МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
розділ математики, що дає методи кількісного дослідженнярізних процесів зміни; займається вивченням швидкості зміни (диференціальне обчислення) та визначенням довжин кривих, площ та обсягів фігур, обмежених кривими контурами та поверхнями (інтегральне обчислення). p align="justify"> Для завдань математичного аналізу характерно, що їх рішення пов'язане з поняттям межі. Початок математичного аналізу поклав у 1665 р. І. Ньютон і (близько 1675 р.) незалежно від нього Г. Лейбніц, хоча важливу підготовчу роботу провели І. Кеплер (1571-1630), Ф. Кавальєрі (1598-1647), П. Ферма (1601- 1665), Дж. Валліс (1616-1703) та І. Барроу (1630-1677). Щоб зробити виклад живішим, ми будемо вдаватися до мови графіків. Тому читачеві, можливо, буде корисно заглянути до статті
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ,
перш ніж приступати до читання цієї статті.
ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ
Дотичні.На рис. 1 показаний фрагмент кривої y = 2x - x2, укладений між x = -1 та x = 3. Досить малі відрізки цієї кривої виглядають прямими. Інакше кажучи, якщо Р - довільна точка цієї кривої, то існує деяка пряма, що проходить через цю точку і є наближенням кривої в малі точки точки Р, причому чим менше околиця, тим краще наближення. Така пряма називається дотичною до кривої в точці Р. Основне завдання диференціального обчислення полягає у побудові загального методудозволяє знаходити напрям дотичної в будь-якій точці кривої, в якій дотична існує. Неважко уявити криву з різким зламом (рис. 2). Якщо Р - вершина такого зламу, то можна побудувати пряму апроксимуючу PT1 - праворуч від точки Р і іншу апроксимуючу пряму РТ2 - зліва від точки Р. Але не існує єдиної прямої, що проходить через точку Р, яка однаково добре наближалася до кривої в околиці точки P як праворуч, так і ліворуч, отже, дотичної в точці P не існує.
На рис. 1 дотична ВІТ проведена через початок координат О = (0,0). Кутовий коефіцієнт цієї прямої дорівнює 2, тобто. при зміні абсциси на 1 ордината збільшується на 2. Якщо x і y - координати довільної точки на ВІД, то, віддаляючись від на відстань х одиниць вправо, ми віддаляємося від Про на 2y одиниць вгору. Отже, y/x = 2 або y = 2x. Це рівняння дотичної ВІД до кривої y = 2x - x2 у точці О. Необхідно тепер пояснити, чому з множини прямих, що проходять через точку О, обрана саме пряма ВІД. Чим пряма з кутовим коефіцієнтом 2 відрізняється від інших прямих? Існує одна проста відповідь, і нам важко утриматися від спокуси привести її, використовуючи аналогію з дотичною до кола: дотична ВІД має з кривою тільки одну загальну точку, тоді як будь-яка інша невертикальна пряма, що проходить через точку О, перетинає криву двічі. У цьому вся можна переконатися так. Оскільки вираз y = 2x - x2 можна отримати відніманням х2 з y = 2x (рівняння прямої ВІД), то значення y для графіка виявляються менше знань y для прямої у всіх точках, за винятком точки x = 0. Отже, графік усюди, крім точки О, розташований нижче ВІД, і ця пряма та графік мають тільки одну загальну точку. Крім того, якщо y = mx - рівняння якоїсь іншої прямої, що проходить через точку О, то обов'язково знайдуться дві точки перетину. Справді, mx = 2x - x2 як при x = 0, а й за x = 2 - m. І лише за m = 2 обидві точки перетину збігаються. На рис. 3 показаний випадок, коли m менше 2 тому праворуч від Про виникає друга точка перетину.
Те, що ВІД - єдина невертикальна пряма, що проходить через точку Про і має з графіком лише одну загальну точку, не найголовніше її властивість. Справді, якщо ми звернемося до інших графіків, то незабаром з'ясується, що зазначена нами властивість дотичної у загальному випадку не виконується. Наприклад, із рис. 4 видно, що поблизу точки (1,1) графік кривої y = x3 добре апроксимується прямою РТ, що має однак з ним більше однієї загальної точки. Тим не менш, нам хотілося б вважати РТ дотичною до цього графіка в точці Р. Тому необхідно знайти якийсь інший спосіб виділення дотичної, ніж той, який так добре послужив нам у першому прикладі.
Припустимо, що через точку О і довільну точку Q = (h, k) на графіці кривої y = 2x - x2 (рис. 5) проведено пряму (звану січною). Підставляючи в рівняння кривої значення x = h і y = k одержуємо, що k = 2h - h2, отже, кутовий коефіцієнт січної дорівнює
При дуже малих значення h m близько до 2. Більш того, вибираючи h досить близьким до 0, ми можемо зробити m як завгодно близьким до 2. Можна сказати, що m "прагне до межі", що дорівнює 2, коли h прагне до нуля, або що межа m дорівнює 2 при h, що прагне нуля. Символічно це записується так:
Тоді дотична до графіка в точці визначається як пряма, що проходить через точку О, з кутовим коефіцієнтом, рівним цій межі. Таке визначення щодо застосовне в загальному випадку. Покажемо переваги цього підходу ще одному прикладі: знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної до графіку кривої y = 2x - x2 у довільній точці P = (x,y), не обмежуючись найпростішим випадком, коли P = (0,0). Нехай Q = (x + h, y + k) - Друга точка на графіці, що знаходиться на відстані h праворуч від Р (рис. 6). Потрібно знайти кутовий коефіцієнт k/h сіючої PQ. Точка Q знаходиться на відстані
над віссю х. Розкриваючи дужки, знаходимо:
Віднімаючи від цього рівняння y = 2x - x2, знаходимо відстань по вертикалі від точки Р до точки Q:
Отже, кутовий коефіцієнт m сіючої PQ дорівнює
Тепер, коли h прагне нуля, m прагне до 2 - 2x; останню величину ми приймемо за кутовий коефіцієнт дотичної PT. (Той самий результат вийде, якщо h приймає негативні значення, що відповідає вибору точки Q ліворуч від P.) Зауважимо, що з x = 0 отриманий результат збігається з попереднім. Вираз 2 – 2x називається похідною від 2x – x2. За старих часів похідну також називали "диференціальним ставленням" і "диференціальним коефіцієнтом". Якщо виразом 2x - x2 позначити f(x), тобто.
то похідну можна позначити
Для того, щоб дізнатися кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y = f(x) в якійсь точці, необхідно підставити в f"(x) відповідне цій точці значення х. Таким чином, кутовий коефіцієнт f"(0) = 2 при х = 0, f"(0) = 0 при х = 1 і f"(2) = -2 при х = 2. Похідну також позначають у", dy/dx, Dхy та Dу. Той факт, що крива y = 2x - x2 поблизу даної точки практично не відрізняється від її дотичної в цій точці, що дозволяє говорити про кутовий коефіцієнт дотичної як про "кутовий коефіцієнт кривої" в точці торкання. ,0) кутовий коефіцієнт 2. Можна також сказати, що при x = 0 швидкість зміни y щодо x дорівнює 2. У точці (2,0) кутовий коефіцієнт дотичної (і кривої) дорівнює -2.(Знак мінус означає, що при зростанні x змінна y убуває.) У точці (1,1) дотична горизонтальна.Ми говоримо, що крива y = 2x - x2 має у цій точці стаціонарне значення.
Максимуми та мінімуми.Ми щойно показали, що крива f(x) = 2x - x2 стаціонарна у точці (1,1). Оскільки f"(x) = 2 - 2x = 2(1 - x), ясно, що з x, менших 1, f"(x) позитивна, отже, y зростає; при x, великих 1, f"(x) негативна, і тому y убуває. Таким чином, в околиці точки (1,1), позначеної на рис. 6 буквою М, значення у зростає до точки М, стаціонарно в точці М і спадає після точки М. Така точка називається "максимумом", оскільки значення у в цій точці перевершує будь-які його значення в досить малій її околиці. Може також статися, що хоча похідна від f(x) в деякій точці і звертається в нуль, її знак в околиці цієї точки не змінюється. точку кривої
Похідна цієї функції дорівнює
І перетворюється на нуль при x = 0, x = 1 і x = -1; тобто. у точках (0,0), (1, -2/15) та (-1, 2/15). Якщо x трохи менше -1, то f"(x) негативна; якщо х трохи більше -1, то f"(x) позитивна. Отже, точка (-1, 2/15) – максимум. Аналогічно можна показати, що точка (1, -2/15) - мінімум. Але похідна f"(x) негативна як до точки (0,0), так і після неї. Отже, (0,0) - точка перегину. Проведене дослідження форми кривої, а також та обставина, що крива перетинає вісь х при f (x) = 0 (тобто при х = 0 або
Загалом, якщо виключити незвичайні випадки (криві, що містять прямолінійні відрізки або нескінченну кількість вигинів), є чотири варіанти взаємного розташуваннякривою та дотичною в околиці точки дотику Р. (Див. рис. 8, на якому дотична має позитивний кутовий коефіцієнт.) 1) По обидва боки від точки Р крива лежить вище за дотичну (рис. 8,а). У цьому випадку кажуть, що крива в точці Р випукла вниз або увігнута.
2) По обидва боки від точки Р крива розташована нижче за дотичну (рис. 8, б). У цьому випадку кажуть, що крива опукла вгору або просто опукла. 3) і 4) Крива розташовується вище за дотичну по одну сторону від точки Р і нижче - по іншу. І тут Р - точка перегину. Порівнюючи значення f"(x) по обидва боки від Р з її значенням у точці Р, можна визначити, з яким із цих чотирьох випадків доводиться мати справу в конкретній задачі.
Програми.Все викладене вище знаходить важливі програми у різних областях. Наприклад, якщо тіло кинуто вертикально вгору з початковою швидкістю 200 футів в секунду, то висота s, на якій вони будуть перебувати через t секунд, порівняно з початковою точкою складе
Діючи так само, як у розглянутих нами прикладах, знаходимо
ця величина звертається в нуль при
, Потім стає стаціонарною, а потім зменшується. Таке Загальний описруху кинутого догори тіла. З нього ми дізнаємося, коли тіло досягає найвищої точки. Далі, підставляючи t = 25/4 f (t), ми отримуємо 625 футів, максимальну висоту підйому. У даній задачі f"(t) має фізичний зміст. Ця похідна показує швидкість, з якою тіло рухається в момент часу t. Розглянемо тепер додаток іншого типу (рис. 9). З листа картону площею 75 см2 потрібно виготовити коробку з квадратним дном. Які мають бути розміри цієї коробки, щоб вона мала максимальний об'єм? Якщо х - сторона основи коробки і h - її висота, то об'єм коробки дорівнює V = x2h, а площа поверхні дорівнює 75 = x2 + 4xh. Перетворюючи рівняння, отримуємо:> >
, Потім стає стаціонарною, а потім зменшується. Такий загальний опис руху кинутого догори тіла. З нього ми дізнаємося, коли тіло досягає найвищої точки. Далі, підставляючи t = 25/4 f (t), ми отримуємо 625 футів, максимальну висоту підйому. У даній задачі f"(t) має фізичний зміст. Ця похідна показує швидкість, з якою тіло рухається в момент часу t. Розглянемо тепер додаток іншого типу (рис. 9). З листа картону площею 75 см2 потрібно виготовити коробку з квадратним дном. Які мають бути розміри цієї коробки, щоб вона мала максимальний об'єм? Якщо х - сторона основи коробки і h - її висота, то об'єм коробки дорівнює V = x2h, а площа поверхні дорівнює 75 = x2 + 4xh. Перетворюючи рівняння, отримуємо:
с. Похідна f"(x) позитивна до значення
с і негативна після цього часу. Отже, s зростає до
, Потім стає стаціонарною, а потім зменшується. Такий загальний опис руху кинутого догори тіла. З нього ми дізнаємося, коли тіло досягає найвищої точки. Далі, підставляючи t = 25/4 f (t), ми отримуємо 625 футів, максимальну висоту підйому. У даній задачі f"(t) має фізичний зміст. Ця похідна показує швидкість, з якою тіло рухається в момент часу t. Розглянемо тепер додаток іншого типу (рис. 9). З листа картону площею 75 см2 потрібно виготовити коробку з квадратним дном. Які мають бути розміри цієї коробки, щоб вона мала максимальний об'єм?Якщо х - сторона основи коробки і h - її висота, то об'єм коробки дорівнює V = x2h, а площа поверхні дорівнює 75 = x2 + 4xh.
звідки
Похідна від V виявляється рівною
і перетворюється на нуль при х = 5. Тоді
І V = 125/2. Графік функції V = (75x – x3)/4 показаний на рис. 10 (негативні значення х опущені як такі, що не мають фізичного сенсуу цій задачі).
Похідні.Важливе завдання диференціального обчислення - створення методів, що дозволяють швидко та зручно знаходити похідні. Наприклад, неважко порахувати, що
(Похідна від постійної, зрозуміло, дорівнює нулю.) Неважко вивести загальне правило:
де n – будь-яке ціле число або дріб. Наприклад,
(На цьому прикладі видно, наскільки корисні дробові показники ступеня.) Наведемо деякі найважливіші формули:
Існують також такі правила: 1) якщо з двох функцій g(x) і f(x) має похідні, то похідна їх суми дорівнює сумі похідних цих функцій, а похідна різниці дорівнює різниці похідних, тобто.
2) похідна твори двох функцій обчислюється за такою формулою:
3) похідна відносини двох функцій має вигляд
4) похідна функції, помноженої на константу, дорівнює константі, помноженої на похідну цієї функції, тобто.
Найчастіше буває, що значення функції доводиться обчислювати поетапно. Наприклад, щоб обчислити sin x2, необхідно спочатку знайти u = x2, а потім уже обчислити синус числа u. Похідну таких складних функцій ми знаходимо за допомогою так званого "ланцюгового правила":
У нашому прикладі f(u) = sin u, f "(u) = cos u, отже,
звідки
Ці та інші, аналогічні їм правила дозволяють відразу ж виписувати похідні багатьох функцій.
Лінійні апроксимації.Та обставина, що, знаючи похідну, ми можемо у багатьох випадках замінити графік функції поблизу деякої точки її дотичної у цій точці, має значення, оскільки з прямими легше працювати. Ця ідея знаходить безпосередню програму у обчисленні наближених значень функцій. Наприклад, досить важко обчислити значення
Max-width="" :="" height:="" auto="" width:="">
дотичної, не роблячи при цьому скільки-небудь серйозної помилки. Кутовий коефіцієнт такої дотичної дорівнює значенню похідної (x1/3)" = (1/3)x -2/3 при x = 1, тобто 1/3. Так як точка (1,1) лежить на кривій і кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у цій точці дорівнює 1/3, рівняння дотичної має вигляд>>>
дотичної, не роблячи при цьому скільки-небудь серйозної помилки. Кутовий коефіцієнт такої дотичної дорівнює значенню похідної (x1/3)" = (1/3)x -2/3 при x = 1, тобто 1/3. Так як точка (1,1) лежить на кривій і кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у цій точці дорівнює 1/3, рівняння дотичної має вигляд">
за x = 1,033. Але можна скористатися тим, що число 1033 близько до 1 і що
. Поблизу x=1 ми можемо замінити графік кривої
дотичної, не роблячи при цьому скільки-небудь серйозної помилки. Кутовий коефіцієнт такої дотичної дорівнює значенню похідної (x1/3)" = (1/3)x -2/3 при x = 1, тобто 1/3. Так як точка (1,1) лежить на кривій і кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у цій точці дорівнює 1/3, рівняння дотичної має вигляд
або
На цій прямій при х = 1,033
Отримане значення y має бути дуже близьким до справжнього значення y; і, дійсно, воно лише на 0,00012 більше від істинного. У математичному аналізі розроблено методи, що дозволяють підвищувати точність таких лінійних наближень. Ці методи забезпечують надійність наших наближених обчислень. Щойно описана процедура наводить на думку про одне корисне позначення. Нехай P - точка, що відповідає на графіку функції f змінної х, і нехай функція f(x) диференційована. Замінимо графік кривої поблизу точки Р, що стосується його, проведеної в цій точці. Якщо х змінити на величину h, то ордината дотичної зміниться на величину h * f "(x). Якщо h дуже мало, то остання величина служить хорошим наближенням до істинної зміни ординати y графіка. Якщо замість h ми напишемо символ dx (це не твір !), а зміну ординати y позначимо dy, то отримаємо dy = f"(x)dx, або dy/dx = f"(x) (див. рис. 11). Тому замість Dy або f"(x) для позначення похідною часто використовується символ dy/dx. Зручність цього позначення залежить головним чином явного появи ланцюгового правила (диференціювання складної функції); у нових позначеннях ця формула виглядає так:
де мається на увазі, що у залежить від u, а u у свою чергу залежить від х. Розмір dy називається диференціалом у; насправді вона залежить від двох змінних, а саме: від х і збільшення dx. Коли збільшення dx дуже мало, величина dy близька до відповідної зміни величини y. Але припускати, що збільшення dx мало, немає необхідності. Похідну функції y = f(x) ми позначили f"(x) або dy/dx. Часто виявляється можливим взяти похідну від похідної. Результат називається другою похідною від f(x) і позначається f"(x) або d 2y/dx2. Наприклад, якщо f(x) = x3 - 3x2, то f"(x) = 3x2 - 6x та f"(x) = 6x - 6. Аналогічні позначення використовуються і для похідних вищого порядку. Однак, щоб уникнути великої кількостіштрихів (рівного порядку похідної) четверту похідну (наприклад) можна записати як f(4)(x), а похідну n-го порядку як f(n)(x). Можна показати, що крива в точці опукла вниз, якщо друга похідна позитивна, і опукла вгору, якщо друга похідна негативна. Якщо функція має другу похідну, то зміна величини y, що відповідає приросту dx змінної х, можна приблизно обчислити за формулою
Це наближення, як правило, краще, ніж те, що дає диференціал f"(x)dx. Воно відповідає заміні частини кривої вже не прямою, а параболою. Якщо у функції f(x) існують похідні вищих порядків, то
Залишковий член має вигляд
де x - деяке число між x та x + dx. Наведений вище результат називається формулою Тейлора із залишковим членом. Якщо f(x) має похідні всіх порядків, зазвичай Rn (r) 0 при n (r) Ґ.
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗЛІЧЕННЯ
Площі.При вивченні площ криволінійних плоских постатей відкриваються нові аспекти математичного аналізу. Такі завдання намагалися вирішувати ще древні греки, котрим визначення, наприклад, площі кола було однією з найважчих завдань. Великих успіхів у вирішенні цієї проблеми досяг Архімед, якому також вдалося знайти площу параболічного сегмента (рис. 12). За допомогою дуже складних міркувань Архімед довів, що площа параболічного сегмента становить 2/3 площі описаного прямокутника і, отже, у разі дорівнює (2/3)(16) = 32/3. Як побачимо надалі, цей результат можна легко отримати методами математичного аналізу.
Попередники Ньютона і Лейбніца, головним чином Кеплер і Кавальєрі, вирішували завдання обчислення площ криволінійних постатей з допомогою методу, який важко назвати логічно обгрунтованим, але виявився надзвичайно плідним. Коли ж Валліс в 1655 з'єднав методи Кеплера і Кавальєрі з методами Декарта (аналітичною геометрією) і скористався алгеброю, що щойно зародилася, сцена для появи Ньютона була повністю підготовлена. Валліс розбивав фігуру, площу якої потрібно вирахувати, на дуже вузькі смужки, кожну з яких приблизно вважав прямокутником. Потім він складав площі апроксимуючих прямокутників і в найпростіших випадках отримував величину, якої прагнула сума площ прямокутників, коли число смужок прагнуло до нескінченності. На рис. 13 показані прямокутники, що відповідають деякому розбиттю на смужки площі під кривою y = x2.
Основна теорема.Велике відкриття Ньютона та Лейбніца дозволило виключити трудомісткий процес переходу до межі суми площ. Це було зроблено завдяки новому погляду поняття площі. Суть у тому, що ми повинні уявити площу під кривою як породжену ординатою, що рухається зліва направо і запитати, з якою швидкістю змінюється площа, що замітається ординатами. Ключ до відповіді це питання ми отримаємо, якщо розглянемо два окремі випадки, у яких площа заздалегідь відома. Почнемо з площі під графіком лінійної функції y = 1 + x, оскільки в цьому випадку площу можна обчислити за допомогою елементарної геометрії. Нехай A(x) – частина площини, укладена між прямою y = 1 + x та відрізком OQ (рис. 14). Під час руху QP вправо площа A(x) зростає. З якою швидкістю? Відповісти це питання неважко, оскільки ми знаємо, що площа трапеції дорівнює добутку її висоти на півсуму підстав. Отже,
Швидкість зміни площі A(x) визначається її похідною
Ми бачимо, що A"(x) збігається з ординатою у точки Р. Чи випадково це? Спробуємо перевірити на параболі, зображеній на рис. 15. Площа A (x) під параболою у = х2 в інтервалі від 0 до х дорівнює A( x) = (1/3)(x)(x2) = x3/3 Швидкість зміни цієї площі визначається виразом
Яке в точності збігається з ординатою у точки Р, що рухається. Якщо припустити, що це правило виконується в загальному випадку так, що
є швидкість зміни площі під графіком функції y = f(x), то цим можна скористатися для обчислень та інших площ. Насправді, співвідношення A"(x) = f(x) виражає фундаментальну теорему, яку можна було б сформулювати наступним чином: похідна, або швидкість зміни площі як функції від х, дорівнює значенню функції f(x) у точці х. Наприклад Щоб знайти площу під графіком функції y = x3 від 0 до х (рис. 16), покладемо
Можлива відповідь говорить:
оскільки похідна від х4/4 справді дорівнює х3. Крім того, A(x) дорівнює нулю при х = 0, як і має бути, якщо A(x) дійсно є площею. У математичному аналізі доводиться, що іншої відповіді, крім наведеного вище виразу для A(x), немає. Покажемо, що це твердження є правдоподібним за допомогою наступного евристичного (не суворого) міркування. Припустимо, що існує якесь друге рішення (x). Якщо A(x) і (x) "стартують" одночасно з нульового значення при х = 0 і весь час змінюються з однаковою швидкістю, то їх значення ні при якому х не можуть стати різними. Вони повинні всюди збігатися; отже, є єдине рішення. Як можна обґрунтувати співвідношення A"(x) = f(x) у загальному випадку? На це питання можна відповісти, лише вивчаючи швидкість зміни площі як функції від х у загальному випадку. х до (x + h), а M - найбільше значенняцієї функції у тому ж інтервалі. Тоді збільшення площі при переході від х до (x + h) повинно бути укладено між площами двох прямокутників (рис. 17). Основи обох прямокутників дорівнюють h. Менший прямокутник має висоту m і площу mh, більший, відповідно, М та Mh. На графіку залежності площі від х (рис. 18) видно, що при зміні абсциси на h значення ординати (тобто площа) збільшується на величину, укладену між mh і Mh. Кутовий коефіцієнт січної на цьому графіку знаходиться між m та M. Що відбувається, коли h прагне нуля? Якщо графік функції y = f(x) безперервний (тобто не містить розривів), то і М, і m прагнуть f(x). Отже, кутовий коефіцієнт A"(x) графіка площі як функції від х дорівнює f(x). Саме до такого висновку і вимагалося прийти.
Лейбніц запропонував для площі під кривою y = f(x) від 0 до а позначення
При строгому підході цей так званий певний інтеграл повинен бути визначений як межа деяких сум на кшталт Валліса. Враховуючи отриманий вище результат, ясно, що цей інтеграл обчислюється за умови, що ми можемо знайти таку функцію A(x), яка перетворюється на нуль при х = 0 і має похідну A"(x), рівну f(x). функції прийнято називати інтегруванням, хоча доречніше цю операцію було б називати антидиференціюванням, маючи на увазі, що вона є в певному сенсі зворотної диференціювання.У разі багаточлена інтегрування виконується просто.
То
у чому неважко переконатися, продиференціювавши A(x). Щоб обчислити площу А1 під кривою y = 1 + x + x2/2, укладену між ординатами 0 та 1, ми просто записуємо
І, підставляючи х = 1, отримуємо A1 = 1+1/2+1/6=5/3. Площа A(x) від 0 до 2 дорівнює A2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Як видно із рис. 19 площа, укладена між ординатами 1 і 2, дорівнює A2 - A1 = 11/3. Зазвичай вона записується як певного інтеграла
Об'єми.Аналогічні міркування дозволяють напрочуд просто обчислювати обсяги тіл обертання. Продемонструємо це на прикладі обчислення обсягу кулі, ще одного класичного завдання, яке древнім грекам, за допомогою відомих їм методів, вдалося вирішити насилу. Повернемо частину площини, укладеної всередині чверті кола радіуса r, на кут 360 ° навколо осі х. В результаті ми отримаємо півкулю (рис. 20), обсяг якої позначимо V(x). Потрібно визначити, з якою швидкістю зростає V(x) із збільшенням x. Переходячи від х до х + h, неважко переконатися, що збільшення обсягу менше, ніж обсяг p(r2 - x2)h кругового циліндра радіуса
Max-width="" :="" height:="" auto="" width:="">
та висотою h. Отже, на графіку функції V(x) кутовий коефіцієнт січної укладений між p(r2 - x2) та p[]. Коли h прагне нуля, кутовий коефіцієнт прагне ">
і висотою h і більше, ніж об'єм p[]h циліндра радіуса
та висотою h. Отже, на графіку функції V(x) кутовий коефіцієнт січної укладений між p(r2 - x2) та p[]. Коли h прагне нуля, кутовий коефіцієнт прагне
Отже,
За x = r ми отримуємо
Для об'єму півкулі, і, отже, 4pr3/3 для об'єму всієї кулі. Аналогічний метод дозволяє знаходити довжини кривих та площі викривлених поверхонь. Наприклад, якщо a(x) – довжина дуги PR на рис. 21, то наше завдання полягає у обчисленні a"(x). Скористаємося на евристичному рівні прийомом, який дозволяє не вдаватися до звичайного граничного переходу, необхідного при доказі результату. Припустимо, що швидкість зміни функції а(x) в точці Р така ж якою вона була б при заміні кривої її дотичної PT в точці P. Але з рис.21 безпосередньо видно, при кроці h вправо або вліво від точки х вздовж РТ значення а(x) змінюється на
Отже, швидкість зміни функції a(x) становить
Щоб знайти саму функцію a(x), необхідно лише проінтегрувати вираз, що стоїть у правій частині рівності. Виявляється, що більшість функцій виконати інтегрування досить складно. Тому розробка методів інтегрального обчислення становить більшу частину математичного аналізу.
Первинні.Кожну функцію, похідна якої дорівнює цій функції f(x), називають первісною (або примітивною) для f(x). Наприклад, х3/3 - первісна для функції х2, тому що (x3/3)" = x2. Зрозуміло, х3/3 - не єдина першоподібна функції х2, так як x3/3 + C також є похідною для х2 за будь-якої константи С Проте ми надалі умовимося опускати такі адитивні постійні.
де n - позитивне ціле число, тому що (xn + 1/(n + 1))" = xn. Співвідношення (1) виконується в ще більш загальному сенсі, якщо n замінити будь-яким раціональним числом k, крім -1. Довільну первісну функцію для заданої функції f(x) прийнято називати невизначеним інтегралом від f(x) та позначати його у вигляді
Наприклад, оскільки (sin x)" = cos x справедлива формула
З формули (1) випливає, що
для n не дорівнює -1. Оскільки (lnx)" = x-1, то
.
У багатьох випадках, коли існує формула для невизначеного інтеграла від заданої функції, її можна знайти в численних таблицях, що широко публікуються, невизначених інтегралів. Табличними є інтеграли від елементарних функцій(до них входять ступеня, логарифми, показова функція, тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, а також їх кінцеві комбінації, одержувані за допомогою операцій складання, віднімання, множення та поділу). За допомогою табличних інтегралів можна обчислити інтеграли і від складніших функцій. Існує багато способів обчислення невизначених інтегралів; найпоширеніший їх метод підстановки чи заміни змінної. Він полягає в тому, що якщо ми хочемо в невизначеному інтегралі (2) замінити x на деяку функцію, що диференціюється x = g(u), то, щоб інтеграл не змінився, треба x замінити на g"(u)du. Інакше кажучи, справедливо рівність
приклад 1.
(Підстановка 2x = u, звідки 2dx = du). Наведемо ще один метод інтегрування - метод інтегрування частинами. Він заснований на відомій формулі
Її можна записати так:
Проінтегрувавши ліву та праву частини та враховуючи, що
отримаємо
Ця формула називається формулою інтегрування частинами.
приклад 2.Потрібно знайти
. Оскільки cos x = (sin x)", ми можемо записати, що
З (5), вважаючи u = x та v = sin x, отримуємо
А оскільки (-cos x)" = sin x ми бачимо, що
і
приклад 3.
Слід наголосити, що ми обмежилися лише дуже коротким введенняму дуже великий предмет, у якому накопичені численні дотепні прийоми.
Функції двох змінних.У зв'язку з кривою y = f(x) ми розглянули два завдання. 1) Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у цій точці. Це завдання вирішується обчисленням значення похідної f"(x) у зазначеній точці. 2) Знайти площу під кривою над відрізком осі х, обмежену вертикальними лініями х = а і х = b.
Наступні приклади показують, як вирішуються ці завдання.
приклад 4.Знайти дотичну площину до поверхні
У точці (0,0,2). Площина визначена, якщо задані дві прямі, що в ній перетинаються. Одну з таких прямих (l1) ми отримаємо у площині xz (у = 0), другу (l2) – у площині yz (x = 0) (див. рис. 23).
Насамперед, якщо у = 0, то z = f(x,0) = 2 - 2x - 3x2. Похідна по х, що позначається f"x(x,0) = -2 - 6x, при х = 0 має значення -2. з площиною у = 0. Аналогічно, якщо х = 0, то f(0,y) = 2 - y - y2, і похідна по у має вигляд
Так як f"y(0,0) = -1, крива С2 - лінія перетину поверхні з площиною yz - має дотичну l2, що задається рівняннями z = 2 - y, х = 0. Дотикова площина, що шукається, містить обидві прямі l1 і l2 і записується рівнянням
Це – рівняння площини. Крім того, ми отримуємо прямі l1 і l2, вважаючи, відповідно, у = 0 і х = 0. У тому, що рівняння (7) дійсно задає дотичну площину, на евристичному рівні можна переконатися, якщо помітити, що це рівняння містить члени першого порядку, що входять до рівняння (6), і що члени другого порядку можна подати у вигляді -[]. Так як цей вираз негативно при всіх значеннях х і у, крім х = у = 0, поверхня (6) скрізь лежить нижче за площину (7), крім точки Р = (0,0,0). Можна сказати, що поверхня (6) випукла вгору у точці Р.
Приклад 5.Знайти дотичну площину поверхні z = f(x,y) = x2 - y2 на початку координат 0. На площині у = 0 маємо: z = f(x,0) = x2 і f"x(x,0) = 2x . На С1, лінії перетину, z = x2. У точці O кутовий коефіцієнт дорівнює f"x(0,0) = 0. На площині х = 0 маємо: z = f(0,y) = -y2 і f"y (0,y) = -2y. На С2, лінії перетину, z = -y2. У точці O кутовий коефіцієнт кривої С2 дорівнює f"y(0,0) = 0. Так як дотичні до С1 і С2 є осями х і у, дотична площина, що їх містить, є площину z = 0. Однак в околиці початку координат наша поверхня не знаходиться по одну сторону від дотичної площини. Справді, крива С1 всюди, крім точки 0, лежить вище дотичної площині, а крива С2 - відповідно нижче її. Поверхня перетинає дотичну площину z = 0 за прямими у = х і у = -х. Про таку поверхню говорять, що вона має сідлову точку на початку координат (Рис. 24).
Приватні похідніУ попередніх прикладах ми використовували похідні від f (x, y) по х і у. Розглянемо тепер такі похідні у загальному плані. Якщо у нас є функція двох змінних, наприклад, F(x,y) = x2 - xy, то ми можемо визначити в кожній точці дві її "приватні похідні", одну - диференціюючи функцію по х і фіксуючи у, іншу - диференціюючи по у та фіксуючи х. Перша з цих похідних позначається як f"x(x,y) або df/dx; друга - як f"y(x,y) або df/dy. Якщо f(x,y) = x2 - xy, то df/dx = 2x - y та df/dy = -x. Зауважимо, що похідні від будь-якої функції - це, взагалі кажучи, нові функції. Насправді ці функції своєю чергою диференційовані. Приватні похідні від f"x по х і у прийнято позначати, відповідно, або d2f/dx2 і d2f/dxdy; аналогічні позначення використовуються і для приватних похідних від f"y. Якщо обидві змішані похідні (х і у, по у і х) безперервні, то d2f/dxdy = d2f/dydx; у прикладі d2f/dxdy = d2f/dydx = -1. Приватна похідна f"x(x,y) вказує швидкість зміни функції f у точці (x,y) у напрямку зростання х, а f"y(x,y) - швидкість зміни функції f у напрямку зростання у. Швидкість зміни функції f у точці (х, у) у напрямі прямої, що становить кут q з позитивним напрямом осі х, називається похідною від функції f у напрямку; її величина є комбінацією двох приватних похідних від функції f - по х і по у, і дорівнює
Як ми вже бачили у окремих випадках, дотична площина до поверхні z = f(x,y) у точці (x0, y0) має рівняння
Якщо позначити x – x0 через dx, а y – y0 через dy, то рівняння дотичної площини означає, що зміна dz = z – z0 у дотичній площині, коли x змінюється на dx, а у – на dy дорівнює dz = f”x (x0,y0)dx + f"y(x0,y0)dy. Ця величина називається диференціалом функції f. Якщо f має безперервні приватні похідні, то зміна dz у дотичній площині майже дорівнює (при малих dx і dy) істинному зміні z поверхні, але обчислити диференціал зазвичай буває легше. Вже розглянута нами формула методу заміни змінної, відома як похідна складної функції або ланцюгове правило, в одновимірному випадку, коли у залежить від х, а х залежить від t, має вигляд:
Для функцій двох змінних аналогічна формула має вигляд:
Поняття та позначення приватного диференціювання неважко узагальнити більш високі розмірності. Зокрема, якщо поверхня задана неявно рівнянням f(x,y,z) = 0, рівнянню дотичної площини до поверхні можна надати більш симетричну форму: рівняння дотичної площини в точці (x0,y0,z0) має вигляд
Якщо задана поверхня f(x,y,z) = 0 ми хочемо дізнатися, що відбувається на поверхні, то зазвичай будь-які дві з трьох змінних можна вважати незалежними, а третю змінну розглядати як залежну від них. Іноді для позначення приватних похідних у цьому випадку використовується символ (dz/dx)y, щоб підкреслити, що диференціювання проводиться за х, а вважається незалежною змінною. Маємо:
ця формула підкреслює, що ми не можемо надати незалежного значення символам dx, dy, dz або розглядати dz/dx як відношення dz до dx. Звернемося тепер наприклад друге завдання, тобто. обчислення обсягів.
Приклад 6.Знайти об'єм тіла, укладеного між поверхнею
та над одиничним квадратом, див. на рис. 25.
Нехай V(x) - об'єм, обмежений поверхнею та п'ятьма площинами, а саме z = 0, y = 0, y = 1, x = 0 і площиною PQRS, перпендикулярної осі х і перетинає цю вісь на відстані х від початку координат. Неважко бачити, що похідна V"(x) дорівнює А(x) площі поперечного перерізу PQRS. Таким чином,
Але А(x) – площа під кривою
Отже,
Де інтегрування проводиться у, а х розглядається як постійна. Підставляючи (9) (8), запишемо V у вигляді повторного інтеграла
У формулі (10) передбачається, що спочатку проводиться внутрішнє інтегрування. Результат цього інтегрування вираз [[(5/6) - (x2/4)]], потім інтегрується по х від 0 до 1. Остаточний результат дорівнює 3/4. Формулу (10) можна інтерпретувати як і так званий подвійний інтеграл, тобто. як межа суми обсягів елементарних "клітин". Кожна така клітина має основу DxDy та висоту, що дорівнює висоті поверхні над деякою точкою прямокутної основи (див. рис. 26). Можна показати, що обидві точки зору формулу (10) еквівалентні. Подвійні інтеграли використовуються для знаходження центрів важкості та численних моментів, що зустрічаються у механіці.
Суворіше обґрунтування математичного апарату. Досі ми викладали поняття та методи математичного аналізу на інтуїтивному рівні і, не вагаючись, вдавалися до геометричних фігур. Нам залишилося коротко розглянути суворіші методи, що з'явилися у 19-му та 20-му століттях. На початку 19 ст, коли епоха штурму і натиску у "створенні математичного аналізу" завершилася, на перший план вийшли питання його обґрунтування. У працях Абеля, Коші та інших видатних математиків були точно визначені поняття " межі " , " безперервної функції " , " схожого ряду " . Це було необхідно для того, щоб внести логічний порядок в основу математичного аналізу для того, щоб зробити його надійним інструментом дослідження. Потреба у ретельному обґрунтуванні стала ще очевиднішою після відкриття в 1872 Вейерштрассом всюди безперервних, але ніде не диференційованих функцій (графік таких функцій у кожній своїй точці має злам). Цей результат справив приголомшливе враження на математиків, оскільки явно суперечив їхній геометричній інтуїції. Ще більш вражаючим прикладом ненадійності геометричної інтуїції стала побудована Д.Пеано безперервна крива, яка повністю заповнює певний квадрат, тобто. проходить через усі його точки. Ці та інші відкриття викликали життя програму " арифметизації " математики, тобто. надання їй більшої надійності шляхом обґрунтування всіх математичних понятьз допомогою поняття числа. Майже пуританське утримання від наочності у роботах з математики мало своє історичне виправдання. За сучасними канонами логічної суворості неприпустимо говорити про площу під кривою y = f(x) і над відрізком осі х, навіть якщо f - безперервна функція, не визначивши попередньо точний зміст терміна "площа" і не встановивши, що певна таким чином площа дійсно існує . Це завдання було успішно вирішено в 1854 р. Б. Ріманом, який дав точне визначення поняття певного інтеграла. З того часу ідея підсумовування, що стоїть за поняттям певного інтеграла, була предметом багатьох глибоких досліджень та узагальнень. У результаті сьогодні вдається надати сенсу певному інтегралу, навіть якщо підінтегральна функція є всюди розривною. Нові поняття інтегрування, створення яких великий внесок вніс А. Лебег (1875-1941) та інші математики, примножили міць і красу сучасного математичного аналізу. Навряд чи було б доречно входити до деталей усіх цих та інших понять. Обмежимося лише тим, що наведемо суворі визначення межі та певного інтегралу. 1) Число L називається межею функції f (x) при х, що прагнуть а, якщо при будь-якому скільки завгодно малому числі e знайдеться відповідне позитивне число d, таке, що
Упорядник Ю.В.Обрубов
Калуга - 2012
Введення у математичний аналіз.
Справжні числа. Змінні та постійні величини.
Одним із основних понять математики є число.
Позитивні числа 1,2,3, …, які виходять за рахунку, називаються натуральними.
Числа... -3,-2,-1,0,1,2,3,... називають цілими. Числа, які можуть бути представлені у вигляді кінцевого відношення двох цілих чисел ( 
) називаються раціональними.
До них відносяться цілі та дробові, позитивні та негативні числа. Числа, які видаються нескінченними неперіодичними дробами називаються ірраціональними.
Прикладами ірраціональних чисел є 
,
. У багатьох ірраціональних чисел виділяють трансцендентні
числа. Це числа, що є результатом неалгебраїчних дій. Найбільш відомими з них є число 
і неперове число 
. Числа раціональні та ірраціональні називаються дійсними
. Справжні числа зображуються точками на числовій осі. Кожній точці на числовій осі відповідає одне дійсне число і, навпаки, кожному дійсному числу відповідає єдина точка числової осі. Таким чином, між дійсними числами та точками числової прямої встановлено взаємно-однозначну відповідність. Це дозволяє рівнозначно використовувати терміни “число а” і “точка а”.
У процесі вивчення різних фізичних, економічних, соціальних процесів часто доводиться мати справу з величинами, що становлять чисельні значення параметрів досліджуваних явищ. У цьому одні їх змінюються, інші зберігають свої значення.
Змінною
називається величина, яка набуває різних чисельних значень. Величина, чисельне значення якої не змінюється в даній задачі чи експерименті називається постійною.
Змінні величини зазвичай позначають латинськими літерами 
а постійні 
.
Змінна величина 
вважається заданою, якщо відомо безліч значень, які може приймати. Ця множина називається областю зміни змінної.
Існують різні види множин значень числової змінної величини.
Інтервалом
називається безліч значень х, укладених між числамиaіb, при цьому числаaіbне належать розглянутій множині. Інтервал позначають: (a, b); Відрізком
називається безліч значень х, укладених між числами а і b, при цьому числа а і b належать множині, що розглядається. Відрізок позначають ,a≤x≤b. Багато дійсних чисел є відкритим інтервалом. Позначається: (- ∞, + ∞), -∞<х <+∞, R. Околицею точки х
0
називається довільний інтервал (а, b), що містить точку х 0 всі точки цього інтервалу задовольняють нерівності a ε
- околицею точки а
називається інтервал з центром у точці а, що задовольняє нерівності a–ε Функція одна із основних понять математичного аналізу. Нехай Х і У довільні множини дійсних чисел. Якщо кожному числу х Х за деяким правилом або законом поставлено у відповідність єдине цілком певне дійсне число у У, то кажуть, що задана функція
з областю визначення Х та безліччю значень У. Позначають у = f (х). Змінна величина х називається аргументом
функції. У визначенні функції суттєві два моменти: зазначення області визначення та встановлення закону відповідності. Областю визначення
або областю існування
Функція називається безліч значень аргументу при яких функція існує, тобто має сенс. Області зміни
функції називається безліч значень у, які він набуває при допустимих значеннях х. Способи завдання функції.
Аналітичний метод завдання функції. При цьому способі завдання функції закон відповідності записується у вигляді формули (аналітичного виразу), що вказує за допомогою яких математичних перетворень за відомим значенням аргументу х можна знайти відповідне значення у. Функція може бути задана одним аналітичним виразом по всій своїй області визначення або представляти сукупність декількох аналітичних виразів. Наприклад: у = sin (x 2 + 1) 2. Табличний спосіб завдання функції Через війну безпосереднього спостереження чи експериментального вивчення будь-якого явища чи процесу у порядку виписуються значення аргументу x і відповідні їм значення у. Ця таблиця визначає функцію у від х. Прикладом табличного способу завдання функції можуть бути таблиці тригонометричних функцій, таблиці логарифмів, дати і курси валют, температура і вологість повітря тощо. 3. Графічний метод завдання функції. Графічний спосіб завдання функції полягає у зображенні на координатній площині точок (х, у) за допомогою технічних пристроїв. Графічним способом завдання функції в математичному аналізі не користуються, але графічної ілюстрації аналітично заданих функцій вдаються завжди. МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ частина математики, в якій функціїта їх узагальнення вивчаються методом меж.Поняття межі тісно пов'язане з поняттям нескінченно малої величини, тому можна сказати, що М. а. вивчає функції та їх узагальнення методом нескінченно малих. Назва "М. а." - скорочена видозміна старої назви цієї частини математики - "Аналіз нескінченно малих"; останнє повніше розкриває зміст, але воно - теж скорочене (назва "Аналіз за допомогою нескінченно малих" охарактеризувала б предмет точніше). У класичному М. а. об'єктами вивчення (аналізу) є насамперед функції. "Насамперед" тому, що розвиток М. а. призвело до можливості вивчення його методами більш складних утворень, ніж функціоналів, операторів і т.д. У природі і техніці всюди зустрічаються рухи, процеси, які описуються функціями; закони явищ природи також зазвичай описуються функціями. Звідси об'єктивна важливість М. а. як засоби вивчення функцій. М. а. у широкому розумінні цього терміна охоплює дуже велику частину математики. До нього входять диференціальне, інтегральне обчислення, функцій комплексного змінного теорія,теорія диференціальних рівнянь звичайних,теорія диференціальних рівнянь із приватними похідними,теорія інтегральних рівнянь, варіаційне обчислення, функціональний аналізі деякі інші математич. дисципліни. Сучасні чисел теоріяі ймовірностей теоріязастосовують та розвивають методи М. а. Все ж таки термін М. а. Найчастіше використовується для найменування лише основ математичного аналізу, що об'єднують у собі теорію дійсного числа,теорію меж, теорію рядів,диференціальне та інтегральне обчислення та їх безпосередні програми, такі як теорія максимумів та мінімумів, теорія неявні функції, Фур'є ряди, Фур'є інтеграли. функція.У М. а. виходять із визначення функції по Лобачевському та Диріхлі. Якщо кожному числу хіз деякої множини F чисел в силу к.-л. закону наведено в число у,то цим визначено функцію від одного змінного х.Аналогічно визначається функція від змінних, де х=(х 1 , ..., х п) -
точка n-вимірного простору; розглядають також функції від точок x=(x 1 х 2 ,
...) деякого нескінченномірного простору, які, втім, частіше називають функціоналами. Елементарні функції.Фундаментальне значення в М. а. грають елементарні функції.Насправді в основному оперують елементарними фукціями, ними наближають функції складнішої природи. Елементарні функції можна розглядати не тільки для дійсних, але і комплексних х; тоді уявлення про ці функції стають у певному сенсі закінченими. У зв'язку з цим виникла важлива гілка М. а., зв. теорією функцій комплексного змінного, або теорією аналітичні функції. Дійсна кількість.Поняття функції істотно базується на понятті дійсного (раціонального та ірраціонального) числа. Воно остаточно сформувалося лише наприкінці 19 ст. Зокрема, встановлений логічно бездоганний зв'язок між числами та точками геометрич. прямий, яка привела до формального обґрунтування ідей Р. Декарта (R. Descartes, сер. 17 ст), який ввів у математику прямокутні системи координат і представлення в них функцій графіками. Межа.У М. а. методом вивчення функцій є. Розрізняють межу послідовності та межу функції. Ці поняття остаточно сформувалися лише 19 в., хоча уявлення них мали ще др.-греч. вчені. Досить сказати, що Архімед (3 в. до н. е.) умів обчислювати сегменти параболи за допомогою процесу, який ми назвали б граничним переходом (див. Вичерпування метод). Безперервні функції.Важливі функції, що вивчаються в М. а., утворюють безперервні функції.Одне із можливих визначень цього поняття: функція y=f(x).від одного змінного х,задана на інтервалі ( а, Ъ),
зв. безперервний у точці х,якщо Функція безперервна на інтервалі ( а, Ъ),
якщо вона безперервна у всіх його точках; тоді її є кривою, безперервною в життєвому розумінні цього слова. Похідна та .Серед безперервних функцій слід виділити функції, які мають похідну.Похідна від функції у точці хесть швидкість зміни її в цій точці, тобто межа Якщо уїсти координата точки, що рухається по осі ординат у часі х,то f" (х). є миттєва швидкість точки в момент часу х. По знаку похідної f"(х) .
судять про характер зміни f(x):якщо f"(z)>0 ( f"(x) <0
).
на інтервалі ( с, d), то функція / зростає (зменшується) на цьому інтервалі. Якщо ж функція / в точці достигає локального екстремуму (максимуму або мінімуму) і має в цій точці похідну, то остання дорівнює нулю в цій точці f"(x 0) = 0. Рівність (1) можна замінити еквівалентною рівністю де є нескінченно мала, коли т. е. якщо функція f має похідну в точці х,то збільшення її в цій точці розкладається на два доданки. З них перше є від (пропорційна), друге - прагне до нуля швидше, ніж Величина (2) зв. диференціаломфункції, що відповідають приросту При малих можна вважати приблизно рівним dy: Наведені міркування про диференціал характерні для М. а. Вони поширюються функції багатьох змінних і функціонали. наприклад, якщо функція від змінних має безперервні приватні похідніу точці x=(x 1 , ... , x n), то її збільшення
відповідне збільшенням незалежних змінних, можна записати у вигляді де при тому якщо все Тут перший член правої частини (3) є диференціал dzфункції f. Він лінійно залежить від того, як другий член прагне до нуля при швидше, ніж Нехай задано (див. ст. Варіаційний обчислення) поширений класи функцій x(t) ,
що мають на відрізку безперервну похідну та задовольняють граничним умовам x( t 0)=х 0 x( t 1)=x l ,де х 0, х 1 -дані числа; нехай, далі, клас функції h(t) ,
мають безперервну похідну і таких, що h( t 0)=h(t 1) = 0. Очевидно, якщо У варіаційному обчисленні доводиться, що за відомих умов на L збільшення функціоналу J (х). може бути записано у вигляді при де і, таким чином, другий член правої частини (4) прагне нуля швидше, ніж ||h||, а перший член лінійно залежить від Перший член (4) зв. варіацією функціоналу і позначається dJ( x, h). Інтеграл. Поряд із похідною має фундаментальне значення в М. а. Розрізняють невизначений та певний інтеграли. Невизначений інтеграл тісно пов'язаний із первісною функцією. Функцію F(x). первісної від функції f на інтервалі ( а, b), якщо на цьому інтервалі F"(x) =f(x). Певний інтеграл (Рімана) від функції / на відрізку [ a, b]є межа Якщо функція f позитивна та безперервна на відрізку [ а, b],
то інтеграл від неї на цьому відрізку дорівнює площі фігури, обмеженою кривою у=f(x), віссю Охта прямими х = а, х = b. Клас інтегрованих по Ріману функцій містить усі безперервні на [ а, b] функції та деякі розривні функції. Але вони необхідно обмежені. Для необмежених функцій, що ростуть не дуже швидко, а також для деяких функцій, заданих на нескінченних інтервалах, вводять так зв. невласні інтеграли,що вимагають свого визначення подвійного переходу до межі. Поняття інтеграла Рімана для функції одного змінного поширюється функції багатьох змінних (див. Кратний інтеграл). З іншого боку, потреби М. а. призвели до узагальнення інтеграла зовсім в іншому напрямку, мається на увазі Лебега інтегралабо більш загальний Лебега- Стілтьєса інтеграл.Істотним у визначенні цих інтегралів є введення для деяких множин, званих вимірними, поняття їх міри і на цій підставі - поняття вимірної функції. Для вимірних функцій і вводиться інтеграл Лебега – Стілтьєса. При цьому розглядається широкий діапазон різних заходів і відповідних класів вимірних множин і функцій. Це дозволяє пристосувати той чи інший інтеграл до певної конкретної задачі. Формула Ньютона – Лейбніца. Між похідним та інтегралом є зв'язок, що виражається формулою (теоремою) Ньютона - Лейбніца Тут f(x).безперервна на [ а, b]функція, a F(х) -
її первісна. Формула та Тейлора. Поряд з похідною та інтегралом найважливішим поняттям (зброєю дослідження) в М. а. є Тейлора п Тейлора ряд.Якщо функція f(x) , a зв. її багаточленом Тейлора (ступеня п). х-x 0: (Формула Тейлора); при цьому помилка наближення прагне до нуля при швидше за Таким чином, функція f(x). в околиці точки х 0 може бути наближена з будь-яким ступенем точності дуже простою функцією (багаточленом), що вимагає для свого обчислення лише арифметич. операцій - складання, віднімання та множення. Особливо важливими є так зв. аналітичні в певній околиці х 0 функції, що мають нескінченну кількість похідних, такі, що для них в цій околиці при вони можуть бути представлені у вигляді нескінченного статечного ряду Тейлора: Розкладання Тейлора за певних умов можливі і для функцій багатьох змінних, а також функціоналів та операторів. Історична довідка.До 17 ст. М. а. був сукупністю рішень розрізнених приватних завдань; напр., в інтегральному обчисленні - це завдання на обчислення площ фігур, обсягів тіл з кривими кордонами, роботи змінної сили і т. д. Кожне завдання або приватне завдання вирішувалося своїм методом, часом складним і громіздким (про передісторію М. а. див. статтю Нескінченно малих літочислення),
М. а. як єдине та систекатич. ціле склалося у працях І. Ньютона (I. Newton), Р. Лейбніца (G. Leibniz), Л. Ейлера (L. Euler), Ж. Лагранжа (J. Lagrange) та інших. вчених 17 -18 ст., а його - теорія меж - була розроблена О. Комі (A. Cauchy) на поч. 19 ст. Глибокий аналіз вихідних понять М. а. був із розвитком у 19-20 ст. теорії множин, теорії міри, теорії функцій дійсного змінного та привів до різноманітних узагальнень. Літ.: Ла Вале - Пусен Ш.-Ж. д е, Курс аналізу нескінченно малих, пров. з франц., Т. 1-2, М., 1933; Ільїн Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1, М., 1971; 2 видавництва, ч. 2, М., 1980; І л ь ин Ст А., Садовничий Ст А., Сеїдов Би. X., Математичний аналіз, М., 1979; К у д р я в ці в Л. Д., Математичний аналіз, 2 видавництва, т. 1-2, М., 1973; Микільський С. М., Курс математичного аналізу, 2 видавництва, т. 1-2, М., 1975; У і т е к е р Е. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс сучасного аналізу, пров. з англ., Ч. 1-2, 2 видавництва, М., 1962-63; Фіхт е н о л ь ц Р. М., Курс диференціального та інтегрального обчислення, 7 видавництво, т. 1-2, М., 1970; 5 видавництво, т. 3, М., 1970. С. М. Микільський. Математична енциклопедія. - М: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985. МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ, сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій методами диференціального обчислення та інтегрального обчислення. Сучасна енциклопедія Сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій методами диференціального та інтегрального обчислень. Термін є скоріше педагогічним, ніж науковим: курси математичного аналізу читаються у вузах та технікумах. Великий Енциклопедичний словник Англ. математичний аналіз; ньому. mathematische Analysis. Розділ математики присвячений дослідженню функцій методами диференціального та інтегрального обчислення. Антіназі. Енциклопедія соціології, 2009 … Енциклопедія соціології Сущ., кіл у синонімів: 2 матан (2) матаналіз (2) Словник синонімів ASIS. В.М. Тришин. 2013 … Словник синонімів МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ- МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ. Сукупність розділів математики, присвячених дослідженню математичних функцій методами диференціального та інтегрального обчислень. Використання методів М. а. є дієвим засобом вирішення найважливіших… Новий словник методичних термінів та понять (теорія та практика навчання мов) математичний аналіз- - EN matematical analysis The branch of matematics most explicitly concerned with the limit process or the concept of convergence; включають theories of differentiation, … … Довідник технічного перекладача Математичний аналіз- МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ, сукупність розділів математики, присвячених дослідженню функцій методами диференціального обчислення та інтегрального обчислення. … Ілюстрований енциклопедичний словник Нагромадження страшних формул, посібники з вищої математики, які відкриєш і відразу закриєш, болісні пошуки рішення здавалося б дуже простий завдання…. Подібна ситуація не рідкість, особливо коли підручник з математики востаннє відкривався у далекому 11 класі. А тим часом, у ВНЗ навчальні плани багатьох спеціальностей передбачають вивчення всіма улюбленою вищою математикою. І в цій ситуації нерідко відчуваєш себе повним чайником перед нагромадженням жахливої математичної абракадабри. Причому, схожа ситуація може скластися щодо будь-якого предмета, особливо з циклу природничих наук. Що робити? Для студента-очника все значно простіше, якщо, звичайно, предмет не запущений. Можна проконсультуватися у викладача, одногрупників та й просто списати у сусіда по парті. Навіть повний чайник у вищій математиці за таких розкладів сесію переживе. А якщо людина навчається на заочному відділенні ВНЗ, і вища математика, м'яко кажучи, навряд чи знадобиться в майбутньому? До того ж немає часу на заняття. Так воно, в більшості випадків так, але ніхто не скасовував виконання контрольних робіт і складання іспиту (найчастіше, письмового). З контрольними роботами з вищої математики все простіше, чи чайник, чи не чайник – контрольну роботу з математики можна замовити. Наприклад, у мене. І з інших предметів теж можна замовити. Вже не тут. Але виконання та здавання на рецензію контрольних робіт ще не призведе до заповітного запису в заліковій книжці. Часто буває, що витвір мистецтва, виконаний на замовлення, потрібно захищати, і пояснити, чому з цих літер випливає та формула. Крім того, чекають іспити, а там уже доведеться вирішувати визначники, межі та похідні САМОСТІЙНО. Якщо, звичайно, викладач не приймає цінних подарунків, чи ні найнятого доброзичливця за стінами аудиторії. Дозвольте, дам дуже важливу пораду. На заліках, іспитах з точних і природничих наук Дуже важливо хоч щось розуміти. Запам'ятайте, хоч щось. Повна відсутність розумових процесів просто дратує викладача, мені відомі випадки, коли студентів-заочників загортали по 5-6 разів. Пам'ятається, один молодик здавав контрольну роботу 4 рази, і після кожної перездавання звертався до мене за безкоштовною гарантійною консультацією. Зрештою, я помітив, що у відповіді він замість літери «пі» писав літеру «пе», за що й були жорсткі санкції з боку рецензента. Студент НАВІТЬ НЕ ХОТІВ ВНИКАТИ в завдання, яке він недбало переписав Можна бути повним чайником у вищій математиці, але дуже бажано знати, що похідна константи дорівнює нулю. Тому що, якщо Ви відповісте якусь дурість на елементарне питання, то велика ймовірність того, що на цьому навчання у ВНЗ для Вас закінчиться. Викладачі набагато прихильніше ставляться до того студента, який ХОЧЕ НАМАГАЄТЬСЯ розібратися в предметі, до того, хто, хай і помилково, але намагається щось вирішити, пояснити або довести. І це твердження є справедливим для всіх дисциплін. Тому слід рішуче відсунути позицію «я нічого не знаю, нічого не розумію». Друга важлива порада – відвідувати лекції, навіть якщо їх небагато. Про це я вже згадував на головній сторінці сайту Математика для заочників. Повторюватися немає сенсу, чому це дуже важливо, читайте там. Отже, що робити, якщо на носі залік, іспит з вищої математики, а справи плачевні – стан повного, а точніше кажучи, порожнього чайника? Один із варіантів – найняти репетитора. З найбільшою базою репетиторів можна ознайомитись (переважно, Москва) або (переважно, Санкт-Петербург). За пошуковою системою можна знайти репетитора у своєму місті, або подивитися місцеві рекламні газети. Ціна на послуги репетитора може змінюватись від 400 і більше рублів за годину в залежності від кваліфікації викладача. Слід зазначити, що дешево це не означає погано, особливо якщо у Вас непогана математична підготовка. У той же час за 2-3К рублів Ви й отримаєте НЕМАЛО. Даремно таких грошей ніхто не бере, і даремно таких грошей ніхто не платить;-). Єдиний важливий момент – намагайтеся обрати репетитора з профільною педагогічною освітою. І справді, ми ж не ходимо за юридичною допомогою до стоматолога. Останнім часом набирає популярності сервіс онлайн репетиторів. Він дуже зручний, коли необхідно терміново вирішити одну-дві задачі, розібратися в темі або підготуватися до іспиту. Безумовною перевагою є ціни, які у кілька разів нижчі, ніж у офлайн репетитора + економія часу на проїзд, що є особливо актуальним для мешканців мегаполісів. У курсі вищої математики деякі речі без репетитора освоїти дуже важко, потрібне саме «живе» пояснення. Тим не менш, у багатьох типах завдань можна розібратися самостійно, і, мета даного розділу сайту - навчити Вас вирішувати типові приклади і завдання, які практично завжди зустрічаються на іспитах. Більше того, для низки завдань існують «жорсткі» алгоритми, де від правильного рішення взагалі «нікуди не подітися». І, в міру моїх знань, я спробую Вам допомогти, тим більше є педагогічна освіта та досвід роботи зі спеціальності. Почнемо розгрібати математичні абракадабри. Нічого страшного, навіть якщо Ви чайник, вища математика - це дійсно просто і доступно. А розпочати треба з повторення шкільного курсу математики. Повторення – мати муки. Перш ніж, Ви приступите до вивчення моїх методичних матеріалів, та й взагалі приступите до вивчення будь-яких матеріалів з вищої математики, я насправді рекомендую, прочитати нижченаведене . ЗАПАСІТЬСЯ МІКРОКАЛЬКУЛЯТОРОМ. З програм - Ексель (відмінний вибір!). Мануал для «чайників» я завантажив у бібліотеку. Чи є? Вже добре. – Від перестановки доданків – сума не змінюється: . Переставляти «ікс» та «четвірку» просто так не можна. Заодно згадуємо культову літеру "ікс", яка в математиці позначає невідому або змінну величину.
– Від перестановки множників – твір не змінюється: . – Згадуємо правила розкриття дужок: Взагалі, достатньо пам'ятати, що ДВА МІНУСУ ДАЮТЬ ПЛЮС, а ТРИ МІНУСУ – ДАЮТЬ МІНУС. І, постаратися при вирішенні завдань з вищої математики в цьому не заплутатися (дуже часта і прикра помилка). – Згадуємо приведення подібних доданків, Ви повинні добре розуміти таку дію: – Згадуємо що таке ступінь: , , Ступінь – це лише звичайне множення. –Згадуємо, що дроби можна скорочувати: (Скоротили на 2), (Скоротили на п'ять), (Скоротили на ). – Згадуємо дії з дробами: ПОРАДА: усі ПРОМІЖНІ обчислення у вищій математиці краще проводити в ЗВИЧАЙНИХ ПРАВИЛЬНИХ І НЕПРАВИЛЬНИХ ДРОБЯХ, навіть якщо будуть виходити страшні дроби на кшталт . Ось цей дріб НЕ ТРЕБА представляти у вигляді , і, тим більше, НЕ ТРЕБА ділити на калькуляторі чисельник на знаменник, отримуючи 4,334552102. ВИКЛЮЧЕННЯМ з правила є кінцева відповідь завдання, тоді якраз краще записати або . – Рівняння. У нього є ліва частина та права частина. Наприклад: Можна перенести будь-яке доданок в іншу частину, змінивши в нього знак: В історії математики умовно можна виділити два основні періоди: елементарної та сучасної математики. Кордоном, від якого прийнято вести відлік епохи нової (іноді кажуть - вищої) математики, стало XVII століття - століття появи математичного аналізу. Наприкінці XVII в. І. Ньютоном, Р. Лейбніцем та його попередниками створили апарат нового диференціального обчислення та інтегрального обчислення, що становить основу математичного аналізу і навіть, мабуть, математичну основу всього сучасного природознавства. Математичний аналіз – це широка галузь математики з характерним об'єктом вивчення (змінною величиною), своєрідним методом дослідження (аналізом за допомогою нескінченно малих або за допомогою граничних переходів), певною системою основних понять (функція, межа, похідна, диференціал, інтеграл, ряд) і постійно вдосконалюється і апаратом, що розвивається, основу якого складають диференціальне та інтегральне обчислення. Спробуємо дати уявлення у тому, яка математична революція відбулася XVII в., чим характеризується пов'язані з народженням математичного аналізу перехід від елементарної математики до тієї, що нині становить предмет досліджень математичного аналізу та чим пояснюється його фундаментальна роль у всій сучасній системі теоретичних і прикладних знань . Уявіть собі, що перед вами чудово виконана кольорова фотографія штормової океанської хвилі, що набігає на берег: могутня сутулувата спина, круті, але трохи запалі груди, вже нахилена вперед і готова впасти голова з сивою гривою, що терзається вітром. Ви зупинили мить, вам удалося зловити хвилю, і ви можете тепер без поспіху уважно вивчати її у всіх подробицях. Хвилю можна виміряти, і, використовуючи засоби елементарної математики, ви зробите багато важливих висновків про цю хвилю, а значить, і всіх її океанських сестер. Але, зупинивши хвилю, ви позбавили її руху та життя. Її зародження, розвиток, біг, сила, з якою вона обрушується на берег, - все це виявилося поза вашим полем зору, тому що ви не маєте поки що ні мови, ні математичного апарату, придатних для опису і вивчення не статичних, а динамічних, що розвиваються. процесів, змінних величин та його взаємозв'язків. "Математичний аналіз не менш всеосяжний, ніж сама природа: він визначає всі відчутні взаємозв'язки, вимірює часи, простори, сили, температури". Ж. Фур'є Рух, змінні величини та їх взаємозв'язки оточують нас усюди. Різні види руху та їх закономірності становлять основний об'єкт вивчення конкретних наук: фізики, геології, біології, соціології та ін. та арифметика необхідні при описі кількісних співвідношень. Так ось, математичний аналіз і становить основу мови та математичних методів опису змінних величин та їх взаємозв'язків. У наші дні без математичного аналізу неможливо не тільки розрахувати космічні траєкторії, роботу ядерних реакторів, біг океанської хвилі та закономірності розвитку циклону, а й економічно управляти виробництвом, розподілом ресурсів, організацією технологічних процесів, прогнозувати перебіг хімічних реакцій чи зміну чисельності різних взаємопов'язаних у природі видів. тварин і рослин, тому що все це – динамічні процеси. Елементарна математика була в основному математикою постійних величин, вона вивчала головним чином співвідношення між елементами геометричних фігур, арифметичні властивості чисел та рівняння алгебри. Її ставлення до дійсності певною мірою можна порівняти з уважним, навіть ретельним і повним вивченням кожного фіксованого кадру кінострічки, що зафіксувала мінливий, живий світ, що розвивається, в його русі, якого, однак, не видно на окремому кадрі і яке можна спостерігати, тільки подивившись стрічку загалом. Але як кіно немислимо без фотографії, так і сучасна математика неможлива без її частини, яку ми умовно називаємо елементарною, без ідей і досягнень багатьох видатних учених, поділених часом десятками століть. Математика єдина, і «вища» її частина пов'язана з «елементарною» приблизно так само, як наступний поверх будинку, що будується, пов'язаний з попереднім, і ширина горизонтів, які математика відкриває нам в навколишній світ, залежить від того, на який поверх цієї будівлі нам вдалося піднятися. Народжений XVII в. математичний аналіз відкрив нам можливості для наукового опису, кількісного та якісного вивчення змінних величин та руху у широкому значенні цього слова. Які ж причини появи математичного аналізу? Наприкінці XVII в. склалася така ситуація. По-перше, в рамках самої математики за довгі роки накопичилися деякі важливі класи однотипних завдань (наприклад, завдання вимірювання площ та обсягів нестандартних фігур, завдання проведення дотичних до кривих) та з'явилися методи їх вирішення у різних окремих випадках. По-друге, виявилося, що ці завдання тісно пов'язані із завданнями опису довільного (не обов'язково рівномірного) механічного руху, і зокрема з обчисленням його миттєвих характеристик (швидкості, прискорення в будь-який момент часу), а також із знаходженням величини пройденого шляху для руху, що відбувається із заданою змінною швидкістю. Вирішення цих проблем було необхідним для розвитку фізики, астрономії, техніки. Нарешті, по-третє, до середини XVII в. працями Р. Декарта та П. Ферма були закладені основи аналітичного методу координат (так званої аналітичної геометрії), що дозволили сформулювати різнорідні за своїм походженням геометричні та фізичні завдання загальною (аналітичною) мовою чисел та числових залежностей, або, як ми тепер говоримо, числових функцій. МИКОЛА МИКОЛАЄВИЧ ЛУЗИН
Н. Н. Лузін - радянський математик, основоположник радянської школи теорії функцій, академік (1929). Лузін народився у Томську, навчався у томській гімназії. Формалізм гімназичного курсу математики відштовхнув від себе талановитого юнака, і лише здібний репетитор зміг розкрити перед ним красу та велич математичної науки. У 1901 р. Лузін вступив до математичного відділення фізико-математичного факультету Московського університету. З перших років навчання у коло його інтересів потрапили питання, пов'язані з нескінченністю. Наприкінці ХІХ ст. німецький вчений Г. Кантор створив загальну теорію нескінченних множин, що набула численних застосувань у дослідженні розривних функцій. Лузін почав вивчати цю теорію, але його заняття були перервані в 1905 р. Студенту, який брав участь у революційній діяльності, довелося тимчасово виїхати до Франції. Там він слухав лекції найвидатніших французьких математиків того часу. Після повернення в Росію Лузін закінчив університет і був залишений для підготовки до професорського звання. Незабаром він знову поїхав до Парижа, а потім до Геттінгена, де зблизився з багатьма вченими і написав перші наукові роботи. Основною проблемою, яка цікавила вченого, було питання про те, чи можуть існувати множини, що містять більше елементів, ніж безліч натуральних чисел, але менше, ніж безліч точок відрізка (проблема континууму). Для будь-якої нескінченної множини, яку можна було отримати з відрізків за допомогою операцій об'єднання та перетину лічильних сукупностей множин, ця гіпотеза виконувалася, і, щоб вирішити проблему, потрібно було з'ясувати, які ще є способи конструювання множин. Одночасно Лузін вивчав питання, можна уявити будь-яку періодичну функцію, навіть має нескінченно багато точок розриву, як суми тригонометричного низки, тобто. суми нескінченної множини гармонійних коливань. З цих питань Лузін отримав низку значних результатів і в 1915 р. захистив дисертацію «Інтеграл і тригонометричний ряд», за яку йому відразу присудили вчений ступінь доктора чистої математики, минаючи проміжний ступінь магістра, що існував на той час. У 1917 р. Лузін став професором Московського університету. Талановитий викладач, він залучав до себе найбільш здібних студентів та молодих математиків. Свого розквіту школа Лузіна досягла у перші післяреволюційні роки. Учні Лузіна утворили творчий колектив, який жартівливо називали «лузитанією». Багато хто з них отримав першокласні наукові результати ще на студентській лаві. Наприклад, П. С. Александров і М. Я. Суслін (1894-1919) відкрили новий метод конструювання множин, що послужило початком розвитку нового напряму – дескриптивної теорії множин. Дослідження в цій галузі, що проводилися Лузіним та його учнями, показали, що звичайних методів теорії множин недостатньо для вирішення багатьох проблем, що виникали в ній. Наукові передбачення Лузіна повністю підтвердилися у 60-ті роки. XX ст. Багато учнів М. М. Лузіна стали згодом академіками та членами-кореспондентами АН СРСР. У тому числі П. З. Александров. А. Н. Колмогоров. М. А. Лаврентьєв, Л. А. Люстерник, Д. Є. Меньшов, П. С. Новіков. Л. Г. Шнірельман та інші. Сучасні радянські та зарубіжні математики у своїх роботах розвивають ідеї Н. Н. Лузіна. Збіг цих обставин і призвело до того, що наприкінці XVII ст. двом вченим – І. Ньютону та Г. Лейбніцу – незалежно один від одного вдалося створити для вирішення названих завдань математичний апарат, який підсумував та узагальнив окремі результати попередників, серед яких і вчений давнини Архімед та сучасники Ньютона та Лейбниця – Б. Кавальєрі, Б. Паскаль , Д. Грегорі, І. Барроу. Цей апарат і склав основу математичного аналізу - нового розділу математики, що вивчає різні процеси, що розвиваються, тобто. взаємозв'язку змінних величин, які у математиці називають функціональними залежностями чи, інакше, функціями. До речі, сам термін «функція» був потрібний і природно виник саме в XVII ст., а до теперішнього часу він набув не лише загальноматематичного, а й загальнонаукового значення. Початкові відомості про основні поняття та математичний апарат аналізу дано у статтях «Диференціальне обчислення» та «Інтегральне обчислення». На закінчення хотілося б зупинитися тільки на одному загальному для всієї математики і характерному для аналізу принципі математичного абстрагування і в зв'язку з цим пояснити, в якому вигляді математичний аналіз вивчає змінні величини і в чому секрет такої універсальності його методів для вивчення всіляких конкретних процесів, що розвиваються, і їх взаємозв'язків . Розглянемо кілька пояснюючих прикладів та аналогій. Ми часом уже не усвідомлюємо, що, наприклад, математичне співвідношення, написане не для яблук, стільців або слонів, а в абстрактному вигляді, що відвернено від конкретних об'єктів, - видатне наукове завоювання. Це математичний закон, який, як показує досвід, може бути застосований до різних конкретних об'єктів. Отже, вивчаючи в математиці загальні властивості абстрактних, абстрактних чисел, ми цим вивчаємо кількісні співвідношення реального світу. Наприклад, зі шкільного курсу математики відомо, що , тому в конкретній ситуації ви могли б сказати: «Якщо мені для перевезення 12 т ґрунту не виділять два шеститонні самоскиди, то можна запросити три чотиритонки і робота буде виконана, а якщо дадуть лише одну чотиритонку, то їй доведеться зробити три рейси». Так звичні тепер для нас абстрактні числа та числові закономірності пов'язані з їх конкретними проявами та додатками. Приблизно так само пов'язані закони зміни конкретних змінних величин і процесів природи, що розвиваються, з тією абстрактною, абстрактною формою-функцією, в якій вони з'являються і вивчаються в математичному аналізі. Наприклад, абстрактне співвідношення може бути відображенням залежності касового збору у кінотеатру від кількості проданих квитків, якщо 20 – це 20 копійок – ціна одного квитка. Але якщо ми їдемо шосе велосипедом, проїжджаючи 20 км на годину, то це ж співвідношення можна витлумачити як взаємозв'язок часу (годин) нашої велосипедної прогулянки і покритої за цей час відстані (кілометрів)., ви завжди можете стверджувати, що, наприклад, зміна в кілька разів призводить до пропорційної (тобто в стільки ж разів) зміни величини, а якщо, то вірно і зворотний висновок. Значить, зокрема, для збільшення касового збору кінотеатру вдвічі вам доведеться залучити вдвічі більше глядачів, а для того, щоб велосипедом з тією ж швидкістю проїхати вдвічі більшу відстань, вам доведеться їхати вдвічі довше. Математика вивчає і найпростішу залежність, та інші, значно складніші залежності у абстрактному від приватної інтерпретації, загальному, абстрактному вигляді. Виявлені в такому дослідженні властивості функції або методи вивчення цих властивостей носитимуть характер загальних математичних прийомів, висновків, законів і висновків, які застосовуються до кожного конкретного явища, в якому зустрічається вивчена в абстрактному вигляді функція, незалежно від того, до якої галузі знання це явище відноситься . Отже, математичний аналіз як розділ математики оформився наприкінці XVII ст. Предметом вивчення математичному аналізі (як і представляється з сучасних позицій) є функції, чи, інакше, залежності між змінними величинами. З виникненням математичного аналізу математики стало доступно вивчення і відображення процесів реального світу, що розвиваються; в математику увійшли змінні величини та рух.функція. Основні визначення та поняття.
Дивитись що таке "МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ" в інших словниках:
Для того щоб успішно вирішувати завдання з вищої математики НЕОБХІДНО:
А ось це зовсім різні речі:
З поділом такий фокус не пройде, і – це два зовсім різні дроби та перестановка чисельника зі знаменником без наслідків не обходиться.
Також згадуємо, що знак множення («точки») найчастіше прийнято не писати: ,
– тут знаки у доданків не змінюються
- А тут міняються на протилежні.
І для множення: 
, 
.
а також дуже важливе правило приведення дробів до спільного знаменника: 
Якщо ці приклади малозрозумілі, дивіться шкільні підручники.
Без цього ТУГО буде.
Перенесемо, наприклад, усі складові в ліву частину:
Або в праву: 
(1883-1950)
