اشکال مثلثاتی و نمایی اعداد مختلط آنلاین. شکل مثلثاتی اعداد مختلط. اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

3.1. مختصات قطبی

اغلب در هواپیما استفاده می شود سیستم مختصات قطبی . اگر نقطه O داده شود، تعریف می شود قطب، و پرتوی که از قطب خارج می شود (برای ما این محور است گاو) - محور قطبی.موقعیت نقطه M با دو عدد ثابت می شود: شعاع (یا بردار شعاع) و زاویه φ بین محور قطبی و بردار.زاویه φ نامیده می شود زاویه قطبی؛ بر حسب رادیان اندازه گیری شده و در خلاف جهت عقربه های ساعت از محور قطبی شمارش می شود.

موقعیت یک نقطه در سیستم مختصات قطبی با یک جفت مرتب شده از اعداد (r; φ) داده می شود. در قطب r = 0،و φ تعریف نشده است. برای تمام نکات دیگر r > 0،و φ تا عبارتی که مضرب 2π باشد تعریف می شود. در این مورد، جفت اعداد (r; φ) و (r 1 ; φ 1) با یک نقطه مرتبط هستند اگر .

برای یک سیستم مختصات مستطیلی xOyمختصات دکارتی یک نقطه به راحتی بر حسب مختصات قطبی آن به صورت زیر بیان می شود:

3.2. تفسیر هندسی اعداد مختلط

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی را در صفحه در نظر بگیریم xOy.

هر عدد مختلط z=(a, b) با یک نقطه از صفحه با مختصات ( x، y)، جایی که مختصات x = a، i.e. قسمت واقعی عدد مختلط و مختصات y = bi قسمت خیالی است.

هواپیمایی که نقاط آن هستند اعداد مختلط- هواپیمای پیچیده

در شکل، عدد مختلط است z = (a، b)با یک نقطه مطابقت دارد M(x، y).

ورزش.اعداد مختلط را روی صفحه مختصات رسم کنید:

3.3. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

یک عدد مختلط در هواپیما مختصات یک نقطه را دارد M(x;y). که در آن:

نوشتن یک عدد مختلط - شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

عدد r نامیده می شود مدول عدد مختلط zو تعیین شده است. مدول یک عدد واقعی غیر منفی است. برای .

مدول برابر با صفرآن وقت و تنها زمانی که z = 0، یعنی a = b = 0.

عدد φ نامیده می شود آرگومان z و تعیین شده است. آرگومان z به طور مبهم تعریف می شود، مانند زاویه قطبی در سیستم مختصات قطبی، یعنی تا یک جمله که مضربی از 2π است.

سپس می پذیریم: , جایی که φ کوچکترین مقدار آرگومان است. بدیهی است که

هنگام مطالعه عمیق تر موضوع، یک آرگومان کمکی φ* معرفی می شود، به طوری که

مثال 1. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط را پیدا کنید.

راه حل. 1) ماژول را در نظر بگیرید: ;

2) به دنبال φ: ;

3) شکل مثلثاتی:

مثال 2.شکل جبری یک عدد مختلط را پیدا کنید .

در اینجا کافی است مقادیر را جایگزین کنید توابع مثلثاتیو عبارت را تبدیل کنید:

مثال 3.مدول و آرگومان یک عدد مختلط را بیابید.

1) ;

2)؛ φ – در 4 چهارم:

3.4. عملیات با اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

· جمع و تفریقاین کار با اعداد مختلط به شکل جبری راحت تر است:

· ضرب- با استفاده از تبدیل های مثلثاتی ساده می توان نشان داد که هنگام ضرب، ماژول های اعداد ضرب می شوند و آرگومان ها اضافه می شوند: ;

سخنرانی

شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

طرح

1. نمایش هندسی اعداد مختلط.

2. نمادگذاری مثلثاتی اعداد مختلط.

3. اعمال روی اعداد مختلط به صورت مثلثاتی.

نمایش هندسی اعداد مختلط.

الف) اعداد مختلط طبق قانون زیر با نقاط روی صفحه نمایش داده می شوند: آ + دو = م ( آ ; ب ) (عکس. 1).

تصویر 1

ب) یک عدد مختلط را می توان با برداری که از نقطه شروع می شود نشان داددر باره و انتهای آن در یک نقطه معین (شکل 2).

شکل 2

مثال 7. نقاطی را بسازید که نشان دهنده اعداد مختلط هستند:1; - من ; - 1 + من ; 2 – 3 من (شکل 3).

شکل 3

نماد مثلثاتی اعداد مختلط.

عدد مختلطz = آ + دو را می توان با استفاده از بردار شعاع مشخص کرد با مختصات( آ ; ب ) (شکل 4).

شکل 4

تعریف . طول برداری ، نشان دهنده یک عدد مختلط استz ، مدول این عدد نامیده می شود و نشان داده می شود یاr .

برای هر عدد مختلطz ماژول آنr = | z | به طور منحصر به فرد توسط فرمول تعیین می شود .

تعریف . بزرگی زاویه بین جهت مثبت محور واقعی و بردار ، که نشان دهنده یک عدد مختلط است، آرگومان این عدد مختلط نامیده می شود و نشان داده می شودآ rg z یاφ .

برهان عدد مختلطz = 0 تعریف نشده برهان عدد مختلطz≠ 0 - یک کمیت چند ارزشی و در یک مدت تعیین می شود2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): ارگ z = ارگ z + 2πk ، جایی کهارگ z - مقدار اصلی آرگومان موجود در بازه(-π; π] ، به این معنا که-π < ارگ z ≤ π (گاهی اوقات یک مقدار متعلق به بازه به عنوان مقدار اصلی آرگومان در نظر گرفته می شود .

این فرمول زمانی کهr =1 اغلب فرمول Moivre نامیده می شود:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ)، n  N .

مثال 11: محاسبه کنید(1 + من ) 100 .

بیایید یک عدد مختلط بنویسیم1 + من به صورت مثلثاتی

a = 1، b = 1 .

cos φ = ، sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos +من گناه میکنم )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + من گناه میکنم ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) استخراج جذر یک عدد مختلط.

وقتی جذر یک عدد مختلط را می گیریمآ + دو دو مورد داریم:

اگرب > o ، آن ;

عملیات روی اعداد مختلط که به شکل جبری نوشته شده اند

شکل جبری یک عدد مختلط z =(آ,ب) یک عبارت جبری شکل نامیده می شود

z = آ + دو.

عملیات حسابی روی اعداد مختلط z 1 = a 1 + ب 1 منو z 2 = a 2 + ب 2 من، که به صورت جبری نوشته شده است، به شرح زیر انجام می شود.

1. مجموع (تفاوت) اعداد مختلط

z 1 ± z 2 = (آ 1 ± الف 2) + (ب 1 ± ب 2)∙ من,

آن ها جمع (تفریق) طبق قانون جمع چند جمله ای با کاهش عبارت های مشابه انجام می شود.

2. حاصل ضرب اعداد مختلط

z 1 ∙z 2 = (آ 1 ∙a 2 - ب 1 ∙ب 2) + (آ 1 ∙ب 2 + الف 2 ∙ب 1)∙ من,

آن ها ضرب طبق قانون معمول برای ضرب چندجمله ای ها با در نظر گرفتن این واقعیت انجام می شود من 2 = 1.

3. تقسیم دو عدد مختلط طبق قانون زیر انجام می شود:

, (z 2 ≠ 0),

آن ها تقسیم با ضرب سود تقسیمی و مقسوم علیه در عدد مزدوج مقسوم علیه انجام می شود.

توان اعداد مختلط به صورت زیر تعریف می شود:

نشان دادن آن آسان است

مثال ها.

1. مجموع اعداد مختلط را بیابید z 1 = 2 – منو z 2 = – 4 + 3من.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ من)+ (–4 + 3من) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) من = –2+2من.

2. حاصل ضرب اعداد مختلط را بیابید z 1 = 2 – 3منو z 2 = –4 + 5من.

= (2 – 3من) ∙ (–4 + 5من) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3من)+ 2∙5من– 3من ∙ 5من = 7+22من.

3. ضریب را پیدا کنید zاز تقسیم z 1 = 3 - 2na z 2 = 3 – من.

z = .

4- معادله را حل کنید: ایکسو y Î آر.

(2x+y) + (x+y)من = 2 + 3من.

به دلیل برابری اعداد مختلط داریم:

جایی که x =–1 , y= 4.

5. محاسبه کنید: من 2 ,من 3 ,من 4 ,من 5 ,من 6 ,من -1 ،من -2 .

6. محاسبه کنید اگر .

7. متقابل یک عدد را محاسبه کنید z=3-من.

اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

هواپیمای پیچیدهبه نام هواپیما با مختصات دکارتی ( x، y، اگر هر نقطه با مختصات ( الف، ب) با یک عدد مختلط همراه است z = a + bi. در این حالت محور آبسیسا نامیده می شود محور واقعی، و محور ترتیب است خیالی. سپس هر عدد مختلط a+biبه صورت هندسی روی یک صفحه به عنوان یک نقطه به تصویر کشیده شده است الف (الف، ب) یا بردار.

بنابراین، موقعیت نقطه آ(و بنابراین یک عدد مختلط z) را می توان با طول بردار مشخص کرد | | = rو زاویه j، تشکیل شده توسط بردار | | با جهت مثبت محور واقعی. طول بردار نامیده می شود مدول یک عدد مختلطو با | نشان داده می شود z |=r، و زاویه jتماس گرفت آرگومان عدد مختلطو تعیین شده است j = arg z.

واضح است که | z| ³ 0 و | z | = 0 Û z = 0.

از شکل 2 واضح است که .

آرگومان یک عدد مختلط به طور مبهم، اما با دقت 2 تعیین می شود pk، kÎ ز.

از شکل 2 همچنین واضح است که اگر z=a+biو j=arg z،که

cos j =، گناه j =، tg j = .

اگر zÎآرو z> 0، سپس arg z = 0 +2pk;

اگر z Оآرو z< 0، سپس arg z = p + 2pk;

اگر z = 0,arg zتعریف نشده

مقدار اصلی آرگومان در بازه 0 تعیین می شود £ arg z 2 پوند پ،

یا -پ£ arg z £ p.

مثال ها:

1. مدول اعداد مختلط را بیابید z 1 = 4 – 3منو z 2 = –2–2من.

2. مناطقی را در صفحه مختلط که با شرایط تعریف شده است تعریف کنید:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 پوند؛ 3) | z – (2+من) | 3 پوند؛ 4) 6 پوند | z – من| 7 پوند

راه حل ها و پاسخ ها:

1) | z| = 5 Û Û - معادله دایره ای با شعاع 5 و مرکز در مبدا.

2) دایره ای با شعاع 6 با مرکز در مبدا.

3) دایره ای با شعاع 3 با مرکز در نقطه z 0 = 2 + من.

4) حلقه ای که توسط دایره هایی با شعاع 6 و 7 با مرکز در یک نقطه محدود شده است z 0 = من.

3. مدول و آرگومان اعداد را بیابید: 1) ; 2) .

1) ; آ = 1, ب = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2من; a =–2, b =-2 Þ ,

نکته: هنگام تعیین آرگومان اصلی، از صفحه مختلط استفاده کنید.

بدین ترتیب: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1، j 3 =، .

4) , r 4 = 1، j 4 =، .

اعداد مختلط XI

§ 256. شکل مثلثاتی اعداد مختلط

یک عدد مختلط بگذارید a + bi بردار مربوطه O.A.> با مختصات ( الف، ب ) (شکل 332 را ببینید).

اجازه دهید طول این بردار را با نشان دهیم r و زاویه ای که با محور ایجاد می کند ایکس ، از طریق φ . با تعریف سینوس و کسینوس:

آ / r = cos φ , ب / r = گناه φ .

از همین رو آ = r cos φ , ب = r گناه φ . اما در این مورد عدد مختلط a + bi را می توان به صورت زیر نوشت:

a + bi = r cos φ + ir گناه φ = r (cos φ + من گناه φ ).

همانطور که می دانید مجذور طول هر بردار با مجموع مجذور مختصات آن برابر است. از همین رو r 2 = آ 2 + ب 2، از کجا r = √a 2 + ب 2

بنابراین، هر عدد مختلط a + bi را می توان در فرم نشان داد :

a + bi = r (cos φ + من گناه φ ), (1)

جایی که r = √a 2 + ب 2 و زاویه φ از این شرط تعیین می شود:

این شکل از نوشتن اعداد مختلط نامیده می شود مثلثاتی.

عدد r در فرمول (1) نامیده می شود مدول، و زاویه φ - بحث و جدل، عدد مختلط a + bi .

اگر عدد مختلط باشد a + bi برابر با صفر نیست، پس مدول آن مثبت است. اگر a + bi = 0، سپس a = b = 0 و سپس r = 0.

مدول هر عدد مختلط به طور یکتا تعیین می شود.

اگر عدد مختلط باشد a + bi برابر با صفر نیست، سپس آرگومان آن با فرمول (2) تعیین می شود. قطعادقیق به زاویه ای که بر 2 تقسیم می شود π . اگر a + bi = 0، سپس a = b = 0. در این مورد r = 0. از فرمول (1) به راحتی می توان آن را به عنوان یک آرگومان فهمید φ در این مورد، شما می توانید هر زاویه ای را انتخاب کنید: پس از همه، برای هر φ

0 (cos φ + من گناه φ ) = 0.

بنابراین آرگومان null تعریف نشده است.

مدول یک عدد مختلط r گاهی اوقات علامت | z |، و استدلال arg z . بیایید به چند نمونه از نمایش اعداد مختلط به شکل مثلثاتی نگاه کنیم.

مثال. 1. 1 + من .

بیایید ماژول را پیدا کنیم r و استدلال φ این شماره.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

پس گناه کن φ = 1 / √ 2، cos φ = 1 / √ 2، از آنجا φ = π / 4 + 2nπ .

بدین ترتیب،

1 + من = √ 2 ,

جایی که پ - هر عدد صحیح معمولاً از مجموعه بی نهایت مقادیر آرگومان یک عدد مختلط، یکی انتخاب می شود که بین 0 تا 2 باشد. π . در این مورد، این مقدار است π / 4 . از همین رو

1 + من = √ 2 (cos π / 4 + من گناه π / 4)

مثال 2.یک عدد مختلط را به صورت مثلثاتی بنویسید √ 3 - من . ما داریم:

r = √ 3+1 = 2، cos φ = √ 3/2، گناه φ = - 1 / 2

بنابراین، تا یک زاویه قابل تقسیم بر 2 π , φ = 11 / 6 π ; از این رو،

√ 3 - من = 2 (cos 11/6 π + من گناه 11/6 π ).

مثال 3یک عدد مختلط را به صورت مثلثاتی بنویسید من.

عدد مختلط من بردار مربوطه O.A.>، به نقطه A از محور ختم می شود در با دستور 1 (شکل 333). طول چنین بردار 1 است و زاویه ای که با محور x ایجاد می کند برابر است π / 2. از همین رو

من = cos π / 2 + من گناه π / 2 .

مثال 4.عدد مختلط 3 را به صورت مثلثاتی بنویسید.

عدد مختلط 3 مربوط به بردار است O.A. > ایکس abscissa 3 (شکل 334).

طول چنین بردار 3 است و زاویه ای که با محور x ایجاد می کند 0 است. بنابراین

3 = 3 (cos 0 + من گناه 0)

مثال 5.عدد مختلط -5 را به صورت مثلثاتی بنویسید.

عدد مختلط -5 مربوط به یک بردار است O.A.> به یک نقطه محور ختم می شود ایکس با آبسیسا -5 (شکل 335). طول چنین بردار 5 است و زاویه ای که با محور x تشکیل می دهد برابر است π . از همین رو

5 = 5 (cos π + من گناه π ).

تمرینات

2047. این اعداد مختلط را به صورت مثلثاتی بنویسید و ماژول ها و آرگومان های آنها را تعریف کنید:

1) 2 + 2√3 من , 4) 12من - 5; 7).3من ;

2) √3 + من ; 5) 25; 8) -2من ;

3) 6 - 6من ; 6) - 4; 9) 3من - 4.

2048. روی صفحه مجموعه ای از نقاط را نشان دهید که نشان دهنده اعداد مختلط است که مدول های r و آرگومان های φ شرایط را برآورده می کنند:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. آیا اعداد می توانند به طور همزمان مدول یک عدد مختلط باشند؟ r و - r ?