موقعیت محورهای مختصات. سیستم مختصات چیست؟ سوالات و وظایف برای خودکنترلی

سیستم مختصات مستطیلی- یک سیستم مختصات مستطیلی با محورهای متقابل عمود بر یک صفحه یا در فضا. ساده ترین و در نتیجه پرکاربردترین سیستم مختصات. تعمیم به فضاهایی با هر ابعادی بسیار آسان و ساده است که به کاربرد گسترده آن نیز کمک می کند.

اصطلاحات مرتبط: دکارتیمعمولاً یک سیستم مختصات مستطیلی با مقیاس‌های مساوی در امتداد محورها نامیده می‌شود (به نام رنه دکارت نامیده می‌شود) و سیستم مختصات دکارتی عمومیبه نام یک سیستم مختصات افین (نه مستطیل).

یوتیوب دایره المعارفی

• 1 / 5

  یک سیستم مختصات مستطیلی در یک صفحه توسط دو محور مختصات عمود بر یکدیگر تشکیل می شود و O (\displaystyle O)که به آن مبدا مختصات می گویند، در هر محور جهت مثبت انتخاب می شود.

  موقعیت نقطه A (\displaystyle A)در هواپیما با دو مختصات تعیین می شود x (\displaystyle x)و y (\displaystyle y). هماهنگ كردن x (\displaystyle x)برابر طول قطعه ای بی، هماهنگ كردن y (\displaystyle y)- طول بخش O C (\displaystyle OC) ای بیو O C (\displaystyle OC)با خطوط ترسیم شده از نقطه مشخص می شوند A (\displaystyle A)به موازات محورها Y 'Y (\displaystyle Y"Y)و X 'X (\displaystyle X"X)به ترتیب.

  در این مختصات x (\displaystyle x) B (\displaystyle B)روی پرتو نهفته است (و نه روی پرتو O X (\displaystyle OX)مانند شکل). هماهنگ كردن y (\displaystyle y)اگر نقطه علامت منفی باشد C (\displaystyle C)روی پرتو دراز می کشد بدین ترتیب، O X ′ (\displaystyle OX")و O Y " (\displaystyle OY")جهات منفی محورهای مختصات هستند (هر محور مختصات به عنوان یک محور عدد در نظر گرفته می شود).

  محور x (\displaystyle x)محور آبسیسا نامیده می شود و محور y (\displaystyle y)- محور ترتیبی. هماهنگ كردن x (\displaystyle x)تماس گرفت اوکیسا نکته ها A (\displaystyle A)، هماهنگ كردن y (\displaystyle y) - ترتیب نکته ها A (\displaystyle A).

  A (x , y) (\displaystyle A(x,\;y)) A = (x , y) (\displaystyle A=(x,\;y))

  یا نشان می دهد که مختصات متعلق به یک نقطه خاص با استفاده از یک شاخص است:

  x A، x B (\displaystyle x_(A)،x_(B))

  سیستم مختصات مستطیلی در فضا(در این پاراگراف منظور ما فضای سه بعدی است، در مورد فضاهای چند بعدی بیشتر - به زیر مراجعه کنید) توسط سه محور مختصات عمود بر یکدیگر تشکیل شده است. O X (\displaystyle OX), O Y (\displaystyle OY)و OZ (\displaystyle OZ). محورهای مختصات در نقطه قطع می شوند O (\displaystyle O)که به آن مبدا مختصات می گویند، در هر محور یک جهت مثبت انتخاب می شود که با فلش ها نشان داده می شود و یک واحد اندازه گیری برای قطعات روی محورها. واحدهای اندازه گیری معمولا (نه لزوما) برای همه محورها یکسان هستند. O X (\displaystyle OX)- محور x، O Y (\displaystyle OY)- محور ترتیبی، OZ (\displaystyle OZ)- محور اپلیکاتور.

  موقعیت نقطه A (\displaystyle A)در فضا با سه مختصات تعیین می شود x (\displaystyle x), y (\displaystyle y)و z (\displaystyle z). هماهنگ كردن x (\displaystyle x)برابر طول قطعه ای بی، هماهنگ كردن y (\displaystyle y)- طول بخش O C (\displaystyle OC)، هماهنگ كردن z (\displaystyle z)- طول بخش O D (\displaystyle OD)در واحدهای اندازه گیری انتخاب شده بخش ها ای بی, O C (\displaystyle OC)و O D (\displaystyle OD)توسط صفحات ترسیم شده از نقطه تعیین می شوند A (\displaystyle A)به موازات هواپیماها Y O Z (\displaystyle YOZ), X O Z (\displaystyle XOZ)و X O Y (\displaystyle XOY)به ترتیب.

  هماهنگ كردن x (\displaystyle x)آبسیسا نقطه نامیده می شود A (\displaystyle A)، هماهنگ كردن y (\displaystyle y)- ترتیب نقطه A (\displaystyle A)، هماهنگ كردن z (\displaystyle z)- نقطه اعمال A (\displaystyle A).

  به طور نمادین اینگونه نوشته شده است:

  A (x , y , z) (\displaystyle A(x,\;y,\;z)) A = (x , y , z) (\displaystyle A=(x,\;y,\;z))

  یا یک رکورد مختصات را با استفاده از یک شاخص به یک نقطه خاص پیوند دهید:

  x A , y A , z A (\displaystyle x_(A),\;y_(A),\;z_(A))

  هر محور به عنوان یک خط اعداد در نظر گرفته می شود، یعنی جهت مثبت دارد و به نقاطی که روی یک پرتو منفی قرار دارند مقادیر مختصات منفی اختصاص داده می شود (فاصله با علامت منفی گرفته می شود). یعنی اگر مثلاً نقطه B (\displaystyle B)دراز بکشید نه مانند تصویر - روی پرتو O X (\displaystyle OX)، و در ادامه آن در سمت معکوساز نقطه O (\displaystyle O)(در قسمت منفی محور O X (\displaystyle OX)) سپس آبسیسا x (\displaystyle x)نکته ها A (\displaystyle A)منفی خواهد بود (منهای فاصله ای بی). برای دو محور دیگر هم همینطور.

  تمام سیستم های مختصات مستطیلی در فضای سه بعدی به دو دسته تقسیم می شوند: حقوق(اصطلاحات استفاده شده نیز مثبت, استاندارد) و ترک کرد. معمولاً به طور پیش فرض سعی می کنند از سیستم مختصات راست دست استفاده کنند و در هنگام ترسیم گرافیکی آنها را نیز در صورت امکان در یکی از چندین موقعیت معمولی (سنتی) قرار می دهند. (شکل 2 یک سیستم مختصات راست دست را نشان می دهد.) ترکیب سیستم مختصات راست و چپ با چرخش غیرممکن است به طوری که محورهای مربوطه (و جهت آنها) مطابقت داشته باشند. می توان با استفاده از قانون سمت راست، قانون پیچ و غیره تعیین کرد که هر سیستم مختصات خاصی متعلق به کدام کلاس است (جهت مثبت محورها به گونه ای انتخاب می شود که وقتی محور چرخانده می شود. O X (\displaystyle OX)در خلاف جهت عقربه های ساعت 90 درجه جهت مثبت آن با جهت مثبت محور منطبق است O Y (\displaystyle OY)، اگر این چرخش از جهت مثبت محور مشاهده شود OZ (\displaystyle OZ)).

  سیستم مختصات مستطیلی در فضای چند بعدی

  سیستم مختصات مستطیلی را می توان در فضایی با هر بعد محدودی استفاده کرد، همانطور که برای فضای سه بعدی انجام می شود. تعداد محورهای مختصات برابر با بعد فضا است (در این قسمت به آن اشاره می کنیم n).

  برای تعیین مختصات، آنها معمولاً از حروف متفاوت استفاده نمی کنند، بلکه از یک حرف با یک شاخص عددی استفاده می کنند. اغلب این است:

  x 1، x 2، x 3، … x n. (\displaystyle x_(1)،x_(2)،x_(3)،\dots x_(n).)

  دلالت بر دلخواه بودن منمختصات هفتم از این مجموعه از یک نمایه حرفی استفاده می کنند:

  و اغلب تعیین x i، (\displaystyle x_(i)،)همچنین برای نشان دادن کل مجموعه استفاده می شود، به این معنی که شاخص از کل مجموعه مقادیر عبور می کند: i = 1 , 2 , 3 , … n (\displaystyle i=1,2,3,\dots n).

  در هر بعد از فضا، سیستم های مختصات مستطیلی به دو دسته راست و چپ (یا مثبت و منفی) تقسیم می شوند. برای فضاهای چند بعدی، یکی از سیستم های مختصات به طور دلخواه (به طور متعارف) راست دست نامیده می شود و بقیه بسته به اینکه هم جهت باشند یا نه، راست دست یا چپ هستند.

  مختصات بردار مستطیلی

  برای تعریف مستطیل مختصات برداری(قابل استفاده برای نمایش بردارهای هر بعد) می توانیم از این واقعیت پیش برویم که مختصات یک بردار (قطعه جهت دار) که ابتدای آن در مبدا مختصات است، با مختصات انتهای آن منطبق است.

  برای بردارهایی (قطعات جهت دار) که مبدا آنها با مبدا مختصات منطبق نیست، مختصات مستطیلی را می توان به یکی از دو روش تعیین کرد:

  1. بردار را می توان به گونه ای جابجا کرد که مبدا آن با مبدا مختصات منطبق باشد). سپس مختصات آن به روشی که در ابتدای پاراگراف توضیح داده شد تعیین می شود: مختصات یک بردار ترجمه شده به طوری که مبدا آن با مبدا مختصات منطبق باشد مختصات انتهای آن است.
  2. در عوض، می توانید به سادگی مختصات ابتدای آن را از مختصات انتهای بردار (قطعه جهت دار) کم کنید.
  • برای مختصات مستطیلی، مفهوم مختصات برداری با مفهوم طرح ریزی متعامد یک بردار بر روی جهت محور مختصات مربوطه مطابقت دارد.

  تمام عملیات بردارها بسیار ساده در مختصات مستطیلی نوشته می شوند:

  • جمع و ضرب با اسکالر:
  a + b = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , … , a n + b n) (\displaystyle \mathbf (a) +\mathbf (b) =(a_(1)+ b_(1)،a_(2)+b_(2)،a_(3)+b_(3)،\dots،a_(n)+b_(n))) (a + b) i = a i + b i، (\displaystyle (\mathbf (a) +\mathbf (b))_(i)=a_(i)+b_(i)،) c a = (c a 1 , c a 2 , c a 3 , … , c a n) (\displaystyle c\ \mathbf (a) =(c\ a_(1),c\ a_(2),c\ a_(3),\ نقطه ,c\ a_(n))) (c a) i = c a i . (\displaystyle (c\ \mathbf (a))_(i)=c\ a_(i).)و از این رو تفریق و تقسیم: a − b = (a 1 − b 1 , a 2 − b 2 , a 3 − b 3 , … , a n − b n) (\displaystyle \mathbf (a) -\mathbf (b) =(a_(1)- b_(1)،a_(2)-b_(2)،a_(3)-b_(3)،\dots،a_(n)-b_(n))) (a - b) i = a i - b i، (\displaystyle (\mathbf (a) -\mathbf (b))_(i)=a_(i)-b_(i)،) a λ = (a 1 λ , a 2 λ , a 3 λ , ... , a n λ) (\displaystyle (\frac (\mathbf (a))(\lambda))=(\Big ()(\frac (a_ (1))(\lambda))، (\frac (a_(2))(\lambda))،(\frac (a_(3))(\lambda))،\dots،(\frac (a_(n ))(\لامبدا ))(\بزرگ))) (a λ) i = a i λ . (\displaystyle (\Big ()(\frac (\mathbf (a))(\lambda))(\Big))_(i)=(\frac (a_(i))(\lambda)).)

  (این برای هر بعد صادق است nو حتی، همتراز با مستطیل، برای مختصات مایل).

  a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + a n b n (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =a_(1)b_(1)+a_(2 )b_(2)+a_(3)b_(3)+\dots +a_(n)b_(n)) a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i, (\displaystyle \mathbf (a) \cdot \mathbf (b) =\sum \limits _(i=1)^(n)a_(i)b_(i)،)

  (فقط در مختصات مستطیلی با مقیاس واحد در تمام محورها).

  • با استفاده از حاصل ضرب اسکالر می توانید طول بردار را محاسبه کنید
  | یک | = a ⋅ a (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt (\mathbf (a) \cdot \mathbf (a))))و زاویه بین بردارها ∠ (a , b) = a r c c o s a ⋅ b | یک | ⋅ | b | (\displaystyle \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))=\mathrm (arccos) (\frac (\mathbf (a) \cdot \mathbf (b))(|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |)))
  • و k (\displaystyle \mathbf (k)) e x (\displaystyle \mathbf (e)_(x)), e y (\displaystyle \mathbf (e)_(y))و e z (\displaystyle \mathbf (e)_(z)).

    نمادهای پیکان ( i → (\displaystyle (\vec (i))), j → (\displaystyle (\vec (j)))و k → (\displaystyle (\vec (k)))یا e → x (\displaystyle (\vec (e))_(x)), e → y (\displaystyle (\vec (e))_(y))و e → z (\displaystyle (\vec (e))_(z))) یا موارد دیگر مطابق با روش معمول تعیین بردارها در یک یا آن ادبیات.

    در این حالت، در مورد یک سیستم مختصات راست، فرمول های زیر با حاصلضرب بردار بردار واحد معتبر است:

    برای ابعاد بالاتر از 3 (یا برای حالت کلی که بعد می تواند هر کدام باشد)، معمولاً برای بردارهای واحد به جای آن از علامت گذاری با شاخص های عددی استفاده می کنیم، اغلب اوقات این است

    e 1 , e 2 , e 3 , … e n , (\displaystyle \mathbf (e) _(1),\mathbf (e) _(2),\mathbf (e) _(3),\dots \mathbf ( ه) _(n))

    جایی که n- بعد فضا

    یک بردار از هر بعد بر اساس مبنای آن گسترش می یابد (مختصات به عنوان ضرایب بسط عمل می کنند):

    a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + ⋯ + a n e n (\displaystyle \mathbf (a) =a_(1)\mathbf (e) _(1)+a_(2)\mathbf ( ه) _(2)+a_(3)\mathbf (e) _(3)+\dots +a_(n)\mathbf (e) _(n)) a = ∑ i = 1 n a i e i، (\displaystyle \mathbf (a) =\sum \Limits _(i=1)^(n)a_(i)\mathbf (e) _(i)،)پیر فرما، با این حال، آثار او برای اولین بار پس از مرگ او منتشر شد. دکارت و فرما از روش مختصات فقط در هواپیما استفاده کردند.

    روش مختصات برای فضای سه بعدی اولین بار توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم مورد استفاده قرار گرفت. استفاده از اورت ظاهراً به قبل برمی گردد

  1.10. مختصات مستطیل شکل روی نقشه ها

  مختصات مستطیلی (مسطح) - مقادیر خطی: آبسیسا ایکسو منصوب کنیدYتعیین موقعیت نقاط روی یک صفحه (روی نقشه) نسبت به دو محور عمود بر یکدیگر ایکسوY(شکل 14). اوکیسا ایکسو منصوب کنیدYنکته ها آ-فاصله از مبدأ تا قاعده عمودها از نقطه کاهش یافته است آدر محورهای مربوطه، نشان دهنده علامت است.

  برنج. 14.مختصات مستطیلی

  در توپوگرافی و ژئودزی، و همچنین در نقشه های توپوگرافی، جهت گیری در شمال با زوایای شمارش عقربه های ساعت انجام می شود، بنابراین، برای حفظ علائم توابع مثلثاتی، موقعیت محورهای مختصات، پذیرفته شده در ریاضیات، 90 درجه چرخانده می شود. .

  مختصات مستطیلی در نقشه های توپوگرافی اتحاد جماهیر شوروی توسط مناطق مختصات اعمال می شود. مناطق مختصات بخش هایی از سطح زمین هستند که توسط نصف النهارهایی با طول جغرافیایی قابل تقسیم بر 6 درجه محدود شده اند. منطقه اول توسط نصف النهارهای 0 درجه و 6 درجه، دوم با b" و 12 درجه، منطقه سوم با 12 درجه و 18 درجه و غیره محدود می شود.

  این مناطق از نصف النهار گرینویچ از غرب به شرق شمارش می شوند. قلمرو اتحاد جماهیر شوروی در 29 منطقه قرار دارد: از 4 تا 32 فراگیر. طول هر زون از شمال به جنوب حدود 20000 است کیلومترعرض منطقه در استوا حدود 670 است کیلومتر،در عرض جغرافیایی 40 - 510 کیلومتر، تیعرض جغرافیایی 50-430 کیلومتر،در عرض جغرافیایی 60-340 کیلومتر

  همه نقشه های توپوگرافی در یک منطقه معین دارای یک سیستم مختصات مستطیلی مشترک هستند. مبدأ مختصات در هر زون نقطه تقاطع نصف النهار متوسط ​​(محوری) منطقه با خط استوا است (شکل 15)، نصف النهار متوسط ​​منطقه مربوط به

  
  

  برنج. 15.سیستم مختصات مستطیلی در نقشه های توپوگرافی: a-one zone; b-بخش های منطقه

  محورهای آبسیسا، و استوا محورهای مختصات. با این آرایش محورهای مختصات، آبسیسا نقاط واقع در جنوب استوا و منتخب نقاط واقع در غرب نصف النهار میانی مقادیر منفی خواهند داشت. برای راحتی استفاده از مختصات در نقشه های توپوگرافی، شمارش مشروط ارتین ها به استثنای مقادیر ارتین منفی اتخاذ شده است. این با این واقعیت حاصل می شود که مختصات نه از صفر، بلکه از مقدار 500 شمارش می شوند. کیلومتر،یعنی مبدأ مختصات در هر ناحیه، همانطور که بود، به 500 منتقل شده است کیلومترسمت چپ در امتداد محورY.علاوه بر این، برای تعیین بدون ابهام موقعیت یک نقطه در مختصات مستطیلی روی کره زمینبه مقدار مختصاتYشماره منطقه (تک رقمی یا دو رقمی) به سمت چپ اختصاص داده می شود.

  رابطه بین مختصات شرطی و مقادیر واقعی آنها با فرمول های زیر بیان می شود:

  X" = X-، Y = U-500,000،

  جایی که ایکس"و ی"-مقادیر مختص واقعی؛X,Y-مقادیر شرطی دستورات مثلاً اگر نقطه ای مختصات داشته باشد

  X = 5 650 450: Y= 3 620 840,

  پس این بدان معنی است که نقطه در ناحیه سوم در فاصله 120 قرار دارد کیلومتر 840 متراز نصف النهار میانی زون (620840-500000) و شمال خط استوا در فاصله 5650 کیلومتر 450 متر

  مختصات کامل - مختصات مستطیل شکل، به طور کامل (با نام) بدون هیچ گونه اختصاری نوشته شده است. در مثال بالا، مختصات کامل شی داده شده است:

  ایکس = 5 650 450; Y= 3620 840.

  مختصات اختصاری برای سرعت بخشیدن به تعیین هدف در نقشه توپوگرافی استفاده می شود؛ در این مورد، تنها ده ها و واحد کیلومتر و متر نشان داده شده است. برای مثال، مختصات اختصاری این شی به صورت زیر خواهد بود:

  X = 50 450; Y = 20 840.

  مختصات اختصاری را نمی توان برای تعیین هدف در محل اتصال مناطق مختصات استفاده کرد و در صورتی که منطقه عملیات فضایی بیش از 100 را پوشش دهد. کیلومتربر اساس طول یا عرض جغرافیایی

  شبکه مختصات (کیلومتری). - شبکه ای از مربع ها بر روی نقشه های توپوگرافی که توسط خطوط افقی و عمودی که به موازات محورهای مختصات مستطیلی در فواصل معین ترسیم شده اند (جدول) 5). این خطوط را خطوط کیلومتری می گویند. شبکه مختصات برای تعیین مختصات اشیاء و ترسیم اشیاء بر روی نقشه با توجه به مختصات آنها، برای تعیین هدف، جهت گیری نقشه، اندازه گیری زوایای جهت و برای تعیین تقریبی فواصل و مناطق در نظر گرفته شده است.

  جدول 5 شبکه های مختصات روی نقشه ها

  مقیاس های نقشه	ابعاد اضلاع مربع ها		مساحت مربع ها، مربع کیلومتر
  	روی نقشه، سانتی متر	روی زمین، کیلومتر
  1:25 000		1
  1:50 000
  1:100 000
  1:200 000

  در یک نقشه در مقیاس 1:500000، شبکه مختصات به طور کامل نشان داده نمی شود. فقط خروجی خطوط کیلومتری در طرفین قاب رسم می شود (بعد از 2 سانتی متر).در صورت لزوم، می توان یک شبکه مختصات در امتداد این خروجی ها بر روی نقشه ترسیم کرد.

  خطوط کیلومتری روی نقشه ها در خروجی های مرزی آنها و در چند تقاطع داخل ورق مشخص شده اند (شکل 16). بیرونی ترین خطوط کیلومتر در برگه نقشه به طور کامل امضا شده است، بقیه با دو عدد به اختصار (یعنی فقط ده ها و واحدهای کیلومتر نشان داده شده است). برچسب های روی خطوط افقی با فاصله از محور ارتین (استوا) بر حسب کیلومتر مطابقت دارد. برای مثال، امضای 6082 در سمت راست گوشه بالانشان می دهد که این خط در فاصله 6082 از خط استوا قرار دارد کیلومتر

  برچسب خطوط عمودی نشان دهنده شماره منطقه (یک یا دو رقم اول) و فاصله بر حسب کیلومتر (همیشه سه رقمی) از مبدأ مختصات است که به طور معمول 500 به سمت غرب نصف النهار میانی حرکت می کند. کیلومتربه عنوان مثال، امضای 4308 در گوشه سمت چپ پایین به معنای: 4 - شماره منطقه، 308 - فاصله از مبدأ مشروط بر حسب کیلومتر است.

  یک شبکه مختصات اضافی (کیلومتری) را می توان بر روی نقشه های توپوگرافی در مقیاس های 1:25000، 1:50000، 1:100000 و 1:200000 در امتداد خروجی خطوط کیلومتری در ناحیه غربی یا شرقی مجاور رسم کرد. خروجی خطوط کیلومتر به صورت خط تیره با امضای مربوطه در نقشه های واقع در 2 درجه شرقی و غربی از نصف النهارهای مرزی منطقه آورده شده است.

  
  

  برنج. 16.شبکه مختصات (کیلومتری) در یک برگه نقشه

  یک شبکه مختصات اضافی برای تبدیل مختصات یک منطقه به سیستم مختصات منطقه دیگر و همسایه در نظر گرفته شده است.

  در شکل 17 خط در بیرون قاب غربی با امضاهای 816082 و در ضلع شمالی قاب با امضاهای 3693، 94، 95 و غیره. خروجی خطوط کیلومتر را در سیستم مختصات ناحیه مجاور (سوم) نشان می دهد. در صورت لزوم، یک شبکه مختصات اضافی بر روی یک صفحه نقشه با اتصال خطوطی به همین نام در طرفین مقابل قاب ترسیم می شود. شبکه جدید ساخته شده ادامه شبکه کیلومتری صفحه نقشه زون مجاور است و هنگام چسباندن نقشه باید کاملاً با آن منطبق (نزدیک) شود.

  

  شبکه مختصات منطقه غربی (3).

  برنج. 17. شبکه مختصات اضافی

  عملکرد یک دستگاه CNC ارتباط نزدیکی با سیستم های مختصات دارد.

  محورهای مختصات دستگاه معمولاً موازی با راهنماها هستند که به هنگام برنامه ریزی پردازش در CP اجازه می دهد تا مستقیماً جهت ها و بزرگی حرکت بدنه های کار را نشان دهد.

  به منظور سهولت کار دستگاه های CNC دارای یک جهت واحد از محورهای مختصات می باشند که برای تمامی سازندگان الزامی است.

  به عنوان یک سیستم مختصات یکپارچه برای همه ماشین های CNC مطابق با GOST 23597-79 (ST SEV 3135-81)، یک سیستم مختصات دکارتی استاندارد (راست) اتخاذ شده است که در آن محورهای X، Y، Z (شکل 4.5) نشان دهنده مثبت است. حرکات ابزار نسبت به قطعات متحرک دستگاه.

  جهت مثبت حرکت قطعه کار نسبت به قطعات ثابت دستگاه با محورهای X`,Y`,Z` که در مقابل محورهای X,Y,Z قرار دارند نشان داده می شود. بنابراین، مثبت همیشه جهت حرکت است که در آن ابزار و قطعه کار از یکدیگر دور می شوند.

  شکل 4.5. سیستم مختصات استاندارد برای دستگاه CNC

  حرکات دایره ای ابزار (به عنوان مثال، جابجایی زاویه ای محور دوک یک ماشین فرز) با حروف A (حول محور X)، B (در اطراف محور Y)، C (حول محور Z) مشخص می شود. و حرکات دایره ای قطعه کار (مثلاً چرخش میز روی دستگاه حفاری با برنامه کنترل شده) - به ترتیب با حروف A، B، C. مفهوم "حرکات دایره ای" شامل چرخش دوک نخ ریسی نمی شود. ابزار یا دوک ماشین تراش.

  برای تعیین حرکات زاویه ای ثانویه حول محورهای خاص، از حروف D و E استفاده می شود.

  برای نشان دادن جهت حرکت دو بدنه کاری در امتداد یک خط مستقیم، از محورهای به اصطلاح ثانویه استفاده می شود: U (موازی با X)، V (موازی با Y)، W (موازی با Z). برای سه حرکت در یک جهت، به اصطلاح محورهای ثالثی نیز استفاده می شود: P، Q، R (نگاه کنید به شکل 4.5).

  برای ماشین‌های انواع و مدل‌های مختلف، سیستم‌های مختصات به‌طور متفاوتی قرار می‌گیرند و جهت‌های مثبت محورها و موقعیت مبدا مختصات را مشخص می‌کنند.

  سیستم مختصات ماشین، که مطابق با توصیه های GOST 23597-79 (شکل 4.5) انتخاب شده است، معمولاً استاندارد نامیده می شود. در این سیستم جهت های مثبت محورهای مختصات با قانون دست راست تعیین می شود. انگشت شست (شکل 4.6) جهت مثبت محور آبسیسا (X)، انگشت اشاره - محور مختصات (Y)، انگشت میانی - محور کاربردی (Z) را نشان می دهد. جهت مثبت چرخش ها حول این محورها توسط قانون دست راست دیگری تعیین می شود. طبق این قانون، اگر انگشت شست خود را در جهت محور قرار دهید، انگشتان خم شده باقیمانده جهت مثبت چرخش را نشان خواهند داد.

  

  شکل 4.6. قانون دست راست برای سیستم مختصات مستطیلی

  جهت گیری محورهای سیستم مختصات استاندارد روی دستگاه با جهت حرکت هنگام حفاری در ماشین های حفاری، حفاری، فرز و تراشکاری مرتبط است. جهت حذف مته از قطعه کار برای محور Z مثبت در نظر گرفته می شود، یعنی. محور Z همیشه به عنصر چرخان دستگاه - اسپیندل متصل است. محور X عمود بر محور Z و موازی با صفحه نصب قطعه کار است. اگر دو محور با این تعریف مطابقت داشته باشند، آنگاه محور X به عنوان محوری در نظر گرفته می شود که بیشترین حرکت واحد ماشین در امتداد آن امکان پذیر است. با شناخته شدن محورهای X و Z، محور Y به طور منحصر به فردی از وضعیت محورها که در سیستم مختصات مستطیلی راست قرار دارند تعیین می شود.

  4.1. مختصات مستطیل شکل

  در توپوگرافی، مختصات مستطیلی بیشترین کاربرد را دارد. بیایید دو خط متقابل عمود بر روی صفحه بگیریم - Oایکسو OY. به این خطوط، محورهای مختصات و نقطه تقاطع آنها ( O) - مبدأ مختصات.

  برنج. 4.1. مختصات مستطیلی

  موقعیت هر نقطه در صفحه را می توان به راحتی با تعیین کوتاه ترین فاصله از محورهای مختصات تا نقطه داده شده تعیین کرد. کوتاه ترین فاصله ها عمود هستند. فواصل عمود از محورهای مختصات تا یک نقطه معین را مختصات مستطیلی این نقطه می نامند. خطوط موازی با محور ایکس، مختصات نامیده می شوند ایکسآ ، و محورهای موازی Y- مختصات درآ .
  ربع های سیستم مختصات مستطیلی شماره گذاری شده اند. آنها در جهت عقربه های ساعت از جهت مثبت محور آبسیسا - I، II، III، IV (شکل 4.1) شمارش می شوند.
  مختصات مستطیلی مورد بحث در یک صفحه استفاده می شود. این جایی است که آنها نام خود را گرفتند مختصات مستطیلی مسطح این سیستم مختصات در مناطق کوچکی از زمین که به عنوان یک هواپیما گرفته می شود استفاده می شود.

  4.2. سیستم منطقه ای مختصات گاوسی مستطیلی

  هنگام در نظر گرفتن موضوع "پیش بینی نقشه های توپوگرافی"، اشاره شد که سطح زمین بر روی سطح استوانه ای قرار می گیرد که سطح زمین را در امتداد نصف النهار محوری لمس می کند. در این حالت، تمام سطح زمین بر روی استوانه نیست، بلکه تنها بخشی از آن است که با 3 درجه طول جغرافیایی به سمت غرب و 3 درجه به سمت شرق از نصف النهار محوری محدود شده است. از آنجایی که هر یک از برجستگی های گاوسی تنها بخشی از سطح زمین را که توسط نصف النهارها تا 6 درجه طول جغرافیایی محدود می شود به صفحه منتقل می کند، در مجموع 60 برجستگی (60 ناحیه) باید بر روی سطح زمین جمع آوری شود. در هر یک از 60 پیش بینی، الف سیستم مختصات مستطیلی مجزا
  در هر زون محور ایکسنصف النهار متوسط ​​(محوری) منطقه است که در 500 کیلومتری غرب از موقعیت واقعی آن قرار دارد و محور Y- استوا (شکل 4.2).

  
  برنج. 4.2. سیستم مختصات مستطیلی
  روی نقشه های توپوگرافی

  محل تقاطع نصف النهار محوری توسعه یافته با استوا مبدأ مختصات خواهد بود: x = 0، y = 0. نقطه تلاقی خط استوا و نصف النهار مرکزی واقعی دارای مختصات است : x = 0، y = 500 کیلومتر.
  هر منطقه منشاء خاص خود را دارد. این مناطق از نصف النهار گرینویچ به سمت شرق شمارش می شوند. منطقه شش درجه اول بین نصف النهار گرینویچ و نصف النهار با طول شرقی 6 درجه (نصف النهار محوری 3 درجه) قرار دارد. منطقه دوم 6 درجه شرقی است. - 12 درجه شرقی (نصف النهار محوری 9 درجه). منطقه سوم - 12 درجه شرقی. - 18 درجه شرقی (نصف النهار محوری 15 درجه). منطقه چهارم - 18 درجه شرقی. - 24 درجه شرقی (نصف النهار محوری 21 درجه) و غیره
  شماره منطقه در مختصات نشان داده شده است دررقم اول مثلا ضبط کنید در = 4 525 340 به این معنی که نقطه داده شده در منطقه چهارم (رقم اول) در فاصله است 525 340 متراز نصف النهار محوری منطقه، واقع در غرب 500 کیلومتری.
  

  برای تعیین شماره منطقه با مختصات جغرافیایی، باید 6 را به طول جغرافیایی بیان شده در درجه صحیح اضافه کنید و مقدار حاصل را بر 6 تقسیم کنید. در نتیجه تقسیم، فقط یک عدد صحیح باقی می گذاریم.
  

  مثال. تعداد ناحیه گاوسی را برای نقطه ای با طول شرقی 18 درجه 10 اینچ تعیین کنید.
  راه حل. به تعداد کل درجات طول جغرافیایی 18، 6 را جمع کرده و حاصل را بر 6 تقسیم می کنیم.
  (18 + 6) / 6 = 4.
  نقشه ما در منطقه چهارم است.

  مشکلات هنگام استفاده از سیستم مختصات منطقه ای در مواردی ایجاد می شود که کارهای توپوگرافی و ژئودزی در مناطق مرزی واقع در دو منطقه مجاور (مجاور) انجام می شود. خطوط مختصات چنین مناطقی در یک زاویه نسبت به یکدیگر قرار دارند (شکل 4.3).
  

  برای از بین بردن عوارض در حال ظهور، الف نوار همپوشانی منطقه ، که در آن می توان مختصات نقاط را در دو سیستم مجاور محاسبه کرد. عرض نوار همپوشانی 4 درجه، 2 درجه در هر منطقه است.
  

  یک شبکه اضافی روی نقشه فقط در قالب خروجی خطوط آن بین فریم دقیقه و بیرونی اعمال می شود. دیجیتالی شدن آن ادامه دیجیتالی شدن خطوط شبکه ای منطقه مجاور است. خطوط شبکه اضافی در خارج از قاب بیرونی ورق امضا می شود. در نتیجه، در یک صفحه نقشه واقع در منطقه شرقی، هنگام اتصال خروجی های همنام شبکه اضافی، یک شبکه کیلومتری از منطقه غربی به دست می آید. با استفاده از این شبکه می توانید برای مثال مختصات مستطیلی یک نقطه را تعیین کنید که دردر سیستم مختصات مستطیلی ناحیه غربی، یعنی مختصات مستطیلی نقاط آو که دردر یک سیستم مختصات زون غرب به دست خواهد آمد.

  

  برنج. 4.3. خطوط کیلومتری اضافی در مرزهای مناطق

  در یک نقشه در مقیاس 1:10000، شبکه اضافی فقط بر روی صفحاتی تقسیم می شود که در آنها نصف النهار شرقی یا غربی قاب داخلی (قاب ذوزنقه ای) مرز منطقه است. بر نقشه های توپوگرافیهیچ مش اضافی اعمال نمی شود.

  4.3. تعیین مختصات مستطیل شکل با استفاده از قطب نما

  یک عنصر مهم نقشه توپوگرافی(طرح) یک شبکه مستطیل شکل است. در تمام صفحات این ناحیه 6 درجه، شبکه به صورت ردیفی از خطوط اعمال می شود. موازی با نصف النهار محوری و استوا(شکل 4.2). خطوط شبکه عمودی موازی با نصف النهار محوری منطقه و خطوط افقی موازی با خط استوا هستند. خطوط کیلومتر افقی از پایین به بالا و خطوط عمودی - از چپ به راست شمارش می شوند. .
  

  فواصل بین خطوط در نقشه های مقیاس 1:200000 - 1:50000 2 سانتی متر، 1:25،000 - 4 سانتی متر، 1:10،000 - 10 سانتی متر است که مربوط به عدد صحیح کیلومتر بر روی زمین است. بنابراین، مش مستطیل شکل نیز نامیده می شود کیلومتر، و خطوط آن هستند کیلومتر.
  خطوط کیلومتری نزدیک به گوشه های قاب ورق نقشه با تعداد کامل کیلومتر و بقیه با دو رقم آخر امضا می شوند. سنگ نوشته 60 65 (نگاه کنید به شکل 4.4) در یکی از خطوط افقی به این معنی است که این خط 6065 کیلومتر از خط استوا (شمال) فاصله دارد: کتیبه 43 07 در خط عمودی به این معنی است که در ناحیه چهارم قرار دارد و از ابتدای شمارش رجعت 307 کیلومتر شرق است. اگر یک عدد سه رقمی با اعداد کوچک در نزدیکی خط عمودی کیلومتر نوشته شود، دو عدد اول نشان دهنده شماره منطقه است.

  مثال.لازم است از روی نقشه مختصات مستطیل شکل یک نقطه زمین، به عنوان مثال، یک نقطه از شبکه ژئودزی دولتی (GGS) با علامت 214.3 تعیین شود (شکل 4.4). ابتدا آبسیسه ضلع جنوبی میدانی که این نقطه در آن قرار دارد (یعنی 6065) را بنویسید (به کیلومتر). سپس با استفاده از قطب نما و مقیاس خطی، طول عمود را تعیین کنید Δх= 550 متر، بالغ از نقطه داده شدهبه این خط مقدار حاصل (در این مورد 550 متر) به آبسیسا خط اضافه می شود. عدد 6,065,550 ابسیسا است ایکس نقطه GGS.
  ترتیب نقطه GGS برابر است با ضلع غربی همان مربع (4307 کیلومتر) که به طول عمود اضافه می شود. Δу= 250 متر، بر روی نقشه اندازه گیری شده است. عدد 4307250 مصداق همان نقطه است.
  در صورت عدم وجود قطب نما، فاصله ها با خط کش یا نوار کاغذ اندازه گیری می شود..

  

  ایکس = 6065550, در= 4307250
  برنج. 4.4. تعریف مختصات مستطیلی با استفاده از مقیاس خطی

  4.4. تعیین مختصات مستطیل شکل با استفاده از مختصاتومتر

  هماهنگ کننده - یک مربع کوچک با دو ضلع عمود بر هم. در امتداد لبه های داخلی خط کش ها مقیاس هایی وجود دارد که طول آنها برابر با طول ضلع سلول های مختصات نقشه یک مقیاس معین است. تقسیمات روی مختصات سنج از مقیاس خطی نقشه منتقل می شوند.
  مقیاس افقی با خط پایین مربع (که نقطه در آن قرار دارد) تراز است و مقیاس عمودی باید از این نقطه عبور کند. مقیاس ها فواصل نقطه تا خطوط کیلومتر را تعیین می کنند.

  
  x A = 6135,350 y A = 5577,710
  برنج. 4.5. تعیین مختصات مستطیلی با استفاده از مختصات سنج

  4.5. قرار دادن نقاط روی نقشه در مختصات مستطیل شکل مشخص

  برای ترسیم یک نقطه بر روی نقشه با توجه به مختصات مستطیل شکل داده شده، به صورت زیر عمل کنید: در رکورد مختصات، اعداد دو رقمی یافت می شوند که خطوط شبکه مستطیلی را به اختصار نشان می دهند. با استفاده از عدد اول، یک خط شبکه افقی روی نقشه و یک خط شبکه عمودی با استفاده از عدد دوم پیدا می شود. تقاطع آنها گوشه جنوب غربی میدان را تشکیل می دهد که نقطه مورد نظر در آن قرار دارد. در ضلع شرقی و غربی میدان، دو بخش مساوی از ضلع جنوبی آن قرار گرفته است که در مقیاس نقشه با تعداد مترهای آبسیسا مطابقت دارد. ایکس . انتهای قطعات توسط یک خط مستقیم به هم متصل می شوند و روی آن، از ضلع غربی مربع، یک قطعه مربوط به تعداد متر در ترتیب در مقیاس نقشه ترسیم می شود. انتهای این بخش نقطه مورد نظر است.

  4.6. محاسبه مختصات گاوسی مستطیلی مسطح با مختصات جغرافیایی

  مختصات گاوسی مستطیلی صفحه ایکس و در ارتباط با مختصات جغرافیایی بسیار دشوار است φ (عرض جغرافیایی) و λ نقاط (طول جغرافیایی). سطح زمین. فرض کنید که یک نقطه آمختصات جغرافیایی دارد φ و λ . از آنجایی که تفاوت در طول نصف النهارهای مرزی منطقه 6 درجه است، بنابراین، بر این اساس، برای هر یک از مناطق می توان طول نصف النهارهای شدید را به دست آورد: منطقه 1 (0 ° - 6 °)، منطقه 2. (6° - 12°)، منطقه 3 (12° - 18°) و غیره. بنابراین با توجه به طول جغرافیایی نقطه آمی توانید تعداد منطقه ای را که این نقطه در آن قرار دارد تعیین کنید. در همان زمان، طول جغرافیایی λ محور نصف النهار محوری منطقه با فرمول تعیین می شود
  λ سیستم عامل = (6 درجه شمالی - 3 درجه)،
  که در آن n- شماره منطقه
  

  برای تعریف مختصات مستطیلی صفحه ایکس و در بر اساس مختصات جغرافیایی φ و λ بیایید از فرمول های مشتق شده برای بیضی مرجع کراسوفسکی استفاده کنیم (بیضی مرجع شکلی است که تا حد امکان به شکل زمین در قسمتی که یک حالت یا گروهی از حالت های معین روی آن قرار دارد نزدیک است):

  ایکس = 6367558,4969 (φ خوشحالم ) - (الف 0 - l 2 N) sinφ cosφ (4.1)
  در(l) = lNcosφ (4.2)
  

  فرمول های (4.1) و (4.2) از نماد زیر استفاده می کنند:
  y(l) - فاصله از نقطه تا نصف النهار محوری منطقه؛
  ل= (λ - λ سیستم عامل ) - تفاوت بین طول های جغرافیایی نقطه تعیین شده و نصف النهار محوری منطقه)؛
  φ خوشحالم - عرض جغرافیایی یک نقطه، بیان شده در اندازه رادیان؛
  ن = 6399698,902 - cos 2φ;
  آ 0 = 32140,404 - cos 2 φ;
  آ 3 = (0,3333333 + 0,001123 cos 2 φ) cos 2φ - 0.1666667;
  آ 4 = (0,25 + 0,00252 cos 2φ) cos 2φ - 0.04166;
  آ 5 = 0,0083 - cos 2φ;
  آ 6 = (0.166 cos 2 φ - 0.084) cos 2 φ.
  y" فاصله از نصف النهار محوری واقع در غرب 500 کیلومتر است.

  طبق فرمول (4.1) مقدار مختصات y(l)نسبت به نصف النهار محوری منطقه به دست می آیند، یعنی. می تواند با علائم "بعلاوه" برای قسمت شرقی منطقه یا علائم "منهای" برای بخش غربی منطقه مشخص شود. برای ثبت مختصات yدر سیستم مختصات ناحیه ای، محاسبه فاصله تا نقطه ای از نصف النهار محوری منطقه، واقع در 500 کیلومتری غرب ضروری است. (y"در جدول ) و شماره ناحیه را جلوی مقدار حاصل بنویسید. به عنوان مثال، مقدار دریافت شده است
  y(l)= -303678.774 متر در منطقه 47.
  سپس
  در= 47 (500000.000 - 303678.774) = 47196321.226 متر.
  ما از صفحات گسترده برای محاسبات استفاده می کنیم مایکروسافت XL .

  مثال. مختصات مستطیلی یک نقطه با مختصات جغرافیایی را محاسبه کنید:
  φ = 47º02"15.0543"N; λ = 65º01"38.2456" شرقی.

  به میز مایکروسافت XL داده ها و فرمول های اولیه را وارد کنید (جدول 4.1).

  جدول 4.1.

  				D	E	اف
  		پارامتر	محاسبات	تگرگ
  		φ (درجه)	D2+E2/60+F2/3600
  		φ (راد)	RADIANS (C3)
  		Cos 2φ
  		منطقه شماره	INTEGER((D8+6)/6)
  		λos (درجه)
  		l (درجه)	D11+E11/60+F11/3600
  		ل (راد)	رادیان (C12)
  			6399698,902-((21562,267- (108.973-0.612*C6^2)*C6^2))*C6^2
  		آ 0	32140,404-((135,3302- (0.7092-0.004*C6^2)*C6^2))*C6^2
  		آ 4	=(0.25+0.00252*C6^2)*C6^2-0.04166
  		آ 6	=(0.166*C6^2-0.084)*C6^2
  		آ 3	=(0.3333333+0.001123*C6^2)*C6^2-0.1666667
  		آ 5	0.0083-((0.1667-(0.1968+0.004*C6^2)*C6^2))*C6^2
  			6367558.4969*C4-(((C15-(((0.5+(C16+C17*C20)*C20)) *C20*C14)))*C5*C6)
  			=((1+(C18+C19*C20)*C20))*C13*C14*C6
  			ROUND((500000+C23);3)
  			CONCATENATE(C9;C24)

  
  

  نمای جدول پس از محاسبات (جدول 4.2).

  جدول 4.2.

  		پارامتر	محاسبات	تگرگ
  		φ (درجه، دقیقه، ثانیه)
  		φ (درجه)
  		φ (رادیان)
  		Cos 2φ
  		λ (درجه، دقیقه، ثانیه)
  		شماره منطقه
  		λos (درجه)
  		l (دقیقه، ثانیه)
  		ل (درجات)
  		ل (رادیان)
  		آ 0
  		آ 4
  		آ 6
  		آ 3
  		آ 5

  
  

  4.7. محاسبه مختصات جغرافیایی با استفاده از مختصات گاوسی مستطیلی مسطح

  برای حل این مشکل، از فرمول های محاسبه مجدد به دست آمده برای بیضی مرجع کراسوفسکی نیز استفاده می شود.
  فرض کنید باید مختصات جغرافیایی را محاسبه کنیم φ و λ نکته ها آبا مختصات مستطیلی مسطح آن ایکسو در، در سیستم مختصات ناحیه ای مشخص شده است. در این مورد، مقدار مختصات دربا در نظر گرفتن انتقال نصف النهار محوری منطقه به غرب به میزان 500 کیلومتر نوشته شده است.
  پیش ارزش درتعداد منطقه ای که نقطه تعیین شده در آن قرار دارد را پیدا کنید و از شماره منطقه برای تعیین طول جغرافیایی استفاده کنید λ o نصف النهار محوری و با فاصله از نقطه تا نصف النهار محوری اشاره شده به غرب، فاصله را بیابید. y(l)از یک نقطه به نصف النهار محوری منطقه (این دومی می تواند علامت مثبت یا منفی داشته باشد).
  مقادیر مختصات جغرافیایی φ و λ روی مختصات مستطیلی مسطح ایکسو دربا استفاده از فرمول ها پیدا شد:
  φ = φ ایکس - z 2 b 2 ρ″ (4.3)
  λ = λ 0 + l (4.4)
  l = zρ″ (4.5)

  در فرمول های (4.3) و (4.5):
  φ x″= β″ +(50221746 + cos 2 β)10-10sinβcosβ ρ″;
  β″ = (X / 6367558.4969) ρ″; ρ″ = 206264.8062 اینچ - تعداد ثانیه در یک رادیان
  z = У(L) / (Nx сos φx);
  N x = 6399698.902 - cos 2 φ x;
  b 2 = (0.5 + 0.003369 cos 2 φ x) sin φ x cos φ x;
  b 3 = 0.333333 - (0.166667 - 0.001123 cos2 φ x) cos2 φ x;
  b 4 = 0.25 + (0.16161 + 0.00562 cos 2 φ x) cos 2 φ x;
  b 5 = 0.2 - (0.1667 - 0.0088 cos 2 φ x) cos 2 φ x.

  ما از صفحات گسترده برای محاسبات استفاده می کنیم مایکروسافت XL .
  مثال. مختصات جغرافیایی یک نقطه را با استفاده از مختصات مستطیلی محاسبه کنید:
  x = 5213504.619; y = 11654079.966.

  به میز مایکروسافت XL داده ها و فرمول های اولیه را وارد کنید (جدول 4.3).

  جدول 4.3.

  1 پارامتر محاسبه تگرگ. حداقل ثانیه 2 1 ایکس 5213504,619 2 در 11654079,966 4 3 شماره *مناطق IF(C3<1000000; C3/100000; C3/1000000) 5 4 منطقه شماره INTEGER(C4) 6 5 λoos C5*6-3 7 6 y" C3-C5*1000000 8 7 y(l) C7-500000 9 8 ρ″ 206264,8062 10 9 β" C2/6367558.4969*C9 11 10 β راد RADIANS (C10/3600) 12 11 β کل (C10/3600) کل ((C10-D12*3600)/60) C10-D12* 3600-E12*60 13 12 Sin β SIN(C11) 14 13 Cos β COS (C11) 15 14 Cos 2 β C14^2 16 15 φ ایکس " C10+((50221746+((293622+ (2350+22*C14^2)*C14^2))*C14^2))) *10^-10*C13*C14*C9 17 16 φ ایکس خوشحالم RADIANS (C16/3600) 18 17 φ ایکس کل (C16/3600) کل ((C16-D18*3600)/60) C16-D18* 3600-E18*60 19 18 گناه φ. SIN(C17) 20 19 Cosφ ایکس COS (C17) 21 20 Cos 2φ ایکس C20^2 22 21 ن ایکس 6399698,902-((21562,267- (108.973-0.612*C21)*C21))*C21 23 22 Ν ایکس Cosφ ایکس C22 * C20 24 23 z C8/(C22*C20) 25 24 z 2 C24^2 26 25 ب 4 0.25+(0.16161+0.00562*C21)*C21 27 26 ب 2 =(0.5+0.003369*C21)*C19*C20 28 27 ب 3 0.333333-(0.166667-0.001123*C21)*C21 29 28 ب 5 0.2-(0.1667-0.0088*C21)*C21 30 29 C16-((1-(C26-0.12 *C25)*C25))*C25*C27*C9 31 30 φ =عدد صحیح (C30/3600) =عدد صحیح ((C30-D31*3600)/60) =C30-D31* 3600-E31*60 32 31 ل" =((1-(C28-C29*C25)*C25))*C24*C9 33 32 ل 0 =عدد صحیح (C32/3600) =عدد صحیح ((C32-D33*3600)/60) =C32-D33* 3600-E33*60 34 33 λ C6 + D33

  
  

  نمای جدول پس از محاسبات (جدول 4.4).

  جدول 4.4.

  		پارامتر	محاسبه	تگرگ.
  		شماره منطقه*
  		شماره منطقه
  		λoos (درجه)
  		y"
  		β راد
  		Cos 2 β
  		φ ایکس "
  		φ ایکس خوشحالم
  		φ ایکس
  		Cosφ ایکس
  		Cos 2φ ایکس
  		ن ایکس
  		Ν ایکس Cosφ ایکس
  		z 2
  		ب 4
  		ب 2
  		ب 3
  		ب 5
  		φ
  		ل 0
  		λ

  اگر محاسبات به درستی انجام شود، هر دو جدول را در یک برگه کپی کنید، خطوط محاسبات میانی و ستون شماره را پنهان کنید و فقط خطوط را برای وارد کردن داده های اولیه و نتایج محاسبات باقی بگذارید. ما جدول را قالب بندی می کنیم و نام ستون ها و ستون ها را به صلاحدید شما تنظیم می کنیم.

  کاربرگ ها ممکن است به این شکل باشند
  

  جدول 4.5.

  
  

  یادداشت.
  1. بسته به دقت مورد نیاز، می توانید عمق بیت را کم یا زیاد کنید.
  2. تعداد ردیف های جدول را می توان با ترکیب محاسبات کاهش داد. برای مثال، رادیان یک زاویه را جداگانه محاسبه نکنید، بلکه بلافاصله آنها را با فرمول =SIN(RADIANS(C3)) بنویسید.
  3. گرد کردن در بند 23 جدول. 4.1. ما برای "کلاچ" تولید می کنیم. تعداد ارقام در گرد کردن 3.
  4. اگر قالب سلول‌های ستون‌های Grad و Min را تغییر ندهید، قبل از اعداد صفر وجود نخواهد داشت. تغییر قالب در اینجا فقط برای درک بصری (به صلاحدید نویسنده) انجام می شود و بر نتایج محاسبات تأثیری ندارد.
  5. برای جلوگیری از آسیب تصادفی فرمول ها، باید از جدول محافظت کنید: Service / Protect sheet. قبل از محافظت، سلول ها را برای وارد کردن داده های اصلی انتخاب کنید و سپس: قالب سلول / محافظت / سلول محافظت شده - علامت کادر را بردارید.

  4.8. ارتباط سیستم های مختصات مستطیلی و قطبی مسطح

  سادگی سیستم مختصات قطبی و امکان ساخت آن نسبت به هر نقطه از زمین که به عنوان یک قطب گرفته می شود، منجر به استفاده گسترده از آن در توپوگرافی شد. به منظور اتصال سیستم های قطبی نقاط زمین منفرد، باید به سمت تعیین موقعیت دومی در یک سیستم مختصات مستطیلی حرکت کرد که می تواند به یک منطقه بسیار بزرگتر گسترش یابد. ارتباط بین دو سیستم با حل مسائل ژئودزی مستقیم و معکوس برقرار می شود.
  مشکل مستقیم ژئودتیک شامل تعیین مختصات نقطه پایانی است که در (شکل 4.4) خطوط ABدر طول آنجی طرح افقید ، جهتα و مختصات نقطه شروع ایکسآ , درآ .

  
  برنج. 4.6. حل مسائل ژئودزی مستقیم و معکوس

  پس اگر موضوع را بپذیریم آ(شکل 4.4) فراتر از قطب سیستم مختصات قطبی، و خط مستقیم AB- فراتر از محور قطبی موازی با محور اوه، سپس مختصات قطبی نقطه که دراراده دو α . محاسبه مختصات مستطیلی این نقطه در سیستم ضروری است HOU.

  از شکل 3.4 واضح است که ایکسکه در متفاوت است ایکسآ با مقدار ( ایکسکه در - ایکسآ ) = Δ ایکسAB ، آ درکه در متفاوت است درآ با مقدار ( درکه در - درآ ) = Δ درAB . تفاوت مختصات نهایی که درو اولیه آنقاط خط AB Δ ایکسو Δ درتماس گرفت هماهنگ کردن افزایش ها . افزایش مختصات، پیش بینی های متعامد خط هستند ABروی محور مختصات مختصات ایکسکه در و درکه در با استفاده از فرمول ها قابل محاسبه است:

  ایکسکه در = ایکسآ + Δ ایکسAB (4.1)
  درکه در = درآ + Δ درAB (4.2)

  مقادیر افزایشی با توجه به داده شده از مثلث قائم الزاویه DIA تعیین می شود دو α، از افزایش Δ ایکسو Δ درپاهای این مثلث قائم الزاویه هستند:

  Δ ایکسAB =دcos α (4.3)
  Δ درAB = دگناه α (4.4)

  علامت افزایش مختصات به زاویه موقعیت بستگی دارد.

  جدول 4.1.

  جایگزینی مقدار افزایشی Δ ایکسAB و Δ درAB در فرمول های (3.1 و 3.2)، فرمول هایی را برای حل مسئله مستقیم ژئودتیک به دست می آوریم:

  ایکسکه در = ایکسآ + دcos α (4.5)
  درکه در = درآ + دگناه α (4.6)

  مشکل ژئودزی معکوس شامل تعیین طول فضای افقی استدو جهت α خط AB با توجه به مختصات داده شده نقطه شروع آن A (xA, yA) و نقطه نهایی B (xB, yB).زاویه جهت با استفاده از پایه های یک مثلث قائم الزاویه محاسبه می شود:

  قهوهای مایل به زرد α = (4.7)

  طرح افقی د، با فرمول تعیین می شود:

  د = (4.8)

  برای حل مسائل ژئودتیک مستقیم و معکوس می توانید از صفحات گسترده استفاده کنید مایکروسافت برتری داشتن .

  مثال.
  امتیاز داده شده است آبا مختصات: ایکسآ = 6068318,25; درآ = 4313450.37. طرح افقی (د)بین نقطه آو نقطه که درمعادل 5248.36 متر زاویه بین جهت شمال محور اوهو جهت به نقطه که در(زاویه موقعیت - α ) برابر 30 درجه است.

  مختصات مستطیلی یک نقطه را محاسبه کنید B(xکه در ,درکه در ).

  وارد کردن داده ها و فرمول های منبع در صفحات گسترده مایکروسافت اکسل (جدول 4.2).

  جدول 4.2.

  	اطلاعات اولیه
  	ایکسآ
  	درآ
  	محاسبات
  	Δ ایکسAB =d cos α	B4*COS(RADIANS(B5))
  	Δ درAB = d sin α	B4*SIN(RADIANS(B5))
  	ایکسکه در
  	درکه در

  
  

  نمای جدول پس از محاسبات (جدول 4.3).

  جدول 4.3.

  	اطلاعات اولیه
  	ایکسآ
  	درآ
  	محاسبات
  	Δ ایکسAB =d cos α
  	Δ درAB = d sin α
  	ایکسکه در
  	درکه در

  مثال.
  نقاط مشخص شده آو که دربا مختصات:
  ایکسآ = 6068318,25; درآ = 4313450,37;
  ایکسکه در = 6072863,46; درکه در = 4313450,37.
  محاسبه فاصله افقی دبین نقطه آو نقطه که در،و همچنین زاویه α بین جهت شمال محور اوهو جهت به نقطه که در.
  وارد کردن داده ها و فرمول های منبع در صفحات گسترده مایکروسافت اکسل (جدول 4.4).

  جدول 4.4.

  	اطلاعات اولیه
  	ایکسآ
  	درآ
  	ایکسکه در
  	درکه در
  	محاسبات
  	ΔхAB
  	ΔуAB
  		SQRT(B7^2+B8^2)
  	مماس
  	Arctangent
  	درجه	DEGREES (B11)
  	انتخاب	IF(B12<0;B12+180;B12)
  	زاویه موقعیت (درجه)	IF(B8<0;B13+180;B13)

  نمای جدول پس از محاسبات (جدول 4.5).

  جدول 4.5.

  	اطلاعات اولیه
  	ایکسآ
  	درآ
  	ایکسکه در
  	درکه در
  	محاسبات
  	ΔхAB
  	ΔуAB
  	مماس
  	Arctangent
  	درجه
  	انتخاب
  	زاویه موقعیت (درجه)

  اگر محاسبات شما با محاسبات موجود در آموزش مطابقت دارد، محاسبات میانی را پنهان کنید، جدول را قالب بندی و محافظت کنید.

  ویدئو
  مختصات مستطیلی

  سوالات و وظایف برای خودکنترلی

  1. به چه کمیت ها مختصات مستطیلی می گویند؟
  2. مختصات مستطیلی روی چه سطحی استفاده می شود؟
  3. ماهیت سیستم مختصات مستطیلی ناحیه ای چیست؟
  4. تعداد منطقه شش درجه ای که شهر لوگانسک در آن قرار دارد با مختصات: 48 درجه و 35 دقیقه شمالی چقدر است. 39 درجه 20 دقیقه شرقی
  5. طول نصف النهار محوری ناحیه شش درجه ای که لوگانسک در آن قرار دارد را محاسبه کنید.
  6. مختصات x و y در سیستم مختصات گاوسی مستطیلی چگونه محاسبه می شوند؟
  7. روش تعیین مختصات مستطیلی را بر روی نقشه توپوگرافی با استفاده از قطب نمای اندازه گیری توضیح دهید.
  8. روش تعیین مختصات مستطیلی بر روی نقشه توپوگرافی با استفاده از مختصات سنج را توضیح دهید.
  9. ماهیت مسئله مستقیم ژئودتیک چیست؟
  10. ماهیت مسئله ژئودزی معکوس چیست؟
  11. به چه کمیت افزایش مختصات می گویند؟
  12. سینوس، کسینوس، مماس و کوتانژانت یک زاویه را تعریف کنید.
  13. چگونه می توانیم قضیه فیثاغورث را در رابطه بین اضلاع مثلث قائم الزاویه در توپوگرافی اعمال کنیم؟

  اگر در نقطه‌ای صفر هستید و می‌پرسید چند واحد مسافت باید مستقیم به جلو بروید و سپس مستقیماً به سمت راست بروید تا به نقطه دیگری برسید، در این صورت از سیستم مختصات دکارتی مستطیلی شکل در هواپیما استفاده می‌کنید. و اگر نقطه در بالای صفحه ای که روی آن ایستاده اید قرار داشته باشد و به محاسبات خود یک صعود به نقطه در امتداد پله ها را به شدت به سمت بالا نیز با تعداد معینی واحد فاصله اضافه کنید، در این صورت از یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی استفاده می کنید. فضا.

  یک سیستم منظم متشکل از دو یا سه محور متقاطع عمود بر یکدیگر با مبدأ مشترک (منشا مختصات) و یک واحد طول مشترک نامیده می شود. سیستم مختصات دکارتی مستطیلی .

  نام ریاضیدان فرانسوی رنه دکارت (1596-1662) عمدتاً با یک سیستم مختصات مرتبط است که در آن یک واحد طول مشترک در همه محورها اندازه گیری می شود و محورها مستقیم هستند. علاوه بر مستطیل شکل، وجود دارد سیستم مختصات دکارتی عمومی (سیستم مختصات افین). همچنین ممکن است شامل محورهایی باشد که لزوماً عمود نیستند. اگر محورها عمود باشند، سیستم مختصات مستطیلی است.

  سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک هواپیما دارای دو محور و سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در فضا - سه محور هر نقطه در یک صفحه یا در فضا با مجموعه منظمی از مختصات - اعداد مربوط به واحد طول سیستم مختصات - تعریف می شود.

  توجه داشته باشید که همانطور که از تعریف بر می آید، یک سیستم مختصات دکارتی در یک خط مستقیم، یعنی در یک بعد وجود دارد. معرفی مختصات دکارتی بر روی یک خط یکی از روش هایی است که هر نقطه از یک خط را با یک عدد واقعی کاملاً مشخص، یعنی یک مختصات مرتبط می کند.

  روش مختصات، که در آثار رنه دکارت به وجود آمد، نشانگر یک بازسازی انقلابی در تمام ریاضیات بود. تفسیر معادلات جبری (یا نابرابری ها) در قالب تصاویر هندسی (نمودار) و برعکس، جستجوی راه حل برای مسائل هندسی با استفاده از فرمول های تحلیلی و سیستم های معادلات امکان پذیر شد. بله، نابرابری z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyو بالای این هواپیما توسط 3 واحد واقع شده است.

  با استفاده از سیستم مختصات دکارتی، عضویت یک نقطه در یک منحنی معین با این واقعیت مطابقت دارد که اعداد ایکسو yبرآورده کردن برخی از معادله بنابراین، مختصات یک نقطه روی یک دایره با مرکز در یک نقطه معین ( آ; ب) معادله را برآورده کنید (ایکس - آ)² + ( y - ب)² = آر² .

  سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک هواپیما

  دو محور عمود بر صفحه ای با مبدأ مشترک و واحد مقیاس یکسان تشکیل می شوند سیستم مختصات مستطیلی دکارتی در هواپیما . یکی از این محورها محور نام دارد گاو نر، یا محور x ، دیگری - محور اوه، یا محور y . به این محورها، محورهای مختصات نیز می گویند. اجازه دهید با نشان دادن مایکسو مyبه ترتیب، طرح یک نقطه دلخواه مروی محور گاو نرو اوه. چگونه می توان پیش بینی ها را دریافت کرد؟ بیایید از طریق موضوع م گاو نر. این خط مستقیم محور را قطع می کند گاو نردر نقطه مایکس. بیایید از طریق موضوع مخط مستقیم عمود بر محور اوه. این خط مستقیم محور را قطع می کند اوهدر نقطه مy. این در تصویر زیر نشان داده شده است.

  ایکسو yنکته ها مبر این اساس مقادیر بخش های هدایت شده را فراخوانی می کنیم OMایکسو OMy. مقادیر این بخش های هدایت شده بر این اساس محاسبه می شود ایکس = ایکس0 - 0 و y = y0 - 0 . مختصات کارتزین ایکسو yنکته ها م اوکیسا و ترتیب . این واقعیت که نقطه ممختصات دارد ایکسو y، به صورت زیر نشان داده می شود: م(ایکس, y) .

  محورهای مختصات هواپیما را به چهار تقسیم می کنند ربع که شماره گذاری آن در شکل زیر نشان داده شده است. همچنین ترتیب علائم مختصات نقاط را بسته به موقعیت آنها در یک ربع خاص نشان می دهد.

  علاوه بر مختصات مستطیلی دکارتی در یک صفحه، سیستم مختصات قطبی نیز اغلب در نظر گرفته می شود. در مورد روش انتقال از یک سیستم مختصات به دیگری - در درس سیستم مختصات قطبی .

  

  سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در فضا

  مختصات دکارتی در فضا در قیاس کامل با مختصات دکارتی در صفحه معرفی می شوند.

  سه محور متقابل عمود بر هم در فضا (محورهای مختصات) با مبدأ مشترک Oو با همان مقیاس واحد تشکیل می دهند سیستم مختصات مستطیلی دکارتی در فضا .

  یکی از این محورها محور نام دارد گاو نر، یا محور x ، دیگری - محور اوه، یا محور y ، محور سوم اوز، یا محور اعمال می شود . اجازه دهید مایکس, مy مz- پیش بینی یک نقطه دلخواه مفضای روی محور گاو نر , اوهو اوزبه ترتیب.

  بیایید از طریق موضوع م گاو نرگاو نردر نقطه مایکس. بیایید از طریق موضوع مصفحه عمود بر محور اوه. این صفحه محور را قطع می کند اوهدر نقطه مy. بیایید از طریق موضوع مصفحه عمود بر محور اوز. این صفحه محور را قطع می کند اوزدر نقطه مz.

  

  مختصات مستطیلی دکارتی ایکس , yو zنکته ها مبر این اساس مقادیر بخش های هدایت شده را فراخوانی می کنیم OMایکس, OMyو OMz. مقادیر این بخش های هدایت شده بر این اساس محاسبه می شود ایکس = ایکس0 - 0 , y = y0 - 0 و z = z0 - 0 .

  مختصات کارتزین ایکس , yو zنکته ها مبر این اساس نامیده می شوند اوکیسا , ترتیب و اعمال کنید .

  محورهای مختصاتی که به صورت جفت گرفته شده اند در صفحات مختصات قرار دارند xOy , yOzو zOx .

  مسائل مربوط به نقاط در سیستم مختصات دکارتی

  مثال 1.

  آ(2; -3) ;

  ب(3; -1) ;

  سی(-5; 1) .

  مختصات برآمدگی این نقاط را بر روی محور آبسیسا بیابید.

  راه حل. همانطور که از قسمت نظری این درس بر می آید، طرح ریزی یک نقطه بر روی محور آبسیسا روی خود محور آبسیسا، یعنی محور قرار دارد. گاو نرو بنابراین دارای یک ابسیسا برابر با آبسیسا خود نقطه و یک مختصات (مختصات روی محور) است. اوه، که محور x آن را در نقطه 0 قطع می کند) که برابر با صفر است. بنابراین مختصات زیر را از این نقاط در محور x بدست می آوریم:

  آx(2;0);

  بx(3;0);

  سیx (-5; 0).

  مثال 2.در سیستم مختصات دکارتی، نقاط روی صفحه داده می شود

  آ(-3; 2) ;

  ب(-5; 1) ;

  سی(3; -2) .

  مختصات برآمدگی این نقاط را بر روی محور ارتین پیدا کنید.

  راه حل. همانطور که از قسمت تئوری این درس بر می آید، طرح ریزی یک نقطه بر روی محور ترتیبی بر روی خود محور ترتیبی، یعنی محور قرار دارد. اوهو بنابراین دارای یک ترتیب برابر با مختصات خود نقطه و یک ابسیسا (مختصات روی محور) است. گاو نر، که محور ارتین آن را در نقطه 0 قطع می کند) که برابر با صفر است. بنابراین مختصات زیر را از این نقاط در محور ارتین بدست می آوریم:

  آy(0;2);

  بy(0;1);

  سیy (0;-2).

  مثال 3.در سیستم مختصات دکارتی، نقاط روی صفحه داده می شود

  آ(2; 3) ;

  ب(-3; 2) ;

  سی(-1; -1) .

  گاو نر .

  گاو نر گاو نر گاو نر، دارای ابسیسه یکسان با نقطه داده شده، و یک ترتیب از نظر قدر مطلق برابر با مختصات نقطه داده شده و در مقابل علامت خواهد بود. بنابراین مختصات زیر را از نقاط متقارن با این نقاط نسبت به محور بدست می آوریم گاو نر :

  آ"(2; -3) ;

  ب"(-3; -2) ;

  ج"(-1; 1) .

  مثال 4.تعیین کنید که در کدام ربع (چهارم، ترسیم با ربع - در انتهای بند "سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در یک صفحه") یک نقطه می تواند قرار گیرد م(ایکس; y) ، اگر

  1) xy > 0 ;

  2) xy < 0 ;

  3) ایکس − y = 0 ;

  4) ایکس + y = 0 ;

  5) ایکس + y > 0 ;

  6) ایکس + y < 0 ;

  7) ایکس − y > 0 ;

  8) ایکس − y < 0 .

  مثال 5.در سیستم مختصات دکارتی، نقاط روی صفحه داده می شود

  آ(-2; 5) ;

  ب(3; -5) ;

  سی(آ; ب) .

  مختصات نقاط متقارن با این نقاط را نسبت به محور پیدا کنید اوه .

  بیایید با هم به حل مشکلات ادامه دهیم

  مثال 6.در سیستم مختصات دکارتی، نقاط روی صفحه داده می شود

  آ(-1; 2) ;

  ب(3; -1) ;

  سی(-2; -2) .

  مختصات نقاط متقارن با این نقاط را نسبت به محور پیدا کنید اوه .

  راه حل. 180 درجه حول محور بچرخانید اوهبخش جهت دار از محور اوهتا این نقطه. در شکل، جایی که ربع های صفحه نشان داده شده است، می بینیم که نقطه متقارن با نقطه داده شده نسبت به محور است. اوه، دارای همان ترتیب نقطه داده شده و یک ابسیسا از نظر قدر مطلق برابر با ابسیسا نقطه داده شده و مقابل علامت است. بنابراین مختصات زیر را از نقاط متقارن با این نقاط نسبت به محور بدست می آوریم اوه :

  آ"(1; 2) ;

  ب"(-3; -1) ;

  ج"(2; -2) .

  مثال 7.در سیستم مختصات دکارتی، نقاط روی صفحه داده می شود

  آ(3; 3) ;

  ب(2; -4) ;

  سی(-2; 1) .

  مختصات نقاط متقارن با این نقاط را نسبت به مبدا پیدا کنید.

  راه حل. قطعه جهت دار را که از مبدا به نقطه داده شده می رود 180 درجه حول مبدا می چرخانیم. در شکلی که ربع های صفحه نشان داده شده است، می بینیم که نقطه ای متقارن با نقطه داده شده نسبت به مبدأ مختصات، دارای یک ابسیسا و اردیتی برابر با ابسیسا و ارتکاب نقطه داده شده است، اما مقابل علامت بنابراین مختصات زیر را از نقاط متقارن با این نقاط نسبت به مبدا بدست می آوریم:

  آ"(-3; -3) ;

  ب"(-2; 4) ;

  سی(2; -1) .

  مثال 8.

  آ(4; 3; 5) ;

  ب(-3; 2; 1) ;

  سی(2; -3; 0) .

  مختصات پیش بینی این نقاط را بیابید:

  1) در هواپیما اکسی ;

  2) در هواپیما Oxz ;

  3) در هواپیما اویز ;

  4) در محور آبسیسا؛

  5) در محور ترتیبی؛

  6) در محور کاربردی.

  1) طرح ریزی یک نقطه بر روی یک صفحه اکسیبر روی خود این صفحه قرار دارد و بنابراین دارای یک ابسیسا و مجمل برابر با ابسیسا و مختص یک نقطه معین و یک اطلاق برابر با صفر است. بنابراین مختصات زیر را از پیش بینی های این نقاط به دست می آوریم اکسی :

  آxy (4; 3; 0);

  بxy (-3; 2; 0);

  سیxy(2;-3;0).

  2) طرح ریزی یک نقطه بر روی یک صفحه Oxzدر خود این صفحه قرار دارد و بنابراین دارای یک ابسیسا و اطلاق برابر با ابسیسا و اطلاق یک نقطه معین و یک مصداق برابر با صفر است. بنابراین مختصات زیر را از پیش بینی های این نقاط به دست می آوریم Oxz :

  آxz (4; 0; 5);

  بxz (-3; 0; 1);

  سیxz (2; 0; 0).

  3) طرح ریزی یک نقطه بر روی یک صفحه اویزبر روی خود این صفحه قرار دارد و بنابراین دارای یک ارتین و اطلاق برابر با مصداق و یک نقطه داده شده و یک ابسیسا برابر با صفر است. بنابراین مختصات زیر را از پیش بینی های این نقاط به دست می آوریم اویز :

  آyz(0; 3; 5);

  بyz (0; 2; 1);

  سیyz (0; -3; 0).

  4) همانطور که از قسمت تئوری این درس بر می آید، طرح ریزی یک نقطه بر روی محور آبسیسا روی خود محور آبسیسا، یعنی محور قرار دارد. گاو نر، و بنابراین دارای یک ابسیسا برابر با آبسیسا خود نقطه است و ترتیب و کاربرد برآمدگی برابر با صفر است (از آنجایی که محورهای مختص و کاربردی در نقطه 0 ابسیسا را ​​قطع می کنند). مختصات زیر را از برجستگی این نقاط بر روی محور آبسیسا بدست می آوریم:

  آx(4;0;0);

  بx (-3; 0; 0);

  سیx(2;0;0).

  5) برآمدگی یک نقطه بر روی محور ارتین بر روی خود محور ارتین، یعنی محور قرار دارد. اوه، و بنابراین دارای یک اردین برابر با خود نقطه است، و ابسیسا و اعمال برجستگی برابر با صفر است (از آنجایی که ابسیسا و محورهای کاربردی در نقطه 0 محور رده را قطع می کنند). مختصات زیر را از پیش بینی این نقاط بر روی محور ارتین بدست می آوریم:

  آy(0; 3; 0);

  بy (0; 2; 0);

  سیy(0;-3;0).

  6) برآمدگی یک نقطه بر روی محور کاربردی روی خود محور کاربردی، یعنی محور قرار دارد. اوز، و بنابراین دارای یک اطلاق برابر با کاربرد خود نقطه است، و ابسیسا و مختصات برجستگی برابر با صفر است (از آنجایی که محورهای ابسیسا و ارتین، محور اعمالی را در نقطه 0 قطع می کنند). مختصات زیر را از پیش بینی این نقاط بر روی محور کاربردی بدست می آوریم:

  آz (0; 0; 5);

  بz (0; 0; 1);

  سیz(0; 0; 0).

  مثال 9.در دستگاه مختصات دکارتی، نقاط در فضا داده می شوند

  آ(2; 3; 1) ;

  ب(5; -3; 2) ;

  سی(-3; 2; -1) .

  مختصات نقاط متقارن با این نقاط را با توجه به:

  1) هواپیما اکسی ;

  2) هواپیما Oxz ;

  3) هواپیما اویز ;

  4) محورهای آبسیسا;

  5) محورهای ترتیبی؛

  6) محورها را اعمال کنید.

  7) مبدا مختصات.

  1) نقطه را در طرف دیگر محور "حرکت دهید". اکسی اکسی، دارای ابسیسا و مجملی برابر با ابسیسا و مختص یک نقطه معین و یک اطلاق مساوی از نظر بزرگی با انتزاعی یک نقطه داده شده، اما در مقابل علامت. بنابراین، مختصات زیر را از نقاط متقارن با داده های نسبت به صفحه بدست می آوریم اکسی :

  آ"(2; 3; -1) ;

  ب"(5; -3; -2) ;

  ج"(-3; 2; 1) .

  2) نقطه را در طرف دیگر محور "حرکت دهید". Oxzبه همان فاصله از شکلی که فضای مختصات را نشان می دهد، می بینیم که یک نقطه متقارن با یک نقطه داده شده نسبت به محور است. Oxz، دارای یک ابسیسا و اطلاق برابر با ابسیسا و اطلاق یک نقطه معین، و یک مجرای مساوی از نظر بزرگی با امتداد یک نقطه معین، اما در مقابل علامت. بنابراین، مختصات زیر را از نقاط متقارن با داده های نسبت به صفحه بدست می آوریم Oxz :

  آ"(2; -3; 1) ;

  ب"(5; 3; 2) ;

  ج"(-3; -2; -1) .

  3) نقطه را در طرف دیگر محور "حرکت دهید". اویزبه همان فاصله از شکلی که فضای مختصات را نشان می دهد، می بینیم که یک نقطه متقارن با یک نقطه داده شده نسبت به محور است. اویز، یک ترتیب و یک مصداق برابر با ترتیب و یک مضمون یک نقطه داده شده و یک ابسیسا از نظر مقدار با ابسیسا یک نقطه داده شده، اما در مقابل علامت خواهد داشت. بنابراین، مختصات زیر را از نقاط متقارن با داده های نسبت به صفحه بدست می آوریم اویز :

  آ"(-2; 3; 1) ;

  ب"(-5; -3; 2) ;

  ج"(3; 2; -1) .

  با قیاس با نقاط متقارن در یک صفحه و نقاطی در فضا که متقارن با داده های نسبت به صفحات هستند، توجه می کنیم که در مورد تقارن با توجه به برخی از محورهای دستگاه مختصات دکارتی در فضا، مختصات روی محور با توجه به که تقارن داده شده علامت خود را حفظ می کند و مختصات دو محور دیگر از نظر قدر مطلق با مختصات یک نقطه داده شده یکسان است، اما در علامت مخالف خواهد بود.

  4) ابسیسا علامت خود را حفظ می کند، اما دستور و اعمال علامت ها را تغییر می دهند. بنابراین، مختصات زیر را از نقاط متقارن با داده ها نسبت به محور آبسیسا بدست می آوریم:

  آ"(2; -3; -1) ;

  ب"(5; 3; -2) ;

  ج"(-3; -2; 1) .

  5) منتخب علامت خود را حفظ می کند، اما ابسیسا و اطلاق علامت ها را تغییر می دهند. بنابراین، مختصات زیر را از نقاط متقارن با داده ها نسبت به محور ارتین به دست می آوریم:

  آ"(-2; 3; -1) ;

  ب"(-5; -3; -2) ;

  ج"(3; 2; 1) .

  6) درخواست علامت خود را حفظ می کند، اما انتزاع و حکم تغییر علائم می دهد. بنابراین، مختصات زیر را از نقاط متقارن با داده ها نسبت به محور کاربردی بدست می آوریم:

  آ"(-2; -3; 1) ;

  ب"(-5; 3; 2) ;

  ج"(3; -2; -1) .

  7) بر اساس قیاس با تقارن در مورد نقاط روی صفحه، در مورد تقارن در مورد مبدأ مختصات، تمام مختصات یک نقطه متقارن با یک معین از نظر مقدار مطلق با مختصات یک نقطه معین برابر خواهد بود. اما در مقابل آنها در علامت. بنابراین، مختصات زیر را از نقاط متقارن با داده ها نسبت به مبدا بدست می آوریم.