Идея графического метода решения уравнения проста. Нужно построить графики функций, содержащихся в обеих частях уравнения и найти абсциссы точек пересечения. Но строить графики некоторых функций сложно. Не всегда есть необходимость прибегать к построению графиков Такие уравнения можно решать методом подбора корня, используя свойства монотонности и ограниченности функций. Это позволяет довольно быстро решать задания, предлагаемые при сдаче ЕГЭ.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Муниципальное общеобразовательное учреждение
« Гимназия № 24»
Функционально – графический метод
Решения уравнений.
Подготовила учитель
Данилина Ольга Сергеевна.
Магадан 2007
« Функционально – графический метод решения уравнений»
Цель урока: сформировать умения решать уравнения определенного типа функционально – графическим методом, с использованием свойств ограниченности и монотонности функций
Структура урока:
Вступительное слово учителя, ознакомление с темой урока, постановка цели
Актуализация ранее полученных знаний, необходимых для освоения темы урока
Презентация ведущими, заключающая в себе изложение нового материала с образцами решения различных типов уравнений
Работа по группам, с целью первичного закрепления изученного
Проведения игры по образцу игры: «Что? Где? Когда?»
Подведение итогов урока.
- Во вступительном слове учитель делится своим опытом знакомства с новым методом. говорит о необходимости его освоения, его значимости, о возможности приобретения навыков более рационального решения равнений
- Актуализация знаний:: возрастание и убывание функций, примеры, свойства монотонности и ограниченности функций.
- Презентация новой темы с использованием слайдов с изложении ем теоретического материала с образцами решений уравнений.(см. приложение).
- Работа по группам: Каждой группе раздаются карточки с заданиями, образцы решения и оформления заданий. Ведущие урок ученики – консультанты контролируют ход выполнения заданий, при необходимости приходят на помощь. При своей работе, работающие в группах могут использовать компьютеры, которые настроены на специальную программу, позволяющую выстраивать графики функций, Благодаря этому, в затруднительных ситуациях компьютер можно использовать как средство подсказки или как возможность наглядно продемонстрировать верность выполненного решения и правильность выбранного метода.
- Защита представителем группы выполненных заданий, с использованием мультимедийной доски, на которой демонстрируется решение уравнений графическим методом в подтверждении верности выполненного задания. РА
- Проведение игры. Для каждой группы с экрана мониторов звучит вопрос, заранее записанный разными учителями школы, дается минута на обсуждение по истечении которой ребята должны дать свой обоснованный ответ. После этого с вновь включенного экрана вариант своего ответа представляет учитель, ранее задававший вопрос Таким многократным повторением рассуждений по вновь изученной теме, тем более произносимыми грамотно различными людьми, достигаются наиболее выгодные условия для усвоения новой темы.(см. прилож.)
- Подведение итогов: Выявление лучшей «пятерки знатоков, лучшего игрока.
Вопросы к классу;
Чему вы научились на сегодняшнем уроке
Какие уравнения можно решать методом подбора
Какие свойства функций при этом используются.
Вопросы к участникам игры:
Уважаемые знатоки, за одну минуту найдите корень этого уравнения и докажите, что он единственный.
Ответ: Сумма двух возрастающих функций, есть возрастающая функция. у =- монотонно возрастает, следовательно уравнение имеет один корень, т.к. график этой функции пересекается с прямой у=3 один раз. При х=1, мы получим верное равенство. Ответ: х=1
Уважаемые знатоки, через одну минуту назовите функции, которые содержатся в обеих частях неравенства и найдите корень данного уравнения.
Ответ:у =- показательная функция, возрастающая на множестве действительных чисел. у=6 - х - линейная функция, она монотонно убывает на множестве действительных чисел. Значит графики функций пересекаются в одной точке, уравнение имеет один корень. При х=2, получим верное равенство. Ответ: х=2
3. Уважаемые знатоки, вы ухе знаете, что уравнение имеет единственный корень х=3. Через одну минуту, ответьте, при каких значениях х, выполняется неравенство.
Ответ: неравенство выполняется при х Є , т.к. на данном интервале график функции у=, расположен ниже графика функции у =
4. Уважаемые знатоки, у многих вызывает затруднения решение уравнение. За одну минуту найдите корень этого уравнения и докажите, что он единственный.
Ответ: корень уравнения х=-3 является единственным, т.к.в левой части уравнения содержится убывающая функция, а в правой возрастающая, значит графики функций пересекаются в одной точке и уравнение имеет единственный корень.
5. Уважаемые знатоки, у меня к вам непростой вопрос. Вы легко найдете корень уравнения. Докажите, что он единственный. Ответ:х=1 – единственный корень.
Функционально – графический метод решения уравнений.
________________________________________________________________________
Цель урока: Научиться решать уравнения методом подстановки, используя свойства монотонности и ограниченности функций.
_________________________________________________________________________
Справочный материал
- Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если на этом множестве при увеличении (уменьшении) аргумента значение функции увеличивается (уменьшается).
Пример 1:
- являются возрастающими функциями
Пример 2:
являются убывающими функциями
Справочный материал
2. Сумма двух возрастающих функций, есть возрастающая функция.
Пример:
3. Сумма двух убывающих функций, есть убывающая функция.
Урок и презентация на тему:
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Ребята, нам осталось рассмотреть еще один метод решения уравнений – функционально-графический. Суть метода проста, и мы с вами им уже пользовались.
Пусть нам дано уравнение вида $f(x)=g(x)$. Мы строим два графика $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на одной координатной плоскости и отмечаем точки, в которых наши графики пересекаются. Абсцисса точки пересечения (координата по х) - это и есть решение нашего уравнения.
Так как метод называется функционально-графическим, то не всегда нужно строить графики функций. Можно пользоваться и свойствами функций. Например, вы видите явное решение уравнения в какой-то точке: если одна из функций строго возрастает, а другая строго убывает, то это и будет единственное решение уравнения. Свойства монотонности функций часто помогают при решении различных уравнений.
Вспомним еще один метод: если на промежутке Х, наибольшее значение любой из функций $y=f(x)$, $y=g(x)$ равно А, а соответственно наименьшее значение другой функции также равно А, то уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно системе: $\begin {cases} f(x)=A, \\ g(x)=A. \end {cases}$
Пример.
Решить уравнение: $\sqrt{x+1}=|x-1|$.
Решение.
Построим графики функций, на одной координатной плоскости: $y=\sqrt{x}+1$ и $y=|x-1|$.
Как видно из рисунка наши графики пересекаются в двух точках с координатами: А(0;1) и B(4;3). Решением исходного уравнения будут абсциссы этих точек.
Ответ: $х=0$ и $х=4$.
Пример.
Решить уравнение: $x^7+3x-134=0$.
Решение.
Перейдем к равносильному уравнению: $x^7=134-3x$.
Можно заметить, что $х=2$ является решением данного уравнения. Давайте докажем, что это единственный корень.
Функция $y=x^7$ – возрастает на всей области определения.
Функция $y=134-3x$ – убывает на всей области определения.
Тогда графики этих функций либо вообще не пересекаются, либо пересекаются в одной точке, это точку мы уже нашли $х=2.$
Ответ: $х=2$.
Пример.
Решить уравнение: $\frac{8}{x}=\sqrt{x}$.
Решение.
Данное уравнение можно решить двумя способами.
1. Опять же заметим, что $х=4$ – корень уравнения. На отрезке $, отрезки, интервалы и полуинтервалы.
Пример 1. Решить уравнение
(18)
Решение. Очевидно, что х0 не может являться решением уравнения (18), так как тогда 
. Для х>0 функция 
непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f=x и https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34"> принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х=1 является решением уравнения (18), следовательно, это его единственное решение.
Ответ: х=1.
Пример 2. Решить неравенство
. (19)
Решение. Каждая из функций , , непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция 
. Легко видеть, что при х=0 функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х>0 имеем 
, при х<0 имеем . Следовательно, решениями неравенства (19) являются все х<0.
Ответ: -∞ Пример 3.
Решить уравнение Решение. Область допустимых значений уравнения (20) есть промежуток . На области допустимых значений функции Ответ: х=2. Пример 4.
Решить неравенство Решение..gif" width="253 height=27" height="27"> является непрерывной и строго возрастающей. Так как f(1)=4, то все значения х из множества возрастает на промежутке . Так как на промежутке ..gif" width="95" height="25 src="> представлены на рисунке 7. Из рисунка следует, что для всех х из ОДЗ неравенство (26) справедливо. Докажем это. Для каждого имеем , а для каждого такого х имеем, что https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> имеем Пример 2.
Решить уравнение Решение..gif" width="123" height="24"> и Ответ: решений нет. Пример 3.
Решить уравнение Решение..gif" width="95" height="25 src="> представлены на рисунке 9. Легко проверяется, что точка (-1; -2) является точкой пересечения графиков функций f(x) и g(x), то есть х=-1 есть решение уравнения (28). Проведем прямую у=х-1. Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций у=f(x) и у=g(x). Это наблюдение и помогает доказать, что других решений уравнение (28) не имеет. Для этого докажем, что х из промежутка (-1; +∞) справедливы неравенства и , а для х из промежутка (-∞; -1) справедливы неравенства https://pandia.ru/text/78/500/images/image229_1.gif" width="89" height="21 src=">. Очевидно, что неравенство справедливо для х>-1, а неравенство https://pandia.ru/text/78/500/images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Решениями этого неравенства являются все х<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1. Следовательно, требуемое утверждение доказано, и уравнение (28) имеет единственный корень х=-1. Ответ: х=-1. Пример 4.
Решить неравенство Решение..gif" width="39" height="19 src=">, то есть ОДЗ состоит из трех промежутков , , https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width="52" height="41">, равносильно неравенству а в области х>0 оно равносильно неравенству Эскизы графиков функций Поэтому неравенство (31) не имеет решений, а неравенство (30) будет иметь решениями все х из промежутка . Докажем это. А) Пусть . Неравенство (29) равносильно на этом промежутке неравенству (30). Легко видеть, что для каждого х из этого интервала справедливы неравенства Следовательно, неравенство (30), а вместе с ним и исходное неравенство (29) не имеют решений на интервале . Б) Пусть . Тогда неравенство (29) также равносильно неравенству (30). Для каждого х из этого интервала Следовательно, любое такое х является решением неравенства (30), а поэтому и исходного неравенства (29). В) Пусть х>0. На этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству (31). Очевидно, что для любого х из этого множества справедливы неравенства Отсюда следует: 1) неравенство (31) не имеет решений на том множестве, где 2)
неравенство (31) не имеет решений на том множестве, где https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. Остается найти решения неравенства (31), принадлежащие интервалу 1
(20)
и 
непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция . Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Так как h(2)=2, то х=2 является единственным корнем исходного уравнения.
. Следовательно, решениями неравенства (26) будут все х из промежутка [-1;1].
. (27)
представлены на рисунке 8. Проведем прямую у=2. Из рисунка следует, что график функции f(x) лежит не ниже этой прямой, а график функции g(x) не выше. При этом эти графики касаются прямой у=2 в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем , а . При этом f(x)=2 только для х=-1, а g(x)=2 только для х=0. Это означает, что уравнение (27) не имеет решений.
. (28)
.
(29)
, (30)
. (31)
и приведены на рисунке 10..gif" width="56" height="45"> и .
,
.
,
,
, то есть неравенство (31) не имеет решений на множестве ;
