چهار ضلعی. چهار گوش محدب. مجموع زوایای یک چهار ضلعی. متوازی الاضلاع. انواع متوازی الاضلاع و خواص آنها. لوزی، مستطیل، مربع. ذوزنقه و خواص آن چند ضلعی، چند ضلعی محدب، چهار ضلعی

یکی از جالب ترین مباحث هندسه از درس مدرسه "چهارضلعی" (پایه هشتم) است. چه نوع چنین فیگورهایی وجود دارد، چه ویژگی های خاصی دارند؟ چه چیزی در مورد چهارضلعی با زوایای نود درجه منحصر به فرد است؟ بیایید همه چیز را دریابیم.

به کدام شکل هندسی چهارضلعی می گویند؟

چند ضلعی هایی که از چهار ضلع و بر این اساس از چهار راس (زاویه) تشکیل شده اند در هندسه اقلیدسی چهار ضلعی نامیده می شوند.

تاریخچه نام این نوع چهره جالب است. در زبان روسی، اسم "چهار گوشه" از عبارت "چهار گوشه" تشکیل می شود (درست مانند "مثلث" - سه گوشه، "پنج ضلعی" - پنج گوشه و غیره).

با این حال، در لاتین (که بسیاری از اصطلاحات هندسی از طریق آن به اکثر زبان های جهان آمد) به آن چهار ضلعی می گویند. این کلمه از عدد quadri (چهار) و اسم latus (سمت) تشکیل شده است. بنابراین می توان نتیجه گرفت که گذشتگان این چند ضلعی را چیزی بیش از "چهارضلعی" نمی نامیدند.

ضمناً، این نام (با تأکید بر وجود چهار ضلع، به جای گوشه، در اشکال از این نوع) در برخی حفظ شده است. زبان های مدرن. به عنوان مثال، در انگلیسی - چهار ضلعی و در فرانسه - quadrilatère.

علاوه بر این، در بیشتر زبان های اسلاوی، نوع شکل مورد نظر هنوز با تعداد زوایا مشخص می شود، نه اضلاع. به عنوان مثال، در اسلواکی (štvoruholník)، در بلغاری ("chetirigalnik")، در بلاروس ("chatyrokhkutnik")، در اوکراین ("chotirikutnik")، در چک (čtyřúhelník)، اما در لهستانی چهار ضلعی با تعداد نامیده می شود. طرف - czworoboczny.

چه نوع چهارضلعی در برنامه درسی مدرسه مورد مطالعه قرار می گیرد؟

در هندسه مدرن، 4 نوع چند ضلعی با چهار ضلع وجود دارد.

با این حال، به دلیل ویژگی های بیش از حد پیچیده برخی از آنها، دانش آموزان مدرسه تنها با دو نوع در درس هندسه آشنا می شوند.

متوازی الاضلاع.اضلاع مقابل چنین چهار ضلعی به صورت جفت با یکدیگر موازی هستند و بر این اساس، جفت نیز برابر هستند.
ذوزنقه (ذوزنقه یا ذوزنقه).این چهارضلعی از دو ضلع متضاد به موازات یکدیگر تشکیل شده است. اما جفت طرف دیگر این ویژگی را ندارد.

انواع چهار ضلعی های مطالعه نشده در درس هندسه مدرسه

علاوه بر موارد فوق، دو نوع چهارضلعی دیگر نیز وجود دارد که به دلیل پیچیدگی خاص، دانش آموزان در درس هندسه با آنها آشنا نمی شوند.

دلتوئید (بادبادک)- شکلی که در آن طول هر یک از دو جفت ضلع مجاور برابر است. این چهارضلعی به این دلیل نام خود را به دست آورد که ظاهرکاملاً شبیه حرف الفبای یونانی - "دلتا" است.
ضد متوازی الاضلاع- این رقم به اندازه نامش پیچیده است. در آن، دو ضلع مقابل برابر هستند، اما در عین حال موازی یکدیگر نیستند. علاوه بر این، اضلاع متقابل طولانی این چهار ضلعی، مانند امتداد دو ضلع دیگر، که کوتاهتر هستند، یکدیگر را قطع می کنند.

انواع متوازی الاضلاع

با پرداختن به انواع اصلی چهارگوش، ارزش توجه به انواع فرعی آن را دارد. بنابراین، تمام متوازی الاضلاع نیز به نوبه خود به چهار گروه تقسیم می شوند.

متوازی الاضلاع کلاسیک
لوزی- یک شکل چهار گوش با اضلاع مساوی. قطرهای آن در زوایای قائم با هم قطع می شوند و لوزی را به چهار مثلث قائم الزاویه مساوی تقسیم می کنند.
مستطیل.نام برای خودش صحبت می کند. از آنجایی که یک چهار ضلعی با زوایای قائمه است (هر کدام برابر نود درجه است). اضلاع مقابل آن نه تنها موازی با هم هستند، بلکه برابر هستند.
مربع.مانند یک مستطیل، چهار ضلعی است که زوایای آن قائمه است، اما همه اضلاع آن برابر هستند. به این ترتیب این شکل به یک لوزی نزدیک است. بنابراین می توان گفت که مربع تلاقی بین یک لوزی و یک مستطیل است.

خواص ویژه یک مستطیل

هنگام در نظر گرفتن ارقامی که در آنها هر یک از زوایای بین اضلاع برابر با نود درجه است، ارزش نگاهی دقیق تر به مستطیل را دارد. بنابراین، چه ویژگی های خاصی دارد که آن را از متوازی الاضلاع دیگر متمایز می کند؟

برای ادعای مستطیل بودن متوازی الاضلاع باید مورب های آن با یکدیگر مساوی و هر یک از زوایا قائمه باشند. علاوه بر این، مربع قطرهای آن باید با مجموع مربع های دو ضلع مجاور این شکل مطابقت داشته باشد. به عبارت دیگر، یک مستطیل کلاسیک از دو تشکیل شده است مثلث های قائم الزاویهو در آنها همانطور که مشخص است نقش هیپوتنوس را قطر چهارضلعی مورد نظر بازی می کند.

آخرین ویژگی ذکر شده این فیگور نیز خاصیت خاص آن است. علاوه بر این، موارد دیگری نیز وجود دارد. مثلاً اینکه تمام اضلاع چهارضلعی مورد مطالعه با زوایای قائم، ارتفاع آن نیز می باشد.

علاوه بر این، اگر دور هر مستطیلی دایره ای رسم شود، قطر آن برابر با قطر شکل محاط خواهد بود.

از دیگر خصوصیات این چهارضلعی مسطح بودن آن و عدم وجود آن در هندسه نااقلیدسی است. این به این دلیل است که در چنین سیستمی هیچ شکل چهار گوش که مجموع زوایای آن برابر با سیصد و شصت درجه است وجود ندارد.

مربع و ویژگی های آن

با درک علائم و خواص مستطیل، ارزش توجه به مورد دوم را دارد برای علم شناخته شده استیک چهار ضلعی با زاویه های قائم (این یک مربع است).

این شکل که در واقع همان مستطیل است، اما با اضلاع مساوی، تمام خصوصیات خود را دارد. اما بر خلاف آن، مربع در هندسه غیر اقلیدسی وجود دارد.

علاوه بر این، این رقم ویژگی های متمایز دیگری نیز دارد. به عنوان مثال، این واقعیت است که مورب های یک مربع نه تنها با یکدیگر برابرند، بلکه در زوایای قائم همدیگر را قطع می کنند. بنابراین، مانند یک لوزی، یک مربع از چهار مثلث قائم الزاویه تشکیل شده است که مورب ها آن را به آنها تقسیم می کنند.

علاوه بر این، این رقم متقارن ترین در بین تمام چهارضلعی ها است.

مجموع زوایای یک چهارضلعی چقدر است؟

هنگام در نظر گرفتن ویژگی های چهار ضلعی هندسه اقلیدسی، توجه به زوایای آنها ارزش دارد.

بنابراین، در هر یک از شکل های بالا، صرف نظر از اینکه آیا زاویه قائمه دارد یا نه، مجموع مجموع آنها همیشه یکسان است - سیصد و شصت درجه. این یک ویژگی متمایز منحصر به فرد این نوع فیگور است.

محیط چهارضلعی

پس از فهمیدن اینکه مجموع زوایای یک چهار ضلعی برابر است و سایر ویژگی های خاص اشکال از این نوع، ارزش آن را دارد که بفهمیم از چه فرمول هایی برای محاسبه محیط و مساحت آنها بهتر استفاده می شود.

برای تعیین محیط هر چهار ضلعی، فقط باید طول تمام اضلاع آن را با هم جمع کنید.

به عنوان مثال، در شکل KLMN، محیط آن را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد: P = KL + LM + MN + KN. اگر اعداد را در اینجا جایگزین کنید، به دست می آورید: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (سانتی متر).

در صورتی که شکل مورد نظر لوزی یا مربع باشد، برای یافتن محیط، می توانید فرمول را با ضرب کردن طول یکی از ضلع های آن در چهار ساده کنید: P = KL x 4. به عنوان مثال: 6 x 4. = 24 (سانتی متر).

فرمول های چهارضلعی با مساحت

پس از فهمیدن چگونگی پیدا کردن محیط هر شکل با چهار گوشه و کنار، ارزش آن را دارد که محبوب ترین و راه های سادهپیدا کردن منطقه آن

سایر خواص چهارضلعی: دایره ها و دایره ها

با در نظر گرفتن ویژگی ها و ویژگی های یک چهار ضلعی به عنوان شکل هندسه اقلیدسی، ارزش توجه به توانایی توصیف دایره های اطراف یا حک کردن دایره ها در داخل آن را دارد:

اگر مجموع زوایای مقابل یک شکل صد و هشتاد درجه باشد و به صورت جفت مساوی باشند، آنگاه می توان به راحتی یک دایره را در اطراف چنین چهارضلعی توصیف کرد.
طبق قضیه بطلمیوس، اگر یک دایره در خارج از چندضلعی با چهار ضلع محصور شود، حاصل ضرب قطرهای آن برابر است با مجموع حاصلضرب اضلاع مقابل شکل داده شده. بنابراین، فرمول به این صورت خواهد بود: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
اگر چهار ضلعی بسازید که مجموع اضلاع مقابل با هم برابر باشد، می توانید دایره ای در آن بنویسید.

با فهمیدن اینکه یک چهار ضلعی چیست، چه انواعی از آن وجود دارد، کدام یک از آنها فقط زوایای قائم بین اضلاع دارند و چه ویژگی هایی دارند، لازم است همه این مواد را به خاطر بسپارید. به طور خاص، فرمول هایی برای یافتن محیط و مساحت چند ضلعی ها در نظر گرفته شده است. از این گذشته، ارقام این شکل جزو رایج ترین ها هستند و این دانش می تواند برای محاسبات در زندگی واقعی مفید باشد.

"دایره"دیدیم که یک دایره را می توان دور هر مثلثی محصور کرد. یعنی برای هر مثلث دایره ای وجود دارد که هر سه رأس مثلث روی آن می نشیند. مثل این:

سوال: آیا می توان در مورد چهارضلعی نیز چنین گفت؟ آیا این درست است که همیشه دایره ای وجود خواهد داشت که هر چهار رأس چهارضلعی روی آن «نشستند»؟

معلوم شد که این درست نیست! یک چهارضلعی را نمی توان همیشه در یک دایره حک کرد. یک شرط بسیار مهم وجود دارد:

در تصویر ما:

نگاه کنید، زوایای و دراز کشیدن در مقابل یکدیگر، به این معنی که آنها مخالف هستند. پس در مورد زوایای و؟ به نظر می رسد متضاد هم هستند؟ آیا می توان زاویه گرفت و به جای زاویه و؟

البته که می توانی! نکته اصلی این است که چهارضلعی دارای دو زاویه متضاد است که مجموع آنها خواهد بود. سپس دو زاویه باقی مانده نیز به تنهایی جمع می شوند. باور نکن؟ بیایید مطمئن شویم. نگاه کن:

بگذار باشد. آیا به خاطر دارید مجموع هر چهار زاویه هر چهار ضلعی چقدر است؟ قطعا، . یعنی - همیشه! . اما، → .

جادو درست همانجا!

پس این را خیلی محکم به خاطر بسپار:

اگر یک چهار ضلعی در دایره محاط شود، مجموع هر دو زاویه مقابل آن برابر است با

و بالعکس:

اگر یک چهار ضلعی دو زاویه مقابل هم داشته باشد که مجموع آنها برابر است، آن چهار ضلعی حلقوی است.

ما همه اینها را در اینجا ثابت نمی کنیم (اگر علاقه مند هستید، به سطوح بعدی تئوری نگاه کنید). اما بیایید ببینیم که این واقعیت قابل توجه به چه چیزی منجر می شود: اینکه در یک چهارضلعی محاطی، مجموع زوایای مقابل برابر است.

به عنوان مثال، این سوال به ذهن خطور می کند: آیا می توان دایره ای را در اطراف متوازی الاضلاع توصیف کرد؟ بیایید ابتدا "روش poke" را امتحان کنیم.

یه جورایی درست نمیشه

حال بیایید دانش را به کار ببریم:

بیایید فرض کنیم که به نحوی توانستیم دایره ای را روی متوازی الاضلاع قرار دهیم. سپس قطعاً باید وجود داشته باشد: ، یعنی.

حال بیایید ویژگی های متوازی الاضلاع را به خاطر بسپاریم:

هر متوازی الاضلاع دارای زوایای متضاد برابر است.

معلوم شد که

در مورد زوایای و؟ خوب، البته، همان چیزی است.

نوشته شده → →

متوازی الاضلاع → →

شگفت انگیز است، درست است؟

معلوم می شود که اگر متوازی الاضلاع در یک دایره حک شده باشد، تمام زوایای آن برابر است، یعنی مستطیل است!

و در همان زمان - مرکز دایره با نقطه تلاقی قطرهای این مستطیل منطبق است. این به عنوان یک جایزه گنجانده شده است.

خوب، این بدان معنی است که ما متوجه شدیم که متوازی الاضلاع محاط شده در یک دایره است مستطیل.

حالا بیایید در مورد ذوزنقه صحبت کنیم. اگر ذوزنقه به صورت دایره ای حک شود چه اتفاقی می افتد؟اما معلوم می شود وجود خواهد داشت ذوزنقه متساوی الساقین. چرا؟

اجازه دهید ذوزنقه به صورت دایره ای حک شود. سپس دوباره، اما به دلیل موازی بودن خطوط و.

یعنی داریم: → → ذوزنقه متساوی الساقین.

حتی راحت تر از یک مستطیل، درست است؟ اما باید کاملاً به یاد داشته باشید - مفید خواهد بود:

بیایید دوباره مهمترین آنها را فهرست کنیم اظهارات اصلیمماس بر چهار ضلعی محاط شده در دایره:

یک چهار ضلعی در دایره محاط می شود اگر و فقط در صورتی که مجموع دو زاویه مقابل آن برابر باشد
متوازی الاضلاع حک شده در یک دایره - قطعا مستطیلو مرکز دایره با نقطه تقاطع قطرها منطبق است
ذوزنقه ای که در یک دایره حک شده است متساوی الاضلاع است.

چهارضلعی منقوش. سطح متوسط

مشخص است که برای هر مثلث یک دایره محدود وجود دارد (ما این را در مبحث "دایره محدود" ثابت کردیم). در مورد چهارضلعی چه می توان گفت؟ معلوم می شود که هر چهارضلعی را نمی توان در یک دایره حک کرد، و چنین قضیه ای وجود دارد:

یک چهار ضلعی در دایره محاط می شود اگر و فقط در صورتی که مجموع زوایای مقابل آن برابر باشد.

در نقاشی ما -

بیایید سعی کنیم بفهمیم چرا اینطور است؟ به عبارت دیگر، اکنون این قضیه را اثبات می کنیم. اما قبل از اینکه آن را ثابت کنید، باید درک کنید که خود بیانیه چگونه کار می کند. آیا به عبارت «پس و فقط آن زمان» در بیانیه دقت کردید؟ چنین کلماتی به این معنی است که ریاضیدانان مضر دو جمله را در یک جمله جمع کرده اند.

بیایید رمزگشایی کنیم:

«ثم» یعنی: اگر چهار ضلعی در دایره محاط شود، مجموع هر دو زاویه مقابل آن برابر است.
«فقط در این صورت» یعنی: اگر چهار ضلعی دو زاویه مقابل هم داشته باشد که مجموع آن ها برابر باشد، می توان آن چهارضلعی را در دایره نوشت.

درست مانند آلیس: "من به آنچه می گویم فکر می کنم" و "من آنچه را که فکر می کنم می گویم."

حالا بیایید بفهمیم که چرا هر دو 1 و 2 درست هستند؟

اول 1.

بگذارید یک چهار ضلعی در دایره محاط شود. مرکز آن را علامت زده و شعاع و. چه اتفاقی خواهد افتاد؟ آیا به خاطر دارید که یک زاویه محاطی نصف اندازه زاویه مرکزی مربوطه است؟ اگر به خاطر دارید، اکنون از آن استفاده خواهیم کرد، و اگر نه، نگاهی به موضوع بیندازید "دایره. زاویه حکاکی شده".

نوشته شده است

اما نگاه کن: .

دریافتیم که if - حک شده است، پس

خوب، واضح است که آن را نیز اضافه می کند. (ما هم باید در نظر بگیریم).

حالا "برعکس" یعنی 2.

بگذارید معلوم شود که در یک چهارضلعی مجموع دو زاویه مقابل برابر است. بیایید بگوییم اجازه دهید

ما هنوز نمی دانیم که آیا می توانیم یک دایره در اطراف آن را توصیف کنیم یا خیر. اما ما مطمئناً می دانیم که ما تضمین می کنیم که بتوانیم یک دایره در اطراف یک مثلث را توصیف کنیم. خب بیا انجام بدیمش.

اگر نقطه ای روی دایره "نشسته"، به ناچار به بیرون یا داخل ختم می شود.

بیایید هر دو مورد را در نظر بگیریم.

اجازه دهید نقطه اول خارج باشد. سپس قطعه در نقطه ای دایره را قطع می کند. بیایید وصل شویم و. نتیجه یک چهارضلعی محاط شده (!) است.

ما قبلاً در مورد آن می دانیم که مجموع زوایای مقابل آن برابر است، یعنی و با توجه به شرایط ما.

معلوم است که باید اینطور باشد.

اما این امکان وجود ندارد زیرا - یک زاویه خارجی برای و معنی است.

در داخل چطور؟ بیایید کارهای مشابه انجام دهیم. بگذارید نقطه در داخل باشد.

سپس ادامه قطعه دایره را در یک نقطه قطع می کند. باز هم - یک چهارضلعی منقوش، و بر حسب شرط باید برآورده شود، اما - یک زاویه خارجی برای و معنی، یعنی باز هم نمی تواند آن باشد.

یعنی یک نقطه نمی تواند بیرون یا داخل دایره باشد - یعنی روی دایره است!

تمام قضیه ثابت شده است!

حال بیایید ببینیم که این قضیه چه پیامدهای خوبی به همراه دارد.

نتیجه 1

متوازی الاضلاع محاط شده در یک دایره فقط می تواند یک مستطیل باشد.

بیایید بفهمیم چرا اینطور است. اجازه دهید متوازی الاضلاع در یک دایره محاط شود. سپس باید انجام شود.

اما از خواص متوازی الاضلاع می دانیم که.

و طبیعتاً در مورد زوایا و.

بنابراین معلوم می شود که یک مستطیل است - تمام گوشه ها در امتداد هستند.

اما، علاوه بر این، یک واقعیت دلپذیر اضافی وجود دارد: مرکز دایره محصور شده در اطراف مستطیل با نقطه تقاطع قطرها منطبق است.

بیایید بفهمیم چرا. امیدوارم به خوبی به خاطر داشته باشید که زاویه ای که قطر فرو می رود یک خط مستقیم است.

قطر،

قطر

یعنی مرکز است. همین.

نتیجه 2

ذوزنقه ای که در دایره حک شده است متساوی الساقین است.

اجازه دهید ذوزنقه به صورت دایره ای حک شود. سپس.

و همچنین.

آیا ما درباره همه چیز بحث کرده ایم؟ نه واقعا. در واقع، راه دیگری «مخفی» برای تشخیص چهارضلعی حکاکی شده وجود دارد. ما این روش را خیلی دقیق (اما واضح) فرموله نمی کنیم، بلکه آن را فقط در آخرین سطح نظریه اثبات خواهیم کرد.

اگر در یک چهارضلعی بتوان چنین تصویری را مانند اینجا در شکل مشاهده کرد (در اینجا زوایای "نگاه" به کنار نقاط و برابر هستند)، چنین چهارضلعی حک شده است.

این یک نقاشی بسیار مهم است - در مسائل اغلب راحت تر از مجموع زاویه ها و زوایای برابر است.

با وجود عدم دقت کامل در فرمول بندی ما، صحیح است و علاوه بر این، همیشه توسط ممتحنین آزمون یکپارچه دولتی پذیرفته می شود. شما باید چیزی شبیه به این بنویسید:

"- حک شده" - و همه چیز خوب خواهد بود!

این علامت مهم را فراموش نکنید - تصویر را به خاطر بسپارید و شاید در زمان حل مشکل توجه شما را جلب کند.

چهارضلعی منقوش. توضیحات مختصر و فرمول های اساسی

اگر یک چهار ضلعی در دایره محاط شود، مجموع هر دو زاویه مقابل آن برابر است با

و بالعکس:

اگر یک چهار ضلعی دو زاویه مقابل هم داشته باشد که مجموع آنها برابر است، آن چهار ضلعی حلقوی است.

یک چهار ضلعی در دایره محاط می شود اگر و فقط در صورتی که مجموع دو زاویه مقابل آن برابر باشد.

متوازی الاضلاع حک شده در یک دایره- مطمئناً مستطیل است و مرکز دایره با نقطه تقاطع مورب ها منطبق است.

ذوزنقه ای که در دایره حک شده است متساوی الساقین است.

تعریف 1. چهار ضلعی شکلی است متشکل از چهار نقطه (راس) که هیچ سه تای آنها روی یک خط مستقیم قرار ندارند و چهار قسمت متوالی غیر متقاطع (ضلع) آنها را به هم وصل می کنند.
تعریف 2. رئوس همسایه آنهایی هستند که انتهای یک طرف هستند.
تعریف 3. رئوس هایی که در مجاورت یکدیگر نیستند، مخالف نامیده می شوند.
تعریف 4. قطعاتی که رئوس مقابل یک چهار ضلعی را به هم متصل می کنند، مورب آن نامیده می شوند.
قضیه 1. مجموع زوایای یک چهارضلعی 360 درجه است.
در واقع، با تقسیم یک چهار ضلعی بر یک مورب به دو مثلث، در می یابیم که مجموع زوایای آن برابر است با مجموع زوایای این دو مثلث. با دانستن اینکه مجموع زوایای یک مثلث 180 o است، به مطلوب می رسیم: 2 * 180 o = 360 o
تعریف d1. چهارضلعی محصور، چهارضلعی است که همه اضلاع آن به دایره خاصی برخورد می کنند. به یاد بیاورید که مفهوم ضلع مماس بر دایره: دایره ای مماس بر یک ضلع معین در نظر گرفته می شود که خط حاوی آن ضلع را لمس کند و نقطه مماس در آن طرف باشد.
تعریف d2. چهارضلعی محاطی چهارضلعی است که رئوس آن همه به دایره خاصی تعلق دارد.
قضیه 2. برای هر چهار ضلعی که در یک دایره محاط شده است، مجموع جفت زاویه های مقابل برابر با 180 درجه است.
زوایای A و C هر دو فقط از ضلع های مختلف روی کمان BD قرار دارند، یعنی کل دایره را می پوشانند و خود دایره کمانی به اندازه 360 درجه است، اما ما قضیه ای را می دانیم که می گوید بزرگی زاویه محاطی برابر است. برابر با نصف قدر زاویه ای کمانی که روی آن قرار دارد، بنابراین می توان گفت که مجموع این زوایا (به ویژه A و C) برابر با 180 درجه است. به همین ترتیب می توانید این قضیه را برای یک جفت زاویه دیگر ثابت کنید.

قضیه 3. اگر بتوان دایره ای را در چهار ضلعی نوشت، مجموع طول اضلاع مقابل آن برابر است.
برای اثبات این قضیه از قضیه دایره و دایره مبحث استفاده می کنیم که می گوید: پاره های مماس که از یک نقطه به یک دایره کشیده می شوند مساوی هستند، یعنی. VC=BP، CP=CH، DH=DT و AT=AK. بیایید اضلاع AB و CD را جمع کنیم: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC، یعنی. د

برای قضایای 2 و 3 برعکس وجود دارد. بیایید آنها را بر این اساس بنویسیم:

قضیه 4. یک دایره را می توان در اطراف یک چهار ضلعی توصیف کرد اگر و فقط در صورتی که مجموع زوایای مقابل برابر با 180 درجه باشد.
قضیه 5. یک دایره را می توان در یک چهار ضلعی حک کرد اگر و فقط در صورتی که مجموع طول اضلاع مقابل برابر باشد.

اثبات:فرض کنید ABCD چهارضلعی داده شده باشد و اجازه دهید AB + CD = AD + BC. اجازه دهید نیمسازهای زوایای A و D آن را رسم کنیم. این نیمسازها موازی نیستند، یعنی در نقطه ای O همدیگر را قطع می کنند. اجازه دهید عمودهای OK، OL و OM را از نقطه O به اضلاع AB، AD و CD رها کنیم. سپس OK=OL و OL=OM یعنی دایره ای با مرکز در نقطه O و شعاع OK اضلاع AB، AD و CD این چهارضلعی را لمس می کند. بیایید یک مماس بر این دایره از نقطه B رسم کنیم. اجازه دهید این مماس خط CD را در نقطه P قطع کند. سپس ABPD یک چهار ضلعی محدود است. بنابراین، با خاصیت چهارضلعی محدود شده، AB + DP = AD + BP. همچنین، با شرط، AB+ CD = AD + BC. بنابراین، BP + PC = BC، به این معنی که، با نابرابری مثلث، نقطه P بر روی قطعه BC قرار دارد. در نتیجه، خطوط BP و BC بر هم منطبق هستند، به این معنی که خط BC دایره ای را با مرکز در نقطه O لمس می کند، یعنی ABCD طبق تعریف یک چهار ضلعی محدود است. قضیه ثابت شده است.
قضیه 6. مساحت یک چهارضلعی برابر است با نصف حاصلضرب قطرهای آن و سینوس زاویه بین آنها.

اثبات:بگذارید ABCD چهارضلعی داده شده باشد. همچنین اجازه دهید O نقطه تقاطع قطرها باشد. سپس
S ABCD = S ABO + S BCO +S CDO + S DAO =
= 1/2(AO·BO·sin∠ AOB + BO·CO·sin∠ BOC +
+ CO·DO·sin∠ COD + DO·AO·sin∠ AOD) =
= 1/2 sin∠ BOC (AO + CO) (BO + DO) =
= 1/2·sin∠ BOC·AC·BD.
قضیه ثابت شده است.
قضیه d1. (Varignon) چهار ضلعی با رئوس در وسط اضلاع هر چهار ضلعی متوازی الاضلاع است و مساحت این متوازی الاضلاع برابر با نصف مساحت چهارضلعی اصلی است.

اثبات:فرض کنید ABCD یک چهار ضلعی و K، L، M و N وسط اضلاع آن باشد. سپس KL خط وسط مثلث ABC است، به این معنی که KL با AC موازی است. همچنین LM موازی با BD، MN موازی با AC، و NK موازی با BD است. بنابراین، KL موازی با MN است، LM موازی با KN است. بنابراین KLMN متوازی الاضلاع است. مساحت این متوازی الاضلاع KL·KN·sin∠ NKL = است
1/2 AC BD sin DOC = 1/2S ABCD .
قضیه ثابت شده است.

چند ضلعی های محاطی و دایره ای،

§ 106. خواص چهارضلعی های منقوش و توصیف شده.

قضیه 1. مجموع زوایای مقابل یک چهارضلعی حلقوی برابر است با 180 درجه.

بگذارید یک ABCD چهار ضلعی در دایره ای با مرکز O حک شود (شکل 412). اثبات آن لازم است / A+ / C = 180 درجه و / B + / D = 180 درجه.

/ A، همانطور که در دایره O حک شده است، 1/2 BCD را اندازه می گیرد.
/ C، همانطور که در همان دایره حک شده است، 1/2 BAD را اندازه می گیرد.

در نتیجه، مجموع زوایای A و C با نصف مجموع کمان‌های BCD و BAD اندازه‌گیری می‌شود؛ در مجموع، این کمان‌ها یک دایره را تشکیل می‌دهند، یعنی دارای 360 درجه هستند.
از اینجا / A+ / C = 360 درجه: 2 = 180 درجه.

به همین ترتیب ثابت می شود که / B + / D = 180 درجه. با این حال، این را می توان از طریق دیگری استنباط کرد. می دانیم که مجموع زوایای داخلی یک چهارضلعی محدب 360 درجه است. مجموع زوایای A و C برابر با 180 درجه است، یعنی مجموع دو زاویه دیگر چهارضلعی نیز 180 درجه باقی می ماند.

قضیه 2(معکوس). اگر در یک چهارضلعی مجموع دو زاویه مقابل برابر باشد 180 درجه ، سپس یک دایره را می توان در اطراف چنین چهار ضلعی توصیف کرد.

مجموع زوایای مقابل چهار ضلعی ABCD برابر با 180 درجه باشد، یعنی
/ A+ / C = 180 درجه و / B + / D = 180 درجه (طراحی 412).

اجازه دهید ثابت کنیم که یک دایره را می توان در اطراف چنین چهار ضلعی توصیف کرد.

اثبات. از طریق هر 3 رأس این چهار ضلعی می توانید یک دایره بکشید، به عنوان مثال از طریق نقاط A، B و C. نقطه D در کجا قرار خواهد گرفت؟

نقطه D فقط می تواند یکی از سه موقعیت زیر را بگیرد: داخل دایره، خارج از دایره، روی محیط دایره باشد.

فرض کنید راس داخل دایره است و موقعیت D را می گیرد» (شکل 413). سپس در ABCD چهارضلعی خواهیم داشت:

/ B + / D" = 2 د.

ادامه ضلع AD" تا تقاطع با دایره در نقطه E و اتصال نقاط E و C، چهار ضلعی حلقوی ABCE را به دست می آوریم که در آن، با قضیه مستقیم

/ B+ / E = 2 د.

از این دو برابری به دست می آید:

/ D" = 2 د - / ب
/ E=2 د - / ب

/ D" = / E،

اما این نمی تواند باشد، زیرا / D، که نسبت به مثلث CD"E خارجی است، باید بزرگتر از زاویه E باشد. بنابراین، نقطه D نمی تواند داخل دایره باشد.

همچنین ثابت شده است که راس D نمی تواند موقعیت D را خارج از دایره بگیرد (شکل 414).

باید تشخیص داد که راس D باید در محیط دایره قرار گیرد، یعنی با نقطه E منطبق باشد، به این معنی که یک دایره را می توان در اطراف ABCD چهار ضلعی توصیف کرد.

عواقب. 1. یک دایره را می توان در اطراف هر مستطیلی توصیف کرد.

2. یک دایره را می توان در اطراف یک ذوزنقه متساوی الساقین توصیف کرد.

در هر دو حالت مجموع زوایای مقابل 180 درجه است.

قضیه 3.در یک چهارضلعی محصور، مجموع اضلاع مقابل برابر است. بگذارید چهار ضلعی ABCD در مورد یک دایره توصیف شود (شکل 415)، یعنی اضلاع آن AB، BC، CD و DA بر این دایره مماس هستند.

اثبات اینکه AB + CD = AD + BC لازم است. اجازه دهید نقاط مماس را با حروف M، N، K، P نشان دهیم.

AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.

اجازه دهید این برابری ها را ترم به ترم اضافه کنیم. ما گرفتیم:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM،

یعنی AB + CD = AD + BC، که باید ثابت شود.

تمرینات

1. در یک چهار ضلعی محاطی، دو زاویه مقابل به نسبت 3:5 هستند.
و دو تای دیگر به نسبت 4:5 هستند.بزرگ این زوایا را تعیین کنید.

2. در چهارضلعی شرح داده شده، مجموع دو ضلع مقابل 45 سانتی متر است، دو ضلع باقی مانده به نسبت 0.2: 0.3 می باشد. طول این اضلاع را پیدا کنید.