Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформаціїу будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
ЗАВДАННЯ C2 ЄДИНОГО ДЕРЖАВНОГО ЕКЗАМЕНУ З МАТЕМАТИКИ НА ЗНАХОДЖЕННЯ ВІДСТАНИ ВІД ТОЧКИ ДО ПЛОЩИНИ
Куликова Анастасія Юріївна
студент 5 курсу, кафедра мат. аналізу, алгебри та геометрії ЄІ КФУ, РФ, Республіка Татарстан, м. Єлабуга
Ганєєва Айгуль Рифівна
науковий керівник, канд. пед. наук, доцент ЄІ КФУ, РФ, Республіка Татарстан, м. Єлабуга
У завданнях ЄДІз математики в Останніми рокамиз'являються завдання обчислення відстані від точки до площині. У цій статті на прикладі одного завдання розглянуто різні методи знаходження відстані від точки до площини. Для вирішення різних завдань можна використати найбільш підходящий метод. Розв'язавши завдання одним методом, іншим методом можна перевірити правильність отриманого результату.
Визначення.Відстань від точки до площини, що не містить цієї точки, є довжина відрізка перпендикуляра, опущеного з цієї точки на дану площину.
Завдання.Дан прямокутний паралелепіпед АBЗDA 1 B 1 C 1 D 1 зі сторонами AB=2, BC=4, AA 1 =6. Знайдіть відстань від точки Dдо площини АСD 1 .
1 спосіб. Використовуючи визначення. Знайти відстань r( D, АСD 1) від точки Dдо площини АСD 1 (рис. 1).
Рисунок 1. Перший спосіб
Проведемо DH⊥АС, отже по теремі про три перпендикуляри D 1 H⊥АСі (DD 1 H)⊥АС. Проведемо пряму DTперпендикулярно D 1 H. Пряма DTлежить у площині DD 1 H, отже DT⊥AC. Отже, DT⊥АСD 1.
АDCзнайдемо гіпотенузу АСта висоту DH
З прямокутного трикутника D 1 DH знайдемо гіпотенузу D 1 Hта висоту DT
Відповідь: .
2 спосіб.Метод обсягів (використання допоміжної піраміди). Завдання даного типу можна звести до завдання про обчислення висоти піраміди, де висота піраміди є відстанню від точки до площини. Довести, що ця висота і є відстань, яку шукає; знайти обсяг цієї піраміди двома способами та виразити цю висоту.
Зазначимо, що з даному методі немає потреби у побудові перпендикуляра з цієї точки до даної площині.
Прямокутний паралелепіпед - паралелепіпед, усі грані якого є прямокутниками.
AB=CD=2, BC=AD=4, AA 1 =6.
Шуканою відстанню буде висота hпіраміди ACD 1 D, опущеної з вершини Dна основі ACD 1 (рис. 2).
Обчислимо обсяг піраміди ACD 1 Dдвома способами.
Обчислюючи, першим способом за основу приймемо ∆ ACD 1 , тоді
Обчислюючи, другим способом за основу приймемо ∆ ACDтоді
Прирівняємо праві частини останніх двох рівностей, отримаємо
Рисунок 2. Другий спосіб
З прямокутних трикутників АСD, ADD 1 , CDD 1 знайдемо гіпотенузи, використовуючи теорему Піфагора
ACD
Обчислимо площу трикутника АСD 1 , використовуючи формулу Герона
Відповідь: .
3 спосіб. Координатний метод.
Нехай дана точка M(x 0 ,y 0 ,z 0) та площина α , задана рівнянням ax+by+cz+d=0 у прямокутній декартовій системі координат. Відстань від точки Mдо площини можна обчислити за формулою:
Введемо систему координат (рис. 3). Початок координат у точці У;
Пряма АВ- вісь хпряма НД- вісь yпряма BB 1 - вісь z.
3. Третій спосіб
B(0,0,0), А(2,0,0), З(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).
Нехай aх+by+ cz+ d=0 – рівняння площини ACD 1 . Підставляючи в нього координати точок A, C, D 1 отримаємо:
Рівняння площини ACD 1 набуде вигляду
Відповідь: .
4 спосіб. Векторний метод.
Введемо базис (рис. 4), .
Малюнок 4. Четвертий спосіб
Розглянемо у просторі деяку площину π і довільну точку M 0 . Виберемо для площини одиничний нормальний вектор n з початкомв деякій точці М 1 ? Тоді (рис. 5.5)
р(М 0 ,π) = | пр n M 1 M 0 | = | nM 1 M 0 |, (5.8)
оскільки |n| = 1.
Якщо площина π задана в прямокутної системи координат своїм загальним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, то її нормальним вектором є вектор з координатами (A; B; C) і як одиничний нормальний вектор можна вибрати
Нехай (x 0 ; y 0 ; z 0) і (x 1 ; y 1 ; z 1) координати точок M 0 і M 1 . Тоді виконано рівність Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, оскільки точка M 1 належить площині, і можна знайти координати вектора M 1 M 0 : M 1 M 0 = (x 0 -x 1; y 0 -y 1;z 0 -z 1). Записуючи скалярний добуток nM 1 M 0 в координатній формі та перетворюючи (5.8), отримуємо
оскільки Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Отже, щоб обчислити відстань від точки до площини потрібно підставити координати точки в загальне рівняння площини, а потім абсолютну величину результату розділити на множник, що нормує, рівний довжинівідповідного вектора.
, Конкурс «Презентація до уроку»
Клас: 11
Презентація до уроку
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Цілі:
- узагальнення та систематизація знань та умінь учнів;
- розвиток умінь аналізувати, порівнювати, робити висновки.
Обладнання:
- мультимедійний проектор;
- комп'ютер;
- листи з текстами завдань
ХІД ЗАНЯТТЯ
I. Організаційний момент
ІІ. Етап актуалізації знань(слайд 2)
Повторюємо як визначається відстань від точки до площини
ІІІ. Лекція(Слайди 3-15)
На занятті ми розглянемо різні способи знаходження відстані від точки до площині.
Перший метод: поетапно-обчислювальний
Відстань від точки М до площини:
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на прямій a, яка проходить через точку М і паралельна площині;
– дорівнює відстані до площини від довільної точки Р, що лежить на площині, яка проходить через точку М і паралельна площині.
Вирішимо такі завдання:
№1. У кубі А…D 1 знайти відстань від точки 1 до площині АВ 1 З.
Залишилося обчислити значення довжини відрізка 1 Н.
№2. У правильній шестикутній призмі А…F 1 , усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від точки А до площини DEA 1 .
Наступний метод: метод обсягів.
Якщо обсяг піраміди АВСМ дорівнює V, то відстань від точки М до площини α, що містить ΔАВС, обчислюється за формулою ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При розв'язанні задач ми використовуємо рівність обсягів однієї фігури, виражені двома різними способами.
Розв'яжемо наступне завдання:
№3. Ребро AD піраміди DABC перпендикулярно площині основи АВС. Знайдіть відстань від А до площини, що проходить через середини ребер АВ, АС та АD, якщо.
При вирішенні завдань координатним методомвідстань від точки М до площини можна обчислити за формулою ρ(М; α) = 
, де М(х 0 ; у 0 ; z 0), а площина задана рівнянням ax + by + cz + d = 0
Розв'яжемо наступне завдання:
№4. У одиничному кубі A…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDC 1 .
Введемо систему координат з початком у точці А, вісь у пройде по ребру АВ, вісь х – по ребру АD, вісь z – по ребру АА 1 . Тоді координати точок В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Складемо рівняння площини, що проходить через точки, D, C 1 .
Тоді - dx - dy + dz + d = 0 x + y - z - 1 = 0. Отже, ρ = 
Наступний метод, який можна використовувати під час вирішення завдань даного типу – метод опорних завдань.
Застосування цього методу полягає у застосуванні відомих опорних завдань, які формулюються як теореми.
Розв'яжемо наступне завдання:
№5. У одиничному кубі А…D1 знайдіть відстань від точки D1 до площині АВ1С.
Розглянемо застосування векторний метод.
№6. У одиничному кубі А…D 1 знайдіть відстань від точки А 1 до площини ВDС 1 .
Отже, ми розглянули різні способи, які можна використовувати при вирішенні цього завдання. Вибір того чи іншого методу залежить від конкретної задачі та ваших уподобань.
IV. Робота у групах
Спробуйте розв'язати завдання різними способами.
№1. Ребро куба А ... D 1 дорівнює. Знайдіть відстань від вершини С до площини BDC 1 .
№2. У правильному тетраедрі АВСD з ребром знайдіть відстань від точки А до площини BDC
№3. У правильній трикутній призмі АВСА 1 В 1 С 1 всі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини ВСА 1 .
№4. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, усі ребра якої дорівнюють 1, знайдіть відстань від А до площини SCD.
V. Підсумок уроку, домашнє завдання, рефлексія
