فرمول جبری برای مثال های اعداد مختلط اعداد مختلط و عملیات جبری روی آنها

یک معادله درجه دوم را در نظر بگیرید.

بیایید ریشه های آن را مشخص کنیم.

هیچ عدد واقعی وجود ندارد که مربع آن -1 باشد. اما اگر عملگر را با یک فرمول تعریف کنیم منبه عنوان یک واحد خیالی، سپس جواب این معادله را می توان به صورت . که در آن و - اعداد مختلط که -1 جزء واقعی، 2 یا در حالت دوم -2 قسمت خیالی است. قسمت خیالی نیز یک عدد واقعی است. قسمت خیالی ضرب در واحد خیالی به معنای از قبل است عدد خیالی.

به طور کلی، یک عدد مختلط شکل دارد

z = ایکس + iy ,

جایی که x، y– اعداد حقیقی – واحد خیالی. در تعدادی از علوم کاربردی، به عنوان مثال، در مهندسی برق، الکترونیک، تئوری سیگنال، واحد خیالی با نشان داده می شود. j. اعداد واقعی x = Re(z)و y =من هستم(ز)نامیده می شوند بخش های واقعی و خیالیشماره z.عبارت نامیده می شود فرم جبرینوشتن یک عدد مختلط

هر عدد واقعی یک مورد خاص از یک عدد مختلط در شکل است . یک عدد خیالی نیز یک مورد خاص از یک عدد مختلط است .

تعریف مجموعه اعداد مختلط ج

این عبارت به شرح زیر است: مجموعه با، متشکل از عناصر به گونه ای است که ایکسو yمتعلق به مجموعه اعداد واقعی است آرو یک واحد خیالی است. توجه داشته باشید که و غیره

دو عدد مختلط و مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که اجزای واقعی و خیالی آنها مساوی باشند، یعنی. و .

اعداد و توابع پیچیده به طور گسترده در علم و فناوری، به ویژه، در مکانیک، تجزیه و تحلیل و محاسبه مدارهای جریان متناوب، الکترونیک آنالوگ، در تئوری و پردازش سیگنال ها، در تئوری کنترل خودکار و سایر علوم کاربردی استفاده می شود.

1. محاسبات اعداد مختلط

جمع دو عدد مختلط شامل جمع قسمت های واقعی و خیالی آنهاست، یعنی.

بر این اساس، تفاوت دو عدد مختلط

عدد مختلط تماس گرفت به طور جامع مزدوجعدد z =x+iy

اعداد مزدوج مختلط z و z * در علائم قسمت خیالی با هم تفاوت دارند. بدیهی است که

.

هر برابری بین عبارات پیچیده اگر در همه جای این برابری وجود داشته باشد، معتبر باقی می ماند منجایگزین توسط - من، یعنی برو به برابری اعداد مزدوج. شماره منو – مناز نظر جبری غیر قابل تشخیص هستند، زیرا .

حاصل ضرب (ضرب) دو عدد مختلط را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

تقسیم دو عدد مختلط:

مثال:

1. هواپیمای پیچیده

یک عدد مختلط را می توان به صورت گرافیکی در یک سیستم مختصات مستطیلی نشان داد. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی را در صفحه تعریف کنیم (x، y).

روی محور گاو نرما قطعات واقعی را قرار خواهیم داد ایکس، نامیده می شود محور واقعی (واقعی).، روی محور اوه- قسمت های خیالی yاعداد مختلط. نامیده می شود محور خیالی. در این حالت هر عدد مختلط مربوط به نقطه خاصی از صفحه است و چنین صفحه ای نامیده می شود هواپیمای پیچیده. نقطه آصفحه مختلط با بردار مطابقت خواهد داشت OA.

عدد ایکستماس گرفت اوکیساعدد مختلط، عدد y – ترتیب.

یک جفت اعداد مزدوج مختلط با نقاطی که به طور متقارن حول محور واقعی قرار دارند نشان داده می شود.

اگر در هواپیما تنظیم کردیم سیستم مختصات قطبی، سپس هر عدد مختلط zتوسط مختصات قطبی تعیین می شود. که در آن مدولشماره شعاع قطبی نقطه و زاویه است - زاویه قطبی یا آرگومان عدد مختلط آن z.

مدول یک عدد مختلط همیشه غیر منفی آرگومان یک عدد مختلط به طور یکتا تعیین نمی شود. مقدار اصلی آرگومان باید شرط را برآورده کند . هر نقطه از صفحه مختلط نیز با مقدار کلی آرگومان مطابقت دارد. آرگومان هایی که مضرب 2π با هم تفاوت دارند برابر در نظر گرفته می شوند. آرگومان عدد صفر تعریف نشده است.

ارزش اصلی آرگومان با عبارات زیر تعیین می شود:

بدیهی است که

که در آن
, .

نمایش اعداد مختلط zمانند

تماس گرفت فرم مثلثاتی عدد مختلط.

مثال.

1. شکل نمایی اعداد مختلط

تجزیه در سری Maclaurinبرای توابع آرگومان واقعی دارای فرم:

برای یک تابع نمایی با آرگومان پیچیده zتجزیه مشابه است

.

بسط سری Maclaurin برای تابع نمایی آرگومان خیالی می تواند به صورت نمایش داده شود

هویت حاصل نامیده می شود فرمول اویلر.

برای استدلال منفی، آن شکل دارد

با ترکیب این عبارات می توانید عبارات زیر را برای سینوس و کسینوس تعریف کنید

.

با استفاده از فرمول اویلر، از شکل مثلثاتی نمایش اعداد مختلط

در دسترس نشان دهنده(نمایی، قطبی) شکل یک عدد مختلط، یعنی. نمایش آن در فرم

,

جایی که - مختصات قطبی یک نقطه با مختصات مستطیلی ( ایکس،y).

مزدوج یک عدد مختلط به صورت نمایی به صورت زیر نوشته می شود.

برای شکل نمایی، تعیین فرمول های زیر برای ضرب و تقسیم اعداد مختلط آسان است

یعنی به صورت نمایی، حاصل ضرب و تقسیم اعداد مختلط ساده تر از شکل جبری است. هنگام ضرب، ماژول های فاکتورها ضرب می شوند و آرگومان ها اضافه می شوند. این قانون برای هر تعدادی از عوامل اعمال می شود. به ویژه، هنگام ضرب یک عدد مختلط zبر منبردار z 90 خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد

در تقسیم، مدول صورت بر مدول مخرج تقسیم می شود و برهان مخرج از برهان صورت کسر می شود.

با استفاده از شکل نمایی اعداد مختلط، می توانیم عباراتی را برای هویت های مثلثاتی شناخته شده به دست آوریم. مثلاً از هویت

با استفاده از فرمول اویلر می توانیم بنویسیم

با مساوی کردن اجزای واقعی و خیالی در این عبارت، عباراتی برای کسینوس و سینوس مجموع زاویه ها به دست می آوریم.

1. توان ها، ریشه ها و لگاریتم های اعداد مختلط

افزایش یک عدد مختلط به توان طبیعی nطبق فرمول تولید می شود

مثال. بیایید محاسبه کنیم .

بیایید یک عدد را تصور کنیم به صورت مثلثاتی

’

با استفاده از فرمول توان، به دست می آوریم

با قرار دادن مقدار در عبارت r= 1، ما به اصطلاح دریافت می کنیم فرمول Moivre، که با آن می توانید عباراتی را برای سینوس ها و کسینوس های چندین زاویه تعیین کنید.

ریشه n-ام قدرت یک عدد مختلط zاین دارد nمقادیر مختلف که توسط عبارت تعیین می شود

مثال. بیا پیداش کنیم

برای این کار عدد مختلط () را به صورت مثلثاتی بیان می کنیم

.

با استفاده از فرمول محاسبه ریشه یک عدد مختلط، به دست می آوریم

لگاریتم یک عدد مختلط z- این شماره است w، برای کدام . لگاریتم طبیعی یک عدد مختلط دارای بی نهایت مقدار است و با فرمول محاسبه می شود

از یک بخش واقعی (کسینوس) و خیالی (سینوس) تشکیل شده است. این ولتاژ را می توان به عنوان بردار طول نشان داد ام، فاز اولیه (زاویه)، چرخش با سرعت زاویه ای ω .

علاوه بر این، اگر توابع پیچیده اضافه شوند، بخش های واقعی و خیالی آنها اضافه می شود. اگر یک تابع مختلط در یک تابع ثابت یا واقعی ضرب شود، اجزای واقعی و خیالی آن در یک عامل ضرب می شوند. تمایز / ادغام چنین تابع پیچیده ای به تمایز / ادغام بخش های واقعی و خیالی منتهی می شود.

به عنوان مثال، تمایز بیان استرس پیچیده

ضرب آن در است iω بخش واقعی تابع f(z) و - بخش خیالی تابع مثال ها: .

معنی zبا یک نقطه در صفحه مختلط z و مقدار مربوطه نشان داده می شود w- یک نقطه در صفحه پیچیده w. وقتی نمایش داده می شود w = f(z)خطوط هواپیما zتبدیل به خطوط هواپیما w، شکل های یک صفحه به شکل های دیگری تبدیل می شود، اما شکل خطوط یا شکل ها می تواند به طور قابل توجهی تغییر کند.