ضد مشتق سینوس ایکس. روشهای ادغام توابع مثلثاتی انتگرال حاصل ضرب چند جمله ای و سینوس یا کسینوس

فرمول های مثلثاتی پایه و جایگزین های اساسی ارائه شده است. روش های یکپارچه سازی مشخص شده است توابع مثلثاتی- ادغام توابع منطقی، محصول توابع قدرتاز sin x و cos x، حاصل ضرب چند جمله ای، نمایی و سینوس یا کسینوس، ادغام توابع مثلثاتی معکوس. روش های غیر استاندارد تحت تأثیر قرار می گیرند.

محتوا

روش های استاندارد برای ادغام توابع مثلثاتی

رویکرد کلی

ابتدا، در صورت لزوم، انتگرال باید طوری تبدیل شود که توابع مثلثاتی به یک آرگومان منفرد، که همان متغیر انتگرال است، بستگی داشته باشند.

به عنوان مثال، اگر انتگرال بستگی به گناه (x+a)و cos(x+b)، سپس باید تبدیل را انجام دهید:
cos (x+b) = cos (x+a - (a-b)) = cos (x+a) cos (b-a) + گناه (x+a) گناه (b-a).
سپس جایگزین z = x+a را بسازید. در نتیجه، توابع مثلثاتی فقط به متغیر ادغام z بستگی دارند.

هنگامی که توابع مثلثاتی به یک آرگومان منطبق با متغیر انتگرال گیری بستگی دارند (مثلاً z است)، یعنی انتگرال فقط از توابعی مانند گناه z, cos z, tg z, ctg z، سپس باید یک جایگزین انجام دهید
.
چنین جایگزینی منجر به ادغام توابع منطقی یا غیرمنطقی (در صورت وجود ریشه) می شود و به فرد اجازه می دهد تا انتگرال را در صورت ادغام در توابع ابتدایی محاسبه کند.

با این حال، اغلب می‌توانید روش‌های دیگری را پیدا کنید که به شما امکان می‌دهد انتگرال را به روشی کوتاه‌تر، بر اساس ویژگی‌های انتگرال، ارزیابی کنید. در زیر خلاصه ای از اصلی ترین روش ها آورده شده است.

روش‌های ادغام توابع منطقی sin x و cos x

توابع گویا از گناه xو cos xتوابعی هستند که از گناه x, cos xو هر ثابتی که از عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و افزایش به یک توان صحیح استفاده می کند. آنها به شرح زیر تعیین می شوند: R (sin x, cos x). این ممکن است شامل مماس ها و کوتانژانت ها نیز باشد، زیرا آنها از تقسیم سینوس بر کسینوس و بالعکس تشکیل می شوند.
انتگرال توابع گویا به شکل زیر است:
.

روشهای ادغام توابع مثلثاتی گویا به شرح زیر است.
1) جایگزینی همیشه به انتگرال یک کسر گویا می انجامد. با این حال، در برخی موارد، جایگزین هایی (این موارد در زیر ارائه شده است) وجود دارد که منجر به محاسبات کوتاه تری می شود.
2) اگر R (sin x, cos x) cos x → - cos x گناه x.
3) اگر R (sin x, cos x)ضرب در -1 هنگام جایگزینی گناه x → - گناه x، سپس جایگزینی t = cos x.
4) اگر R (sin x, cos x)مانند تعویض همزمان تغییر نمی کند cos x → - cos x، و گناه x → - گناه x، سپس جایگزینی t = tg xیا t = ctg x.

مثال ها:
, , .

حاصل ضرب توابع توان cos x و sin x

انتگرال های فرم

انتگرال توابع مثلثاتی گویا هستند. بنابراین، روش های ذکر شده در بخش قبل را می توان برای آنها اعمال کرد. روش‌های مبتنی بر ویژگی‌های این انتگرال‌ها در زیر مورد بحث قرار می‌گیرند.

اگر m و n اعداد گویا باشند، یکی از جانشینی ها t = گناه xیا t = cos xانتگرال به انتگرال دو جمله ای دیفرانسیل کاهش می یابد.

اگر m و n اعداد صحیح باشند، ادغام با استفاده از فرمول های کاهش انجام می شود:

;
;
;
.

مثال:
.

انتگرال حاصل ضرب چند جمله ای و سینوس یا کسینوس

انتگرال های فرم:
, ,
که در آن P(x) یک چند جمله ای در x است، توسط قطعات یکپارچه می شوند. این فرمول های زیر را به دست می دهد:

;
.

مثال ها:
, .

انتگرال حاصل ضرب چند جمله ای، نمایی و سینوس یا کسینوس

انتگرال های فرم:
, ,
که در آن P(x) یک چند جمله ای در x است که با استفاده از فرمول اویلر ادغام شده است
e iax = تبر cos + تبر isin(جایی که من 2 = - 1 ).
برای انجام این کار، با استفاده از روشی که در پاراگراف قبل ذکر شد، انتگرال را محاسبه کنید
.
با جداسازی قسمت های واقعی و خیالی از نتیجه، انتگرال های اصلی به دست می آیند.

مثال:
.

روش های غیر استاندارد برای یکپارچه سازی توابع مثلثاتی

در زیر تعدادی از روش های غیر استاندارد وجود دارد که به شما امکان می دهد ادغام توابع مثلثاتی را انجام دهید یا ساده کنید.

وابستگی به (a sin x + b cos x)

اگر انتگرال فقط به a بستگی دارد sin x + b cos x، سپس استفاده از فرمول مفید است:
,
جایی که .

مثلا

تفکیک کسرها از سینوس و کسینوس به کسرهای ساده تر

انتگرال را در نظر بگیرید
.
ساده ترین روش ادغام، تجزیه کسر به کسرهای ساده تر با استفاده از تبدیل است:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

ادغام کسرهای درجه اول

هنگام محاسبه انتگرال
,
جدا کردن قسمت صحیح کسر و مشتق مخرج راحت است
آ 1 گناه x + b 1 cos x =آ (a sin x + b cos x) +ب (a sin x + b cos x)" .
ثابت های A و B با مقایسه سمت چپ و راست به دست می آیند.

منابع:
N.M. گانتر، R.O. کوزمین، مجموعه مسائل در ریاضیات بالاتر، "لان"، 2003.

همچنین ببینید:

برای ادغام توابع گویا به شکل R(sin x، cos x)، از یک جایگزین استفاده می شود که به آن جانشینی مثلثاتی جهانی می گویند. سپس . جایگزینی مثلثاتی جهانی اغلب منجر به محاسبات بزرگ می شود. بنابراین، در صورت امکان، از جایگزین های زیر استفاده کنید.

ادغام توابع به طور منطقی به توابع مثلثاتی وابسته است

1. انتگرالهای شکل ∫ sin n xdx، ∫ cos n xdx، n> 0
الف) اگر n فرد باشد، باید یک توان sinx (یا cosx) را زیر علامت دیفرانسیل وارد کرد و از توان زوج باقیمانده باید به تابع مقابل منتقل شود.
ب) اگر n زوج باشد، از فرمول هایی برای کاهش درجه استفاده می کنیم
2. انتگرالهای شکل ∫ tg n xdx، ∫ ctg n xdx، که در آن n یک عدد صحیح است.
باید از فرمول ها استفاده کرد

3. انتگرال های شکل ∫ sin n x cos m x dx
الف) فرض کنید m و n دارای برابری های مختلف باشند. اگر n فرد باشد از جایگزینی t=sin x یا اگر m فرد باشد t=cos x استفاده می کنیم.
ب) اگر m و n زوج باشند، از فرمول هایی برای کاهش درجه استفاده می کنیم
2sin 2 x=1-cos2x، 2cos 2 x=1+cos2x.
4. انتگرال های فرم
اگر اعداد m و n همسان باشند، از جایگزینی t=tg x استفاده می کنیم. اغلب استفاده از تکنیک واحد مثلثاتی راحت است.
5. 🔻 sin(nx) cos(mx)dx، ∫ cos(mx) cos(nx)dx، 🔻 sin(mx) sin(nx)dx

بیایید از فرمول های تبدیل حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع آنها استفاده کنیم:

• sin α cos β = ½(sin(α+β)+sin(α-β))
• cos α cos β = ½(cos(α+β)+cos(α-β))
• sin α sin β = ½(cos(α-β)-cos(α+β))

مثال ها
1. انتگرال ∫ cos 4 x·sin 3 xdx را محاسبه کنید.
جایگزین cos(x)=t را می سازیم. سپس ∫ cos 4 x sin 3 xdx =
2. انتگرال را محاسبه کنید.
با ساخت جایگزین sin x=t، دریافت می کنیم

3. انتگرال را بیابید.
جایگزین tg(x)=t را می سازیم. با تعویض، می گیریم

ادغام عبارات فرم R(sinx، cosx)

مثال شماره 1. محاسبه انتگرال ها:

راه حل.
الف) ادغام عبارات به شکل R(sinx، cosx)، که در آن R یک تابع گویا از sin x و cos x است، با استفاده از جایگزینی مثلثاتی جهانی tg(x/2) = t به انتگرال توابع گویا تبدیل می شوند.
سپس ما داریم

یک جانشینی مثلثاتی جهانی این امکان را فراهم می کند که از یک انتگرال به شکل ∫ R(sinx، cosx) dx به یک انتگرال یک تابع منطقی کسری برویم، اما اغلب چنین جایگزینی منجر به عبارات دست و پا گیر می شود. تحت شرایط خاص، جایگزین های ساده تر موثر هستند:

• اگر برابری R(-sin x، cos x) = -R(sin x، cos x)dx برآورده شود، جایگزینی cos x = t اعمال می شود.
• اگر برابری R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx برقرار باشد، آنگاه جایگزینی sin x = t.
• اگر برابری R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx برقرار باشد، آنگاه جایگزینی tgx = t یا ctg x = t.

در این مورد، برای یافتن انتگرال
اجازه دهید جایگزینی مثلثاتی جهانی tg(x/2) = t را اعمال کنیم.
سپس پاسخ دهید:

همچنین مشکلاتی برای شما پیش خواهد آمد که خودتان آنها را حل کنید که می توانید پاسخ آنها را ببینید.

انتگرال را می توان از حاصل ضرب توابع مثلثاتی به مجموع تبدیل کرد

اجازه دهید انتگرال هایی را در نظر بگیریم که در آنها انتگرال حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس های درجه اول x در عوامل مختلف است، یعنی انتگرال های شکل

استفاده از فرمول های معروف مثلثاتی

(2)
(3)
(4)
می توان هر یک از محصولات را در انتگرال های شکل (31) به یک جمع جبری تبدیل کرد و طبق فرمول ها ادغام کرد.

(5)

(6)

مثال 1.پیدا کردن

راه حل. طبق فرمول (2) در

مثال 2.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. طبق فرمول (3) در

مثال 3.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. طبق فرمول (4) در تبدیل زیر انتگرال را بدست می آوریم:

با استفاده از فرمول (6) بدست می آوریم

انتگرال حاصل ضرب توان های سینوس و کسینوس همان برهان

حال اجازه دهید انتگرال هایی از توابع را در نظر بگیریم که حاصل ضرب قدرت های سینوس و کسینوس همان آرگومان هستند، یعنی.

(7)

در موارد خاص، یکی از شاخص های ( متریا n) ممکن است صفر باشد.

هنگام ادغام چنین توابعی، از آن استفاده می شود که توان زوج کسینوس را می توان از طریق سینوس بیان کرد و دیفرانسیل سینوس برابر با cos است. x dx(یا حتی توان سینوس را می توان بر حسب کسینوس بیان کرد و دیفرانسیل کسینوس برابر است با - sin x dx ) .

دو مورد باید از هم تفکیک شود: 1) حداقل یکی از شاخص ها مترو nفرد؛ 2) هر دو شاخص زوج هستند.

اجازه دهید اولین مورد، یعنی نشانگر اتفاق بیفتد n = 2ک+ 1 - عجیب و غریب. سپس، با توجه به آن

انتگرال به گونه ای ارائه می شود که یک قسمت آن تابعی از سینوس و دیگری دیفرانسیل سینوس است. اکنون از جایگزینی متغیر استفاده می کنیم تی= گناه ایکسراه حل به ادغام چند جمله ای با توجه به کاهش می یابد تی. اگر فقط مدرک مترعجیب است، سپس آنها همین کار را می کنند و عامل گناه را جدا می کنند ایکس، بقیه انتگرال را بر حسب cos بیان می کند ایکسو ایمان داشتن تی= cos ایکس. این تکنیک همچنین می تواند مورد استفاده قرار گیرد زمانی که ادغام قدرت های نسبی سینوس و کسینوس ، چه زمانی حداقل یکی از شاخص ها عجیب و غریب است . تمام نکته این است ضریب توانهای سینوس و کسینوس یک مورد خاص از محصول آنهاست : وقتی یک تابع مثلثاتی در مخرج یک انتگرال باشد، درجه آن منفی است. اما مواردی از توابع مثلثاتی جزئی نیز وجود دارد که توان آنها فقط زوج است. درباره آنها - در پاراگراف بعدی.

اگر هر دو شاخص مترو n- حتی، سپس، با استفاده از فرمول های مثلثاتی

نماهای سینوس و کسینوس را پایین بیاورید، پس از آن یک انتگرال از همان نوع بالا بدست می آورید. بنابراین، ادغام باید طبق همان طرح ادامه یابد. اگر یکی از نماهای زوج منفی باشد، یعنی ضریب توان های زوج سینوس و کسینوس در نظر گرفته شود، این طرح مناسب نیست. . سپس بسته به نحوه تبدیل انتگرال از تغییر متغیر استفاده می شود. چنین موردی در پاراگراف بعدی بررسی خواهد شد.

مثال 4.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. توان کسینوس فرد است. بنابراین، بیایید تصور کنیم

تی= گناه ایکس(سپس dt= cos ایکس dx ). سپس می گیریم

با بازگشت به متغیر قدیمی، بالاخره پیدا می کنیم

مثال 5.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

.

راه حل. توان کسینوس، مانند مثال قبلی، فرد است، اما بزرگتر است. بیایید تصور کنیم

و تغییری در متغیر ایجاد کنید تی= گناه ایکس(سپس dt= cos ایکس dx ). سپس می گیریم

بیایید پرانتزها را باز کنیم

و دریافت می کنیم

با بازگشت به متغیر قدیمی، راه حل را دریافت می کنیم

مثال 6.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. نماهای سینوس و کسینوس زوج هستند. بنابراین تابع انتگرال را به صورت زیر تبدیل می کنیم:

سپس می گیریم

در انتگرال دوم تغییری در متغیر، تنظیم می کنیم تی= گناه2 ایکس. سپس (1/2)dt= cos2 ایکس dx . از این رو،

بالاخره می رسیم

با استفاده از روش جایگزینی متغیر

روش جایگزینی متغیرهنگام ادغام توابع مثلثاتی، می توان از آن در مواردی استفاده کرد که انتگرال فقط شامل سینوس یا فقط کسینوس، حاصل ضرب سینوس و کسینوس است که در آن سینوس یا کسینوس در درجه اول، مماس یا کوتانژانت و همچنین ضریب حتی قدرت های سینوس و کسینوس یک و همان استدلال. در این صورت، می توان نه تنها گناه را انجام داد ایکس = تیو گناه ایکس = تی، بلکه tg ایکس = تیو ctg ایکس = تی .

مثال 8.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

.

راه حل. بیایید متغیر: , سپس را تغییر دهیم. انتگرال حاصل را می توان به راحتی با استفاده از جدول انتگرال ها ادغام کرد:

.

مثال 9.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. بیایید مماس را به نسبت سینوس و کسینوس تبدیل کنیم:

بیایید متغیر: , سپس را تغییر دهیم. انتگرال حاصل شده است انتگرال جدولبا علامت منفی:

.

با بازگشت به متغیر اصلی، در نهایت دریافت می کنیم:

.

مثال 10.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

راه حل. بیایید متغیر: , سپس را تغییر دهیم.

بیایید انتگرال را برای اعمال هویت مثلثاتی تبدیل کنیم :

متغیر را تغییر می دهیم، فراموش نمی کنیم که یک علامت منفی جلوی انتگرال قرار دهیم (به بالا نگاه کنید، چه چیزی برابر است با dt). سپس انتگرال را فاکتور می کنیم و طبق جدول ادغام می کنیم:

با بازگشت به متغیر اصلی، در نهایت دریافت می کنیم:

.

انتگرال یک تابع مثلثاتی را خودتان پیدا کنید و سپس به حل آن نگاه کنید

جایگزینی مثلثاتی جهانی

جایگزینی مثلثاتی جهانی در مواردی که انتگرال تحت مواردی که در پاراگراف های قبلی مورد بحث قرار گرفت قرار نمی گیرد می توان از آن استفاده کرد. اصولاً وقتی سینوس یا کسینوس (یا هر دو) در مخرج کسری باشد. ثابت شده است که سینوس و کسینوس را می توان با عبارت دیگری حاوی مماس نصف زاویه اصلی به صورت زیر جایگزین کرد:

اما توجه داشته باشید که جایگزینی مثلثاتی جهانی اغلب مستلزم تبدیلات جبری کاملاً پیچیده است، بنابراین زمانی که هیچ روش دیگری کار نمی کند بهتر است از آن استفاده شود. اجازه دهید به مثال هایی نگاه کنیم که در آن، همراه با جایگزینی مثلثاتی جهانی، جایگزینی تحت علامت دیفرانسیل و روش ضرایب نامعین استفاده می شود.

مثال 12.پیدا کردن انتگرال یک تابع مثلثاتی

.

راه حل. راه حل. بهره ببریم جایگزینی مثلثاتی جهانی. سپس
.

کسرهای صورت و مخرج را در ضرب می کنیم و آن دو را بیرون می آوریم و جلوی علامت انتگرال قرار می دهیم. سپس

نمونه‌هایی از راه‌حل‌های انتگرال‌ها توسط قطعات به تفصیل در نظر گرفته می‌شوند که انتگرال آن حاصل ضرب یک چند جمله‌ای با نمایی (e به توان x) یا با سینوس (sin x) یا کسینوس (cos x) است.

محتوا

همچنین ببینید: روش ادغام توسط قطعات
جدول انتگرال های نامعین
روش های محاسبه انتگرال های نامعین
توابع ابتدایی پایه و خواص آنها

فرمول یکپارچه سازی توسط قطعات

هنگام حل مثال های این بخش، از فرمول ادغام بر اساس قطعات استفاده می شود:
;
.

نمونه هایی از انتگرال های حاوی حاصل ضرب یک چند جمله ای و sin x، cos x یا e x

در اینجا نمونه هایی از این انتگرال ها آورده شده است:
, , .

برای ادغام چنین انتگرال هایی، چند جمله ای با u و قسمت باقی مانده با v dx نشان داده می شود. سپس، فرمول ادغام با قطعات را اعمال کنید.

در زیر یک راه حل دقیق برای این مثال ها آورده شده است.

نمونه هایی از حل انتگرال ها

مثال با توان e به توان x

انتگرال را تعیین کنید:
.

اجازه دهید توان را در زیر علامت دیفرانسیل معرفی کنیم:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

بیایید با قطعات ادغام کنیم.

اینجا
.
ما همچنین انتگرال باقی مانده را با قطعات یکپارچه می کنیم.
.
.
.
در نهایت داریم:
.

مثالی از تعریف انتگرال با سینوس

انتگرال را محاسبه کنید:
.

بیایید سینوس را زیر علامت دیفرانسیل معرفی کنیم:

بیایید با قطعات ادغام کنیم.

در اینجا u = x 2، v = cos (2 x+3)، دو = ( x 2 )′ dx

ما همچنین انتگرال باقی مانده را با قطعات یکپارچه می کنیم. برای این کار کسینوس را زیر علامت دیفرانسیل معرفی کنید.


در اینجا u = x، v = گناه (2 x+3)، du = dx

در نهایت داریم:

مثال حاصل ضرب چند جمله ای و کسینوس

انتگرال را محاسبه کنید:
.

بیایید کسینوس زیر علامت دیفرانسیل را معرفی کنیم:

بیایید با قطعات ادغام کنیم.

اینجا u = x 2 + 3 x + 5، v = گناه 2 x، دو = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx