і ту ж відстань h.

Відповідно до попередньої теореми ми матимемо:

77. Наслідок.Якщо В = В 1 , то і b = b 1, тобто. якщо у двох пірамід з рівними висотами основи рівновеликі, то рівновеликі та перерізи, що рівновіддаляються від вершини.

Запитання:

Піраміда перетнута площиною, паралельною основі. Площа основи дорівнює 1690дм2, а площа перерізу дорівнює 10дм2. В якому відношенні, рахуючи від вершини, площину перерізу поділяє висоту піраміди?

Відповіді:

паралельна площина обсікає піраміду подібну даної (h1/h)²=s1/s (h1/h)²=10/1690=1/169 h1/h=√1/169= 1/13 jndtn 1/13

Схожі питання

Тест по темі: «Правопис прислівників» Перевіряємо написання суфіксів прислівників, роздільне та злитне написання не з прислівниками, злите, роздільне, дефісне написання прислівників Варіант 1. 1. Розкрий дужки. Відзнач «третій зайвий»: а) сидів (нерухомий); побачив (не) випадково; співав (не) голосно; б) анітрохи (не)пізно; зовсім (не) красиво; дуже (не)пристойно; в) (не) по-дружньому; (Не) по-свійськи; (Не) правильно; г) (не) безглуздо; (Не) зрозуміло; (Не)близько, а далеко; д) вкрай (не)вимушено; дуже (не)привабливо; анітрохи (не) загрозливо; 2. «Не» пишеться разом у всіх словах ряду: а) (не)правда; (не) башти; (Не)приємно; анітрохи (не)цікаво; б) (не) розуміти; (не)справедливість; зовсім (не)далеко; (не) веселий; в) (не) щиро; (не) гарний; (не)кормлячи; (не) вимогливий; г) (не) повіт; (не) приїхавши; (не)ліпість; (не вчасно; 3. Виділили ряд із негативними прислівниками: а) німало; ніхто; ніде; ні з ким; б) ніде; ніхто; ніколи; нізвідки; в) анітрохи; нітрохи; звідки; нема чого; 4. Знайди «третій зайвий»: а) н ... мало не злякався; н ... як не знаходив; н...кілька разів; б) н ... куди піти; н ... навіщо розпитувати; н…скільки не заздрити; в) н ... скільки не засмутився; н ... коли не сердився; звідки чекати; 5. «Нн» пишеться у всіх словах ряду: а) беше ... про крутитися; говорив переляку…о; працював відчаю ... о; б) здригнувся несподіванка…о; креслив кваліфікова…о; не працює часі…о; в) говорив схвильова ... про; пішов несподіванка ... про; відповідав пута ... о; 6. Визнач пропозицію з прислівником: а) Збори схвильова ... про повідомлення. б) Суспільство було схвильове…о. в) Говорила вона схвильова ... о. У говірці пишеться _____________________________________ 7. Встав пропущені букви. Відзнач «четвертий зайвий»: а) гарячий ...; свіжий…; блискучий ...; гарний ...; б) ще ...; співучий ...; тягуч..; зловісний ...; в) багаж ... м; вже ... м; нош…й; ніж ... м; г) бельч ... нок; скворч ... нок; черешка; їжак … нок; 8. Випиши літери, що позначають прислівники, що пишуться з суфіксами – а й – про: а про а) здалеку…; б) знову ...; в) наглух ...; г) вправ ...; д) добіли ...; е) просто…; ж) смолод ...; з) насухо ...; і) знов …; Запиши прислівник, що не має суфіксів – а й – про: ______________________________ Варіант 2. 1. Розкрий дужки. Відзнач «третій зайвий»: а) анітрохи (не)цікаво; абсолютно (не)цікаво; далеко (не) весело; б) (не) по-приятельськи; (не) по-нашому; (Не) вірно; в) (не) струнко; (не) привітно; (Не) добре, а погано; г) читав (не)виразно; дивився (не) здивовано; жив (не)далеко; д) дуже (не) красиво; ніколи не пізно; вкрай (не)продумано; 2. «Не» пишеться разом у всіх словах ряду: а) (не)мало; (не) лепо; (не)зрозуміло; (не) ховаючи; б) (не)дбайливо; (не) щирість; (не) красивий; (не)продуманий; в) далеко (не) весело; (не захотів; (не)далеко; (Не)приємність; г) (не) вчасно; (Не)посида; (не)сказавши; (Не) довірливо; 3. Виділили ряд із негативними прислівниками: а) нічим; нізвідки; ніде; чимало; б) анітрохи; нема чого; ніяк; ніде; в) нема чим; нікому; ніким; нікого; 4. Знайди "третій зайвий": а) не було н ... де; н ... навіщо запитувати; н ... коли був кучером; б) не зачіпали н ... мало; н…скільки не сумував; н ... де зупинитися; в) н ... куди не поїду; н ... коли не спитаю; мені було ніколи; 5. «Н» пишеться переважають у всіх словах ряду: а) надворі безветре…о; відповідаючи продума ... про; прийшов нежда…о-негада…о; б) говорив мудро ... про; надійшла вітрі ... о; говорила пута ... о; в) крутився беше ... о; співав проникнове ... о; працював захоплення ... о; 6. Визнач пропозицію з прислівником: а) Його рішення обдума ... про, професійно. Б) Він діє обдума…о. В) Все було ретельно обміркувати…о. 7. Встав пропущені літери. Відзнач «четвертий зайвий»: а) говорити заг ...; гарячий…; свіжий…; виснажливий ...; б) друж ... до; ремінець ... до; півень ... до; виш ... нка; в) ще ...; протестуючий ...; зухвалий…; зловісний ...; г) лікар ... м; стриж ... м; печ…т; береж ... т; 8. Впиши в клітини літери, що позначають прислівники, що пишуться з суфіксами – а й – про: а про а) спочатку…; б) смолод ...; в) засвітл ...; г) влів ...; д) начисто ...; е) докрасн ...; ж) зліва ...; з) затемнення ...; і) здавна ...; Запиши прислівник, який не має суфіксів – а й – про: ______________________________

); showPlots(; 0 noAxes0);

Мал. 1.10: Прямокутний Паралелепіпед

1.3 Властивості паралельних перерізів у піраміді

1.3.1 Теореми про перерізи у піраміді

Якщо піраміда (1.11) перетнута площиною, паралельною основі, то:

1) бічні ребра та висота діляться цією площиною на пропорційні частини;

2) у перерізі виходить багатокутник (abcde), подібний до основи;

3) площі перерізу та основи відносяться, як квадрати їх відстаней від вершини.

1) Прямі ab і AB можна розглядати як лінії перетину двох паралельних площин (основи та січної) третьою площиною ASB; тому abkAB. З цієї причини bckBC,cdkCD.... і amkAM; внаслідок цього

aA Sa = bB Sb = cC Sc = ::: = mM Sm :

2) З подоби трикутників ASB та aSb, потім BSC та bSc і т. д. виводимо:

AB ab = BS bS; BS bS = BC bc;

AB ab = BC bc :

BC bc = CS cS; CS cS = CD cd;

BC bc = CD cd

Так само доведемо пропорційність інших сторін багатокутників ABCDE і abcde. Оскільки, крім того, у цих багатокутників рівні відповідні кути (як утворені паралельними та однаково спрямованими сторонами), то вони подібні. Площі таких багатокутників ставляться, як квадрати подібних сторін; тому

AB ab = AS as = M msS;






set2D(1; 9; 1; 14);

;0 dash0);

			Мал. 1.11: Піраміда
p5 = pointsPlot(
p5 = pointsPlot(

[0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 D 0; 0 E 0; 0 a 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 d 0; 0 M 0; 0 m 0; 0 S 0];

); showPlots(; 0 noAxes0);

1.3.2 Наслідок

У правильної зрізаної піраміди верхня основа є правильний багатокутник, подібний до нижньої основи, а бічні грані суть рівні і рівнобічні трапеції (1.11).

Висота будь-якої з цих трапецій називається апофемою правильної усіченої піраміди.

1.3.3 Теорема про паралельний переріз у піраміді

Якщо дві піраміди з рівними висотами розсічені на однаковій відстані від вершини площинами, паралельними підстав, то площі перерізів пропорційні площам підстав.

Нехай (1.12) B і B1 площі підстав двох пірамід, H висота кожної з них, b і b1 площі перерізів площинами, паралельними підстав і віддаленими від вершин на одну і ту ж відстань h.

Відповідно до попередньої теореми ми матимемо:

H2 B1

set2D(2; 36; 2; 23);

23 );

p10 = tablePlot(			;0 arrow0);

p11 = tablePlot(			;0 arrow0);

p12 = tablePlot(			;0 arrow0);

p13 = tablePlot(			;0 arrow0);

p14 = tablePlot(				;0 dash0);