Якщо прямокутні паралелепіпеди мають рівні підстави, їх можна вкласти один в інший.
Нехай AG та AP (рис.) два таких паралелепіпеди. Розглянемо два випадки.
1. Висоти BF і BN можна порівняти.
Нехай загальна міра висот міститься m разів у BF і n разів у BN.
Проведемо через точки поділу ряд площин, паралельних підставі.
Тоді паралелепіпед AG розділиться на m, а паралелепіпед AP на n рівних частин.
Таким чином ми отримаємо:
\(\frac(BF)(BN)=\frac(m)(n)\) і \(\frac(Обсяг AG)(Обсяг AP)=\frac(m)(n) \)
Отже:
\(\frac(Обсяг AG)(Обсяг AP)=\frac(BF)(BN) \)
2. Висоти BF і BN непорівнянні.
Розділимо BN на n рівних частин і одну частину відкладемо на BF стільки разів, скільки можна.
Нехай 1/n частка BN міститься у BF більше m разів, але менше m+1 разів.
Тоді, провівши як і ряд площин, паралельних підставі, ми розділимо пар-д AP на n таких рівних частин, яких у пар-де AG міститься більше m, але менше m+1.
Отже:
прибл.відн. \(\frac(BF)(BN)=\frac(m)(n)\) і прибл. \(\frac(Обсяг AG)(Обсяг AP)=\frac(m)(n)\)
Отже, наближені відносини, обчислені з довільною, але однаковою точністю, рівні. На цьому й полягає рівність непорівнянних відносин.
Лемма 2. Обсяги прямокутних паралелепіпедів, що мають рівні висоти, відносяться як площі їх основ.
Нехай (рис.) P і P 1 два прямокутні паралелепіпеди. Позначимо нерівні підстави одного з них через a та b, а іншого через a 1 і b 1 .
Візьмемо допоміжний прямокутний паралелепіпед Q, у якого висота така сама, як у даних тіл, а основою служить прямокутник зі сторонами a і b 1 .
У паралелепіпедів P і Q передні грані рівні. Якщо приймемо ці грані за основи, то висоти будуть b і b 1 і, отже:
Об'єм P/Об'єм Q = b/b1
У паралелепіпедів Q і P 1 бічні грані рівні. Якщо приймемо ці грані за підстави, то висоти будуть a і a 1 і, отже:
Об'єм Q/Об'єм P 1 = a/a1
Перемноживши рівності і знайдемо:
Об'єм P/Об'єм P 1 = ab/a 1 b 1
Так як ab виражає площу основи пар-так P, а a 1 b 1 - площа основи пар-так P 1 то лема доведена.
Теорема. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.
Нехай (рис.) P є прямокутний паралелепіпед, а P 1 якась кубічна одиниця.
Позначимо площу основи та висоту першого через B та H, а другого через B 1 та H 1 .
Візьмемо допоміжний прямокутний паралелепіпед Q, у якого площа основи B 1 а висота H.
Порівнюючи P з Q, а потім Q з P 1 знаходимо:
Про. P/Про. Q = B/B1 та про. Q/про. P1 = H/H1
Перемноживши ці рівності, отримаємо:
Про. P/Про. P1 = B/B1 * H/H1
Відносини, що входять у цю рівність є числа, що виражають об'єм, площу основи та висоту даного паралелепіпеда у відповідних кубічних, квадратних та лінійних одиницях. Тому остання рівність можна виразити так:
Число, що виражає обсяг прямокутного паралелепіпеда, дорівнює добутку чисел, що виражають площу основи та висоту у відповідних одиницях.
Це скорочують так: обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі підстави на висоту, тобто.
де під V, B і H розуміються числа, що виражають у відповідних одиницях обсяг, площа основи та висоту прямокутного паралелепіпеда.
Позначаючи літерами a, b і три вимірювання прямокутного пар-да (виражені в числах), можемо написати:
тому що площа основи виражається добутком двох із цих вимірів, а висота дорівнює третьому виміру.
Наслідки:- Об'єм куба дорівнює третьому ступеню його ребра.
- Відношення двох кубічних одиниць дорівнює третьому ступеню відношення відповідних лінійних одиниць. Так, відношення м3 до дм3 дорівнює 103, тобто. 1000.
Обсяг будь-якого паралелепіпеда
Лемма. Похила призма дорівнює такій прямій призмі, у якої основа дорівнює перпендикулярному перерізу похилої призми, а висота - її бічному ребру.
Через якусь точку a (рис.) одного з бічних ребер похилої призми A 1 d проведемо перпендикулярний переріз abcde. Потім продовжимо всі бічні грані вниз, відкладемо aa 1 =AA 1 і через точку a 1 проведемо перпендикулярне перетин a 1 b 1 з 1 d 1 e 1 .
Оскільки площини двох перерізів паралельні, частини бічних ребер, укладені з-поміж них, рівні, тобто.
bb 1 = сс 1 = dd 1 = ee 1 = aa 1 = AA 1 .
Внаслідок цього багатогранник a 1 d є пряма призма, у якої основою служить перпендикулярний переріз, а висота (або, що те саме, бічне ребро) дорівнює бічному ребру похилої призми.
Доведемо, що похила призма рівновелика прямій призмі.
Для цього попередньо переконаємося, що багатогранники aD та a 1 D 1 рівні.
Підстави їх abcde та a 1 b 1 з 1 d 1 e 1 рівні, як підстави призми a 1 d.
З іншого боку, відібравши від обох частин рівності A 1 A = a 1 a по одній прямій A 1 a , отримаємо aA = a 1 A 1 .
Подібно до цього: bB = b 1 B 1 , сС = с 1 С 1 і т.д.
Уявимо тепер, що багатогранник aD вкладений в a 1 D 1 так, щоб їх підстави збіглися. Тоді бічні ребра, перпендикулярні до основ і відповідно рівні, також збігатимуться.
Тому багатогранник aD поєднається з a 1 D 1 . Отже ці тіла рівні.
Тепер зауважимо, що якщо від цілого багатогранника a 1 D віднімемо частину aD то отримаємо пряму призму. А якщо від того ж багатогранника заберемо частину a 1 D 1, то отримаємо похилий призму.
З цього випливає, що ці дві призми рівновеликі, оскільки обсяги їх є різницею обсягів рівних тіл.
Теорема. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі підстави на висоту.
Раніше ми довели цю теорему для прямокутного паралелепіпеда, тепер доведемо її для паралелепіпеда прямого, а потім похилого.
1. Нехай (рис.) AC 1 прямий пар-д, тобто. такий, у якого основа ABCD якийсь паралелограм, а всі бічні грані - прямокутники.
Візьмемо в ньому за основу грань AA 1 B 1 B. Тоді паралелепіпед буде похилим.
Розглядаючи його як окремий випадок похилої призми, ми, на підставі леми попереднього параграфа, можемо стверджувати, що цей пар-д рівновеликий такому прямому, у якого основа є перпендикулярне перетин MNPQ, а висота BC.
Чотирьохкутник MNPQ є прямокутником, тому що його кути служать лінійними кутами прямих двогранних кутів. Тому прямий паралелепіпед, що має цю основу, повинен бути прямокутним, і, отже, його обсяг дорівнює добутку площі основи MNPQ на висоту BC.
Але площа MNPQ дорівнює MN*MQ. Значить:
Об'єм AC1 = MN * MQ * BC
Добуток MQ * BC виражає площу паралелограма ABCD. Тому:
Об'єм AC 1 = (площ.ABCD) * MN
2. Нехай (рис.) AC 1 є пар похилий. Він рівновеликий такому прямому, у якого основою служить перпендикулярне перетин MNPQ, а висотою ребро BC.
Але, за доведеним, обсяг прямого паралелепіпеда дорівнює добутку площі підстави на висоту. Значить:
Об'єм AC 1 = (площ.MNPQ) * BC
Якщо RS є висота перерізу MNPQ, то площа MNPQ = MQ*RS. Тому:
Об'єм AC1 = MQ * RS * BC
Добуток BC * MQ виражає площу паралелограма ABCD. Отже:
Об'єм AC 1 = (площ.ABCD) * RS
Тобто. обсяг всякого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту .
Слідство.Якщо V, B і H - числа, що виражають у відповідних одиницях об'єм, площа основи і висоту якогось паралелепипеда, то можемо написати:
Завдання.Підставою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого дорівнює S. Площі діагональних перерізів дорівнюють S 1 і S 2 . Знайти обсяг паралелепіпеда.
Для знаходження об'єму паралелепіпеда потрібно знайти його висоту Н (рис. 242).
Позначимо довжини діагоналей основи через d 1 і d 2 . Тоді
d 1 H = S 1 , d 2 H = S 2 d 1 d 2 = 2S.
З цих рівнянь знаходимо
$$ \frac(S_1)(H)\cdot \frac(S_2)(H) = 2S, \;\; H=\sqrt(\frac(S_1 S_2)(2S)) $$
Отже,
$$ V=S\cdot H = S\sqrt(\frac(S_1 S_2)(2S))=\sqrt(\frac(S\cdot S_1\cdot S_2)(2)) $$
Розділ третій
Багатогранники
II ОБСЯГ ПРИЗМИ І ПІРАМІДИ
82. Основні припущення обсягах.Розмір частини простору, займаного геометричним тілом, називається обсягом цього тіла.
Ми ставимо завдання - знайти для цієї величини вираз у вигляді деякого числа, що вимірює цю величину. При цьому ми керуватимемося такими вихідними положеннями:
1) Рівні тіла мають рівні обсяги.
2) Обсяг якогось тіла(наприклад, кожного паралелепіпеда, зображеного на рис. 87), що складається з частин(Р та Q), дорівнює сумі обсягів цих частин.
Два тіла, що мають однакові об'єми, називаються рівновеликими.
83. Одиниця обсягу.За одиницю об'ємів при вимірі їх беруть об'єм такого куба, у якого кожне ребро дорівнює лінійній одиниці. Так, уживані кубічні метри (м3), кубічні сантиметри (см3) і т.д.
Об'єм паралелепіпеда
84. Теорема.Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів.
У такому короткому виразі цю теорему треба розуміти так: число, що виражає обсяг прямокутного паралелепіпеда в кубічній одиниці, дорівнює добутку чисел, що виражають три його виміри у відповідній лінійній одиниці, тобто в одиниці, що є рубом куба, обсяг якого прийнятий за кубічну одиницю . Так, якщо хє число, що виражає обсяг прямокутного паралелепіпеда в кубічних сантиметрах, і а, bі з-Числа, що виражають три його вимірювання в лінійних сантиметрах, то теорема стверджує, що x = abc.
При доказі розглянемо наступні три випадки:
1) Вимірювання виражаються цілими числами.
Нехай, наприклад, виміри будуть (рис. 88): АВ = а, НД = bта BD = c,
де а, bі з- якісь цілі числа (наприклад, як зображено у нас на кресленні: а = 4, b= 2 і з= 5). Тоді основа паралелепіпеда містить abтаких квадратів, у тому числі кожен є відповідну квадратну одиницю. На кожному із цих квадратів, очевидно, можна помістити по одній кубічній одиниці. Тоді вийде шар (зображений на кресленні), що складається з abкубічних одиниць. Так як висота цього шару дорівнює одній лінійній одиниці, а висота всього паралелепіпеда містить зтаких одиниць, то всередині паралелепіпеда можна помістити зтаких шарів. Отже, обсяг цього паралелепіпеда дорівнює abcкубічних одиниць.
2) Вимірювання виражаються дробовими числами . Нехай вимірювання паралелепіпеда будуть:
m / n , p / q , r / s
. (Деякі з цих дробів можуть дорівнювати цілому числу). Привівши дроби до однакового знаменника, матимемо:
mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs
Приймемо 1 / nqsчастку лінійної одиниці за нову (допоміжну) одиницю довжини. Тоді в цій новій одиниці виміру даного паралелепіпеда виразяться цілими числами, а саме: mqs, pnsі rnq, і тому за доведеним (у разі 1) обсяг паралелепіпеда дорівнює добутку ( mqs) (pns) (rnq), якщо вимірювати цей обсяг новою кубічною одиницею, що відповідає новій лінійній одиниці. Таких кубічних одиниць в одній кубічній одиниці, що відповідає колишній лінійній одиниці, міститься ( nqs) 3 ; отже, нова кубічна одиниця становить 1 /( nqs) 3 колишній. Тому обсяг паралелепіпеда, виражений у колишніх одиницях, дорівнює:
3) Вимірювання виражаються ірраціональними числами. Нехай у даного паралелепіпеда (чорт. 89), який для стислості ми, позначимо однією літерою Q, вимірювання будуть:
АВ = α; АС = β; AD = γ,
де всі числа α, β і γ або лише деякі з них ірраціональні.
Кожне з чисел α, β і γ може бути представлене у вигляді нескінченного десяткового дробу. Візьмемо наближені значення цих дробів з пдесятковими знаками спочатку з нестачею, та був з надлишком. Значення з недоліком позначимо α n , β n , γ nзначення з надлишком α" n , β" n , γ" n. Відкладемо на ребері АВ, починаючи від точки А, два відрізки AB 1 = α nта АВ 2 = α" n.
На ребері АС від тієї ж точки А відкладемо відрізки АС 1 = β nі АС 2 = β" nі на ребрі AD від тієї ж точки-відрізки АD 1 = nі AD 2 =? n.
При цьому ми матимемо:
AB 1< АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .
Побудуємо тепер два допоміжні паралелепіпеди; один (позначимо його Q 1) з вимірами АВ 1 , АС 1 і AD 1 та інший (позначимо його Q 2) з вимірами АВ 2 , АС 2 та AD 2 . Паралелепіпед Q 1 буде весь поміщатися всередині паралелепіпеда Q, а паралелепіпед Q 2 міститиме в собі паралелепіпед Q.
За доведеним (у разі 2) матимемо:
об'єм Q 1 = α n β n γ n (1)
об'єм Q 2 = α" n β" n γ" n (2)
Оричем обсяг Q 1< объёма Q 2 .
Почнемо тепер збільшувати число п. Це означає, що ми беремо наближені значення чисел α, β, γ все з більшим і більшим ступенем точності.
Подивимося, як у своїй змінюються обсяги паралелепіпедів Q 1 і Q 2 .
При необмеженому зростанні поб'єм Q 1 , очевидно, збільшується і через рівність (1) при безмежному збільшенні nмає межу твору (α n β n γ n). Обсяг Q 2 очевидно, зменшується і в силу рівності (2) має межею межа твору (α" n β" n γ" n). Але з алгебри відомо, що обидва твори
α n β n γ nта α" n β" n γ" nпри необмеженому збільшенні пмають спільну межу, яка є добутком ірраціональних чисел αβγ.
Цю межу ми приймаємо за міру об'єму паралелепіпеда Q: об'єм Q = αβγ.
Можна довести, що певний обсяг задовольняє тим умовам, які встановлені для обсягу (§ 82). Справді, за такого визначення обсягу рівні паралелепіпеди, очевидно, мають рівні обсяги. Отже, перша умова (§ 82) виконується. Розіб'ємо тепер даний паралелепіпед Q площиною, паралельною до його основи, надвоє: Q 1 і Q 2 (чорт. 90).
Тоді матимемо:
об'єм Q = АВ АС АD,
об'єм Q 1 = АВ АА 1 АD,
обсяг Q 2 = А 1 В 1 А 1 С А 1 D 1 .
Складаючи почленно два останніх рівності і помічаючи, що А 1 В 1 = АВ і А 1 D 1 =АD, отримаємо:
об'єм Q 1 +обсяг Q 2 = АВ АА 1 АD+АВ А 1 С АD = АВ АD (АА 1 + А 1 С) = АВ АD АC, звідси отримуємо:
обсяг Q 1 + обсяг Q 2 = обсяг Q.
Отже, і друга умова § 82 теж виконується, якщо паралелепіпед складатиметься з двох частин, отриманих розрізанням його площиною, паралельною одній з граней.
85. Наслідок.Нехай вимірювання прямокутного паралелепіпеда, що є сторонами його основи, виражаються числами аі b, а третій вимір (висота)-числом з. Тоді, позначаючи обсяг його у відповідних кубічних одиницях буквою V, можемо написати:
V = аbс.
Бо твір аbвисловлює площу основи, то можна сказати, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту .
Зауваження.Відношення двох кубічних одиниць різних назв дорівнює третього ступеня відношення тих лінійних одиниць, які є ребрами для цих кубічних одиниць. Так, відношення кубічного метра до кубічного дециметра дорівнює 103, тобто 1000. Тому, наприклад, якщо ми маємо куб з ребром завдовжки алінійних одиниць та інший куб з ребром довжиною 3 алінійних одиниць, то відношення їх обсягів дорівнюватиме 3 3 , тобто 27, що ясно видно з креслення 91.
86. Лемма. Похила призма дорівнює такій прямій призмі, основа якої дорівнює перпендикулярному перерізу похилої призми, а висота - її бічному ребру.
Нехай дана похила призма ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (чорт. 92).
Продовжимо всі її бічні ребра та бічні грані в одному напрямку.
Візьмемо на продовженні одного якогось ребра довільну точку аі проведемо через неї перпендикулярний перетин abcde. Потім, відклавши аа 1 = АА 1 , проведемо через а 1 перпендикулярний переріз a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 . Так як площини обох перерізів паралельні, то bb 1 = сс 1 = dd 1 = її 1 = аа 1 = АА 1 (§ 17). Внаслідок цього багатогранник a 1 d, у якого за підстави прийнято проведені нами перерізи, є пряма призма, про яку йдеться в теоремі.
Доведемо, що ця похила призма рівновелика цій прямій. Для цього попередньо переконаємось, що багатогранники a D і a 1 D 1 рівні. Підстави їх abcdeі a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 рівні як підстави призми a 1 d; з іншого боку, додавши до обох частин рівності А1А = а 1 апо тому самому відрізку прямий А 1 а, Отримаємо: аА = а 1 А 1; подібно до цього bВ = b 1 В 1 , зЗ = з 1 З 1 і т. д. Уявимо тепер, що багатогранник a D вкладений у багатогранник a 1 D 1 так, що підстави їх збіглися; тоді бічні ребра, будучи перпендикулярні до основ і відповідно рівні, також збігатимуться; тому багатогранник a D поєднається з багатогранником a 1 D 1; отже, ці тіла рівні. Тепер зауважимо, що якщо до прямої призми a 1 dдодамо багатогранник a D, а до похилої призми A 1 D додамо багатогранник a 1 D 1 , рівний a D, то отримаємо один і той же багатогранник a 1 D. З цього випливає, що дві призми A 1 D і a 1 dрівновеликі.
87. Теорема. Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.
Раніше ми довели цю теорему для паралелепіпеда прямого вугільного, тепер доведемо її для паралелепіпеда прямого, а потім інаклонного.
1). Нехай (чорт. 93) АС 1 - прямий паралелепіпед, тобто такий, у якого основа ABCD - якийсь паралелограм, а всі бічні грані - прямокутники.
Візьмемо в ньому за основу бічну грань АА 1 В 1 В; тоді паралелепіпед буде
н а к ло н н ий. Розглядаючи його як окремий випадок похилої прикладу, ми на підставі леми попереднього параграфа можемо стверджувати, що цей паралелепіпед рівновеликий такому прямому паралелепіпеду, у якого основа є перпендикулярне перетин MNPQ, а висота ВС. Чотирьохкутник MNPQ-прямокутник, тому що його кути служать лінійними кутами прямих двогранних кутів; тому прямий паралелепіпед, що має основою прямокутник MNPQ, повинен бути прямокутним і, отже, його обсяг дорівнює добутку трьох його вимірів, за які можна прийняти відрізки МN, МQ і НД. Таким чином,
обсяг АС 1 = МN МQ ВС = МN (МQ ВС).
Але добуток МQ ВС висловлює площу паралелограма АВСD, тому
обсяг АСХ = (площі АВСD) МN = (площі АВСD) ВР 1 .
2) Нехай (чорт. 94) АС 1 – похилий паралелепіпед.
Він рівновеликий такому прямому, у якого основою служить перпендикулярне перетин МNРQ (тобто перпендикулярне до ребер АD, ВС, . . .), а висотою - ребро ВС. Але, за доведеним, обсяг прямого паралелепіпеда дорівнює добутку площі підстави на висоту; значить,
обсяг АС 1 = (площі МNРQ) НД.
Якщо RS є висота перерізу МNРQ, то площа МNРQ = МQ RS, тому
об'єм АС1 = МQ RS ВС = (ВС MQ) RS.
Добуток ВС MQ виражає площу паралелограма АВСD; отже, обсяг АС 1 = (площі АВСОD) RS.
Залишається тепер довести, що відрізок RS є висотою паралелепіпеда. Справді, перетин МNРQ, будучи перпендикулярно до ребер ВС, 1 С 1 , .. . , має бути перпендикулярно до граней АВСD, ВВ 1 З 1 С, .... що проходить через ці ребра (§ 43). Тому якщо ми з точки S відновимо перпендикуляр до площини АВСD, він повинен лежати весь у площині МNРQ (§ 44) і, отже, повинен злитися з прямою RS, що лежить в цій площині і перпендикулярною до МQ. Отже, відрізок SR є висота паралелепіпеда. Таким чином, обсяг і похилого паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.
Слідство.Якщо V, В і H суть числа, що виражають у відповідних одиницях об'єм, площа основи та висоту паралелепіпеда, то можна написати.
Будь-яке геометричне тіло можна охарактеризувати площею (S) поверхні та об'ємом (V). Площа та обсяг зовсім не те саме. Об'єкт може мати порівняно невеликий V і велику S, наприклад, влаштований мозок людини. Обчислити ці показники для простих геометричних фігур набагато простіше.
Паралелепіпед: визначення, види та властивості
Паралелепіпед - це чотирикутна призма, в основі якої знаходиться паралелограм. Для чого може знадобитися формула знаходження обсягу фігури? Подібну форму мають книги, пакувальні коробки та ще безліч речей із повсякденного життя. Кімнати в житлових та офісних будинках, як правило, є прямокутними паралелепіпедами. Для встановлення вентиляції, кондиціонерів та визначення кількості обігрівальних елементів у кімнаті необхідно розрахувати об'єм приміщення.
У фігури 6 граней – паралелограмів та 12 ребер, дві довільно вибрані грані називають основами. Паралелепіпед може бути кількох видів. Відмінності обумовлені кутами між суміжними ребрами. Формули для знаходження V-ів різних багатокутників дещо відрізняються.
Якщо 6 граней геометричної фігури є прямокутники, її теж називають прямокутною. Куб – це окремий випадок паралелепіпеда, в якому всі 6 граней є рівними квадратами. У цьому випадку, щоб знайти V, потрібно дізнатися про довжину тільки однієї сторони і звести її в третій ступінь.
Для вирішення завдань знадобляться знання не тільки готових формул, а й властивостей фігури. Перелік основних властивостей прямокутної призми невеликий і дуже простий для розуміння:
- Протилежні грані фігури рівні та паралельні. Це означає, що ребра розташовані навпроти однакові по довжині та куту нахилу.
- Усі бічні грані прямого паралелепіпеда – прямокутники.
- Чотири головні діагоналі геометричної фігури перетинаються однією точкою, і діляться нею навпіл.
- Квадрат діагоналі паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів вимірювань фігури (випливає з теореми Піфагора).
теорема Піфагораговорить, що сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі трикутника, побудованого на гіпотенузі того самого трикутника.
Доказ останньої властивості можна розібрати на зображенні, наведеному нижче. Хід вирішення поставленого завдання простий і не потребує докладних пояснень.
Формула обсягу прямокутного паралелепіпеда
Формула знаходження всіх видів геометричної фігури одна: V=S*h, де V- шуканий обсяг, S – площа основи паралелепіпеда, h – висота, опущена з протилежної вершини і перпендикулярна основи. У прямокутнику h збігається з однією зі сторін фігури, тому щоб знайти об'єм прямокутної призми необхідно перемножити три виміри.
Обсяг прийнято виражати см3. Знаючи всі три значення a, b та c знайти обсяг фігури зовсім не складно. Найпоширеніший тип завдань у ЄДІ – це пошук обсягу чи діагоналі паралелепіпеда. Вирішити багато типових завдання ЄДІбез формули обсягу прямокутника – неможливо. Приклад завдання та оформлення його рішення наведено на малюнку нижче.
Примітка 1. Площу поверхні прямокутної призми можна знайти, якщо помножити на 2 суму площ трьох граней фігури: основи (ab) та двох суміжних бічних граней (bc + ac).
Примітка 2. Площу поверхні бічних граней легко дізнатися помноживши периметр основи на висоту паралелепіпеда.
З першого властивості паралелепіпедів AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Згідно з наслідками з теореми Піфагора сума всіх кутів у прямокутному трикутникудорівнює 180 °, а катет, що лежить проти кута в 30 °, дорівнює гіпотенузи. Застосувавши дані знання трикутника, легко знаходимо довжину сторін AB і AD. Потім перемножуємо отримані значення та обчислюємо об'єм паралелепіпеда.
Формула для знаходження об'єму похилого паралелепіпеда
Щоб знайти обсяг похилого паралелепіпеда необхідно площу основи фігури помножити на висоту, опущену на цю основу з протилежного кута.
Таким чином, шуканий V можна подати у вигляді h - кількості аркушів з площею S основи, так обсяг колоди складається з V-ів всіх карт.
Приклади розв'язання задач
Завдання єдиного іспитуповинні бути виконані за визначений час. Типові завдання, як правило, не містити великої кількостіобчислень та складних дробів. Часто школяру пропонують як знайти об'єм неправильної геометричної фігури. У разі слід пам'ятати просте правило, що загальний обсяг дорівнює сумі V-ов складових частин.
Як видно з прикладу на зображенні вище, нічого складного у вирішенні таких завдань немає. Завдання з складніших розділів припускають знання теореми Піфагора та її наслідків, а як і формулу довжини діагоналі фігури. Для успішного вирішення завдань тестів достатньо заздалегідь ознайомитись із зразками типових завдань.
У цьому уроці ми поговоримо про прямокутний паралелепіпед. Згадаймо деякі з його властивостей. А потім докладно виведемо формули для обчислення обсягу прямокутного паралелепіпеда. Конспект уроку "Обсяг прямокутного паралелепіпеда" На цьому уроці ми поговоримо про прямокутний паралелепіпед. Згадаймо деякі з його властивостей. А потім докладно виведемо формули для обчислення обсягу прямокутного паралелепіпеда. Раніше ми з вами вже познайомилися із прямокутним паралелепіпедом. Нагадаємо, що паралелепіпед називається прямокутним, якщо всі його шість граней прямокутники. Уявлення про форму прямокутного паралелепіпеда дають сірникову коробку, коробку, холодильник та ін. Давайте уявімо собі кімнату, яка має форму прямокутного паралелепіпеда. Якщо говорити про її розміри, то зазвичай вживають слова «довжина», «ширина» та «висота», маючи на увазі довжини трьох ребер із загальною вершиною. У геометрії ці три величини поєднуються загальною назвою: вимірювання прямокутного паралелепіпеда. На екрані зображений прямокутний паралелепіпед як його вимірювання можна взяти, наприклад, довжини ребер ці ребра мають загальну вершину паралелепіпеда, - ширина і Прямокутний паралелепіпед має наступні властивості: 1) квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його. - Це є довжина даного. Тоді ребро – його висота. . В і, всі 2) обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів. Отже, справедлива наступна теорема: обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів. Доведемо цю теорему. Нехай дано прямокутний паралелепіпед його виміру буквами Доведемо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює, а його об'єм буквою. Позначимо в. , . Можливі два випадки: Розглянемо перший випадок. Вимірювання десяткові дроби, у яких число знаків після коми не перевищує являють собою кінцеві та (,). У цьому випадку числа і є цілими. Розділимо кожне ребро паралелепіпеда на рівні частини довжини. Потім через точки розбиття проведемо площини, перпендикулярні до цього ребра. Тоді наш паралелепіпед розіб'ється на рівні куби з довжиною кожного ребра. Загальна кількість таких кубів буде однакова. Так як обсяг кожного такого куба дорівнює, то обсяг всього паралелепіпеда дорівнюватиме. Цим ми довели, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів. Що й потрібно було довести. Перейдемо до другої нагоди. Хоча б один із вимірів є нескінченним десятковим дріб. , і представляє Розглянемо кінцеві десяткові дроби чисел з -ой. , які виходять з, якщо відкинути в кожному з них всі цифри після коми, починаючи відмітити, що тоді справедлива нерівність Аналогічні нерівності будуть виконуватися і для чисел, де і: . , Де, . Перемножимо ці нерівності. Тоді бачимо, що. З нерівності зрозуміло, що паралелепіпед паралелепіпед, а сам міститься в паралелепіпеді містить у собі. А це говорить про те, що. Тепер давайте будемо необмежено збільшувати ставати як завгодно малим, і тому число мало відрізнятиметься від числа. . Тоді число буде як завгодно У підсумку, вони стануть рівні. Тобто. . Що й потрібно було довести. З цієї теореми справедливі такі наслідки. Перше слідство. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту. Доведення. Нехай грань із ребрами прямокутного паралелепіпеда. Тоді площа основи висота паралелепіпеда в. є основою, а тоді можна помітити, що формулу для обчислення обсягу прямокутного паралелепіпеда – площа основи – висота прямокутного паралелепіпеда. можна записати у вигляді, де Таким чином ми довели, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює. Що й потрібно було довести. Друге слідство. Обсяг прямої призми, основою якої є прямокутний трикутник, дорівнює добутку площі основи на висоту. Доведення. Для доказу цього твердження добудуємо пряму трикутну призму з основою паралелепіпеда так, як показано на екрані. Враховуючи перше слідство, обсяг цього паралелепіпеда дорівнює де - площа основи до прямокутного (, - висота призми. , Розбиває паралелепіпед на дві рівні прямі призми, одна Площина з яких - дана. Ці призми рівні, оскільки мають рівні основи і рівні висоти. Отже, обсяг цієї призми дорівнює, тобто дорівнює довести Зауваження Розглянемо квадрат зі стороною а.. Що й вимагалося Виходячи з теореми Піфагора його діагональ дорівнює, тому площа побудованого на ній квадрата вдвічі більша за площу даного квадрата. складає праці побудувати бік квадрата, площа якого вдвічі більша за площу даного квадрата Розглянемо тепер куб зі стороною а. Виникає питання: чи можна за допомогою циркуля та лінійки побудувати бік куба, об'єм якого вдвічі більший за об'єм даного куба, тобто. побудувати відрізок, що дорівнює? Це завдання було сформульовано ще давнину. Вона одержала назву «завдання про подвоєння куба». Лише 1837 року французький математик П'єр Лоран Ванцель довів, що така побудова неможлива. Одночасно їм була доведена нерозв'язність ще одного завдання на побудову – задачі про трисекцію кута (довільний даний кут розділити на три рівні кути). Нагадаємо, що до класичних нерозв'язних задач на побудову відноситься також завдання про квадратуру кола (побудувати квадрат, площа якого дорівнює площі даного кола). Неможливість такої побудови була доведена у 1882 році німецьким математиком Карлом Луїзом Фердинандом Ліндеманом. Завдання: знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда з діагоналлю сторонами основи Рішення: запишемо формулу для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда через його вимірювання. см і див. див і З умови завдання нам відомі довжина, ширина та діагональ прямокутного паралелепіпеда, але невідома його висота. Нагадаємо, що. Виразимо з цієї формули висоту, що висота дорівнює (см). прямокутного паралелепіпеда. Отримаємо і дорівнює Підставимо вимірювання нашого прямокутного паралелепіпеда у формулу об'єму. Порахуємо. Отримаємо, що обсяг паралелепіпеда дорівнює Не забудемо записати відповідь. (см3). Завдання: Квадрат. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює висоту прямокутного паралелепіпеда, якщо прямокутний паралелепіпед, основа – см3. Визначте див. Рішення: на цьому уроці ми довели, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює. Виразимо з формули висоту. Звідси висота дорівнює. Так як в основі нашого прямокутного паралелепіпеда лежить квадрат за умовою, то площа основи дорівнює обсягу прямокутного паралелепіпеда дорівнює (см2). За умовою завдання також відомо, що. Звідси висота (см). Запишемо відповідь. Підсумки: На цьому уроці ми згадали поняття прямокутного паралелепіпеда. Довели, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів. Довели, що обсяг прямокутного паралелепіпеда можна обчислити як добуток площі основи на висоту. А також довели, що обсяг прямої призми, основою якої є прямокутний трикутник, дорівнює добутку площі основи на висоту.
