Презентація «Визначення подібних трикутників» охоплює етап введення нового поняття на уроці геометрії у 8 класі – подоби трикутників. Після уточнення поняття пропорційності відрізків, основі якого будується поняття подоби, учні переходять до розгляду досить складного їм матеріалу - подоби. За допомогою презентації вчитель під час пояснення формує чітке уявлення учнів про предмет, що вивчається - подобу трикутників, продовжує формувати навички використання математичної мови, формує навички застосування вивченого поняття для вирішення практичних завдань.
слайди 1-2 (Тема презентації "Визначення подібних трикутників", прикладs)
Для пояснення якості подібності трикутників у презентації використовуються такі інструменти:
- виділення червоним кольором основних понять;
- анімоване побудова графічної частини для уточнення визначення, наочності при поясненні матеріалу;
- висновок у рамку основних виразів алгебри по темі;
- використання малюнків розуміння практичного сенсу досліджуваного поняття.
Така демонстрація дозволяє поглибити розуміння матеріалу, полегшити його запам'ятовування.
Починається презентація з демонстрації предметів, на контурах яких будуються такі геометричні фігури. Як приклади наводяться футбольний та гандбольний м'ячі, візерунчасті тарілки різних розмірів. Праворуч від предметів зображуються контури фігур, які подібні між собою - великий і маленький квадрат, велике і маленьке коло.
слайди 3-4 (визначення подібних трикутників)
Така демонстрація, що вводить учня до вивчення даного поняття через практичне застосування, дуже ефективна і допомагає вирішити одну з важливих цілей уроку - закріпити уявлення учня про предмет, що вивчається.
На наступному слайді поняття подібності розкладається на складові за допомогою двох збудованих трикутників АВС та А1В1С1. Використовуючи анімацію, поступово відповідні кути відзначаються як рівні. Відповідні кути позначаються однаково - А і А1 одним півколом, і В1 - двома, С і С1 - трьома. При тому, що ці трикутники мають рівні кути, їх відповідні сторони називають подібними. Даний вираз надалі необхідно вживати під час вирішення геометричних завдань, тому вираз виділено зеленим кольором, означаючи необхідність запам'ятати його та вживати надалі.
слайд 5 (сайт)
Тепер можна сформулювати визначення подоби трикутників за відповідної рівності кутів і пропорційності подібних сторін. Далі демонструється запис алгебри умов подібності трикутників - рівність кутів і пропорційність всіх трьох сторін. Умова пропорційності сторін укладено у рамку для запам'ятовування. Результат відношення кожної пари - те саме число. Воно позначається і визначається як коефіцієнт подібності трикутників.
За підсумками вивченого поняття слід вивчення наступних тем курсу геометрії - відносини площ подібних трикутників, ознаки подоби трикутників.
Дана презентація «Визначення подібних трикутників» може бути рекомендована не лише як демонстраційний матеріал на уроці геометрії, що супроводжує пояснення вчителя. Вона може допомогти учневі в самостійному вивченні матеріалу, а також пояснити поняття подібності на уроці при дистанційному навчанні.
ПОДІБНІ ТРИКУТНИКИ
МБОУ Гімназія №14
Вчитель математики: О.Д. Лазарєва
Пропорційні відрізки
Відношеннямвідрізків AB та CD називається відношення їх довжин, тобто.
Відрізки AB та CD пропорційнівідрізкам A 1 B 1 і C 1 D 1 якщо
Визначення таких трикутників
Два трикутники називаються подібними,якщо їх кути відповідно дорівнюють і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого.
Число k , що дорівнює відношенню подібних сторін трикутників, називається коефіцієнтом подібності
B 1
A 1
C 1
Відношення площ подібних трикутників
Відношенням площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подоби
Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника.
B 1
A 1
C 1
I
Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні
ABC, A 1 B 1 C 1 ,
A = A 1 , B = B 1
Довести:
ABC A 1 B 1 C 1
B 1
A 1
C 1
Ознаки подоби трикутників
II ознака подоби трикутників
Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути, укладені між цими сторонами, рівні, такі трикутники подібні
ABC, A 1 B 1 C 1 ,
Довести:
ABC A 1 B 1 C 1
B 1
A 1
C 1
Ознаки подоби трикутників
III ознака подоби трикутників
Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, такі трикутники подібні
ABC, A 1 B 1 C 1 ,
Довести:
ABC A 1 B 1 C 1
B 1
A 1
C 1
Середня лінія трикутника
Середньою лінією трикутника називається відрізок, що з'єднує середини двох сторін
Середня лінія трикутника
паралельна до однієї з його сторін
і дорівнює половині цієї сторони
ABC, MN – середня лінія
Довести:
MN AC, MN = AC
Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну медіану щодо 2:1, вважаючи від вершини
A 1
C 1
B 1
Застосування подібності до розв'язання задач
Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібні прямокутні трикутники, кожен з яких подібний до цього трикутника.
ABC ACD,
Застосування подібності до доказу теорем
1.Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнє пропорційне між відрізками, на які ділиться гіпотенуза цією висотою
Застосування подібності до доказу теорем
2. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою, проведеною з вершини прямого кута.
1.1. Пропорційні відрізки Визначення таких трикутників 1.2. Визначення таких трикутників 1.3. Відношення площ подібних трикутників Властивості подоби.
1.1 Пропорційні відрізки. Відношенням відрізків AB і CD називається відношення їх довжин, тобто. Говорять, що відрізки AB і CD пропорційні відрізкам A 1 B 1 і C 1 D 1, якщо ПРИКЛАД 1. Відрізки AB і CD, довжини яких дорівнюють 2 см і 1см, пропорційні відрізкам A 1 B 1 і C 1 D 1, відрізки яких дорівнюють 3см і 1,5см. Справді,
1.2. Визначення таких трикутників. У повсякденному житті зустрічаються предмети однакової форми, але різних розмірів, наприклад футбольний та тенісний м'ячі, кругла тарілка та велика кругла страва. У геометрії постаті однакової форми прийнято називати подібними. Так, подібними є будь-які два квадрати, будь-які два кола. Введемо поняття подібних трикутників.
1.2. Визначення таких трикутників. ПОДІБНІСТЬ, геометричне поняття, що характеризує наявність однакової форми у геометричних фігур, незалежно від їх розмірів. Дві фігури F1 і F2 називаються подібними, якщо між їх точками можна встановити взаємно однозначну відповідність, при якому відношення відстаней між будь-якими парами відповідних точок фігур F1 і F2 дорівнює одній і тій же постійній k, що називається коефіцієнтом подібності. Кути між відповідними лініями подібних постатей рівні. Подібні фігури F1 та F2.
Визначення. Два трикутники називаються подібними, якщо їх кути відповідно дорівнюють і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого трикутника. Іншими словами, два трикутники подібні, якщо їх можна позначити літерами ABC і A 1 B 1 C 1 так, що A = A 1, B = B 1, C = C 1, Число k, що дорівнює відношенню подібних сторін трикутників, називається коефіцієнтом подібності .
1.3. Відношення площ таких трикутників. Теорема. Відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності. Доведення. Нехай трикутники ABC та A1B1C1 подібні і коефіцієнт подібності дорівнює k. Позначимо літерами S та S1 площі цих трикутників. Так як A = A1, то
Властивості подоби. Завдання 2. Доведіть, що бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника Розв'язання. Нехай AD – бісектриса трикутника ABC. Доведемо, що трикутники ABD та ACD мають загальну висоту AH, тому 12 A H B D C
Доказ: По теоремі про суму кутів: С = А - В, а С 1 = А 1 - В 1, означає С = С 1. Так як А = А 1 і С = С 1, то і Від цього слідує: Виходить, що подібні сторони пропорційні. Дано: АВС і А 1 В 1 С 1 А = А 1 В = В 1 Довести: АВС А 1 В 1 С 1 А С В А1А1 В1В1 С1С1
АВС 2 А 1 В 1 З 1 (за першою ознакою), означає, з іншого боку, з цих рівностей виходить АС = = АС 2. АВС = АВС 2 - по двох сторонах і куті між ними (АВ-загальна сторона, АС = АС 2 і,т.к.і).Значить і, то АВС А1В1С1 Дано: АВС і А 1 В 1 С 1 Д-ть: Доказ: Розглянемо АВС 2, у якого і
Доказ: А 1 В 1 - середня лінія, і А 1 В 1 / / АВ, тому і означає АОВ А 1 ОВ 1 (по двох кутах), але АВ = А 1 В 1, тому АТ = 2А 1 О і ВО =2В 1 О. Значить точка О-перетин медіан АА 1 і ВВ 1 ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Аналогічно доводиться, що точка Про – перетин медіан ВР 1 і СС 1 ділить кожну їх щодо 2:1, рахуючи від вершини. Отже точка О – перетину медіан АА 1, ВВ 1 і СС 1 ділить їх щодо 2:1, рахуючи від вершини.
Слайд 2
Трохи про себе
Привіт всім мене звуть Алеся мені 15 років навчаюсь у №11 школі у 8 «Г» класі. Я займаюся у клубі самодіяльної пісні. Мій клуб називається КСП «Натхнення». Люблю робити проекти. Один з яких ви бачите зараз.
Слайд 3
Цілі проекту
Зробити все можливе для хлопців, щоб вони зрозуміли де використовувалися подібні трикутники в давнину і для чого вони потрібні
Слайд 4
Мотиваційний матеріал
Я вважаю подібні трикутники потрібні для визначення відстані до недоступної нам точки та висоти предмета
Слайд 5
Використання у житті.
Ну я думаю що подібні трикутники стали б у нагоді для визначення відстані до недоступної точки і в будівництві будівлі.
Слайд 6
Тема
Подібні трикутники
Слайд 7
Визначення таких трикутників
Слайд 8
Пропорційні відрізки. Визначення подібних трикутників Відношення площ подібних трикутників Перша ознака подібності трикутників (Доказ) Друга ознака подібності трикутників (Доказ) Третя ознака подібності трикутників (Доказ) Практичний додаток
Слайд 9
Продовження
Основні відомості Вимірювальні роботи на території Визначення висоти предмета Визначення відстані до недоступної точки Визначення відстані побудовою подібних трикутників (1) (2) (5) (4) (3)
Слайд 10
Пропорційні відрізки
Відношенням відрізків АВ і СD називається відношення їх довжин тобто АВ/СD. Кажуть що відрізки АВ і CD пропорційні відрізкам A1 B1 і C1 D1, якщо AB/А1В1 = CD/C1D1. Поняття пропорційності вводиться і для великої кількостівідрізків
Слайд 11
Визначення таких трикутників.
Два трикутники називаються подібними, Якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого
Слайд 12
Відношення площ подібних трикутників
Теорема Відношення площ двох подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності
Слайд 13
Доведення.
Нехай трикутники АВС і А1В1С1 подібні, причому коефіцієнт подібності дорівнює r. Позначимо літерами S та S1 площі цих трикутників. Оскільки кут А=кутаА1, то S/S1=AB*AC/A1B1*A1C1(за теоремою про відношення площ відношення подібності трикутників, що мають по рівному куту). За формулами(2) маємо: АВ/А1В1=R, АС/А1С1=R, тому S/S=R 2
Слайд 14
Перша ознака подоби трикутників
Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники дорівнюють АВС
Слайд 15
Друга ознака подібності трикутників
Якщо дві сторони іншого трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника і кути, укладені між цими сторонами, рівні, такі трикутники подібні.
Слайд 16
Третя ознака подоби трикутників
Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, такі трикутники подібні. А В С
Слайд 17
Доказ.(1)
Дано:АВС і А1В1С1-два трикутники, у яких кут А = кут А1, кут В = кут В1 Доведемо, що трикутник АВС трикутник А!В1С1
Слайд 18
Доведення.
По теоремі про суму кутів трикутника кут С=180градусів-кут А-кут В, кут С=180градусів-кутА – кут В, і, отже, кут С= кут С. Таким чином, кути трикутника АВС відповідно дорівнюють кутам трикутника АВС 1 1 1 1 1 1 1
Слайд 19
Доведемо, що сторони трикутника АВС пропорційні подібним сторонам трикутника А В С. Так як кут А = куті А і кут С = куті С, то S авс / Sa в c = АВ * АС / А В * АС S авс / Sa в с = СА*СВ/С А *С В. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Слайд 20
З цих рівностей випливає, що АВ/АВ = ВС/ВС Аналогічно використовуючи рівності кут А= куті А Кут В = куті В,отримуємо,ВС/ВС = СА/С А. Отже сторони трикутника АВС пропорційні подібним сторонам трикутника А У Теорема доведена. 1 1 1 1 1 1 1 1
Слайд 21
Доказ (2)
Дано: два трикутники АВС і АВС, у яких АВ/АВ = АС/АС, кут А = кут А Довести що трикутник АВС трикутнику АВС. Для цього, враховуючи першу ознаку подібності трикутників, достатньо довести, що кут В = кутку В 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Слайд 22
Розглянемо трикутник АВС, у якого кут1=кут А, кут2 = кут В.Трикутники АВС АВС подібні за першою ознакою подібності трикутників, тому АВ/АВ = АС /АС. З іншого боку, за умовою АВ/АВ = АС /А С.З цих двох рівностей отримуємо АС=АС. 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2
Слайд 23
Трикутники АВС і АВС рівні по двох сторонах між ними (АВ - загальна сторона, АС = АС і кут А = куту 1, оскільки кут А = куті А і кут 1 = куті А). Звідси випливає, що кут В = куті 2, а так як кут 2 = куті В, то кут В = куті В. Теорема доведена. 2 2 1 1 1 1
Слайд 24
Доказ (3)
Дано: сторони трикутників АВС та АВС пропорційні. Доведемо, що трикутник АВС трикутнику АВС 1 1 1
Слайд 25
Доведення
Для цього, враховуючи другу ознаку подібності трикутників, достатньо довести, що кут А = кут А. Розглянемо трикутник АВС, у якого кут 1 = кут А, кут 2 = кут В. Трикутники АВС і АВС подібні за першою ознакою подоби трикутників, тому АВ / АВ = ВС / ВС = СА / СА.
Слайд 26
Порівнюючи ці рівності з рівностями (1) отримуємо: ВС = ВС, СА = СА. Трикутники АВС і АВС рівні по трьох сторонах. Звідси випливає, що кут А = куті 1, а як кут1 = куті А, то кут А = куті А. Теорема доведена. 2 2 2 1 1
Слайд 27
Практичні програми подоби трикутників
При розв'язанні багатьох завдань на побудову трикутників застосовують так званий метод подібності. Він полягає в тому, що спочатку на підставі деяких даних стоять трикутник, подібний до шуканого, а потім, використовуючи інші дані, будують шуканий трикутник
Слайд 28
Завдання №1
Побудувати трикутник за цими двома кутами і бісектрисом при вершині третього кута
Слайд 29
Рішення
Спочатку побудуємо якийсь трикутник, подібний до шуканого. Для цього накреслимо довільний відрізок АВ і постоїмо трикутник АВ, у якого кути А і В відповідно дорівнюють даним кутам.
Слайд 30
Продовження
Далі побудуємо бісектрису кута З і відкладемо у ньому відрізок СD ,рівні даному відрізку. Через точку D проведемо пряму, паралельну А В. Вона перетинає сторони кута С у деяких точках А і В.
Слайд 31
Справді, оскільки АВ паралельна АВ, то кут А = куті А, кут В = куті В, і, отже, два кути трикутника АВС відповідно дорівнюють даним кутам. По побудові бісектриса CD трикутника АВС дорівнює даному відрізку. Отже, трикутник АВС задовольняє всі умови завдання.
Слайд 32
Основні відомості(1)
1.Трикутник АВС подібний до трикутника АВС тоді і тільки тоді, коли виконано одну з наступних еквівалентних умов. 1 1 1
Слайд 33
Умови
А) АВ: ВС: СА = АВ: ВС: СА; В)АВ:ВС=А В:ВС і кут АВС= куті АВС; В) кут АВС = куті АВС і кут ВАС = куті ВАС.
Слайд 34
Основні відомості(2)
2) якщо паралельні прямі відсікають від кута з вершиною А трикутники АВ С і АВ С, то ці трикутники подібні до АВ:АВ = АС: АС (точки В і В лежать на одній стороні кута, С і С – на іншій). 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
Слайд 35
Основні відомості(3)
3) середньою лінією трикутника називають відрізок, що з'єднує середини бічних сторін. Цей відрізок паралельний третій стороні і дорівнює половині її довжини. Середньою лінією трапеції називають відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції. Цей відрізок паралельний основам і дорівнює напівсумі їх довжин
Слайд 36
Основні відомості (4)
4) відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності, тобто квадрату відношення довжин відповідних сторін. Це випливає, наприклад, із формули Sавс=0,5*АВ*АСsinА.
Слайд 37
Основна інформація (5)
Багатокутники А А … А і В В … називають подібними, якщо А А: А А: …: А А = В В: В В: … В В і кути при вершинах А …, А. Рівні відповідно кутам при вершинах А, ….,А рівні Відношення відповідних діагоналей подібних багатокутників дорівнює коефіцієнту подібності; для описаних подібних багатокутників відношення радіусів вписаних кіл також дорівнює коефіцієнту подібності 1 2 n 1 2 n 1 2 2 3 n 1 1 2 2 3 n 1 1 n 1 n
Слайд 38
Вимірювальні роботи на території
Властивості таких трикутників можуть бути використані для проведення різних вимірювальних робіт на території. Ми розглянемо дві задачі: визначення висоти предмета біля і відстань до недоступної точки.
Слайд 39
Завдання №1
Визначення висоти предмета
Слайд 40
Продовження
Припустимо що нам потрібно визначити висоту якогось предмета, наприклад висоту телеграфного стовпа АС, для цього поставимо на деякій відстані від стовпа жердину АС з обертовою планкою і направимо планку на верхню точку А стовпа. А перетинається з поверхнею землі. 1 1 1 1
Слайд 41
Прямокутні трикутникиА С В і АСВ подібні за першою ознакою трикутників (кут С = кут С = 90 градусів, кут В – загальний). З подібності трикутників випливає АС /АС= ВС /ВС, звідки АС =АС*ВС /ВС вимірявши відстань ВС і ВС і знаючи довжину АС жердини за отриманою формулою визначаємо висоту АС телеграфного стовпа 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Слайд 42
Завдання (2)
Визначення відстані до недоступної точки
Слайд 43
Продовження
Припустимо, що нам потрібно знайти відстань від пункту А до недоступного пункту В. Для цього на місцевості вибираємо точку С, провішуємо відрізок АС та вимірюємо його. Потім за допомогою астролябію вимірюємо кути А і С. На аркуші паперу будуємо якийсь трикутник АВС, у якого кут А = куті А, кут С = куті С,івимірюємо довжини сторін АВ і АС цього трикутника. 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Слайд 44
Оскільки трикутник АВС і АВС подібні (за першою ознакою подібності трикутників), то АВ/АВ = АСАС, звідки отримуємо АВ=АС*АВ/АС. Ця формула дозволяє за відомими відстанями АС, АС і А, знайти відстань АВ. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Слайд 45
Для спрощення обчислень зручно побудувати трикутник АВС таким чином, щобАС: АС = 1:1000. наприклад, якщо АС=130м, то відстань АС візьмемо рівним 130мм. У цьому випадку АВ = АС/АС * А В = 1000 * АВ, тому, вимірявши відстань АВ у міліметрах, ми відразу отримуємо відстань АВ в метрах 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Слайд 46
приклад
Нехай АС = 130м, кут А = 73 градусів, кут С = 58 градусів. тому шукана відстань рано153м. 1 1 1 1 1
Слайд 47
Визначення відстань побудовою подібних трикутників
При визначенні відстані до віддалених або недоступних предметів можна використовувати наступний прийом. На звичайний сірник треба нанести чорнилом або олівцем двоміліметрові поділки. Також потрібно знати зразкову висоту предмета, до якого визначається відстань. Так зростання людини дорівнює 1,7-1,8 м, колесо автомобіля 0,5 м, вершник-2,2 м, телеграфічний стовп-6 м, одноповерховий будинок без даху -2,5-4 м.
Слайд 48
Продовження
Допустимо, треба визначити відстань до стовпа. Направляємо нею сірник на витягнутої руці, довжина якої приблизно дорівнює 60 див.припустимо, висота стовпа виглядає рівною двом поділам сірника, тобто. 4мм. Маючи такі дані складемо пропорцію: 0.6/х = 0.004/6.0; х = (0,6 * 6) / 0004 = 900. Таким чином до стовпа 900м.
Переглянути всі слайди
