فرمول های یافتن حجم یک متوازی الاضلاع حجم یک متوازی الاضلاع از یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل توسط محصول تعیین می شود

لم 1. حجم متوازی الاضلاع مستطیل شکل با قاعده مساوی به ارتفاع آنها مربوط می شود.

اگر متوازی الاضلاع مستطیلی دارای پایه های مساوی باشند، می توان آنها را یکی در داخل دیگری تودرتو کرد.

فرض کنید AG و AP (شکل) دو متوازی الاضلاع باشند. بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

1. ارتفاع BF و BN قابل مقایسه است.

اجازه دهید اندازه گیری ارتفاع کلی m بار در BF و n بار در BN باشد.

اجازه دهید یک سری هواپیما را از طریق نقاط تقسیم ترسیم کنیم، به موازات پایه.

سپس AG متوازی السطوح به m و AP موازی به n قسمت مساوی تقسیم می شود.

بدین ترتیب به دست می آوریم:

\(\frac(BF)(BN)=\frac(m)(n)\) و \(\frac(Volume AG)(Volume AP)=\frac(m)(n) \)

از این رو:

\(\frac(Volume AG)(Volume AP)=\frac(BF)(BN) \)

2. ارتفاع BF و BN غیر قابل مقایسه است.

BN را به n قسمت مساوی تقسیم کنید و تا جایی که ممکن است یک قسمت را روی BF قرار دهید.

اجازه دهید سهم 1/n از BN در BF بیش از m بار، اما کمتر از m+1 برابر باشد.

سپس، مانند قبل، یک سری صفحات موازی با پایه ترسیم می کنیم، par-d AP را به n قسمت مساوی تقسیم می کنیم که par-de AG بیشتر از m، اما کمتر از m+1 باشد.

از این رو:

حدودا. \(\frac(BF)(BN)=\frac(m)(n)\) and approx.rel. \(\frac(Volume AG)(Volume AP)=\frac(m)(n)\)

بنابراین، نسبت های تقریبی محاسبه شده با دقت دلخواه اما برابر برابر هستند. و این برابری روابط غیرقابل قیاس است.

لم 2. حجم متوازی الاضلاع مستطیلی با ارتفاع مساوی به مساحت قاعده آنها مربوط می شود.

فرض کنید (شکل) P و P 1 دو متوازی الاضلاع مستطیلی شکل باشند. بیایید پایه های نامساوی یکی از آنها را با a و b و دیگری را با 1 و b 1 نشان دهیم.

بیایید یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل کمکی Q را در نظر بگیریم که ارتفاع آن با این اجسام برابر است و پایه آن مستطیلی است با اضلاع a و b 1.

متوازی الاضلاع P و Q دارای وجه جلویی برابر هستند. اگر این وجوه را به عنوان پایه در نظر بگیریم، ارتفاعات b و b 1 خواهد بود و بنابراین:

حجم P/جلد Q = b/b1

موازی پاهای Q و P 1 دارای وجوه جانبی برابر هستند. اگر این صورت ها را به عنوان پایه در نظر بگیریم، ارتفاعات a و a 1 خواهند بود و بنابراین:

جلد Q/جلد P 1 = a/a1

با ضرب تساوی ها و می یابیم:

حجم P/جلد P 1 = ab/a 1 b 1

از آنجایی که ab مساحت پایه par-da P و a 1 b 1 - مساحت پایه par-da P 1 را بیان می کند، لم ثابت می شود.

قضیه. حجم یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل برابر است با حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

فرض کنید (شکل) P یک متوازی الاضلاع مستطیلی و P 1 مقداری واحد مکعب باشد.

بیایید مساحت و ارتفاع پایه اولی را با B و H و دومی را با B 1 و H 1 نشان دهیم.

اجازه دهید یک متوازی الاضلاع مستطیلی Q کمکی بگیریم که مساحت پایه آن B 1 و ارتفاع آن H است.

با مقایسه P با Q و سپس Q با P1، متوجه می‌شویم:

در باره. P/Vol. Q = B/B1 و جلد. Q/rev. P1 = H/H1

با ضرب این برابری ها به دست می آید:

در باره. P/Vol. P1 = B/B1 * H/H1

نسبت های موجود در این تساوی اعدادی هستند که حجم، مساحت پایه و ارتفاع یک متوازی الاضلاع معین را در واحدهای مکعب، مربع و خطی مربوطه بیان می کنند. بنابراین، آخرین برابری را می توان به صورت زیر بیان کرد:

عددی که حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی را بیان می کند برابر است با حاصل ضرب اعدادی که مساحت پایه و ارتفاع را در واحدهای مربوطه بیان می کنند.

این به طور خلاصه به شرح زیر بیان می شود: حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر است با حاصلضرب مساحت پایه و ارتفاع، یعنی.

که در آن V، B و H اعدادی هستند که حجم، مساحت پایه و ارتفاع یک متوازی الاضلاع مستطیلی را در واحدهای مربوطه بیان می کنند.

با نشان دادن سه بعد یک پاردا مستطیلی (به صورت اعداد) با حروف a، b و c، می توانیم بنویسیم:

زیرا مساحت پایه با حاصل ضرب دو تا از این ابعاد بیان می شود و ارتفاع آن برابر با بعد سوم است.

عواقب:

1. حجم یک مکعب برابر با توان سوم لبه آن است.
2. نسبت دو واحد مکعب برابر است با توان سوم نسبت واحدهای خطی مربوطه. بنابراین، نسبت m3 به dm3 10 3 است، یعنی. 1000.

حجم هر متوازی الاضلاع

لما اندازه یک منشور مایل برابر است با منشوری مستقیم که قاعده آن برابر با قسمت عمود منشور شیبدار و ارتفاع آن برابر با لبه کناری آن است.

از طریق نقطه a (شکل) یکی از لبه های جانبی منشور مایل A 1 d یک مقطع عمود بر abcde رسم می کنیم. سپس تمام ضلع ها را رو به پایین ادامه می دهیم، aa 1 =AA 1 را کنار می گذاریم و از نقطه a 1 یک مقطع عمود بر a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 ترسیم می کنیم.

از آنجایی که صفحات دو بخش موازی هستند، قسمت های دنده های جانبی محصور در بین آنها با هم برابر هستند، یعنی.
bb 1 = ss 1 = dd 1 = ee 1 = aa 1 = AA 1 .

در نتیجه چندوجهی a 1 d منشوری مستقیم است که قاعده آن مقطعی عمود است و ارتفاع (یا همان لبه کناری) برابر با لبه کناری منشور مایل است.

اجازه دهید ثابت کنیم که یک منشور مایل از نظر اندازه با یک منشور مستقیم برابر است.

برای انجام این کار، اجازه دهید ابتدا مطمئن شویم که چند وجهی aD و a 1 D 1 برابر هستند.

پایه های آنها abcde و a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 برابر هستند، مانند پایه های یک منشور a 1 d.

از طرف دیگر، با کم کردن مساوات A 1 A = a 1 a در امتداد همان خط مستقیم A 1 a از هر دو طرف، aA = a 1 A 1 را به دست می آوریم.

مشابه این: bB = b 1 B 1، cC = c 1 C 1 و غیره.

اکنون تصور می کنیم که چند وجهی aD در 1 D 1 تعبیه شده است تا پایه های آنها بر هم منطبق باشد. سپس دنده های جانبی، عمود بر پایه ها و به ترتیب برابر، نیز منطبق خواهند شد.

بنابراین، چند وجهی aD با 1 D 1 سازگار است. این بدان معناست که این اجسام برابر هستند.

حال توجه داشته باشید که اگر قسمت aD را از کل چند وجهی a 1 D کم کنیم، یک منشور مستقیم بدست می آوریم. و اگر قسمت a 1 D 1 را از همان چند وجهی کم کنیم، یک منشور مایل به دست می آوریم.

از این نتیجه می شود که این دو منشور از نظر اندازه برابر هستند، زیرا حجم آنها تفاوت در حجم اجسام مساوی است.

قضیه. حجم یک متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

قبلاً این قضیه را برای متوازی الاضلاع مستطیلی ثابت می کردیم، اکنون آن را برای متوازی الاضلاع مستقیم و سپس مایل ثابت می کنیم.

1. اجازه دهید (شکل) AC 1 مستقیم par-d، i.e. یکی که قاعده ABCD آن نوعی متوازی الاضلاع است و تمام وجوه جانبی آن مستطیل هستند.

اجازه دهید صورت AA 1 B 1 B را به عنوان پایه آن در نظر بگیریم سپس متوازی الاضلاع متمایل می شود.

با در نظر گرفتن آن به عنوان یک حالت خاص از یک منشور مایل، بر اساس لم پاراگراف قبل، می توانیم ادعا کنیم که این par-d معادل یک خط مستقیم است که قاعده آن یک مقطع عمود بر MNPQ و ارتفاع BC است.

چهار ضلعی MNPQ یک مستطیل است زیرا زوایای آن به عنوان زوایای خطی زوایای دووجهی قائمه عمل می کنند. بنابراین، یک متوازی الاضلاع راست با این پایه باید مستطیل باشد و بنابراین، حجم آن برابر است با حاصلضرب مساحت پایه MNPQ و ارتفاع قبل از میلاد.

اما مساحت MNPQ برابر با MN * MQ است. به معنای:

حجم AC1 = MN * MQ * قبل از میلاد

محصول MQ * BC مساحت متوازی الاضلاع ABCD را بیان می کند. از همین رو:

حجم AC 1 = (منطقه ABCD) * MN

2. اجازه دهید (شکل) AC 1 مایل باشد. اندازه آن برابر است با یک خط مستقیم که قاعده آن برش عمود بر MNPQ و ارتفاع آن لبه BC است.

اما طبق آنچه ثابت شد حجم یک موازی پای راست برابر است با حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع. به معنای:

جلد AC 1 = (منطقه MNPQ) * قبل از میلاد

اگر RS ارتفاع بخش MNPQ باشد، ناحیه MNPQ = MQ * RS است. از همین رو:

جلد AC1 = MQ * RS * قبل از میلاد

محصول BC * MQ مساحت متوازی الاضلاع ABCD را بیان می کند. از این رو:

حجم AC 1 = (منطقه ABCD) * RS

آن ها حجم هر متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع .

نتیجه.اگر V، B و H اعدادی باشند که حجم، مساحت پایه و ارتفاع برخی از متوازی الاضلاع را در واحدهای مربوطه بیان می کنند، می توانیم بنویسیم:

وظیفه.قاعده متوازی الاضلاع سمت راست یک لوزی است که مساحت آن برابر با S است. مساحت مقاطع مورب برابر با S 1 و S 2 است. حجم متوازی الاضلاع را بیابید.

برای یافتن حجم یک متوازی الاضلاع، باید ارتفاع آن را H پیدا کنید (شکل 242).

اجازه دهید طول قطرهای پایه را با علامت گذاری کنیم د 1 و د 2. سپس

د 1 H = S 1، د 2 H = S 2، د 1 د 2 = 2S.

از این معادلات در می یابیم

$$ \frac(S_1)(H)\cdot \frac(S_2)(H) = 2S, \;\; H=\sqrt(\frac(S_1 S_2)(2S)) $$

از این رو،

$$ V=S\cdot H = S\sqrt(\frac(S_1 S_2)(2S))=\sqrt(\frac(S\cdot S_1\cdot S_2)(2)) $$

فصل سه

POLYHedra

جلد دوم منشور و هرم

82. مفروضات اساسی در مجلدات.اندازه قسمتی از فضا که یک جسم هندسی اشغال می کند، حجم این جسم نامیده می شود.

ما این وظیفه را تعیین می کنیم - برای این کمیت عبارتی در قالب یک عدد مشخص پیدا کنیم که این کمیت را اندازه گیری می کند. در انجام این کار، ما با نکات شروع زیر هدایت خواهیم شد:

1) اجسام مساوی دارای حجم مساوی هستند.

2) حجم یک جسم(به عنوان مثال، هر متوازی الاضلاع نشان داده شده در شکل 87)، متشکل از قطعات(P و Q)، برابر با مجموع حجم این قطعات است.

دو جسم با حجم یکسان را از نظر اندازه مساوی می گویند.

83. واحد حجم.هنگام اندازه گیری حجم ها، حجم مکعبی که هر لبه آن برابر با یک واحد خطی است به عنوان واحد حجم در نظر گرفته می شود. بنابراین، متر مکعب (m 3)، سانتی متر مکعب (cm 3) و غیره استفاده می شود.

حجم یک متوازی الاضلاع

84. قضیه.حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر حاصلضرب سه بعد آن است.

در چنین عبارت مختصری، این قضیه را باید به صورت زیر فهمید: عددی که حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی را در یک واحد مکعب بیان می کند، برابر است با حاصل ضرب اعدادی که ابعاد سه آن را در واحد خطی مربوطه بیان می کنند، یعنی در واحدی که لبه ای از مکعب است که حجم آن یک واحد مکعب در نظر گرفته می شود. بنابراین، اگر ایکسعددی است که حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی را بر حسب سانتی متر مکعب بیان می کند و الف، بو بااعدادی که سه بعد آن را در سانتی متر خطی بیان می کنند، سپس قضیه بیان می کند که x = abc.

در اثبات، به ویژه سه مورد زیر را در نظر خواهیم گرفت:

1) اندازه گیری ها بیان می شود اعداد صحیح.

به عنوان مثال، اندازه گیری ها را بگذارید (شکل 88): AB = آخورشید = بو BD = ج,
جایی که الف، بو با- تعدادی اعداد صحیح (به عنوان مثال، همانطور که در نقاشی ما نشان داده شده است: آ = 4, ب= 2 و با= 5). سپس پایه متوازی الاضلاع شامل abچنین مربع هایی که هر کدام نشان دهنده یک واحد مربع مربوطه است. هر یک از این مربع ها به وضوح می تواند یک واحد مکعب را در خود جای دهد. سپس یک لایه (در نقاشی نشان داده شده است) دریافت می کنید که از abواحد مکعب از آنجایی که ارتفاع این لایه برابر با یک واحد خطی است و ارتفاع کل متوازی الاضلاع شامل باچنین واحدهایی، سپس در داخل متوازی الاضلاع می توانیم قرار دهیم باچنین لایه هایی بنابراین حجم این متوازی الاضلاع برابر است با abcواحد مکعب

2) اندازه گیری ها بیان می شود اعداد کسری . بگذارید ابعاد متوازی الاضلاع باشد:

متر / n , پ / q , r / س

. (برخی از این کسرها ممکن است برابر با یک عدد کامل باشند). با تقلیل کسرها به مخرج یکسان، داریم:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

بیایید 1 را بگیریم / nqsسهم یک واحد خطی برای یک واحد جدید (کمکی) طول. سپس در این واحد اندازه گیری جدید این متوازی الاضلاع آنها را به صورت اعداد صحیح بیان می کنند، یعنی: mqs، pnsو rnqو بنابراین، طبق آنچه ثابت شد (در مورد 1)، حجم متوازی الاضلاع برابر است با حاصلضرب ( mqs) (pns) (rnq)، اگر این حجم را با یک واحد مکعب جدید، مربوط به یک واحد خطی جدید اندازه گیری کنیم. یک واحد مکعب مربوط به واحد خطی قبلی شامل ( nqs) 3 ؛ یعنی واحد مکعب جدید 1/( nqs) 3 سابق. بنابراین، حجم متوازی الاضلاع، بیان شده در واحدهای قبلی، برابر است با:

3) اندازه گیری ها بیان می شود اعداد گنگ. اجازه دهید این متوازی الاضلاع (شکل 89) که برای اختصار آن را با یک حرف Q نشان می دهیم، دارای ابعاد باشد:

AB = α; AC = β. AD = γ،

که در آن همه اعداد α، β و γ یا فقط برخی از آنها غیر منطقی هستند.

هر یک از اعداد α، β و γ را می توان به صورت یک کسر اعشاری بی نهایت نشان داد. بیایید مقادیر تقریبی این کسرها را با پدر ارقام اعشاری، ابتدا با کسری و سپس با مازاد. مقادیر دارای نقطه ضعف با α نشان داده می شوند n , β n , γ n، مقادیر با α مازاد" n , β" n , γ" n. بگذارید روی لبه AB دراز بکشیم، از نقطه A شروع کنیم، دو بخش AB 1 = α nو AB 2 = α" n.
در لبه AC از همان نقطه A قطعات AC 1 = β را رسم می کنیم nو AC 2 = β" nو در لبه AD از همان نقطه-بخش AD 1 = γ nو بعد از میلاد 2 = γ" n.

در این صورت خواهیم داشت:

AB 1< АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

اجازه دهید اکنون دو متوازی الاضلاع کمکی بسازیم. یکی (بیایید آن را Q 1 بنامیم) با اندازه گیری های AB 1، AC 1 و AD 1 و دیگری (بیایید آن را Q 2 بنامیم) با اندازه گیری های AB 2، AC 2 و AD 2. متوازی الاضلاع Q 1 به طور کامل در داخل متوازی الاضلاع Q قرار می گیرد و متوازی الاضلاع Q 2 شامل متوازی الاضلاع Q در داخل خود می شود.

با آنچه ثابت شد (در مورد 2) خواهیم داشت:

حجم Q 1 = α n β n γ n (1)

حجم Q 2 = α" n β" n γ" n (2)

بیایید حجم Q 1 را تعریف کنیم< объёма Q 2 .

حالا بیایید شروع به افزایش تعداد کنیم پ. این بدان معنی است که ما مقادیر تقریبی اعداد α، β، γ را با دقت فزاینده‌ای بیشتر می‌گیریم.

بیایید ببینیم حجم متوازی الاضلاع Q 1 و Q 2 چگونه تغییر می کند.

با افزایش نامحدود پحجم Q 1 بدیهی است که به دلیل برابری (1) با افزایش بی نهایت افزایش می یابد nحد محصول (α n β n γ n). حجم Q 2 بدیهی است کاهش می یابد و به دلیل برابری (2) دارای حد حاصلضرب (α» است. n β" n γ" n). اما از جبر معلوم است که هر دو محصول
α n β n γ nو α" n β" n γ" nبا بزرگنمایی نامحدود پیک حد مشترک دارند که حاصل ضرب اعداد غیر منطقی αβγ است.

ما این حد را به عنوان اندازه گیری حجم Q متوازی الاضلاع در نظر می گیریم: حجم Q = αβγ.

می توان ثابت کرد که حجمی که بدین ترتیب تعیین می شود، شرایط تعیین شده برای حجم را برآورده می کند (§ 82). در واقع، با این تعریف از حجم، متوازی الاضلاع مساوی آشکارا دارای حجم مساوی هستند. بنابراین شرط اول (§ 82) برآورده می شود. اکنون این Q متوازی الاضلاع را با صفحه ای موازی با قاعده آن به دو قسمت تقسیم می کنیم: Q 1 و Q 2 (شکل 90).

سپس خواهیم داشت:

حجم Q = AB AC AD،
جلد Q 1 = AB AA 1 AD،
حجم Q 2 = A 1 B 1 A 1 C A 1 D 1.

با جمع دو برابری آخر ترم به ترم و توجه به A 1 B 1 = AB و A 1 D 1 = AD، به دست می آوریم:

حجم Q 1 + حجم Q 2 = AB AA 1 AD + AB A 1 C AD = AB AD (AA 1 + A 1 C) = AB AD AC، از اینجا به دست می آوریم:

جلد Q 1 + جلد Q 2 = جلد Q.

در نتیجه، شرط دوم § 82 نیز برآورده می شود اگر متوازی الاضلاع از دو قسمتی که با برش آن با صفحه موازی با یکی از وجوه به دست می آید، تا شود.

85. نتیجه.اجازه دهید ابعاد یک متوازی الاضلاع مستطیلی که به عنوان اضلاع پایه آن عمل می کند، با اعداد بیان شود. آو بو بعد سوم (ارتفاع) عدد است با. سپس، حجم آن را در واحدهای مکعب مربوطه با حرف V نشان دهیم، می‌توانیم بنویسیم:

V= abc.

از زمان کار abمساحت پایه را بیان می کند، پس می توانیم بگوییم حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع است. .

اظهار نظر.نسبت دو واحد مکعبی با نام‌های مختلف برابر است با توان سوم نسبت آن واحدهای خطی که به عنوان لبه‌های این واحدهای مکعبی عمل می‌کنند. بنابراین، نسبت یک متر مکعب به یک دسی متر مکعب 10 3 است، یعنی 1000. بنابراین، برای مثال، اگر یک مکعب با طول یال داشته باشیم. آواحدهای خطی و یک مکعب دیگر با لبه ای به طول 3 آواحدهای خطی، پس نسبت حجم آنها برابر با 3 3 خواهد بود، یعنی 27 که به وضوح از رسم 91 مشاهده می شود.

86. لما. اندازه یک منشور مایل برابر است با منشوری مستقیم که قاعده آن برابر با قسمت عمود منشور شیبدار و ارتفاع آن برابر با لبه کناری آن است.

اجازه دهید منشور مایل ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 داده شود (شکل 92).

تمام لبه های کناری و وجه های کناری آن را در یک جهت ادامه می دهیم.

بیایید یک نقطه دلخواه در ادامه یک یال بگیریم آو یک مقطع عمود بر آن بکشید abcde. سپس، کنار گذاشتن آه 1 = AA 1، اجازه دهید از طریق رسم آ 1 بخش عمود بر هم آ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1 . از آنجایی که صفحات هر دو بخش موازی هستند، پس bb 1 = ss 1 = روز 1 = او 1 = aa 1 = AA 1 (§17). در نتیجه چند وجهی آ 1 د، که بخش هایی که برای آن ترسیم کردیم به عنوان پایه در نظر گرفته شده است، یک منشور مستقیم است که در قضیه مورد بحث قرار گرفته است.

اجازه دهید ثابت کنیم که این منشور مایل از نظر اندازه با این خط مستقیم برابر است. برای انجام این کار، اجازه دهید ابتدا مطمئن شویم که چند وجهی آد و آ 1 D 1 برابر است. دلایل آنها abcdeو آ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1 برابر با پایه های یک منشور است آ 1 د; از طرف دیگر، به دو طرف برابری A 1 A = اضافه می شود آ 1 آدر امتداد همان پاره خط A 1 آ، ما گرفتیم: آ A = آ 1 A 1; مثل این ب B = ب 1 در 1، با C = با 1 C 1، و غیره. اجازه دهید اکنون تصور کنیم که چند وجهی آ D در یک چند وجهی تعبیه شده است آ 1 D 1 به طوری که پایه آنها منطبق باشد. سپس دنده های جانبی، عمود بر پایه ها و به ترتیب برابر، نیز منطبق خواهند شد. بنابراین چند وجهی آ D با چند وجهی سازگار خواهد بود آ 1 D 1 ; این بدان معناست که این اجسام برابر هستند. حال توجه داشته باشید که اگر به یک منشور مستقیم آ 1 دچند وجهی اضافه کنید آ D و به منشور مایل A 1 D یک چند وجهی اضافه می کنیم آ 1 D 1 برابر است آ D، سپس همان چند وجهی را بدست می آوریم آ 1 D. از این نتیجه می شود که دو منشور A 1 D و آ 1 داز نظر اندازه مساوی

87. قضیه. حجم یک متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

قبلاً این قضیه را برای متوازی الاضلاع مستطیلی ثابت می کردیم، اکنون آن را برای متوازی الاضلاع مستقیم و سپس برای متوازی الاضلاع ثابت می کنیم.

1). فرض کنید (شکل 93) AC 1 یک متوازی الاضلاع راست باشد، یعنی یک متوازی الاضلاع باشد که قاعده ABCD آن نوعی متوازی الاضلاع است و تمام وجوه جانبی آن مستطیل هستند.

اجازه دهید صورت جانبی AA 1 B 1 B را به عنوان پایه در نظر بگیریم. سپس متوازی الاضلاع خواهد بود
اریب. با در نظر گرفتن آن به عنوان یک مورد خاص از یک منشور مایل، می‌توانیم بر اساس لم پاراگراف قبل ادعا کنیم که این متوازی الاضلاع از نظر اندازه برابر است با یک متوازی الاضلاع راست که قاعده آن یک مقطع عمود بر MNPQ و ارتفاع آن BC است. MNPQ چهار ضلعی مستطیل است زیرا زوایای آن به عنوان زوایای خطی زوایای دو وجهی قائمه عمل می کنند. بنابراین، یک متوازی الاضلاع راست با قاعده مستطیل MNPQ باید مستطیل شکل باشد و بنابراین حجم آن برابر با حاصلضرب سه بعد آن است که می توان قطعات MN، MQ و BC را برای آن در نظر گرفت. بدین ترتیب،

حجم AC 1 = MN MQ BC = MN (MQ BC).

اما محصول MQ BC مساحت متوازی الاضلاع ABCD را بیان می کند

حجم ACX = (مساحت ABCD) MN = (مساحت ABCD) BB 1.

2) فرض کنید (شکل 94) AC 1 یک متوازی الاضلاع مایل باشد.

اندازه آن برابر با یک خط مستقیم است که قاعده آن مقطع عمود بر MNPQ (یعنی عمود بر لبه های AD، BC، ...) است و ارتفاع آن لبه BC است. اما با توجه به آنچه ثابت شد، حجم یک موازی پای راست برابر است با حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع. به معنای،

حجم AC 1 = (منطقه MNPQ) قبل از میلاد.

اگر RS ارتفاع بخش MNPQ باشد، پس مساحت MNPQ = MQ RS است، بنابراین

حجم AC 1 = MQ RS BC = (BC MQ) RS.

محصول BC MQ مساحت متوازی الاضلاع ABCD را بیان می کند. بنابراین، حجم AC 1 = (مساحت ABCOD) RS.

اکنون باید ثابت کنیم که قطعه RS ارتفاع موازی را نشان می دهد. در واقع، مقطع MNPQ، عمود بر لبه های BC، B 1 C 1، .. . ، باید عمود بر وجوه ABCD، BB 1 C 1 C، .... عبور از این لبه ها باشد (§ 43). بنابراین، اگر از نقطه S یک عمود بر صفحه ABCD بسازیم، باید کاملاً در صفحه MNPQ قرار گیرد (§ 44) و بنابراین باید با خط مستقیم RS که در این صفحه قرار دارد و عمود بر MQ است ادغام شود. . این بدان معنی است که قطعه SR ارتفاع موازی است. بنابراین، حجم یک متوازی الاضلاع مایل برابر است با حاصلضرب مساحت پایه و ارتفاع.

نتیجه.اگر V، B و H اعدادی باشند که حجم، مساحت پایه و ارتفاع متوازی الاضلاع را در واحدهای مربوطه بیان می کنند، آنگاه می توانیم بنویسیم.

هر جسم هندسی را می توان با مساحت سطح (S) و حجم (V) مشخص کرد. مساحت و حجم اصلا یکسان نیستند. یک جسم می تواند یک V نسبتا کوچک و یک S بزرگ داشته باشد، به عنوان مثال، مغز انسان اینگونه کار می کند. محاسبه این شاخص ها برای اشکال هندسی ساده بسیار ساده تر است.

Parallelepiped: تعریف، انواع و خواص

متوازی الاضلاع یک منشور چهار گوش با متوازی الاضلاع در قاعده آن است. چرا ممکن است به فرمولی برای یافتن حجم یک شکل نیاز داشته باشید؟ کتاب ها، جعبه های بسته بندی و بسیاری چیزهای دیگر از زندگی روزمره شکل مشابهی دارند. اتاق ها در ساختمان های مسکونی و اداری معمولاً متوازی الاضلاع مستطیل شکل هستند. برای نصب تهویه، تهویه مطبوع و تعیین تعداد عناصر گرمایش در یک اتاق، لازم است حجم اتاق محاسبه شود.

شکل دارای 6 وجه است - متوازی الاضلاع و 12 لبه؛ دو وجهی که به طور تصادفی انتخاب شده اند، پایه نامیده می شوند. موازی می تواند چندین نوع باشد. تفاوت ها به دلیل زوایای بین لبه های مجاور است. فرمول های یافتن V های چند ضلعی های مختلف کمی متفاوت است.

اگر 6 وجه یک شکل هندسی مستطیل باشد، به آن مستطیل نیز می گویند. مکعب حالت خاصی از متوازی الاضلاع است که در آن هر 6 وجه مربع مساوی هستند. در این مورد، برای یافتن V، باید طول تنها یک ضلع را پیدا کنید و آن را به توان سوم ببرید.

برای حل مشکلات، شما نه تنها از فرمول های آماده، بلکه در مورد خواص شکل نیز نیاز دارید. لیست ویژگی های اساسی یک منشور مستطیلی کوچک است و درک آن بسیار آسان است:

1. اضلاع مقابل شکل برابر و موازی هستند. این بدان معنی است که دنده های واقع در مقابل از نظر طول و زاویه شیب یکسان هستند.
2. تمام وجوه جانبی یک متوازی الاضلاع راست مستطیل هستند.
3. چهار قطر اصلی یک شکل هندسی در یک نقطه تلاقی می کنند و با آن به نصف تقسیم می شوند.
4. مربع مورب متوازی الاضلاع برابر است با مجموع مجذور ابعاد شکل (از قضیه فیثاغورث پیروی می کند).

قضیه فیثاغورسبیان می کند که مجموع مساحت مربع های ساخته شده در اضلاع یک مثلث قائم الزاویه برابر است با مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی هیپوتنوز همان مثلث.

اثبات آخرین خاصیت در تصویر زیر قابل مشاهده است. روند حل مشکل ساده است و نیازی به توضیح دقیق ندارد.

فرمول حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی شکل

فرمول یافتن انواع اشکال هندسی یکسان است: V=S*h، که V حجم مورد نیاز است، S مساحت قاعده متوازی الاضلاع، h ارتفاع پایین‌آمده از راس مخالف است. عمود بر پایه در یک مستطیل، h با یکی از اضلاع شکل منطبق است، بنابراین برای یافتن حجم یک منشور مستطیلی، باید سه بعد را ضرب کنید.

حجم معمولاً بر حسب cm3 بیان می شود. دانستن هر سه مقدار a، b و c، یافتن حجم یک رقم اصلاً دشوار نیست. رایج ترین نوع مشکل در آزمون یکپارچه دولتی، یافتن حجم یا قطر موازی است. بسیاری از معمولی را حل کنید تکالیف آزمون دولتی واحدبدون فرمول حجم یک مستطیل غیرممکن است. نمونه ای از یک کار و طراحی راه حل آن در شکل زیر نشان داده شده است.

یادداشت 1. مساحت سطح یک منشور مستطیلی را می توان با ضرب در 2 مجموع مساحت های سه وجه شکل پیدا کرد: قاعده (ab) و دو وجه جانبی مجاور (bc + ac).

تبصره 2. سطح سطوح جانبی را می توان با ضرب محیط پایه در ارتفاع متوازی الاضلاع به راحتی تعیین کرد.

بر اساس اولین ویژگی متوازی الاضلاع AB = A1B1 و وجه B1D1 = BD. بر اساس نتایج قضیه فیثاغورث، مجموع تمام زوایای موجود در راست گوشهبرابر با 180 درجه است و پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با هیپوتنوز است. با اعمال این دانش در یک مثلث، به راحتی می توانیم طول ضلع AB و AD را پیدا کنیم. سپس مقادیر بدست آمده را ضرب کرده و حجم موازی را محاسبه می کنیم.

فرمول یافتن حجم یک متوازی الاضلاع مایل

برای یافتن حجم یک متوازی الاضلاع مایل، لازم است مساحت پایه شکل را در ارتفاع پایین آمده به پایه داده شده از گوشه مقابل ضرب کنیم.

بنابراین، V مورد نیاز را می توان به شکل h - تعداد صفحات با سطح پایه S نشان داد، بنابراین حجم عرشه از Vs های همه کارت ها تشکیل می شود.

نمونه هایی از حل مسئله

وظایف آزمون یکپارچهباید در تکمیل شود زمان مشخص. وظایف معمولی، به عنوان یک قاعده، شامل نمی شود مقدار زیادمحاسبات و کسرهای مختلط اغلب از دانش آموز سوال می شود که چگونه حجم یک شکل هندسی نامنظم را پیدا کند. در چنین مواردی باید این قانون ساده را به خاطر بسپارید که حجم کل برابر است با مجموع Vهای اجزای سازنده.

همانطور که از مثال در تصویر بالا می بینید، حل چنین مشکلاتی هیچ مشکلی ندارد. وظایف بخش‌های پیچیده‌تر نیاز به دانش قضیه فیثاغورث و پیامدهای آن و همچنین فرمول طول قطر یک شکل دارد. برای حل موفقیت آمیز وظایف تست، کافی است از قبل با نمونه هایی از مشکلات معمولی آشنا شوید.

در این درس در مورد یک متوازی الاضلاع مستطیلی صحبت خواهیم کرد. بیایید برخی از خواص آن را یادآوری کنیم. و سپس فرمول های محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی را با جزئیات استخراج خواهیم کرد. خلاصه درس "حجم متوازی الاضلاع مستطیل شکل" در این درس در مورد یک متوازی الاضلاع مستطیلی صحبت خواهیم کرد. بیایید برخی از خواص آن را یادآوری کنیم. و سپس فرمول های محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی را با جزئیات استخراج خواهیم کرد. قبلاً با یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل آشنا شدیم. به یاد بیاورید که یک متوازی الاضلاع در صورتی مستطیل نامیده می شود که تمام شش وجه آن مستطیل باشند. ایده شکل یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل توسط جعبه کبریت، جعبه، یخچال و غیره ارائه می شود. بیایید اتاقی را تصور کنیم که شکل یک متوازی الاضلاع مستطیلی دارد. اگر در مورد ابعاد آن صحبت کنیم، معمولاً از کلمات "طول"، "عرض" و "ارتفاع" استفاده می کنیم، یعنی طول سه لبه با یک راس مشترک. در هندسه، این سه کمیت با یک نام مشترک متحد می شوند: اندازه گیری یک متوازی الاضلاع مستطیلی. یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل روی صفحه نمایش داده می شود. به عنوان ابعاد آن می توانید مثلاً طول لبه ها را در نظر بگیرید، این یال ها دارای راس مشترک متوازی الاضلاع هستند - عرض و متوازی الاضلاع مستطیلی دارای ویژگی های زیر است: 1) مربع مورب مکعب برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن. - این طول داده شده است. سپس لبه ارتفاع آن است. . در و، همه 2) حجم یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل برابر است با حاصلضرب سه بعد آن. بنابراین، قضیه زیر درست است: حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر است با حاصلضرب سه بعد آن. بیایید این قضیه را ثابت کنیم. اجازه دهید یک متوازی الاضلاع مستطیلی با ابعاد آن به حروف داده شود، اجازه دهید ثابت کنیم که حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر است و حجم آن به حروف. و را نشان می دهیم. ، . دو حالت ممکن وجود دارد: بیایید مورد اول را در نظر بگیریم. اندازه گیری کسرهای اعشاری که در آنها تعداد ارقام اعشار تجاوز نمی کند، محدود و (،) هستند. در این مورد، اعداد و اعداد صحیح هستند. اجازه دهید هر لبه متوازی الاضلاع را به قسمت های مساوی از طول تقسیم کنیم. سپس از طریق نقاط شکاف، صفحات عمود بر این لبه را رسم می کنیم. سپس متوازی الاضلاع ما به مکعب های مساوی با طول هر لبه تقسیم می شود. تعداد کل این مکعب ها برابر خواهد بود. از آنجایی که حجم هر یک از این مکعب ها برابر است، حجم کل متوازی الاضلاع برابر خواهد بود. با این کار ثابت کردیم که حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر حاصلضرب سه بعد آن است. Q.E.D. بریم سراغ مورد دوم. حداقل یکی از اندازه گیری ها یک کسر اعشاری نامحدود است. و نشان دهنده کسر اعشاری متناهی اعداد c, -oi است. ، که از آن به دست می آیند اگر در هر یک از آنها تمام ارقام بعد از نقطه اعشار را دور بیندازیم، با شروع توجه داشته باشید که در آن صورت نابرابری معتبر است.نابرابری های مشابه برای اعداد وجود دارد، جایی که و: . ، جایی که، . بیایید این نابرابری ها را ضرب کنیم. سپس آن را می بینیم. از نابرابری مشخص می شود که یک متوازی الاضلاع یک متوازی الاضلاع است و خودش در یک متوازی الاضلاع قرار دارد. و این نشان می دهد که. حالا بیایید بدون محدودیت افزایش دهیم تا به اندازه دلخواه کوچک شویم و بنابراین تعداد کمی با عدد متفاوت خواهد بود. . سپس تعداد دلخواه خواهد بود و در نهایت برابر می شوند. آن ها . Q.E.D. نتایج زیر از این قضیه صادق است. اولین پیامد حجم یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل برابر است با حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع. اثبات اجازه دهید صورت با لبه های یک متوازی الاضلاع مستطیلی شکل. سپس مساحت پایه به اندازه ارتفاع موازی و. پایه است و سپس متوجه می شوید که فرمول محاسبه حجم مکعب مساحت قاعده و ارتفاع مکعب است. را می توان به شکلی نوشت که بنابراین، ما ثابت کرده ایم که حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر است. Q.E.D. پیامد دوم حجم منشوری قائم الزاویه که قاعده آن مثلث قائم الزاویه است برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع. اثبات برای اثبات این جمله، یک منشور مثلثی مستقیم را با قاعده متوازی الاضلاع همانطور که در صفحه نشان داده شده است، تکمیل می کنیم. با در نظر گرفتن اولین نتیجه، حجم این متوازی الاضلاع برابر است با جایی که مساحت قاعده است) تا مستطیل (، ارتفاع منشور است.، متوازی الاضلاع را به دو منشور مستقیم مساوی تقسیم می کند، یکی از آنها صفحه داده شده این منشورها با هم برابرند چون قاعده و ارتفاع مساوی دارند بنابراین حجم این منشور برابر است یعنی برابر است برای اثبات نکته: مربعی را با ضلع a در نظر بگیرید... که لازم بود. بر اساس قضیه فیثاغورث قطر آن برابر است بنابراین مساحت مربع ساخته شده بر روی آن دو برابر مساحت مربع داده شده است بنابراین ساختن ضلعی از مربعی که مساحت آن برابر است دشوار است. دو برابر مساحت مربع داده شده حالا مکعبی را با ضلع a در نظر بگیرید این سوال پیش می آید که آیا می توان با استفاده از قطب نما و خط کش ضلع مکعبی را ساخت که حجم آن دو برابر حجم باشد. مکعب داده شده، یعنی قطعه ای برابر با؟ این وظیفه در دوران باستان تدوین شده بود. آن را "مسئله دو برابر کردن مکعب" نامیدند. تنها در سال 1837 ریاضیدان فرانسوی پیر لوران وانتزل ثابت کرد که چنین ساخت و ساز غیرممکن است. در همان زمان، او حل‌ناپذیری یک مسئله ساخت‌وساز دیگر را ثابت کرد - مسئله سه‌برش یک زاویه (تقسیم یک زاویه دلخواه به سه زاویه مساوی). بیایید به یاد بیاوریم که مسائل کلاسیک غیرقابل حل ساخت و ساز شامل مسئله مربع کردن یک دایره نیز می شود (مربعی بسازید که مساحت آن برابر با مساحت دایره داده شده باشد). غیرممکن بودن چنین ساخت و ساز در سال 1882 توسط ریاضیدان آلمانی کارل لوئیس فردیناند لیندمان ثابت شد. مسئله: حجم یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل با اضلاع مورب قاعده را پیدا کنید راه حل: یک فرمول برای محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی از طریق اندازه گیری های آن بنویسید. سانتی‌متر و سانتی‌متر سانتی‌متر و از شرایط مسئله، طول، عرض و مورب متوازی الاضلاع مستطیلی را می‌دانیم، اما ارتفاع آن مشخص نیست. این را به شما یادآوری کنیم. اجازه دهید از این فرمول ارتفاعی که ارتفاع برابر با (cm) است را بیان کنیم. متوازی الاضلاع مستطیلی دریافت می کنیم و برابر است با اندازه گیری های متوازی الاضلاع مستطیلی خود را در فرمول حجم جایگزین کنیم. بیایید حساب کنیم. متوجه می شویم که حجم متوازی الاضلاع برابر است. فراموش نکنید که پاسخ را یادداشت کنید. (cm3). مشکل: مربع حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر با ارتفاع متوازی الاضلاع مستطیلی است، اگر قاعده سانتی متر مکعب باشد. تعیین کنید ببینید راه حل: در این درس ثابت کردیم که حجم مکعب برابر است. بیایید ارتفاع را از فرمول بیان کنیم. بنابراین، ارتفاع برابر است. از آنجایی که در قاعده متوازی الاضلاع مستطیلی ما یک مربع وجود دارد، طبق شرایط، مساحت پایه برابر با حجم متوازی الاضلاع مستطیلی (cm2) است. با توجه به شرایط مشکل نیز معلوم است که. بنابراین، ارتفاع (سانتی متر). بیایید پاسخ را یادداشت کنیم. برابر نتایج: در این درس مفهوم متوازی الاضلاع مستطیلی را به خاطر آوردیم. آنها ثابت کردند که حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی برابر حاصلضرب سه بعد آن است. آنها ثابت کردند که حجم یک متوازی الاضلاع مستطیلی را می توان به عنوان حاصل ضرب مساحت پایه و ارتفاع محاسبه کرد. آنها همچنین ثابت کردند که حجم یک منشور راست که قاعده آن یک مثلث قائم الزاویه است برابر است با حاصلضرب مساحت قاعده و ارتفاع.