Для того, щоб через три якісь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) у загальній декартовій системі координат.

Для того щоб довільна точка М(x, y, z) лежала в одній площині з точками М 1 , М 2 , М 3 необхідно, щоб вектори були компланарні.

(
) = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини за двома точками та вектором, колінеарною площиною.

Нехай задані точки М 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) і вектор
.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М 1 і М 2 і довільну точку М(х, у, z) паралельно вектору .

Вектори
та вектор
мають бути компланарні, тобто.

(
) = 0

Рівняння площини:

Рівняння площини по одній точці та двох векторів,

колінеарні площині.

Нехай задані два вектори
і
, колінеарні площини. Тоді для довільної точки М(х, у,z), що належить площині, вектори
мають бути компланарними.

Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі .

Теорема. Якщо у просторі задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то рівняння площини, що проходить через точку М 0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Доведення. Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Т.к. вектор - вектор нормалі, то він перпендикулярний площині, а, отже, перпендикулярний і вектору
. Тоді скалярний твір

= 0

Таким чином, отримуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо у загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на (-D)

замінивши
, Отримаємо рівняння площини у відрізках:

Числа a, b, c є точками перетину площини відповідно до осей х, у, z.

Рівняння плоскості у векторній формі.

де

- радіус- вектор поточної точки М(х, у, z),

Одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину початку координат.

,  та  - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p - Довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точки М 0 (х 0, у 0, z 0) до площини Ах + Ву + Сz + D = 0 дорівнює:

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) - основа перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; -1) та

Q(1; -1; 3) перпендикулярно до площини 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у – z + 5 = 0
паралельний шуканій площині.

Отримуємо:

приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, -1, 4) та

В(3, 2, -1) перпендикулярно до площини х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: A x+ B y+ C z+ D = 0, вектор нормалі до цієї площини (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна до шуканої має вектор нормалі. (1, 1, 2). Т.к. точки А і В належать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, -7, -2). Т.к. точка А належить шуканої площині, її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площині, тобто. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Отже, отримуємо рівняння площини: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4, -3, 12) - основа перпендикуляра, опущеного початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі
= (4, -3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Для знаходження коефіцієнта D підставимо в рівняння координати точки Р:

16+9+144+D=0

Отже, отримуємо шукане рівняння: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

приклад.Дано координати вершин піраміди А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Знайти довжину ребра А1А2.

Знайти кут між ребрами А1А2 і А1А4.

Знайти кут між ребром А1А4 і гранню А1А2А3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3 як векторний добуток векторів
і
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Знайдемо кут між вектором нормалі та вектором
.

-4 – 4 = -8.

Шуканий кут  між вектором і площиною дорівнюватиме  = 90 0 - .

Знайти площу грані А 1 А 2 А 3 .

Знайти обсяг піраміди.

Знайти рівняння площини А1А2А3.

Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

При використанні комп'ютерної версії “ Курс вищої математики” можна запустити програму, яка вирішить розглянутий вище приклад для будь-яких координат вершин піраміди.

Для запуску програми двічі клацніть на значку:

У вікні програми, що відкрилося, введіть координати вершин піраміди і, натисніть Enter. Таким чином, по черзі можуть бути отримані усі пункти рішення.

Примітка: Для запуску програми необхідно, щоб на комп'ютері була встановлена програма Maple (Waterloo Maple Inc.) будь-якої версії, починаючи з MapleV Release 4.

Якщо всі числа А, В, С і D відмінні від нуля, то загальне рівняння площини називається повним. В іншому випадку, загальне рівняння площини називається неповним.

Розглянемо всі можливі загальні неповні рівняння площини прямокутної системі координат Oxyz в тривимірному просторі.

Нехай D = 0, тоді маємо загальне неповне рівняння площини виду. Ця площина в прямокутній системі координат Oxyz проходить через початок координат. Дійсно, при підстановці координат точки отримане неповне рівняння площини ми приходимо до тотожності .

При , або , або маємо загальні неповні рівняння площин , або , або відповідно. Ці рівняння задають площини, паралельні координатним площинам Oxy , Oxz і Oyz відповідно (дивіться статтю умова паралельності площин) і проходять через точки і відповідно. При. Бо точка належить площині за умовою, то координати цієї точки повинні задовольняти рівняння площини , тобто має бути справедлива рівність . Звідси знаходимо. Таким чином, шукане рівняння має вигляд .

Наведемо другий спосіб розв'язання цього завдання.

Так як площина, загальне рівняння якої нам потрібно скласти, паралельна площині Oyz , то її нормального вектора можна взяти нормальний вектор площини Oyz . Нормальним вектором координатної площини Oyz є координатний вектор. Тепер ми знаємо нормальний вектор площини та точку площини, отже, можемо записати її загальне рівняння (подібне завдання ми вирішували у попередньому пункті цієї статті):
, Тоді її координати повинні задовольняти рівняння площини. Отже, справедлива рівність звідки знаходимо. Тепер ми можемо написати загальне рівняння площини, яке шукає, воно має вигляд .

Відповідь:

Список літератури.

Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.
Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Властивості прямої в евклідовій геометрії.

Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.

Через будь-які дві точки, що не збігаються, можна провести єдину пряму.

Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є

паралельними (випливає з попереднього).

У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

прямі перетинаються;

прямі паралельні;

прямі схрещуються.

Пряма лінія— крива алгебри першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія

задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).

Загальне рівняння прямої.

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0,

причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним

рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- Пряма проходить через початок координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- Пряма паралельна осі Ох

. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- Пряма паралельна осі Оу

. В = С = 0, А ≠0- Пряма збігається з віссю Оу

. А = С = 0, В ≠0- Пряма збігається з віссю Ох

Рівняння прямої може бути представлене в різному виглядізалежно від будь-яких заданих

початкових умов.

Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.

Визначення. У декартовій системі прямокутної координат вектор з компонентами (А, В)

перпендикулярний до прямої, заданої рівнянням

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).

Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С

підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже

З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.

Рівняння пряме, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,

проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулюслід прирівняти нулю відповідний чисельник. на

площині записане вище рівняння прямої спрощується:

якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .

Дріб = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.

приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).

Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:

Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.

Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:

та позначити , то отримане рівняння називається

рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання

прямий через точку та напрямний вектор прямий.

Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові

Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямний вектор прямий.

Ах + Ву + З = 0.

приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).

Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,

коефіцієнти повинні задовольняти умови:

1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.

при х = 1, у = 2отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:

х + у - 3 = 0

Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:

або , де

Геометричний змісткоефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину

прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С = 1, а = -1, b = 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число , Яке називається

нормуючим множником, то отримаємо

xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.

Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.

р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,

а φ - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.

приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типирівнянь

цієї прямої.

Рівняння цієї прямої у відрізках:

Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

Рівняння прямої:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,

паралельні осям або проходять через початок координат.

Кут між прямими на площині.

Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кутміж цими прямими

визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,

якщо k 1 = -1/ k 2 .

Теорема.

Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти

А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й З 1 = λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих

перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даної прямої.

Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b

є рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема. Якщо задана точка М(х 0 у 0),та відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:

Доведення. Нехай крапка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану

пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:

(1)

Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно

заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

Рівняння площини. Як скласти рівняння площини?
Взаємне розташування площин. Завдання

Просторова геометрія не набагато складніша за «плоску» геометрію, і наші польоти в просторі починаються з цієї статті. Для засвоєння теми необхідно добре розібратися в векторахКрім того, бажано бути знайомим з геометрією площини – буде багато схожого, багато аналогій, тому інформація перетравиться значно краще. У серії моїх уроків 2D-світ відкривається статтею Рівняння прямої на площині. Але зараз Бетмен зійшов із плоского екрану телевізора і стартує з космодрому Байконур.

Почнемо з креслень та позначень. Схематично площину можна намалювати як паралелограма, що створює враження простору:

Площина нескінченна, але ми маємо можливість зобразити лише її шматочок. На практиці, крім паралелограма, також промальовують овал або навіть хмарку. Мені з технічних причин зручніше зображати площину саме так і саме в такому положенні. Реальні площини, які ми розглянемо в практичних прикладах, можуть розташовуватися як завгодно – подумки візьміть креслення до рук і покрутіть його у просторі, додавши площині будь-який нахил, будь-який кут.

Позначення: площині прийнято позначати маленькими грецькими літерами , мабуть, щоб не плутати їх з прямий на площиніабо з прямий у просторі. Я звик використовувати букву. На кресленні саме буква "сигма", а зовсім не дірочка. Хоча, дірка площина, це, безумовно, дуже кумедно.

У ряді випадків для позначення площин зручно використовувати самі грецькі літери з нижніми підрядковими індексами, наприклад, .

Очевидно, що площина однозначно визначається трьома різними точками, що не лежать на одній прямій. Тому досить популярні трибуквенні позначення площин – за точками, що належать їм, наприклад, і т.д. Нерідко букви укладають у круглі дужки: щоб не переплутати площину з іншою геометричною фігурою.

Для досвідчених читачів наведу меню швидкого доступу:

Як скласти рівняння площини за точкою та двома векторами?
Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

і ми не будемо нудитися довгими очікуваннями:

Загальне рівняння площини

Загальне рівняння площини має вигляд , де коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю.

Ряд теоретичних викладок і практичних завдань справедливі як для звичного ортонормованого базису, так і для афінного базису простору (якщо олія - олійна, поверніться до уроку Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів). Для простоти будемо вважати, що всі події відбуваються в ортонормованому базисі та декартовій прямокутній системі координат.

А тепер трохи потренуємо просторову уяву. Нічого страшного, якщо у вас воно погане, зараз трохи розвинемо. Навіть для гри на нервах потрібні тренування.

У загальному випадку, коли числа не дорівнюють нулю, площина перетинає всі три координатні осі. Наприклад, так:

Ще раз повторюю, що площина нескінченно продовжується на всі боки, і у нас є можливість зобразити тільки її частину.

Розглянемо найпростіші рівняння площин:

Як розуміти це рівняння? Вдумайтеся: «зет» ЗАВЖДИ, за будь-яких значень «ікс» і «ігрок» дорівнює нулю. Це рівняння «рідної» координатної площини. Справді, формально рівняння можна переписати так: , звідки добре видно, що нам по барабану, які значення набувають «ікс» та «ігрок», важливо, що «зет» дорівнює нулю.

Аналогічно:
- Рівняння координатної площини;
- Рівняння координатної площини.

Трохи ускладнимо завдання, розглянемо площину (тут і далі в параграфі припускаємо, що числові коефіцієнти не дорівнюють нулю). Перепишемо рівняння як: . Як його розуміти? «Ікс» ЗАВЖДИ, за будь-яких значень «гравець» і «зет» дорівнює деякому числу . Ця площина паралельна координатній площині. Наприклад, площина паралельна площині проходить через точку .

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній площині;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній площині .

Додамо членів: . Рівняння можна переписати так: тобто «зет» може бути будь-яким. Що це означає? "Ікс" і "ігрок" пов'язані співвідношенням , яке прокреслює в площині деяку пряму (дізнаєтеся рівняння прямої на площині?). Оскільки "зет" може бути будь-яким, то ця пряма "тиражується" на будь-якій висоті. Таким чином, рівняння визначає площину, паралельну координатній осі

Аналогічно:
– рівняння площини, яка паралельна координатній осі;
- Рівняння площини, яка паралельна координатній осі .

Якщо вільні члени нульові, то площини безпосередньо проходитимуть через відповідні осі. Наприклад, класична "пряма пропорційність": . Накресліть у площині пряму і подумки розмножте її вгору і вниз (оскільки «зет» будь-яке). Висновок: площина, задана рівнянням, проходить через координатну вісь.

Завершуємо огляд: рівняння площини проходить через початок координат. Ну, тут очевидно, що точка задовольняє даному рівнянню.

І, нарешті, випадок, який зображений на кресленні: – площина дружить з усіма координатними осями, при цьому вона завжди відсікає трикутник, який може розташовуватися в будь-якому з восьми октантів.

Лінійні нерівності у просторі

Для розуміння інформації необхідно добре вивчити лінійні нерівності на площині, оскільки багато речей буду схожі. Параграф матиме короткий оглядовий характер із кількома прикладами, оскільки матеріал практично зустрічається досить рідко.

Якщо рівняння задає площину, то нерівності
задають напівпростору. Якщо нерівність несувора (два останніх у списку), то рішення нерівності крім напівпростору входить і сама площина.

Приклад 5

Знайти одиничний нормальний вектор площині .

Рішення: Одиничний вектор - це вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Позначимо цей вектор через . Цілком зрозуміло, що вектори колінеарні:

Спочатку з рівняння площині знімемо вектор нормалі: .

Як знайти одиничний вектор? Для того щоб знайти одиничний вектор, потрібно кожнукоординату вектора розділити на довжину вектора.

Перепишемо вектор нормалі у вигляді та знайдемо його довжину:

Відповідно до вищесказаного:

Відповідь:

Перевірка: , Що потрібно перевірити.

Читачі, які уважно вивчили останній параграф уроку, мабуть, помітили, що координати одиничного вектора – це точно напрямні косинуси вектора:

Відвернемося від розібраного завдання: коли вам дано довільний ненульовий вектор, і за умовою потрібно знайти його напрямні косинуси (див. останні завдання уроку Скалярний добуток векторів), то ви, по суті, знаходите і одиничний вектор, колінеарний даному. Фактично два завдання в одному флаконі.

Необхідність знайти одиничний вектор нормалі виникає у деяких завданнях математичного аналізу.

З вивуджування нормального вектора розібралися, тепер відповімо на протилежне питання:

Як скласти рівняння площини за точкою та вектором нормалі?

Цю жорстку конструкцію вектора нормалі та точки добре знає мету для гри в дартс. Будь ласка, витягніть руку вперед і подумки виберіть довільну точку простору, наприклад маленьку кішечку в серванті. Очевидно, що через цю точку можна провести єдину площину перпендикулярну вашій руці.

Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору виражається формулою:

Щоб отримати загальне рівняння площини, розберемо площину через задану точку.

Нехай у просторі є три вже відомі нам осі координат - Ox, Ойі Oz. Потримаємо аркуш паперу так, щоб він залишався пласким. Площиною буде сам лист та його продовження у всіх напрямках.

Нехай Pдовільна площина у просторі. Кожен перпендикулярний їй вектор називається вектором нормалі до цієї поверхні. Звичайно, йдеться про ненульовий вектор.

Якщо відома якась точка площини Pі якийсь вектор нормалі до неї, то цими двома умовами площину у просторі цілком визначено(через задану точку можна провести єдину площину перпендикулярну даному вектору). Загальне рівняння площини матиме вигляд:

Отже, умови, якими задається рівняння площини, є. Щоб отримати саме рівняння площини, що має наведений вище вигляд, візьмемо на площині Pдовільну точку M зі змінними координатами x, y, z. Ця точка належить площині лише у тому випадку, коли вектор перпендикулярний вектор(Рис. 1). Для цього, згідно з умовою перпендикулярності векторів, необхідно і достатньо, щоб скалярний добуток цих векторів дорівнював нулю, тобто

Вектор задано за умовою. Координати вектора знайдемо за формулою :

Тепер, використовуючи формулу скалярного твору векторів , Виразимо скалярне твір в координатній формі:

Бо точка M(x; y; z)обрана на площині довільно, то останньому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на площині P. Для точки N, що не лежить на заданій площині, тобто. рівність (1) порушується.

приклад 1.Скласти рівняння площини, яка проходить через точку та перпендикулярна вектору .

Рішення. Використовуємо формулу (1), ще раз подивимося на неї:

У цій формулі числа A , Bі Cкоординати вектора , а числа x0 , y0 і z0 - координати точки.

Обчислення дуже прості: підставляємо ці числа у формулу та отримуємо

Множимо все, що потрібно помножити і складаємо просто числа (які без літер). Результат:

Необхідне рівняння площини у цьому прикладі виявилося загальним рівнянням першого ступеня щодо змінних координат x, y, zдовільної точки площини.

Отже, рівняння виду

називається загальним рівнянням площини .

приклад 2.Побудувати у прямокутній декартовій системі координат площину, задану рівнянням .

Рішення. Для побудови площини необхідно і достатньо знати якісь три її точки, що не лежать на одній прямій, наприклад, точки перетину площини з осями координат.

Як знайти ці точки? Щоб знайти точку перетину з віссю Oz, потрібно в рівняння, дане за умови завдання, замість ікс і грека підставити нулі: x = y= 0. Тому отримуємо z= 6 . Таким чином, задана площина перетинає вісь Ozу точці A(0; 0; 6) .

Так само знаходимо точку перетину площини з віссю Ой. При x = z= 0 отримуємо y= −3 , тобто точку B(0; −3; 0) .

І, нарешті, знаходимо точку перетину нашої площини з віссю Ox. При y = z= 0 отримаємо x= 2 , тобто точку C(2; 0; 0) . За трьома отриманими в нашому рішенні точками A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) та C(2; 0; 0) будуємо задану площину.

Розглянемо тепер окремі випадки загального рівняння площини. Це випадки, коли ті чи інші коефіцієнти рівняння (2) перетворюються на нуль.

1. При D = 0 рівняння визначає площину, що проходить через початок координат, оскільки координати точки 0 (0; 0; 0) задовольняють цього рівняння.

2. При A = 0 рівняння визначає площину, паралельну осі Ox, оскільки вектор нормалі цієї площини перпендикулярний до осі. Ox(його проекція на вісь Oxдорівнює нулю). Аналогічно, при B = 0 площина паралельна осі Ой, а при C = 0 площина паралельна осі Oz.

3. При A = D = 0 рівняння визначає площину, що проходить через вісь Oxоскільки вона паралельна осі Ox (A =D = 0). Аналогічно, площина проходить через вісь Ой, а площина через вісь Oz.

4. При A = B = 0 рівняння визначає площину, паралельну координатній площині xOyоскільки вона паралельна осям Ox (A= 0) та Ой (B= 0). Аналогічно, площина паралельна площині yOz, а площина - площині xOz.

5. При A = B = D = 0 рівняння (або z = 0) визначає координатну площину xOyоскільки вона паралельна площині xOy (A = B = 0) і проходить через початок координат ( D = 0). Аналогічно, рівняння y = 0 у просторі визначає координатну площину xOz, а рівняння x = 0 - координатну площину yOz.

приклад 3.Скласти рівняння площини P, що проходить через вісь Ойі точку.

Рішення. Отже, площина проходить через вісь Ой. Тому в її рівнянні y= 0 і це рівняння має вигляд. Для визначення коефіцієнтів Aі Cскористаємося тим, що точка належить площині P .

Тому серед її координат є такі, які можна підставити в рівнянні площини, що ми вже вивели (). Дивимося ще раз на координати точки:

M0 (2; −4; 3) .

Серед них x = 2 , z= 3 . Підставляємо їх у рівняння загального виглядуі отримуємо рівняння для нашого окремого випадку:

2A + 3C = 0 .

Залишаємо 2 Aу лівій частині рівняння, переносимо 3 Cу праву частину та отримуємо

A = −1,5C .

Підставивши знайдене значення Aв рівняння, отримаємо

або .

Це і є рівняння, необхідне за умови прикладу.

Вирішити завдання на рівняння площини самостійно, а потім переглянути рішення

приклад 4.Визначити площину (або площини, якщо більше однієї) щодо координатних осейабо координатних площин, якщо площина задана рівнянням .

Вирішення типових завдань, які бувають на контрольні роботи- у посібнику "Завдання на площину: паралельність, перпендикулярність, перетин трьох площин в одній точці" .

Рівняння площини, що проходить через три точки

Як уже згадувалося, необхідною і достатньою умовою для побудови площини, крім однієї точки та вектора нормалі, є також три точки, що не лежать на одній прямій.

Нехай дані три різні точки , і , що не лежать на одній прямій. Так як зазначені три точки не лежать на одній прямій, вектори і не колінеарні, а тому будь-яка точка площини лежить в одній площині з точками , і тоді і тільки тоді, коли вектори , і компланарні, тобто. тоді і лише тоді, коли змішаний твір цих векторіводно нулю.