Гармонійна залежність. Коливання та хвилі. Гармонійний коливальний рух. Кінематика коливального руху

Змінюється у часі за синусоїдальним законом:

де х- Значення коливається в момент часу t, А- Амплітуда, ω - Кругова частота, φ - Початкова фаза коливань, ( φt + φ ) - повна фаза коливань. При цьому величини А, ω і φ - Постійні.

Для механічних коливань величиною, що коливається. хє, зокрема, зміщення і швидкість, для електричних коливань - напруга та сила струму.

Гармонічні коливання займають особливе місцесеред усіх видів коливань, тому що це єдиний тип коливань, форма яких не спотворюється при проходженні через будь-яке однорідне середовище, тобто хвилі, що поширюються від джерела гармонійних коливань, також будуть гармонійними. Будь-яке негармонійне коливання може бути представлене у вигляді сум (інтеграла) різних гармонійних коливань (у вигляді спектру гармонійних коливань).

Перетворення енергії за гармонійних коливань.

У процесі коливань відбувається перехід потенційної енергії W pу кінетичну W kі навпаки. У положенні максимального відхилення положення рівноваги потенційна енергія максимальна, кінетична дорівнює нулю. У міру повернення до положення рівноваги швидкість тіла, що коливається, зростає, а разом з нею зростає і кінетична енергія, досягаючи максимуму в положенні рівноваги. Потенційна енергія у своїй падає до нуля. Подальший рух відбувається зі зменшенням швидкості, яка падає до нуля, коли відхилення досягає свого другого максимуму. Потенційна енергія тут збільшується до свого початкового (максимального) значення (за відсутності тертя). Таким чином, коливання кінетичної та потенційної енергій відбуваються з подвоєною (порівняно з коливаннями самого маятника) частотою і знаходяться в протифазі (тобто між ними існує зсув фаз, рівний π ). Повна енергія коливань Wзалишається незмінною. Для тіла, що коливається під дією сили пружності, вона дорівнює:

де v m- максимальна швидкість тіла (у положенні рівноваги), х m = А- Амплітуда.

Через наявність тертя та опору середовища вільні коливання згасають: їхня енергія та амплітуда з часом зменшуються. Тому на практиці частіше використовують не вільні, а вимушені коливання.

Зміни будь-якої величини описують за допомогою законів синуса або косинуса, такі коливання називають гармонійними. Розглянемо контур, з конденсатора (який перед включенням у ланцюг зарядили) та котушки індуктивності (рис.1).

Малюнок 1.

Рівняння гармонійних коливань можна записати так:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

де $t$-час; $q$ заряд, $q_0$-- максимальне відхилення заряду від свого середнього (нульового) значення під час змін; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- фаза коливань; $ ( \ alpha )_0 $ - початкова фаза; $(\omega )_0$ - циклічна частота. За період фаза змінюється на $2\pi$.

Рівняння виду:

рівняння гармонійних коливань у диференціальному вигляді для коливального контуру, який не міститиме активного опору.

Будь-який вигляд періодичних коливаньможна точно представити як суму гармонійних коливань, так званого гармонійного ряду.

Для періоду коливань ланцюга, що складається з котушки та конденсатора, ми отримаємо формулу Томсона:

Якщо ми продиференціюємо вираз (1) за часом, то можемо отримати формулу функції $I(t)$:

Напруга на конденсаторі, можна знайти як:

З формул (5) і (6) випливає, що сила струму випереджає напругу на конденсаторі на $\frac(\pi )(2).

Гармонічні коливання можна як у вигляді рівнянь, функцій і векторними діаграмами.

Рівняння (1) представляє вільні незагасні коливання.

Рівняння загасаючих коливань

Зміна заряду ($q$) на обкладках конденсатора в контурі, при обліку опору (рис.2) описуватиметься диференціальним рівнянням виду:

Малюнок 2.

Якщо опір, що входить до складу контуру $R \

де $ \ omega = \ sqrt (\ frac (1) (LC) - \ frac (R ^ 2) (4 L ^ 2)) $ - циклічна частота коливань. $\beta =\frac(R)(2L)-$коефіцієнт згасання. Амплітуда загасаючих коливань виражається як:

У разі, якщо при $t=0$ заряд на конденсаторі дорівнює $q=q_0$, струму в ланцюга немає, то для $A_0$ можна записати:

Фаза коливань у початковий момент часу ($(\alpha )_0$) дорівнює:

При $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ зміна заряду не є коливаннями, розряд конденсатора називають аперіодичним.

Приклад 1

Завдання:Максимальне значення заряду дорівнює $q_0 = 10 \ Кл $. Він змінюється гармонійно із періодом $T= 5 c$. Визначте максимально можливу силу струму.

Рішення:

Як основу для вирішення задачі використовуємо:

Для знаходження сили струму вираз (1.1) необхідно продиференціювати за часом:

де максимальним (амплітудним значенням) сили струму є вираз:

З умов завдання нам відомо амплітудне значення заряду ($q_0=10\Кл$). Слід знайти власну частоту коливань. Її висловимо як:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

У такому разі шукана величина буде знайдена за допомогою рівнянь (1.3) та (1.2) як:

Оскільки всі величини в умовах задачі представлені в системі СІ, проведемо обчислення:

Відповідь:$ I_0 = 12,56 \ А. $

Приклад 2

Завдання:Який період коливань у контурі, який містить котушку індуктивності $L=1$Гн і конденсатор, якщо сила струму в контурі змінюється за законом: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t\ \left(A \right)?$ Яка ємність конденсатора?

Рішення:

З рівняння коливань сили струму, що наведено за умов завдання:

бачимо, що $(\omega )_0=20\pi $, отже, можемо обчислити період Коливань за такою формулою:

\ \

За формулою Томсона для контуру, який містить котушку індуктивності та конденсатор, ми маємо:

Обчислимо ємність:

Відповідь:$ T = 0,1 $ c, $ C = 2,5 \ cdot (10) ^ (-4) Ф. $

Коливання - повторюваний у тому чи іншою мірою у часі процес зміни станів системи біля точки рівноваги.

Гармонічне коливання - коливання, при яких фізична (або будь-яка інша) величина змінюється з часом за синусоїдальним або косинусоїдальним законом. Кінематичне рівняння гармонійних коливань має вигляд

де х - зміщення (відхилення) точки, що коливається від положення рівноваги в момент часу t; А - амплітуда коливань, це величина, що визначає максимальне відхилення точки, що коливається від положення рівноваги; ω - циклічна частота, величина, що показує кількість повних коливань, що відбуваються протягом 2π секунд - повна фаза коливань, 0 - початкова фаза коливань.

Амплітуда - максимальне значення усунення чи зміни змінної величини від середнього значення при коливальному чи хвильовому русі.

Амплітуда і початкова фаза коливань визначається початковими умовами руху, тобто. положенням та швидкістю матеріальної точки в момент t=0.

Узагальнене гармонійне коливання у диференціальному вигляді

амплітуда звукових хвиль і аудіосигналів зазвичай відноситься до амплітуди тиску повітря в хвилі, але іноді описується як амплітуда зміщення щодо рівноваги (повітря або діафрагми мовця)

Частота - фізична величина, характеристика періодичного процесу, що дорівнює кількості повних циклів процесу, скоєних за одиницю часу. Частота коливань у звукових хвилях визначається частотою коливань джерела. Коливання високої частоти згасають швидше за низькочастотні.

Розмір, зворотна частоті коливань називається періодом Т.

Період коливань-тривалість одного повного циклу коливань.

У системі координат з точки 0 проведемо вектор А, проекція якого на вісь ОХ дорівнює Аcosϕ. Якщо вектор А̅ буде рівномірно обертатися з кутовою швидкістю ω˳ проти годинникової стрілки, то ϕ=ω˳t +ϕ˳, де ϕ початкове значення ϕ(фази коливань), то амплітуда коливань є модуль вектора А̅, що рівномірно обертається, фаза коливань (ϕ )- кут між вектором А і віссю ОХ, початкова фаза(ϕ˳) -початкове значенняцього кута, кутова частота коливань(ω) – кутова швидкість обертання вектора А?.

2. Характеристики хвильових процесів: фронт хвилі, промінь, швидкість хвилі, довжина хвилі. Поздовжні та поперечні хвилі; приклади.

Поверхня, що розділяє в Наразічасу вже охоплене і ще не охоплене коливаннями середовище,називається фронт хвилі. У всіх точках такої поверхні після відходу фронту хвилі встановлюються коливання, однакові по фазі.

Промінь це перпендикуляр до фронту хвилі. Акустичні промені, подібно до світлових, прямолінійні в однорідному середовищі. Відбиваються і заломлюються межі розділу 2-х сред.

Довжина хвилі-відстань між двома найближчими один до одного точками, що коливаються в однакових фазах, зазвичай довжина хвилі позначається грецькою літерою. За аналогією з хвилями, що виникають у воді від кинутого каменю, довжиною хвилі є відстань між двома сусідніми гребенями хвилі. Однією з основних характеристик коливань. Вимірюється в одиницях відстані (метри, сантиметри тощо)

• поздовжніхвилі (хвилі стиснення, P-хвилі) - частки середовища коливаються паралельно(за) напрямом поширення хвилі (як, наприклад, у разі поширення звуку);
• поперечніхвилі (хвилі зсуву, S-хвилі) - частки середовища коливаються перпендикулярнонапрямку поширення хвилі ( електромагнітні хвилі, хвилі на поверхнях поділу середовищ);

Кутова частота коливань(ω) – кутова швидкість обертання вектора А̅(Ѵ), зміщення х точки, що коливається – проекція вектора А̅ на вісь ОХ.

Ѵ=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Ѵmsin(ω˳t+ϕ˳),деVm=Аω˳ ―максимальна швидкість (амплітуда швидкості)

3. Вільні та вимушені коливання. Власна частота коливань системи. Явище резонансу. Приклади .

Вільними (власними) коливаннями називають такі, що відбуваються без зовнішніх впливів за рахунок спочатку отриманої теплом енергії. Характерними моделями таких механічних коливань є матеріальна точка на пружині (пружинний маятник) та матеріальна точка на нерозтяжній нитці (математичний маятник).

У цих прикладах коливання виникають або за рахунок початкової енергії (відхилення матеріальної точки від положення рівноваги та руху без початкової швидкості), або за рахунок кінетичної (тілу повідомляється швидкість у початковому положенні рівноваги), або за рахунок і тієї та іншої енергії (повідомлення швидкості тілу , Відхилений від положення рівноваги).

Розглянемо пружинний маятник. У положенні рівноваги пружна сила F1

врівноважує силу тяжкості mg. Якщо відтягнути пружину на відстань x, то матеріальну точку діятиме велика пружна сила. Зміна значення пружної сили (F), згідно із законом Гука, пропорційно зміні довжини пружини або зміщенню точки x: F= - rx

Інший приклад. Математичний маятник відхилення від положення рівноваги га такий невеликий кут α щоб було вважати траєкторію руху матеріальної точки прямою лінією, що збігається з віссю OX. При цьому виконується наближена рівність: α sin α tg α x / L

Незагасні коливання. Розглянемо модель, у якій нехтують силою опору.
Амплітуда і початкова фаза коливань визначаються початковими умовами руху, тобто. положенням та швидкістю матеріальної точки момент t=0.
Серед різних видівКоливань гармонійне коливання є найпростішою формою.

Отже, матеріальна точка, підвішена на пружині чи нитки, здійснює гармонійні коливання, а то й враховувати сили опору.

Період коливань може бути знайдений із формули: T=1/v=2П/ω0

Загасні коливання. У реальному випадку на тіло, що вагається, діють сили опору (тертя), характер руху змінюється, і коливання стає загасаючим.

Стосовно одномірного руху останньої формули надамо такий вигляд: Fс = - r * dx / dt

Швидкість спадання амплітуди коливань визначається коефіцієнтом згасання: що сильніша гальмує дію середовища, то більше ß і тим швидше зменшується амплітуда. На практично, однак, ступінь загасання часто характеризуються логарифмічним декрементом загасання, розуміючи під ці величину, рівну натуральному логарифму відношення двох послідовних амплітуд, розділених інтервалом часу, рівним періоду коливань отже, коефіцієнт загасання і логарифмічний декремент загасання

При сильному згасанні формули видно, що період коливання є уявною величиною. Рух у разі вже буде періодичним і називається аперіодичним.

Вимушені коливання. Вимушеними коливаннями називаються коливання, що виникають у системі за участю зовнішньої сили, що змінюється за періодичним законом.

Припустимо, що на матеріальну точку, крім пружної сили та сили тертя, діє зовнішня сила, що змушує F=F0 cos ωt

Амплітуда вимушеного коливання прямо пропорційна амплітуді змушує сили і має складну залежність від коефіцієнта загасання середовища та кругових частот власного та вимушеного коливань. Якщо ? резонансної Саме явище – досягнення максимальної амплітуди вимушених коливань для заданих ω0 та ß – називають резонансом.

Резонансну кругову частоту можна знайти з умови мінімуму знаменника: ωрез=√ωₒ- 2ß

Механічний резонанс спалить як корисним, і шкідливим явищем. Шкідлива дія пов'язана головним чином із руйнування, яке він може викликати. Так, у техніці, враховуючи різні вібрації, необхідно передбачати можливе виникнення резонансних умов, інакше можуть бути руйнування та катастрофи. Тіла зазвичай мають кілька власних частот коливань і кілька резонансних частот.

Резонансні явища при вплив зовнішніх механічних коливань відбуваються у внутрішніх органах. У цьому, мабуть, одна з причин негативного впливу інфразвукових коливань та вібрацій на організм людини.

6.Звукові методи дослідження в медицині: перкусія, аускультація. Фонокардіографія.

Звук може бути джерелом інформації про стан внутрішніх органівлюдини, тому в медицині добре поширені такі методи вивчення стану пацієнта, як аускультація, перкусія та фонокардіографія

Аускультація

Для аускультації використовують стетоскоп або фонендоскоп. Фонендоскоп складається з порожнистої капсули з передає звук мембраною, що прикладається до тіла хворого, від неї йдуть гумові трубки до вуха лікаря. У капсулі виникає резонанс стовпа повітря, внаслідок чого посилюється звучання та покращується аускультація. При аускультації легень вислуховують дихальні шуми, різні хрипи, притаманні захворюванням. Також можна прослуховувати серце, кишечник та шлунок.

Перкусія

У цьому вся методі вислуховують звучання окремих частин тіла під час простукування їх. Представимо замкнуту порожнину всередині якогось тіла, заповнену повітрям. Якщо викликати в цьому тілі звукові коливання, то при певній частоті звуку повітря в порожнині почне резонувати, виділяючи та посилюючи тон, що відповідає розміру та положенню порожнини. Тіло людини можна представити як сукупність газонаповнених (легкі), рідких (внутрішні органи) та твердих (кістки) обсягів. При ударі поверхні тіла виникають коливання, частоти яких мають широкий діапазон. З цього діапазону одні коливання згаснуть досить швидко, інші ж, що збігаються з власними коливаннями порожнеч, посиляться і через резонанс будуть чутні.

Фонокардіографія

Застосовується для діагностики серцевої діяльності. Метод полягає у графічній реєстрації тонів та шумів серця та їх діагностичної інтерпретації. Фонокардіограф складається з мікрофона, підсилювача, системи частотних фільтрів та реєструючого пристрою.

9. Ультразвукові методи дослідження (УЗД) у медичній діагностиці.

1) Методи діагностики та дослідження

Відносять локаційні методи з використанням, головним чином, імпульсивного випромінювання. Це ехоенцефалографія – визначення пухлин та набряку головного мозку. Ультразвукова кардіографія - Вимір розмірів серця в динаміці; в офтальмології – ультразвукова локація визначення розмірів очних середовищ.

2)Методи впливу

Ультразвукова фізіотерапія – механічна та теплова дія на тканину.

11. Ударна хвиля. Отримання та використання ударних хвиль у медицині.
Ударна хвиля - Поверхня розриву, яка рухається щодо газу і при перетині якої тиск, щільність, температура і швидкість відчувають стрибок.
При великих обуреннях (вибух, надзвуковий рух тіл, потужний електричний розряд і т.п.) швидкість часток середовища, що коливаються, може стати порівнянною зі швидкістю звуку , виникає ударна хвиля.

Ударна хвиля може мати значну енергію, так, при ядерний вибухна утворення ударної хвилі в навколишньому середовищівитрачається близько 50% енергії вибуху. Тому ударна хвиля, досягаючи біологічних та технічних об'єктів, здатна заподіяти смерть, каліцтва та руйнування.

У медичній техніці використовуються ударні хвилі, що є надзвичайно коротким, потужним імпульсом тиску з високими амплітудами тиску і малою компонентою розтягування. Вони генеруються поза тілом пацієнта і передаються вглиб тіла, роблячи терапевтичний ефект, передбачений спеціалізацією моделі обладнання: дроблення сечових каменів, лікування больових зон та наслідків травм опорно-рухового апарату, стимуляцію відновлення серцевого м'яза після інфаркту міокарда, розгладжування целюлітних утворень тощо.

>> Гармонічні коливання

§ 22 Гармонічні коливання

Знаючи, як пов'язані між собою прискорення і координата тіла, що коливається, можна на основі математичного аналізу знайти залежність координати від часу.

Прискорення – друга похідна координати за часом. Миттєва швидкістьточки, як вам відомо з курсу математики , є похідною координати точки за часом. Прискорення точки - це похідна її за часом, або друга похідна координати за часом. Тому рівняння (3.4) можна записати так:

де х " - Друга похідна координати за часом. Відповідно до рівняння (3.11) при вільних коливаннях координата х змінюється з часом так, що друга похідна координати за часом прямо пропорційна самій координаті і протилежна їй за знаком.

З курсу математики відомо, що похідні синуса і косинуса за їх аргументом пропорційні самим функцій, взятим з протилежним знаком. У математичний аналіздоводиться, що жодні інші функції такою властивістю не мають. Все це дозволяє з повною підставою стверджувати, що координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється з часом за законом синусу або пасинусу. На малюнку 3.6 показано зміну координати точки з часом за законом косинуса.

p align="justify"> Періодичні зміни фізичної величини в залежності від часу, що відбуваються за законом синуса або косинуса, називаються гармонійними коливаннями.

Амплітуда коливань.Амплітудою гармонійних коливань називається модуль найбільшого усунення тіла від положення рівноваги.

Амплітуда може мати різні значенняв залежності від того, наскільки ми зміщуємо тіло від положення рівноваги в початковий момент часу або від того, яка швидкість повідомляється тілу. Амплітуда визначається початковими умовами, а точніше енергією, що повідомляється тілу. Але максимальні значення модуля синуса та модуля косинуса дорівнюють одиниці. Тому рішення рівняння (3.11) не може виражатися просто синусом чи косинусом. Воно повинне мати вигляд твору амплітуди коливань х m на синус чи косинус.

Розв'язання рівняння, що описує вільні коливання.Запишемо рішення рівняння (3.11) у такому вигляді:

а друга похідна дорівнюватиме:

Ми здобули рівняння (3.11). Отже, функція (3.12) є рішенням вихідного рівняння (3.11). Вирішенням цього рівняння буде також функція

Графік залежності координати тіла від часу згідно (3.14) є косинусоїдою (див. рис. 3.6).

Період та частота гармонійних коливань. При коливаннях руху тіла періодично повторюються. Проміжок часу Т, протягом якого система здійснює один повний цикл коливань, називається періодом коливань.

Знаючи період, можна визначити частоту коливань, тобто число коливань в одиницю часу, наприклад, за секунду. Якщо одне коливання відбувається за час Т, то кількість коливань за секунду

У Міжнародній системіодиниць (СІ) частота коливань дорівнює одиниці, якщо за секунду відбувається одне коливання. Одиниця частоти називається герцем (скорочено: Гц) на честь німецького фізика Г. Герца.

Число коливань за 2 с дорівнює:

Величина – циклічна, або кругова, частота коливань. Якщо в рівнянні (3.14) час t дорівнює одному періоду, то T = 2. Таким чином, якщо в момент часу t = 0 х = х m, то і в момент часу t = Т х = х m, тобто через Проміжок часу, що дорівнює одному періоду, коливання повторюються.

Частоту вільних коливань визначають своєю частотою коливальної системи 1 .

Залежність частоти та періоду вільних коливань від властивостей системи.Власна частота коливань тіла, прикріпленого до пружини, відповідно до рівняння (3.13) дорівнює:

Вона тим більша, чим більша жорсткість пружини k, і тим менша, чим більша маса тіла m. Це легко зрозуміти: жорстка пружина повідомляє тілу більше прискорення, швидше змінює швидкість тіла. А чим тіло масивніше, тим повільніше воно змінює швидкість під впливом сили. Період коливань дорівнює:

Маючи в своєму розпорядженні набором пружин різної жорсткості і тілами різної маси, неважко переконатися на досвіді, що формули (3.13) і (3.18) правильно описують характер залежності і від k і m.

Чудово, що період коливань тіла на пружині та період коливань маятника при малих кутах відхилення не залежать від амплітуди коливань.

Модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням t і зміщенням х в рівнянні (3.10), що описує коливання маятника, являє собою, як і в рівнянні (3.11), квадрат циклічної частоти. Отже, власна частота коливань математичного маятникапри малих кутах відхилення нитки від вертикалі залежить від довжини маятника та прискорення вільного падіння:

Ця формула була вперше отримана та перевірена на досвіді голландським ученим Г. Гюйгенсом – сучасником І. Ньютона. Вона справедлива лише малих кутів відхилення нитки.

1 Часто надалі для стислості ми називатимемо циклічну частоту просто частотою. Відрізнити циклічну частоту від звичайної частоти можна за позначеннями.

Період коливань зростає зі збільшенням довжини маятника. Від маси маятника не залежить. Це легко перевірити на досвіді з різними маятниками. Залежність періоду коливань від прискорення вільного падіння можна також виявити. Чим менше g, тим більше період коливань маятника і, отже, тим повільніше йде годинник з маятником. Так, годинник з маятником у вигляді вантажу на стрижні відстане за добу майже на 3 с, якщо його підняти з підвалу на верхній поверх Московського університету (висота 200 м). І це лише за рахунок зменшення прискорення вільного падіння із висотою.

Залежність періоду коливань маятника значення g використовується практично. Вимірюючи період коливань, можна точно визначити g. Прискорення вільного падіння змінюється з географічною широтою. Але й цій широті воно скрізь однаково. Адже густина земної кори не всюди однакова. У районах, де залягають щільні породи, прискорення g дещо більше. Це враховують під час пошуку корисних копалин.

Так, залізна руда має підвищену щільність у порівнянні зі звичайними породами. Проведені під керівництвом академіка А. А. Михайлова вимірювання прискорення вільного падіння під Курськом дозволили уточнити місця залягання. залізняку. Спочатку вони були виявлені за допомогою магнітних вимірів.

Властивості механічних коливань використовуються у пристроях більшості електронних ваг. Тіло, що зважується, кладуть на платформу, під якою встановлена ​​жорстка пружина. В результаті виникають механічні коливання частота яких вимірюється відповідним датчиком. Мікропроцесор, пов'язаний з цим датчиком, переводить частоту коливань в масу тіла, що зважується, так як ця частота залежить від маси.

Отримані формули (3.18) та (3.20) для періоду коливань свідчать про те, що період гармонійних коливань залежить від параметрів системи (жорсткості пружини, довжини нитки тощо).

Мякішев Г. Я., Фізика. 11 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні / Г. Я. Мякішев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругін; за ред. В. І. Ніколаєва, Н. А. Парфентьєвої. - 17-те вид., перероб. та дод. – М.: Просвітництво, 2008. – 399 с: іл.

Повний перелік тем за класами, календарний план згідно шкільної програми з фізики онлайн, відеоматеріал з фізики для 11 класу

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки

1.18. ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Визначення гармонійних коливань. Характеристики гармонійних коливань: усунення положення рівноваги, амплітуда коливань, фаза коливання, частота і період коливань. Швидкість і прискорення точки, що коливається. Енергія гармонійного осцилятора. Приклади гармонійних осциляторів: математичний, пружинний, крутильний та фізичний ський маятники.

Акустика, радіотехніка, оптика та інші розділи науки та техніки базуються на вченні про коливання та хвилі. Велику роль грає теорія коливань у механіці, особливо у розрахунках на міцність літальних апаратів, мостів, окремих видів машин і вузлів.

Коливання є процесами, що повторюються через однакові проміжки часу (при цьому далеко не всі процеси, що повторюються, є коливаннями!). Залежно від фізичної природи процесу, що повторюється, розрізняють коливання механічні, електромагнітні, електромеханічні і т.п. При механічних коливаннях періодично змінюються положення та координати тіл.

Повертаюча сила - Сила, під дією якої відбувається коливальний процес. Ця сила прагне тіло чи матеріальну точку, відхилену від стану спокою, повернути у вихідне становище.

Залежно від характеру впливу на тіло, що вагається, розрізняють вільні (або власні) коливання і вимушені коливання.

Залежно від характеру впливу на систему, що коливається, розрізняють вільні коливання, вимушені, автоколивання і параметричні коливання.

Вільними (Власними) коливаннями називаються такі коливання, які у системі, наданої самої собі після того, як їй було повідомлено поштовх, чи було виведено зі становища рівноваги, тобто. коли на тіло, що коливається, діє тільки повертаюча сила. Прикладом можуть служити коливання кульки, підвішеної на нитці. Для того, щоб викликати коливання, треба або штовхнути кульку, або, відвівши убік, відпустити її. У тому випадку, якщо не відбувається розсіювання енергії, вільні коливання незатухають. Проте, реальні коливальні процеси загасають, т.к. на тіло, що вагається, діють сили опору руху (в основному сили тертя).

· Вимушеними називаються такі коливання, в процесі яких система, що коливається, піддається впливу зовнішньої періодично змінюється сили (наприклад, коливання моста, що виникають при проходженні по ньому людей, що крокують в ногу). У багатьох випадках системи роблять коливання, які вважатимуться гармонійними.

· Автоколивання , як і вимушені коливання, супроводжуються впливом на систему, що коливається зовнішніх сил, однак, моменти часу, коли здійснюються ці впливи, задаються системою, що вагається. Тобто система сама управляє зовнішнім впливом. Прикладом автоколивальної системи є годинник, в якому маятник отримує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі або закрученої пружини, причому ці поштовхи відбуваються в моменти проходження маятника через середнє положення.

· Параметричні коливання здійснюються при періодичній зміні параметрів системи, що коливається (качається на гойдалках людина періодично піднімає і опускає свій центр тяжіння, тим самим змінюючи параметри системи). За певних умов система стає нестійкою - випадкове відхилення з положення рівноваги призводить до виникнення і наростання коливань. Це називається параметричним порушенням коливань (тобто. коливання порушуються з допомогою зміни параметрів системи), а самі коливання – параметрическими.

Попри різну фізичну природу, для коливань характерні одні й самі закономірності, які досліджуються загальними методами. Важливою кінематичною характеристикою форма коливань. Вона визначається видом тієї функції часу, яка визначає зміну тієї чи іншої фізичної величини при коливаннях. Найбільш важливими є такі коливання, при яких величина, що коливається, змінюється з часом за законом синуса чи косинуса . Вони називаються гармонійними .

Гармонічними коливанняминазиваються коливання, при яких фізична величина, що коливається, змінюється за законом синуса (або косинуса).

Цей вид коливань особливо важливий з таких причин. По-перше, коливання в природі та в техніці часто мають характер дуже близьких до гармонійних. По-друге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути представлені як накладення, або суперпозиція, гармонійних коливань.

Рівняння гармонійного осцилятора

Гармонічне коливання описується періодичним законом:

Мал. 18.1. Гармонічне коливання

З

десь
- характеризує зміна будь-якої фізичної величини при коливаннях (зсув положення маятника з положення рівноваги; напруга на конденсаторі в коливальному контурі і т.д.), A - амплітуда коливань ,
- фаза коливань , - початкова фаза ,
- циклічна частота ; величину
називають також власною частотою коливань. Така назва підкреслює, що ця частота визначається параметрами коливальної системи. Система, закон руху якої має вигляд (18.1), називається одновимірним гармонічним осцилятором . Крім перерахованих величин для характеристики коливань вводять поняття періоду , тобто. часу одного вагання.

(Періодом коливань T називається найменший проміжок часу, після якого повторюються стану коливається системи (здійснюється одне повне коливання) і фаза коливання отримує збільшення 2p).

і частоти
, Що визначає кількість коливань в одиницю часу За одиницю частоти приймається частота такого коливання, період якого дорівнює 1 с. Цю одиницю називають герцем (Гц ).

Частотою коливаньn називається величина обернена до періоду коливань - число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу.

Амплітуда- максимальне значення усунення чи зміни змінної величини при коливальному чи хвильовому русі.

Фаза коливань- аргумент періодичної функції або описує гармонійний коливальний процес (ω-кутова частота, t- Час, - Початкова фаза коливань, тобто фаза коливань у початковий момент часу t = 0).

Перша і друга похідні за часом від величини, що гармонічно коливається, також здійснюють гармонічні коливання тієї ж частоти:

У разі за основу взято рівняння гармонійних коливань, записане за законом косинуса. При цьому перше з рівнянь (18.2) описує закон, за яким змінюється швидкість коливається матеріальної точки (тіла), друге рівняння описує закон, за яким змінюється прискорення точки, що коливається (тіла).

Амплітуди
і
рівні відповідно
і
. Коливання
випереджає
по фазі на; а коливання
випереджає
на . Значення Aі можуть бути визначені із заданих початкових умов
і
:

,
. (18.3)

Енергія коливань осцилятора

П

Мал. 18.2. Пружинний маятник

оглянемо тепер, що відбуватиметься з енергією коливань . Як приклад гармонійних коливань розглянемо одномірні коливання, які здійснюють тіло маси m під дією пружною сили
(наприклад, пружинний маятник, див. рис. 18.2). Сили іншої природи, ніж пружні, але у яких виконується умова F = -kx, називаються квазіпружними.Під дією цих сил тіла також здійснюють гармонійні коливання. Нехай:

усунення:
швидкість:
прискорення:

Тобто. рівняння таких коливань має вигляд (18.1) із власною частотою
. Квазіпружна сила є консервативної . Тому повна енергія таких гармонійних коливань має залишатися постійною. У процесі коливань відбувається перетворення кінетичної енергії E доу потенційну E пі навпаки, причому у моменти найбільшого відхилення від положення рівноваги повна енергія дорівнює максимальному значенню потенційної енергії, а при проходженні системи через положення рівноваги повна енергія дорівнює максимальному значенню кінетичної енергії. З'ясуємо, як змінюється згодом кінетична та потенційна енергія:

Кінетична енергія:

Потенціальна енергія:

(18.5)

З огляду на те, що тобто. , Останній вираз можна записати у вигляді:

Таким чином, повна енергія гармонійного коливання виявляється постійною. Зі співвідношень (18.4) і (18.5) також випливає, що середні значення кінетичної та потенційної енергії дорівнюють один одному і половині повної енергії, оскільки середні значення
і
за період дорівнюють 0,5. Використовуючи тригонометричні формули, можна отримати, що кінетична та потенційна енергія змінюються із частотою
, тобто. з частотою вдвічі перевищує частоту гармонійного коливання.

Як приклади гармонійного осцилятора можуть бути пружинний, фізичний, математичний маятники і крутильні маятники.

1. Пружинний маятник- це вантаж масою m, який підвішений на абсолютно пружній пружині та здійснює гармонічні коливання під дією пружної сили F = -kx, де k - жорсткість пружини. З формули (18.8) випливає, що пружинний маятник здійснює гармонічні коливання за законом х = Асоs(ω 0 t+φ) з циклічною частотою

(18.9) та періодом

(18.10) Формула (18.10) правильна для пружних коливань у межах, у яких виконується закон Гука, т. е. якщо маса пружини мала проти масою тіла. Потенційна енергія пружинного маятника, використовуючи (18.9) та формулу потенційної енергії попереднього розділу, дорівнює (див.18.5)

2. Фізичний маятник- це тверде тіло, яке здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо нерухомої горизонтальної осі, яка проходить через точку О, яка не збігається з центром мас тіла (рис. 1).

Рис.18.3 Фізичний маятник

Якщо маятник з положення рівноваги відхилили на деякий кут α, то, використовуючи рівняння динаміки обертального руху твердого тіла, момент M сили, що повертає (18.11) де J - момент інерції маятника щодо осі, яка проходить через точку підвісу О, l - відстань між віссю і центром мас маятника, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα - повертаюча сила (знак мінус вказує на те, що напрямки F τ і α завжди протилежні; малі кути). Рівняння (18.11) запишемо як

Або Приймаючи (18.12) отримаємо рівняння

Ідентичне з (18.8), рішення якого знайдемо та запишемо як:

(18.13) З формули (18.13) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою 0 і періодом

(18.14) де введено величину L=J/(m l) - . Точка О" на продовженні прямої ОС, яка віддалена від точки Про підвісу маятника на відстані наведеної довжини L, називається центром коливаньфізичного маятника (рис. 18.3). Застосовуючи теорему Штейнера на момент інерції осі, знайдемо

Т. е. ГО" завжди більше ОС. Точка підвісу Про маятника і центр хитань О" мають властивість взаємозамінності: якщо точку підвісу перенести в центр коливань, то колишня точка Про підвіс буде новим центром коливань, і при цьому не зміниться період коливань фізичного маятника.

3. Математичний маятник- це ідеалізована система, що складається з матеріальної точки масою m, яка підвішена на нерозтяжній невагомій нитці, яка коливається під дією сили тяжіння. Хороше наближення математичного маятника є невелика важка кулька, яка підвішена на довгій тонкій нитці. Момент інерції математичного маятника

(8) де l- Довжина маятника.

Оскільки математичний маятник є окремим випадком фізичного маятника, якщо припустити, що вся його маса зосереджена в одній точці - центрі мас, то, підставивши (8) в (7), знайдемо вираз для періоду малих коливань математичного маятника (18.15) Зіставляючи формули (18.13) ) та (18.15), бачимо, що якщо наведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині lматематичного маятника, то періоди коливань цих маятників однакові. Значить, наведена довжина фізичного маятника- Це довжина такого математичного маятника, у якого період коливань збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Для математичного маятника (матеріальної точки масою m, підвішеною на невагомій нерозтяжній нитці завдовжки lу полі сили тяжіння з прискоренням вільного падіння рівним g) при малих кутах відхилення (що не перевищують 5-10 кутових градусів) від положення рівноваги власна частота коливань:
.

4. Тіло, підвішене на пружній нитці або іншому пружному елементі, що здійснює коливання в горизонтальній площині, є крутильний маятник.

Ця механічна коливальна система, яка використовує сили пружних деформацій. На рис. 18.4 показаний кутовий аналог лінійного гармонійного осцилятора, що здійснює крутильні коливання. Горизонтально розташований диск висить на пружній нитці, що закріплена в його центрі мас. При повороті диска на кут θ з'являється момент сил Mупругої деформації кручення:

де I = IC- момент інерції диска щодо осі, що проходить через центр мас, - кутове прискорення.

За аналогією із вантажем на пружині можна отримати.