Harmonična zavisnost. Oscilacije i talasi. Harmonično oscilatorno kretanje. Oscilatorna kinematika

Promjene u vremenu prema sinusoidnom zakonu:

gdje X- vrijednost fluktuirajuće količine u trenutku t, A- amplituda, ω - kružna frekvencija, φ - početna faza oscilacija, ( φt + φ ) - puna faza oscilacija. U ovom slučaju, količine A, ω i φ - trajno.

Za mehaničke vibracije, fluktuirajuća količina X su, posebno, pomak i brzina, za električne oscilacije - napon i struja.

Harmonične vibracije zauzimaju posebno mjesto među svim vrstama vibracija, jer je to jedina vrsta vibracija čiji se oblik ne izobličuje pri prolasku kroz bilo koji homogeni medij, odnosno valovi koji se šire iz izvora harmonijskih vibracija također će biti harmonijski. . Bilo koja neharmonična vibracija može se predstaviti kao zbir (integral) različitih harmonijskih vibracija (u obliku spektra harmonijskih vibracija).

Energetske transformacije tokom harmonijskih vibracija.

U procesu oscilacija dolazi do prijelaza potencijalne energije W p u kinetičku W k i obrnuto. U položaju maksimalnog odstupanja od ravnotežnog položaja, potencijalna energija je maksimalna, a kinetička energija jednaka nuli. Kako se vraća u ravnotežni položaj, brzina oscilirajućeg tijela raste, a s njim raste i kinetička energija, dostižući maksimum u ravnotežnom položaju. Potencijalna energija tada pada na nulu. Pokret daljeg vrata javlja se sa smanjenjem brzine, koja pada na nulu kada otklon dostigne svoj drugi maksimum. Potencijalna energija se ovdje povećava do svoje početne (maksimalne) vrijednosti (u odsustvu trenja). Dakle, oscilacije kinetičke i potencijalne energije se javljaju sa udvostručenom (u poređenju sa oscilacijama samog klatna) frekvencijom i nalaze se u antifazi (odnosno, između njih postoji fazni pomak jednak π ). Ukupna energija vibracija W ostaje nepromijenjena. Za tijelo koje vibrira pod utjecajem elastične sile, jednako je:

gdje v m- maksimalna brzina tijela (u ravnotežnom položaju), x m = A Je amplituda.

Zbog prisustva trenja i otpora medija, slobodne oscilacije prigušuju: njihova energija i amplituda se smanjuju tokom vremena. Stoga u praksi često koriste ne slobodne, već prisilne oscilacije.

Promjene u bilo kojoj količini opisuju se korištenjem zakona sinusa ili kosinusa, tada se takve oscilacije nazivaju harmonijskim. Razmotrimo kolo koje se sastoji od kondenzatora (koji je bio napunjen prije spajanja na kolo) i induktora (slika 1).

Slika 1.

Jednačina harmonijskih vibracija može se napisati na sljedeći način:

$ q = q_0cos ((\ omega) _0t + (\ alpha) _0) $ (1)

gdje je $ t $ vrijeme; $ q $ naboj, $ q_0 $ je maksimalno odstupanje naboja od njegove prosječne (nulte) vrijednosti tokom promjena; $ (\ omega) _0t + (\ alpha) _0 $ - faza oscilacije; $ (\ alpha) _0 $ - početna faza; $ (\ omega) _0 $ - ciklična frekvencija. Tokom perioda, faza se mijenja za $ 2 \ pi $.

Jednadžba oblika:

jednadžba harmonijskih oscilacija u diferencijalnom obliku za oscilatorno kolo koje neće sadržavati aktivni otpor.

Bilo koje vrste periodične fluktuacije može se tačno predstaviti kao zbir harmonijskih oscilacija, takozvani harmonijski niz.

Za period oscilovanja kola, koji se sastoji od zavojnice i kondenzatora, dobijamo Thomsonovu formulu:

Ako razlikujemo izraz (1) s obzirom na vrijeme, onda možemo dobiti formulu za funkciju $ I (t) $:

Napon na kondenzatoru se može naći kao:

Iz formula (5) i (6) slijedi da je jačina struje ispred napona na kondenzatoru za $ \ frac (\ pi) (2).

Harmonične vibracije se mogu predstaviti i u obliku jednačina, funkcija i vektorskih dijagrama.

Jednačina (1) predstavlja slobodne neprigušene oscilacije.

Jednačina prigušenih oscilacija

Promjena naboja ($ q $) na pločama kondenzatora u kolu, uzimajući u obzir otpor (slika 2), biće opisana diferencijalnom jednačinom oblika:

Slika 2.

Ako je otpor koji je dio kola $ R \

gdje je $ \ omega = \ sqrt (\ frac (1) (LC) - \ frac (R ^ 2) (4L ^ 2)) $ je frekvencija ciklične oscilacije. $ \ beta = \ frac (R) (2L) - $ faktor prigušenja. Amplituda prigušenih oscilacija izražava se kao:

U slučaju da je pri $ t = 0 $ naboj na kondenzatoru jednak $ q = q_0 $, u kolu nema struje, tada za $ A_0 $ možete napisati:

Faza oscilovanja u početnom trenutku vremena ($ (\ alpha) _0 $) je jednaka:

Pri $ R> 2 \ sqrt (\ frac (L) (C)) $, promjena naboja nije oscilacija, pražnjenje kondenzatora se naziva aperiodično.

Primjer 1

vježba: Maksimalna vrijednost punjenja je $ q_0 = 10 \ C $. Harmonično se mijenja sa periodom $ T = 5 c $. Odredite maksimalnu moguću amperažu.

Rješenje:

Kao osnovu za rješavanje problema koristimo:

Da bismo pronašli jačinu struje, izraz (1.1) se mora diferencirati u vremenu:

gdje je maksimum (vrijednost amplitude) jačine struje izraz:

Iz uslova zadatka znamo amplitudnu vrijednost naboja ($ q_0 = 10 \ Cl $). Potrebno je pronaći prirodnu frekvenciju vibracije. Izražavamo to kao:

\ [(\ omega) _0 = \ frac (2 \ pi) (T) \ lijevo (1,4 \ desno). \]

U ovom slučaju, tražena vrijednost će se naći pomoću jednačina (1.3) i (1.2) kao:

Pošto su sve veličine u uslovima problema prikazane u SI sistemu, izvršićemo proračune:

odgovor:$ I_0 = 12,56 \ A. $

Primjer 2

vježba: Koliki je period oscilovanja u kolu, koje sadrži induktor $ L = 1 $ H i kondenzator, ako se struja u kolu mijenja po zakonu: $ I \ lijevo (t \ desno) = - 0,1sin20 \ pi t \ \ lijevo (A \ desno)?$ Koliki je kapacitet kondenzatora?

Rješenje:

Iz jednadžbe strujnih fluktuacija, koja je data u uslovima zadatka:

vidimo da je $ (\ omega) _0 = 20 \ pi $, stoga možemo izračunati period oscilacije po formuli:

\ \

Prema Thomsonovoj formuli za kolo koje sadrži induktor i kondenzator, imamo:

Izračunajmo kapacitet:

odgovor:$ T = 0,1 $ c, $ C = 2,5 \ cdot (10) ^ (- 4) F. $

Oscilacije su proces promjene stanja sistema oko ravnotežne tačke, koji se u jednom ili drugom stepenu ponavlja u vremenu.

Harmonične oscilacije - oscilacije u kojima se fizička (ili bilo koja druga) veličina mijenja tokom vremena prema sinusoidnom ili kosinusnom zakonu. Kinematska jednadžba harmonijskih oscilacija ima oblik

gdje je x pomak (odstupanje) oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja u trenutku t; A je amplituda oscilacija, to je vrijednost koja određuje maksimalno odstupanje oscilirajuće tačke od ravnotežnog položaja; ω - ciklična frekvencija, vrijednost koja pokazuje broj potpunih oscilacija koje se dešavaju unutar 2π sekunde - puna faza oscilacija, 0 - početna faza oscilacija.

Amplituda - maksimalna vrijednost pomaka ili promjene varijable od srednje vrijednosti tokom oscilatornog ili talasnog kretanja.

Amplituda i početna faza oscilacija određuju se početnim uslovima kretanja, tj. položaj i brzina materijalne tačke u trenutku t = 0.

Generalizirana harmonijska oscilacija u diferencijalnom obliku

amplituda zvučnih valova i audio signala obično se odnosi na amplitudu tlaka zraka u valu, ali se ponekad opisuje kao amplituda pomaka u odnosu na ravnotežu (zrak ili dijafragma zvučnika)

Frekvencija je fizička veličina, karakteristika periodičnog procesa, jednaka broju kompletnih ciklusa procesa koji se izvode u jedinici vremena. Frekvencija oscilovanja u zvučnim talasima određena je frekvencijom oscilovanja izvora. Visokofrekventne vibracije se prigušuju brže od niskofrekventnih.

Recipročna frekvencija oscilovanja naziva se period T.

Period oscilovanja je trajanje jednog kompletnog ciklusa oscilovanja.

U koordinatnom sistemu iz tačke 0 crtamo vektor A̅ čija je projekcija na osu OH jednaka Acosϕ. Ako se vektor A̅ ravnomjerno rotira ugaonom brzinom ω˳ u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je ϕ = ω˳t + ϕ˳, gdje je ϕ˳ početna vrijednost ϕ (faze oscilovanja), tada je amplituda oscilacije modul jednoliko rotirajućeg vektora A̅ , faza oscilovanja (ϕ ) je ugao između vektora A̅ i OH ose, početna faza (ϕ˳) -početna vrijednost ovog ugla, ugaona frekvencija oscilacija (ω) je ugaona brzina rotacije vektora A̅ ..

2... Karakteristike talasnog procesa: talasni front, snop, brzina talasa, talasna dužina... Uzdužni i poprečni valovi; primjeri.

Razdjelna površina ovog trenutka vrijeme koje je već pokriveno i još nije pokriveno oscilacijama medija naziva se valna fronta. Na svim tačkama takve površine, nakon odlaska valnog fronta, uspostavljaju se oscilacije iste faze.

Snop je okomit na prednji dio vala. Akustične zrake su, kao i svjetlosne, pravolinijske u homogenom mediju. Reflektira se i prelama na granici između 2 medija.

Talasna dužina je rastojanje između dvije najbliže tačke jedna drugoj, oscilirajući u istim fazama, obično se valna dužina označava grčkim slovom. Po analogiji sa talasima koji nastaju u vodi od bačenog kamena, talasna dužina je rastojanje između dva susedna talasna vrha. Jedna od glavnih karakteristika vibracija. Mjeri se u jedinicama udaljenosti (metrima, centimetrima, itd.)

uzdužni talasi (kompresijski talasi, P-talasi) - čestice medija vibriraju paralelno(duž) smjera širenja valova (kao, na primjer, u slučaju širenja zvuka);
poprečno talasi (posmični talasi, S-talasi) - čestice medija vibriraju okomito pravac prostiranja talasa (elektromagnetski talasi, talasi na površinama razdvajanja medija);

Ugaona frekvencija oscilacija (ω) je ugaona brzina rotacije vektora A̅ (đ), pomeranje h oscilirajuće tačke je projekcija vektora A̅ na osu OH.

Ѵ = dx / dt = -Aω˳sin (ω˳t + ϕ˳) = - Ѵmsin (ω˳t + ϕ˳), gdje je Vm = Aω˳ ―maksimalna brzina (amplituda brzine)

3. Slobodne i prisilne vibracije. Prirodna frekvencija vibracija sistema. Fenomen rezonancije. Primjeri .

Slobodne (prirodne) vibracije nazivaju se oni koji se izvode bez vanjskih utjecaja zbog energije koja je u početku primljena toplinom. Tipični modeli takvih mehaničkih vibracija su materijalna tačka na oprugi (opružno klatno) i materijalna tačka na nerastavljivoj niti (matematičko klatno).

U ovim primjerima, vibracije nastaju ili zbog početne energije (odstupanje materijalne tačke od ravnotežnog položaja i gibanja bez početne brzine), ili zbog kinetičke (tjelu je data brzina u početnom ravnotežnom položaju), ili zbog na obje energije (brzina prenesena tijelu odstupila je od ravnotežnog položaja).

Zamislite opružno klatno. U ravnotežnom položaju, elastična sila F1

balansira gravitaciju mg. Ako povučete oprugu na udaljenosti x, tada će na materijalnu tačku djelovati velika elastična sila. Promjena vrijednosti elastične sile (F), prema Hookeovom zakonu, proporcionalna je promjeni dužine opruge ili pomaka x tačke: F = - rx

Još jedan primjer. Matematičko klatno odstupanja od ravnotežnog položaja ha je tako mali ugao α da se putanja materijalne tačke može smatrati pravom linijom koja se poklapa sa OX osom. U ovom slučaju je ispunjena približna jednakost: α ≈sin α ≈ tanα ≈x / L

Kontinuirane oscilacije. Razmotrimo model koji zanemaruje silu otpora.
Amplituda i početna faza oscilacija određuju se početnim uslovima kretanja, tj. položaj i brzina momenta materijalne tačke t = 0.
Među različite vrste vibracija Harmonična vibracija je najjednostavniji oblik.

Dakle, materijalna točka obješena oprugom ili navojem vrši harmonijske oscilacije, ako se sile otpora ne uzmu u obzir.

Period oscilovanja se može naći iz formule: T = 1 / v = 2P / ω0

Prigušene oscilacije. U realnom slučaju sile otpora (trenja) djeluju na tijelo koje oscilira, priroda kretanja se mijenja, a oscilacija postaje prigušena.

Što se tiče jednodimenzionalnog kretanja, posljednja formula ima sljedeći oblik: Fs = - r * dx / dt

Brzina smanjenja amplitude oscilacija određena je koeficijentom prigušenja: što je jači efekat kočenja medija, to je veći ß i amplituda se brže smanjuje. U praksi, međutim, stepen prigušenja često karakteriše logaritamski dekrement prigušenja, što znači da je ova vrijednost jednaka prirodnom logaritmu omjera dvije uzastopne amplitude razdvojene vremenskim intervalom jednakim periodu oscilovanja; koeficijent prigušenja i logaritamski dekrement prigušenja povezani su prilično jednostavnom relacijom: λ = ßT

Kod jakog prigušenja, iz formule se može vidjeti da je period oscilovanja imaginarna vrijednost. Kretanje u ovom slučaju više neće biti periodično i naziva se aperiodično.

Prisilne vibracije. Prisilne oscilacije nazivaju se oscilacije koje nastaju u sistemu uz učešće vanjske sile koja se mijenja po periodičnom zakonu.

Pretpostavimo da, pored elastične sile i sile trenja, na materijalnu tačku djeluje i vanjska pokretačka sila F = F0 cos ωt

Amplituda prisilnih oscilacija je direktno proporcionalna amplitudi pokretačke sile i ima složenu ovisnost o koeficijentu prigušenja medija i kružnim frekvencijama prirodnih i prisilnih oscilacija. Ako su za sistem dati ω0 i ß, tada amplituda prisilnih oscilacija ima maksimalnu vrijednost na određenoj određenoj frekvenciji pokretačke sile, tzv. rezonantan Sama pojava - postizanje maksimalne amplitude prisilnih oscilacija za date ω0 i ß - naziva se rezonancija.

Rezonantna kružna frekvencija se može naći iz uslova za minimum nazivnika u: ωres = √ωₒ- 2ß

Mehanička rezonanca će izgorjeti kako bi bila i korisna i štetna. Štetno djelovanje je uglavnom zbog razaranja koje može uzrokovati. Dakle, u tehnologiji, uzimajući u obzir različite vibracije, potrebno je predvidjeti moguću pojavu rezonantnih uvjeta, inače može doći do uništenja i katastrofa. Tijela obično imaju nekoliko prirodnih frekvencija vibracija i, shodno tome, nekoliko rezonantnih frekvencija.

Rezonantne pojave pod dejstvom spoljašnjih mehaničkih vibracija nastaju u unutrašnjim organima. Ovo je, očigledno, jedan od razloga negativnog uticaja infrazvučnih vibracija i vibracija na ljudsko telo.

6. Metode zvučnog istraživanja u medicini: udaraljke, auskultacija. Fonokardiografija.

Zvuk može biti izvor informacija o statusu unutrašnje organe osoba, stoga u medicini takve metode proučavanja stanja pacijenta kao što su auskultacija, perkusija i fonokardiografija

Auskultacija

Za auskultaciju koristite stetoskop ili fonendoskop. Fonendoskop se sastoji od šuplje kapsule sa membranom za prijenos zvuka koja se nanosi na tijelo pacijenta, iz koje gumene cijevi idu do doktorovog uha. U kapsuli se javlja rezonanca zračnog stupa, zbog čega se zvuk pojačava i auskultacija se poboljšava. Prilikom auskultacije pluća čuju se tonovi disanja, različiti pisci, karakteristični za bolesti. Takođe možete slušati srce, crijeva i želudac.

Percussion

Kod ove metode, zvuk pojedinih dijelova tijela se čuje kada se tapkaju. Zamislimo zatvorenu šupljinu unutar nekog tijela, ispunjenu zrakom. Ako se u ovom tijelu izazovu zvučne vibracije, tada će na određenoj frekvenciji zvuka, zrak u šupljini početi rezonirati, emitirajući i pojačavajući ton koji odgovara veličini i položaju šupljine. Ljudsko tijelo se može predstaviti kao skup volumena ispunjenih plinom (pluća), tekućim (unutrašnji organi) i čvrstim (kosti). Pri udaru o površinu tijela nastaju vibracije čije frekvencije imaju širok raspon. Iz ovog raspona će neke oscilacije prilično brzo izumrijeti, dok će se druge, koje se poklapaju s prirodnim oscilacijama praznina, pojačati i, zbog rezonancije, biti čujne.

Fonokardiografija

Koristi se za dijagnosticiranje stanja srčane aktivnosti. Metoda se sastoji u grafičkoj registraciji srčanih tonova i šumova i njihovoj dijagnostičkoj interpretaciji. Fonokardiograf se sastoji od mikrofona, pojačala, sistema frekvencijskih filtera i uređaja za snimanje.

9. Ultrazvučne metode istraživanja (ultrazvuk) u medicinskoj dijagnostici.

1) Metode dijagnostike i istraživanja

Oni uključuju metode lociranja koje koriste uglavnom pulsno zračenje. Ovo je ehoencefalografija - definicija tumora i cerebralnog edema. Ultrazvučna kardiografija - mjerenje veličine srca u dinamici; u oftalmologiji - ultrazvučna lokacija za određivanje veličine očnog medija.

2) Metode izlaganja

Ultrazvučna fizioterapija - mehaničko i termalno djelovanje na tkivo.

11. Udarni talas. Primanje i upotreba udarnih talasa u medicini.
Šok talas - površina rupture koja se kreće u odnosu na gas i na čijem preseku pritisak, gustina, temperatura i brzina doživljavaju skok.
Pri velikim smetnjama (eksplozija, nadzvučno kretanje tijela, snažno električno pražnjenje, itd.), brzina oscilirajućih čestica medija može postati uporediva sa brzinom zvuka , nastaje udarni talas.

Udarni talas može imati značajnu energiju, dakle, za nuklearna eksplozija o formiranju udarnog talasa u okruženje oko 50% energije eksplozije se troši. Dakle, udarni val, koji dopire do bioloških i tehničkih objekata, može uzrokovati smrt, ozljede i uništenje.

Udarni talasi se koriste u medicinskoj tehnologiji, koji predstavlja izuzetno kratak, snažan impuls pritiska sa visokim amplitudama pritiska i niskom vlačnom komponentom. Generiraju se izvan tijela pacijenta i prenose duboko u tijelo, stvarajući terapeutski učinak koji pruža specijalizacija modela opreme: drobljenje mokraćnog kamenca, tretiranje bolnih mesta i posledica povreda mišićno-koštanog sistema, stimulisanje oporavka srčanog mišića nakon infarkta miokarda, zaglađivanje celulitnih formacija itd.

>> Harmonične vibracije

§ 22 HARMONIČKE VIBRACIJE

Znajući kako su ubrzanje i koordinata oscilirajućeg tijela međusobno povezani, moguće je, na osnovu matematičke analize, pronaći ovisnost koordinate o vremenu.

Ubrzanje je drugi vremenski izvod koordinate. Trenutna brzina tačke, kao što znate iz kursa matematike, je vremenski izvod koordinate tačke. Ubrzanje tačke je izvod njene brzine u odnosu na vreme, ili drugi izvod koordinate u odnosu na vreme. Prema tome, jednačina (3.4) se može napisati na sljedeći način:

gdje je x " je drugi izvod koordinate u odnosu na vrijeme. Prema jednačini (3.11), za vrijeme slobodnih oscilacija, x koordinata se mijenja s vremenom tako da je drugi izvod koordinate u vremenu direktno proporcionalan samoj koordinati i suprotan njoj po predznaku.

Iz kursa matematike je poznato da su drugi izvodnici sinusa i kosinusa po svom argumentu proporcionalni samim funkcijama, uzetim sa suprotnim predznakom. V matematička analiza dokazano je da nijedna druga funkcija nema ovo svojstvo. Sve ovo nam omogućava da s razlogom tvrdimo da se koordinata tijela koje vrši slobodne oscilacije mijenja tokom vremena prema zakonu sinusa ili pasina. Slika 3.6 prikazuje promjenu koordinata tačke s vremenom prema kosinusnom zakonu.

Periodične promjene fizičke veličine u zavisnosti od vremena, koje se dešavaju prema zakonu sinusa ili kosinusa, nazivaju se harmonijskim oscilacijama.

Amplituda vibracija. Amplituda harmonijskih vibracija je modul najvećeg pomaka tijela iz ravnotežnog položaja.

Amplituda može imati različita značenja u zavisnosti od toga koliko pomeramo telo iz ravnotežnog položaja u početnom trenutku vremena, ili od toga kojom se brzinom prenosi telo. Amplituda je određena početnim uslovima, odnosno energijom koja se prenosi na tijelo. Ali maksimalne vrijednosti sinusnog modula i kosinusnog modula jednake su jedan. Stoga se rješenje jednačine (3.11) ne može izraziti jednostavno sinusom ili kosinusom. Trebao bi biti u obliku umnožaka amplitude vibracije x m na sinus ili kosinus.

Rješavanje jednadžbe koja opisuje slobodne vibracije. Rješenje jednačine (3.11) zapisujemo u sljedećem obliku:

a drugi izvod će biti:

Dobili smo jednačinu (3.11). Prema tome, funkcija (3.12) je rješenje izvorne jednadžbe (3.11). Rješenje ove jednačine će također biti funkcija

Grafikon zavisnosti koordinata tijela od vremena prema (3.14) je kosinusni val (vidi sliku 3.6).

Period i frekvencija harmonijskih oscilacija... Uz fluktuacije, pokreti tijela se periodično ponavljaju. Vremenski period T, tokom kojeg sistem napravi jedan potpuni ciklus oscilacija, naziva se periodom oscilacija.

Poznavajući period, možete odrediti frekvenciju oscilacija, odnosno broj oscilacija u jedinici vremena, na primjer, u sekundi. Ako se jedna oscilacija dogodi u vremenu T, tada je broj oscilacija u sekundi

V Međunarodni sistem jedinica (SI), frekvencija vibracije je jednaka jedinici ako se izvrši jedna vibracija u sekundi. Jedinica frekvencije naziva se herc (skraćeno: Hz) u čast njemačkog fizičara G. Herca.

Broj oscilacija u 2 s jednak je:

Vrijednost je ciklična ili kružna frekvencija vibracija. Ako je u jednačini (3.14) vrijeme t jednako jednom periodu, onda je T = 2. Dakle, ako je u trenutku t = 0 x = x m, tada u vrijeme t = T x = x m, odnosno kroz vremenski period jednak do jednog perioda, fluktuacije se ponavljaju.

Frekvencija slobodnih vibracija je određena prirodnom frekvencijom oscilatornog sistema 1.

Zavisnost frekvencije i perioda slobodnih oscilacija o svojstvima sistema. Prirodna frekvencija vibracija tijela pričvršćenog za oprugu, prema jednačini (3.13), je:

Što je veća, veća je krutost opruge k, a što je manja, veća je tjelesna masa m. Lako je razumjeti: kruta opruga daje tijelu veće ubrzanje i brže mijenja brzinu tijela. I što je tijelo masivnije, sporije mijenja brzinu pod utjecajem sile. Period oscilovanja je:

Imajući skup opruga različite krutosti i tijela različite mase, lako se iz iskustva uvjeriti da formule (3.13) i (3.18) ispravno opisuju prirodu ovisnosti U i T o k i m.

Zanimljivo je da period oscilovanja tela na oprugi i period oscilovanja klatna pri malim uglovima otklona ne zavise od amplitude oscilacija.

Modul koeficijenta proporcionalnosti između ubrzanja t i pomaka x u jednačini (3.10), koja opisuje oscilacije klatna, je, kao i u jednačini (3.11), kvadrat ciklične frekvencije. Prema tome, prirodna frekvencija oscilacija matematičkog klatna pri malim uglovima otklona niti od vertikale zavisi od dužine klatna i ubrzanja gravitacije:

Ovu formulu je prvi dobio i eksperimentalno testirao holandski naučnik G. Huygens, savremenik I. Newtona. Vrijedi samo za male uglove skretanja pređe.

1 U nastavku, radi sažetosti, često ćemo cikličnu frekvenciju nazivati jednostavno frekvencijom. Cikličnu frekvenciju možete razlikovati od uobičajene frekvencije po oznakama.

Period oscilovanja se povećava sa dužinom klatna. Ne zavisi od mase klatna. Lako je to eksperimentalno testirati s raznim klatnama. Može se naći i zavisnost perioda oscilovanja od ubrzanja gravitacije. Što je g manji, to je duži period oscilovanja klatna i, samim tim, sat sa klatnom teče sporije. Dakle, sat s klatnom u obliku tereta na štapu zaostajat će u danu za gotovo 3 s ako se podigne iz podruma na gornji kat Moskovskog univerziteta (visina 200 m). A to je samo zbog smanjenja ubrzanja gravitacije s visinom.

U praksi se koristi zavisnost perioda oscilovanja klatna od vrednosti g. Mjerenjem perioda oscilacije, g se može vrlo precizno odrediti. Ubrzanje slobodnog pada se mijenja od geografska širina... Ali čak i na datoj geografskoj širini, nije svuda isto. Uostalom, gustina zemljine kore nije svuda ista. U područjima s gustim stijenama, ubrzanje g je nešto veće. Ovo se uzima u obzir pri traženju minerala.

Dakle, željezna ruda ima veću gustinu u odnosu na obične stijene. Merenja ubrzanja slobodnog pada u blizini Kurska, sprovedena pod rukovodstvom akademika A.A. Mihajlova, omogućila su da se razjasni lokacija željezna ruda... Prvo su otkriveni magnetnim mjerenjima.

Svojstva mehaničke vibracije koriste se u većini elektronskih vaga. Tijelo koje se vaga postavlja se na platformu ispod koje je ugrađena kruta opruga. Kao rezultat, javljaju se mehaničke vibracije, čija se frekvencija mjeri odgovarajućim senzorom. Mikroprocesor spojen na ovaj senzor pretvara frekvenciju vibracije u masu vaganog tijela, jer ta frekvencija ovisi o masi.

Rezultirajuće formule (3.18) i (3.20) za period oscilovanja pokazuju da period harmonijskih oscilacija zavisi od parametara sistema (krutost opruge, dužina navoja, itd.)

Myakishev G. Ya., Physics. 11. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje. institucije: osnovne i profilne. nivoi / G. Ya. Myakishev, BV Bukhovtsev, VM Charugin; ed. V. I. Nikolaeva, N. A. Parfentieva. - 17. izdanje, Rev. i dodati. - M.: Obrazovanje, 2008.-- 399 s: ilustr.

Kompletan spisak tema po razredima, kalendarski plan prema školskom planu i programu fizike online, video materijal o fizici za 11. razred download

Sadržaj lekcije nacrt lekcije podrška okvir prezentacije lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, obuke, slučajevi, potrage domaći zadaci diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafikoni, tabele, šeme humor, vicevi, vicevi, strip parabole, izreke, ukrštene reči, citati Supplementi sažetakačlanci čipovi za znatiželjne cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni vokabular pojmova ostali Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravke grešaka u tutorijalu ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice dnevni red rasprave Integrisane lekcije

1.18. HARMONIČKE VIBRACIJE I NJIHOVE KARAKTERISTIKE

Određivanje harmonijskih vibracija. Karakteristike harmonične vibracije: pomak iz ravnotežnog položaja, amplituda vibracije, faza vibracije, frekvencija i period vibracije. Brzina i ubrzanje oscilirajuće tačke. Energija harmonijskog oscilatora. Primjeri harmonijskih oscilatora: matematički, opružni, torzijski i fizički nebeska klatna.

Akustika, radiotehnika, optika i druge grane nauke i tehnologije zasnivaju se na teoriji oscilacija i talasa. Važnu ulogu igra teorija oscilacija u mehanici, posebno u proračunima čvrstoće za avione, mostove i određene vrste mašina i sklopova.

Fluktuacije su procesi koji se ponavljaju u jednakim vremenskim intervalima (i nikako nisu svi procesi koji se ponavljaju oscilacije!). U zavisnosti od fizičke prirode procesa koji se ponavlja, razlikuju se mehaničke, elektromagnetne, elektromehaničke itd. oscilacije. Tokom mehaničkih vibracija, položaji i koordinate tijela se periodično mijenjaju.

Obnavljanje sile - sila pod čijim uticajem nastaje oscilatorni proces. Ova sila teži da vrati tijelo ili materijalnu tačku, otklon od položaja mirovanja, u prvobitni položaj.

U zavisnosti od prirode udara na oscilirajuće tijelo, razlikuju se slobodne (ili prirodne) oscilacije i prisilne oscilacije.

U zavisnosti od prirode uticaja na oscilacioni sistem, razlikuju se slobodne oscilacije, prisilne oscilacije, autooscilacije i parametarske oscilacije.

Besplatno (vlastiti) vibracije su one vibracije koje se javljaju u sistemu prepuštenom samom sebi nakon što mu je dat pritisak, ili je izvučen iz položaja ravnoteže, tj. kada na tijelo koje vibrira djeluje samo povratna sila.. Primjer su vibracije loptice okačene na niti. Da biste izazvali vibracije, morate ili gurnuti loptu, ili je, odvojivši je u stranu, pustiti. U slučaju da nema rasipanja energije, slobodne vibracije ne prigušuju se. Međutim, stvarni oscilatorni procesi su prigušeni, jer na oscilirajuće tijelo djeluju sile otpora kretanju (uglavnom sile trenja).

· Prisilno nazivaju se takve vibracije, tokom kojih je vibracioni sistem izložen spoljašnjoj sili koja se periodično menja (na primer, vibracije mosta koje nastaju kada ljudi koji hodaju u nozi prolaze njime). U mnogim slučajevima, sistemi izvode vibracije koje se mogu smatrati harmonijskim.

· Samooscilacije , Kao i prisilne vibracije, i one su praćene vanjskim silama koje djeluju na vibracioni sistem, međutim, trenutke u kojima se ti utjecaji izvode postavlja sam vibracioni sistem. Odnosno, sam sistem kontroliše spoljašnji uticaj. Primjer samooscilirajućeg sistema je sat u kojem klatno prima udare zbog energije podignute težine ili uvrnute opruge, a ti udari nastaju u trenucima kada klatno prolazi kroz srednji položaj.

· Parametrijski oscilacije se izvode s periodičnim promjenama parametara oscilirajućeg sistema (osoba koja se ljulja na ljuljašci povremeno podiže i spušta svoje težište, mijenjajući tako parametre sistema). Pod određenim uslovima sistem postaje nestabilan - slučajno odstupanje od ravnotežnog položaja dovodi do pojave i rasta oscilacija. Ova pojava se naziva parametarska pobuda oscilacija (tj. oscilacije se pobuđuju promjenom parametara sistema), a same oscilacije se nazivaju parametarskim.

Unatoč različitoj fizičkoj prirodi, oscilacije karakteriziraju iste pravilnosti koje se istražuju općim metodama. Važna kinematička karakteristika je oblik vibracije. Određuje se tipom funkcije vremena, koja opisuje promjenu određene fizičke veličine tokom oscilacija. Najvažnije su one fluktuacije kod kojih se fluktuirajuća vrijednost mijenja tokom vremena. sinusni ili kosinusni zakon ... Zovu se harmonično .

Harmonične vibracije nazivaju se oscilacije u kojima se oscilirajuća fizička veličina mijenja prema sinusnom (ili kosinusnom) zakonu.

Ova vrsta vibracija je posebno važna iz sljedećih razloga. Prvo, vibracije u prirodi i tehnologiji često imaju karakter vrlo blizak harmonijskom. Drugo, periodični procesi drugačijeg oblika (sa različitom zavisnošću od vremena) mogu se predstaviti kao nametanje, ili superpozicija, harmonijskih oscilacija.

Harmonic Oscillator Equation

Harmonične oscilacije opisane su periodičnim zakonom:

Rice. 18.1. Harmonične oscilacije

ovdje

- karakteriše promjena bilo koja fizička veličina tokom oscilacija (pomak položaja klatna iz ravnotežnog položaja; napon na kondenzatoru u oscilatornom krugu, itd.), A - amplituda vibracije ,

- faza oscilovanja ,

- početna faza ,

- ciklička frekvencija ; magnitude

takođe pozvan vlastiti frekvencija vibracija. Ovaj naziv naglašava da je ova frekvencija određena parametrima oscilatornog sistema. Zove se sistem čiji zakon kretanja ima oblik (18.1). jednodimenzionalni harmonijski oscilator ... Pored navedenih veličina, za karakterizaciju oscilacija, uvode se pojmovi period , tj. vrijeme jedne oscilacije.

(Period oklevanja T naziva se najmanji vremenski interval nakon kojeg se stanja oscilirajućeg sistema ponavljaju (nastaje jedna potpuna oscilacija) i faza oscilacije dobija prirast od 2p).

i frekvencija
, koji određuje broj oscilacija u jedinici vremena. Jedinica frekvencije je frekvencija takve oscilacije, čiji je period 1 s. Ova jedinica se zove herca (Hz ).

Frekvencija vibracijan naziva se recipročna vrijednost perioda oscilacija - broj kompletnih oscilacija izvedenih u jedinici vremena.

Amplituda- maksimalna vrijednost pomaka ili promjene varijable tokom oscilatornog ili talasnog kretanja.

Faza oscilovanja je argument periodične funkcije ili opisuje harmonijski oscilatorni proces (ω je kutna frekvencija, t- vrijeme, - početna faza oscilacija, odnosno faza oscilacija u početnom trenutku vremena t = 0).

Prvi i drugi vremenski izvod harmonijski oscilirajuće veličine također izvode harmonijske oscilacije iste frekvencije:

U ovom slučaju se kao osnova uzima jednačina harmonijskih oscilacija, napisana prema kosinusnom zakonu. U ovom slučaju, prva jednačina (18.2) opisuje zakon prema kojem se mijenja brzina oscilirajuće materijalne tačke (tijela), druga jednačina opisuje zakon prema kojem se mijenja ubrzanje oscilirajuće tačke (tijela).

Amplitude
i
jednake respektivno
i
... Ljuti se
nadmašuje
u fazi uključeno; i oklevanje
nadmašuje
na ... Vrijednosti A i može se odrediti iz datih početnih uslova
i
:

,
. (18.3)

Energija vibracije oscilatora

Rice. 18.2. Opružno klatno

sad da vidimo šta će biti sa tim vibraciona energija . Kao primjer harmonijskih vibracija, razmotrite jednodimenzionalne vibracije koje izvodi tijelo mase m Pod uticajem elastična snagu

(na primjer, opružno klatno, vidi sl. 18.2). Sile različite prirode od elastičnih, ali u kojima je zadovoljen uslov F = -kx, nazivaju se kvazielastična. Pod uticajem ovih sila, tela vrše i harmonijske vibracije. neka:

pristrasnost:
brzina:
ubrzanje:

One. jednadžba takvih oscilacija ima oblik (18.1) sa prirodnom frekvencijom
... Kvazielastična sila je konzervativan . Stoga ukupna energija takvih harmonijskih oscilacija mora ostati konstantna. U procesu oscilacija dolazi do transformacije kinetičke energije E To u potencijal E P i obrnuto, a u trenucima najvećeg odstupanja od ravnotežnog položaja ukupna energija je jednaka maksimalnoj vrijednosti potencijalne energije, a kada sistem prođe kroz ravnotežni položaj, ukupna energija je jednaka maksimalnoj vrijednosti kinetičke energije. Hajde da saznamo kako se kinetička i potencijalna energija mijenjaju tokom vremena:

Kinetička energija:

Potencijalna energija:

(18.5)

S obzirom da tj. , posljednji izraz se može napisati kao:

Dakle, ukupna energija harmonijske vibracije je konstantna. Iz relacija (18.4) i (18.5) također slijedi da su prosječne vrijednosti kinetičke i potencijalne energije jednake jedna drugoj i polovini ukupne energije, budući da su prosječne vrijednosti
i
tokom perioda jednaki su 0,5. Koristeći trigonometrijske formule, možete dobiti da se kinetička i potencijalna energija mijenjaju s frekvencijom
, tj. sa frekvencijom dvostruko većom od frekvencije harmonijske vibracije.

Opružna klatna, fizička klatna, matematička klatna i torzijska klatna mogu biti primjeri harmonijskog oscilatora.

1. Opružno klatno je opterećenje mase m, koje je okačeno na apsolutno elastičnu oprugu i vrši harmonijske oscilacije pod djelovanjem elastične sile F = –kx, gdje je k krutost opruge. Jednačina kretanja klatna ima oblik ili (18.8) Iz formule (18.8) proizilazi da opružno klatno vrši harmonijske oscilacije po zakonu h = ASOs (ω 0 t + φ) sa cikličkom frekvencijom

(18.9) i period

(18.10) Formula (18.10) važi za elastične vibracije unutar granica u kojima je ispunjen Hukov zakon, odnosno ako je masa opruge mala u poređenju sa masom tela. Potencijalna energija opružnog klatna, koristeći (18.9) i formulu potencijalne energije iz prethodnog odjeljka, je (vidi 18.5)

2. Fizičko klatno- to solidan, koji oscilira pod dejstvom gravitacije oko fiksne horizontalne ose, koja prolazi kroz tačku O, koja se ne poklapa sa centrom mase C tela (slika 1).

Slika 18.3 Fizičko klatno

Ako se klatno od ravnotežnog položaja odbije za neki ugao α, tada se, koristeći jednadžbu dinamike rotacionog kretanja krutog tijela, određuje moment M povratne sile (18.11) gdje je J moment inercije klatno u odnosu na osu koja prolazi kroz tačku vešanja O, l je rastojanje između ose i centra mase klatna, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα je sila vraćanja (znak minus označava da su pravci F τ i α su uvijek suprotni, sinα ≈ α pošto se oscilacije klatna smatraju malim, tj. klatno je odbačeno od ravnotežnog položaja za male uglove). Jednačina (18.11) se može napisati kao

Ili Uzimajući (18.12) dobijamo jednačinu

Identično kao (18.8), čije se rješenje nalazi i zapisuje kao:

(18.13) Iz formule (18.13) proizilazi da za male oscilacije fizičko klatno vrši harmonijske oscilacije sa cikličkom frekvencijom ω 0 i periodom

(18.14) gdje je vrijednost L = J / (m l) -. Tačka O" na nastavku prave OS, koja je udaljena od tačke O suspenzije klatna na udaljenosti smanjene dužine L, naziva se zamahni centar fizičko klatno(sl. 18.3). Primjenjujući Steinerovu teoremu za moment inercije ose, nalazimo

To jest, OO "je uvijek veće od OS. Tačka vješanja O klatna i centar ljuljanja O" imaju svojstvo zamjenjivosti: ako se tačka vešanja pomeri u centar ljuljanja, tada će prethodna tačka vešanja O biti novi centar zamaha, a period fizičkog ljuljanja klatna se neće promeniti.

3. Matematičko klatno je idealizovani sistem koji se sastoji od materijalne tačke mase m, koja je okačena na nerastezljivu bestežinsku nit, i koja vibrira pod uticajem gravitacije. Dobra aproksimacija matematičkog klatna je mala, teška lopta koja visi sa dugačke tanke niti. Moment inercije matematičkog klatna

(8) gdje l je dužina klatna.

Budući da je matematičko klatno poseban slučaj fizičkog klatna, ako pretpostavimo da je sva njegova masa koncentrisana u jednoj tački - centru mase, tada ćemo, zamjenom (8) u (7), pronaći izraz za period malih oscilacija matematičkog klatna (18.15) Upoređujući formule (18.13 ) i (18.15), vidimo da ako je smanjena dužina L fizičkog klatna jednaka dužini l matematičkog klatna, onda su periodi oscilovanja ovih klatna isti. znači, smanjena dužina fizičkog klatna- ovo je dužina takvog matematičkog klatna, u kojoj se period oscilacija poklapa sa periodom oscilacija datog fizičkog klatna. Za matematičko klatno (materijalna tačka sa masom m okačen na bestežinski nerastegljivi konac dužine l u gravitacionom polju sa gravitacionim ubrzanjem jednakim g) pri malim uglovima odstupanja (koji ne prelaze 5-10 ugaonih stepeni) od ravnotežnog položaja, prirodna frekvencija oscilacija:
.

4. Telo okačeno na elastični konac ili drugi elastični element, koje vibrira u horizontalnoj ravni, je torzijsko klatno.

Ovo je mehanički vibrirajući sistem koji koristi sile elastične deformacije. Na sl. 18.4 prikazuje ugaoni analog linearnog harmonijskog oscilatora koji izvodi torzijske vibracije. Horizontalno postavljen disk visi na elastičnoj niti pričvršćenoj u svom centru mase. Kada se disk rotira za ugao θ, javlja se moment sila M kontrola elastične torzijske deformacije:

gdje I = IC Moment inercije diska oko ose koja prolazi kroz centar mase, ε je kutno ubrzanje.

Po analogiji sa utegom na oprugi, možete dobiti.