حل مسائل مکانیکی با استفاده از قوانین حفاظت ارتعاشات رایگان آونگ فنری نوسانات اجباری. رزونانس. خود نوسانات

مسئله فیزیک - 4424

2017-10-21
یک فنر سبک با سفتی $k$ به بلوک جرمی $m$ که روی صفحه افقی قرار دارد وصل می شود، انتهای دوم آن طوری ثابت می شود که فنر تغییر شکل ندهد و محور آن افقی است و از مرکز آن می گذرد. جرم بلوک بلوک در امتداد محور فنر در فاصله $ \Delta L$ مخلوط شده و بدون سرعت اولیه آزاد می شود. اگر ضریب اصطکاک بلوک در صفحه $\mu$ باشد، حداکثر سرعت بلوک را بیابید.

راه حل:

فرض می کنیم که برای یک جابجایی معین از بلوک، تغییر شکل فنر کاملاً الاستیک است. سپس، بر اساس قانون هوک، می‌توان فرض کرد که بلوک از کنار فنر در لحظه رها شدن توسط نیرویی $F_(pr) = k \Delta L$ که به صورت افقی در امتداد محور فنر هدایت می‌شود، وارد می‌شود. . نیروی واکنش صفحه ای که روی بلوک عمل می کند را می توان به صورت دو جزء عمود و موازی با این صفحه نشان داد. بزرگی مولفه نرمال نیروی واکنش $N$ را می توان بر اساس قانون دوم نیوتن تعیین کرد، با این فرض که چارچوب مرجع نسبت به این صفحه ثابت است و بلوک فقط می تواند در طول این صفحه حرکت کند. با غفلت از عمل هوا بر روی بلوک، به دست می آوریم: $N - mg = 0$، که $g$ مقدار شتاب گرانشی است.طبق قانون کولن، با یک بلوک ساکن، حداکثر مقدار مولفه موازی نیروی واکنش - نیروی اصطکاک استاتیکی خشک - برابر است با $\mu N $.بنابراین برای $k \Delta L \leq \mu mg$، بلوک باید بعد از آزاد شدن بی حرکت بماند.اگر $k \Delta L > \mu mg$، پس از رها شدن بلوک با مقداری شتاب شروع به حرکت می کند.از آنجایی که خط عمل نیرو با طرف فنر از مرکز جرم بلوک می گذرد و نیروی اصطکاک مخالف آن است. سرعت بلوک به صورت انتقالی حرکت می کند در این صورت تغییر شکل فنر کاهش می یابد و در نتیجه شتاب بلوک نیز باید کاهش یابد در لحظه ای که مجموع نیروهای وارد بر بلوک به صفر تبدیل می شود. سرعت بلوک ماکزیمم خواهد شد.اگر طبق معمول فرض کنیم که مقدار نیروی اصطکاک لغزش خشک به سرعت بستگی ندارد و برابر با حداکثر مقدار نیروی اصطکاک استاتیکی خشک است، آنگاه از مطابقت صرف نظر کنیم. با شرط مسئله جرم فنر، بزرگی تغییر شکل $\Delta x $ فنرها در لحظه مورد نظر ما را می توان به راحتی از رابطه $k \Delta x = \mu mg$ محاسبه کرد. به خاطر سپردن عبارات محاسبه انرژی جنبشی حرکت رو به جلو جامدانرژی پتانسیل یک فنر با تغییر شکل الاستیک و با در نظر گرفتن اینکه جابجایی بلوک در این لحظه برابر با $\Delta L - \Delta x$ می شود، بر اساس قانون تغییر انرژی مکانیکی می توان استدلال کرد. که حداکثر سرعت $v_(max)$ بلوک باید معادله را برآورده کند:

$\frac(k \Delta L^(2))(2) = \frac(k \Delta x^(2))(2) + \frac(mv_(max)^(2))(2) + \ mu mg (\Delta L - \Delta x)$.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که حداکثر سرعت بلوک تحت فرضیات ساخته شده باید برابر باشد

$v_(max) = \begin(cases) 0، & \text(at) k \Delta L \leq \mu mg \\ \sqrt( \frac(k)(m)) \ چپ (\Delta L - \ frac( \mu mg)(k) \راست) & \text(at) k \Delta L > \mu mg \end (مورد)$.

کاندیدای علوم فیزیک و ریاضی V. POGOZHEV.

(پایان. ابتدا نگاه کنید به "علم و زندگی" شماره.)

قسمت آخر مشکلات با موضوع مکانیک را منتشر می کنیم. مقاله بعدی به نوسانات و امواج اختصاص دارد.

مسئله 4 (1994). از تپه ای که به آرامی به یک صفحه افقی تبدیل می شود، از ارتفاع ساعتیک واشر کوچک صاف از جرم خارج می شود متر. یک سرسره متحرک صاف با جرمی از مو ارتفاع ن> ساعت. بخش هایی از اسلایدها توسط یک صفحه عمودی که از مرکز جرم پوک و اسلاید متحرک عبور می کند، شکل نشان داده شده در شکل را دارند. حداکثر ارتفاع چقدر است ایکسآیا یک جن می تواند بعد از اینکه برای اولین بار از سرسره متحرک سر خورد از یک سرسره ثابت بالا برود؟

راه حل.اسلایدی که در ابتدا پوک روی آن قرار داشت، با توجه به شرایط مشکل، بی حرکت است و بنابراین، به شدت به زمین چسبیده است. اگر همانطور که معمولاً هنگام حل چنین مسائلی انجام می شود، فقط نیروهای برهمکنش پوک و لغزش و نیروی گرانش را در نظر بگیریم، مشکل مطرح شده را می توان با استفاده از قوانین بقای انرژی مکانیکی و تکانه حل کرد. سیستم مرجع آزمایشگاه، همانطور که قبلاً در حل مسائل قبلی ذکر شد (به شماره "علم و زندگی" مراجعه کنید)، می تواند اینرسی در نظر گرفته شود. حل مشکل را به سه مرحله تقسیم می کنیم. در مرحله اول، پوک از سرسره ثابت شروع به لغزش می کند، در مرحله دوم با لام متحرک تعامل می کند و در آخر از سرسره ثابت بالا می رود. از شرایط مسئله و مفروضات انجام شده، نتیجه می‌شود که پوک و لغزش متحرک فقط می‌توانند به صورت انتقالی حرکت کنند تا مراکز جرم آنها همیشه در همان صفحه عمودی باقی بماند.

با در نظر گرفتن موارد فوق و صاف بودن پوک، سیستم "زمین با لغزش ثابت - پوک" در مرحله اول را باید منزوی و محافظه کار در نظر گرفت. بنابراین با توجه به قانون پایستگی انرژی مکانیکی، انرژی جنبشی واشر دبلیو k = mv 1 2/2 هنگامی که در امتداد یک صفحه افقی پس از سر خوردن از یک تپه حرکت می کند باید برابر با mgh، جایی که g- بزرگی شتاب سقوط آزاد.

در مرحله دوم، پوک ابتدا در امتداد اسلاید متحرک شروع به بالا رفتن می کند و سپس با رسیدن به ارتفاع معینی، از آن سر می خورد. این بیانیه از این واقعیت ناشی می شود که در نتیجه تعامل پوک با اسلاید متحرک، دومی، همانطور که قبلاً ذکر شد، تا پایان مرحله دوم باید با سرعت معینی به جلو حرکت کند. تودور شدن از لغزش ثابت یعنی در جهت سرعت v 1 پوک در پایان مرحله اول. بنابراین حتی اگر ارتفاع سرسره متحرک برابر باشد ساعت، جن نمی تواند از آن عبور کند. با توجه به اینکه نیروی واکنش از صفحه افقی بر روی لغزش متحرک و همچنین نیروهای گرانشی وارد بر این لغزش و پوک به صورت عمودی جهت دهی می‌شوند، بر اساس قانون بقای تکانه، می‌توان ادعا کرد که برآمدگی v 2 سرعت پوک در پایان مرحله دوم در هر جهت سرعت v 1 پوک در پایان مرحله اول باید معادله را برآورده کند

mυ 1 = mυ 2 + M و (1)

از سوی دیگر، طبق قانون بقای انرژی مکانیکی، سرعت های نشان داده شده با رابطه

, (2)

از آنجایی که سیستم "زمین - لغزش متحرک - پوک" طبق مفروضات ساخته شده منزوی و محافظه کار است و انرژی پتانسیل آن در ابتدا و در پایان مرحله دوم یکسان است. با توجه به اینکه پس از تعامل با یک اسلاید متحرک، در حالت کلی باید سرعت پوک تغییر کند ( v 1 - v 2 ≠ 0) و با استفاده از فرمول تفاضل مربع های دو کمیت، از روابط (1) و (2) به دست می آوریم.

υ 1 + υ 2 = و (3)

و سپس از (3) و (1) پیش بینی سرعت پوک را در انتهای مرحله دوم بر روی جهت سرعت آن قبل از شروع تعامل با اسلاید متحرک تعیین می کنیم.

از رابطه (4) مشخص می شود که v 1 ≠ v 2 در متر≠ مو پوک پس از لغزش از سرسره متحرک تنها زمانی که متر< م.

با اعمال مجدد قانون بقای انرژی مکانیکی برای سیستم "زمین با لغزش ثابت - پوک"، حداکثر ارتفاع پوک را در امتداد لغزش ثابت تعیین می کنیم. ایکس =v 2 2 /2g. پس از تبدیل های جبری ساده، پاسخ نهایی را می توان به صورت

مشکل 5(1996). بلوک صافی از جرم که روی یک صفحه افقی قرار دارد مبه یک دیوار عمودی با فنر سفت کننده سبک متصل شده است ک. با یک فنر تغییر شکل نیافته، انتهای بلوک با صفحه مکعب، جرم، تماس می گیرد مترکه بسیار کمتر است م.محور فنر افقی است و در یک صفحه عمودی قرار دارد که از مرکز جرم مکعب و بلوک می گذرد. با حرکت بلوک، فنر در امتداد محور خود به مقدار Δ فشرده می شود ایکس، پس از آن بلوک بدون سرعت اولیه آزاد می شود. اگر ضریب اصطکاک مکعب روی صفحه به اندازه کافی کوچک و مساوی μ باشد، مکعب پس از یک ضربه ایده آل الاستیک چقدر حرکت می کند؟

راه حل.فرض می‌کنیم که مفروضات استاندارد برآورده می‌شوند: چارچوب مرجع آزمایشگاهی، نسبت به آن که همه اجسام در ابتدا در حالت سکون بودند، اینرسی است و اجسام مورد بررسی فقط تحت تأثیر نیروهای برهمکنش بین آنها و نیروهای گرانش قرار می‌گیرند. ، و علاوه بر این، صفحه تماس بین بلوک و مکعب عمود بر محور فنر است. سپس با در نظر گرفتن موقعیت محور فنر و مراکز جرم بلوک و مکعب مشخص شده در شرط، می توان فرض کرد که این اجسام فقط می توانند به صورت انتقالی حرکت کنند.

پس از رها شدن، بلوک تحت عمل فنر فشرده شروع به حرکت می کند. در لحظه برخورد بلوک با مکعب، با توجه به شرایط مشکل، فنر باید تغییر شکل ندهد. از آنجایی که بلوک صاف است و در امتداد یک صفحه افقی حرکت می کند، نیروهای گرانش و واکنش هواپیما بر روی آن اثری ندارند. طبق شرایط، جرم فنر (و بنابراین انرژی جنبشی قطعات متحرک آن) را می توان نادیده گرفت. در نتیجه، انرژی جنبشی یک بلوک متحرک در لحظه ای که مکعب را لمس می کند باید برابر با انرژی پتانسیل فنر در لحظه آزاد شدن بلوک شود و بنابراین سرعت بلوک در این لحظه باید برابر باشد.

وقتی بلوک به مکعب برخورد می کند، با هم برخورد می کنند. در این حالت نیروی اصطکاک وارد بر مکعب از صفر تا متر متغیر است میلی گرم، جایی که g- بزرگی شتاب سقوط آزاد. با فرض اینکه، طبق معمول، زمان برخورد بین بلوک و مکعب کوتاه است، می‌توانیم ضربه نیروی اصطکاک وارد بر مکعب را از سمت صفحه در مقایسه با ضربه نیروی وارد بر مکعب نادیده بگیریم. کنار بلوک در هنگام ضربه. از آنجایی که جابجایی بلوک در هنگام ضربه کم است و در لحظه تماس با مکعب فنر با توجه به شرایط مشکل تغییر شکل نمی‌دهد، فرض می‌کنیم که فنر در هنگام برخورد روی بلوک عمل نمی‌کند. . بنابراین، سیستم "مکعب بلوک" را می توان در طول یک برخورد بسته فرض کرد. سپس طبق قانون بقای تکانه، رابطه باید ارضا شود

مv= م U + متر u، (1)

جایی که Uو تو- به ترتیب سرعت بلوک و مکعب بلافاصله پس از برخورد. کار انجام شده توسط نیروهای گرانش و مؤلفه نرمال نیروهای واکنش هواپیمای وارد بر مکعب و بلوک برابر با صفر است (این نیروها عمود بر جابجایی های احتمالی خود هستند)، تأثیر بلوک بر روی مکعب است. در حالت ایده آل الاستیک است و به دلیل کوتاه بودن مدت برخورد، جابجایی مکعب و بلوک (و بنابراین نیروهای اصطکاک کار و تغییر شکل فنر) را می توان نادیده گرفت. بنابراین، انرژی مکانیکی سیستم مورد نظر باید بدون تغییر باقی بماند و برابری برقرار است

M υ 2 / 2 = MU 2 / 2 + مایل 2 /2 (2)

با تعیین از (1) سرعت بلوک Uو با جایگزینی آن به (2)، عدد 2 را بدست می آوریم مvu=(م+متر)تو 2، و از آنجایی که با توجه به شرایط مشکل متر << م، سپس 2 vu=تو 2. از اینجا، با در نظر گرفتن جهت حرکت احتمالی، نتیجه می شود که پس از برخورد، مکعب سرعتی به دست می آورد که مقدار آن برابر است.

(3)

و سرعت بلوک بدون تغییر و برابر خواهد ماند v. بنابراین، پس از ضربه، سرعت مکعب باید دو برابر سرعت بلوک باشد. بنابراین، پس از برخورد به مکعب در جهت افقی تا زمانی که متوقف شود، تنها نیروی اصطکاک لغزشی μ عمل می کند. میلی گرمو بنابراین، مکعب با شتاب μ به همان اندازه آهسته حرکت خواهد کرد g. پس از برخورد، بلوک فقط در جهت افقی تحت تأثیر نیروی کشسان فنر قرار می گیرد (بلوک صاف است). در نتیجه سرعت بلوک طبق قانون هارمونیک تغییر می کند و در حالی که مکعب در حال حرکت است از بلوک جلوتر است. از موارد فوق چنین استنباط می شود که بلوک از موقعیت تعادل خود می تواند یک فاصله ∆ را حرکت دهد ایکس. اگر ضریب اصطکاک μ به اندازه کافی کوچک باشد، بلوک دوباره با مکعب برخورد نمی کند و بنابراین جابجایی مطلوب مکعب باید باشد.

L = و 2/2 میکروگرم = 2 ک(∆x)2/μ م g.

مقایسه این فاصله با ∆ ایکس، متوجه می شویم که پاسخ داده شده برای μ ≤ 2 صحیح است ک ∆ایکس/ Mg

مشکل 6(2000). روی لبه تخته ای که روی یک صفحه افقی صاف قرار دارد، یک واشر کوچک قرار دهید که جرم آن برابر است. کبار کمتر از جرم تخته با یک کلیک، پوک به سمت مرکز تخته سرعت داده می شود. اگر این سرعت بیشتر باشد تو، سپس جن از روی تخته می لغزد. اگر سرعت پاک باشد تخته با چه سرعتی حرکت می کند nبار بیشتر تو (n> 1)?

راه حل.هنگام حل مشکل، طبق معمول، از تأثیر هوا غافل می‌شویم و فرض می‌کنیم که چارچوب مرجع مرتبط با جدول اینرسی است و پوک پس از ضربه به صورت انتقالی حرکت می‌کند. توجه داشته باشید که این تنها در صورتی امکان پذیر است که خط عمل نیروی خارجی و مرکز جرم پوک در یک صفحه عمودی قرار گیرند. از آنجا که، با توجه به شرایط مشکل، پوک در سرعت اولیه کمتر از تو، از روی تخته نمی لغزد، باید فرض کرد که وقتی واشر در امتداد تخته می لغزد، نیروهای اصطکاک بین آنها وارد می شود. با توجه به اینکه پس از کلیک، پوک در امتداد تخته به سمت مرکز حرکت می کند و نیروی اصطکاک لغزشی به موازات سرعت هدایت می شود، می توان استدلال کرد که تخته باید شروع به حرکت به سمت جلو در امتداد میز کند. از آنچه قبلاً گفته شد و قانون بقای حرکت (از آنجایی که تخته روی یک صفحه افقی صاف قرار دارد) نتیجه می شود که سرعت پوک بلافاصله پس از کلیک تو w، سرعت آن v w و سرعت برد V d در لحظه لغزش واشرها باید رابطه را ارضا کنند

مترتو w = م V d + مترv w, (1)

جایی که متر- جرم واشر، و م- جرم هیئت مدیره، اگر تو w > تو. اگر تو w ≤ تو، سپس با توجه به شرایط مشکل، پوک از تخته نمی لغزد و بنابراین، پس از مدت زمان کافی، سرعت برد و پوک باید برابر شود. با فرض اینکه، طبق معمول، مقدار نیروی اصطکاک لغزشی خشک مستقل از سرعت باشد، با صرف نظر از اندازه واشر و در نظر گرفتن اینکه حرکت واشر نسبت به تخته در لحظه لغزش به اولیه آن بستگی ندارد. سرعت با در نظر گرفتن آنچه قبلا گفته شد و بر اساس قانون تغییر انرژی مکانیکی می توان بیان کرد که تو w ≥ تو

مو w 2/2 = MV d 2/2 + مترυ w 2 / 2 + A,(2)

جایی که آ- کار در برابر نیروهای اصطکاک، و با تو w > تو Vد< v w، و در تو w = تو V d = v w با توجه به اینکه به شرط م/متر=ک، از (1) و (2) در تو w = توپس از تبدیل های جبری به دست می آوریم

و از زمانی که در تو w = شمارهاز (1) نتیجه می گیرد که

υ w 2 = n 2 و 2 + ک 2 V d 2 - 2 nki V d (4)

سرعت مورد نظر برد باید معادله را برآورده کند

ک(ک + 1) V d 2 - 2 nk و V d + کی 2 /(ک + 1) = 0. (5)

بدیهی است که وقتی n→∞ زمان تعامل پوک با تخته باید به سمت صفر متمایل شود و در نتیجه سرعت مورد نظر برد با افزایش آن افزایش یابد. n(پس از تجاوز از یک مقدار بحرانی خاص) باید کاهش یابد (در حد صفر). بنابراین، از این دو راه حل های امکان پذیرمعادله (5) شرایط مسئله را برآورده می کند

ارتعاشات رایگانتحت تأثیر متعهد می شوند نیروهای داخلیپس از اینکه سیستم از وضعیت تعادل خود خارج شد.

به منظور. واسه اینکه. برای اینکهارتعاشات آزاد طبق قانون هارمونیک رخ می دهد، لازم است نیرویی که بدن را به حالت تعادل برمی گرداند، متناسب با جابجایی جسم از وضعیت تعادل باشد و در جهت مخالف جابجایی هدایت شود (نگاه کنید به بند 2.1). ):

نیروهایی از هر ماهیت فیزیکی دیگری که این شرایط را برآورده می کنند نامیده می شوند شبه الاستیک .

بنابراین، یک بار از مقداری جرم متر، به فنر سفت کننده متصل شده است ک، که انتهای دوم آن به طور ثابت ثابت است (شکل 2.2.1)، سیستمی را تشکیل می دهد که قادر به انجام نوسانات هارمونیک آزاد در غیاب اصطکاک است. بار روی فنر نامیده می شود هارمونیک خطی نوسان ساز .

فرکانس دایره ای ω 0 نوسانات آزاد بار روی فنر از آن یافت می شود قانون دوم نیوتن :

هنگامی که سیستم بار فنری به صورت افقی قرار می گیرد، نیروی گرانش اعمال شده به بار توسط نیروی واکنش پشتیبانی جبران می شود. اگر بار روی فنر معلق باشد، نیروی گرانش در امتداد خط حرکت بار هدایت می شود. در حالت تعادل، فنر به اندازه ای کشیده می شود ایکس 0 برابر

بنابراین، قانون دوم نیوتن برای بار روی فنر را می توان به صورت زیر نوشت

معادله (*) نامیده می شود معادله ارتعاشات آزاد . لازم به ذکر است که مشخصات فیزیکیسیستم نوسانی فقط فرکانس طبیعی نوسانات ω 0 یا دوره را تعیین کنید تی . پارامترهای فرآیند نوسان مانند دامنه ایکس m و فاز اولیه φ 0 با روشی تعیین می شود که در آن سیستم در لحظه اولیه زمان از حالت تعادل خارج شد.

برای مثال، اگر بار با فاصله Δ از موقعیت تعادل جابجا شود لو سپس در یک نقطه از زمان تی= 0 بدون سرعت اولیه منتشر شد، سپس ایکس m = Δ ل، φ 0 = 0.

اگر به باری که در موقعیت تعادل قرار داشت با کمک یک فشار تند سرعت اولیه ± υ 0 داده شود،

بنابراین، دامنه ایکس m نوسانات آزاد و فاز اولیه آن φ 0 تعیین می شود شرایط اولیه .

انواع مختلفی از سیستم های نوسانی مکانیکی وجود دارد که از نیروهای تغییر شکل الاستیک استفاده می کنند. در شکل شکل 2.2.2 آنالوگ زاویه ای یک نوسان ساز هارمونیک خطی را نشان می دهد. یک دیسک که به صورت افقی قرار دارد، روی یک نخ الاستیک متصل به مرکز جرم آن آویزان است. هنگامی که دیسک از طریق زاویه θ می چرخد، یک لحظه نیرو رخ می دهد مکنترل تغییر شکل پیچشی الاستیک:

جایی که من = من C لحظه اینرسی دیسک نسبت به محور است که از مرکز جرم می گذرد، ε شتاب زاویه ای است.

با قیاس با بار روی فنر، می توانید دریافت کنید:

ارتعاشات رایگان آونگ ریاضی

آونگ ریاضیجسم کوچکی نامیده می شود که بر روی یک نخ نازک غیر قابل امتداد معلق است که جرم آن در مقایسه با جرم بدن ناچیز است. در حالت تعادل، هنگامی که آونگ شاقول را آویزان می کند، نیروی گرانش با نیروی کشش نخ متعادل می شود. هنگامی که آونگ با یک زاویه خاص φ از موقعیت تعادل منحرف می شود، یک جزء مماسی از گرانش ظاهر می شود. اف τ = - میلی گرم sin φ (شکل 2.3.1). علامت منفی در این فرمول به این معنی است که جزء مماسی در جهت مخالف انحراف آونگ هدایت می شود.

اگر با علامت گذاری کنیم ایکسجابجایی خطی آونگ از موقعیت تعادل در امتداد کمانی دایره ای با شعاع ل، سپس جابجایی زاویه ای آن برابر با φ = خواهد بود ایکس / ل. قانون دوم نیوتن که برای پیش بینی بردارهای شتاب و نیرو بر روی جهت مماس نوشته شده است، به دست می دهد:

این رابطه نشان می دهد که یک آونگ ریاضی پیچیده است غیر خطیسیستم، از آنجایی که نیرویی که تمایل دارد آونگ را به موقعیت تعادل بازگرداند، متناسب با جابجایی نیست. ایکس، آ

فقط در صورت نوسانات کوچک، زمانی که تقریبامی تواند با یک آونگ ریاضی جایگزین شود، یک نوسان ساز هارمونیک است، یعنی سیستمی که قادر به انجام نوسانات هارمونیک است. در عمل، این تقریب برای زوایای مرتبه 15-20 درجه معتبر است. در این مورد، مقدار با بیش از 2٪ متفاوت است. نوسانات یک آونگ در دامنه های بزرگ هارمونیک نیستند.

برای نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی، قانون دوم نیوتن به شکل نوشته شده است.

این فرمول بیان می کند فرکانس طبیعی نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی .

از این رو،

هر جسمی که روی یک محور چرخش افقی نصب شده باشد، قادر به نوسانات آزاد در میدان گرانشی است و بنابراین، آونگ نیز می باشد. معمولاً چنین آونگی نامیده می شود فیزیکی (شکل 2.3.2). فقط در توزیع جرم ها با ریاضی تفاوت دارد. در موقعیت تعادل پایدار، مرکز جرم سی آونگ فیزیکیدر زیر محور چرخش O بر روی یک عمودی که از محور عبور می کند قرار دارد. هنگامی که آونگ با زاویه φ منحرف می شود، یک لحظه گرانش ایجاد می شود که تمایل دارد آونگ را به موقعیت تعادل بازگرداند:

و قانون دوم نیوتن برای آونگ فیزیکی شکل می گیرد (به بند 1.23 مراجعه کنید).

اینجا ω 0 - فرکانس طبیعی نوسانات کوچک یک آونگ فیزیکی .

از این رو،

بنابراین، معادله بیان‌کننده قانون دوم نیوتن برای یک آونگ فیزیکی را می‌توان به شکل نوشتاری نوشت

در نهایت، برای فرکانس دایره ای ω 0 نوسانات آزاد یک آونگ فیزیکی، عبارت زیر به دست می آید:

تبدیل انرژی در طی ارتعاشات مکانیکی آزاد

در طول ارتعاشات مکانیکی آزاد، انرژی های جنبشی و پتانسیل به طور دوره ای تغییر می کنند. با حداکثر انحراف یک جسم از موقعیت تعادلی خود، سرعت آن و در نتیجه انرژی جنبشی آن از بین می رود. در این موقعیت انرژی پتانسیل جسم نوسانی به حداکثر مقدار خود می رسد. برای بار روی فنر، انرژی پتانسیل انرژی تغییر شکل الاستیک فنر است. برای یک آونگ ریاضی، این انرژی در میدان گرانشی زمین است.

وقتی جسمی در حال حرکت از حالت تعادل عبور می کند، سرعت آن حداکثر است. طبق قانون اینرسی، بدن از وضعیت تعادل خارج می شود. در این لحظه دارای حداکثر انرژی جنبشی و حداقل انرژی پتانسیل است. افزایش انرژی جنبشی به دلیل کاهش انرژی پتانسیل رخ می دهد. با حرکت بیشتر، انرژی پتانسیل به دلیل کاهش شروع به افزایش می کند انرژی جنبشیو غیره.

بنابراین، زمانی که ارتعاشات هارمونیکتبدیل دوره ای انرژی جنبشی به انرژی پتانسیل و بالعکس وجود دارد.

اگر در سیستم نوسانی اصطکاک وجود نداشته باشد، کل انرژی مکانیکی در طول نوسانات آزاد بدون تغییر باقی می ماند.

برای بار فنر(نگاه کنید به §2.2):

در شرایط واقعی، هر سیستم نوسانی تحت تأثیر نیروهای اصطکاک (مقاومت) است. در این حالت بخشی از انرژی مکانیکی به انرژی درونی حرکت حرارتی اتم ها و مولکول ها تبدیل می شود و ارتعاشات تبدیل می شود. محو شدن (شکل 2.4.2).

سرعت فروپاشی ارتعاشات به بزرگی نیروهای اصطکاک بستگی دارد. بازه زمانی τ که در طی آن دامنه نوسانات کاهش می یابد ه≈ 2.7 بار، تماس گرفته شد زمان پوسیدگی .

فرکانس نوسانات آزاد به سرعت فروپاشی نوسانات بستگی دارد. با افزایش نیروهای اصطکاک، فرکانس طبیعی کاهش می یابد. با این حال، تغییر در فرکانس طبیعی تنها با نیروهای اصطکاک به اندازه کافی بزرگ، زمانی که ارتعاشات طبیعی به سرعت از بین می روند، قابل توجه می شود.

یکی از ویژگی های مهم یک سیستم نوسانی که نوسانات میرا آزاد را انجام می دهد این است فاکتور کیفیت س. این پارامتر به عنوان یک عدد تعریف می شود نکل نوسانات انجام شده توسط سیستم در طول زمان میرایی τ، ضرب در π:

بنابراین، ضریب کیفیت، از دست دادن نسبی انرژی در سیستم نوسانی را به دلیل وجود اصطکاک در یک بازه زمانی برابر با یک دوره نوسان مشخص می کند.

ارتعاشات اجباری رزونانس. خود نوسانات

نوساناتی که تحت تأثیر یک نیروی تناوبی خارجی رخ می دهد نامیده می شود مجبور شد.

نیروی خارجیکار مثبت انجام می دهد و جریان انرژی را به سیستم نوسانی می دهد. با وجود اعمال نیروهای اصطکاک، اجازه نمی دهد ارتعاشات از بین بروند.

یک نیروی خارجی دوره ای می تواند در طول زمان بر اساس قوانین مختلف تغییر کند. موردی جالب توجه است که یک نیروی خارجی، که بر اساس یک قانون هارمونیک با فرکانس ω متغیر است، بر روی یک سیستم نوسانی که قادر به انجام نوسانات خود در فرکانس معین ω 0 است، عمل می کند.

اگر نوسانات آزاد در فرکانس ω 0 رخ دهد که توسط پارامترهای سیستم تعیین می شود، نوسانات اجباری ثابت همیشه در فرکانس ω نیروی خارجی.

پس از اینکه نیروی خارجی شروع به اعمال بر روی سیستم نوسانی کرد، مدتی Δ تیبرای ایجاد نوسانات اجباری زمان استقرار به ترتیب بزرگی برابر با زمان میرایی τ نوسانات آزاد در سیستم نوسانی است.

در لحظه اولیه، هر دو فرآیند در سیستم نوسانی برانگیخته می شوند - نوسانات اجباری در فرکانس ω و نوسانات آزاد در فرکانس طبیعی ω 0. اما ارتعاشات آزاد به دلیل وجود اجتناب ناپذیر نیروهای اصطکاک میرا می شوند. بنابراین پس از مدتی فقط نوسانات ثابت در فرکانس ω نیروی محرکه خارجی در سیستم نوسانی باقی می ماند.

اجازه دهید به عنوان مثال، نوسانات اجباری یک جسم روی فنر را در نظر بگیریم (شکل 2.5.1). یک نیروی خارجی به انتهای آزاد فنر وارد می شود. انتهای آزاد (سمت چپ در شکل 2.5.1) فنر را وادار می کند تا طبق قانون حرکت کند.

اگر انتهای چپ فنر با فاصله جابجا شود y، و سمت راست - به فاصله ایکساز موقعیت اصلی خود، زمانی که فنر تغییر شکل نداده است، سپس ازدیاد طول فنر Δ لبرابر است با:

در این معادله، نیروی وارد بر جسم به صورت دو جمله نمایش داده می شود. اولین عبارت در سمت راست نیروی کشسانی است که بدن را به حالت تعادل برمی گرداند. ایکس= 0). اصطلاح دوم اثر دوره ای خارجی بر بدن است. این اصطلاح نامیده می شود نیروی اجباری.

اگر رابطه بین شتاب جسم و مختصات آن را در نظر بگیریم، می‌توان به معادله‌ای که قانون دوم نیوتن را برای جسم روی فنر در حضور تأثیر تناوبی خارجی بیان می‌کند، شکل ریاضی دقیقی داد. در فرم نوشته خواهد شد

معادله (**) عمل نیروهای اصطکاک را در نظر نمی گیرد. بر خلاف معادلات ارتعاشات آزاد(*) (نگاه کنید به §2.2) معادله نوسان اجباری(**) شامل دو فرکانس است - فرکانس ω 0 نوسانات آزاد و فرکانس ω نیروی محرک.

طبق قانون، نوسانات اجباری حالت پایدار یک بار روی فنر در فرکانس تأثیر خارجی رخ می دهد.

دامنه نوسانات اجباری ایکس m و فاز اولیه θ به نسبت فرکانس‌های ω 0 و ω و به دامنه بستگی دارد. y m نیروی خارجی

در فرکانس های بسیار پایین، زمانی که ω<< ω 0 , движение тела массой متر، به انتهای سمت راست فنر متصل شده است، حرکت انتهای چپ فنر را تکرار می کند. که در آن ایکس(تی) = y(تی، و فنر عملا تغییر شکل نداده است. نیروی خارجی وارد شده به انتهای سمت چپ فنر کاری انجام نمی دهد، زیرا مدول این نیرو در ω<< ω 0 стремится к нулю.

اگر فرکانس ω نیروی خارجی به فرکانس طبیعی ω 0 نزدیک شود، افزایش شدید دامنه نوسانات اجباری رخ می دهد. این پدیده نامیده می شود رزونانس . وابستگی دامنه ایکس m نوسانات اجباری از فرکانس ω نیروی محرکه نامیده می شود مشخصه طنین اندازیا منحنی رزونانس(شکل 2.5.2).

در رزونانس، دامنه ایکس m نوسانات بار می تواند چندین برابر بیشتر از دامنه باشد y m ارتعاشات انتهای آزاد (چپ) فنر ناشی از تأثیر خارجی است. در غیاب اصطکاک، دامنه نوسانات اجباری در طول تشدید باید بدون محدودیت افزایش یابد. در شرایط واقعی، دامنه نوسانات اجباری حالت پایدار با این شرط تعیین می شود: کار یک نیروی خارجی در طول دوره نوسان باید برابر با از دست دادن انرژی مکانیکی در همان زمان به دلیل اصطکاک باشد. هر چه اصطکاک کمتر باشد (یعنی ضریب کیفیت بالاتر باشد سسیستم نوسانی)، دامنه نوسانات اجباری در رزونانس بیشتر است.

در سیستم های نوسانی با ضریب کیفیت نه چندان بالا (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

پدیده تشدید می تواند باعث تخریب پل ها، ساختمان ها و سایر سازه ها شود اگر فرکانس های طبیعی نوسانات آنها با فرکانس نیرویی که به طور دوره ای عمل می کند، که مثلاً به دلیل چرخش یک موتور نامتعادل ایجاد می شود، منطبق باشد.

ارتعاشات اجباری هستند میر نشدهنوسانات تلفات انرژی اجتناب ناپذیر ناشی از اصطکاک با تامین انرژی از یک منبع خارجی نیروی عمل کننده دوره ای جبران می شود. سیستم هایی وجود دارند که در آنها نوسانات بدون میرا نه به دلیل تأثیرات خارجی دوره ای، بلکه در نتیجه توانایی چنین سیستم هایی برای تنظیم تأمین انرژی از یک منبع ثابت ایجاد می شود. چنین سیستم هایی نامیده می شوند خود نوسانی، و فرآیند نوسانات بدون میرا در چنین سیستم هایی است خود نوسانات . در یک سیستم خود نوسانی، سه عنصر مشخصه قابل تشخیص است - یک سیستم نوسانی، یک منبع انرژی و یک دستگاه بازخورد بین سیستم نوسانی و منبع. هر سیستم مکانیکی که بتواند نوسانات میرایی خود را انجام دهد (مثلاً آونگ ساعت دیواری) می تواند به عنوان یک سیستم نوسانی استفاده شود.

منبع انرژی می تواند انرژی تغییر شکل یک فنر یا انرژی پتانسیل یک بار در یک میدان گرانشی باشد. دستگاه بازخورد مکانیزمی است که توسط آن یک سیستم خود نوسانی جریان انرژی از یک منبع را تنظیم می کند. در شکل 2.5.3 نموداری از تعامل عناصر مختلف یک سیستم خود نوسانی را نشان می دهد.

نمونه ای از سیستم های مکانیکی خود نوسان ساز مکانیزم ساعت با لنگرپیشرفت (شکل 2.5.4). چرخ در حال اجرا با دندانه های مورب به سختی به یک درام دندانه دار متصل شده است که از طریق آن یک زنجیر با وزنه پرتاب می شود. در انتهای بالایی آونگ ثابت است لنگر(لنگر) با دو صفحه از مواد جامد، خم شده در یک قوس دایره ای با مرکز بر روی محور آونگ. در ساعت‌های دستی، وزن با یک فنر جایگزین می‌شود و آونگ با یک متعادل کننده جایگزین می‌شود - یک چرخ دستی که به یک فنر مارپیچی متصل است. متعادل کننده ارتعاشات پیچشی حول محور خود انجام می دهد. سیستم نوسانی در ساعت یک آونگ یا متعادل کننده است.

منبع انرژی یک وزنه برآمده یا فنر زخمی است. وسیله ای که برای ارائه بازخورد استفاده می شود یک لنگر است که به چرخ دونده اجازه می دهد یک دندان را در یک نیم چرخه بچرخاند. بازخورد توسط تعامل لنگر با چرخ در حال اجرا ارائه می شود. با هر نوسان آونگ، یک دندانه از چرخ در حال حرکت، چنگال لنگر را در جهت حرکت آونگ فشار می دهد و بخش معینی از انرژی را به آن منتقل می کند که تلفات انرژی ناشی از اصطکاک را جبران می کند. بنابراین، انرژی پتانسیل وزنه (یا فنر پیچ خورده) به تدریج، در بخش های جداگانه، به آونگ منتقل می شود.

سیستم های مکانیکی خود نوسانی در زندگی اطراف ما و در فناوری گسترده هستند. خود نوسانی در موتورهای بخار، موتورهای احتراق داخلی، زنگ‌های الکتریکی، سیم‌های آلات موسیقی آرشه‌دار، ستون‌های هوا در لوله‌های سازهای بادی، تارهای صوتی هنگام صحبت یا آواز خواندن و غیره رخ می‌دهد.

شکل 2.5.4. مکانیسم ساعت با آونگ.