چه نابرابری هایی را می توان اضافه کرد؟ نابرابری های عددی و خواص آنها حفاظت از اطلاعات شخصی

یک سیستم نابرابری معمولاً به ثبت چندین نابرابری در زیر علامت یک مهاربند گفته می شود (در این مورد، تعداد و نوع نابرابری های موجود در سیستم می تواند دلخواه باشد).

برای حل یک سیستم، باید محل تلاقی جواب های همه نابرابری های موجود در آن را پیدا کرد. در ریاضیات، راه حل یک نابرابری، هر مقدار تغییری است که برای آن نابرابری درست است. به عبارت دیگر، شما باید مجموعه ای از تمام راه حل های آن را پیدا کنید - این پاسخ نامیده می شود. به عنوان مثال، بیایید یاد بگیریم چگونه یک سیستم نابرابری را با استفاده از روش بازه حل کنیم.

خواص نابرابری ها

برای حل مسئله، دانستن ویژگی‌های اساسی ذاتی نابرابری‌ها مهم است که می‌توان به صورت زیر فرمول‌بندی کرد:

به هر دو طرف نابرابری می توان یک تابع یکسان را اضافه کرد که در محدوده مقادیر مجاز (ADV) این نابرابری تعریف شده است.
اگر f(x) > g(x) و h(x) هر تابعی است که در ODZ نابرابری تعریف شده است، آنگاه f(x) + h(x) > g(x) + h(x)؛
اگر هر دو طرف نابرابری در تابع مثبت تعریف شده در ODZ این نابرابری (یا در یک عدد مثبت) ضرب شوند، نابرابری معادل با نابرابری اصلی بدست می آوریم.
اگر هر دو طرف نابرابری در تابع منفی تعریف شده در ODZ نابرابری داده شده (یا با یک عدد منفی) ضرب شود و علامت نابرابری به عکس تغییر کند، آنگاه نابرابری حاصل معادل نامساوی داده شده است.
نابرابری‌های هم‌معنا را می‌توان ترم به عبارت اضافه کرد، و نابرابری‌های معنای مخالف را می‌توان واژه به عبارت کم کرد.
نابرابری های هم معنی با اجزای مثبت را می توان ترم به ترم ضرب کرد و نابرابری های تشکیل شده توسط توابع غیر منفی را می توان ترم به ترم به توان مثبت رساند.

برای حل یک سیستم نابرابری، باید هر نابرابری را جداگانه حل کنید و سپس آنها را با هم مقایسه کنید. نتیجه یک پاسخ مثبت یا منفی خواهد بود، به این معنی که آیا سیستم راه حلی دارد یا خیر.

روش فاصله

هنگام حل یک سیستم نابرابری، ریاضیدانان اغلب به روش فاصله، به عنوان یکی از مؤثرترین روش ها، متوسل می شوند. این به ما اجازه می دهد تا جواب را به نابرابری f(x) > 0 کاهش دهیم.<, <, >) برای حل معادله f(x) = 0.

ماهیت روش به شرح زیر است:

محدوده مقادیر قابل قبول نابرابری را بیابید.
نابرابری را به شکل f(x) > 0( کاهش دهید<, <, >) یعنی سمت راست را به چپ ببرید و ساده کنید.
معادله f(x) = 0 را حل کنید.
نمودار تابع را روی یک خط عددی رسم کنید. تمام نقاط علامت گذاری شده روی ODZ و محدود کردن آن، این مجموعه را به اصطلاح به فواصل علامت ثابت تقسیم می کند. در هر بازه ای علامت تابع f(x) تعیین می شود.
پاسخ را به صورت اتحادیه ای از مجموعه های فردی بنویسید که در آنها f(x) علامت مربوطه را دارد. نقاط ODZ که مرز هستند پس از تأیید اضافی در پاسخ گنجانده می شوند (یا گنجانده نمی شوند).

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

نابرابریرکوردی است که در آن اعداد، متغیرها یا عبارات با یک علامت به هم متصل می شوند<, >، یا . یعنی نابرابری را می توان مقایسه اعداد، متغیرها یا عبارات نامید. نشانه ها < , > , ⩽ و ⩾ نامیده می شوند علائم نابرابری.

انواع نابرابری ها و نحوه خواندن آنها:

همانطور که از مثال ها مشاهده می شود، همه نابرابری ها از دو قسمت تشکیل شده اند: چپ و راست که توسط یکی از علائم نابرابری به هم متصل می شوند. بسته به علامتی که قسمت های نابرابری ها را به هم متصل می کند، آنها را به سخت و غیر دقیق تقسیم می کنند.

نابرابری های شدید- نابرابری هایی که اجزای آنها با علامت به هم متصل می شوند< или >. نابرابری های غیر دقیق- نابرابری هایی که در آن قطعات با علامت یا به هم متصل می شوند.

بیایید قوانین اساسی مقایسه در جبر را در نظر بگیریم:

هر عدد مثبت بزرگتر از صفر
هر عدد منفی کمتر از صفر است.
از بین دو عدد منفی، عددی که قدر مطلق آن کوچکتر است، بزرگتر است. به عنوان مثال، -1 > -7.
آو بمثبت:
آ - ب > 0,
که آبیشتر ب (آ > ب).
اگر اختلاف دو عدد نامساوی آو بمنفی:
آ - ب < 0,
که آکمتر ب (آ < ب).
اگر عدد بزرگتر از صفر باشد، مثبت است:
آ> 0 یعنی آ- عدد مثبت
اگر عدد کمتر از صفر باشد منفی است:
آ < 0, значит آ- یک عدد منفی

نابرابری های معادل- نابرابری هایی که نتیجه نابرابری های دیگر است. به عنوان مثال، اگر آکمتر ب، آن ببیشتر آ:

آ < بو ب > آ- نابرابری های معادل

خواص نابرابری ها

اگر یک عدد را به دو طرف یک نامساوی اضافه کنید یا یک عدد را از هر دو طرف کم کنید، یک نامساوی معادل به دست می آورید، یعنی:
اگر آ > ب، آن آ + ج > ب + ج و آ - ج > ب - ج
از این نتیجه می شود که امکان انتقال شرایط نابرابری از یک قسمت به قسمت دیگر با علامت مخالف وجود دارد. به عنوان مثال، اضافه کردن به دو طرف نابرابری آ - ب > ج - د توسط د، ما گرفتیم:
آ - ب > ج - د

آ - ب + د > ج - د + د

آ - ب + د > ج
اگر هر دو طرف نابرابری در یک عدد مثبت ضرب یا تقسیم شوند، نابرابری معادل به دست می آید، یعنی:
اگر هر دو طرف نابرابری در یک عدد منفی ضرب یا تقسیم شوند، نابرابری مقابل عدد داده شده به دست می آید، یعنی هنگام ضرب یا تقسیم هر دو قسمت نامساوی بر یک عدد منفی، علامت نابرابری را باید به عکس تغییر داد.
از این ویژگی می توان برای تغییر علائم همه عبارت های یک نابرابری با ضرب هر دو طرف در -1 و تغییر علامت نابرابری به عکس استفاده کرد:
-آ + ب > -ج

(-آ + ب) · -1< (-ج) · -1

آ - ب < ج
نابرابری -آ + ب > -ج مساوی با نابرابری آ - ب < ج

نابرابری در ریاضیاتنقش بسزایی دارند. در مدرسه ما عمدتا با نابرابری های عددی، که با تعریف آن این مقاله را آغاز می کنیم. و سپس لیست و توجیه می کنیم خواص نامساوی های عددی، که تمام اصول کار با نابرابری ها بر آن استوار است.

بیایید فوراً توجه کنیم که بسیاری از خصوصیات نابرابری های عددی مشابه هستند. بنابراین، ما مطالب را طبق همان طرح ارائه می کنیم: یک ویژگی را فرموله می کنیم، توجیه و مثال های آن را بیان می کنیم، پس از آن به سراغ ویژگی بعدی می رویم.

پیمایش صفحه.

نابرابری های عددی: تعریف، مثال ها

وقتی مفهوم نابرابری را معرفی کردیم، متوجه شدیم که نابرابری ها اغلب با نحوه نگارش آنها تعریف می شوند. بنابراین ما نابرابری ها را عبارات جبری معنی دار نامیدیم که حاوی نشانه های مساوی ≠، کمتر هستند.<, больше >، کمتر یا مساوی ≤ یا بزرگتر یا مساوی ≥. بر اساس تعریف فوق، ارائه تعریفی از نابرابری عددی راحت است:

ملاقات با نامساوی های عددی در درس ریاضی کلاس اول بلافاصله پس از آشنایی با اولین اعداد طبیعی از 1 تا 9 و آشنایی با عمل مقایسه اتفاق می افتد. درست است، در آنجا آنها را به سادگی نابرابری می نامند، و از تعریف "عددی" حذف می شوند. برای وضوح، ارائه چند مثال از ساده‌ترین نابرابری‌های عددی در آن مرحله از مطالعه آنها ضرری ندارد: 1<2 , 5+2>3 .

و علاوه بر اعداد طبیعی، دانش به انواع دیگر اعداد (اعداد صحیح، گویا، واقعی) گسترش می یابد، قوانین مقایسه آنها مورد مطالعه قرار می گیرد و این به طور قابل توجهی تنوع انواع نابرابری های عددی را گسترش می دهد: -5>-72، 3> −0.275 (7-5، 6)، .

خواص نامساوی های عددی

در عمل، کار با نابرابری اجازه می دهد تا تعدادی از خواص نامساوی های عددی. آنها از مفهوم نابرابری که ما معرفی کردیم پیروی می کنند. در رابطه با اعداد، این مفهوم با عبارت زیر ارائه می شود که می توان آن را تعریفی از روابط "کمتر از" و "بیشتر از" در مجموعه ای از اعداد در نظر گرفت (اغلب به آن تعریف تفاوت نابرابری می گویند):

تعریف.

عدد آ تعداد بیشتر b اگر و فقط اگر تفاوت a-b یک عدد مثبت باشد.
عدد a کوچکتر از عدد b است اگر و فقط اگر تفاوت a-b یک عدد منفی باشد.
عدد a برابر است با عدد b اگر و فقط اگر اختلاف a-b صفر باشد.

این تعریف را می توان به تعریف روابط «کمتر یا مساوی» و «بزرگتر یا مساوی» تبدیل کرد. این عبارت اوست:

تعریف.

عدد a بزرگتر یا مساوی b است اگر و فقط اگر a-b یک عدد غیر منفی باشد.
a کوچکتر یا مساوی b است اگر و فقط اگر a-b یک عدد غیر مثبت باشد.

ما از این تعاریف برای اثبات خصوصیات نابرابری های عددی استفاده خواهیم کرد که به بررسی آن ها می پردازیم.

خواص اساسی

ما بررسی را با سه ویژگی اصلی نابرابری ها آغاز می کنیم. چرا پایه هستند؟ زیرا آنها انعکاسی از خصوصیات نامساوی به کلی ترین معنای آن هستند و نه فقط در رابطه با نامساوی های عددی.

نابرابری های عددی با استفاده از علائم نوشته شده است< и >، مشخصه:

در مورد نابرابری‌های عددی که با استفاده از علائم نابرابری ضعیف ≤ و ≥ نوشته می‌شوند، آنها دارای خاصیت بازتابی (و نه ضد بازتابی) هستند، زیرا نابرابری‌های a≤a و a≥a شامل حالت تساوی a=a می‌شوند. آنها همچنین با ضد تقارن و گذر مشخص می شوند.

بنابراین، نابرابری های عددی که با استفاده از علامت های ≤ و ≥ نوشته می شوند دارای ویژگی های زیر هستند:

بازتاب a≥a و a≤a نابرابری های واقعی هستند.
ضد تقارن، اگر a≤b، سپس b≥a، و اگر a≥b، آنگاه b≤a.
گذرا، اگر a≤b و b≤c، سپس a≤c، و همچنین، اگر a≥b و b≥c، آنگاه a≥c.

اثبات آنها بسیار شبیه به مواردی است که قبلاً ارائه شده است، بنابراین ما در مورد آنها صحبت نمی کنیم، بلکه به سایر ویژگی های مهم نابرابری های عددی می پردازیم.

سایر خواص مهم نابرابری های عددی

اجازه دهید ویژگی های اساسی نامعادله های عددی را با یک سری نتایج که اهمیت عملی زیادی دارند تکمیل کنیم. روشهای تخمین ارزش عبارات بر اساس آنها استوار است؛ اصول بر اساس آنها است راه حل هایی برای نابرابری هاو غیره بنابراین، بهتر است آنها را به خوبی درک کنید.

در این بخش، ویژگی‌های نابرابری‌ها را فقط برای یک علامت نابرابری شدید فرمول‌بندی می‌کنیم، اما شایان ذکر است که ویژگی‌های مشابه برای علامت مقابل و همچنین برای علائم نابرابری‌های غیر دقیق معتبر خواهند بود. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم. در زیر خاصیت نابرابری های زیر را فرمول بندی و اثبات می کنیم: اگر a

اگر a>b سپس a+c>b+c ;

اگر a≤b، سپس a+c≤b+c.

اگر a≥b، سپس a+c≥b+c.

برای سهولت، ویژگی‌های نابرابری‌های عددی را در قالب یک لیست ارائه می‌کنیم، در حالی که عبارت مربوطه را می‌دهیم، آن را به طور رسمی با استفاده از حروف می‌نویسیم، اثبات می‌کنیم و سپس نمونه‌هایی از کاربرد را نشان می‌دهیم. و در پایان مقاله تمام خصوصیات نامعادله های عددی را در یک جدول خلاصه می کنیم. برو!

با افزودن (یا تفریق) هر عددی به دو طرف یک نامعادله عددی واقعی، یک نامعادله عددی واقعی ایجاد می شود. به عبارت دیگر، اگر اعداد a و b به گونه ای باشند که a
برای اثبات آن، بیایید تفاوت بین سمت چپ و راست آخرین نابرابری عددی را درست کنیم و نشان دهیم که در شرایط a منفی است. (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. از آنجایی که به شرط الف
ما روی اثبات این خاصیت نابرابری‌های عددی برای تفریق عدد c نمی‌مانیم، زیرا در مجموعه اعداد حقیقی، تفریق را می‌توان با جمع -c جایگزین کرد.

به عنوان مثال، اگر عدد 15 را به دو طرف نامعادله عددی صحیح 7>3 اضافه کنید، نابرابری عددی صحیح 7+15>3+15 را به دست می آورید که همان چیزی است، 22>18.

اگر هر دو طرف یک نامعادله عددی معتبر در همان عدد مثبت c ضرب (یا تقسیم) شوند، یک نامعادله عددی معتبر به دست می‌آید. اگر هر دو طرف نابرابری در عدد منفی c ضرب (یا تقسیم) شوند و علامت نابرابری معکوس شود، نابرابری درست خواهد بود. به صورت حرفی: اگر اعداد a و b نابرابری a را برآورده کنند قبل از میلاد مسیح.

اثبات بیایید با مورد زمانی که c>0 شروع کنیم. بیایید تفاوت بین سمت چپ و راست نابرابری عددی ثابت شده را بسازیم: a·c−b·c=(a−b)·c. از آنجایی که به شرط الف 0، سپس حاصل ضرب (a-b)·c یک عدد منفی به عنوان حاصلضرب یک عدد منفی a-b و یک عدد مثبت c (که از ) حاصل می شود، خواهد بود. بنابراین، a·c-b·c<0 , откуда a·c
ما روی اثبات خاصیت در نظر گرفته شده برای تقسیم هر دو طرف نابرابری عددی واقعی بر همان عدد c نمی مانیم، زیرا تقسیم همیشه می تواند با ضرب در 1 / c جایگزین شود.

بیایید مثالی از استفاده از ویژگی تجزیه و تحلیل شده در اعداد خاص را نشان دهیم. به عنوان مثال، می توانید هر دو طرف نابرابری عددی صحیح 4 را داشته باشید<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

از خاصیت ضرب هر دو طرف یک برابری عددی در یک عدد، دو نتیجه عملاً ارزشمند به دست می‌آید. بنابراین آنها را در قالب پیامدها تدوین می کنیم.

تمام خصوصیاتی که در بالا در این پاراگراف مورد بحث قرار گرفت، با این واقعیت متحد می شوند که ابتدا یک نامعادله عددی صحیح داده می شود و از آن با دستکاری با اجزای نامساوی و علامت، یک نابرابری عددی صحیح دیگر به دست می آید. اکنون بلوکی از خصوصیات را ارائه خواهیم کرد که در ابتدا نه یک، بلکه چندین نامعادله عددی صحیح در آن داده شده است و پس از جمع یا ضرب اجزای آنها نتیجه جدیدی از استفاده مشترک آنها به دست می آید.

اگر اعداد a، b، c و d نابرابری های a را برآورده کنند
اجازه دهید ثابت کنیم که (a+c)-(b+d) یک عدد منفی است، این ثابت می کند که a+c
با استقرا، این ویژگی به جمع سه، چهار و به طور کلی هر تعداد محدودی از نامساوی عددی گسترش می یابد. بنابراین، اگر برای اعداد a 1، a 2، ...، a n و b 1، b 2، ...، b n نامعادله های زیر درست است: a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

به عنوان مثال، سه نامعادله عددی صحیح از یک علامت −5 به ما داده شده است<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

می توانید نابرابری های عددی یک علامت را در ترم ضرب کنید که هر دو طرف آن با اعداد مثبت نشان داده می شوند. به ویژه، برای دو نابرابری a
برای اثبات آن، می توانید هر دو طرف نامساوی a را ضرب کنید
این ویژگی برای ضرب هر تعداد محدودی از نامعادله های عددی واقعی با قسمت های مثبت نیز صادق است. یعنی اگر a 1، a 2، ...، a n و b 1، b 2، ...، b n اعداد مثبت و a 1 باشند. a 1 a 2…a n .

به طور جداگانه، شایان ذکر است که اگر نماد نابرابری های عددی حاوی اعداد غیر مثبت باشد، پس ضرب ترم به ترم آنها می تواند منجر به نابرابری های عددی نادرست شود. به عنوان مثال، نابرابری های عددی 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

نتیجه. ضرب اصطلاحی نابرابری های درست یکسان به شکل a

در پایان مقاله، همانطور که وعده داده بودیم، تمامی املاک مورد مطالعه را در جمع آوری خواهیم کرد جدول خواص نابرابری های عددی:

کتابشناسی - فهرست کتب.

مورو ام.آی.. ریاضیات. کتاب درسی برای 1 کلاس شروع مدرسه در 2 ساعت. قسمت 1. (نیمه اول سال) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - ویرایش 6. - م.: آموزش و پرورش، 1385. - 112 ص: بیمار.+افزودن. (2 جدا l. ill.). - شابک 5-09-014951-8.

ریاضیات: کتاب درسی برای کلاس پنجم آموزش عمومی موسسات / N. Ya. Vilenkin، V. I. Zhokhov، A. S. Chesnokov، S. I. Shvartsburd. - چاپ بیست و یکم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. شابک 5-346-00699-0.

جبر:کتاب درسی برای کلاس هشتم آموزش عمومی مؤسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ ویرایش شده توسط S. A. Telyakovsky. - چاپ شانزدهم - م.: آموزش و پرورش، 2008. - 271 ص. : مریض - شابک 978-5-09-019243-9.

موردکوویچ A.G.جبر. کلاس هشتم. در 2 ساعت. قسمت 1. کتاب درسی برای دانش آموزان موسسات آموزش عمومی / A. G. Mordkovich. - چاپ یازدهم، پاک شد. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. شابک 978-5-346-01155-2.