У цьому розділі ми займемося розглядом деяких додатків теорії функцій комплексного змінного до завдань плоскої гідродинаміки, електростатики та теорії пружності. Істотну роль при цих застосуваннях грає конформне перетворення, і ми почнемо справжню главу з докладнішого розгляду конформного перетворення. Основні властивості перетворення, що здійснюється регулярною функцією, були нами з'ясовані в і потім. Ми розглянули докладніше це перетворення як і тих точках, де похідна відмінна від нуля, і у тих точках, де вона дорівнює нулю. У точках першого роду кути залишаються без зміни, а щодо точок другого роду, то в цих точках кути збільшуються так, як це було зазначено в . Нехай
регулярна функція, що здійснює конформне перетворення області В область . Якщо ніде в нуль не звертається в області В, то область не має точок розгалуження, але може все ж таки бути багатолистою, тобто налягати сама на себе. Розглянемо в області деяку криву функцію задану на цій кривій, і криволінійний інтеграл
де елемент дуги кривої l. В результаті перетворення (1) крива l перейде в деяку криву що лежить в області і елемент дуги нової кривої виражатиметься добутком так як дає коефіцієнт зміни лінійних розмірів.
Вводячи функцію
зворотну (1), ми матимемо, очевидно, отже, можемо написати
Так що інтеграл в результаті перетворення виражатиметься у вигляді
Так само, враховуючи, що даватиме коефіцієнт зміни площі в заданому місці, ми матимемо наступну формулу перетворення подвійного інтеграла при конформному перетворенні:
і для елемента площі матиме місце така формула:
Якщо відокремити у формулі (1) речовинну та уявну частини,
то неважко бачити, що дорівнює функціональному визначнику від функцій змінних х і у. Справді, цей функціональний визначник виражається формулою
або, через рівняння Коші - Рімана, формулою
а це і є якраз квадрат модуля похідної
Розглянемо на площині два сімейства ліній виду
де довільні постійні. На площині їм відповідатимуть прямі паралельні координатним осям, і, отже, лінії (7) виходять із сітки прямих, паралельних осям, за допомогою перетворення (2). Звідси, між іншим, випливає безпосередньо, що лінії (7), що належать різним сімействам, взаємно ортогональні, крім тих точок, де дорівнює нулю. Навпаки, якщо ми візьмемо рівняння
і покладемо у правих частинах цих рівнянь або де довільні постійні, то отримаємо на площині сітку, що складається з двох сімейств взаємно ортогональних ліній.
Ця сітка виходить із сітки прямих, паралельних осям координат площини за допомогою перетворення, що здійснюється функцією (1). Ці дві сітки, які відіграватимуть надалі суттєву роль, називаються зазвичай ізотермічними сітками. З'ясуємо зміст цієї назви. Речовина (або уявна) регулярної функції повинна задовольняти рівняння Лапласа:
Але такому рівнянню задовольняє температура у разі встановленого потоку тепла причому ми вважаємо, що є плоский випадок, тобто температура і не залежить від однієї з координат.
При такому тлумаченні функції як температури при потоці тепла, лінії першого з сімейств (7) будуть лініями рівної температури, звідки і походить назва ізотермічна сітка. У цьому випадку лінії другого з сімейств (7), ортогональні до перших, будуть служити векторними лініями для векторів, які ми розглядали і називали векторами потоку тепла.
При перетворенні (1) дві лінії перейдуть у прямі паралельні осі і частина області, обмежена вищевказаними лініями, перейде в частину смуги, обмеженої вищевказаними прямими, паралельними осі .
Криволінійний чотирикутник, обмежений чотирма лініями ізотермічної сітки, перейде в результаті перетворення (1) на прямокутник, обмежений прямими, паралельними осям (рис. 26)
Зробимо ще одне додавання до загальних основ конформного перетворення, як переходити до прикладів. Ми бачили, що при перетворенні, що здійснюється регулярною функцією в тих точках, де похідна відмінна від нуля, кути зберігаються не тільки за величиною, а й у напрямку їхнього відліку. Іноді розглядають такі перетворення площини, у яких величини кутів зберігаються, а напрямок їхнього відліку перетворюється на протилежне.
Таке перетворення іноді називають конформним перетворенням другого роду. Як приклад вкажемо перетворення симетрії на речовинної осі, яке буде, очевидно, конформним перетворенням другого роду (рис. 27). Це перетворення можна записати у вигляді формули. Взагалі, якщо є регулярна функція в області, то формула
буде давати конформне перетворення другого роду, визначене в області симетричної з відносно речової осі. Дійсно, перехід від z до буде переводити в зі збереженням величин кутів, але зі зміною напряму їх відліку. Наступний потім перехід від до за формулою (8) вже не змінюватиме ні величин кутів, ні напрями їх відліків і, таким чином, в остаточному перетворенні від z до w ми матимемо конформне перетворення другого роду.
Розв'язанні прикладних завдань часто виникає необхідність перетворити задану область на область більш простого виду, причому так, щоб зберігалися кути між кривими. Перетворення, наділені такою властивістю, дозволяють успішно вирішувати завдання аеро- та гідродинаміки, теорії пружності, теорії полів різної природи та багато інших. Ми обмежимося перетвореннями плоских областей. Безперервне відображення го = / (г) плоскої області в область на площині називається конформним в точці, якщо в цій точці воно має властивості постійного розтягування і збереження кутів. Відкриті області і називаються конформноеквівапентними, якщо існує однозначне відображення однієї з цих областей на іншу, конформне в кожній точці. Теорема Рімана. Будь-які дві плоскі відкриті однозв'язні області, межі яких складаються з більш як однієї точки, конформно еквівалентні. Основною проблемою при вирішенні конкретних завдань є побудова по заданих плоских областях явного однозначного взаємно конформного відображення однієї з них на іншу. Один із способів вирішення цієї проблеми в плоскому випадку - залучення апарату теорії функцій комплексного змінного. Як уже зазначалося вище, однолистова аналітична функція з відмінною від нуля похідною здійснює конформне відображення своєї області завдання на її образ. При побудові конформних відображень дуже корисне таке правило. Принцип відповідності кордонів. Нехай в однозв'язковій ділянці Я) комплексної площини z, обмеженої контуром 7, задана однозначна аналітична функція w = f(z), безперервна в замиканні 9) і відображає контур 7 на деякий контур 7" комплексної п/юскості w. Якщо при цьому зберігається напрямки обходу контуру, то функція w - f(z) здійснює конформне відображення області комплексної площини z область З1 комплексної площини w, обмежену контуром 7" (рис. 1). Мета справжнього параграфа полягає в тому, щоб, використовуючи знайдені раніше області однолистості основних елементарних функцій комплексного змінного, навчитися будувати конформні відображення відкритих одно-зв'язкових плоских областей, що часто зустрічаються в додатках. 2). Для більш ефективного використання Рис.2 наведеної нижче таблиці корисні деякі найпростіші перетворення комплексної площини. Перетворення площини, здійснюють: 1. паралельне перенесення (зсув на задане комплексне число а) (рис. 3), Рис.3 2. поворот (на заданий кут 3. розтягнення (fc > 1) мул і стиснення (рис. 5).Тим самим перетворення виду 0 будь-яке коло можна зробити одиничним колом з центром в нулі (рис. 6). ), будь-яку напівплощину можна зробити верхньою напівплощиною, будь-який відрізок прямий можна перетворити у відрізок речової осі (рис. 14) 2. Зазначена область наведена в таблиці за № 22. Застосовуючи дробово-лінійне перетворення перетворимо цю область в площину з розрізом з променю розрізом по дійсному променю (0, +«>(Площина з розрізами по дійсних променях J -оо, 0] і (I, +оо[ Площина з розрізом по дійсному променю Площина з розрізом по відрізку (О, 1J № 21 1площина з розрізами) ю променів, що лежать ia прямий, що проходить через очало координат по дійсних променів ]-«ю, 0] і (1. Площина з розрізом по дійсному променю (0, +во(Площина з розрізом по дузі кола Ixl - 1, lm z > О Площина з розрізом по дузі кола III - I, Re z > Про Площина з розрізом по дійсному променю (0, Площина з розрізом no дузі кола Площина з розрізом по дійсному променю [С, + с [ № 25 Півплощина з розрізами Коло з розрізом по відрізку (1/2, 1J №30 Площина з розрізом по відрізку (-1, 5/4) Коло Izl з розрізами по відрізкам (-1 . -1/2] та (1/2, 1] № 31 Площина з розрізами по відрізах I -5/4, 5/4] Коло Ijl симетричними розрізами по уявній осі Коло lie з симетричними розрізами по справжній осі Зовнішність кола з розрізами одиничного кола I з розрізом по відрізку і 11, 2) №34 Площина з розрізом по відрізку [-1, 5/4] Площина з розрізом по відрізку I - 5/4, 3/4] w = e"^z Зовнішність одиничного кола Izl > 1 з розрізами по відрізках, що є продовженнями його діаметра Зовнішність одиничного кола Iwl > 1 з розрізами по відрізках, що лежать на дійсній осі Напівіруг з розрізами -г2 Nfc 36 Круг Iwl з розрізом по відрізку [-1/4, , з розрізом по відрізку (0, i/2) Півколо, з розрізом по відрізку (рис. 13).
(нижній півколо і верхня півплощина з викинутим півколом) переходять у верхню півплощину, а області (верхній півкруг і нижня півплощина з викинутим півколом) переходять у нижню півплощину.
7. - дрібно-лінійна функція. Її основні властивості наведені у теоретичній частині занять 7, 8.
Насправді часто зустрічаються області наступних типів, які треба відобразити конформно на верхню полуплоскость.
1. Області, межі яких мають дві кутові точки (рис. 14).
Використовуючи якусь дробно-лінійну функцію, відобразити
одну з кутових точок 0, а іншу в , після чого вийде кут з вершиною на початку координат. Далі здійснити поворот і застосувати статечну функцію.
2. Коло, зовнішність кола або півколо з розрізом (рис. 15).
Застосувати перетворення подоби та функцію Жуковського, після чого вийде площина або напівплощина з розрізами.
3. Області, обмежені колами (прямими) або дугами кіл, що мають точку торкання (рис. 16).
Використовуючи дробно-лінійну функцію, відобразити точку торкання в , після чого вийде смуга або напівсмуга. Далі застосувати показову функцію.
4. Області, межі яких мають три та більше кутових точок (рис.17).
Використовуючи статечну функцію, випрямити деякі з кутів.
Завдання
1. Знайти образ прямий під час відображення .
Рішення. Нехай тоді умови Re z = і рівності , тобто. рівності маємо х = , звідки, крім x і y, отримаємо . Отже, прямий Re z = буде парабола .
2. Знайти образи прямих під час відображення .
Рішення. Вважаючи , з рівності
знаходимо: . Приєднуючи до цих рівностей умову та виключаючи з отриманих рівностей х і у, отримаємо . Це рівняння описує логарифмічну спіраль при і промінь = 0.
3. Знайти образ верхньої напівплощини з розрізом по відрізку при відображенні.
Рішення.Функція відображає верхню полуплоскость, яку розглядають як кут , на кут , тобто. на площину з розрізом по дійсній позитивній півосі. З цієї області треба викинути образ відрізка при відображенні . Відрізок визначається умовами х = 0, . З цих умов і рівностей одержуваних з рівності, виключаючи х і у, отримаємо: . Значить, чином відрізка буде відрізок , а вихідної області буде площину з розрізом по променю .
4. Знайти якісь конформні відображення на верхню напівплощину Im z > 0 наступних областей:
в) площину з розрізом по променях і;
г) верхню напівплощину з розрізом по відрізку;
д) зовнішність одиничного кола з центром у точці 0 і з розрізом по променю;
е) верхню половину одиничного кола з розрізом по відрізку;
ж) сектор;
з) напівсмугу;
л) смугу з розрізом по променю.
Рішення.Послідовності відображень, за допомогою яких здійснюються конформні відображення заданих областей на верхню напівплощину, а також області, які отримуються при цих відображеннях, вказані на наступних малюнках.
Межі заданої області має дві кутові точки -1 і 1, які за допомогою функції z 1 відображаються відповідно і 0. Точка z = кутовий точкою кордону не є, так як на нескінченності промені і , що розглядаються як єдина частина прямої Im z = 0, кут не утворюють. Функція z 1 відображає задану область на кут величини з вершиною на початку координат, який за допомогою статечної функціївідображається на кут величини, тобто. на верхню напівплощину.
Так як при відображенні z 1 промені і в сукупності переходять в один промінь, то заданої області при відображенні z 1 буде вся площина з розрізом по променю, тобто. кут величини з вершиною на початку координат, який за допомогою функції відображається на верхню напівплощину.
Функція Жуковського z 1 відображає зовнішність одиничного кола на зовнішність відрізка, а розріз по променю на промінь. Тому вихідної області при відображенні z 1 буде зовнішність відрізка , звідки викидається ще промінь , тобто . буде площина з розрізом по променю.
Перетворення відображає одиничний верхній півколо на одиничний коло з розрізом по відрізку, а відрізок на відрізок, тому вихідної області при відображенні z 1 буде одиничний коло з розрізами по відрізках і . Отримана область відображається функцією Жуковського z 2 на площину з розрізом по променю, тому що при цьому відображенні одиничний коло переходить у зовнішність відрізка, відрізок на відрізок, а відрізок на промінь.
Кордон вихідної області має точку торкання z = 0, яка за допомогою функції відображається у . У цьому сама область перетворюється на смугу.
Для відображення напівсмуги, зображеної на площині z 3 на верхню напівплощину скористалися відповіддю прикладу з), де брали . Тоді.
При відображенні смуга перетворюється на кут , тобто. у площину з розрізом по променю, а розріз перетворюється на промінь, тому вихідна область перетворюється на площину з розрізами променями і . Далі користувалися відповіддю прикладу в).
5. Відобразити півколо на коло так, щоб .
Рішення.Спочатку знайдемо якесь конформне відображення заданого півкола на верхню напівплощину. Одне з таких відображень надається послідовністю конформних відображень, вказаних на наступних малюнках.
відображає задане півколо конформно на верхню півплощину. При цьому внутрішня точка перейде в точку , а гранична точка 2 в точку 1. Відобразимо тепер напівплощину на коло так, щоб точка перейшла в точку 0, а точка 1 в точку 1. Оскільки шукане відображення є дробово-лінійним, то при цьому згідно властивості симетрії дробово-лінійної функції точка, симетрична точці щодо межі півплощини, перейде в точку, симетричну точці 0 щодо межі кола. Отже, шукане відображення переводить точки , , 1 відповідно до точки 0, , 1. Воно перебуває з співвідношення
де. Ця функція відображає задане півколо на одиничне коло так, що .
