Sistemi elektroda sa složenim dvodimenzionalnim elektrostatičkim poljima mogu se izračunati korištenjem metode konformnog mapiranja. Osnovna ideja ove metode je da se složena polja zamijene jednostavnim poljima za koja su rješenja poznata. Takva jednostavna polja uključuju polja ravnog ili cilindričnog kondenzatora udaljena od njihovih rubova. Metoda konformnih preslikavanja je praktična primjena teorije funkcija kompleksne varijable. Konformno preslikavanje je kontinuirano preslikavanje koje čuva oblik infinitezimalnih (i.m.) figura. Za konformno preslikavanje zadovoljena su svojstva konstantnosti uglova i konstantnosti napetosti. Ime dolazi od kasnog latinskog - conformis je slično, kontinuirano preslikavanje koje čuva oblik infinitezimalnih figura: na primjer, b.m. krug ostaje b.m. okolo; uglovi između pravih u tački njihovog međusobnog preseka se ne menjaju. Područje primjene metode konformnog mapiranja za proračun električnih polja su dvodimenzionalna elektrostatička polja.

Konformna transformacija preslikava svaku tačku z=x+j×y stvarno izračunato polje, opisano kompleksnom ravninom, do tačke w=u+j×v još jedan složeni avion, sa jednostavnijom konfiguracijom polja. Glavna poteškoća metode je pronalaženje tipa funkcije za dati stvarni elektrodni sistem. U praksi, kada se pokušava pronaći funkcija konformnog preslikavanja, koriste se ili posebni katalozi konformnih preslikavanja, ili se traže uzastopnim pokusima.

Pretpostavimo da znamo oblik neke transformacije z=f(w) ili obrnutu transformaciju w=f(z), koji uspostavlja korespondenciju jedan-na-jedan između dvije kompleksne ravni sa kompleksnim ( z) i jednostavno ( w) konfiguracija polja. Faktor konverzije je omjer dw/dz.

ovdje se koriste omjeri:

, . (2.94)

Slično, možete napisati:

. (2.95)

Dva kompleksna broja su jednaka ako imaju odvojene realne i imaginarne dijelove. Upoređujući vrijednosti koeficijenta konverzije date u izrazima (2.93) i (2.95), možemo napisati:

Izrazi (2.96) su poznati kao Cauchy-Riemann uslovi. Koristeći različite oblike predstavljanja kompleksnih brojeva, faktor konverzije se može zapisati kao:

gdje je koeficijent promjene dužine segmenata tokom transformacije, a tg(j) = b/a(j je ugao rotacije segmenata tokom transformacije). Iz Cauchy-Riemannove relacije dobijamo:

(2.99)

Iz relacija (2.97) - (2.98) slijedi da je koeficijent konformne transformacije M je relativna jačina električnog polja i svaka od funkcija u I v može se izabrati kao potencijal na novoj kompleksnoj ravni w=f(u,v). Ovaj zaključak se može provjeriti i na drugi način. Ako funkcije u I v može se izabrati kao potencijal, onda svaki od njih mora zadovoljiti Laplaceovu jednačinu: D u=0 i D v=0. Ovo se može potvrditi direktnim ponovnim diferenciranjem Cauchy-Riemannovih uslova. Razlikujte prvi uslov s obzirom na X, i drugi at; sumirati rezultat; prenosimo sve značajne derivate na lijevu stranu zapisa i ostavljamo nulu na desnoj strani:

; ; . (2.100)

Iz rezultirajućeg izraza slijedi da je funkcija u zadovoljava Laplasovu jednačinu (1.25), (1.30) i može se uzeti kao potencijal. Razlikujte 1. uslov s obzirom na at, a 2. - po X:

; ; , (2.101)

one. i funkciju v također zadovoljava Laplaceovu jednačinu i također se može uzeti kao potencijal. Budući da su sile i ekvipotencijalne linije na ravni z=f(x,y) su međusobno okomite, a konformna transformacija ostavlja uglove između pravih u tački njihovog presjeka nepromijenjenim, tada iz (2.97) ¸ (2.101) slijedi da ako je funkcija u uzeti, na primjer, kao potencijal, onda linija sa v=const - je linija sile. Ako v onda je potencijal u=const – linija sile. Koja od funkcija u ili v je potencijal, a koju liniju sile treba odrediti analizom konformne transformacije polja na prvobitnoj ravni z=f(x,y) na terenu u avionu w=f(u,v). Bilo koja funkcija z=f(w)(ili w=f(z)) daje nam rješenje nekog problema elektrostatike. Možete smisliti proizvoljnu funkciju, pronaći rješenja za nju, a zatim odabrati odgovarajući sistem elektroda za pronađena rješenja. Ovom metodom (pozadi naprijed) pronađena su mnoga rješenja elektrostatičkih problema.

Prilikom određivanja jačine električnog polja metodom konformnih preslikavanja treba uzeti u obzir sljedeću važnu okolnost. Slika električnog polja u potpunosti je određena geometrijskim parametrima elektrodnog sistema, bez obzira na prostornu skalu i primijenjeni napon. Stoga se polje može opisati jačinom po jedinici napona ili dužine. Izrazi (2.97)-(2.98) predstavljaju upravo takvu relativnu tenziju. Da bi se dobila stvarna napetost, potrebno je uzeti u obzir stvarni primijenjeni napon i stvarnu udaljenost između elektroda. Ovo se radi množenjem izraza (2.97)-(2.98) faktorom razmjera K m. Neka je udaljenost između elektroda u ravnini w jednaki u 2 -u 1 (v 2 -v 1) ako se funkcije uzimaju kao ekvipotencijalne linije u ili v, odnosno. Tada faktor skale poprima oblik:

K m= U/(u 2 -u 1) ili K m= U/(v 2 -v 1). (2.102)

Cilindrični kondenzator. Iako je proračun elektrostatičkog polja cilindričnog kondenzatora dat u §2.5, razmotrićemo ga kao primer primene metode konformnih preslikavanja. Polje cilindričnog kondenzatora (polje dva koncentrična kruga) na ravni hu može se preslikati u uniformno polje (polje pločastog kondenzatora) sljedećom transformacijom:

z = e w; x + j×y = e u+jv = EU(Koz v+j×Sin v).

Odvojimo stvarne i imaginarne dijelove:

Prava linija u pravom avionu z, prolazeći kroz ishodište koordinata sa uglom nagiba prema osi X jednaka v=const postaje prava linija na ravni w, paralelno sa x-osom.

At u= const u avionu w dobija se sistem pravih linija paralelnih sa y-osi. Na površini z odgovaraju sistemu koncentričnih krugova. Očigledno, linije u= const treba uzeti kao potencijalne linije, i v- za linije sila. Napon ćemo izračunati prema formuli (2.97):

Dužina konvertovanog malog segmenta kada se prenese iz ravni z u avion w mijenja se u 1/ r puta kada r je udaljenost do središta krugova. Što je dalje od centra, to je manji koeficijent promjene dužine segmenata. Preneseni segment se rotira za ugao j = arctg(- y/x). Ugao između zraka koji ide od početka do sredine konvertovanog segmenta i ose X postaje nula. Svi radijusi uključeni z- avioni se pretvaraju w- ravni u pravoj paralelnoj osi u. Faktor razmjera

tenzija

(2.103)

Rezultirajuća formula (2.103) poklapa se, kao što se očekivalo na temelju teoreme jedinstvenosti, s izrazom (2.18) dobivenim korištenjem Ostrogradsky-Gauss teoreme.

Polje unutar pravog ugla formirano od dvije ravni

Kao još jedan primjer primjene metode konformnih preslikavanja, razmotrite polje formirano od dvije beskonačne vodljive međusobno okomite ravni. Očigledno, takav sistem elektroda ima translacijsku simetriju sa beskonačno malim korakom translacije duž ravni i ravni simetrije koja prolazi pod uglom od 45° u odnosu na svaku od ravnina. Takvo polje se svodi na dvodimenzionalno polje, a za određivanje njegovih parametara dovoljno je izračunati karakteristike polja između jedne od ravni i ravni simetrije. Za dvodimenzionalna polja može se primijeniti metoda konformnog preslikavanja. Polje u z- ravan okomita na liniju preseka naelektrisanih ravni, prikazanu na slici 2.20a. Za osovine X I at linije preseka naelektrisanih ravni sa z- avion. Polje unutar pravog ugla kojeg formiraju dvije ravni transformacijom se pretvara u uniformno polje w = z 2. Pokažimo to:

w= u+jv = z 2 = (x+jy) 2 = x 2 + j 2xy – y 2 ; u = x 2 – y 2 ; v = + j 2xy.

At u= konstantne linije paralelne osi v na površini w, transformiraju se u porodicu jednakokrakih hiperbola x 2 – y 2 = ali 2 u avionu z. Osa 0 X je realna (fokalna) osa hiperbole i osa at njegove imaginarne ose. Prava linija koja prolazi kroz ishodište pod uglom od 45° prema osi X (u = 0; y = x), je linija ukrštanja z je ravan sa ravninom simetrije i asimptota hiperbole. Ugao presjeka hiperbole sa osom X jednak je 90°, tj. funkcionalne linije u=X 2 -at 2 su okomite na ekvipotencijalnu liniju X(površine nabijene ravni X).

Funkcije v = 2xy na različitim vrijednostima v opisati drugu porodicu jednakokrakih hiperbola čije osi X I at su asimptote, i prava at = X je fokusna osa. Slika 2.20a prikazuje hiperbole sa v= 4, 16, 36. S v= 0 hiperbola se degenerira u koordinatnu osu X I at, koji se poklapaju sa naelektrisanim ravnima. Pošto je površina nabijenih ravni površina istog potencijala, očito je da je to funkcija v mora se uzeti kao potencijalna funkcija na ravni w. U ovom slučaju, funkcija u je funkcija snage. Polje dviju beskonačnih međusobno okomitih ravni (ose X I at na z- ravan) pretvara se u homogeno polje beskonačno nabijene ravni (os v na w- avioni).

Konformna transformacija, uz očuvanje oblika infinitezimalnih figura, može značajno promijeniti oblik konačnih figura. Primjer takve promjene je transformacija kvadrata a b c d sa koordinatama ali(0,8;0,8), b(0,8;4), c(4;4), d(4;0,8) uključeno z- ravni u krivolinijski četverougao a¢b¢c¢d¢ sa koordinatama a¢(0;1,28), b¢(-15,36;6,4), c¢(0;32), d¢(15.36; 6.4) dalje w- avioni.

Odredimo relativnu jačinu elektrostatičkog polja naelektrisanih ravni Sl.2.20a. Od dvije formule (2.97) i (2.98), koristit ćemo (2.98) da odredimo intenzitet, jer je to funkcija v = 2xy opisuje sistem ekvipotencijalnih površina (linija). Linearni faktor konverzije:

, (2.104)

Dužina malog segmenta koji se konvertuje kada se prenese iz z- avioni uključeni w- ravan se povećava za 2 r puta kada r=X 2 +at 2 - udaljenost do z- ravan od početka do centra segmenta. Segment koji se pomera rotira za ugao j = arctg( y/x). Postoji udvostručenje ugla između zraka koji ide od početka do sredine segmenta i ose X. Faktor razmjera K m = U/(v 2 -v 1) = U/(2x 2 y 2 -2x 1 y jedan). Jačina polja se određuje množenjem relativne jačine faktorom skale: E=E¢×K m. Neka faktor skale bude K m\u003d 100 v / m. Odredimo jačinu polja u dvije tačke na nabijenoj ravni: bliže kutu presjeka ravnina n 1(1;0) i udaljen od njega n 2 (5;0).

W/m, ×w/m.

Što je bliže uglu, jačina polja je niža. Ovaj rezultat se može očekivati ​​iz slike polja na slici 2.20: rastojanje između ekvipotencijalnih linija opada sa rastojanjem od ugla. Bilo koja depresija (udubljenje, šupljina, šupljina, pukotina, itd.) na površini elektrode može se približno opisati razmatranim problemom. Zatim, uzimajući u obzir rezultate prethodnog odjeljka, možemo zaključiti: blizu vrha ili izbočine, jačina električnog polja raste, a u blizini udubljenja ili rupe ona slabi. Obrazac sličan slici 2.20a ponašanja sila i ekvipotencijalnih linija uočen je blizu tačke grananja polja od dva slična naelektrisanja (§2.11).

Polje na rubu ravnog kondenzatora (profil Rogowskog)

Postavimo početak koordinata na z- ravan tako da os X bio paralelan sa ravnima ploča kondenzatora i bio je na istoj udaljenosti od njih a. Osa at je okomita na ploče i prolazi kroz njihove rubove. Funkciju preslikavanja polja na ivici ravnog kondenzatora u homogeno polje dobio je Yu. K. Maxwell 1881. godine u obliku:

. (2.105)

Nakon odvajanja varijabli, dobijamo:

At v I= 0, y = 0, . At VII=p, y= a, .

Očigledno je da kao funkciju treba izabrati potencijalnu funkciju v.

,

S obzirom na to K m=U/(VII-VI) = U/str

(2.106)

At u < -5 в области от v I=0 do VII=p ispada skoro jednolično polje sa intenzitetom U/a. At u®0 napetost na elektrodi ( v=v II = p) snažno raste i teži ka beskonačnosti kao u=0. Najveća napetost u stvarnim sistemima ne nestaje:

. (2.107)

Sa konačnom debljinom obloge kondenzatora v¹p i napetost ostaje konačna. vrijednost v treba odabrati tako da se ekvipotencijalna površina poklapa sa stvarnom površinom ploče kondenzatora. Neka bude v\u003d 174 ° \u003d 29p / 30, zatim omjer napetosti na rubu elektrode i prosječne napetosti:

.

Može se vidjeti da čak i na prilično tupim rubovima napetost naglo raste. Ovaj omjer se može učiniti blizu jedinice ako je površina elektrode napravljena u obliku ekvipotencijalne površine sa v£ p/2. Takav profil elektrode naziva se profil Rogowskog (slika 2.21c). Na daljinu ali= p (razmak između ploča je 2p) ima koordinate v= p/2 i za to x = u+1; y= p/2+ EU, tj. at= p/2+ e (X-1) (2.108)

Rogowski profil je od velike praktične važnosti u eksperimentima na slomu u polju blizu uniformnog kako bi se eliminisao efekat ivice. U središtu uređaja sa Rogowski elektrodama nalazi se jednolično polje.

Polje podijeljenih žica.

U visokonaponskim dalekovodima, fazna žica je podijeljena na nekoliko vodiča kako bi se smanjio gubitak prenesene snage zbog koronskog pražnjenja. Da opišem polje podjele

žice možete uživati ​​u funkciji prikaza, gdje n –

broj pojedinačnih provodnika na koje je fazni provodnik podijeljen. Kao ilustraciju metode konformnih preslikavanja, razmotrite podjelu na dvije žice ( n=2). (Imajte na umu da se ovaj slučaj može vrlo jednostavno riješiti metodom slike)

Pustite avion z okomito na razdvojene žice. Odaberimo osu X na z ravni tako da prolazi kroz ose žica. Neka osovina y prolazi kroz sredinu segmenta između žica. Rješenje je uvelike pojednostavljeno ako pronađemo ne funkcije x,y=f(u,v), i funkcije u, v = f(x,y). Razdvajanjem stvarnih i imaginarnih dijelova dobijamo:

,

Ekvipotencijalne linije odgovaraju funkciji u. Da funkcioniše u je jednak nuli, logaritam mora biti jednak nuli, a izraz u uglastim zagradama mora biti jednak 1. Tada je relacija ispunjena:

(X 2 +at 2) 2 = 2ali 2 (X 2 -at 2)

Ova funkcija ide kroz ishodište z- avioni. At u u rasponu -1,28< u < 0 на z- ravno uočene kružne površine desno i lijevo od ose at. At u£ -1,28 ovo su praktično tačke sa koordinatama X = -ali I X = ali. At u> 0 rješenja su zatvorene krive, koje kao u po obliku približan krugovima. Ove krive su potencijalne linije polja dva cilindra sa naelektrisanjem istog predznaka, tj. polja dvije žice sa istim potencijalom. Najveći interes su tačke na površini žica R 2 i R 1, u kojoj se uočava najveća i najniža jačina polja. Dot R 2 se nalazi na površini žice u tački koja je najudaljenija od druge žice i ima koordinate:

,

Uzimajući u obzir faktor skale za tačku p 2 dobijamo:

. (2.109)

Na s®0, sistem elektroda se pretvara u sistem od dva koaksijalna cilindra ( b=0, s=0) (vidi (2.18)):

Tipično za dalekovod p ³ 200.

Pitanja za samoispitivanje

1. Dajte osnovne Laplaceove jednačine u prostoru, homogenom i ravnoparalelnom polju.

2. Navedite formule za izračunavanje potencijala i jačine polja tačkastog naboja. Odredite kapacitet jedne metalne kugle.

3. Navedite formule za izračunavanje potencijala i jačine polja jedne beskonačno tanke ravne žice beskonačne dužine.

4. Gdje je područje s maksimalnom jačinom polja koaksijalnog kabla. Pronađite optimalni promjer unutrašnjeg jezgra za datu veličinu vanjske ljuske i potencijalnu razliku između njih. Odredite kapacitet po jedinici dužine koaksijalnog kabla.

5. Zašto se kablovi prave sa izolacijom od raznih vrsta dielektrika?

6. Objasnite dizajn ulaza kondenzatora i njegovu namjenu.

7. Šta je metoda preklapanja, a šta parcijalna kapacitivnost?

8. Šta je električni dipol, koje su karakteristike dipolnog polja? Za objašnjenje koje se pojave koristi koncept dipola?

9. Koja je sličnost i razlika između polja dva slična i različita naboja?

10. Grafički prikažite polje dviju suprotno nabijenih beskonačnih ose. Dajte formule za izračunavanje takvog sistema i označite tačke sa maksimalnom jačinom polja.

11. Šta je metoda refleksije? Objasniti suštinu metode na primjeru izračunavanja parametara polja jedne žice iznad zemlje.

12. Navedite metodu za izračunavanje parametara polja tačkastog naelektrisanja koje se nalazi u blizini metalne lopte.

13. Odredite jačinu električnog polja na površini jedne žice koja se nalazi iznad tla.

14. Kako odrediti parametre polja trofaznog voda?

15. Odredite maksimalnu napetost razmaka lopte.

16. Navedite metodu za određivanje parametara polja koje stvara provodnik konačne dužine.

17. Navedite metodu za pronalaženje parametara polja stvorenog nabojem prstena.

18. Navedite metodu za pronalaženje parametara polja koje stvara nabijeni disk.

19. Kako parametri polja zavise od radijusa zakrivljenosti površine elektrode? Zašto izgladiti i brusiti površine visokonaponskih elektroda?

20. Objasniti suštinu metode konformnih preslikavanja i navesti redoslijed računanja po ovoj metodi.

21. Šta je Rogowski profil?

22. Kako nastaje prostorni naboj i kako mijenja karakteristike električnog polja?

23. Koja od karakteristika električnog polja je analogna energiji?

24. Koja od karakteristika električnog polja je analogna sili?

25. U koju svrhu se na dalekovodima nazivnog napona od 330 kV i više provodnik jedne faze dijeli na više paralelnih provodnika? Odredite tačke sa maksimalnom napetošću na razdvojenim žicama. Kolike su udaljenosti između razdvojenih provodnika?

26. Gdje je jačina električnog polja u blizini površine zemlje veća: u udubini (jama, jaruga) ili na brdu (brdo, humka)? Grafički i računski obrazložite svoj odgovor.

27. Kako se mijenja jačina električnog polja na nivou tla ispod jednostrukog dalekovoda sa horizontalnim rasporedom faznih žica?

28. Navedite algoritam za izračunavanje kapacitivnosti prema zemlji trofaznog nadzemnog voda.

29. U koju svrhu se postavljaju prstenasti ekrani na visokonaponskim uređajima?

30. Izvesti formule za proračun parametara cilindričnog kondenzatora.

Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod

Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

Konformna preslikavanja

1. Geometrijsko značenje derivacije funkcije kompleksne varijable

funkcija konformnog preslikavanja

Geometrijsko značenje derivacionog argumenta

Prvo se prisjećamo nekih informacija o krivuljama. Svaka kriva u ravni može biti data parametarskim jednačinama

x=x(t), y=y(t), b? t? u 1)

gdje su x (t), y (t) realne funkcije realne varijable t. U nastavku se pretpostavlja da ove funkcije imaju kontinuirane izvode na intervalu (b, c), a x "(t) i y" (t) ne nestaju istovremeno. Kriva sa ovim svojstvima naziva se glatka.

Pošto je svaka tačka (x, y) na ravni data kompleksnim brojem z = x + iy, jednadžbe (1) se mogu napisati u kompaktnijem obliku:

z (t) = x (t) + i y (t), b? t? in.

Uzmimo vrijednosti t 0 i t 0 + Dt iz intervala (b, c). Oni odgovaraju tačkama z (t 0) i z (t 0 + D t) na krivoj.

Vektor Dz = z (t 0 + Dt) - z (t 0) \u003d Dx + i Dy usmjeren je duž sekanse koja prolazi kroz ove tačke.

Ako pomnožimo Dz sa realnim brojem 1/ Dt, dobićemo vektor Dz / Dt, kolinearan vektoru Dz. Počnimo s smanjivanjem Dt. Tada će se tačka z (t 0 + Dt) približiti z (t 0) duž krive; vektor Dz/ Dt će se rotirati, približavajući se vektoru

Granični položaj sekanti koji prolaze kroz tačku z (t 0) naziva se tangenta na krivu u ovoj tački. Dakle, vektor z"(t 0) je usmjeren tangencijalno na krivu u tački z (t 0).

Sada neka je data funkcija f (z) koja je analitička u tački z 0, i f "(z 0) ? 0. Pretpostavimo dalje da kriva r prolazi kroz tačku z 0, datu jednadžbom z (t) = x (t) + iy (t), i z (t 0) = z 0. Krivulja r preslikava funkcija w \u003d f (z) u krivu Γ koja leži u ravni varijabla w; jednadžba krive Γ će izgledati kao w (t) \u003d f (z (t )); tačka z 0 će biti preslikana u tačku w 0 = f (z 0). Prema pravilu diferencijacije složene funkcije

w "(t 0) = f" (z 0) ? z "(t0).(2)

Otuda to slijedi

Arg w "(t 0) = Arg f" (z 0) + Arg z "(t 0).(3)

Ali z "(t 0) je vektor tangenta na krivu r u tački z 0 (slika 1a), a w" (t 0) je vektor tangenta na krivu r u tački w 0 (slika 1b ). Dakle, jednakost (3) nam omogućava da vrijednost Arg f "(z 0) damo sljedeće geometrijsko značenje: argument derivacije jednak je kutu za koji tangenta u tački z 0 rotira na bilo koju krivu koja prolazi kroz ovu tačku, kada se preslikava w = f (z). Imajte na umu da ovaj ugao ne zavisi od krive r, tj. tangente na sve krive koje prolaze kroz tačku z 0 rotiraju kada se mapiraju w = f (z) za isti ugao jednako Arg f "(z 0) .

Uzmimo bilo koje dvije krive r i r1 koje prolaze kroz tačku z 0 i povucimo tangente na ove krive (slika 1a). Kada se prikaže

w = f(z) krive r i r1 će prelaziti u krive r i r1, a svaka od tangenta na r i r1 će se okretati pod istim uglom. Stoga će ugao i između tangenti na r i r1 biti jednak (i ​​po veličini i u smjeru reference) kutu između tangenti na r i r 1. Podsjetimo da je ugao između krivih u tački z 0 je ugao između tangenti na ove krive u tački z0. Dakle, ako je f "(z 0) ? 0, tada preslikavanje w \u003d f (z) čuva uglove između krivih. Imajte na umu da u ovom slučaju, ne samo apsolutna vrijednost uglova između krivih r i r1 i sačuvana je njihova slika, ali i pravac uglova Ovo svojstvo ovog preslikavanja se zove svojstva očuvanja ugla.

Geometrijsko značenje modula derivacije

Fiksiramo tačku z 0 i uzimamo prirast argumenta Dz; očito je da je modul |Dz| je jednako rastojanju između tačaka z 0 i z = z 0 + Dz (slika 2a). Neka je w = f (z), Dw = w - w 0 . Tada je količina |Dw| / |Dz| pokazuje u kom omjeru se mijenja udaljenost između tačaka z 0 i z kao rezultat preslikavanja w = f (z). Granica se naziva faktor rastezanja u tački z 0 ispod preslikavanja w = f (z). Ukoliko

zatim modul | f "(z 0) | jednako je faktoru rastezanja u tački z 0 ispod preslikavanja w = f (z). Ako je | f "(z 0) | > 1, tada se u dovoljno maloj okolini tačke z 0 rastojanja između tačaka tokom preslikavanja povećavaju i dolazi do rastezanja; ako | f "(z0)|< 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название svojstva trajnog rastezanja.

Pošto izvod f"(zo) ne zavisi od toga na koji način tačka z 0 + Dz prilazi z 0, onda je koeficijent rastezanja isti u svim pravcima. Ovo svojstvo se može ilustrovati na sledeći način. Uzmite kružnicu l sa centrom z 0 i radijusom |Dz| (tj. priraštaji Dz imaju fiksni modul, ali različite smjerove - slika 2a). Pod preslikavanjem w = f (z), ovaj krug prelazi u krivu L (sl. 2b); udaljenost od tačke w = f (z 0 + Dz) ove krive do tačke w 0 = f (z 0) je

|Dw| = |w - w 0 | \u003d |f (z 0 + Dz) - f (z 0) |.

Budući da je Dw \u003d f "(z 0) Dz + b (Dz) Dz, gdje je b (Dz)\u003e 0 za Dz > 0, tada |w - w 0 | \u003d |f "(z 0) Dz + b (Dz) Dz|. Ova jednakost znači da će se tačke krive L malo razlikovati od kružnice |w -- w 0 | = |f " (z 0)| | Dz| sa centrom w 0 i poluprečnikom |f " (z 0)| | Dz| (tačnije, razlikovaće se od ovog kruga za vrednost višeg reda male veličine od |Dz| -- sl. 2b).

2. Koncept konformnog preslikavanja

Preslikavanje se naziva konformnim u tački z 0 ako: 1) ovo preslikavanje čuva uglove između bilo koje dvije krive koje prolaze kroz tačku z 0 ; 2) istezanje u tački z 0 ne zavisi od pravca.

Ako konformno preslikavanje također čuva smjer brojanja uglova, onda se naziva konformno preslikavanje prve vrste; ako je smjer brojanja uglova obrnut, onda konformnim preslikavanjem druge vrste.

Gore dobijene rezultate formuliramo u obliku teoreme.

Teorema 1. Ako je funkcija w \u003d f (z) analitična u tački z 0 i f "(z 0)? 0, tada f (z) implementira konformno preslikavanje prve vrste u tački z 0. Štaviše , Arg f "(z 0 ) označava ugao rotacije, a |f " (z 0)| je faktor rastezanja za dati prikaz.

Primjer konformnog preslikavanja druge vrste daje funkcija (ne analitička!) w = , koja preslikava svaki region D na regiju E, koja je simetrična prema D u odnosu na osu OX.

Ako je f "(z 0) = 0, tada preslikavanje, općenito govoreći, više neće biti konformno u tački z 0. Dakle, preslikavanje w \u003d z 2 udvostručuje uglove između zraka u početku.

Napominjemo da je, s obzirom na opšta svojstva analitičkih funkcija, u okolini tačke w 0 definisana jednoznačna analitička funkcija z = u(w). Dakle, uspostavljena je korespondencija jedan prema jedan između susjedstava tačaka z 0 i w 0. Uvodimo sljedeću osnovnu definiciju.

Definicija. Jedan-na-jedan mapiranje područja? kompleksne ravni z na domenu G kompleksne ravni w kaže se da je konformno ako je ovo preslikavanje u svim tačkama z ? ima svojstva očuvanja uglova i konstantnosti istezanja.

Naglašavamo da ova definicija implicira kontinuitet mapiranja koje se razmatra.

Hajde sada da saznamo koja svojstva mora imati funkcija kompleksne varijable da bi preslikavanje koje vrši ova funkcija bilo konformno. Vrijedi sljedeća teorema.

Teorem 2. Neka je funkcija f (z) jednoznačna i univalentna analitička funkcija u domeni? i f "(z) ? 0 na z?

Dokaz. Zaista, na osnovu uslova f "(z) ? 0 na z ? preslikavanje koje vrši funkcija f(z) u svim tačkama domene? ima svojstva očuvanja uglova i konstantnosti proširenja, što dokazuje teoremu .

Dakle, uslovi za analitičnost, univalentnost i izvod koji nije nula od funkcije kompleksne varijable su dovoljni uslovi za konformalnost preslikavanja koje vrši ova funkcija. Prirodno je zapitati se da li su uslovi neophodni. Na ovo pitanje odgovara sljedeća teorema.

Teorema 3. Neka funkcija f (z) izvrši konformno preslikavanje domene? kompleksna ravan z na domenu G kompleksne ravni w i ograničena je na?. Tada je funkcija f(z) univalentna i analitička u području?, a f"(z) ? 0 za z?.

Dokaz. Pošto je preslikavanje koje vrši funkcija f (z) konformno, ono je jedno-prema jedan, au bilo kojoj tački z 0 ? zadovoljena su svojstva očuvanja uglova i konstantnosti napetosti. Stoga, za bilo koje tačke z 1 i z 2 koje pripadaju susjedstvu tačke z 0 , do infinitezimalnih vrijednosti, relacije

gdje su Dz 1 = z 1 - z 0 i Dz 2 = z 2 - z 0 beskonačno mali linearni elementi koji izlaze iz točke z 0, a Dw 1 i Dw 2 su njihove slike (slika 3).

Imajte na umu da su, na osnovu (4), odgovarajući uglovi u tačkama z 0 i w 0 jednaki ne samo po apsolutnoj vrednosti, već i po pravcu. Označavajući arg sa, iz (4) nalazimo da je arg. stvarno,

Iz (5) i (6) dobijamo da, do infinitezimalnih vrijednosti, imamo relaciju

Zbog proizvoljnog izbora tačaka z 1 i z 2 u okolini tačke z 0, relacija (7) znači da postoji ograničenje relacije razlike u. Ova granica, po definiciji, je derivacija funkcije f (z) u tački z 0 . Pošto je ova derivacija različita od nule:

Tačka z 0 - proizvoljna tačka oblasti?; stoga iz (8) slijedi da je funkcija f(z) analitička u području? i f "(z) ? 0 za z ?. Univalentnost slijedi iz preslikavanja jedan na jedan. Teorema je dokazana. Dakle, konformno preslikavanje domene? kompleksne ravni z na domen G kompleksa ravan w obavljaju samo univalentne analitičke funkcije kompleksne varijable s izvodom različitom od nule u svim tačkama regije?.

Imajte na umu da je uslov f"(z) ? 0 svuda u domeni? nužan, ali ne i dovoljan uslov za konformalnost preslikavanja domene? na domenu G, realizovanu funkcijom f(z).

3. Opća svojstva konformnih preslikavanja

Teorema 4. (Riemann-ova teorema). Neka su D i D" jednostavno povezane domene na proširenim ravnima varijabli z i w, redom, a granice ovih domena sastoje se od više od jedne tačke. Tada postoji analitička funkcija koja preslikava D na D" jedan prema jedan i konformno.

Iz Riemannove teoreme slijedi da se jednostavno povezana domena D ne može konformno preslikati na jediničnu kružnicu |w|< 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).

Preslikavanje w = f (z) domene D na D", koje postoji prema Riemannovoj teoremi, nije jedinstveno. Da bi se jednoznačno odredilo konformno preslikavanje, potrebno je specificirati dodatne uslove, zvane uslovi normalizacije, koji sadrže tri realna parametra. na primjer, dovoljno je u bilo kojoj tački z 0 područje D postaviti vrijednosti

w 0 = f(z 0), .(9)

Ovdje dvije koordinate tačke w 0 i realan broj djeluju kao parametri. Uslovi (9) znače da je preslikavanje w = f(z) jedinstveno ako za bilo koju tačku z 0 domene D specificiramo njenu sliku w 0 u domeni D" i ugao rotacije infinitezimalnih vektora u tački z 0 .

Mogu se specificirati i drugi uvjeti normalizacije osim (9). Na primjer, date su slike jedne unutrašnje i jedne granične točke regije D:

f(z 0) = w 0 , f(z 1) = w 1 ,

gde su z 0 , w 0 unutrašnje tačke regiona D, D", az 0 , w 0 su granične tačke ovih regiona. Ovde postoje i tri realna parametra: dve koordinate tačke w 0 i pozicija tačke granična tačka w 1 , koja je određena jednim realnim brojem (na primjer, udaljenost ucrtana duž granice područja D" od neke fiksne granične točke). Naznačimo još jednu varijantu uslova normalizacije:

f(z k) = w k , k = 1,2,3,

gdje su z k i w k granične tačke domena D i D".

Formulirajmo sljedeće važno svojstvo konformnih preslikavanja.

Svojstvo 1. (princip očuvanja područja). Ako je funkcija w = f(z) analitička u domeni D i različita od konstante, tada je skup D" na koji preslikava D također domen (tj. otvoreni povezani skup).

Prijeđimo na iskaze koji opisuju korespondenciju granica pod konformnim preslikavanjima.

Svojstvo 2. (princip korespondencije granica). Neka su D i D" jednostavno povezane domene ograničene neprekidnim zatvorenim konturama G i G" sastavljene od konačnog broja glatkih krivulja. Neka, dalje, funkcija w = f(z) preslikava D konformno na D". Tada se ova funkcija može proširiti i na tačkama granice Γ tako da postane kontinuirana u zatvorenom domenu i preslikava Γ jedan na- jedan i kontinuirano na Γ".

Ovo svojstvo znači da kada se dva regiona konformno preslikaju jedan na drugi, uspostavlja se jedno-prema-jedan i kontinuirana korespondencija između njihovih granica.

Svojstvo 3. Pod jedan-na-jedan i konformnim preslikavanjem domena D i D" zadržava se smjer obilaženja njihovih granica.

Drugim riječima, ako regija D ostane na lijevoj strani za vrijeme prelaska granice, onda ova regija ostaje lijevo za vrijeme odgovarajućeg obilaska granice regije D.

Sljedeće svojstvo je od velike važnosti za konstrukciju konformnih preslikavanja.

Svojstvo 4. (princip obrnutih granica).

Neka su jednostavno povezane domene D i D" ograničene krivuljama Γ i Γ". Neka, dalje, funkcija w = f(z), analitična u D i kontinuirana u, preslikava Γ jedan-na-jedan na Γ", i kada tačka z obiđe konturu Γ tako da područje D ostaje lijevo , odgovarajuća tačka w obilazi konturu Γ "tako da domen D" također ostaje lijevo. Tada funkcija w = f(z) vrši jedno-na-jedan konformno preslikavanje domene D na domenu D" .

Dakle, da bi se pronašlo područje na koje funkcija w = f(z) preslikava dato područje D, dovoljno je zaobići granicu područja D i pronaći konturu na koju je ta granica mapirana funkcijom f(z) .

4. Glavne funkcije

Linearna funkcija

Funkcija w = az + b,(10) , gdje su a i b dati kompleksni brojevi, a a?0, naziva se linearna funkcija. Pošto je w"= a? 0, onda je preslikavanje (10) konformno u cijeloj ravni C. Dokažimo da je i univalentno u C. Ako je w 1 = az 1 + b, w 2 = az 2 + b, onda w 1 -- w 2 = a(z 1 -- z 2). Dakle, za z 1 ? z 2 dobijamo da je w 1 ? w 2, i univalentnost je uspostavljena. Stavljajući w(?) = ? po definiciji, dobijamo kompleksnu ravan na.

Da bismo proučavali geometrijska svojstva preslikavanja (10), prvo ćemo razmotriti slučaj b = 0, tj. w=az. Neka je a = , z =

Stoga, da biste dobili vektor w = az, morate izvršiti sljedeće dvije radnje:

1) pomnožimo dati vektor z sa |a|. U ovom slučaju, smjer vektora z će ostati isti, ali će se dužina povećati za |a| jednom. Dakle, množenje sa |a| je transformacija sličnosti (homotetija) sa središtem na ishodištu i koeficijent sličnosti |a|;

2) rotirati rezultujući vektor |a|z za ugao b.

Za razmatranje opšteg slučaja (10), napominjemo da kada se vektor az doda vektoru b, krajnja tačka vektora az se prenosi paralelno sa vektorom b. Dakle, preslikavanje (10) se dobija sastavljanjem (tj. uzastopnim izvršavanjem) sledeće tri operacije: 1) transformacija sličnosti sa središtem na ishodištu i koeficijent sličnosti |a|; 2) rotacija oko ishodišta za ugao 6; 3) paralelni prijenos na vektor b.

Frakcijska linearna funkcija.

Okrenimo se proučavanju linearno-frakcione funkcije definirane jednakošću

i odgovarajuće linearno-frakciono preslikavanje. Jer

onda je prirodno definirati w(?) = a/c, w(--d/c) = ?. Ovako definirana funkcija će biti kontinuirana u cijeloj proširenoj kompleksnoj ravni.

Ako je c = 0, onda je w = i linearno-frakciona funkcija se svodi na već proučavanu linearnu funkciju. Stoga se u daljem tekstu pretpostavlja da 0.

Pomnožimo brojilac i imenilac razlomka (11) sa c i dodamo +ad -- ad u brojiocu. Tada se razlomak (11) može predstaviti kao

Ako je bc -- ad = 0, tada je w = a/c i funkcija (11) se reducira na konstantu. U nastavku pretpostavljamo da su uslovi

od? 0, bc-ad? 0.(13)

Pokažimo da linearno-frakciona funkcija (11) vrši mapiranje jedan-na-jedan na. U tu svrhu riješit ćemo jednačinu (11) za z (ovo je moguće kada je z ≈ -d/c, z ≈ ≈, w ≈ a/c, w ≈ ≠):

Prema tome, svaka vrijednost w ? klimatizacija i w ? ? ima samo jednu predsliku z ? - d/c i z? ?. Ali po definiciji, vrijednost w = a/c odgovara z = ?, a vrijednost w = ? -- vrijednost z = --d/c. Dakle, svaka tačka w ima samo jednu predsliku z, što je trebalo dokazati.

Uspostavimo sada konformalnost preslikavanja (11). Jer

onda na z? - d/c i z? ? derivacija w" postoji i nije jednaka nuli. Prema teoremi 1, linearno-frakciono preslikavanje je konformno svuda osim za ove dvije tačke.

Da bi se razjasnila usklađenost pri z = - d/c i z = ? potrebna nam je sljedeća definicija.

Pod uglom između dvije prave u tački z = ? mislimo na ugao između slika ovih linija ispod preslikavanja w = na početku.

Teorema 5. Linearna frakciona funkcija

Oglas -- bc? 0, w(?) = a/c, w(- d/c) = ?, (14)

izvodi jedno-na-jedan i konformno preslikavanje proširene kompleksne ravni na cjelinu.

Ne isključujemo slučaj c = 0 u teoremi 5, jer u ovom slučaju linearno-frakciona funkcija postaje linearna, takođe ima sva svojstva navedena u teoremi 5.

Uspostavimo sada kružno svojstvo linearno-frakcionog preslikavanja. Za ujednačenost daljih formulacija, zgodno je posmatrati pravu liniju kao krug beskonačno velikog radijusa.

Teorema 6. Kod linearno-frakcionog preslikavanja (14), kružnice uvijek prelaze u kružnice.

(Imajte na umu da krug konačnog radijusa može preći u krug beskonačnog radijusa, tj. u pravu liniju, i obrnuto.)

Dokaz. Razmotrite jednačinu

A (x 2 + y 2) + Bx + Su + D \u003d 0, (15)

gdje su A, B, C, D realni koeficijenti. Za A = 0 dobijamo Bx + Cy + D = 0, tj. jednačina prave linije. Ako A? 0, zatim, dijeljenjem sa A i odabirom punih kvadrata, dolazimo do jednakosti

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = ± R 2

koji definira ili kružnicu ako je +R 2 desno, ili tačku ako je R = 0, ili prazan skup ako je -R 2 desno. S druge strane, bilo koji krug (posebno prava linija) može se definirati jednačinom oblika (15).

Hajde da prvo dokažemo kružno svojstvo za mapu w = 1/z. Uzmite proizvoljan krug na kompleksnoj ravni. Dato je jednačinom (15). Označimo z = x + iy, w = u + iv. Jednakost w = 1/z daje z = 1/w, ili

Da bismo dobili jednadžbu krivulje u koju će krug prijeći pod preslikavanjem w = 1/z, zamjenjujemo pronađene izraze za x i y u (15):

A + B u - C v + D (u 2 + v 2) = 0

Došli smo do jednačine istog oblika kao (15), ali u ravni varijable w = u + iv. Kao što smo ranije vidjeli, takva jednadžba definira ili krug (posebno pravu liniju za D = 0), ili tačku, ili prazan skup. Ali zbog činjenice da je linearno-frakciono preslikavanje jedan prema jedan, krug ne može ići u tačku ili u prazan skup. Dakle, ona ide u krug, a kružno svojstvo preslikavanja w = 1/z je uspostavljeno.

Razmotrimo sada opći slučaj linearno-frakcionog preslikavanja (14). Ako je c = 0, onda dobijamo linearno preslikavanje w = a 1 z + b 1 , koje se svodi na rastezanje s rotacijom i posmikom. Svaka od ovih transformacija očigledno ima kružno svojstvo. Dakle, ovo svojstvo vrijedi i za mapu w = a 1 z + b 1.

Pustite sada sa? 0. Koristeći jednakost (12), predstavljamo linearno-frakciono preslikavanje u obliku

gdje je E=, F=, G=.

Iz jednakosti (16) slijedi da je linearno-frakciono preslikavanje predstavljeno kao kompozicija sljedeće tri transformacije:

1) w 1 = z + G; 2) w2 = 1/w; 3) w = E + Fw 2 . Kao što je gore navedeno, svaka od ovih transformacija prevodi krug u krug. Dakle, i njihov sastav ima ovo svojstvo, što je trebalo dokazati.

Da bismo formulirali još jedno svojstvo linearno-frakcionih preslikavanja, potrebna nam je sljedeća definicija.

Tačke A i A" nazivaju se simetričnima oko kružnice polumjera R< ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и

OA * OA " \u003d R 2. (17)

Ako se tačka A približi kružnici (vidi sliku 4), tj. ako je OA > R, onda O A" takođe teži ka R; svaka tačka na kružnici je simetrična sama sebi; ako je OA > 0, onda OA" > ?. Prema tome, za tačku O, tačka u beskonačnosti će biti simetrična. pod simetrijom u odnosu na

kružnice poluprečnika R = ? odnosi se na uobičajenu simetriju u odnosu na liniju.

Lema 7. Da bi tačke A i A" bile simetrične u odnosu na kružnicu G (moguće beskonačnog poluprečnika), potrebno je i dovoljno da svaka kružnica koja prolazi kroz A i A" bude okomita na G (slika 5 ).

Dokaz. Need. Neka su tačke A i A "simetrične u odnosu na kružnicu G. Nacrtajmo proizvoljan krug G" kroz tačke A i A", a neka je B tačka preseka kružnica G i G". Prema poznatoj teoremi o sekanti i tangenti, proizvod sekante OA" i njenog vanjskog dijela OA jednak je kvadratu tangente. Istovremeno, zbog

simetrija, OA * OA" \u003d R 2. Dakle,

poluprečnik OB je tangent na kružnicu G". Pošto je poluprečnik OB okomit na tangentu na G koja prolazi kroz tačku B, kružnice G i G" su okomite, što je trebalo dokazati. Ako je Γ" prava (to će biti slučaj za A = 0), onda ona prolazi kroz tačku O i stoga je također okomita na Γ.

Adekvatnost. Neka su tačke A i A" takve da bilo koja kružnica (posebno prava linija) koja prolazi kroz njih siječe G pod pravim uglom (vidi sliku 5). Dokažimo da su A i A" simetrični u odnosu na G Pošto je prava AA "okomita na G, onda ona prolazi kroz tačku O. Dakle, tačke O, A, A" leže na jednoj pravoj liniji. Ali oni takođe leže na istoj zraki koja izlazi iz tačke O. Zaista, ako tačke A i A" leže na suprotnim stranama tačke O, tada krug prečnika AA" ne bi bio okomit na G.

Nacrtajte proizvoljni krug G "kroz A i A" poluprečnika R "< ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г". По условию, Г и Г" пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г ". По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА" = R 2 . Следовательно, точки А и А" симметричны относительно Г.

Dokazali smo lemu 7 u slučaju R< ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.

Sada smo spremni uspostaviti sljedeće svojstvo linearno-frakcionih preslikavanja (osobina očuvanja simetrije):

Teorema 8. Kod linearno-frakcionog preslikavanja (14), par tačaka simetričnih u odnosu na kružnicu (posebno prava linija) prelazi u par tačaka simetričnih u odnosu na sliku ove kružnice.

Dokaz. Neka su tačke z 1 i z 2 simetrične u odnosu na kružnicu Γ. Pod linearno-frakcionim preslikavanjem (14), Γ prelazi u krivu r, koja je, prema teoremi 6, takođe kružnica; tačke z 1 i z 2 će ići u tačke w 1 i w 2 . Potrebno je dokazati da su w 1 i w 2 simetrični u odnosu na r. Uzmimo bilo koji krug r "koji prolazi kroz w 1 i w 2 i razmotrimo njegovu inverznu sliku r" pod preslikavanjem (14) (tj. skup tačaka na ravni varijable z, prelazeći u r"). Da bismo to učinili, izražavamo z iz jednačine (14):

sa ad-bc?

Vidimo da se r "dobija iz r" također linearno-frakcionim preslikavanjem. Pošto je r ` kružnica, prema teoremi 6, r ` je također kružnica. Pošto G ` prolazi kroz tačke z 1 i z 2 koje su simetrične u odnosu na G, onda je prema lemi 7 kružnica G ` okomita na G. Zbog konformalnosti linearno-frakcionog preslikavanja, a g ` je okomita na g. Prema lemi 7, slijedi da su tačke w 1 i w 2 simetrične u odnosu na r i dokaz je završen.

Ustanovljena svojstva linearno-frakcionih preslikavanja omogućavaju pronalaženje preslikavanja područja ograničenih krugovima (posebno pravim linijama).

Funkcija napajanja. Koncept Riemannove površine.

Razmotrite funkciju snage

gdje je n prirodan broj. Izvod w" = nz n -1 postoji i različit je od nule u svim tačkama z ? 0, z ? ?. Dakle, preslikavanje koje vrši funkcija (18) je konformno u svim tačkama osim z = 0 i z = ?. Ako zapiši varijable z i w u eksponencijalnom obliku, z = rei u, w = ce i u, tada (18) vodi do jednakosti

c \u003d r n, i \u003d nc.

Ovo pokazuje da su kružnice |z| = r ide u krugove |w| = r n , ugao 0< ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.

Neka su tačke z 1 i z 2 takve da je z 2 \u003d z 1 e i 2 p / n, n? 2. Lako je vidjeti da je z 1 ? z 2 , i. Prema tome, preslikavanje (18) nije jednovalentno u cijeloj kompleksnoj ravni C, već je tako unutar bilo kojeg ugla veličine b< 2 р /n с вершиной в начале координат.

Da bismo uveli inverznu funkciju stepena, potrebne su nam sljedeće definicije.

Višeznačna funkcija kompleksne varijable je pravilo (zakon) prema kojem kompleksnom broju z iz skupa D odgovara nekoliko (moguće beskonačno mnogo) kompleksnih brojeva w.

Sve funkcije koje smo ranije razmatrali (osim funkcije Arg z) bile su jednovrijedne. Funkcija Arg z je višeznačna:

Arg z = arg z + 2rk,

gdje je arg z glavna vrijednost argumenta, a k je bilo koji cijeli broj. U nastavku, pojam funkcija, korišten bez ikakvog objašnjenja, znači jednovrijednu funkciju; polisemija proučavanih funkcija uvijek će biti dodatno specificirana.

Neka funkcija w = f(z) mapira domenu D na domenu E. Inverzna funkcija w = f(z) je funkcija (općenito govoreći, višeznačna) z = g(w) definirana na domeni E, koji svakom kompleksnom broju w E pridružuje sve kompleksne brojeve zD tako da je f(z) = w.

Drugim riječima, funkcija inverzna w = f(z) je pravilo prema kojem svaka tačka wE odgovara svim svojim predslikama zD.

Ako je funkcija w = f(z) univalentna u D, tada je inverzna funkcija jednoznačna (i također univalentna) u E; ako w = f(z) nije univalentna, tada će inverzna funkcija biti višeznačna. Na primjer, funkcija s više vrijednosti z = je inverzna funkciji w = z n : svaka vrijednost w osim 0 i ? odgovara n različitih korijena n-tog stepena, definisanih formulom

Brojevi 0 i? imaju po jedan korijen: a.

Teorema 9. Neka je funkcija w \u003d f (z) univalentna i analitična u domeni D, preslikava D na domenu E i f "(z)? 0. Tada je inverzna funkcija z \u003d g (w) također analitičko u domeni E i

Dokaz. Popravimo proizvoljnu tačku zD i uzmemo prirast Dz ? 0. Tada, zbog univalentnosti funkcije w = f(z), odgovarajući prirast Dw = f(z + Dz) -- f(z) takođe nije jednak nuli. Zbog toga

Kako je funkcija w = f(z) analitička, ona je kontinuirana u tački z.

Dakle, Dw > 0 za Dz > 0, a zbog odnosa jedan-na-jedan vrijedi i obrnuto: Dz > 0 za Dw > 0. Stoga

Q.E.D.

Argument funkcije z = g(w), inverzan w = f(z), je varijabla w. Budući da se argument funkcije često označava sa z, radi uniformnosti, varijable z i w se redesigniraju i upisuje se w = g(z). Na primjer, inverzna funkcija w = z n će biti zapisana kao w = .

Razmotrimo funkciju w = detaljnije. Kao što je gore navedeno, ima više vrijednosti. Ipak, moguće je definirati ovu funkciju na skupu složenijih uređaja od kompleksne ravni, na kojoj funkcija w = postaje jednoznačna i kontinuirana. Hajde da opišemo odgovarajući skup. Uzmimo n primjeraka ("listova") D 0 , D 1 ,..., D n -1 kompleksne ravni, isječenih duž pozitivne poluose, i rasporedimo ih jedan iznad drugog (slika 6a prikazuje slučaj n = 4).

Zatim ta ivica presjeka područja D 0 , kojoj prilazimo odozdo sa zraka OX (tj. duž poluravnine y< 0), склеим с верхним краем разреза области D 1 ; нижний край разреза области D 1 склеим с верхним краем разреза области D 2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза D n -2 с верхним краем разреза D n -1 . Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D n -1 (на рис. 6а это D 3) с верхним краем разреза области D 0 . В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.

Zove se Riemannova površina funkcije w = . Iznad svake tačke kompleksne ravni osim 0 i?, postoji tačno n tačaka Riemannove površine. Tačke x > 0 realne poluose nisu iznimke, jer se sva lijepljenja koja se nalaze iznad nje smatraju neukrštajućim. Samo dvije tačke nemaju ovo svojstvo: z = 0 i z = ?. Smatra se da su svi listovi Riemannove površine zalijepljeni u tačkama koje se nalaze iznad tačaka z = 0 i z = ?.

Definirajmo sada funkciju w = na konstruiranoj Riemannovoj površini. Podsjetimo da ako je z = r e ic, tada su svi n-ti korijeni od z definirani formulom (*):

Ugao φ u ovoj formuli može se izabrati iz bilo kojeg intervala dužine 2p; zgodno nam je pretpostaviti da je 0 ? c< 2р.

Tačkama z = r e ic koje leže na listu D 0 i lijepe D 0 sa D n -1 dodjeljuje se vrijednost korijena sa k = 0; tačke koje leže na listu D 1 i lepe D 1 sa D 0 , vrednost korena sa k = 1. Generalno, tačke koje leže na D k , kada je 1 ? k? n-1, a lijepljenje D k, sa D k -1, odgovara vrijednosti korijena sa datim k. Konstruirana korespondencija će biti jednoznačna funkcija na Riemannovoj površini.

Lako je pokazati da ova funkcija preslikava Riemanovu površinu jedan na jedan na cijelu kompleksnu ravan. Zaista, list D k će biti preslikan u ugao, a lepljenja će biti mapirana u zrake koje povezuju ove uglove; tako će cijela kompleksna ravan biti pokrivena slikama tačaka Rimanove površine.

Pokažimo da je i ovo preslikavanje kontinuirano. Ako tačka z leži na listu D k sa rezom, tada kontinuitet u ovoj tački sledi direktno iz formule (20) sa fiksnim k. Da bismo demonstrirali kontinuitet u tačkama lepljenja, razmotrimo konturu na Rimanovoj površini koja se sastoji od tačaka koje se nalaze iznad krug |z| = 1 kompleksna ravan. Počnimo zaobilaziti ovu konturu od tačke z, koja se nalazi na gornjoj ivici reza D 0 . Budući da je r \u003d 1, q \u003d 0, k \u003d 0, zatim w \u003d \u003d 1. Prilikom obilaska prve petlje konture na listu D 0 će biti

I. Idući lijepljenjem na list D 1 , dobijamo, po definiciji, (pošto je k = 1). Konkretno, kod q = 0 bit će ista vrijednost korijena kojoj smo se približili, približavajući se donjoj obali reza duž lista D 0 . To znači da će na mjestima lijepljenja D 0 c D 1 funkcija biti kontinuirana. Slično, kontinuitet korena je takođe prikazan u prelazu sa D k -1 na D k na 1 ? k? n-1. Konačno, obilazeći konturu duž lista D n -1 i približavajući se donjoj ivici reza, dobijamo k = n - 1, i,

one. ista vrijednost s kojom smo započeli na gornjoj ivici lista reza D 0 . Dakle, funkcija će biti kontinuirana u svim točkama na Riemannovoj površini. Kao funkcija inverzna analitičkoj funkciji, ona je također jednoznačna analitička funkcija na ovoj površini (osim tačaka z = 0 i z = ?).

Uzmite bilo koji krug |z| = r na kompleksnoj ravni, koja obuhvata tačku z = 0. Ovaj krug će takođe obuhvatiti tačku z = ?. Obilazeći konturu na Riemannovoj površini, koja se sastoji od tačaka koje se nalaze iznad ove kružnice, prelazit ćemo s jednog lista Riemannove površine na drugi. Prema tome, tačke z = 0 i z = ? se nazivaju tačke grananja. Nijedna druga tačka nema opisano svojstvo: ako uzmemo kružnicu sa centrom u tački z? 0,z? ? koja ne sadrži tačku 0 unutra, tada odgovarajuće tačke na Rimanovoj površini formiraju n krugova koji nisu međusobno povezani. Obilazeći svaki od njih, nećemo ići dalje od istog lista.

Jednoznačna analitička funkcija f(z) u domeni D naziva se regularna grana viševrijedne funkcije F(z) definirane u istoj domeni ako se vrijednost f(z) u svakoj tački z domene D poklapa sa jedna od vrijednosti F(z) u toj tački.

Višeznačna funkcija F(z) je jednoznačna i analitična na svojoj Rimanovoj površini (osim tačaka grananja). Dakle, mogućnost izdvajanja regularne grane u domeni D znači mogućnost da se ovaj domen rasporedi na Riemanovu površinu bez sečenja D i bez dodirivanja tačaka grananja. U tom slučaju, područje D mora biti potpuno položeno na jednu ploču ili se spuštati lijepljenjem s jedne ploče na drugu (kao tepih na stepeništu). Na primjer prsten 1< |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

Eksponencijalne i logaritamske funkcije

1. Eksponencijalna funkcija e z određena je sljedećim relacijama: za bilo koji kompleksni broj z = x + iy

e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y).(21)

Druga jednakost u (21) se dobija ako, po definiciji, prihvatimo e x + i y = e x e i y i primijenimo Ojlerovu formulu na e i y. Iz (21) slijedi da

|e z | = |e x + i y | \u003d e x, Arg e z \u003d y + 2 pn.

Definicija (21) i svojstva funkcije e ic olakšavaju dokazivanje da funkcija e z ima uobičajena svojstva eksponencijalne funkcije:

e z 1+ z 2 = e z 1 e z 2 ; e z 1 - z 2 \u003d e z 1 / e z 2; (e z) n = e nz.

Dokažimo da će funkcija e z biti analitička u cijeloj kompleksnoj ravni C. Da bismo to učinili, moramo provjeriti izvodljivost Cauchy--Riemannovih uslova (7). Ako je w = u + iv, onda na osnovu (21) u + iv = e x cos y + tj. x sin y, odakle

u = e x cos y, v = e x sin y;

Time su ispunjeni uslovi (7) i dokazana je analitičnost funkcije e z. Za izračunavanje derivacije (e z)", koristimo nezavisnost izvoda od smjera i izračunavamo izvod u smjeru ose OX:

Prema tome, za izvod funkcije e z vrijedi uobičajena formula

Sljedeće svojstvo funkcije e z nema analoga u slučaju eksponencijalne funkcije realne varijable: funkcija e z je periodična sa čisto imaginarnim periodom 2pi. Zaista, za bilo koji cijeli broj n

e z +2 pni = e x (cos (y + 2 pn) + i sin (y + 2 pn)) \u003d e x (cos y + i sin y) = e z.

Periodičnost funkcije w = e z implicira, posebno, da nije univalentna u cijeloj kompleksnoj ravni. Da bismo saznali u kojim područjima je ova funkcija univalentna, postavljamo z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2. Na osnovu (21), jednakost e z 1 = e z 2 je ekvivalentna sljedećim uvjetima:

e x 1 = e x 2, cos y 1 = cos y 2, sin y 1 = sin y 2,

odakle slijedi x 1 = x 2 , y 1 = y 2 + 2pn, gdje je n proizvoljan cijeli broj, ili

z 1 - z 2 = 2rni (22)

Prema tome, da bi preslikavanje w = e z bilo jedan prema jedan u D, neophodno je i dovoljno da D ne sadrži nijedan par tačaka za koje važi (22). Konkretno, ovaj uvjet je zadovoljen bilo kojom horizontalnom trakom širine 2p, na primjer, trakama

(z: - ?< х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...

Svaki takav pojas odgovara skupu vrijednosti w = e z = e x e iy = se i i za koje, zbog jednakosti c = e x, u = y, imamo

0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).

Ove vrijednosti w ispunjavaju cijelu kompleksnu ravan varijable w rezom duž realne pozitivne poluose. U ovom slučaju, prave linije y = y 0 (prikazane na slici 7, a isprekidanom linijom) prelaze u zrake u = y 0 (slika 7b), a intervali x = x 0, 2rk< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями

za k = 0) -- u krugu se x 0 (sa iskucanim tačkama na poluosi u > 0). pruge 0< Im z < h < 2 р показательная функция e z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.

2. Logaritamska funkcija je funkcija koja je inverzna eksponencijalu.

Pošto eksponencijalna funkcija e z nije univalentna u C, njena inverzna funkcija će biti višeznačna. Ova višeznačna logaritamska funkcija je označena sa Ln z. Dakle, ako je w = Ln z, onda je z = e w . Hajde da stavimo

w = u + iv, z = r e ic = re iArg z .

re iArg z = z = e w = e u + iv = e u e iv .

Upoređujući brojeve na početku i na kraju ovog lanca, zaključujemo da

r = e u , e i Arg z = e iv .(23)

Iz prve jednakosti nalazimo u = ln r, gdje je ln r uobičajeni prirodni logaritam pozitivnog broja r. Druga jednakost u (23) daje v = Arg z. Na ovaj način,

Lnz = log |z| + i Argz.(24)

Formula (24) svakom kompleksnom broju z različitom od 0 i? dodjeljuje beskonačan skup vrijednosti Ln z koje se međusobno razlikuju za 2 pki, gdje je k bilo koji cijeli broj. Zgodno je predstaviti Arg z u obliku

Arg z \u003d arg z + 2 pk, - str< arg z ? р,

gdje je arg z glavna vrijednost argumenta. Tada formula (24) poprima oblik

ln z = ln |z| +i(arg z + 2rk).(25)

Za svaku vrijednost k, funkcija Ln z je kontinuirana jednoznačna funkcija u kompleksnoj ravni sa rezom duž negativne poluose; ona je također analitička u ovom području kao inverzna funkcija analitičke funkcije e z . Dakle, za svaki fiksni k, formula (25) određuje regularnu granu višeznačne funkcije Ln z. Ova grana jedan na jedan preslikava ravan sa rezom duž negativne poluose u traku

P + 2 kom< Im w < р + 2рk.

Grana dobijena pri k = 0 označava se sa ln z i naziva se glavnom vrijednošću viševrijedne funkcije Ln z:

ln z = ln |z| + iargz.

Na primjer, ln i = ln 1 + ip/2 = ip/2; ln(-i) = ln 1 -- ip/2 = --ip/2. Ako se približimo tački z \u003d - 1 duž gornje poluravnine y\u003e 0, tada; ako je na dnu, onda.

Da bismo zamislili Riemanovu površinu funkcije Ln z, uzimamo beskonačan broj kopija („listova“) ravnine sa rezom duž negativne poluose i zalijepimo ih zajedno kao što je prikazano na sl. 8. Iznad svake tačke ravni, osim tačaka z = 0 i z = ?,

postoji beskonačno mnogo tačaka na Riemannovoj površini. U tačkama 0 i? funkcija Ln z nije definirana, a iznad njih nema tačaka površine. Tačke z = 0 i z = ? nazivaju se tačke grananja beskonačnog reda.

Rice. 8 jasno pokazuje razlog zašto: ako pretpostavimo da su tačke - 1 ± h, h > 0, na istom listu Riemannove površine i neka h teži nuli, tada će granični položaji ovih tačaka biti na različitim listovima Riemannove površine.

Moguće je izdvojiti pravilnu granu logaritma ne samo u području D, a to je ravan sa rezom duž negativne poluose. Ako napravimo rez u ravni duž bilo koje zrake, onda rezultirajuća regija također omogućava odabir pravilne grane u njoj. Neka se rez napravi duž grede koja ide pod uglom i do ose OX. Tada će regularne grane biti date sljedećom formulom: za z = e ic

Ln z = ln r + i(c + 2rk), i< ц < и + 2 р.

Formula (25) je poseban slučaj za u = - p. Derivat svake regularne grane f(z) logaritma nalazi se po formuli sličnoj formuli za izvod logaritamske funkcije realne varijable. Ova činjenica je izvedena iz jednakosti (ez)" = ez i formule (19) derivacije inverzne funkcije. Zaista, inverz na w = f(z) je funkcija z = ew . Iz ovoga i iz (19) ) dobijamo

Opće snage i trigonometrijske funkcije. Funkcija Žukovskog

1. Opća funkcija snage, gdje je fiksni kompleksni broj, određena je omjerom.

Uz pretpostavku, dobijamo Ln z = ln r + i(c + 2rk). shodno tome,

Ovo pokazuje da na , modul uzima beskonačan skup vrijednosti. Dakle, funkcija će biti beskonačna.

Opšta funkcija stepena, na osnovu svoje definicije, dozvoljava odabir pravilnih grana u istim oblastima kao i logaritamska; na primjer, u ravnini sa rezom duž grede. Grana odabrana u ravnini sa rezom duž negativne poluose naziva se glavna grana funkcije snage. Na osnovu teoreme o derivatu složene funkcije, za svaku regularnu granu funkcije stepena, jednakosti

gdje je f (z) regularna grana logaritamske funkcije Ln z. Dobili smo uobičajenu formulu za izvod funkcije stepena:

2. Prijeđimo na trigonometrijske funkcije. Za realne vrijednosti x, iz Eulerove formule slijedi da

e i x \u003d cos x + i sin x, e - i x = cos x - i sin x.

Dakle, cos x = , sin x =. Ove formule služe kao osnova za sljedeću definiciju.

Trigonometrijske funkcije kompleksne varijable z definirane su jednakostima

Funkcije definirane na ovaj način zadržavaju mnoga svojstva trigonometrijskih funkcija realne varijable. Iz periodičnosti funkcije e z slijedi da su funkcije sin z i cos z periodične sa periodom od 2 p, a tg z i ctg z - sa periodom p. Funkcija sin z je neparna, a cos z paran. stvarno,

Slično se dokazuje i ravnomjernost funkcije cos z. Za funkcije definirane jednakostima (26) vrijede uobičajene trigonometrijske relacije. Na primjer,

sin 2 z + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2, itd. Sve ove relacije proizlaze iz (26).

Funkcije sin z i cos z su analitičke u cijeloj ravni C i primjenjuju se uobičajene formule diferencijacije:

(sin z) "= cos z, (cos z)" = - sin z.

Dokažimo, na primjer, formulu za izvod sinz:

Koristeći formule za izvod količnika, dobijamo

Međutim, nisu sva svojstva trigonometrijskih funkcija realne varijable sačuvana kada se te funkcije nastave u kompleksnu ravan. Konkretno, sinz i cosz mogu uzeti vrijednosti veće od 1 u apsolutnoj vrijednosti. Na primjer,

3. Funkcije inverzne prema (26) nazivaju se inverzne trigonometrijske funkcije. Kako su trigonometrijske funkcije (26) periodične, njima će inverzne funkcije biti beskonačne. Zbog činjenice da su funkcije (26) prilično jednostavno izražene u terminima eksponencijalnih funkcija, funkcije inverzne njima mogu se izraziti logaritmima. Dobijamo takav izraz, na primjer, za w = Arccos z. Iz definicije ove funkcije, imamo

odakle je e 2 iw -- 2ze iw + 1 = 0. Rješavanjem ove kvadratne jednadžbe za eiw , nalazimo (izostavljamo ± ispred znaka kvadratnog korijena, budući da korijen razumijemo kao dvovrijednu funkciju koja uzima obje odgovarajuće vrijednosti). Iz posljednje jednakosti dobijamo

Na osnovu relacije, promjena predznaka ispred korijena dovodi do promjene predznaka ispred logaritma. Ali korijen uzima vrijednosti i sa "+" i sa "--". To znači da će među vrijednostima Arccos z biti vrijednosti sa "+" i "-" prije logaritma. Stoga se znak "--" može izostaviti:

Slične formule mogu se dati za druge inverzne trigonometrijske funkcije:

Od elementarnih funkcija kompleksne varijable ističemo i hiperboličke funkcije sh z, ch z, th z i cth z, definirane jednakostima

One su prilično jednostavno izražene u terminima trigonometrijskih funkcija:

shz = --i siniz,

th z = -- i tg iz, cth z = i ctg iz,

i stoga se neznatno razlikuju od potonjeg.

Funkcija Žukovskog je funkcija

Ova funkcija ima važnu primjenu u teoriji krila aviona i također je vrlo korisna u konstruiranju brojnih konformnih mapiranja. Svugdje je analitičan, osim za tačke z = 0 i z = ?. Derivat

postoji svuda u, osim za tačke z = 0 i z = ?, i nestaje na z = ±1. Prema tome, preslikavanje (30) je konformno svuda osim za tačke 0, ±1,?.

Hajde da saznamo pod kojim uslovom dve različite tačke idu u istu tačku. Neka je z 1 ? z 2 i.

Otuda to slijedi.

Od z 1 ? z 2 , onda je ova jednakost ekvivalentna uslovu z l z 2 = 1.(31)

Prema tome, za univalentnost funkcije Žukovskog u nekom domenu D, neophodno je i dovoljno da ova oblast ne sadrži par različitih tačaka koje zadovoljavaju uslov (31). Takva područja su, na primjer, eksterijer |z| > 1 jediničnog kruga (štaviše, |z 1 z 2 | > 1) i unutrašnjost |z|< 1 этого круга (|z 1 z 2 | < 1).

Da bismo vizualizirali mapiranje (30), otkrijmo u koje krivulje transformira krugove (prikazane na slici 9a punim linijama) i zrake (prikazane isprekidanim linijama). Stavljamo z =. Tada se (30) prepisuje u formu

odakle (32)

Razmotrimo slike kružnica r = r 0 . Iz (32) slijedi

Kvadriranjem ovih jednakosti, dodavanjem i postavljanjem r = r 0 dobijamo

Jednačina (33) je jednačina elipse sa poluosama

Dakle, slike krugova |z| = r 0 u z ravni će biti elipse u ravni w (slika 9b). Ako je r 0 > 1, onda je a r 0 > 1, b r 0 > 0. Prema tome, elipse će se skupljati na segment [--1,1]. Za velike r 0, razlika a r 0 -- b r 0 = je mala, a elipse se malo razlikuju od kružnica.

Da bismo dobili sliku zraka, transformiramo jednakosti (32) u oblik

Kvadriranje ovih jednakosti, oduzimanje druge od prve i postavljanje

Uzmi (34)

Jednačina (34) je jednačina hiperbole sa poluosi. Posljedično, zraci su prikazani u dijelu hiperbole (slika 9b). Dakle, funkcija Žukovskog preslikava eksterijer jedinične kružnice na eksterijer segmenta [-1,1] na jedan prema jedan i konforman način.

Iz (30) je lako vidjeti da je w(z) = w(l/z). Funkcija w = 1/z preslikava unutrašnjost kružnice |z|< 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].

...

Slični dokumenti

Suština konformnog preslikavanja 1. i 2. vrste, analitička funkcija u datom području. Geometrijsko značenje argumenta i modula funkcije derivacije. Vrijednost faktora rastezanja u tački. Očuvanje funkcije koja nije nula po veličini i naponu.

prezentacija, dodano 17.09.2013


Definicija derivacije funkcije, geometrijsko značenje njenog prirasta. Geometrijsko značenje datog omjera. Fizičko značenje derivacije funkcije u datoj tački. Broj kojem teži dati omjer. Analiza primjera izračunavanja izvedenica.

prezentacija, dodano 18.12.2014


Ograničenje omjera prirasta funkcije i priraštaja nezavisnog argumenta kada inkrement argumenta teži nuli. Derivativna notacija. Pojam diferencijacije funkcije derivacije i njeno geometrijsko značenje. Jednadžba tangente na krivu.

prezentacija, dodano 21.09.2013


Geometrijsko značenje izvedenice. Analiza odnosa između kontinuiteta i diferencijabilnosti funkcije. Derivati ​​osnovnih elementarnih funkcija. Pravila diferencijacije. Pronalaženje derivacije implicitno definirane funkcije. Logaritamska diferencijacija.

prezentacija, dodano 14.11.2014


Derivativna funkcija. Tangenta na krivu. Geometrijsko značenje izvedenice. Derivati ​​elementarnih funkcija. Proučavanje funkcija uz pomoć derivata. Maksimum i minimum funkcije. Pregibne tačke. Diferencijal.

članak, dodan 01.11.2004


Pojam derivata, pravila za njegovu primjenu, geometrijsko i fizičko značenje izvedenice. Upotreba derivata u nauci i tehnologiji i rješavanje problema u ovoj oblasti. Relevantnost diferencijalnog računa u vezi sa naučnim i tehnološkim napretkom.

sažetak, dodan 17.05.2009


Pravilo za pronalaženje derivacije proizvoda funkcija. Formule za pronalaženje izvoda za funkcije date parametarski. Geometrijsko značenje izvedenice. Prirast i diferencijal funkcije. Najveće i najmanje vrijednosti na zatvorenom skupu.

kontrolni rad, dodano 07.09.2010


Koncept konformnog preslikavanja i njegova glavna svojstva. Osnovni principi konformnih preslikavanja funkcija kompleksne varijable, njihove hidrodinamičke analogije i interpretacije. Primjena metode konformnog preslikavanja u mehanici kontinuuma.

disertacije, dodato 26.08.2014


Antiderivat funkcije i neodređeni integral. Geometrijsko značenje izvedenice. Skup svih antiderivata za funkciju f(x) na intervalu X. Pojam integranda. Provjera ispravnosti rezultata integracije, primjeri zadataka.

prezentacija, dodano 18.09.2013


Zadatak pronalaženja modula i argumenta zadatih brojeva, primjer rješenja. Područje diferencijabilnosti date funkcije, realni dio derivacije. Pravilo za određivanje jednačine slike krive. Pronalaženje realnog i imaginarnog dijela funkcije.

teza

1.1 Koncept konformnog preslikavanja i njegova glavna svojstva

Jedan-na-jedan preslikavanje koje ima svojstvo očuvanja uglova u veličini i smjeru i svojstvo konstantnosti dilatacija malih susjedstava preslikanih tačaka naziva se konformno preslikavanje.

Da bi se osigurala refleksija jedan na jedan, izdvajaju se područja univalentnosti funkcije. Područje D se naziva domenom univalentnosti funkcije f(z) if.

Glavna svojstva konformnih preslikavanja:

1) konstantnost istezanja. Linearna u tački je ista za sve krive koje prolaze kroz ovu tačku, i jednaka je;

2) očuvanje uglova. Sve krive u jednoj tački su rotirane za isti ugao, jednak.

Funkcija prikazuje tačke z-ravnine (ili Riemannove površine). U svakoj tački z takvom da je f(z) analitičan (tj. jednoznačno definisan i diferencijabilan u nekoj okolini ove tačke) i preslikavanje je konformno, tj. ugao između dvije krive koje prolaze kroz tačku z postaje jednak po veličini i smjeru referentnog ugla između dvije odgovarajuće krive u ravni.

Infinitezimalni trougao blizu takve tačke z preslikava se u sličan infinitezimalni trougao - ravni; svaka strana trokuta je proporcionalno rastegnuta i rotirana za ugao. Koeficijent izobličenja (lokalni omjer malih površina) na ekranu je određen Jacobianom ekrana

u svakoj tački z gdje je preslikavanje konformno.

Konformno preslikavanje pretvara linije u familiju ortogonalnih putanja u w-ravni.

Područje z-ravnine preslikano na cijelu w-ravninu pomoću funkcije f(z) naziva se fundamentalno područje funkcije f(z).

Tačke u kojima se nazivaju kritične tačke mapiranja.

Preslikavanje koje čuva veličinu, ali ne i smjer ugla između dvije krive, naziva se izogonalno ili konformno preslikavanje druge vrste.

Preslikavanje je konformno u tački u beskonačnosti ako funkcija konformno preslikava ishodište u - ravan.

Dvije krive se sijeku pod kutom u tački ako ih transformacija prevede u dvije krive koje se sijeku pod kutom u tački.

Slično, konformno preslikava tačku konformno na tačku.

Algebarske matrične grupe

Neka i budu aritmetički linearni prostori visinskih stupaca i respektivno. Neka je, dalje, matrica veličine. Definiramo mapiranje postavljanjem za bilo koje mjesto gdje su stupci matrice. Jer su visoki...

Biktori u konačnim grupama

Definicija. Neka --- grupa i --- klasa grupa. Ako i, onda --- je podgrupa grupe. Definicija. -maksimalna podgrupa grupe je -podgrupa grupe koja nije sadržana ni u jednoj većoj -podgrupi. definicija...

Vektorska polja

Definicija rotora vektorskog polja: Vektor sa projekcijama naziva se rotor ili vrtlog vektorskog polja.

Eksterna geometrija površina sa konstantnim tipom tačke

Sedlaste površine su u određenom smislu suprotne po svojim svojstvima od konveksnih površina. Kao i konveksne površine, one se mogu definirati čisto geometrijski...

Kineska teorema o ostatku i njene posljedice

U ovom odeljku ćemo razmatrati cele brojeve i označavaćemo ih latiničnim slovima. Uzmite proizvoljan fiksni prirodni broj p i uzmite u obzir ostatke pri dijeljenju s p različitih cijelih brojeva...

Matematičke osnove sistema rezidualnih klasa

Uzmite proizvoljan fiksni prirodni broj p i uzmite u obzir ostatke prilikom dijeljenja s p različitih cijelih brojeva. Kada se razmatraju svojstva ovih ostataka i izvode operacije nad njima, zgodno je uvesti koncept poređenja po modulu...

Matematičko modeliranje tehničkih objekata

Model je fizička ili apstraktna slika simuliranog objekta, pogodna za istraživanje i koja omogućava da se na adekvatan način prikažu fizička svojstva i karakteristike predmeta od interesa za istraživača...

Definitivni integral

1. Vrijednost određenog integrala ne zavisi od oznake integracione varijable: . 2. Određeni integral sa istim granicama integracije jednak je nuli: 3. Ako, onda, po definiciji, postavimo 4...

Praktična primjena kvadraturnih formula s Chebyshev-Hermite težinom

Neka je dana parna funkcija težine na cijeloj osi. (1.1) Sukcesivno diferencirajući ovu funkciju, nalazimo (1.2) Lako je dokazati indukcijom da je derivacija reda n funkcije (1.1) proizvod ove funkcije nekim polinomom stepena n...

Sferni poligon je dio sfere omeđen lukovima velikih krugova, manjih polukrugova, čiji su krajevi presječne točke ovih velikih krugova, uzetih u nizu...

Rješenje problema strujanja oko kružnog cilindra idealnim fluidom u kvaternionima

Kvaternione je u matematiku uveo William Rowan Hamilton 1]. Oni su dobar alat za rješavanje mnogih problema vezanih za trodimenzionalni prostor, a uzimaju u obzir i njegove karakteristike...

Statističko modeliranje

Da bi procjena imala praktičnu vrijednost, ona mora imati sljedeća svojstva. 1. Procjena parametra se naziva nepristrasna ako je njeno matematičko očekivanje jednako procijenjenom parametru, tj. M= .(22.1) Ako je jednakost (22...

Trigonometrijske funkcije

Cycloid

Definicija cikloida, uvedena ranije, nikada nije zadovoljila naučnike: na kraju krajeva, ona se zasniva na mehaničkim konceptima - brzini, dodavanju pokreta itd. ...

Ekstremni problem indeksiranja klasa

Trebaju nam dvije činjenice iz . 1. Za bilo koji postoji jedinstveni FR. 2. Ako, onda je skup jednoelementan. Ako, onda postoje kontinuirane, jednoparametarske porodice (tj. za i (simbol označava slabu konvergenciju)) i DF-ove kao što su...

Geometrijsko značenje modula i argumenta analitičke funkcije. Neka funkcija w=f(z) je analitičan u nekom domenu D. Biramo proizvoljnu tačku i kroz nju povlačimo proizvoljnu glatku krivu koja u potpunosti leži u D. Funkcija f(z) prikazuje područje D složena ravan ( z) po oblasti G složena ravan ( w). Neka se tačka preslika u tačku , a kriva u krivu. Označimo uglom koji formira tangenta na u tački sa osom vol, i kroz - ugao koji formira tangenta u tački sa osom Oh. Od funkcije f(z) analitički, onda postoji derivat u bilo kojoj tački u regionu D. Pretpostavimo da je u D. Izvod se može predstaviti u eksponencijalnom obliku, tj. napišite u formularu:

Odaberimo takav metod aspiracije, u kojem tačke leže na krivulji. Tada će tačke koje odgovaraju njima Kompleksni brojevi i na ravni biti predstavljene vektorima sekanti na krivulje i, respektivno, i i su dužine vektora sekansa, i i uglovi formirani od ovih vektora i pozitivnih osa. Za , ovi sekantni vektori postaju tangente na krivulje i u tačkama i . Iz jednakosti (10) slijedi da , tj. argument derivacije ima geometrijsko značenje razlike između ugla vektora tangentne krive i ugla vektora tangente . Kako derivacija ne zavisi od puta do granice, ista će biti i za svaku drugu krivu koja prolazi kroz tačku. Drugim riječima, lukovi koji prolaze kroz tačku z0 na površini z kada se prikaže w=f(z) rotirati za isti ugao na ravni w. Kada je ugao između bilo koje krivine u ravni ( z) prolazeći kroz tačku z0, jednak je kutu između krivih i na ravni ( w), onda se ovo naziva svojstvom očuvanje (konzervativnost) uglova.

Slično, iz jednakosti (10) dobijamo: , tj. do vrijednosti višeg reda malenosti, jednakost se odvija: .

Posljednja relacija također ne ovisi o načinu odabira krivulje, a njeno geometrijsko značenje je da kada se preslikavanje vrši analitičkom funkcijom koja zadovoljava uvjet, infinitezimalni linearni elementi (beskonačno mali lukovi) se transformiraju na sličan način , a modul derivacije se zove koeficijent sličnosti. Takvo svojstvo datog preslikavanja nazivamo svojstvom postojanost istezanja, zbog toga k takođe pozvan faktor rastezanja. Kažu da u k>1 - istezanje, i at k<1 – сжатие.

Definicija konformnog preslikavanja i osnovna svojstva. Definicija 17. Jedan-na-jedan mapiranje područja D složena ravan ( z) po oblasti G složena ravan ( w) pozvao konforman ako je u svim tačkama zD ima svojstvo očuvanja uglova i konstantnosti istezanja.

Teorema 6. Za složenu funkciju w=f(z) konformno prikazano područje D avion ( z) po oblasti G avion ( w), potrebno je i dovoljno da bude analitičan u D i ni u jednom trenutku u regionu D.

□ Need. Pretpostavimo. koja je funkcija w=f(z) izvodi konformno preslikavanje. To po definiciji znači ispunjavanje svojstava očuvanja uglova i konstantnosti napetosti. Hajdemo u avion z proizvoljna tačka z0 i dvije tačke u njegovoj blizini: z1 I z2. Na površini w oni će odgovarati bodovima w 0 , w 1 , w 2

U okviru beskonačno malih vrijednosti, relacije će biti ispunjene: , a iz konstantnosti uglova slijedi: . Iz jednakosti argumenata slijedi da su uglovi jednaki ne samo po apsolutnoj vrijednosti, već i po smjeru. Kao rezultat, dobijamo: .

Dakle, slijedeće jednakosti slijede iz posljednje dvije jednakosti, do infinitezimalnih vrijednosti: . Zbog proizvoljnosti izbora tačke z0 i bodova z1,z2 iz njegovog susjedstva slijedi da postoji , Adekvatnost. Neka derivacija postoji i nije jednaka nuli u regionu D, onda iz geometrijskog značenja derivacije proizilazi da slijede svojstva očuvanja uglova i konstantnosti rastezanja, a to po definiciji znači da funkcija vrši konformno preslikavanje. ■

Konformno preslikavanje se koristi za rješavanje problema iz matematičke fizike, hidrodinamike i aerodinamike, teorije elastičnosti, teorije elektromagnetnih i toplinskih polja. Glavni zadatak teorije konformnog preslikavanja je pronaći funkciju kompleksne varijable w=f(z), koji bi prikazao dato područje D avion z na dato područje G avion w. Teorema igra važnu ulogu u rješavanju ovog problema.

Teorema 7. Bilo koje jednostavno povezano područje D složena ravan z, čija se granica sastoji od više od jedne tačke može se preslikati konformno u unutrašnjost jedinične kružnice<1 комплексной плоскости w.(bez dokaza).

Ova teorema implicira mogućnost konformnog preslikavanja datog domena D na dato područje g, ako se granica svakog od regiona sastoji od više od jedne tačke. Zatim, prikazujući ove oblasti pomoćni krug <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.

Linearni prikaz. Linearno naziva se preslikavanje izvedeno linearnom funkcijom gdje a I b- kompleksni brojevi.

Takvo preslikavanje je jedan-na-jedan i konformno na cijeloj kompleksnoj ravni budući da linearno preslikavanje ostavlja dvije tačke fiksne:

Hajde da predstavimo linearno preslikavanje u obliku tri jednostavna.

1) Pretvaranje rotacije cijele z-ravnine za ugao oko ishodišta:

2) Transformacija sličnosti sa centrom sličnosti u ishodištu, tj. rastezanje na >1 i kompresija na 0< <1:

3) Paralelni prijenos u vektor b:

Primjer 4 Pronađite funkciju koja prikazuje trokut sa datim vrhovima z 1 = -1, z 2 = i, z 3 = 1 u trougao sa vrhovima w 1 = 0, w 2 = -2 + 2i, w 3 \u003d 4i.

Rješenje. Konstruirajmo željenu funkciju kao superpoziciju tri elementarne transformacije.

1) - okretanje za ugao u smjeru suprotnom od kazaljke na satu;

2) - istezanje dvaput;

3) - pomak za dvije jedinice gore;

Potrebna funkcija izgleda ovako:

Frakciono linearno preslikavanje. Frakcijska linearna funkcija , gdje a b c d- kompleksni brojevi linearno frakciono preslikavanje proširena kompleksna ravan z w. Nađimo derivat: ako .

Definicija 18. bodova z1 I z2 pozvao simetrično u odnosu na krug, ako leže na istoj zraki koja prolazi kroz tačke z 1 , z 2 i tačka z 0 , i .

Inverzija u odnosu na kružnicu naziva se transformacija proširene kompleksne ravni na samu sebe, uzimajući svaku tačku z1 ravan do tačke z2 simetrično oko ovog kruga. Razmotrimo preslikavanje koje daje funkcija i označimo Koristeći svojstvo modula, možemo napisati: . Otuda slijedi da je preslikavanje koje se razmatra inverzija u odnosu na krug radijusa R, centriran u nultu, nakon čega slijedi zrcalna slika, oko realne ose.

Po analogiji sa linearnim preslikavanjem, predstavljamo linearno-frakciono preslikavanje kao superpoziciju najjednostavnijih transformacija. Uzmimo prvo cijeli broj razlomka:

Najjednostavnije transformacije će biti sljedeće:

1) paralelni prenos na: ;

2) inverziona transformacija oko kruga poluprečnika R centriran u nultu, praćen odrazom u zrcalu oko realne ose: ;

3) rotacija u odnosu na početak: ;

4) paralelni prenos na: .

Primjer 5 Pronađite područje u koje će krug proći ispod linearno-frakcionog preslikavanja.

Rješenje.

Ovo će biti krug, koji se dobija nakon sljedećih transformacija:

1) pomaknite 1 dolje:

2) inverzija u odnosu na , smjer obilaznice će se promijeniti:

3) rotacija za 90 stepeni:

4) pomaknite 1 dolje:

Svojstva linearno-frakcionog preslikavanja. Sljedeća svojstva formuliramo bez dokaza.

1. Usklađenost. Linearno-frakciona funkcija konformno preslikava proširenu kompleksnu ravan z na proširenu kompleksnu ravan w.

2. Jedinstvenost. Postoji jedinstvena linearno-frakciona funkcija koja, date tri različite tačke, z 1 ,z 2 ,z 3 avion z prikazuje u tri različite tačke w1, w2, w3 avion w a ovo preslikavanje je dato jednakošću: .

3.Circular property. Kod linearno-frakcionog preslikavanja, slika bilo kojeg kruga u širem smislu je krug (u širem smislu, to jest krug ili bilo koja prava linija).

4. Princip prikazivanja granica. Sa linearno-frakcionim mapiranjem, područje koje leži unutar kruga pretvara se u područje koje leži unutar ili izvan transformiranog kruga (granica će biti prikazana kao ivica).

5. Riemann-Schwartzov princip simetrije. Kod linearno-frakcionog preslikavanja, tačke koje su simetrične oko kružnice se preslikavaju na tačke koje su simetrične oko transformisane kružnice (simetrija u smislu inverzije).

Primjer 6 Zadata je gornja poluravnina ravnine z i proizvoljna tačka z0. Pronađite funkciju koja je preslikava u jedinični krug ravnine w tako da z0 prikazano u centru kruga.

Rješenje.

Neka , Tada prema principu prikazivanja granica, realna osa na ravnini z mapiran u krug jediničnog polumjera. Prema svojstvu simetrije, tačka će biti mapirana u tačku. Stoga ćemo, uzimajući to u obzir, konstruirati funkciju . Ako uzmemo u obzir tačke z koje leže na realnoj osi, a to su tačke oblika: , tada će za njih biti ispunjene jednakosti: , jer svi su jednako udaljeni od tačke koja leži na realnoj osi, tj. imamo da će sve tačke realne ose biti preslikane na sve tačke jedinične kružnice. Odavde dobijamo da ako uzmemo u obzir modul Željeno preslikavanje će izgledati ovako: .

Riješite još jedan problem linearno-frakcionog preslikavanja i ubacite oba u prvi modul!

Prilikom rješavanja primijenjenih problema često postaje neophodno da se dato područje transformiše u područje jednostavnijeg oblika, i to na način da se sačuvaju uglovi između krivih. Transformacije obdarene ovim svojstvom omogućavaju uspješno rješavanje problema aero- i hidrodinamike, teorije elastičnosti, teorije polja različite prirode i mnogih drugih. Ograničavamo se na transformacije ravnih područja. Kontinuirano preslikavanje r0 = f(r) ravne domene u domen na ravni se kaže da je konformno u tački ako u toj tački ima svojstva konstantnog širenja i očuvanja uglova. Za otvorene domene se kaže da su konformno ekvivalentne ako postoji mapiranje jedan-na-jedan iz jedne od ovih domena u drugu, konformno u svakoj tački. Riemannova teorema. Bilo koje dvije ravne otvorene jednostavno povezane domene čije se granice sastoje od više od jedne tačke su konformno ekvivalentne. Glavni problem u rješavanju specifičnih problema je izgradnja eksplicitnog konformnog preslikavanja jedan-na-jedan jednog od njih na drugi iz datih ravnih područja. Jedan od načina za rješavanje ovog problema u slučaju ravni je korištenje aparature teorije funkcija kompleksne varijable. Kao što je gore navedeno, univalentna analitička funkcija sa izvodom različitom od nule izvodi konformno preslikavanje svoje domene na svoju sliku. Prilikom konstruiranja konformnih preslikavanja, sljedeće pravilo je vrlo korisno. Princip usklađivanja granica. Neka je jednoznačna analitička funkcija w = f(z) data u jednostavno povezanoj domeni R) kompleksne ravni z, ograničena konturom 7, kontinuiranom u zatvaranju 9) i koja odražava konturu 7 na neku konturu 7" kompleksnog p/prostora w. Ako, u ovom slučaju, pravci zaobilaze konturu, tada funkcija w - f(z) vrši konformno preslikavanje područja kompleksne ravni z na područje Z1 kompleksne ravni w ograničena konturom 7" (slika 1). Svrha ovog odjeljka je korištenje domena univalentnosti pronađenih ranije za osnovne elementarne funkcije složene varijable kako bi naučili kako konstruirati konformna preslikavanja otvorenih jednostruko povezanih ravninskih domena koje se često susreću u aplikacijama, superponirajući gornju poluravninu i jedinični krug (sl. 2). Da biste bolje iskoristili donju tabelu, korisne su neke jednostavne transformacije kompleksne ravni. Ravninske transformacije koje vrše: 1. paralelni prijenos (pomak za dati kompleksni broj a) (sl. 3), sl.3 2. rotacija (pod datim uglom 3. istezanje (fc > 1) ili i kompresija (slika 5). Dakle, transformacijom oblika 0 bilo koji krug se može napraviti jedinični krug sa centrom na nuli (slika 6), bilo koja poluravnina se može učiniti gornjom poluravninom, svaki pravi segment se može pretvoriti u segment realne ose (slika 14). iseći duž realne zrake (0, + "> (Ravan sa rezovima duž realnih zraka J -oo, 0] i (I, + oo[ Ravan sa rezom duž realne zrake Ravan sa rezom duž segmenta (0, 1J br. 21 1 ravan sa rezovima na zrake koje leže ia prave linije koja prolazi kroz ishodište koordinata duž realnih zraka ] - "u, 0] i (1. Ravan sa rezom duž realne zrake (0, + in (Ravan sa rezom duž luk kružnice Ixl - 1, lm z\u003e O Ravan sa rezom duž luka kružnice III - I, Re z > O Ravan sa rezom duž akcije realna zraka (0, ravan sa rezom bez kružnog luka Ravan presečena realnom zrakom [C, + co [ br. 25 Poluravnina sa rezovima Poluravnina l sa presekom duž segmenta sa presekom duž imaginarne zrake Krug sa rezovima Krug 1 sa presekom duž segmenta (1/2, 1J #30 Ravan sa rezom duž segmenta (-1, 5/4) Krug Izl sa rezovima duž segmenata (-1. -1/2] i (1/2, 1] br. 31 Ravan sa rezovima duž rezova I -5/4, 5/4] Krug Ijl sa simetričnim rezovima duž imaginarne ose Krug leži sa simetričnim rezovima duž realne ose Eksterijer kruga sa rezovima Izgled jedinični krug I sa rezom duž segmenta i 11, 2) №34 Ravan sa rezom duž segmenta [-1, 5/4] Ravan sa rezom duž segmenta I - 5/4, 3/4] w = e "^z Izgled jedne kružnice Izl > 1 sa rezovima duž segmenata koji su produžeci njegovog prečnika Eksterijer jedinične kružnice Iwl > 1 sa rezovima duž segmenata koji leže na realnoj osi , presečenih duž segment (0, i/2) Polukrug, isečen duž segmenta )