"، یعنی معادلات درجه اول. در این درس به بررسی خواهیم پرداخت چیزی که معادله درجه دوم نامیده می شودو نحوه حل آن

معادله درجه دوم چیست؟

مهم!

درجه یک معادله با بالاترین درجه ای که مجهول در آن قرار دارد تعیین می شود.

اگر حداکثر توانی که مجهول در آن "2" باشد، یک معادله درجه دوم دارید.

نمونه هایی از معادلات درجه دوم

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

مهم! شکل کلی یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

A x 2 + b x + c = 0

"الف"، "ب" و "ج" اعداد داده می شوند.

• "a" اولین یا بالاترین ضریب است.
• "ب" ضریب دوم است.
• "c" یک عضو رایگان است.

برای یافتن "a"، "b" و "c" باید معادله خود را با شکل کلی معادله درجه دوم "ax 2 + bx + c = 0" مقایسه کنید.

بیایید تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" را در معادلات درجه دوم تمرین کنیم.

5x 2 − 14x + 17 = 0 7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

معادله	شانس
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

چگونه معادلات درجه دوم را حل کنیم

بر خلاف معادلات خطی، از روش خاصی برای حل معادلات درجه دوم استفاده می شود. فرمول یافتن ریشه.

یاد آوردن!

برای حل یک معادله درجه دوم شما نیاز دارید:

• معادله درجه دوم را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" بیاورید. یعنی فقط "0" باید در سمت راست باقی بماند.
• استفاده از فرمول برای ریشه:

بیایید به مثالی از نحوه استفاده از فرمول برای یافتن ریشه های یک معادله درجه دوم نگاه کنیم. بیایید یک معادله درجه دوم را حل کنیم.

X 2 − 3x − 4 = 0

معادله "x 2 - 3x - 4 = 0" قبلاً به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش یافته است و نیازی به ساده سازی اضافی ندارد. برای حل آن، فقط باید اعمال کنیم فرمول یافتن ریشه یک معادله درجه دوم.

اجازه دهید ضرایب "a"، "b" و "c" را برای این معادله تعیین کنیم.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

می توان از آن برای حل هر معادله درجه دوم استفاده کرد.

در فرمول "x 1;2 =" عبارت رادیکال اغلب جایگزین می شود
"b 2 − 4ac" برای حرف "D" و تفکیک نامیده می شود. مفهوم تمایز با جزئیات بیشتری در درس "ممیز چیست" مورد بحث قرار گرفته است.

بیایید مثال دیگری از یک معادله درجه دوم را بررسی کنیم.

x 2 + 9 + x = 7x

در این شکل، تعیین ضرایب "الف"، "ب" و "ج" بسیار دشوار است. اجازه دهید ابتدا معادله را به شکل کلی "ax 2 + bx + c = 0" کاهش دهیم.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 - 6 x + 9 = 0

حالا می توانید از فرمول برای ریشه ها استفاده کنید.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
پاسخ: x = 3

مواقعی وجود دارد که معادلات درجه دوم ریشه ندارند. این وضعیت زمانی رخ می دهد که فرمول دارای یک عدد منفی در زیر ریشه باشد.

سطح اول

معادلات درجه دوم. راهنمای جامع (2019)

در اصطلاح "معادله درجه دوم"، کلمه کلیدی "معادل درجه دوم" است. این به این معنی است که معادله لزوماً باید دارای یک متغیر (همان x) مربع باشد و نباید X برای توان سوم (یا بیشتر) وجود داشته باشد.

حل بسیاری از معادلات به حل معادلات درجه دوم ختم می شود.

بیایید یاد بگیریم که تعیین کنیم که این یک معادله درجه دوم است و نه یک معادله دیگر.

مثال 1.

بیایید از مخرج خلاص شویم و هر جمله معادله را در ضرب کنیم

بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم و اصطلاحات را به ترتیب نزولی توان های X مرتب کنیم

حالا با اطمینان می توان گفت که این معادله درجه دوم است!

مثال 2.

ضلع چپ و راست را در:

این معادله با اینکه در اصل در آن بود، درجه دوم نیست!

مثال 3.

بیایید همه چیز را ضرب کنیم:

ترسناک؟ درجه چهارم و دوم ... اما اگر جایگزینی انجام دهیم می بینیم که یک معادله درجه دوم ساده داریم:

مثال 4.

به نظر می رسد وجود دارد، اما اجازه دهید نگاهی دقیق تر بیندازیم. بیایید همه چیز را به سمت چپ منتقل کنیم:

ببینید، کاهش یافته است - و اکنون یک معادله خطی ساده است!

حال سعی کنید خودتان تعیین کنید که کدام یک از معادلات زیر درجه دوم هستند و کدام یک نیستند:

مثال ها:

پاسخ ها:

1. مربع؛
2. مربع؛
3. مربع نیست؛
4. مربع نیست؛
5. مربع نیست؛
6. مربع؛
7. مربع نیست؛
8. مربع.

ریاضیدانان به طور معمول تمام معادلات درجه دوم را به انواع زیر تقسیم می کنند:

• معادلات درجه دوم را کامل کنید- معادلاتی که در آنها ضرایب و همچنین عبارت آزاد c برابر با صفر نیستند (مانند مثال). علاوه بر این، در میان معادلات درجه دوم کامل وجود دارد داده شده- اینها معادلاتی هستند که در آنها ضریب (معادله مثال یک نه تنها کامل است، بلکه کاهش می یابد!)

• معادلات درجه دوم ناقص- معادلاتی که در آنها ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

  آنها ناقص هستند زیرا برخی از عناصر را از دست داده اند. اما معادله باید همیشه x مربع باشد!!! در غیر این صورت، دیگر معادله درجه دوم نخواهد بود، بلکه معادله دیگری خواهد بود.

چرا چنین تقسیم بندی کردند؟ به نظر می رسد که یک X مربع وجود دارد، و خوب است. این تقسیم بندی با روش های حل تعیین می شود. بیایید به هر یک از آنها با جزئیات بیشتری نگاه کنیم.

حل معادلات درجه دوم ناقص

اول، بیایید روی حل معادلات درجه دوم ناقص تمرکز کنیم - آنها بسیار ساده تر هستند!

انواع معادلات درجه دوم ناقص وجود دارد:

1. ، در این معادله ضریب برابر است.
2. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.
3. ، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

1. من. از آنجایی که می دانیم چگونه جذر را بگیریم، بیایید از این معادله بیان کنیم

عبارت می تواند منفی یا مثبت باشد. یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا هنگام ضرب دو عدد منفی یا دو عدد مثبت، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود، بنابراین: اگر، پس معادله هیچ جوابی ندارد.

و اگر، پس دو ریشه می گیریم. نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی این است که باید بدانید و همیشه به یاد داشته باشید که نمی تواند کمتر باشد.

بیایید سعی کنیم چند مثال را حل کنیم.

مثال 5:

معادله را حل کنید

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند استخراج ریشه از سمت چپ و راست است. پس از همه، شما به یاد دارید که چگونه ریشه ها را استخراج کنید؟

پاسخ:

ریشه های دارای علامت منفی را هرگز فراموش نکنید!!!

مثال 6:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 7:

معادله را حل کنید

اوه! مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه!

برای چنین معادلاتی که ریشه ندارند، ریاضیدانان نماد خاصی را ارائه کردند - (مجموعه خالی). و پاسخ را می توان اینگونه نوشت:

پاسخ:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد. در اینجا هیچ محدودیتی وجود ندارد، زیرا ما ریشه را استخراج نکردیم.
مثال 8:

معادله را حل کنید

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

بدین ترتیب،

این معادله دو ریشه دارد.

پاسخ:

ساده ترین نوع معادلات درجه دوم ناقص (اگرچه همه آنها ساده هستند، درست است؟). بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

در اینجا از ذکر مثال صرف نظر می کنیم.

حل معادلات درجه دوم کامل

یادآوری می کنیم که یک معادله درجه دوم کامل معادله ای از معادله فرم است که در آن

حل معادلات درجه دوم کمی دشوارتر از اینها (فقط کمی) است.

یاد آوردن، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

روش‌های دیگر به شما کمک می‌کنند این کار را سریع‌تر انجام دهید، اما اگر با معادلات درجه دوم مشکل دارید، ابتدا با استفاده از تفکیک کننده به حل مسلط شوید.

1. حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز.

حل معادلات درجه دوم با استفاده از این روش بسیار ساده است؛ نکته اصلی این است که دنباله اقدامات و چند فرمول را به خاطر بسپارید.

اگر، پس معادله ریشه دارد، باید به مرحله توجه ویژه ای داشته باشید. متمایز () تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، فرمول موجود در مرحله به کاهش می یابد. بنابراین، معادله فقط یک ریشه خواهد داشت.
• اگر، پس نمی‌توانیم ریشه ممیز را در مرحله استخراج کنیم. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

بیایید به معادلات خود برگردیم و به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 9:

معادله را حل کنید

مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله دو ریشه دارد.

مرحله 3.

پاسخ:

مثال 10:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

یعنی معادله یک ریشه دارد.

پاسخ:

مثال 11:

معادله را حل کنید

معادله به شکل استاندارد ارائه شده است، بنابراین مرحله 1ما می گذریم

گام 2.

ما تمایز را پیدا می کنیم:

این بدان معنی است که ما نمی توانیم ریشه تمایز را استخراج کنیم. هیچ ریشه ای از معادله وجود ندارد.

اکنون می دانیم که چگونه چنین پاسخ هایی را به درستی یادداشت کنیم.

پاسخ:بدون ریشه

2. حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا.

اگر به خاطر داشته باشید، یک نوع معادله وجود دارد که به آن کاهش می گویند (زمانی که ضریب a برابر باشد):

حل چنین معادلاتی با استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است:

مجموع ریشه ها داده شدهمعادله درجه دوم برابر است و حاصل ضرب ریشه ها برابر است.

مثال 12:

معادله را حل کنید

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا .

مجموع ریشه های معادله برابر است، یعنی. معادله اول را بدست می آوریم:

و محصول برابر است با:

بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

پاسخ: ; .

مثال 13:

معادله را حل کنید

پاسخ:

مثال 14:

معادله را حل کنید

معادله داده شده است که به این معنی است:

پاسخ:

معادلات درجه دوم. سطح متوسط

معادله درجه دوم چیست؟

به عبارت دیگر، یک معادله درجه دوم معادله ای از شکل است که در آن - مجهول، - برخی اعداد، و.

عدد بالاترین یا نامیده می شود ضریب اولمعادله درجه دوم، - ضریب دوم، آ - عضو رایگان.

چرا؟ زیرا اگر معادله بلافاصله خطی شود، زیرا ناپدید خواهد شد.

در این مورد، و می تواند برابر با صفر باشد. در این صندلی معادله ناقص نامیده می شود. اگر همه عبارت ها سر جای خود باشند، یعنی معادله کامل است.

راه حل برای انواع مختلف معادلات درجه دوم

روش های حل معادلات درجه دوم ناقص:

ابتدا، بیایید به روش هایی برای حل معادلات درجه دوم ناقص نگاه کنیم - آنها ساده تر هستند.

ما می توانیم انواع معادلات زیر را تشخیص دهیم:

I.، در این معادله ضریب و جمله آزاد برابر هستند.

II. ، در این معادله ضریب برابر است.

III. ، در این معادله عبارت آزاد برابر است با.

حال بیایید راه حل هر یک از این زیرگروه ها را بررسی کنیم.

بدیهی است که این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد:

یک عدد مربع نمی تواند منفی باشد، زیرا وقتی دو عدد منفی یا دو عدد مثبت را ضرب کنید، نتیجه همیشه یک عدد مثبت خواهد بود. از همین رو:

اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد.

اگر دو ریشه داشته باشیم

نیازی به حفظ این فرمول ها نیست. نکته اصلی که باید به خاطر داشته باشید این است که نمی تواند کمتر باشد.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

هرگز ریشه های دارای علامت منفی را فراموش نکنید!

مربع یک عدد نمی تواند منفی باشد، به این معنی که معادله

بدون ریشه

برای اینکه به طور خلاصه بنویسیم که یک مشکل راه حلی ندارد، از نماد مجموعه خالی استفاده می کنیم.

پاسخ:

بنابراین، این معادله دو ریشه دارد: و.

پاسخ:

بیایید فاکتور مشترک را از پرانتز خارج کنیم:

اگر حداقل یکی از فاکتورها باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است برابر با صفر. این به این معنی است که معادله یک راه حل دارد که:

بنابراین، این معادله درجه دوم دو ریشه دارد: و.

مثال:

معادله را حل کنید.

راه حل:

بیایید سمت چپ معادله را فاکتور بگیریم و ریشه ها را پیدا کنیم:

پاسخ:

روش های حل معادلات درجه دوم:

1. ممیز

حل معادلات درجه دوم از این طریق آسان است، نکته اصلی این است که دنباله اقدامات و چند فرمول را به خاطر بسپارید. به یاد داشته باشید، هر معادله درجه دوم را می توان با استفاده از یک ممیز حل کرد! حتی ناقص.

آیا متوجه ریشه از متمایز کننده در فرمول ریشه ها شده اید؟ اما تمایز می تواند منفی باشد. چه باید کرد؟ ما باید به مرحله 2 توجه ویژه ای داشته باشیم. تفکیک کننده تعداد ریشه های معادله را به ما می گوید.

• اگر، پس معادله ریشه دارد:
• اگر، پس معادله دارای ریشه های یکسان و در واقع یک ریشه است:

  به این گونه ریشه ها، ریشه دوتایی می گویند.

• اگر، پس ریشه ممیز استخراج نمی شود. این نشان می دهد که معادله ریشه ندارد.

چرا تعداد ریشه های مختلف ممکن است؟ بیایید به حس هندسیمعادله درجه دوم. نمودار تابع یک سهمی است:

در یک حالت خاص که یک معادله درجه دوم است، . این بدان معنی است که ریشه های یک معادله درجه دوم، نقاط تقاطع با محور آبسیسا (محور) هستند. یک سهمی ممکن است اصلاً محور را قطع نکند، یا ممکن است آن را در یک (زمانی که راس سهمی روی محور قرار دارد) یا دو نقطه قطع کند.

علاوه بر این، ضریب مسئول جهت شاخه های سهمی است. اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا و اگر به سمت پایین هدایت می شوند.

مثال ها:

راه حل ها:

پاسخ:

پاسخ: .

پاسخ:

این یعنی هیچ راه حلی وجود ندارد.

پاسخ: .

2. قضیه ویتا

استفاده از قضیه ویتا بسیار آسان است: فقط باید یک جفت اعدادی را انتخاب کنید که حاصل ضرب آنها برابر با جمله آزاد معادله باشد و مجموع آن برابر با ضریب دوم باشد که با علامت مخالف گرفته شده است.

مهم است که به یاد داشته باشید که قضیه ویتا را فقط می توان در آن اعمال کرد معادلات درجه دوم کاهش یافته ().

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم:

مثال شماره 1:

معادله را حل کنید.

راه حل:

این معادله را می توان با استفاده از قضیه ویتا حل کرد زیرا . سایر ضرایب: ; .

مجموع ریشه های معادله برابر است با:

و محصول برابر است با:

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است و بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مبلغ برابر است با؛
• و. مقدار برابر است.

و راه حل سیستم هستند:

بنابراین، و ریشه های معادله ما هستند.

پاسخ: ؛ .

مثال شماره 2:

راه حل:

بیایید جفت‌هایی از اعداد را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می‌شوند، و سپس بررسی کنیم که آیا مجموع آنها برابر است یا خیر:

و: در مجموع می دهند.

و: در مجموع می دهند. برای به دست آوردن، کافی است به سادگی علائم ریشه های فرضی را تغییر دهید: و در نهایت، محصول.

پاسخ:

مثال شماره 3:

راه حل:

جمله آزاد معادله منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها یک عدد منفی است. این تنها در صورتی امکان پذیر است که یکی از ریشه ها منفی و دیگری مثبت باشد. بنابراین مجموع ریشه ها برابر است با تفاوت ماژول های آنها.

اجازه دهید جفت‌هایی از اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب می‌شوند و تفاوت آنها برابر است با:

و: تفاوت آنها برابر است - مناسب نیست;

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب نیست.

و: - مناسب. تنها چیزی که باقی می ماند این است که به یاد داشته باشید که یکی از ریشه ها منفی است. از آنجایی که مجموع آنها باید برابر باشد، ریشه با مدول کوچکتر باید منفی باشد: . بررسی می کنیم:

پاسخ:

مثال شماره 4:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

عبارت آزاد منفی است و بنابراین حاصل ضرب ریشه ها منفی است. و این تنها زمانی امکان پذیر است که یک ریشه معادله منفی و دیگری مثبت باشد.

بیایید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر است، و سپس تعیین کنیم که کدام ریشه ها باید علامت منفی داشته باشند:

بدیهی است که فقط ریشه ها و برای شرایط اول مناسب هستند:

پاسخ:

مثال شماره 5:

معادله را حل کنید.

راه حل:

معادله داده شده است که به این معنی است:

مجموع ریشه ها منفی است، یعنی حداقل یکی از ریشه ها منفی است. اما از آنجایی که محصول آنها مثبت است، به این معنی است که هر دو ریشه یک علامت منفی دارند.

اجازه دهید جفت اعدادی را انتخاب کنیم که حاصل ضرب آنها برابر با:

بدیهی است که ریشه ها اعداد و.

پاسخ:

موافقم، به جای شمردن این تمایز ناخوشایند، خیلی راحت است که به صورت شفاهی به ریشه ها بپردازیم. سعی کنید تا حد امکان از قضیه ویتا استفاده کنید.

اما قضیه ویتا برای تسهیل و تسریع یافتن ریشه ها مورد نیاز است. برای اینکه بتوانید از استفاده از آن بهره مند شوید، باید اقدامات را به صورت خودکار انجام دهید. و برای این، پنج مثال دیگر را حل کنید. اما تقلب نکنید: شما نمی توانید از تمایز استفاده کنید! فقط قضیه ویتا:

راه حل های وظایف برای کار مستقل:

کار 1. ((x)^(2))-8x+12=0

طبق قضیه ویتا:

طبق معمول، انتخاب را با این قطعه شروع می کنیم:

مناسب نیست زیرا مقدار;

: مقدار آن چیزی است که شما نیاز دارید.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 2.

و دوباره قضیه مورد علاقه ما Vieta: مجموع باید برابر باشد، و حاصلضرب باید برابر باشد.

اما چون نباید باشد، اما، نشانه های ریشه ها را تغییر می دهیم: و (در مجموع).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 3.

هوم... اون کجاست؟

شما باید تمام اصطلاحات را به یک قسمت منتقل کنید:

مجموع ریشه ها برابر است با حاصل ضرب.

باشه بس کن معادله داده نشده است. اما قضیه ویتا فقط در معادلات داده شده قابل اجرا است. بنابراین ابتدا باید یک معادله ارائه دهید. اگر نمی توانید رهبری کنید، این ایده را رها کنید و آن را به روش دیگری حل کنید (مثلاً از طریق یک ممیز). اجازه دهید به شما یادآوری کنم که برای دادن یک معادله درجه دوم به معنای برابر کردن ضریب پیشرو است:

عالی. سپس مجموع ریشه ها برابر و حاصلضرب می شود.

در اینجا انتخاب کردن به آسانی گلابی پوست کنده است: به هر حال، این یک عدد اول است (با عرض پوزش برای توتولوژی).

پاسخ: ؛ .

وظیفه 4.

عضو رایگان منفی است. این چه ویژگی خاصی دارد؟ و واقعیت این است که ریشه ها نشانه های متفاوتی خواهند داشت. و اکنون، در حین انتخاب، ما نه مجموع ریشه ها، بلکه تفاوت ماژول های آنها را بررسی می کنیم: این تفاوت برابر است، اما یک محصول.

بنابراین، ریشه ها برابر هستند با و، اما یکی از آنها منهای است. قضیه ویتا به ما می گوید که مجموع ریشه ها برابر است با ضریب دوم با علامت مخالف، یعنی. این به این معنی است که ریشه کوچکتر یک منفی خواهد داشت: and, since.

پاسخ: ؛ .

وظیفه 5.

اول باید چی کار کنید؟ درست است، معادله را ارائه دهید:

باز هم: فاکتورهای عدد را انتخاب می کنیم و اختلاف آنها باید برابر باشد:

ریشه ها برابر هستند و اما یکی از آنها منهای است. کدام؟ مجموع آنها باید برابر باشد، به این معنی که منهای یک ریشه بزرگتر خواهد داشت.

پاسخ: ؛ .

بگذارید خلاصه کنم:

1. قضیه ویتا فقط در معادلات درجه دوم داده شده استفاده می شود.
2. با استفاده از قضیه ویتا، می توانید ریشه ها را با انتخاب، به صورت شفاهی پیدا کنید.
3. اگر معادله داده نشود یا هیچ جفت عامل مناسبی از جمله آزاد پیدا نشود، هیچ ریشه کاملی وجود ندارد و باید آن را به روش دیگری (مثلاً از طریق ممیز) حل کنید.

3. روش انتخاب مربع کامل

اگر همه عبارت‌های حاوی مجهول به صورت عبارت از فرمول‌های ضرب اختصاری - مجذور مجموع یا تفاوت - نشان داده شوند، پس از جایگزینی متغیرها، می‌توان معادله را در قالب یک معادله درجه دوم ناقص از نوع ارائه کرد.

مثلا:

مثال 1:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

مثال 2:

معادله را حل کنید: .

راه حل:

پاسخ:

که در نمای کلیتبدیل به شکل زیر خواهد بود:

این دلالت می کنه که: .

شما را به یاد چیزی نمی اندازد؟ این یک چیز تبعیض آمیز است! این دقیقاً چگونه است که ما فرمول تشخیص را دریافت کردیم.

معادلات درجه دوم. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

معادله درجه دوم- این یک معادله شکل است، جایی که - مجهول، - ضرایب معادله درجه دوم، - عبارت آزاد.

معادله درجه دوم کامل- معادله ای که در آن ضرایب برابر با صفر نیستند.

معادله درجه دوم کاهش یافته است- معادله ای که در آن ضریب، یعنی: .

معادله درجه دوم ناقص- معادله ای که در آن ضریب و یا عبارت آزاد c برابر با صفر است:

• اگر ضریب باشد، معادله به نظر می رسد:
• اگر یک جمله آزاد وجود داشته باشد، معادله به شکل زیر است:
• اگر و، معادله به نظر می رسد: .

1. الگوریتم حل معادلات درجه دوم ناقص

1.1. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) مجهول را بیان کنیم:

2) علامت عبارت را بررسی کنید:

• اگر، پس معادله هیچ راه حلی ندارد،
• اگر، پس معادله دو ریشه دارد.

1.2. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن، :

1) عامل مشترک را از پرانتز خارج می کنیم:

2) اگر حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. بنابراین، معادله دو ریشه دارد:

1.3. یک معادله درجه دوم ناقص از فرم، که در آن:

این معادله همیشه فقط یک ریشه دارد: .

2. الگوریتم حل معادلات درجه دوم کامل فرم Where

2.1. راه حل با استفاده از تشخیص

1) بیایید معادله را به شکل استاندارد برسانیم:

2) بیایید تفکیک کننده را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم: که تعداد ریشه های معادله را نشان می دهد:

3) ریشه های معادله را پیدا کنید:

• اگر، پس معادله دارای ریشه هایی است که با فرمول پیدا می شوند:
• اگر، پس معادله یک ریشه دارد که با فرمول پیدا می شود:
• اگر، پس معادله ریشه ندارد.

2.2. حل با استفاده از قضیه Vieta

مجموع ریشه های معادله درجه دوم کاهش یافته (معادله شکل که در آن) برابر است، و حاصل ضرب ریشه ها برابر است، یعنی. ، آ.

2.3. حل با روش انتخاب مربع کامل

معادله درجه دوم - آسان برای حل! *از این پس "KU" نامیده می شود.دوستان، به نظر می رسد که هیچ چیز ساده تر از حل چنین معادله ای در ریاضیات وجود ندارد. اما چیزی به من گفت که خیلی ها با او مشکل دارند. تصمیم گرفتم ببینم که Yandex در هر ماه چه تعداد برداشت بر اساس تقاضا ارائه می دهد. این چیزی است که اتفاق افتاده است، نگاه کنید:

چه مفهومی داره؟ این بدان معناست که حدود 70000 نفر در ماه به دنبال این اطلاعات هستند، تابستان امسال چه ربطی به آن دارد و چه اتفاقی خواهد افتاد سال تحصیلی- دو برابر بیشتر درخواست وجود خواهد داشت. این تعجب آور نیست، زیرا آن دسته از پسران و دخترانی که مدت ها پیش از مدرسه فارغ التحصیل شده اند و برای آزمون یکپارچه دولتی آماده می شوند به دنبال این اطلاعات هستند و دانش آموزان مدرسه نیز در تلاش هستند تا حافظه خود را تازه کنند.

علیرغم اینکه سایت های زیادی وجود دارند که به شما می گویند چگونه این معادله را حل کنید، من تصمیم گرفتم که مطالب را نیز منتشر کنم. اولاً، من می خواهم بازدیدکنندگان بر اساس این درخواست به سایت من بیایند. ثانیاً، در مقالات دیگر، وقتی موضوع "KU" مطرح شد، لینک این مقاله را ارائه خواهم کرد. ثالثاً، من کمی بیشتر از آنچه که معمولاً در سایت های دیگر بیان می شود، در مورد راه حل او به شما خواهم گفت. بیا شروع کنیم!محتوای مقاله:

معادله درجه دوم معادله ای به شکل زیر است:

جایی که ضرایب a،بو c اعداد دلخواه با a≠0 هستند.

در دوره مدرسه، مطالب به شکل زیر ارائه می شود - معادلات به سه کلاس تقسیم می شوند:

1. دو ریشه دارند.

2. *فقط یک ریشه داشته باشید.

3. ریشه ندارند. در اینجا به ویژه شایان ذکر است که آنها ریشه واقعی ندارند

ریشه ها چگونه محاسبه می شوند؟ فقط!

تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در زیر این کلمه "وحشتناک" یک فرمول بسیار ساده نهفته است:

فرمول های ریشه به شرح زیر است:

*باید این فرمول ها را از روی قلب بدانید.

بلافاصله می توانید یادداشت کنید و حل کنید:

مثال:

1. اگر D > 0 باشد، معادله دو ریشه دارد.

2. اگر D = 0 باشد، معادله یک ریشه دارد.

3. اگر D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

بیایید به معادله نگاه کنیم:

در این رابطه وقتی ممیز برابر صفر است درس مدرسه می گوید یک ریشه به دست می آید، اینجا برابر با نه است. همه چیز درست است، همینطور است، اما...

این تصور تا حدودی نادرست است. در واقع دو ریشه وجود دارد. بله، بله، تعجب نکنید، شما دو ریشه مساوی دریافت می کنید، و برای اینکه از نظر ریاضی دقیق باشیم، در پاسخ باید دو ریشه بنویسید:

x 1 = 3 x 2 = 3

اما این چنین است - یک انحراف کوچک. در مدرسه می توانید آن را یادداشت کنید و بگویید که یک ریشه است.

حالا مثال بعدی:

همانطور که می دانیم، ریشه یک عدد منفی را نمی توان گرفت، بنابراین هیچ راه حلی در این مورد وجود ندارد.

این کل فرآیند تصمیم گیری است.

تابع درجه دوم.

این نشان می دهد که راه حل از نظر هندسی چگونه به نظر می رسد. درک این امر بسیار مهم است (در آینده در یکی از مقالات راه حل نابرابری درجه دوم را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد).

این تابعی از فرم است:

که در آن x و y متغیر هستند

a, b, c – اعداد داده شده با ≠ 0

نمودار سهمی است:

یعنی معلوم می شود که با حل یک معادله درجه دوم با “y” برابر با صفر، نقاط تقاطع سهمی را با محور x می یابیم. دو مورد از این نقاط می تواند وجود داشته باشد (ممیز مثبت است)، یکی (ممیز صفر است) و هیچ یک (ممیز منفی است). جزئیات در مورد تابع درجه دوم می توانید مشاهده کنیدمقاله اینا فلدمن

بیایید به مثال ها نگاه کنیم:

مثال 1: حل کنید 2 برابر 2 +8 ایکس–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

پاسخ: x 1 = 8 x 2 = -12

*می توان بلافاصله سمت چپ و راست معادله را بر 2 تقسیم کرد، یعنی آن را ساده کرد. محاسبات راحت تر خواهد بود.

مثال 2: تصميم گرفتن x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

دریافتیم که x 1 = 11 و x 2 = 11

نوشتن x=11 در جواب جایز است.

پاسخ: x = 11

مثال 3: تصميم گرفتن x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

ممیز منفی است، هیچ راه حلی در اعداد واقعی وجود ندارد.

پاسخ: راه حلی نیست

ممیز منفی است. راه حلی وجود دارد!

در اینجا در مورد حل معادله در موردی که ممیز منفی به دست می آید صحبت خواهیم کرد. آیا شما چیزی در مورد اعداد مختلط? من در اینجا به جزئیات نمی پردازم که چرا و کجا پدید آمدند و نقش و ضرورت خاص آنها در ریاضیات چیست؛ این موضوع برای یک مقاله بزرگ جداگانه است.

مفهوم عدد مختلط

کمی تئوری

عدد مختلط z عددی از فرم است

z = a + bi

جایی که a و b اعداد واقعی هستند، i به اصطلاح واحد خیالی است.

a+bi - این یک عدد واحد است، نه یک عدد.

واحد خیالی برابر است با ریشه منهای یک:

حالا معادله را در نظر بگیرید:

دو ریشه مزدوج می گیریم.

معادله درجه دوم ناقص.

بیایید موارد خاصی را در نظر بگیریم، این زمانی است که ضریب "b" یا "c" برابر با صفر (یا هر دو برابر با صفر) باشد. آنها را می توان به راحتی و بدون هیچ تبعیضی حل کرد.

مورد 1. ضریب b = 0.

معادله تبدیل می شود:

بیایید تبدیل کنیم:

مثال:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

مورد 2. ضریب c = 0.

معادله تبدیل می شود:

بیایید تبدیل و فاکتورسازی کنیم:

*زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است.

مثال:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 یا x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

مورد 3. ضرایب b = 0 و c = 0.

در اینجا واضح است که جواب معادله همیشه x = 0 خواهد بود.

خواص مفید و الگوهای ضرایب.

خواصی وجود دارد که به شما امکان می دهد معادلات را با ضرایب بزرگ حل کنید.

آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ + ب+ c = 0،که

- اگر برای ضرایب معادله آایکس 2 + bx+ ج=0 برابری برقرار است

آ+ ج =ب, که

این ویژگی ها به حل یک نوع معادله کمک می کند.

مثال 1: 5001 ایکس 2 –4995 ایکس – 6=0

مجموع شانس ها 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0، به این معنی

مثال 2: 2501 ایکس 2 +2507 ایکس+6=0

برابری برقرار است آ+ ج =ب, به معنای

نظم ضرایب.

1. اگر در معادله ax 2 + bx + c = 0 ضریب "b" برابر با (a 2 +1) و ضریب "c" از نظر عددی برابر با ضریب "a" باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

مثال. معادله 6 x 2 + 37 x + 6 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. اگر در معادله ax 2 – bx + c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 +1) و ضریب “c” از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 15x2 –226x+15 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. اگر در معادله ax 2 + bx – c = 0 ضریب "b" برابر است با (a 2 - 1) و ضریب "c" عددی برابر با ضریب a است, سپس ریشه های آن برابر است

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

مثال. معادله 17x2 +288x – 17 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. اگر در معادله ax 2 – bx – c = 0 ضریب “b” برابر با (a 2 – 1) و ضریب c از نظر عددی برابر با ضریب “a” باشد، ریشه های آن برابر است.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

مثال. معادله 10x2 – 99x –10 = 0 را در نظر بگیرید.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

قضیه ویتا

قضیه ویتا به افتخار ریاضیدان معروف فرانسوی فرانسوا ویتا نامگذاری شده است. با استفاده از قضیه ویتا می توان مجموع و حاصلضرب ریشه های یک KU دلخواه را بر حسب ضرایب آن بیان کرد.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

در کل عدد 14 فقط 5 و 9 را می دهد. اینها ریشه هستند. با مهارت خاصی، با استفاده از قضیه ارائه شده، می توانید بسیاری از معادلات درجه دوم را بلافاصله به صورت شفاهی حل کنید.

علاوه بر این، قضیه ویتا. راحت است که پس از حل یک معادله درجه دوم به روش معمول (از طریق یک تفکیک کننده)، ریشه های حاصل را می توان بررسی کرد. توصیه می کنم همیشه این کار را انجام دهید.

روش حمل و نقل

با این روش، ضریب الف در عبارت آزاد ضرب می شود، گویی به آن پرتاب می شود، به همین دلیل به آن می گویند. روش "انتقال".این روش زمانی استفاده می‌شود که ریشه‌های معادله را بتوان به راحتی با استفاده از قضیه ویتا پیدا کرد و مهمتر از همه، زمانی که ممیز یک مربع دقیق باشد.

اگر آ± b+c≠ 0، سپس از تکنیک انتقال استفاده می شود، به عنوان مثال:

2ایکس 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => ایکس 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

با استفاده از قضیه ویتا در رابطه (2)، به راحتی می توان تعیین کرد که x 1 = 10 x 2 = 1

ریشه های حاصل از معادله باید بر 2 تقسیم شود (از آنجایی که این دو از x 2 "پرتاب" شده اند)، به دست می آوریم

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

منطق چیست؟ ببین چه خبره

ممیز معادلات (1) و (2) برابر است:

اگر به ریشه معادلات نگاه کنید، فقط مخرج های متفاوتی بدست می آورید و نتیجه دقیقاً به ضریب x 2 بستگی دارد:

دومی (اصلاح شده) دارای ریشه هایی است که 2 برابر بزرگتر هستند.

بنابراین، نتیجه را بر 2 تقسیم می کنیم.

*اگر این سه را دوباره بچرخانیم، حاصل را بر 3 و غیره تقسیم می کنیم.

پاسخ: x 1 = 5 x 2 = 0.5

مربع آزمون ur-ie و یکپارچه دولتی.

من به طور خلاصه در مورد اهمیت آن به شما می گویم - شما باید بتوانید سریع و بدون فکر تصمیم بگیرید، باید فرمول های ریشه ها و تمایزات را از روی قلب بدانید. بسیاری از مسائل موجود در وظایف آزمون یکپارچه ایالتی به حل یک معادله درجه دوم (شامل موارد هندسی) خلاصه می شود.

چیزی که قابل توجه است!

1. شکل نوشتن یک معادله می تواند "ضمنی" باشد. به عنوان مثال، ورودی زیر ممکن است:

15+ 9x 2 - 45x = 0 یا 15x+42+9x 2 - 45x=0 یا 15 -5x+10x 2 = 0.

شما باید آن را به یک فرم استاندارد بیاورید (تا هنگام حل گیج نشوید).

2. به یاد داشته باشید که x یک کمیت مجهول است و می توان آن را با هر حرف دیگری نشان داد - t، q، p، h و غیره.

که در جامعه مدرنتوانایی انجام عملیات با معادلات حاوی یک متغیر مربع می تواند در بسیاری از زمینه های فعالیت مفید باشد و به طور گسترده در عمل در پیشرفت های علمی و فنی استفاده می شود. گواه این امر را می توان در طراحی شناورهای دریایی و رودخانه ای، هواپیماها و موشک ها یافت. با استفاده از این محاسبات، مسیر حرکت از ترین بدن های مختلفاز جمله اجرام فضایی. نمونه هایی با حل معادلات درجه دوم نه تنها در پیش بینی اقتصادی، در طراحی و ساخت ساختمان ها، بلکه در معمول ترین شرایط روزمره نیز استفاده می شوند. آنها ممکن است در سفرهای پیاده روی، در رویدادهای ورزشی، در فروشگاه ها هنگام خرید و در موقعیت های بسیار رایج دیگر مورد نیاز باشند.

بیایید عبارت را به عوامل سازنده آن بشکنیم

درجه یک معادله با حداکثر مقدار درجه متغیری که عبارت حاوی آن است تعیین می شود. اگر برابر 2 باشد، چنین معادله ای درجه دوم نامیده می شود.

اگر به زبان فرمول ها صحبت کنیم، عبارات نشان داده شده، صرف نظر از اینکه چگونه به نظر می رسند، همیشه می توانند زمانی که سمت چپ عبارت از سه عبارت تشکیل شده است، به شکلی درآیند. از جمله: ax 2 (یعنی یک متغیر مجذور ضریب آن)، bx (یک مجهول بدون مربع با ضریب آن) و c (یک جزء آزاد، یعنی یک عدد معمولی). همه اینها در سمت راست برابر با 0 است. در صورتی که چنین چند جمله ای فاقد یکی از جمله های تشکیل دهنده خود باشد، به استثنای محور 2، معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود. نمونه هایی با حل چنین مسائلی، ابتدا باید مقادیر متغیرهایی را که در آنها به راحتی یافت می شود در نظر گرفت.

اگر عبارت به نظر می رسد که دو عبارت در سمت راست دارد، به طور دقیق تر ax 2 و bx، ساده ترین راه برای پیدا کردن x قرار دادن متغیر خارج از پرانتز است. حالا معادله ما به این صورت خواهد بود: x(ax+b). در مرحله بعد، مشخص می شود که یا x=0، یا مشکل به یافتن یک متغیر از عبارت زیر می شود: ax+b=0. این توسط یکی از خواص ضرب دیکته می شود. این قانون بیان می کند که حاصل ضرب دو عامل تنها در صورتی به صفر می رسد که یکی از آنها صفر باشد.

مثال

x=0 یا 8x - 3 = 0

در نتیجه دو ریشه معادله بدست می آوریم: 0 و 0.375.

معادلات از این نوع می توانند حرکت اجسامی را تحت تأثیر گرانش توصیف کنند که از نقطه خاصی که به عنوان مبدأ مختصات گرفته شده شروع به حرکت کردند. در اینجا نماد ریاضی به شکل زیر است: y = v 0 t + gt 2/2. با جایگزین کردن مقادیر لازم، برابر کردن سمت راست با 0 و یافتن مجهولات احتمالی، می توانید زمان سپری شدن از لحظه بالا آمدن بدن تا لحظه سقوط و همچنین بسیاری از کمیت های دیگر را دریابید. اما بعداً در این مورد صحبت خواهیم کرد.

فاکتورگیری یک بیان

قاعده ای که در بالا توضیح داده شد، حل این مشکلات را در موارد پیچیده تر ممکن می کند. بیایید به نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم از این نوع نگاه کنیم.

X 2 - 33x + 200 = 0

این مثلث درجه دوم کامل است. ابتدا، بیایید عبارت را تبدیل کنیم و آن را فاکتور کنیم. دو تا از آنها وجود دارد: (x-8) و (x-25) = 0. در نتیجه ما دو ریشه 8 و 25 داریم.

مثال‌هایی با حل معادلات درجه دوم در درجه 9 به این روش اجازه می‌دهد تا متغیری را در عبارات نه تنها مرتبه دوم، بلکه حتی از مرتبه سوم و چهارم پیدا کند.

به عنوان مثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. هنگام فاکتورگیری سمت راست به عوامل با متغیر، سه مورد از آنها وجود دارد، یعنی (x+1)، (x-3) و (x+ 3).

در نتیجه مشخص می شود که این معادله دارای سه ریشه است: -3; -1؛ 3.

ریشه دوم

مورد دیگر معادله ناقص مرتبه دوم عبارتی است که در زبان حروف به گونه ای نمایش داده می شود که سمت راست از اجزای ax 2 و c ساخته شده است. در اینجا برای به دست آوردن مقدار متغیر، عبارت آزاد به سمت راست منتقل می شود و پس از آن جذر از دو طرف تساوی استخراج می شود. لازم به ذکر است که در این حالت معمولاً دو ریشه معادله وجود دارد. تنها استثناها می‌توانند برابری‌هایی باشند که اصلاً شامل یک عبارت نیستند، جایی که متغیر برابر با صفر است، و همچنین انواع عبارات وقتی سمت راست منفی است. در مورد دوم، هیچ راه حلی وجود ندارد، زیرا اقدامات فوق را نمی توان با ریشه انجام داد. نمونه هایی از راه حل های معادلات درجه دوم از این نوع باید در نظر گرفته شود.

در این صورت ریشه های معادله اعداد -4 و 4 خواهند بود.

محاسبه مساحت زمین

نیاز به این نوع محاسبات در زمان های قدیم ظاهر شد، زیرا توسعه ریاضیات در آن زمان های دور تا حد زیادی با نیاز به تعیین با بیشترین دقت مساحت و محیط قطعات زمین تعیین می شد.

همچنین باید نمونه هایی از حل معادلات درجه دوم را بر اساس مسائلی از این دست در نظر بگیریم.

بنابراین، فرض کنید یک زمین مستطیل شکل وجود دارد که طول آن 16 متر بیشتر از عرض است. اگر می دانید مساحت آن 612 متر مربع است، باید طول، عرض و محیط سایت را پیدا کنید.

برای شروع، اجازه دهید ابتدا معادله لازم را ایجاد کنیم. عرض مساحت را با x نشان می دهیم، سپس طول آن (x+16) خواهد بود. از مطالبی که نوشته شد مساحت با عبارت x(x+16) تعیین می شود که با توجه به شرایط مسئله ما 612 می شود. یعنی x(x+16) = 612.

حل معادلات درجه دوم کامل، و این عبارت دقیقاً همان است، نمی تواند به همین صورت انجام شود. چرا؟ اگرچه سمت چپ هنوز دارای دو عامل است، اما حاصلضرب آنها به هیچ وجه برابر با 0 نیست، بنابراین در اینجا از روش های مختلفی استفاده می شود.

ممیز

اول از همه، اجازه دهید تغییرات لازم را انجام دهیم، سپس ظاهراین عبارت به شکل زیر خواهد بود: x 2 + 16x - 612 = 0. این به این معنی است که ما یک عبارت را به شکلی مطابق با استاندارد مشخص شده قبلی دریافت کرده ایم، که در آن a=1، b=16، c=-612.

این می تواند نمونه ای از حل معادلات درجه دوم با استفاده از ممیز باشد. در اینجا محاسبات لازم مطابق این طرح انجام می شود: D = b 2 - 4ac. این کمیت کمکی نه تنها یافتن مقادیر مورد نیاز را در یک معادله مرتبه دوم ممکن می سازد، بلکه کمیت را نیز تعیین می کند. گزینه های ممکن. اگر D>0 باشد، دو مورد از آنها وجود دارد. برای D=0 یک ریشه وجود دارد. در مورد D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

درباره ریشه ها و فرمول آنها

در مورد ما، تمایز برابر است با: 256 - 4(-612) = 2704. این نشان می دهد که مشکل ما پاسخ دارد. اگر k را می دانید حل معادلات درجه دوم را باید با استفاده از فرمول زیر ادامه دهید. این به شما امکان می دهد ریشه ها را محاسبه کنید.

این بدان معنی است که در مورد ارائه شده: x 1 = 18، x 2 =-34. گزینه دوم در این معضل نمی تواند راه حل باشد، زیرا ابعاد زمین را نمی توان در مقادیر منفی اندازه گیری کرد، یعنی x (یعنی عرض قطعه) 18 متر است، از اینجا طول را محاسبه می کنیم: 18 +16=34 و محیط 2(34+18)=104(m2).

مثال ها و وظایف

ما مطالعه خود را در مورد معادلات درجه دوم ادامه می دهیم. نمونه ها و راه حل های دقیق چند مورد از آنها در زیر آورده شده است.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

بیایید همه چیز را به سمت چپ تساوی منتقل کنیم، یک تبدیل ایجاد کنیم، یعنی نوع معادله ای را که معمولاً استاندارد نامیده می شود، به دست می آوریم و آن را با صفر برابر می کنیم.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

با اضافه کردن موارد مشابه، تفکیک کننده را تعیین می کنیم: D = 49 - 48 = 1. این به این معنی است که معادله ما دو ریشه خواهد داشت. بیایید آنها را طبق فرمول بالا محاسبه کنیم، به این معنی که اولی برابر با 4/3 و دومی برابر با 1 خواهد بود.

2) حالا بیایید اسرار دیگری را حل کنیم.

بیایید دریابیم که آیا ریشه ای در اینجا وجود دارد x 2 - 4x + 5 = 1؟ برای به دست آوردن یک پاسخ جامع، چند جمله ای را به شکل معمول مربوطه کاهش می دهیم و تفکیک کننده را محاسبه می کنیم. در مثال بالا نیازی به حل معادله درجه دوم نیست، زیرا اصل مسئله اصلاً این نیست. در این مورد، D = 16 - 20 = -4، یعنی واقعا هیچ ریشه ای وجود ندارد.

قضیه ویتا

حل معادلات درجه دوم با استفاده از فرمول های فوق و تفکیک کننده راحت است، زمانی که ریشه دوم از مقدار دومی گرفته شود. اما همیشه این اتفاق نمی افتد. با این حال، راه های زیادی برای به دست آوردن مقادیر متغیرها در این مورد وجود دارد. مثال: حل معادلات درجه دوم با استفاده از قضیه ویتا. نام او برگرفته از کسی است که در قرن شانزدهم در فرانسه زندگی می‌کرد و به لطف استعداد ریاضی و ارتباطاتش در دربار، حرفه‌ای درخشان ایجاد کرد. پرتره او در مقاله قابل مشاهده است.

الگویی که مرد مشهور فرانسوی متوجه آن شد به شرح زیر بود. او ثابت کرد که ریشه های معادله به صورت عددی با -p=b/a جمع می شوند و حاصلضرب آنها با q=c/a مطابقت دارد.

حالا بیایید به وظایف خاص نگاه کنیم.

3x 2 + 21x - 54 = 0

برای سادگی، اجازه دهید عبارت را تبدیل کنیم:

x 2 + 7x - 18 = 0

بیایید از قضیه Vieta استفاده کنیم، این به ما می دهد: مجموع ریشه ها -7 است و حاصلضرب آنها 18- است. از اینجا می‌گیریم که ریشه‌های معادله اعداد -9 و 2 هستند. پس از بررسی، مطمئن می‌شویم که این مقادیر متغیر واقعاً با عبارت مطابقت دارند.

نمودار سهمی و معادله

مفاهیم تابع درجه دوم و معادلات درجه دوم ارتباط نزدیکی با هم دارند. نمونه هایی از این قبلا قبلاً آورده شده است. حالا بیایید با کمی جزئیات بیشتر به چند معمای ریاضی نگاه کنیم. هر معادله ای از نوع توصیف شده را می توان به صورت بصری نشان داد. چنین رابطه ای که به صورت نمودار ترسیم می شود، سهمی نامیده می شود. انواع مختلف آن در شکل زیر ارائه شده است.

هر سهمی یک راس دارد، یعنی نقطه ای که شاخه های آن از آن بیرون می آیند. اگر a>0 باشد، آنها تا بی نهایت بالا می روند و زمانی که a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

نمایش بصری توابع به حل هر معادله ای از جمله معادلات درجه دوم کمک می کند. این روش را گرافیکی می نامند. و مقدار متغیر x مختصات آبسیسا در نقاطی است که خط نمودار با 0x قطع می شود. مختصات راس را می توان با استفاده از فرمولی که x 0 = -b/2a داده شده است، پیدا کرد. و با جایگزین کردن مقدار حاصل به معادله اصلی تابع، می توانید y 0 را پیدا کنید، یعنی مختصات دوم راس سهمی که متعلق به محور مختصات است.

تقاطع شاخه های سهمی با محور آبسیسا

مثال های زیادی برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد، اما الگوهای کلی نیز وجود دارد. بیایید به آنها نگاه کنیم. واضح است که تقاطع نمودار با محور 0x برای a>0 تنها در صورتی امکان پذیر است که 0 مقادیر منفی بگیرد. و برای یک<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. در غیر این صورت D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

از نمودار سهمی نیز می توانید ریشه ها را تعیین کنید. مخالفش هم درست است. یعنی اگر به‌دست آوردن نمایش تصویری یک تابع درجه دوم آسان نیست، می‌توانید سمت راست عبارت را برابر با 0 کنید و معادله حاصل را حل کنید. و با دانستن نقاط تقاطع با محور 0x، ساختن نمودار آسانتر است.

از تاریخ

با استفاده از معادلات حاوی یک متغیر مربع، در قدیم نه تنها محاسبات ریاضی انجام می دادند و مساحت اشکال هندسی را تعیین می کردند. گذشتگان برای اکتشافات بزرگ در زمینه های فیزیک و ستاره شناسی و همچنین برای پیش بینی های نجومی به چنین محاسباتی نیاز داشتند.

همانطور که دانشمندان مدرن پیشنهاد می کنند، ساکنان بابل جزو اولین کسانی بودند که معادلات درجه دوم را حل کردند. این اتفاق چهار قرن قبل از دوران ما افتاد. البته محاسبات آنها با محاسباتی که در حال حاضر پذیرفته شده اند کاملاً متفاوت بود و معلوم شد که بسیار ابتدایی تر است. به عنوان مثال، ریاضیدانان بین النهرین هیچ ایده ای در مورد وجود اعداد منفی نداشتند. آنها همچنین با ظرافت های دیگری که هر دانش آموز مدرنی می داند ناآشنا بودند.

شاید حتی زودتر از دانشمندان بابل، حکیم هندی بودهایاما شروع به حل معادلات درجه دوم کرد. این اتفاق حدود هشت قرن قبل از عصر مسیح رخ داد. درست است، معادلات مرتبه دوم، روش هایی که او برای حل آنها ارائه کرد، ساده ترین بودند. علاوه بر او، ریاضیدانان چینی نیز در قدیم به سوالات مشابه علاقه داشتند. در اروپا، معادلات درجه دوم فقط در آغاز قرن سیزدهم حل شد، اما بعداً توسط دانشمندان بزرگی مانند نیوتن، دکارت و بسیاری دیگر در آثارشان استفاده شد.

مدرسه متوسطه روستایی Kopyevskaya

10 روش برای حل معادلات درجه دوم

رئیس: پاتریکیوا گالینا آناتولیونا،

معلم ریاضی

روستای Kopevo، 2007

1. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

1.1 معادلات درجه دوم در بابل باستان

1.2 چگونه دیوفانتوس معادلات درجه دوم را تشکیل و حل کرد

1.3 معادلات درجه دوم در هند

1.4 معادلات درجه دوم توسط الخوارزمی

1.5 معادلات درجه دوم در اروپا قرن XIII - XVII

1.6 درباره قضیه ویتا

2. روش های حل معادلات درجه دوم

نتیجه

ادبیات

1. تاریخچه توسعه معادلات درجه دوم

1.1 معادلات درجه دوم در بابل باستان

نیاز به حل معادلات نه تنها درجه یک، بلکه درجه دو حتی در دوران باستان، ناشی از نیاز به حل مشکلات مربوط به یافتن مساحت زمین ها و انجام عملیات حفاری با ماهیت نظامی بوده است. مانند توسعه خود نجوم و ریاضیات. معادلات درجه دوم را می توان در حدود 2000 سال قبل از میلاد حل کرد. ه. بابلی ها

با استفاده از نماد جبری مدرن، می توان گفت که در متون خط میخی آنها علاوه بر متن های ناقص، معادلات درجه دوم کامل وجود دارد:

ایکس 2 + ایکس = ¾; ایکس 2 - ایکس = 14,5

قاعده حل این معادلات که در متون بابلی آمده است، اساساً با قانون امروزی منطبق است، اما معلوم نیست که چگونه بابلی ها به این قاعده رسیده اند. تقریباً تمام متون خط میخی که تاکنون یافت شده اند، تنها مشکلاتی را با راه حل های ارائه شده در قالب دستور العمل ارائه می دهند، بدون هیچ اشاره ای به نحوه یافتن آنها.

علیرغم پیشرفت بالای جبر در بابل، متون خط میخی فاقد مفهوم عدد منفی و روش های کلی برای حل معادلات درجه دوم هستند.

1.2 چگونه دیوفانتوس معادلات درجه دوم را تشکیل و حل کرد.

حساب دیوفانتوس شامل ارائه سیستماتیک جبر نیست، اما شامل یک سری مسائل سیستماتیک است که با توضیحات همراه است و با ساخت معادلات درجات مختلف حل می شود.

هنگام تنظیم معادلات، دیوفانتوس به طرز ماهرانه ای مجهولات را برای ساده کردن راه حل انتخاب می کند.

مثلاً یکی از وظایف او اینجاست.

مسئله 11."دو عدد را بیابید، با دانستن اینکه مجموع آنها 20 و حاصل ضرب آنها 96 است."

دیوفانتوس چنین استدلال می کند: از شرایط مسئله بر می آید که اعداد مورد نیاز مساوی نیستند، زیرا اگر مساوی بودند، حاصلضرب آنها برابر با 96 نمی شد، بلکه برابر 100 بود. بنابراین، یکی از آنها بیشتر از نیمی از مجموع آنها، یعنی . 10 + x، دیگری کمتر است، یعنی. دهه 10. تفاوت بین آنها 2 برابر .

از این رو معادله:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

از اینجا x = 2. یکی از اعداد مورد نیاز برابر است با 12 ، دیگر 8 . راه حل x = -2زیرا دیوفانتوس وجود ندارد، زیرا ریاضیات یونانی فقط اعداد مثبت می دانستند.

اگر این مشکل را با انتخاب یکی از اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول حل کنیم، به جواب معادله خواهیم رسید.

y (20 - y) = 96،

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

واضح است که دیوفانتوس با انتخاب نیم تفاضل اعداد مورد نیاز به عنوان مجهول، راه حل را ساده می کند. او موفق می شود مسئله را به حل یک معادله درجه دوم ناقص تقلیل دهد (1).

1.3 معادلات درجه دوم در هند

مسائل مربوط به معادلات درجه دوم را قبلاً در رساله نجومی "آریابهاتیام" که در سال 499 توسط ریاضیدان و ستاره شناس هندی آریابهاتا گردآوری شده است یافت می شود. دانشمند هندی دیگری به نام براهماگوپتا (قرن هفتم)، یک قانون کلی برای حل معادلات درجه دوم که به یک شکل متعارف منفرد کاهش یافته است، بیان کرد:

آه 2 + ب x = c، a > 0. (1)

در رابطه (1)، ضرایب، به جز آ، همچنین می تواند منفی باشد. قانون برهماگوپتا اساساً با ما یکی است.

در هند باستان، مسابقات عمومی برای حل مسائل دشوار رایج بود. یکی از کتاب های قدیمی هندی در مورد چنین مسابقاتی چنین می گوید: «همانطور که خورشید با درخشندگی خود ستاره ها را می گیرد، بنابراین انسان آموختهبا طرح و حل مسائل جبری، شکوه دیگری را در مجامع مردمی تحت الشعاع قرار دهید.» مسائل غالباً در قالب شعر مطرح می شد.

این یکی از مشکلات ریاضیدان مشهور هندی قرن دوازدهم است. باسکارها

مسئله 13.

گله ای از میمون های دمدمی مزاج و دوازده میمون در کنار تاک ها...

مسئولین پس از خوردن غذا، خوش گذشت. شروع کردند به پریدن، آویزان شدن...

آنها در میدان، قسمت هشتم هستند، چند میمون آنجا بودند؟

در پاکسازی داشتم تفریح ​​می کردم. به من بگو، در این بسته؟

راه حل بهاسکارا نشان می دهد که او می دانست که ریشه های معادلات درجه دوم دو مقدار هستند (شکل 3).

معادله مربوط به مسئله 13 به صورت زیر است:

( ایکس /8) 2 + 12 = ایکس

باسکارا در پوشش می نویسد:

x 2 - 64x = -768

و برای تکمیل سمت چپ این معادله به مربع، به هر دو طرف اضافه می کند 32 2 ، سپس دریافت:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024،

(x - 32) 2 = 256،

x - 32 = 16 ±،

x 1 = 16، x 2 = 48.

1.4 معادلات درجه دوم در خوارزمی

در رساله جبری خوارزمی طبقه بندی معادلات خطی و درجه دوم آورده شده است. نویسنده 6 نوع معادله را برمی شمارد و آنها را به صورت زیر بیان می کند:

1) "مربع برابر با ریشه است"، یعنی. تبر 2 + c = ب ایکس.

2) "مربع ها مساوی اعداد هستند"، یعنی. تبر 2 = ج.

3) "ریشه ها مساوی عدد هستند" یعنی. ah = s.

4) «مربع و اعداد مساوی ریشه هستند» یعنی. تبر 2 + c = ب ایکس.

5) «مربع و ریشه مساوی اعداد هستند» یعنی. آه 2 + bx = s.

6) "ریشه ها و اعداد مساوی مربع هستند" یعنی. bx + c = تبر 2 .

برای خوارزمی که از استفاده از اعداد منفی پرهیز کرده است، عبارات هر یک از این معادلات جمع هستند و نه قابل تفریق. در این حالت معادلاتی که جواب مثبت ندارند بدیهی است که در نظر گرفته نمی شوند. نویسنده روش هایی را برای حل این معادلات با استفاده از تکنیک های الجبر و المقابله ارائه می کند. البته تصمیمات او کاملاً با تصمیم ما منطبق نیست. ناگفته نماند که صرفاً بلاغی است، باید توجه داشت که مثلاً هنگام حل یک معادله درجه دوم ناقص نوع اول

الخوارزمی، مانند همه ریاضیدانان قبل از قرن هفدهم، راه حل صفر را در نظر نمی گیرد، احتمالاً به این دلیل که در مسائل عملی خاص مهم نیست. خوارزمی هنگام حل معادلات درجه دوم، قوانین حل آنها را با استفاده از مثال های عددی خاص و سپس برهان های هندسی تعیین می کند.

مسئله 14.«مربع و عدد 21 برابر با 10 ریشه است. ریشه را پیدا کن" (به معنای ریشه معادله x 2 + 21 = 10x).

راه حل نویسنده چیزی شبیه به این است: تعداد ریشه ها را به نصف تقسیم کنید، 5 بدست می آورید، 5 را در خودش ضرب کنید، 21 را از حاصلضرب کم کنید، آنچه باقی می ماند 4 است. ریشه را از 4 بگیرید، 2 را دریافت می کنید. ، شما 3 دریافت می کنید، این ریشه مورد نظر خواهد بود. یا 2 به 5 اضافه کنید که 7 می شود، این هم ریشه است.

رساله خوارزمی اولین کتابی است که به دست ما رسیده است که به طور سیستماتیک طبقه بندی معادلات درجه دوم را بیان می کند و برای حل آنها فرمول هایی ارائه می دهد.

1.5 معادلات درجه دوم در اروپا سیزدهم - XVII bb

فرمول های حل معادلات درجه دوم در امتداد خطوط خوارزمی در اروپا برای اولین بار در کتاب چرتکه که در سال 1202 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی نوشته شده است، ارائه شد. این اثر حجیم که تأثیر ریاضیات را چه از کشورهای اسلامی و چه از یونان باستان منعکس می کند، به دلیل کامل بودن و وضوح ارائه آن متمایز است. نویسنده به طور مستقل چند نمونه جبری جدید از حل مسائل را توسعه داد و اولین کسی بود که در اروپا به معرفی اعداد منفی نزدیک شد. کتاب او به گسترش دانش جبری نه تنها در ایتالیا، بلکه در آلمان، فرانسه و دیگر کشورهای اروپایی کمک کرد. مشکلات زیادی از کتاب چرتکه تقریباً در تمام کتابهای درسی اروپایی قرن 16 - 17 استفاده شد. و تا حدودی هجدهم.

قانون کلی برای حل معادلات درجه دوم به یک شکل متعارف منفرد کاهش می یابد:

x 2 + bx = ج،

برای همه ترکیبات ممکن از علائم ضریب ب , باتنها در سال 1544 توسط M. Stiefel در اروپا فرموله شد.

اشتقاق فرمول برای حل معادله درجه دوم به صورت کلی از Viète در دسترس است، اما Viète فقط ریشه های مثبت را تشخیص داد. ریاضیدانان ایتالیایی تارتالیا، کاردانو، بومبلی از جمله اولین ریاضیدانان در قرن شانزدهم بودند. علاوه بر موارد مثبت، ریشه های منفی نیز مورد توجه قرار می گیرد. فقط در قرن هفدهم. به لطف کار ژیرار، دکارت، نیوتن و دیگر دانشمندان، روش حل معادلات درجه دوم شکل مدرنی به خود می گیرد.

1.6 درباره قضیه ویتا

قضیه بیان کننده رابطه بین ضرایب یک معادله درجه دوم و ریشه های آن به نام ویتا برای اولین بار توسط وی در سال 1591 به صورت زیر فرموله شد: «اگر ب + D، ضربدر آ - آ 2 ، برابر است BD، آن آبرابر است که درو برابر D ».

برای درک ویتا، باید آن را به خاطر بسپاریم آ، مانند هر حرف مصوت به معنای ناشناخته (ما ایکس)، مصوت ها که در، D- ضرایب برای مجهول. در زبان جبر مدرن، فرمول Vieta فوق به معنای: اگر وجود دارد

(a + ب )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + ب )x + a ب = 0,

x 1 = a، x 2 = ب .

ویته با بیان رابطه بین ریشه ها و ضرایب معادلات با فرمول های کلی که با استفاده از نمادها نوشته شده اند، یکنواختی را در روش های حل معادلات ایجاد کرد. با این حال، نمادگرایی ویت هنوز دور است ظاهر مدرن. او اعداد منفی را تشخیص نمی داد و بنابراین هنگام حل معادلات فقط مواردی را در نظر می گرفت که همه ریشه ها مثبت بودند.

2. روش های حل معادلات درجه دوم

معادلات درجه دوم شالوده ای هستند که بنای با شکوه جبر بر آن استوار است. معادلات درجه دوم به طور گسترده ای در حل معادلات و نابرابری های مثلثاتی، نمایی، لگاریتمی، غیر منطقی و ماورایی استفاده می شود. همه ما می دانیم که چگونه معادلات درجه دوم را از مدرسه (کلاس هشتم) تا فارغ التحصیلی حل کنیم.