§1. اعداد مختلط

1 درجه تعریف. نماد جبری.

تعریف 1. اعداد مختلطجفت های مرتب شده اعداد حقیقی نامیده می شوند و اگر برای آنها مفهوم تساوی، جمع و ضرب تعریف شده باشد که بدیهیات زیر را برآورده می کند:

1) دو عدد
و
برابر اگر و فقط اگر
,
، یعنی

2) مجموع اعداد مختلط
و

و برابر
، یعنی

3) حاصل ضرب اعداد مختلط
و
عددی است که با آن نشان داده شده است
و برابر، یعنی.

مجموعه اعداد مختلط مشخص می شود سی.

فرمول های (2)، (3) برای اعداد فرم
فرم بگیر

از آنجا نتیجه می شود که عملیات جمع و ضرب برای اعداد فرم
همزمان با جمع و ضرب برای اعداد حقیقی عدد مختلط فرم
با یک عدد واقعی شناسایی می شود .

عدد مختلط
تماس گرفت واحد خیالیو تعیین شده است ، یعنی
سپس از (3)

از (2)، (3)  که به معنی

عبارت (4) نامیده می شود نماد جبریعدد مختلط.

در نماد جبری، عملیات جمع و ضرب به شکل زیر است:

یک عدد مختلط با نشان داده می شود
,- بخش واقعی - قسمت خیالی یک عدد کاملاً خیالی است. تعیین:
,
.

تعریف 2. عدد مختلط
تماس گرفت مزدوجبا عدد مختلط
.

ویژگی های صرف مختلط.

1)

2)
.

3) اگر
، آن
.

4)
.

5)
- عدد واقعی

اثبات با محاسبه مستقیم انجام می شود.

تعریف 3. عدد
تماس گرفت مدولعدد مختلط
و تعیین شده است
.

بدیهی است که
، و


. فرمول ها نیز واضح است:
و
.

2 درجه ویژگی های عملیات جمع و ضرب.

1) جابجایی:
,
.

2) انجمن:،
.

3) توزیع: .

اثبات 1) - 3) با محاسبات مستقیم بر اساس خواص مشابه برای اعداد واقعی انجام می شود.

4)
,
.

5) , سی ! ، معادله را برآورده می کند
. این

6) ,سی, 0, ! :
. این با ضرب معادله در بدست می آید



.

مثال. بیایید یک عدد مختلط را تصور کنیم
به شکل جبری برای این کار، صورت و مخرج کسر را در عدد مزدوج مخرج ضرب کنید. ما داریم:

3درجه تفسیر هندسی اعداد مختلط شکل مثلثاتی و نمایی نوشتن عدد مختلط.

اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی بر روی صفحه مشخص شود. سپس
سیمی توانید یک نقطه از هواپیما را با مختصات مطابقت دهید
.(شکل 1 را ببینید). بدیهی است که چنین مکاتباتی یک به یک است. در این حالت، اعداد حقیقی روی محور آبسیسا و اعداد کاملاً خیالی بر روی محور ترتیبی قرار دارند. بنابراین، محور آبسیسا نامیده می شود محور واقعی، و محور ترتیبی - محور خیالی. صفحه ای که اعداد مختلط روی آن قرار دارند نامیده می شود هواپیمای پیچیده.

توجه داشته باشید که و
نسبت به مبدا متقارن هستند و و متقارن در مورد گاو.

هر عدد مختلط (به عنوان مثال، هر نقطه در صفحه) را می توان با بردار با آغاز در نقطه O و پایان در نقطه مرتبط کرد.
. مطابقت بین بردارها و اعداد مختلط یک به یک است. بنابراین، بردار مربوط به یک عدد مختلط است ، که با همان حرف مشخص می شود

D خط برداری
مربوط به یک عدد مختلط
، برابر است
، و
,
.

با استفاده از تفسیر برداری، می توانیم ببینیم که بردار
- مجموع بردارها و ، آ
- مجموع بردارها و
.(شکل 2 را ببینید). بنابراین، نابرابری های زیر معتبر هستند:

همراه با طول بردار بیایید زاویه را معرفی کنیم بین بردار و محور Ox، از جهت مثبت محور Ox شمارش می‌شود: اگر شمارش خلاف جهت عقربه‌های ساعت باشد، علامت زاویه مثبت و اگر در جهت عقربه‌های ساعت باشد، منفی است. این زاویه نامیده می شود آرگومان عدد مختلطو تعیین شده است
. گوشه بدون ابهام تعیین نمی شود، بلکه با دقت تعیین می شود
… . برای
استدلال تعریف نشده است.

فرمول (6) به اصطلاح تعریف می کند نماد مثلثاتیعدد مختلط.

از (5) چنین بر می آید که اگر
و
که

از (5)
چه در مورد و یک عدد مختلط به طور منحصر به فرد تعیین می شود. عکس آن درست نیست: یعنی روی یک عدد مختلط ماژول آن منحصر به فرد است، و استدلال ، به موجب (7)، - با دقت
. از (7) نیز بر می آید که برهان را می توان به عنوان راه حل معادله یافت

با این حال، همه راه حل های این معادله راه حل های (7) نیستند.

از بین تمام مقادیر آرگومان یک عدد مختلط، یکی انتخاب می شود که به آن مقدار اصلی آرگومان می گویند و نشان داده می شود.
. معمولاً مقدار اصلی آرگومان یا در بازه انتخاب می شود
، یا در فاصله زمانی

انجام عملیات ضرب و تقسیم به صورت مثلثاتی راحت است.

قضیه 1.مدول حاصلضرب اعداد مختلط و برابر حاصلضرب ماژول ها است و آرگومان مجموع آرگومان ها است، یعنی.

، آ .

به همین ترتیب

,

اثباتاجازه دهید ،. سپس با ضرب مستقیم بدست می آوریم:

به همین ترتیب

.■

نتیجه(فرمول مویور). برای
فرمول Moivre معتبر است

پ مثال. بیایید مکان هندسی نقطه را پیدا کنیم
. از قضیه 1 نتیجه می گیرد که .

بنابراین برای ساخت آن ابتدا باید یک نقطه بسازید ، که وارونگی است نسبت به دایره واحد، و سپس یک نقطه متقارن با آن نسبت به محور Ox پیدا کنید.

اجازه دهید
، آن ها
عدد مختلط
نشان داده شده با
، یعنی آرفرمول اویلر معتبر است

زیرا
، آن
,
. از قضیه 1
چه با عملکرد
شما می توانید مانند یک تابع نمایی منظم کار کنید، یعنی. برابری ها معتبر است

,
,
.

از (8)
نماد نمایشیعدد مختلط

، جایی که
,

مثال. .

4 درجه ریشه ها -ام قدرت یک عدد مختلط.

معادله را در نظر بگیرید

اجازه دهید
، و حل معادله (9) در فرم جستجو شده است
. سپس (9) شکل می گیرد
، از جایی که ما آن را پیدا می کنیم
,
، یعنی

,
,
.

بنابراین، معادله (9) دارای ریشه است

اجازه دهید نشان دهیم که در بین (10) دقیقاً وجود دارد ریشه های مختلف واقعا،

متفاوت هستند، زیرا استدلال آنها متفاوت است و کمتر از
. به علاوه،
، زیرا
. به همین ترتیب
.

بنابراین، معادله (9) در
دقیقا دارد ریشه ها
، در راس منظم قرار دارد - مثلثی که در دایره ای با شعاع محاط شده است با مرکز در t.O.

بنابراین ثابت می شود

قضیه 2.استخراج ریشه -ام قدرت یک عدد مختلط
همیشه امکان پذیر است. همه معانی ریشه ای درجه ام از واقع در رئوس صحیح -گون در دایره ای با مرکز صفر و شعاع محاط شده است
. که در آن،

نتیجه.ریشه ها -ام توان 1 با فرمول بیان می شود

.

حاصل ضرب دو ریشه 1 یک ریشه است، 1 یک ریشه است -مین قدرت وحدت، ریشه
:
.

موضوع اعداد مختلطو چند جمله ای ها

سخنرانی 22

§1. اعداد مختلط: تعاریف اساسی

سمبل با نسبت معرفی می شود
و واحد خیالی نامیده می شود. به عبارت دیگر،
.

تعریف. بیان فرم
، جایی که
، یک عدد مختلط نامیده می شود و عدد قسمت واقعی یک عدد مختلط نامیده می شود و نشان دهند
، عدد - قسمت خیالی و نشان دهند
.

از این تعریف به دست می آید که اعداد حقیقی آن دسته از اعداد مختلط هستند که قسمت خیالی آنها برابر با صفر است.

نمایش اعداد مختلط با نقاط صفحه ای که یک سیستم مختصات مستطیلی دکارتی در آن داده شده است، یعنی: یک عدد مختلط راحت است.
با یک نقطه مطابقت دارد
و بالعکس. روی محور
اعداد واقعی به تصویر کشیده شده و به آن محور حقیقی می گویند. اعداد مختلط فرم

صرفاً خیالی نامیده می شوند. آنها با نقاط روی محور نشان داده می شوند
که به آن محور خیالی می گویند. این صفحه که برای نمایش اعداد مختلط به کار می رود، صفحه مختلط نامیده می شود. یک عدد مختلط که واقعی نیست، یعنی. به طوری که
، گاهی اوقات خیالی نامیده می شود.

دو عدد مختلط اگر و فقط در صورتی برابر هستند که هر دو قسمت واقعی و خیالی آنها یکسان باشند.

جمع، تفریق و ضرب اعداد مختلط طبق قوانین معمول جبر چند جمله ای با در نظر گرفتن این واقعیت انجام می شود.

. عمل تقسیم را می توان به صورت معکوس عمل ضرب تعریف کرد و منحصر به فرد بودن نتیجه را ثابت کرد (اگر مقسوم علیه غیر صفر باشد). با این حال، در عمل از رویکرد متفاوتی استفاده می شود.

اعداد مختلط
و
مزدوج نامیده می شوند؛ در صفحه مختلط با نقاط متقارن حول محور واقعی نشان داده می شوند. بدیهی است که:

1)

;

2)
;

3)
.

حالا تقسیم کنید بر می توان به صورت زیر انجام داد:

.

نشان دادن آن کار سختی نیست

,

نماد کجاست مخفف هر عملیات حسابی است.

اجازه دهید
تعدادی عدد خیالی و - متغیر واقعی حاصل ضرب دو دوجمله ای

یک مثلث درجه دوم با ضرایب واقعی است.

اکنون، با داشتن اعداد مختلط در اختیار ما، می توانیم هر کدام را حل کنیم معادله درجه دوم
.اگر پس از آن

و معادله دارای دو ریشه مزدوج پیچیده است

.

اگر
، سپس معادله دو ریشه واقعی متفاوت دارد. اگر
، پس معادله دو ریشه یکسان دارد.

§2. شکل مثلثاتی یک عدد مختلط

همانطور که در بالا ذکر شد، یک عدد مختلط
مناسب برای نشان دادن به عنوان یک نقطه
. این عدد را می توان با بردار شعاع این نقطه نیز شناسایی کرد
. با این تفسیر، جمع و تفریق اعداد مختلط طبق قوانین جمع و تفریق بردارها انجام می شود. برای ضرب و تقسیم اعداد مختلط، شکل دیگری راحت تر است.

اجازه دهید در هواپیمای پیچیده معرفی کنیم
سیستم مختصات قطبی بعد کجا
,
و عدد مختلط
را می توان به صورت زیر نوشت:

این شکل علامت گذاری مثلثاتی نامیده می شود (برخلاف شکل جبری).
). در این فرم شماره ماژول نامیده می شود و - آرگومان یک عدد مختلط . آنها تعیین شده اند:
,

. برای ماژول ما فرمول را داریم

آرگومان یک عدد منحصراً تعریف نمی شود، بلکه تا یک اصطلاح است
,
. ارزش استدلال ارضا کننده نابرابری ها
، اصلی نامیده می شود و نشان داده می شود
. سپس،
. برای مقدار اصلی آرگومان، می توانید عبارات زیر را دریافت کنید:

,

آرگومان عددی
نامشخص در نظر گرفته می شود.

شرط تساوی دو عدد مختلط به صورت مثلثاتی به این صورت است: ماژول های اعداد مساوی هستند و آرگومان ها مضربی از متفاوت هستند.
.

بیایید حاصل ضرب دو عدد مختلط را به صورت مثلثاتی پیدا کنیم:

بنابراین، هنگامی که اعداد ضرب می شوند، ماژول های آنها ضرب می شوند و آرگومان های آنها اضافه می شود.

به روشی مشابه، می‌توانیم ثابت کنیم که هنگام تقسیم، ماژول‌های اعداد تقسیم شده و آرگومان‌ها کم می‌شوند.

با درک توان به عنوان ضرب مکرر، می‌توانیم فرمولی برای افزایش یک عدد مختلط به توان بدست آوریم:

اجازه دهید یک فرمول برای
- ریشه -ام قدرت یک عدد مختلط (با ریشه حسابی یک عدد واقعی اشتباه گرفته نشود!). عمل استخراج ریشه معکوس عمل توان است. از همین رو
یک عدد مختلط است به طوری که
.

اجازه دهید
شناخته شده است، اما
لازم است پیدا شود. سپس

از تساوی دو عدد مختلط به صورت مثلثاتی این نتیجه حاصل می شود که

,
,
.

از اینجا
(این یک ریشه حسابی است!)

,
.

تأیید آن آسان است فقط می تواند قبول کند مقادیر اساساً متفاوت، برای مثال، وقتی
. در نهایت فرمول را داریم:

,
.

پس ریشه دهمین توان یک عدد مختلط دارد معانی مختلف در صفحه مختلط، این مقادیر به درستی در رئوس قرار می گیرند - مثلثی که در دایره ای با شعاع محاط شده است
با مرکز در مبدا ریشه "اول" یک استدلال دارد
، استدلال دو ریشه "همسایه" با یکدیگر متفاوت است
.

مثال. بیایید ریشه مکعب واحد خیالی را بگیریم:
,
,
. سپس:

,

هنگام مطالعه ویژگی های یک معادله درجه دوم، محدودیتی تعیین شد - برای ممیز کمتر از صفر، هیچ راه حلی وجود ندارد. بلافاصله بیان شد که ما در مورددر مورد مجموعه اعداد واقعی ذهن کنجکاو یک ریاضیدان علاقه مند می شود که در بند مربوط به مقادیر واقعی چه رازی وجود دارد؟

با گذشت زمان، ریاضیدانان مفهوم اعداد مختلط را معرفی کردند که در آن مقدار شرطی ریشه دوم منهای یک به عنوان یک در نظر گرفته می شود.

مرجع تاریخی

نظریه ریاضی به صورت متوالی از ساده به پیچیده توسعه می یابد. بیایید بفهمیم که چگونه مفهومی به نام "عدد مختلط" بوجود آمد و چرا به آن نیاز است.

از زمان های بسیار قدیم اساس ریاضیات شمارش معمولی بوده است. محققان فقط مجموعه طبیعی ارزش ها را می دانستند. جمع و تفریق ساده بود. با پیچیده تر شدن روابط اقتصادی، ضرب به جای افزودن مقادیر یکسان به کار گرفته شد. عمل معکوس ضرب ظاهر شد - تقسیم.

مفهوم عدد طبیعی استفاده از عملیات حسابی را محدود می کرد. حل تمام مسائل تقسیم بر روی مجموعه ای از مقادیر صحیح غیرممکن است. ابتدا به مفهوم ارزش های عقلانی و سپس به ارزش های غیر منطقی منجر شد. اگر برای منطقی بتوان مکان دقیق یک نقطه را در یک خط نشان داد، برای غیر منطقی نمی توان چنین نقطه ای را نشان داد. شما فقط می توانید تقریباً فاصله مکان را نشان دهید. ترکیب اعداد گویا و غیر منطقی یک مجموعه واقعی را تشکیل می دهد که می تواند به عنوان یک خط معین با یک مقیاس معین نشان داده شود. هر گام در امتداد خط یک عدد طبیعی است و بین آنها مقادیر گویا و غیر منطقی وجود دارد.

دوران ریاضیات نظری آغاز شد. توسعه نجوم، مکانیک و فیزیک مستلزم حل معادلات پیچیده تر بود. در شکل کلی، ریشه های معادله درجه دوم پیدا شد. هنگام حل یک چند جمله ای مکعبی پیچیده تر، دانشمندان با یک تناقض مواجه شدند. مفهوم ریشه مکعب منفی منطقی است، اما برای یک ریشه مربع منجر به عدم قطعیت می شود. علاوه بر این، معادله درجه دوم فقط یک مورد خاص از یک مکعب است.

در سال 1545، G. Cardano ایتالیایی پیشنهاد ارائه مفهوم یک عدد خیالی را ارائه کرد.

این عدد به ریشه دوم منهای یک تبدیل شد. اصطلاح عدد مختلط سرانجام تنها سیصد سال بعد در آثار ریاضیدان معروف گاوس شکل گرفت. او پیشنهاد کرد که به طور رسمی همه قوانین جبر را به یک عدد خیالی بسط دهند. خط واقعی به یک هواپیما گسترش یافته است. دنیا بزرگتر شده است.

مفاهیم اساسی

اجازه دهید تعدادی از توابع را به یاد بیاوریم که محدودیت هایی در مجموعه واقعی دارند:

• y = arcsin (x)، تعریف شده در محدوده مقادیر بین واحد منفی و مثبت.
• y = ln(x)، برای آرگومان های مثبت منطقی است.
• جذر y = √x، فقط برای x ≥ 0 محاسبه می شود.

با نشان دادن i = √(-1)، چنین مفهومی را به عنوان یک عدد خیالی معرفی می کنیم، این به ما اجازه می دهد تا تمام محدودیت ها را از دامنه تعریف توابع بالا حذف کنیم. عباراتی مانند y = arcsin(2)، y = ln(-4)، y = √(-5) در فضای معینی از اعداد مختلط معنا می یابند.

شکل جبری را می توان به صورت z = x + i×y روی مجموعه مقادیر واقعی x و y و i 2 = -1 نوشت.

مفهوم جدید تمام محدودیت های استفاده از هر تابع جبری را حذف می کند و ظاهر آن شبیه نمودار یک خط مستقیم در مختصات مقادیر واقعی و خیالی است.

هواپیمای پیچیده

شکل هندسی اعداد مختلط امکان تجسم بسیاری از خصوصیات آنها را فراهم می کند. در امتداد محور Re(z) مقادیر واقعی x را علامت گذاری می کنیم، در امتداد Im(z) - مقادیر خیالی y، سپس نقطه z در هواپیما مقدار مختلط مورد نیاز را نشان می دهد.

تعاریف:

• Re(z) - محور واقعی.
• Im(z) - به معنای محور خیالی است.
• z نقطه شرطی یک عدد مختلط است.
• مقدار عددی طول بردار از نقطه صفر تا z را ماژول می گویند.
• محورهای واقعی و خیالی هواپیما را به چهار قسمت تقسیم می کنند. با مقدار مختصات مثبت - یک چهارم. وقتی آرگومان محور واقعی کمتر از 0 باشد و محور خیالی بزرگتر از 0 باشد - ربع دوم. وقتی مختصات منفی است - سه ماهه سوم. آخرین سه ماهه چهارم حاوی مقادیر واقعی مثبت و مقادیر تخیلی منفی است.

بنابراین، در صفحه ای با مختصات x و y، همیشه می توانید نقطه ای از یک عدد مختلط را به صورت بصری به تصویر بکشید. نماد i برای جدا کردن قسمت واقعی از قسمت خیالی معرفی شده است.

خواص

1. با مقدار صفر آرگومان فرضی، به سادگی یک عدد (z = x) بدست می آوریم که روی محور واقعی قرار دارد و به مجموعه واقعی تعلق دارد.
2. یک مورد خاص، هنگامی که مقدار آرگومان واقعی صفر شد، عبارت z = i×y مربوط به محل نقطه روی محور فرضی است.
3. شکل کلی z = x + i×y برای مقادیر غیر صفر آرگومان ها خواهد بود. محل نقطه مشخص کننده یک عدد مختلط را در یکی از ربع ها نشان می دهد.

نماد مثلثاتی

بیایید سیستم مختصات قطبی و تعریف sin و cos را به یاد بیاوریم. بدیهی است که با استفاده از این توابع می توانید مکان هر نقطه از هواپیما را توصیف کنید. برای این کار کافی است طول پرتو قطبی و زاویه تمایل به محور واقعی را بدانیم.

تعریف. به شکل ∣z ∣ ضرب در مجموع توابع مثلثاتی cos(ϴ) و قسمت خیالی i ×sin(ϴ) عدد مختلط مثلثاتی گفته می شود. در اینجا از زاویه میل به محور واقعی استفاده می کنیم

ϴ = arg(z)، و r = ∣z∣، طول پرتو.

از تعریف و ویژگی های توابع مثلثاتی، فرمول بسیار مهم Moivre به شرح زیر است:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

با استفاده از این فرمول، حل بسیاری از سیستم های معادلات شامل راحت است توابع مثلثاتی. مخصوصاً زمانی که مشکل قدرت پیش می آید.

ماژول و فاز

برای تکمیل توضیحات یک مجموعه پیچیده، دو تعریف مهم را پیشنهاد می کنیم.

با دانستن قضیه فیثاغورث، محاسبه طول پرتو در سیستم مختصات قطبی آسان است.

r = ∣z∣ = √ (x 2 + y 2)، چنین نمادی در فضای پیچیده "مدول" نامیده می شود و فاصله 0 تا یک نقطه از صفحه را مشخص می کند.

زاویه تمایل پرتو مختلط به خط واقعی ϴ معمولاً فاز نامیده می شود.

از تعریف مشخص می شود که قسمت های واقعی و خیالی با استفاده از توابع چرخه ای توصیف می شوند. برای مثال:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

برعکس، فاز از طریق فرمول با مقادیر جبری ارتباط دارد:

ϴ = آرکتان (x / y) + μ، تصحیح µ برای در نظر گرفتن تناوب توابع هندسی معرفی می‌شود.

فرمول اویلر

ریاضیدانان اغلب از شکل نمایی استفاده می کنند. اعداد صفحه مختلط به عنوان عبارت نوشته می شوند

z = r × e i × ϴ، که از فرمول اویلر به دست می آید.

این نماد برای محاسبه عملی مقادیر فیزیکی رایج شده است. شکل نمایش به شکل اعداد مختلط نمایی مخصوصاً برای محاسبات مهندسی مناسب است، جایی که نیاز به محاسبه مدارهای با جریان سینوسی وجود دارد و لازم است مقدار انتگرال توابع با دوره معین را دانست. محاسبات خود به عنوان ابزاری در طراحی ماشین ها و مکانیسم های مختلف عمل می کنند.

تعریف عملیات

همانطور که قبلا ذکر شد، تمام قوانین جبری کار با توابع ریاضی پایه برای اعداد مختلط اعمال می شود.

عملیات جمع

هنگام اضافه کردن مقادیر پیچیده، بخش های واقعی و خیالی آنها نیز جمع می شوند.

z = z 1 + z 2 که z 1 و z 2 اعداد مختلط هستند نمای کلی. با تبدیل عبارت، پس از باز کردن پرانتزها و ساده کردن نماد، آرگومان واقعی x = (x 1 + x 2)، آرگومان خیالی y = (y 1 + y 2) را به دست می آوریم.

بر اساس قانون متوازی الاضلاع معروف، در نمودار به نظر می رسد که دو بردار جمع شوند.

عملیات تفریق

به عنوان یک مورد خاص جمع در نظر گرفته می شود، زمانی که یک عدد مثبت است، دیگری منفی است، یعنی در ربع آینه قرار دارد. نماد جبری مانند تفاوت بین بخش واقعی و خیالی به نظر می رسد.

z = z 1 - z 2، یا با در نظر گرفتن مقادیر آرگومان ها، مشابه عملیات جمع، برای مقادیر واقعی x = (x 1 - x 2) و مقادیر خیالی y = به دست می آوریم. (y 1 - y 2).

ضرب در صفحه مختلط

با استفاده از قوانین کار با چند جمله ای ها، فرمولی برای حل اعداد مختلط به دست می آوریم.

با پیروی از قوانین کلی جبری z=z 1 ×z 2، هر آرگومان را شرح می دهیم و آرگومان های مشابه را ارائه می کنیم. قسمت های واقعی و خیالی را می توان به صورت زیر نوشت:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2،
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

اگر از اعداد مختلط نمایی استفاده کنیم زیباتر به نظر می رسد.

این عبارت به این شکل است: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i (ϴ 1+ ϴ 2) .

بخش

وقتی عمل تقسیم را معکوس عملیات ضرب در نظر می گیریم، در نمادگذاری نمایی یک عبارت ساده به دست می آوریم. تقسیم مقدار z 1 بر z 2 نتیجه تقسیم ماژول های آنها و اختلاف فاز است. به طور رسمی، هنگام استفاده از شکل نمایی اعداد مختلط، به نظر می رسد:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

در قالب نماد جبری، عملیات تقسیم اعداد در صفحه مختلط کمی پیچیده تر نوشته شده است:

با توصیف آرگومان ها و انجام تبدیل چند جمله ای ها، به راحتی می توان مقادیر x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2، به ترتیب y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2 را به دست آورد، اما ، در چارچوب فضای توصیف شده، اگر z 2 ≠ 0 باشد، این عبارت منطقی است.

استخراج ریشه

همه موارد فوق را می توان برای تعریف توابع جبری پیچیده تر - افزایش به هر توان و معکوس آن - استخراج ریشه استفاده کرد.

استفاده از فرصت مفهوم کلیبا بالا بردن توان n، این تعریف را دریافت می کنیم:

z n = (r × e i ϴ) n .

با استفاده از ویژگی های عمومی، آن را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

z n = r n × e i ϴ n .

ما یک فرمول ساده برای افزایش یک عدد مختلط به توان به دست آورده ایم.

از تعریف مدرک یک نتیجه بسیار مهم به دست می آوریم. توان زوج واحد فرضی همیشه برابر با 1 است. هر توان فرد واحد فرضی همیشه برابر با 1 است.

حالا بیایید تابع معکوس - استخراج ریشه را مطالعه کنیم.

برای سادگی نمادگذاری، n = 2 را در نظر می گیریم. جذر w یک مقدار مختلط z در صفحه مختلط C معمولاً به عنوان عبارت z = ± در نظر گرفته می شود که برای هر آرگومان واقعی بزرگتر از یا معتبر است. برابر با صفر. برای w ≤ 0 هیچ راه حلی وجود ندارد.

بیایید به ساده ترین معادله درجه دوم z 2 = 1 نگاه کنیم. با استفاده از فرمول های اعداد مختلط، r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 را بازنویسی می کنیم. از رکورد مشخص است که r 2 = 1 و ϴ = 0، بنابراین، ما یک راه حل منحصر به فرد برابر با 1 داریم. اما این با این مفهوم که z = -1، همچنین با تعریف یک جذر مطابقت دارد، در تضاد است.

بیایید بفهمیم که چه چیزی را در نظر نمی گیریم. اگر نماد مثلثاتی را به خاطر بسپاریم، عبارت را بازیابی می کنیم - با تغییر دوره ای در فاز ϴ، عدد مختلط تغییر نمی کند. اجازه دهید مقدار دوره را با نماد p نشان دهیم، سپس موارد زیر درست است: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p)، که از آن 2ϴ = 0 + p، یا ϴ = p / 2. بنابراین، e i 0 = 1 و e i p /2 = -1 . ما راه حل دوم را به دست آوردیم که با درک کلی ریشه مربع مطابقت دارد.

بنابراین، برای یافتن ریشه دلخواه یک عدد مختلط، این روش را دنبال می کنیم.

• بیایید شکل نمایی را بنویسیم w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk)، k یک عدد صحیح دلخواه است.
• ما همچنین می توانیم عدد مورد نیاز را با استفاده از شکل اویلر z = r × e i ϴ نمایش دهیم.
• بیایید از تعریف کلی تابع استخراج ریشه r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) استفاده کنیم.
• از خصوصیات کلی برابری ماژول ها و آرگومان ها، r n = ∣w∣ و nϴ = arg (w) + p×k را می نویسیم.
• نماد نهایی برای ریشه یک عدد مختلط با فرمول z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n توصیف می شود.
• اظهار نظر. مقدار ∣w∣، طبق تعریف، یک عدد واقعی مثبت است، به این معنی که ریشه هر توان معنادار است.

میدان و جفت

در پایان، ما دو تعریف مهم ارائه می دهیم که برای حل مسائل کاربردی با اعداد مختلط اهمیت کمی دارند، اما برای توسعه بیشتر نظریه ریاضی ضروری هستند.

گفته می شود که عبارات جمع و ضرب اگر بدیهیات هر یک از عناصر صفحه مختلط z را برآورده کنند، یک میدان را تشکیل می دهند:

1. تغییر مکان اصطلاحات پیچیده، مجموع پیچیده را تغییر نمی دهد.
2. عبارت درست است - در یک عبارت پیچیده، هر مجموع دو عدد را می توان با مقدار آنها جایگزین کرد.
3. یک مقدار خنثی 0 وجود دارد که برای آن z + 0 = 0 + z = z درست است.
4. برای هر z یک متضاد - z وجود دارد که با جمع آن صفر می شود.
5. هنگام تغییر مکان عوامل پیچیده، محصول پیچیده تغییر نمی کند.
6. ضرب هر دو عدد را می توان با مقدار آنها جایگزین کرد.
7. یک مقدار خنثی 1 وجود دارد که ضرب در آن عدد مختلط را تغییر نمی دهد.
8. برای هر z ≠ 0 مقدار معکوس z -1 وجود دارد که ضرب در آن به عدد 1 می رسد.
9. ضرب مجموع دو عدد در یک سوم معادل عمل ضرب هر یک از آنها در این عدد و جمع کردن نتایج است.
10. 0 ≠ 1.

به اعداد z 1 = x + i×y و z 2 = x - i×y مزدوج می گویند.

قضیه.برای جفت شدن، عبارت زیر درست است:

• مزدوج یک مجموع برابر است با مجموع عناصر مزدوج.
• مزدوج یک محصول برابر است با حاصلضرب مزدوج ها.
• برابر با خود عدد

در جبر عمومی، معمولاً چنین ویژگی هایی را اتومورفیسم میدانی می نامند.

مثال ها

با پیروی از قوانین و فرمول های داده شده برای اعداد مختلط، می توانید به راحتی با آنها کار کنید.

بیایید ساده ترین مثال ها را بررسی کنیم.

وظیفه 1.با استفاده از معادله 3y +5 x i= 15 - 7i، x و y را تعیین کنید.

راه حل. اجازه دهید تعریف برابری های مختلط را به یاد بیاوریم، سپس 3y = 15، 5x = -7. بنابراین x = -7 / 5، y = 5.

وظیفه 2.مقادیر 2 + i 28 و 1 + i 135 را محاسبه کنید.

راه حل. بدیهی است که 28 یک عدد زوج است، از نتیجه تعریف اعداد مختلط به توان i 28 = 1، یعنی عبارت 2 + i 28 = 3 است. مقدار دوم، i 135 = -1، سپس 1 + i 135 = 0.

وظیفه 3.حاصل ضرب مقادیر 2 + 5i و 4 + 3i را محاسبه کنید.

راه حل. از خصوصیات کلی ضرب اعداد مختلط (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20) به دست می آید. مقدار جدید -7 + 26i خواهد بود.

وظیفه 4.ریشه های معادله z 3 = -i را محاسبه کنید.

راه حل. ممکن است چندین گزینه برای یافتن یک عدد مختلط وجود داشته باشد. بیایید یکی از موارد ممکن را در نظر بگیریم. طبق تعریف، ∣ - i∣ = 1، فاز -i -p / 4 است. معادله اصلی را می توان به صورت r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk بازنویسی کرد، از جایی که z = e - p / 12 + pk /3، برای هر عدد صحیح k.

مجموعه راه حل ها به شکل (e - ip/12، e ip /4، e i 2 p/3) است.

چرا اعداد مختلط مورد نیاز است؟

تاریخ مثال‌های زیادی می‌داند که دانشمندان، در حال کار بر روی یک نظریه، حتی به کاربرد عملی نتایج خود فکر نمی‌کنند. ریاضیات قبل از هر چیز یک بازی ذهنی است، پایبندی دقیق به روابط علت و معلولی. تقریباً تمام ساختارهای ریاضی به حل معادلات انتگرال و دیفرانسیل ختم می‌شوند و آن‌ها نیز به نوبه خود با تقریبی با یافتن ریشه‌های چندجمله‌ای حل می‌شوند. در اینجا ابتدا با پارادوکس اعداد خیالی مواجه می شویم.

دانشمندان علوم طبیعی، با حل مسائل کاملاً عملی، توسل به حل معادلات مختلف، پارادوکس های ریاضی را کشف می کنند. تفسیر این پارادوکس ها به کشفیات کاملاً شگفت انگیزی منجر می شود. طبیعت دوگانه امواج الکترومغناطیسییکی از این نمونه ها اعداد مختلط نقش تعیین کننده ای در درک ویژگی های آنها دارند.

این به نوبه خود کاربرد عملی در اپتیک، الکترونیک رادیویی، انرژی و بسیاری از زمینه های تکنولوژیکی دیگر پیدا کرده است. مثال دیگر، درک پدیده های فیزیکی بسیار دشوارتر است. ضد ماده در نوک قلم پیش بینی شده بود. و تنها سال‌ها بعد تلاش‌ها برای سنتز فیزیکی آن آغاز شد.

نباید فکر کرد که چنین موقعیت هایی فقط در فیزیک وجود دارد. اکتشافات کمتر جالبی در طبیعت زنده، در طول سنتز ماکرومولکول ها و در طول مطالعه هوش مصنوعی انجام نمی شود. و همه اینها به لطف گسترش آگاهی ما، دور شدن از جمع و تفریق ساده مقادیر طبیعی است.

اجازه دهید اطلاعات لازم در مورد اعداد مختلط را به خاطر بیاوریم.

عدد مختلطبیان فرم است آ + دو، جایی که آ, باعداد واقعی هستند و من- باصطلاح واحد خیالینمادی که مربع آن برابر با 1 است، یعنی من 2 = -1. عدد آتماس گرفت بخش واقعی، و شماره ب - قسمت خیالیعدد مختلط z = آ + دو. اگر ب= 0، سپس در عوض آ + 0منآنها به سادگی می نویسند آ. مشاهده می شود که اعداد حقیقی حالت خاصی از اعداد مختلط هستند.

عملیات حسابی روی اعداد مختلط مانند اعداد حقیقی است: می توان آنها را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم بر یکدیگر کرد. جمع و تفریق طبق قانون ( آ + دو) ± ( ج + دی) = (آ ± ج) + (ب ± د)منو ضرب از قانون پیروی می کند ( آ + دو) · ( ج + دی) = (ac – bd) + (آگهی + قبل از میلاد مسیح)من(در اینجا از آن استفاده شده است من 2 = -1). شماره = آ – دوتماس گرفت مزدوج پیچیدهبه z = آ + دو. برابری z · = آ 2 + ب 2 به شما امکان می دهد نحوه تقسیم یک عدد مختلط بر عدد مختلط دیگر (غیر صفر) را درک کنید:

(مثلا، .)

اعداد مختلط یک نمایش هندسی راحت و بصری دارند: عدد z = آ + دومی توان با یک بردار با مختصات ( آ; ب) در صفحه دکارتی (یا، که تقریباً همان چیزی است، یک نقطه - انتهای یک بردار با این مختصات). در این حالت، مجموع دو عدد مختلط به عنوان مجموع بردارهای متناظر (که با استفاده از قانون متوازی الاضلاع یافت می شوند) نشان داده می شود. طبق قضیه فیثاغورث، طول بردار با مختصات ( آ; ب) برابر است با . این مقدار نامیده می شود مدولعدد مختلط z = آ + دوو با | نشان داده می شود z|. زاویه ای که این بردار با جهت مثبت محور x می سازد (در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش می شود) نامیده می شود. بحث و جدلعدد مختلط zو با Arg نشان داده می شود z. آرگومان منحصراً تعریف نشده است، بلکه فقط تا جمع مضرب 2 است π رادیان (یا 360 درجه، اگر بر حسب درجه شمارش شود) - پس از همه، واضح است که چرخش با چنین زاویه ای به دور مبدا، بردار را تغییر نمی دهد. اما اگر بردار طول rیک زاویه تشکیل می دهد φ با جهت مثبت محور x، پس مختصات آن برابر است با ( r cos φ ; rگناه φ ). از اینجا معلوم می شود نماد مثلثاتیعدد مختلط: z = |z| · (cos(Arg z) + منگناه (Arg z)). نوشتن اعداد مختلط به این شکل اغلب راحت است، زیرا محاسبات را بسیار ساده می کند. ضرب اعداد مختلط در فرم مثلثاتیخیلی ساده به نظر می رسد: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + ارگ z 2) + منگناه (Arg z 1 + ارگ z 2)) (هنگام ضرب دو عدد مختلط، ماژول های آنها ضرب و آرگومان های آنها اضافه می شود). از اینجا دنبال کنید فرمول های مویور: z n = |z|n· ( n· (ارگ z)) + منگناه ( n· (ارگ z))). با استفاده از این فرمول ها، یادگیری نحوه استخراج ریشه های هر درجه ای از اعداد مختلط آسان است. ریشه درجه نهماز شماره z- این یک عدد مختلط است w، چی w n = z. واضح است که ، و کجا کمی تواند هر مقداری را از مجموعه بگیرد (0، 1، ...، n- 1). این بدان معنی است که همیشه دقیقا وجود دارد nریشه ها nدرجه ام یک عدد مختلط (در صفحه آنها در راس منظم قرار دارند n-گون).