سرعت یک نقطه برداری است که در هر نقطه تعیین می شود این لحظهزمان، سرعت و جهت حرکت نقطه.

سرعت حرکت یکنواخت با نسبت مسیر طی شده توسط یک نقطه در یک بازه زمانی مشخص به مقدار این بازه زمانی تعیین می شود.

سرعت؛ مسیر S; t- زمان.

سرعت بر حسب واحد طول تقسیم بر واحد زمان اندازه گیری می شود: m/s. سانتی متر بر ثانیه کیلومتر در ساعت و غیره

در مورد حرکت مستقیم، بردار سرعت در طول مسیر در جهت حرکت آن هدایت می شود.

اگر نقطه ای مسیرهای نابرابر را در بازه های زمانی مساوی طی کند، این حرکت ناهموار نامیده می شود. سرعت یک کمیت متغیر و تابع زمان است.

سرعت متوسط ​​یک نقطه در یک بازه زمانی معین، سرعت چنین حرکت یکنواخت یکنواختی است که در آن نقطه در طول این بازه زمانی همان جابجایی را دریافت می کند که در حرکت مورد بررسی قرار گرفته است.

بیایید نقطه M را در نظر بگیریم، که در امتداد یک خط سیر منحنی مشخص شده توسط قانون حرکت می کند

در طی یک دوره زمانی؟t، نقطه M به موقعیت M1 در امتداد کمان MM 1 حرکت می کند. اگر بازه زمانی?t کوچک باشد، آنگاه قوس MM 1 را می توان با یک وتر جایگزین کرد و در اولین تقریب، میانگین را پیدا کرد. سرعت نقطه

این سرعت در طول وتر از نقطه M به نقطه M 1 هدایت می شود. سرعت واقعی را با رفتن به حد مجاز در?t> 0 پیدا می کنیم

وقتی؟t> 0، جهت وتر در حد منطبق با جهت مماس بر مسیر در نقطه M است.

بنابراین، مقدار سرعت یک نقطه به عنوان حد نسبت افزایش مسیر به دوره زمانی مربوطه تعریف می شود، زیرا دومی به سمت صفر میل می کند. جهت سرعت با مماس بر مسیر در یک نقطه معین منطبق است.

شتاب نقطه ای

توجه داشته باشید که در حالت کلی، هنگام حرکت در مسیر منحنی، سرعت یک نقطه هم در جهت و هم از نظر بزرگی تغییر می کند. تغییر سرعت در واحد زمان با شتاب تعیین می شود. به عبارت دیگر، شتاب یک نقطه، کمیتی است که میزان تغییر سرعت را در طول زمان مشخص می کند. اگر در طول بازه زمانی سرعت یک مقدار تغییر کند، شتاب متوسط

شتاب واقعی یک نقطه در یک زمان معین t مقداری است که شتاب متوسط ​​به آن گرایش دارد؟t> 0، یعنی

از آنجایی که فاصله زمانی به سمت صفر می‌رود، بردار شتاب هم از نظر بزرگی و هم جهت تغییر می‌کند و به حد خود تمایل پیدا می‌کند.

بعد شتاب

شتاب را می توان در m/s 2 بیان کرد. سانتی متر بر ثانیه 2 و غیره

در حالت کلی، هنگامی که حرکت یک نقطه به صورت طبیعی داده می شود، بردار شتاب معمولاً به دو جزء تجزیه می شود که به صورت مماس و عادی بر مسیر حرکت نقطه هدایت می شوند.

سپس شتاب نقطه در زمان t را می توان به صورت زیر نشان داد

اجازه دهید محدودیت های مؤلفه را با و نشان دهیم.

جهت بردار به مقدار بازه زمانی?t بستگی ندارد.

این شتاب همیشه با جهت سرعت منطبق است، یعنی به صورت مماس بر خط سیر نقطه هدایت می شود و به همین دلیل شتاب مماسی یا مماس نامیده می شود.

جزء دوم شتاب یک نقطه عمود بر مماس مسیر در یک نقطه معین به سمت تقعر منحنی هدایت می شود و بر تغییر جهت بردار سرعت تأثیر می گذارد. به این جزء شتاب، شتاب عادی می گویند.

از آنجایی که مقدار عددی بردار برابر است با افزایش سرعت نقطه در بازه زمانی در نظر گرفته شده t، پس مقدار عددی شتاب مماسی

مقدار عددی شتاب مماسی یک نقطه برابر است با مشتق زمانی مقدار عددی سرعت. مقدار عددی شتاب عادی یک نقطه برابر است با مجذور سرعت نقطه تقسیم بر شعاع انحنای مسیر در نقطه مربوطه در منحنی.

شتاب کل در حین حرکت منحنی خط ناهموار یک نقطه از نظر هندسی از شتاب های مماسی و عادی تشکیل شده است.

روش های تعیین حرکت یک نقطه

حرکت نقطه تنظیم - این به معنای نشان دادن قاعده ای است که در هر لحظه از زمان می توان موقعیت آن را در یک چارچوب مرجع معین تعیین کرد.

عبارت ریاضی این قانون نامیده می شود قانون حرکت ، یا معادله حرکتنکته ها.

سه راه برای تعیین حرکت یک نقطه وجود دارد:

بردار;

هماهنگ كردن;

طبیعی.

به حرکت را به صورت برداری تنظیم کنید، نیاز به:

à انتخاب یک مرکز ثابت؛

à تعیین موقعیت نقطه با استفاده از بردار شعاع، که از مرکز ثابت شروع می شود و به نقطه متحرک M ختم می شود.

à این بردار شعاع را تابعی از زمان t تعریف کنید: .

اصطلاح

تماس گرفت قانون حرکت بردارنقطه، یا معادله برداری حرکت.

!! بردار شعاع – این فاصله (مدول برداری) + جهت از مرکز O تا نقطه M است که می توان آن را به روش های مختلفی تعیین کرد، مثلاً با زوایایی با جهت های داده شده.

برای تنظیم حرکت روش مختصات ، نیاز به:

à انتخاب و رفع یک سیستم مختصات (هر: دکارتی، قطبی، کروی، استوانه ای، و غیره)؛

à تعیین موقعیت یک نقطه با استفاده از مختصات مناسب.

à این مختصات را تابعی از زمان t تنظیم کنید.

بنابراین در سیستم مختصات دکارتی باید توابع را نشان داد

در سیستم مختصات قطبی، شعاع قطبی و زاویه قطبی باید به عنوان تابعی از زمان تعریف شوند:

به طور کلی، با روش مختصات تعیین، مختصاتی که با آنها موقعیت فعلی نقطه تعیین می شود، باید تابع زمان مشخص شوند.

برای اینکه بتوانید حرکت یک نقطه را تنظیم کنید به روش طبیعی، باید آن را بدانید خط سیر . اجازه دهید تعریف خط سیر یک نقطه را بنویسیم.

مسیر حرکت نقاط نامیده می شود مجموعه ای از موقعیت های آن در هر دوره زمانی(معمولا از 0 تا +¥).

در مثالی که چرخی در امتداد جاده می غلتد، مسیر نقطه 1 است سیکلوئیدو نکات 2 - رولت; در سیستم مرجع مرتبط با مرکز چرخ، مسیر هر دو نقطه است دایره.

برای تنظیم حرکت یک نقطه به روش طبیعی، شما نیاز دارید:

à مسیر نقطه را بدانید.

à در مسیر، مبدا و جهت مثبت را انتخاب کنید.

à تعیین موقعیت فعلی یک نقطه با طول قوس مسیر از مبدا تا این موقعیت فعلی.

à این طول را به عنوان تابعی از زمان نشان دهید.

عبارت تعریف کننده تابع فوق است

تماس گرفت قانون حرکت یک نقطه در طول یک مسیر، یا معادله طبیعی حرکتنکته ها.

بسته به نوع تابع (4)، یک نقطه در طول یک مسیر می تواند به روش های مختلف حرکت کند.

3. مسیر یک نقطه و تعریف آن.

تعریف مفهوم «مسیر یک نقطه» قبلاً در سؤال 2 ارائه شد. اجازه دهید سؤال تعیین مسیر یک نقطه را در زمانی که به روش های مختلفوظایف حرکتی

راه طبیعی: مسیر باید داده شود، پس نیازی به یافتن آن نیست.

روش برداری : با توجه به برابری ها باید به روش مختصات بروید

روش مختصات: لازم است زمان t را از معادلات حرکت (2) یا (3) حذف کنیم.

معادلات مختصات حرکت مسیر را مشخص می کند به صورت پارامتری، از طریق پارامتر t (زمان). برای به دست آوردن یک معادله صریح برای منحنی، پارامتر باید از معادلات حذف شود.

پس از حذف زمان از معادلات (2)، دو معادله از سطوح استوانه ای به دست می آید، به عنوان مثال، به شکل

محل تلاقی این سطوح مسیر حرکت نقطه خواهد بود.

وقتی نقطه ای در امتداد یک صفحه حرکت می کند، مسئله ساده تر می شود: پس از حذف زمان از دو معادله

معادله مسیر به یکی از اشکال زیر به دست می آید:

چه زمانی خواهد بود، بنابراین مسیر نقطه، شاخه سمت راست سهمی خواهد بود:

از معادلات حرکت چنین برمی آید که

بنابراین، مسیر نقطه، بخشی از سهمی خواهد بود که در نیم صفحه سمت راست قرار دارد:

سپس می گیریم

از آنجایی که کل بیضی مسیر نقطه خواهد بود.

در مرکز بیضی در مبدأ O خواهد بود. در یک دایره می گیریم. پارامتر k بر شکل بیضی تأثیر نمی گذارد، سرعت حرکت نقطه در امتداد بیضی به آن بستگی دارد. اگر در معادلات cos و sin را عوض کنید، مسیر تغییر نمی کند (همان بیضی)، اما موقعیت اولیه نقطه و جهت حرکت تغییر می کند.

سرعت یک نقطه مشخص کننده "سرعت" تغییر در موقعیت آن است. به طور رسمی: سرعت - حرکت یک نقطه در واحد زمان.

تعریف دقیق

سپس نگرش

و چرا نیاز است؟ ما قبلاً می دانیم که یک سیستم مرجع، نسبیت حرکت و یک نقطه مادی چیست. خوب، وقت آن است که ادامه دهیم! در اینجا مفاهیم اساسی سینماتیک را بررسی می کنیم، مفیدترین فرمول ها را برای مبانی سینماتیک گرد هم می آوریم و یک مثال عملی از حل مسئله ارائه می دهیم.

بیایید این مشکل را حل کنیم: یک نقطه در دایره ای به شعاع 4 متر حرکت می کند. قانون حرکت آن با معادله S=A+Bt^2 بیان می شود. A=8m، B=-2m/s^2. شتاب عادی یک نقطه در چه نقطه ای از زمان برابر با 9 m/s^2 است؟ سرعت، مماس و شتاب کل نقطه را برای این لحظه در زمان بیابید.

راه حل: می دانیم که برای یافتن سرعت باید اولین مشتق زمان قانون حرکت را بگیریم و شتاب عادی برابر است با ضریب مجذور سرعت و شعاع دایره ای که نقطه در امتداد آن قرار دارد. در حال حرکت است. مسلح به این دانش، مقادیر مورد نیاز را پیدا خواهیم کرد.

برای حل مشکلات به کمک نیاز دارید؟ خدمات دانشجویی حرفه ای آماده ارائه آن می باشد.

1.2. حرکت مستقیم

1.2.4. سرعت متوسط

یک نقطه مادی (جسم) فقط با یکنواخت سرعت خود را بدون تغییر حفظ می کند حرکت مستقیم. اگر حرکت ناهموار باشد (از جمله متغیر یکنواخت)، سرعت بدن تغییر می کند. این حرکت با سرعت متوسط ​​مشخص می شود. بین سرعت متوسط ​​سفر و متوسط ​​سرعت زمین تمایز قائل شده است.

سرعت حرکت متوسطیک کمیت فیزیکی برداری است که با فرمول تعیین می شود

v → r = Δ r → Δ t،

که در آن Δ r → بردار جابجایی است. ∆t فاصله زمانی است که در طی آن این حرکت رخ داده است.

میانگین سرعت زمینیک کمیت فیزیکی اسکالر است و با فرمول محاسبه می شود

v s = S کل t کل،

که در آن S کل = S 1 + S 1 + ... + S n; ttot = t 1 + t 2 + ... + t N .

در اینجا S 1 = v 1 t 1 - بخش اول مسیر. v 1 - سرعت عبور از بخش اول مسیر (شکل 1.18). t 1 - زمان حرکت در قسمت اول مسیر و غیره.

برنج. 1.18

مثال 7. یک چهارم مسیر اتوبوس با سرعت 36 کیلومتر در ساعت حرکت می کند، یک چهارم راه - 54 کیلومتر در ساعت، بقیه راه - با سرعت 72 کیلومتر در ساعت. میانگین سرعت اتوبوس در زمین را محاسبه کنید.

راه حل. کل مسیر طی شده توسط اتوبوس را به صورت S نشان می دهیم:

استوت = اس.

S 1 = S / 4 - مسیر طی شده توسط اتوبوس در بخش اول،

S 2 = S / 4 - مسیر طی شده توسط اتوبوس در بخش دوم،

S 3 = S / 2 - مسیر طی شده توسط اتوبوس در بخش سوم.

زمان سفر اتوبوس با فرمول های زیر تعیین می شود:

• در بخش اول (S 1 = S /4) -

  t 1 = S 1 v 1 = S 4 v 1 ;

• در بخش دوم (S 2 = S /4) -

  t 2 = S 2 v 2 = S 4 v 2 ;

• در بخش سوم (S 3 = S /2) -

  t 3 = S 3 v 3 = S 2 v 3 .

کل زمانحرکت اتوبوس عبارت است از:

t مجموع = t 1 + t 2 + t 3 = S 4 v 1 + S 4 v 2 + S 2 v 3 = S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) .

v s = S کل t مجموع = S S (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) =

1 (1 4 v 1 + 1 4 v 2 + 1 2 v 3) = 4 v 1 v 2 v 3 v 2 v 3 + v 1 v 3 + 2 v 1 v 2 .

v s = 4 ⋅ 36 ⋅ 54 ⋅ 72 54 ⋅ 72 + 36 ⋅ 72 + 2 ⋅ 36 ⋅ 54 = 54 کیلومتر در ساعت.

مثال 8. اتوبوس شهری یک پنجم زمان خود را صرف توقف می کند و بقیه زمان را با سرعت 36 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. میانگین سرعت اتوبوس در زمین را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید کل زمان سفر اتوبوس در مسیر را با t نشان دهیم:

ttot = t.

t 1 = t /5 - زمان صرف شده برای توقف،

t 2 = 4t /5 - زمان سفر با اتوبوس.

مسافت طی شده با اتوبوس:

• در طول زمان t 1 = t /5 -

  S 1 = v 1 t 1 = 0،

از آنجایی که سرعت باس v 1 در یک بازه زمانی معین صفر است (v 1 = 0).

• در طول زمان t 2 = 4t /5 -

  S 2 = v 2 t 2 = v 2 4 t 5 = 4 5 v 2 t ,

  که در آن v 2 سرعت اتوبوس در یک بازه زمانی معین (v 2 = 36 km/h) است.

مسیر کلی اتوبوس:

S کل = S 1 + S 2 = 0 + 4 5 v 2 t = 4 5 v 2 t.

میانگین سرعت زمین اتوبوس را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم

v s = S کل t مجموع = 4 5 v 2 t t = 4 5 v 2.

محاسبه مقدار متوسط ​​سرعت زمین را نشان می دهد:

v s = 4 5 ⋅ 36 = 30 کیلومتر در ساعت.

مثال 9. معادله حرکت یک نقطه مادی به شکل x (t) = (9.0 − 6.0t + 2.0t 2) m است که در آن مختصات بر حسب متر و زمان بر حسب ثانیه داده می شود. میانگین سرعت زمین و میانگین سرعت حرکت یک نقطه مادی را در سه ثانیه اول حرکت تعیین کنید.

راه حل. برای تعیین سرعت حرکت متوسطمحاسبه جابجایی یک نقطه مادی ضروری است. ماژول حرکت یک نقطه مادی در بازه زمانی از t 1 = 0 s تا t 2 = 3.0 s به عنوان تفاوت در مختصات محاسبه می شود:

| Δ r → | = | x (t 2) - x (t 1) | ،

جایگزینی مقادیر در فرمول برای محاسبه مدول جابجایی به دست می دهد:

| Δ r → | = | x (t 2) - x (t 1) | = 9.0 - 9.0 = 0 متر.

بنابراین، جابجایی نقطه مادی صفر است. در نتیجه، ماژول میانگین سرعت حرکت نیز می باشد برابر با صفر:

| v → r | = | Δ r → | t 2 - t 1 = 0 3.0 - 0 = 0 m/s.

برای تعیین میانگین سرعت زمینشما باید مسیر طی شده توسط یک نقطه مادی را در بازه زمانی از t 1 = 0 s تا t 2 = 3.0 s محاسبه کنید. حرکت نقطه به طور یکنواخت آهسته است، بنابراین باید دریابید که آیا نقطه توقف در بازه مشخص شده قرار می گیرد یا خیر.

برای این کار، قانون تغییر سرعت یک نقطه مادی در طول زمان را به شکل زیر می نویسیم:

v x = v 0 x + a x t = - 6.0 + 4.0 تن،

که در آن v 0 x = -6.0 m/s پیش بینی سرعت اولیه بر روی محور Ox است. a x = = 4.0 m/s 2 - پیش بینی شتاب بر روی محور نشان داده شده.

بیایید نقطه توقف را از شرایط پیدا کنیم

v (τ استراحت) = 0،

آن ها

τ استراحت = v 0 a = 6.0 4.0 = 1.5 ثانیه.

نقطه توقف در بازه زمانی t 1 = 0 s تا t 2 = 3.0 s قرار می گیرد. بنابراین، مسافت طی شده را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم

S = S 1 + S 2،

که در آن S 1 = | x (τ استراحت) - x (t 1) | - مسیر طی شده توسط نقطه مادی تا توقف، یعنی. در طول زمان از t 1 = 0 s تا τ استراحت = 1.5 s. S 2 = | x (t 2) - x (τ استراحت) | - مسیر طی شده توسط نقطه مادی پس از توقف، یعنی. در طول زمان استراحت τ = 1.5 ثانیه تا t 1 = 3.0 ثانیه.

بیایید مقادیر مختصات را در زمان های مشخص شده محاسبه کنیم:

x (t 1) = 9.0 - 6.0 t 1 + 2.0 t 1 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 0 + 2.0 ⋅ 0 2 = 9.0 متر؛

x (ت استراحت) = 9.0 - 6.0 τ استراحت + 2.0 τ استراحت 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 1.5 + 2.0 ⋅ (1.5) 2 = 4.5 متر ;

x (t 2) = 9.0 - 6.0 t 2 + 2.0 t 2 2 = 9.0 - 6.0 ⋅ 3.0 + 2.0 ⋅ (3.0) 2 = 9.0 متر.

مقادیر مختصات به شما امکان می دهد مسیرهای S 1 و S 2 را محاسبه کنید:

S 1 = | x (τ استراحت) - x (t 1) | = | 4.5 − 9.0 | = 4.5 متر؛

S 2 = | x (t 2) - x (τ استراحت) | = | 9.0 - 4.5 | = 4.5 متر،

و همچنین کل مسافت طی شده:

S = S 1 + S 2 = 4.5 + 4.5 = 9.0 متر.

در نتیجه مقدار مورد نظر میانگین سرعت زمین نقطه ماده برابر است با

v s = S t 2 - t 1 = 9.0 3.0 - 0 = 3.0 m/s.

مثال 10. نمودار طرح ریزی سرعت یک نقطه مادی در برابر زمان یک خط مستقیم است و از نقاط (0; 8.0) و (12; 0) می گذرد، جایی که سرعت بر حسب متر بر ثانیه، زمان در ثانیه میانگین سرعت زمین برای 16 ثانیه حرکت چند برابر از میانگین سرعت حرکت برای همان زمان بیشتر است؟

راه حل. نموداری از پیش بینی سرعت بدن در برابر زمان در شکل نشان داده شده است.

برای محاسبه گرافیکی مسیر طی شده توسط یک نقطه مادی و مدول حرکت آن، لازم است مقدار پیش‌بینی سرعت در زمانی برابر با 16 ثانیه تعیین شود.

دو راه برای تعیین مقدار v x در یک نقطه مشخص از زمان وجود دارد: تحلیلی (از طریق معادله یک خط مستقیم) و گرافیکی (از طریق شباهت مثلث ها). برای یافتن v x از روش اول استفاده می کنیم و با استفاده از دو نقطه معادله یک خط مستقیم را ترسیم می کنیم:

t − t 1 t 2 − t 1 = v x − v x 1 v x 2 − v x 1،

جایی که (t 1 ; v x 1) - مختصات نقطه اول. (t 2 ؛ v x 2) - مختصات نقطه دوم. با توجه به شرایط مسئله: t 1 = 0، v x 1 = 8.0، t 2 = 12، v x 2 = 0. با در نظر گرفتن مقادیر مختصات خاص، این معادله شکل می گیرد:

t - 0 12 - 0 = v x - 8.0 0 - 8.0،

v x = 8.0 - 2 3 t.

در t = 16 s مقدار پیش بینی سرعت است

| v x | = 8 3 متر بر ثانیه.

این مقدار را می توان از شباهت مثلث ها نیز به دست آورد.

• اجازه دهید مسیر طی شده توسط نقطه مادی را به عنوان مجموع مقادیر S 1 و S 2 محاسبه کنیم:

  S = S 1 + S 2،

  که در آن S 1 = 1 2 ⋅ 8.0 ⋅ 12 = 48 متر - مسیر طی شده توسط نقطه مادی در بازه زمانی از 0 ثانیه تا 12 ثانیه. S 2 = 1 2 ⋅ (16 − 12) ⋅ | v x | = 1 2 ⋅ 4.0 ⋅ 8 3 = = 16 3 متر - مسیر طی شده توسط نقطه مادی در بازه زمانی 12 ثانیه تا 16 ثانیه.

کل مسافت طی شده است

S = S 1 + S 2 = 48 + 16 3 = 160 3 متر.

میانگین سرعت زمین یک نقطه مادی برابر است با

v s = S t 2 − t 1 = 160 3 ⋅ 16 = 10 3 m/s.

• اجازه دهید مقدار حرکت یک نقطه مادی را به عنوان مدول اختلاف بین مقادیر S 1 و S 2 محاسبه کنیم:

  S = | S 1 − S 2 | = | 48 − 16 3 | = 128 3 متر.

میانگین سرعت حرکت است

| v → r | = | Δ r → | t 2 − t 1 = 128 3 ⋅ 16 = 8 3 m/s.

نسبت سرعت مورد نیاز است

v s | v → r | = 10 3 ⋅ 3 8 = 10 8 = 1.25.

میانگین سرعت زمین یک نقطه مادی 1.25 برابر بیشتر از مدول سرعت متوسط ​​حرکت است.