عقب به جلو
توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای مقاصد اطلاعاتی است و ممکن است نشان دهنده همه ویژگی های ارائه نباشد. اگر به این کار علاقه مند هستید، لطفا نسخه کامل آن را دانلود کنید.
هدف:افزایش انگیزه برای یادگیری؛ مهارت های محاسباتی، هوش و توانایی کار در یک تیم را توسعه دهید.
پیشرفت درس
به روز رسانی دانش. امروز ما در مورد حلقه ها صحبت خواهیم کرد. بگذارید تعریف دایره را یادآوری کنم: دایره چه نام دارد؟
دایرهخطی است متشکل از تمام نقاط صفحه که در یک فاصله معین از یک نقطه از صفحه قرار دارند که مرکز دایره نامیده می شود.
اسلاید یک دایره را نشان می دهد، مرکز آن مشخص شده است - نقطه O، دو بخش ترسیم شده است: OA و SV. بخش OA مرکز دایره را با یک نقطه روی دایره متصل می کند. RADIUS نامیده می شود (در لاتین radius - "در چرخ صحبت کرد"). قطعه CB دو نقطه از دایره را به هم متصل می کند و از مرکز آن می گذرد. این قطر یک دایره است (از یونانی به عنوان "قطر" ترجمه شده است).
ما همچنین به تعریف وتر یک دایره نیاز خواهیم داشت - این قطعه ای است که دو نقطه روی یک دایره را به هم متصل می کند (در شکل - وتر DE).
بیایید سوال را پیدا کنیم در مورد موقعیت نسبی یک خط مستقیم و یک دایره.
سوال بعدی و سوال اصلی خواهد بود: خواص وترهای متقاطع، مقاطع و مماس ها را دریابید.
شما این ویژگی ها را در درس ریاضیات ثابت خواهید کرد و وظیفه ما این است که یاد بگیریم چگونه این ویژگی ها را هنگام حل مسائل به کار ببریم، زیرا آنها به طور گسترده در امتحانات هم در قالب آزمون دولتی واحد و هم در قالب آزمون دولتی استفاده می شوند.
تکلیف برای تیم ها
- ویژگی وترهای CM و NF را که در نقطه P متقاطع می شوند، رسم کرده و یادداشت کنید.
- خصوصیات مماس KM و مقطع KF را رسم کرده و بنویسید.
- ویژگی های سکانت های KM و MF را رسم کرده و یادداشت کنید.
با استفاده از داده های شکل، x را پیدا کنید. اسلاید 5-6
هر که سریعتر باشد درست تر است. پس از بحث و بررسی و بررسی راه حل برای تمام مشکلات. کسانی که پاسخ می دهند برای تیم خود امتیاز پاداش می گیرند.
خب حالا بیایید به سراغ حل مشکلات جدی تر برویم. ما سه بلوک را به شما معرفی می کنیم: آکوردهای متقاطع، یک مماس و یک مقطع، دو مقطع. ما راه حل یک مشکل از هر بلوک را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.
(راه حل با یادداشت های مفصل شماره 4، شماره 7، شماره 12 تحلیل شده است)
2. کارگاه حل مسئله
الف) آکوردهای متقاطع
1. E – نقطه تقاطع آکوردهای AB و CD. AE=4، AB=10، CE:ED=1:6. سی دی را پیدا کنید.
راه حل:
2. E – نقطه تقاطع آکوردهای AB و CD. AB=17، CD=18، ED=2CE. AE و BE را پیدا کنید.
راه حل:
3. E – نقطه تقاطع آکوردهای AB و CD. AB=10، CD=11، BE=CE+1. CE را پیدا کنید.
راه حل:
4. E نقطه تقاطع آکوردهای AB و CD است. ED=2AE، CE=DE-1، BE=10. سی دی را پیدا کنید.
راه حل:
ب) مماس و مقطع
5. یک مماس و یک مقطع از یک نقطه به یک دایره رسم می شود. مماس 6، سکنت 18 است. بخش داخلی سکنت را تعیین کنید.
راه حل:
6. یک مماس و یک مقطع از یک نقطه به یک دایره رسم می شود. مماس را در صورتی پیدا کنید که مشخص شود از قطعه داخلی سکنت 4 کمتر و از پاره خارجی 4 بزرگتر است.
راه حل:
7. یک مماس و یک مقطع از یک نقطه به یک دایره رسم می شود. اگر مشخص شود که پاره داخلی آن با پاره خارجی به صورت 3:1 مرتبط است و طول مماس 12 است، یک سکانت پیدا کنید.
راه حل:
8. یک مماس و یک مقطع از یک نقطه به یک دایره رسم می شوند. اگر مشخص شود که پاره داخلی آن 12 و طول مماس آن 8 است، پاره خارجی سکنت را بیابید.
راه حل:
9. یک مماس و یک سکانس که از یک نقطه سرچشمه می‌گیرد به ترتیب برابر با 12 و 24 است، اگر سکنت از مرکز 12 فاصله داشته باشد، شعاع دایره را تعیین کنید.
راه حل:
ج) دو بخش
10. از یک نقطه دو مقطع به یک دایره رسم می شود که پاره های داخلی آن به ترتیب برابر با 8 و 16 است. پاره خارجی قطعه دوم 1 کمتر از قطعه خارجی اولی است. طول هر سکانس را پیدا کنید.
راه حل:
11. دو مقطع از یک نقطه به یک دایره رسم می شود. بخش خارجی سکانس اول به قسمت داخلی آن به صورت 1:3 مرتبط است. قسمت بیرونی قطعه دوم 1 کمتر از قطعه خارجی قطعه اول است و به قسمت داخلی آن به صورت 1:8 مرتبط است. طول هر سکانس را پیدا کنید.
راه حل:
12. از طریق نقطه A که در خارج از دایره در فاصله 7 از مرکز آن قرار دارد، خط مستقیمی رسم می شود که دایره را در نقاط B و C قطع می کند. طول شعاع دایره را در صورتی که AB = 3، BC است بیابید. = 5.
راه حل:
13. از نقطه A، یک سکانس به طول 12 سانتی متر و یک مماس، جزء قطعه داخلی برش، به دایره کشیده می شود. طول مماس را پیدا کنید.
راه حل:
- 10,5; 17,5
- 12;18
3. تحکیم دانش
من معتقدم شما دانش کافی برای رفتن به سفری کوتاه در هزارتوهای عقل خود را با مراجعه به ایستگاه های زیر دارید:
- در مورد آن فکر کنید!
- تصميم گرفتن!
- جواب بدید!
شما نمی توانید بیش از 6 دقیقه در ایستگاه بمانید. برای هر راه حل صحیح برای یک مشکل، تیم امتیاز تشویقی دریافت می کند.
به تیم ها برگه مسیر داده می شود:
برگه مسیر
| ایستگاه | شماره های مشکل | علامت تصمیم |
| تصميم گرفتن! | №1, №3 | |
| در مورد آن فکر کنید! | №5, №8 | |
| جواب بدید! | №10, №11 |
من می خواهم شما را ناامید کنم نتایج درس ما:
علاوه بر دانش جدید، امیدوارم با یکدیگر بیشتر آشنا شده باشید و تجربه کار تیمی را کسب کرده باشید. آیا فکر می کنید دانش به دست آمده در جایی از زندگی اعمال می شود؟
شاعر G. Longfellow نیز یک ریاضیدان بود. احتمالاً به همین دلیل است که تصاویر واضحی که مفاهیم ریاضی را تزئین می کند که او در رمان "کاوانگ" خود استفاده کرده است، امکان چاپ برخی قضایا و کاربردهای آنها را برای زندگی فراهم می کند. مشکل زیر را در رمان می خوانیم:
زنبق که یک دهانه از سطح آب بالا می‌آمد، در زیر وزش باد تازه، سطح دریاچه را دو ذراع از محل قبلی‌اش لمس کرد. بر این اساس لازم بود عمق دریاچه مشخص شود» (1 دهانه برابر است با 10 اینچ، 2 ذراع برابر با 21 اینچ).
و این مشکل بر اساس خاصیت آکوردهای متقاطع حل می شود. به تصویر نگاه کنید، متوجه خواهید شد که عمق دریاچه چقدر است.
راه حل:
§ 11. بخش های متناسب در یک دایره.
1. خرپا پل توسط یک قوس دایره ای محدود شده است (شکل 38). ارتفاع خرپا MK= ساعت= 3 متر؛ شعاع قوس دهانه AMB R = 8.5 متر طول دهانه AB پل را محاسبه کنید.
2. در یک زیرزمین طاقدار به شکل نیم استوانه، باید دو پایه قرار داده شود که هر کدام در یک فاصله از نزدیکترین دیوار قرار دارند. اگر عرض زیرزمین در پایین 4 متر و فاصله بین قفسه ها 2 متر باشد، ارتفاع قفسه ها را تعیین کنید.
3. 1) عمود بر قطر از نقطه ای روی دایره کشیده می شود. طول آن را با طول قطعات قطر زیر تعیین کنید: 1) 12 سانتی متر و 3 سانتی متر. 2) 16 سانتی متر و 9 سانتی متر، 3) 2 متر و 5 dm.
2) یک عمود از نقطه قطر تا محل تقاطع با دایره رسم می شود. اگر قطر آن 40 سانتی متر باشد طول این عمود را تعیین کنید و عمود ترسیم شده از یکی از انتهای قطر 8 سانتی متر باشد.
4. قطر به قطعات: AC = 8 dm و CB = 5 m تقسیم می شود و از نقطه C یک CD عمود بر این طول به آن کشیده می شود. موقعیت نقطه D را نسبت به دایره در زمانی که CD برابر است با: 1) 15 dm مشخص کنید. 2) 2 متر؛ 3) 23 dm.
5. DIA-نیم دایره; CD عمود بر قطر AB است. ضروری:
1) اگر AD = 25 و CD = 10 باشد، DB را تعیین کنید.
2) AB را تعیین کنید اگر AD: DB = 4: 9 و CD = 30.
3) تعیین AD اگر CD = 3AD و شعاع است r;
4) اگر AB = 50 و CD = 15 باشد، AD را تعیین کنید.
6. 1) عمودی که از نقطه ای روی یک دایره به شعاع 34 سانتی متر پایین می آید، آن را به نسبت 8:9 (از مرکز شروع می کند) تقسیم می کند. طول عمود را تعیین کنید.
2) وتر BDC بر شعاع ODA عمود است. اگر OA = 25 سانتی متر و AD = 10 سانتی متر باشد، BC را تعیین کنید.
3) عرض حلقه تشکیل شده توسط دو دایره متحدالمرکز 8 dm است. وتر دایره بزرگتر مماس بر دایره کوچکتر 4 متر است شعاع دایره ها را مشخص کنید.
7. با استفاده از مقایسه پاره ها، ثابت کنید که میانگین حسابی دو عدد نامساوی از میانگین هندسی آنها بزرگتر است.
8. قطعه ای بسازید که به طور متوسط بین قطعات 3 و 5 سانتی متری متناسب باشد.
9. یک قطعه مساوی بسازید: √15 ; √10 ; √6 ; √3.
قطر 10.ADB; آکورد AC; سی دی عمود بر قطر است. وتر AC را تعیین کنید: 1) اگر AB = 2 متر و AD = 0.5 متر. 2) اگر AD = 4 سانتی متر و DB = 5 سانتی متر; 3) اگر AB=20 متر و DB= 15 متر باشد.
11. قطر AB; آکورد AC; AD برآمدگی آن بر روی قطر AB است. ضروری:
1) اگر AB = 18 سانتی متر و AC = 12 سانتی متر باشد، AD را تعیین کنید.
2) تعیین شعاع اگر AC = 12 متر و AD = 4 متر.
3) DB را اگر AC = 24 cm و DB = 7 / 9 AD تعیین کنید.
12. قطر AB; آکورد AC; AD برآمدگی آن بر روی قطر AB است. ضروری:
1) AC را اگر AB = 35 سانتی متر و AC = 5AD تعیین کنید.
2) تعیین AC اگر شعاع است rو AC=DB.
13. دو وتر در داخل یک دایره قطع می شوند. قطعات یک وتر 24 سانتی متر و 14 سانتی متر است. یکی از پاره های وتر دیگر برابر با 28 سانتی متر است پاره دوم آن را مشخص کنید.
14. خرپا پل توسط یک قوس دایره ای محدود شده است (شکل 38). طول پل AB = 6 متر، ارتفاع A = 1.2 متر شعاع قوس (OM = R) را تعیین کنید.
15. دو پاره AB و CD در نقطه M همدیگر را قطع می کنند به طوری که MA = 7 سانتی متر، MB = 21 سانتی متر،
MC = 3 سانتی متر و MD = 16 سانتی متر آیا نقاط A، B، C و D روی یک دایره قرار دارند؟
16. طول آونگ MA = ل= 1 متر (شکل 39)، ارتفاع بلند کردن آن، هنگامی که با زاویه α منحرف می شود، CA = ساعت= 10 سانتی متر فاصله BC نقطه B از MA را بیابید (BC = ایکس).
17. برای انتقال عرض مسیر راه آهن ب= 1.524 متر در محل AB (شکل 40) یک گرد ساخته شد. معلوم شد که؛ که BC= آ= 42.4 متر شعاع انحنای OA = R را تعیین کنید.
18. وتر AMB حول نقطه M می چرخد به طوری که قطعه MA 2 1/2 برابر افزایش می یابد. بخش MB چگونه تغییر کرده است؟
19. 1) از دو وتر متقاطع یکی به قطعات 48 سانتی متری و 3 سانتی متری و دیگری به نصف تقسیم شد. طول وتر دوم را مشخص کنید.
2) از دو آکورد متقاطع یکی به قطعات 12 متر و 18 متر و دیگری به نسبت 3:8 تقسیم شد. طول وتر دوم را مشخص کنید.
20. از دو وتر متقاطع اولی 32 سانتی متر و قطعات وتر دیگر مساوی است.
12 سانتی متر و 16 سانتی متر قسمت های وتر اول را مشخص کنید.
21. مقطع ABC حول نقطه خارجی A می چرخد به طوری که قطعه خارجی AB آن سه برابر کاهش می یابد. طول سکنت چگونه تغییر کرد؟
22. فرض کنید ADB و AEC دو خط مستقیم باشند که یک دایره را قطع می کنند: اولی در نقاط D و B، دومی در نقاط E و C. مورد نیاز:
1) اگر AD = 5 سانتی متر، DB = 15 سانتی متر و AC = 25 سانتی متر باشد، AE را تعیین کنید.
2) اگر AB = 24 متر، AC = 16 متر و EC = 10 متر، BD را تعیین کنید.
3) AB و AC را تعیین کنید، اگر AB+AC = 50 متر، و AD: AE = 3:7.
23. شعاع دایره 7 سانتی متر است، از نقطه ای به فاصله 9 سانتی متر از مرکز، سکانسی رسم می شود که دایره را به دو نیم می کند. طول این سکانس را تعیین کنید.
24. MAB و MCD دو مقطع به یک دایره هستند. ضروری:
1) CD را اگر MV = 1 m، MD = 15 dm و CD = MA تعیین کنید.
2) تعیین MD اگر MA = 18 سانتی متر، AB = 12 سانتی متر و MC: CD = 5:7.
3) اگر AB = MS، MA = 20 و CD = 11، AB را تعیین کنید.
25. دو آکورد آنقدر امتداد می یابد که یکدیگر را قطع کنند. در صورت مساوی بودن آکوردها، طول پسوندهای حاصل را تعیین کنید آو ب، و ادامه آنها به عنوان مرتبط است t:p.
26. یک مقطع و یک مماس از یک نقطه به یک دایره رسم می شود. طول مماس را در صورتی تعیین کنید که بخش های بیرونی و داخلی سکنت به ترتیب با اعداد زیر بیان شوند: 1) 4 و 5. 2) 2.25 و 1.75; 3) 1 و 2.
27. مماس 20 سانتی متر و طولانی ترین سکانس رسم شده از همان نقطه 50 سانتی متر است شعاع دایره را مشخص کنید.
28. یک سکانت 2 1/4 برابر بزرگتر از بخش بیرونی آن است. چند برابر بزرگتر از مماس رسم شده از یک نقطه است؟
29. وتر مشترک دو دایره متقاطع امتداد یافته و مماس ها از نقطه ای که در ادامه گرفته شده است به آنها کشیده می شود. ثابت کنید که آنها برابر هستند.
30. در یک طرف زاویه A، بخش های زیر یکی پس از دیگری قرار می گیرند: AB = 6 سانتی متر و BC = 8 سانتی متر. و در طرف دیگر یک قطعه AD = 10 سانتی متر وجود دارد که از نقاط B و C و D دایره ای کشیده شده است. دریابید که آیا خط AD این دایره را لمس می کند، و اگر نه، آنگاه نقطه D اولین نقطه تقاطع (شمارش از A) خواهد بود یا دوم.
31. بگذارید وجود داشته باشد: AB-تانژانت و ACD-secant از یک دایره. ضروری:
1) اگر AB = 2 سانتی متر و AD = 4 سانتی متر باشد، CD را تعیین کنید.
2) تعیین AD اگر AC:CD = 4:5 و AB = 12 سانتی متر.
3) اگر AB = CD و AC = AB را تعیین کنید آ.
32. 1) چقدر می توانید از یک بالن (شکل 41) که تا ارتفاع 4 کیلومتری از زمین بالا می رود (شعاع زمین 6370 کیلومتر است) ببینید؟
2) کوه البروس (در قفقاز) از سطح دریا 5600 متر ارتفاع دارد، چقدر از بالای این کوه می توان دید؟
3) M - نقطه مشاهده با ارتفاع A متر از سطح زمین (شکل 42). شعاع زمین R، MT= دبزرگترین فاصله قابل مشاهده است. ثابت کنیم که د= √2R ساعت+ ساعت 2
اظهار نظر.زیرا ساعت 2 به دلیل کوچک بودن آن نسبت به 2R ساعتتقریباً هیچ تأثیری در نتیجه ندارد، سپس می توانید از فرمول تقریبی استفاده کنید د≈ √2R ساعت .
33. 1) خطوط مماس و مقطعی که از یک نقطه می آیند به ترتیب برابر با 20 سانتی متر و 40 سانتی متر هستند. سکنت 8 سانتی متر از مرکز فاصله دارد.شعاع دایره را تعیین کنید.
2) فاصله مرکز تا نقطه ای که مماس و سکنت از آن خارج می شوند را در صورتی که به ترتیب برابر با 4 سانتی متر و 8 سانتی متر باشند مشخص کنید و سکنت از مرکز با
12 سانتی متر.
34. 1) یک مماس و یک مقطع از یک نقطه مشترک به یک دایره رسم می شود. طول مماس را در صورتی که 5 سانتی متر بزرگتر از قسمت بیرونی برش و به همان مقدار از قطعه داخلی کمتر باشد، تعیین کنید.
2) یک مقطع و یک مماس از یک نقطه به یک دایره رسم می شوند. سکنت برابر است با آ، و بخش داخلی آن به اندازه طول مماس از قطعه خارجی بزرگتر است. مماس را تعیین کنید.
36. یک مماس و یک مقطع از یک نقطه به یک دایره رسم می شود. مماس به ترتیب 2 و 4 سانتی متر از قسمت داخلی و خارجی سکنت بزرگتر است طول سکنت را تعیین کنید.
36. یک مماس و یک مقطع از یک نقطه به یک دایره رسم می شود. اگر مماس 20 سانتی متر از قطعه داخلی سکنت کمتر و 8 سانتی متر بیشتر از قطعه خارجی باشد، طول آنها را تعیین کنید.
37. 1) یک مقطع و یک مماس از یک نقطه به یک دایره کشیده می شوند. مجموع آنها 30 سانتی متر است و قسمت داخلی سکنت 2 سانتی متر کمتر از مماس است. مقطع و مماس را تعیین کنید.
2) یک مقطع و یک مماس از یک نقطه به یک دایره رسم می شوند. مجموع آنها 15 سانتی متر است و قسمت بیرونی سکنت 2 سانتی متر کمتر از مماس است. مقطع و مماس را تعیین کنید.
38. قطعه AB تا فاصله BC گسترش یافته است. دایره ها روی AB و AC مانند قطرها ساخته می شوند. یک BD عمود بر قطعه AC در نقطه B کشیده می شود تا زمانی که با دایره بزرگتر قطع شود. از نقطه C یک مماس CK به دایره کوچکتر کشیده می شود. ثابت کنید که CD = SC.
39. دو مماس موازی و مماس سومی که آنها را قطع می کند به یک دایره مشخص کشیده می شوند. شعاع میانگین تناسب بین قطعات مماس سوم است. ثابت كردن.
40. با توجه به دو خط موازی در فاصله 15 dm از یکدیگر. بین آنها یک نقطه M در فاصله 3 dm از یکی از آنها داده می شود. دایره ای از نقطه M کشیده می شود که بر هر دو موازی مماس است. فاصله بین برآمدگی های مرکز و نقطه M را روی یکی از این موازی ها تعیین کنید.
41. در دایره شعاع rیک مثلث متساوی الساقین نوشته شده است که مجموع ارتفاع و قاعده آن برابر با قطر دایره است. ارتفاع را تعیین کنید.
. 2) اگر ضلع 12 dm و ارتفاع 9 dm باشد. 3) اگر ضلع 15 متر و پایه 18 متر باشد.
43. در مثلث متساوی الساقین قاعده 48 dm و ضلع 30 dm است. شعاع دایره های محصور و محاط شده و فاصله بین مراکز آنها را تعیین کنید.
44. شعاع است r، وتر این کمان برابر است با آ. وتر قوس دوگانه را تعیین کنید.
45. شعاع دایره 8 dm است. وتر AB 12 dm است. یک مماس از نقطه A کشیده می شود و از نقطه B یک وتر BC به موازات مماس وجود دارد. فاصله بین مماس و وتر هواپیما را تعیین کنید.
46. نقطه A با فاصله از خط MN حذف می شود با. شعاع داده شده rیک دایره به گونه ای توصیف شده است که از نقطه A عبور کرده و خط MN را لمس کند. فاصله بین نقطه مماس به دست آمده و نقطه داده شده A را تعیین کنید.
قضیه 111. 1) عمودی که از هر نقطه روی یک دایره بر روی قطر کشیده می شود، به طور متوسط بین قسمت های قطر متناسب است. این عمود را گاهی اوقات مصداق می گویند.
2) وتر که انتهای قطر را به نقطه ای از دایره متصل می کند به طور متوسط بین قطر و قسمت مجاور وتر متناسب است.
داده شده. اجازه دهید CD عمود بر آن را از نقطه ای C از دایره به قطر AB پایین بیاوریم (شکل 169).
شما باید ثابت کنید که 1) AD/CD = CD/DB، و همچنین 2) AD/AC = AC/AB.
اثبات. اجازه دهید نقطه C را به انتهای قطر AB وصل کنیم، سپس در نقطه C یک زاویه قائمه ACB تشکیل می شود که در آن قطعه CD به صورت عمودی است که از راس زاویه سمت راست به هیپوتنوس افتاده است.
بر اساس قضیه 100، نسبت زیر برقرار است:
بر اساس نسبت قضیه 101:
AD/AC = AC/AB، DB/CB = CB/AB (1)
نتیجه. مربع های آکوردها به عنوان قطعات قطر متناظر در نظر گرفته می شوند.
اثبات. از نسبت (1) برابری ها به شرح زیر است:
AC 2 = AB AD، CB 2 = AB BD
از آنجا با تقسیم می یابیم:
AC 2 / CB 2 = AD/DB.
قضیه 112. اجزای وترهای متقاطع با یکدیگر نسبت معکوس دارند.
با توجه به دو آکورد متقاطع AB و CD (شکل 170).
اثبات آن لازم است
یعنی قسمت بزرگتر آکورد اول به قسمت بزرگتر دوم است همانطور که قسمت کوچکتر آکورد دوم به قسمت کوچکتر اولی است..
اثبات. نقطه A را به C و B را به D وصل می کنیم، سپس دو تا تشکیل می شود شبیه مثلث ACE و DBE، از آنجایی که زوایای نقطه E به صورت عمودی برابر است، ∠CAB = ∠CDB در انتهای کمان CB، ∠ACD = ∠ABD در انتهای قوس AD قرار دارد.
از شباهت مثلث های ACE و DBE، نسبت به دست می آید:
BE/DE = CE/AE (a)
از نسبت (الف) برابری به شرح زیر است:
BE · AE = DE · CE
نشان می دهد که حاصل ضرب قطعات یک وتر برابر است با حاصل ضرب قطعات یک وتر دیگر.
قضیه 113. دو مقطعی که از یک نقطه خارج از دایره کشیده شده اند با قسمت های بیرونی خود نسبت معکوس دارند.
با توجه به دو مقطع AB و AC که از نقطه A کشیده شده اند (شکل 171).
اثبات آن لازم است
یعنی قسمت اول به دومی مربوط می شود، همانطور که قسمت بیرونی دوم مربوط به قسمت خارجی قسمت اول است.
اثبات. بیایید نقاط D را با C و B را با E وصل کنیم.
دو مثلث ∠ABE و ∠ADC مشابه هستند، زیرا زاویه A مشترک است، B = C که توسط انتهای همان کمان DE پشتیبانی می شود، بنابراین ∠ADC = ∠AEB.
از شباهت مثلث های ADC و ABE، نسبت به دست می آید:
AC/AB = AD/AE (CHD).
از همین نسبت برابری به دست می آید
AC · AE = AB · AD
نشان دادن آن حاصلضرب یک مقطع و قطعه بیرونی آن برابر است با حاصلضرب یک مقطع دیگر و قطعه آن(اگر فرقه ها همان نقطه را ترک کنند).
قضیه 114. مماس به طور متوسط بین کل مقطع و قسمت بیرونی آن متناسب است.
یک مماس AB و یک مقطع BC داده شده است (شکل 172).
اثبات آن لازم است
اثبات. بیایید نقطه A را به نقاط C و D متصل کنیم.
مثلث های ABC و ABD مشابه هستند، زیرا زاویه B مشترک است، ∠BAD = ∠ACD، بنابراین ∠CAB = ∠ADB.
BC/AB = AB/BD (CHD).
از این نسبت برابری حاصل می شود:
AB 2 = قبل از میلاد BD
نشان دادن آن مربع مماس برابر است با حاصل ضرب سکنت و قسمت بیرونی آن.
ویژگی اضلاع یک چهارضلعی حلقوی
قضیه 115. در هر چهارضلعی که در دایره محاط شده است، حاصل ضرب قطرها برابر است با مجموع حاصلضرب اضلاع مقابل.
این فرض که به عنوان قضیه بطلمیوس شناخته می شود، برای اولین بار در اثر بطلمیوس "Alageste" در قرن دوم میلادی ظاهر می شود.
با توجه به ABCD چهار ضلعی حلقوی (شکل 173) و قطرهای AC و BD رسم شده است.
ما باید ثابت کنیم که AC · BD = AB · CD + BC · AD.
اثبات. بیایید خط مستقیم BE را طوری رسم کنیم که زاویه EBC برابر با زاویه ABD باشد. دو مثلث ABD و BEC شبیه هم هستند، زیرا ∠ABD = ∠CBE از نظر ساخت، ∠ADB = ∠BCE که بر روی یک قوس AB قرار دارند، بنابراین،
از شباهت این مثلث ها نسبت به دست می آید:
BC/BD = EC/AD (a)
مثلث های ABE و BCD مشابه هستند، زیرا ∠ABE = ∠DBC از نظر ساخت، ∠BAE = ∠BDC که توسط قوس BC پشتیبانی می شود، بنابراین،
∠BEA = ∠BCD.
از شباهت این مثلث ها نسبت به دست می آید:
AB/BD = AE/CD (b)
از نسبت های (الف) و (ب) برابری ها به دست می آید:
BC AD = BD EC
AB · CD = BD · AE
با اضافه کردن این برابری ها، داریم:
قبل از میلاد مسیح. AD + AB CD = BD EC + BD AE = BD (EC + AE)
از آنجایی که EC + AE = AC، پس
BD · AC = BC · AD + AB · CD (CHT).
قضیه 116. در هر چهارضلعی حلقوی، قطرها مجموع حاصلضرب اضلاع بر اساس انتهای قطرها است.
یک ABCD چهار ضلعی حلقوی (شکل 174) و قطرهای AC و BD ترسیم شده است.
اثبات آن لازم است
BD/AC = (میلادی DC + AB قبل از میلاد) / (BC CD + AD AB)
اثبات. الف) از نقطه B یک قوس BE برابر DC رسم می کنیم و نقطه E را به نقاط A، B، D متصل می کنیم.
برای چهارضلعی حلقوی ABED تساوی برقرار است:
AE · BD = AD · BE + AB · DE.
از آنجایی که BE = CD با ساخت، DE = BC، زیرا ◡DE = ◡DC + ◡CE و ◡BC = ◡BE + ◡CE.
با جایگزینی BE و DE با مقادیر آنها، برابری داریم:
AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)
ب) با تأخیر از نقطه A قوس AF برابر با قوس BC و اتصال نقطه F با نقاط A، D، C، برابری برای AFCD چهار ضلعی داریم:
AC · DF = AF · CD + AD · CF
در این برابری، AF = BC بر اساس ساخت، CF = AB (برای ◡CF = ◡BC + ◡BF و ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)
با جایگزینی مقادیر AF و CF با مقادیر آنها، برابری را پیدا می کنیم:
AC DF = BC CD + AD AB (b)
در برابری های (a) و (b)، بخش های AE و DF برابر هستند، زیرا
◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF
با تفکیک برابری های (الف) و (ب) متوجه می شویم:
قبل از میلاد/میلادی = (میلادی C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)(CHTD).
حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.
جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی
اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.
ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.
در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.
چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:
- هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.
نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:
- جمع آوری شده توسط ما اطلاعات شخصیبه ما اجازه می دهد تا با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده به شما اطلاع دهیم.
- هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
- ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
- اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.
افشای اطلاعات به اشخاص ثالث
ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.
استثناها:
- در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، مراحل قانونی و/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان های دولتیدر قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
- در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.
حفاظت از اطلاعات شخصی
ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.
احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت
برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.
اجازه دهید ابتدا مقطع AC را که از نقطه A خارج از دایره داده شده کشیده شده است در نظر بگیریم (شکل 288). از همان نقطه یک مماس AT رسم می کنیم. ما پاره بین نقطه A و نقطه تقاطع نزدیک به آن را با قسمت بیرونی دایره یک سکانس می نامیم (قطعه AB در شکل 288)، در حالی که قطعه AC به دورتر از دو نقطه تقاطع به سادگی است. یک سکانس قطعه مماس از A به نقطه مماس نیز به اختصار مماس نامیده می شود. پس منصفانه است
قضیه. حاصل ضرب یک سکنت و قسمت خارجی آن برابر مربع مماس است.
اثبات بیایید نقاط را به هم وصل کنیم. مثلث های ACT و BT A مشابه هستند، زیرا زاویه در راس A مشترک است، و زاویه های ACT برابر هستند، زیرا هر دو با نیمی از تلویزیون قوس یکسان اندازه گیری می شوند. بنابراین، از اینجا نتیجه لازم را دریافت می کنیم:
مماس برابر است با میانگین هندسی بین یک سکانس کشیده شده از همان نقطه و قسمت بیرونی آن.
نتیجه. برای هر مقطعی که از یک نقطه A کشیده شده است، حاصل ضرب طول آن و قسمت خارجی آن ثابت است:
اجازه دهید اکنون آکوردهایی را که در یک نقطه داخلی متقاطع می شوند در نظر بگیریم. گفته درست است:
اگر دو وتر همدیگر را قطع کنند، حاصل ضرب قطعات یک وتر برابر است با حاصلضرب قطعات دیگری (منظور بخشهایی است که وتر با نقطه تقاطع به آنها تقسیم می شود).
بنابراین، در شکل. 289 آکورد AB و CD در نقطه M همدیگر را قطع می کنند و به عبارت دیگر داریم
برای یک نقطه معین M، حاصل ضرب قطعاتی که هر وتری را که از آن می گذرد به آن تقسیم می کند ثابت است.
برای اثبات این موضوع، متذکر می شویم که مثلث های MBC و MAD شبیه هم هستند: زوایای CMV و DMA عمودی هستند، زوایای MAD و MCB روی یک قوس قرار دارند. از اینجا پیدا می کنیم
Q.E.D.
اگر نقطه معینی M در فاصله l از مرکز قرار داشته باشد، با کشیدن قطر از آن و در نظر گرفتن آن به عنوان یکی از وترها، در می یابیم که حاصل ضرب قطعات قطر و در نتیجه هر وتر دیگری برابر است. به مربع حداقل نیم وتر (عمود بر قطر مشخص) که از M می گذرد.
قضیه ثابت بودن حاصل ضرب قطعات یک وتر و قضیه ثابت بودن حاصلضرب یک مقطع و قسمت خارجی آن دو مورد از یک گزاره هستند؛ تنها تفاوت این است که آیا سکانس ها از طریق خارجی ترسیم می شوند یا نه. نقطه داخلی دایره اکنون می‌توانیم یک ویژگی دیگر که چهارضلعی‌های حلقوی را متمایز می‌کند، مشخص کنیم:
در هر چهار ضلعی حلقوی، محصولات برش خورده ای که مورب ها با نقطه تقاطع آنها تقسیم می شوند، برابر هستند.
وجوب شرط بدیهی است، زیرا مورب ها آکوردهایی از دایره محصور خواهند بود. می توان نشان داد که این شرط نیز کافی است.
