تجزیه و تحلیل ریاضی موضوع. تحلیل ریاضی چیست؟ برای حل موفقیت آمیز مسائل در ریاضیات عالی ضروری است

تجزیه و تحلیل ریاضی
شاخه ای از ریاضیات که روش ها را ارائه می دهد تحقیق کمیفرآیندهای مختلف تغییر؛ به مطالعه میزان تغییر (حساب دیفرانسیل) و تعیین طول منحنی ها، مساحت ها و حجم اشکال محدود شده توسط خطوط منحنی و سطوح (حساب انتگرال) می پردازد. برای مسائل آنالیز ریاضی معمول است که راه حل آنها با مفهوم حد مرتبط باشد. آغاز تجزیه و تحلیل ریاضی در سال 1665 توسط I. Newton و (حدود 1675) به طور مستقل توسط G. Leibniz گذاشته شد، اگرچه کارهای مقدماتی مهمی توسط I. Kepler (1571-1630)، F. Cavalieri (1598-1647) انجام شد. P. Fermat (1601-1647) 1665، J. Wallis (1616-1703) و I. Barrow (1630-1677). برای واضح تر کردن ارائه، به زبان گرافیک متوسل می شویم. بنابراین، ممکن است برای خواننده مفید باشد که به مقاله نگاه کند
هندسه تحلیلی،
قبل از شروع خواندن این مقاله
حساب دیفرانسیل
مماس هادر شکل شکل 1 قطعه ای از منحنی y = 2x - x2 را نشان می دهد که بین x = -1 و x = 3 محصور شده است. بخش های بسیار کوچک این منحنی مستقیم به نظر می رسند. به عبارت دیگر، اگر P نقطه دلخواه این منحنی باشد، خط مستقیم مشخصی از این نقطه می گذرد که تقریبی از منحنی در همسایگی کوچک نقطه P است و هر چه همسایگی کوچکتر باشد، بهتر است. تقریب چنین خطی مماس بر منحنی نقطه P نامیده می شود. وظیفه اصلی حساب دیفرانسیل ساختن است. روش کلی، که به شما امکان می دهد جهت مماس را در هر نقطه از منحنی که مماس در آن وجود دارد پیدا کنید. تصور منحنی با شکست شدید دشوار نیست (شکل 2). اگر P رأس چنین شکستی باشد، می توان یک خط مستقیم تقریبی PT1 - در سمت راست نقطه P و یک خط مستقیم تقریبی دیگر - PT2 - در سمت چپ نقطه P ایجاد کرد. اما هیچ خط مستقیمی وجود ندارد که از آن عبور کند. از طریق نقطه P که منحنی را به خوبی در همسایگی نقطه P در سمت راست و چپ تقریب می‌کند، بنابراین در نقطه P مماس وجود ندارد.

در شکل 1 مماس OT از مبدا O = (0,0) کشیده می شود. شیب این خط 2 است، یعنی. هنگامی که آبسیسا 1 تغییر می کند، مختصات 2 افزایش می یابد. اگر x و y مختصات یک نقطه دلخواه در OT باشند، آنگاه با فاصله x واحدها از O به سمت راست، از O به میزان 2y دور می شویم. واحد به سمت بالا بنابراین، y/x = 2، یا y = 2x. این معادله مماس OT بر منحنی y = 2x - x2 در نقطه O است. اکنون لازم است توضیح دهیم که چرا از مجموعه خطوطی که از نقطه O عبور می کنند، خط مستقیم OT انتخاب شده است. یک خط مستقیم با شیب 2 چه تفاوتی با سایر خطوط مستقیم دارد؟ یک پاسخ ساده وجود دارد، و برای ما دشوار است که در مقابل وسوسه ارائه آن با استفاده از تشبیه مماس به دایره مقاومت کنیم: مماس OT تنها یک نقطه مشترک با منحنی دارد، در حالی که هر خط غیر عمودی دیگری که از آن عبور می کند. نقطه O دو بار منحنی را قطع می کند. این را می توان به صورت زیر تأیید کرد. از آنجایی که عبارت y = 2x - x2 را می توان با کم کردن x2 از y = 2x (معادله خط مستقیم OT) به دست آورد، مقادیر y برای نمودار کمتر از دانش y برای خط مستقیم است. در همه نقاط، به جز نقطه x = 0. در نتیجه، نمودار در همه جا به جز نقطه O، در زیر OT قرار دارد، و این خط مستقیم و نمودار تنها یک نقطه مشترک دارند. علاوه بر این، اگر y = mx معادله خط دیگری باشد که از نقطه O می گذرد، قطعاً دو نقطه تقاطع وجود خواهد داشت. در واقع، mx = 2x - x2 نه تنها برای x = 0، بلکه همچنین برای x = 2 - m. و تنها زمانی که m = 2 هر دو نقطه تقاطع منطبق می شوند. در شکل شکل 3 حالتی را نشان می دهد که m کمتر از 2 باشد، بنابراین یک نقطه تقاطع دوم در سمت راست O ظاهر می شود.

این واقعیت که OT تنها خط مستقیم غیر عمودی است که از نقطه O می گذرد و تنها یک نقطه مشترک با نمودار دارد، مهمترین ویژگی آن نیست. در واقع، اگر به نمودارهای دیگر رجوع کنیم، به زودی مشخص می شود که خاصیت مماس که ذکر کردیم در حالت کلی برآورده نمی شود. به عنوان مثال، از شکل. 4 واضح است که در نزدیکی نقطه (1،1) نمودار منحنی y = x3 به خوبی با خط مستقیم PT تقریب شده است که با این حال بیش از یک نقطه مشترک با آن دارد. با این حال، ما می‌خواهیم PT را مماس بر این نمودار در نقطه P در نظر بگیریم. بنابراین، باید راه دیگری برای جداسازی مماس به غیر از روشی که در مثال اول به خوبی به ما کمک کرد، پیدا کنیم.

فرض کنید یک خط مستقیم (به نام سکونت) از نقطه O و یک نقطه دلخواه Q = (h,k) روی نمودار منحنی y = 2x - x2 کشیده شده است (شکل 5). با جایگزینی مقادیر x = h و y = k در معادله منحنی، به دست می آوریم که k = 2h - h2، بنابراین، شیب سکانس برابر است با

برای h بسیار کوچک، مقدار m نزدیک به 2 است. علاوه بر این، با انتخاب h به اندازه کافی نزدیک به 0، می‌توانیم m را به طور دلخواه به 2 نزدیک کنیم. می‌توانیم بگوییم که با نزدیک شدن h به صفر، m به مرز 2 می‌رود. ، یا اینکه حد m 2 باشد زیرا h به سمت صفر میل می کند. به طور نمادین اینگونه نوشته شده است:

سپس مماس بر نمودار در نقطه O به عنوان یک خط مستقیم از نقطه O با ضریب زاویه ای برابر با این حد تعریف می شود. این تعریف از مماس در حالت کلی قابل اجرا است. بیایید مزایای این روش را با یک مثال دیگر نشان دهیم: بیایید شیب مماس بر نمودار منحنی y = 2x - x2 را در یک نقطه دلخواه P = (x,y) پیدا کنیم، و خود را به ساده ترین حالت محدود نکنیم. P = (0.0). فرض کنید Q = (x + h، y + k) دومین نقطه روی نمودار باشد که در فاصله h در سمت راست P قرار دارد (شکل 6). برای یافتن ضریب زاویه ای k/h PQ سکانسی مورد نیاز است. نقطه Q در یک فاصله است

بالای محور x با باز کردن پرانتزها متوجه می شویم:

با کم کردن y = 2x - x2 از این معادله، فاصله عمودی نقطه P تا نقطه Q را پیدا می کنیم:

بنابراین، ضریب زاویه ای m PQ سکانس برابر است با

اکنون، وقتی h به صفر می رسد، m به 2 - 2x می رود. آخرین مقدار را به عنوان ضریب زاویه ای مماس PT می گیریم. (اگر h مقادیر منفی بگیرد که با انتخاب نقطه Q در سمت چپ P مطابقت دارد، همین نتیجه حاصل می شود.) توجه داشته باشید که برای x = 0 نتیجه به دست آمده با قبلی مطابقت دارد. عبارت 2 - 2x را مشتق 2x - x2 می نامند. در قدیم به مشتق «نسبت افتراقی» و «ضریب تفاضلی» نیز می گفتند. اگر f(x) را با عبارت 2x - x2 نشان دهیم، یعنی.

سپس مشتق را می توان نشان داد

برای یافتن ضریب زاویه ای مماس بر نمودار تابع y = f(x) در هر نقطه، لازم است مقدار x مربوط به این نقطه را با f"(x) جایگزین کنیم. بنابراین، زاویه ای ضریب f"(0) = 2 در x = 0، f"(0) = 0 برای x = 1 و f"(2) = -2 برای x = 2. مشتق نیز با y، dy/dx نشان داده می شود. ، Dхy و Dу. این واقعیت که منحنی y = 2x - x2 در نزدیکی یک نقطه معین عملاً از مماس آن در این نقطه قابل تشخیص نیست، به ما این امکان را می دهد که از شیب مماس به عنوان "شیب منحنی" در نقطه صحبت کنیم. بنابراین، می‌توان ادعا کرد که شیب منحنی مورد نظر ما در نقطه (0,0) شیب 2 دارد. همچنین می‌توان گفت که در x = 0 میزان تغییر y نسبت به x 2 است. در نقطه (2،0) شیب مماس (و منحنی) 2- است. منحنی y = 2x - x2 در این نقطه یک مقدار ثابت دارد.
بالا و پایین.ما فقط نشان دادیم که منحنی f(x) = 2x - x2 در نقطه (1،1) ثابت است. از آنجایی که f"(x) = 2 - 2x = 2(1 - x)، واضح است که برای x کمتر از 1، f"(x) مثبت است و بنابراین y افزایش می یابد. برای x بزرگتر از 1، f"(x) منفی است و بنابراین y کاهش می یابد. بنابراین، در مجاورت نقطه (1،1) که در شکل 6 با حرف M مشخص شده است، مقدار y به مقدار افزایش می یابد. نقطه M، در نقطه M ثابت است و بعد از نقطه M کاهش می یابد. چنین نقطه ای "حداکثر" نامیده می شود زیرا مقدار y در این نقطه از هر یک از مقادیر آن در یک همسایگی به اندازه کافی کوچک آن بیشتر است. حداقل" به عنوان نقطه ای در مجاورت آن تعریف می شود که تمام مقادیر y در خود آن نقطه از مقدار y تجاوز می کند، همچنین ممکن است اتفاق بیفتد که اگرچه مشتق f (x) در نقطه ای ناپدید می شود، اما علامت آن در مجاورت است. این نقطه تغییر نمی کند به چنین نقطه ای که نه حداکثر است و نه حداقل نقطه عطف می گویند به عنوان مثال نقطه منحنی ثابت را پیدا می کنیم

مشتق این تابع برابر است با

و در x = 0، x = 1 و x = -1 ناپدید می شود. آن ها در نقاط (0.0)، (1، -2/15) و (-1، 2/15). اگر x کمی کمتر از -1 باشد، f"(x) منفی است و اگر x کمی بزرگتر از -1 باشد، f"(x) مثبت است. بنابراین، نقطه (-1، 2/15) حداکثر است. به همین ترتیب، می توان نشان داد که نقطه (1، -2/15) یک حداقل است. اما مشتق f"(x) هم قبل از نقطه (0,0) و هم بعد از آن منفی است. بنابراین (0,0) یک نقطه عطف است. مطالعه انجام شده در مورد شکل منحنی و همچنین واقعیت که منحنی محور x را در f (x) = 0 قطع می کند (یعنی زمانی که x = 0 یا

به طور کلی، به جز موارد غیرعادی (منحنی های حاوی قطعات مستقیم یا تعداد بی نهایت خم)، چهار گزینه وجود دارد. موقعیت نسبیمنحنی و مماس در مجاورت نقطه مماس P. (نگاه کنید به شکل 8، که در آن مماس دارای شیب مثبت است.) 1) در هر دو طرف نقطه P، منحنی بالای مماس قرار دارد (شکل 8، a ). در این حالت می گویند منحنی در نقطه P محدب یا مقعر است.

2) در دو طرف نقطه P، منحنی در زیر مماس قرار دارد (شکل 8، ب). در این حالت، منحنی به سمت بالا یا به سادگی محدب گفته می شود. 3) و 4) منحنی بالای مماس در یک طرف نقطه P و پایین در طرف دیگر قرار دارد. در این حالت P نقطه عطف است. با مقایسه مقادیر f"(x) در دو طرف P با مقدار آن در نقطه P، می توان تعیین کرد که در یک مشکل خاص باید با کدام یک از این چهار مورد برخورد کرد.
برنامه های کاربردی.تمامی موارد فوق کاربردهای مهمی در زمینه های مختلف دارد. به عنوان مثال، اگر جسمی با سرعت اولیه 200 فوت در ثانیه به صورت عمودی به سمت بالا پرتاب شود، ارتفاع s که در آن بعد از t ثانیه در مقایسه با نقطه اولیه خواهد بود، خواهد بود.

همانطور که در مثال هایی که در نظر گرفتیم پیش می رویم، متوجه می شویم

این مقدار به صفر می رسد

، سپس ساکن می شود و سپس کاهش می یابد. همینطوریه توضیحات کلیحرکات بدن پرتاب شده به سمت بالا از آن می دانیم که بدن چه زمانی به بالاترین نقطه خود می رسد. در مرحله بعد، با جایگزینی t = 25/4 به f(t)، ما 625 فوت، حداکثر ارتفاع بالابر را دریافت می کنیم. در این مسئله، f"(t) یک معنای فیزیکی دارد. این مشتق سرعت حرکت بدن را در زمان t نشان می دهد. اکنون یک کاربرد از نوع دیگری را در نظر می گیریم (شکل 9). جعبه ای با ته مربع لازم است از یک ورق مقوا به مساحت 75 سانتی متر مربع ساخته شود.این جعبه باید چه ابعادی داشته باشد تا حداکثر حجم داشته باشد؟اگر x ضلع پایه جعبه و h است. ارتفاع آن، سپس حجم جعبه برابر است با V = x2h و مساحت سطح برابر با 75 = x2 + 4xh. با تبدیل معادله، به دست می آید:>" >

، سپس ساکن می شود و سپس کاهش می یابد. این یک توصیف کلی از حرکت بدن پرتاب شده به سمت بالا است. از آن می دانیم که بدن چه زمانی به بالاترین نقطه خود می رسد. در مرحله بعد، با جایگزینی t = 25/4 به f(t)، ما 625 فوت، حداکثر ارتفاع بالابر را دریافت می کنیم. در این مسئله، f"(t) یک معنای فیزیکی دارد. این مشتق سرعت حرکت بدن را در زمان t نشان می دهد. اکنون یک کاربرد از نوع دیگری را در نظر می گیریم (شکل 9). جعبه ای با ته مربع لازم است از یک ورق مقوا به مساحت 75 سانتی متر مربع ساخته شود.این جعبه باید چه ابعادی داشته باشد تا حداکثر حجم داشته باشد؟اگر x ضلع پایه جعبه و h است. ارتفاع آن، سپس حجم جعبه برابر است با V = x2h و مساحت سطح برابر با 75 = x2 + 4xh. با مرتب کردن مجدد معادله، می‌گیریم: ">
با. مشتق f"(x) تا مقدار مثبت است
s و منفی بعد از این زمان. بنابراین، s به افزایش می یابد
، سپس ساکن می شود و سپس کاهش می یابد. این یک توصیف کلی از حرکت بدن پرتاب شده به سمت بالا است. از آن می دانیم که بدن چه زمانی به بالاترین نقطه خود می رسد. در مرحله بعد، با جایگزینی t = 25/4 به f(t)، ما 625 فوت، حداکثر ارتفاع بالابر را دریافت می کنیم. در این مسئله، f"(t) یک معنای فیزیکی دارد. این مشتق سرعت حرکت بدن را در زمان t نشان می دهد. اکنون یک کاربرد از نوع دیگری را در نظر می گیریم (شکل 9). جعبه ای با ته مربع لازم است از یک ورق مقوا به مساحت 75 سانتی متر مربع ساخته شود.این جعبه باید چه ابعادی داشته باشد تا حداکثر حجم داشته باشد؟اگر x ضلع پایه جعبه و h است. ارتفاع آن، حجم جعبه برابر با V = x2h و مساحت سطح برابر است با 75 = x2 + 4xh. با مرتب کردن مجدد معادله، به دست می‌آییم:

جایی که

مشتق V برابر است

و در x = 5 ناپدید می شود. سپس

و V = 125/2. نمودار تابع V = (75x - x3)/4 در شکل نشان داده شده است. 10 (مقادیر x منفی به عنوان نداشتن حذف می شوند معنای فیزیکیدر این مشکل).

مشتقات.یکی از وظایف مهم حساب دیفرانسیل ایجاد روش هایی است که به شما امکان می دهد به سرعت و به راحتی مشتقات را پیدا کنید. به عنوان مثال، محاسبه آن آسان است

(البته مشتق یک ثابت صفر است.) استخراج یک قانون کلی دشوار نیست:

که در آن n هر عدد صحیح یا کسری است. مثلا،

(این مثال نشان می دهد که توان های کسری چقدر مفید هستند.) در اینجا برخی از مهمترین فرمول ها آورده شده است:

قوانین زیر نیز وجود دارد: 1) اگر هر یک از دو تابع g(x) و f(x) مشتقاتی داشته باشند، مشتق مجموع آنها برابر است با مجموع مشتقات این توابع و مشتق تفاوت. برابر است با اختلاف مشتقات، یعنی.

2) مشتق حاصل ضرب دو تابع با فرمول محاسبه می شود:

3) مشتق نسبت دو تابع شکل دارد

4) مشتق تابع ضرب در یک ثابت برابر است با ثابت ضرب در مشتق این تابع، یعنی.

اغلب اتفاق می افتد که مقادیر یک تابع باید گام به گام محاسبه شود. به عنوان مثال، برای محاسبه sin x2، ابتدا باید u = x2 را پیدا کنیم و سپس سینوس u را محاسبه کنیم. ما مشتق چنین توابع پیچیده ای را با استفاده از به اصطلاح "قاعده زنجیره" پیدا می کنیم:

در مثال ما، f(u) = sin u، f "(u) = cos u، بنابراین،

جایی که

این قوانین و سایر قوانین مشابه به شما امکان می دهد بلافاصله مشتقات بسیاری از توابع را بنویسید.
تقریب های خطیاین واقعیت که با دانستن مشتق، در بسیاری از موارد می توانیم نمودار یک تابع نزدیک به یک نقطه خاص را با مماس آن در این نقطه جایگزین کنیم، از اهمیت زیادی برخوردار است، زیرا کار با خطوط مستقیم آسان تر است. این ایده کاربرد مستقیمی در محاسبه مقادیر تقریبی توابع پیدا می کند. به عنوان مثال، محاسبه مقدار بسیار دشوار است

Max-width="" :="" height:="" auto="" width:="">
مماس بدون انجام هیچ اشتباه جدی. ضریب زاویه ای چنین مماس برابر است با مقدار مشتق (x1/3)" = (1/3)x -2/3 در x = 1، یعنی 1/3. از آنجایی که نقطه (1،1) روی منحنی قرار دارد و زاویه ای ضریب مماس بر منحنی در این نقطه 1/3 است، معادله مماس به شکل>"> است.

مماس بدون انجام هیچ اشتباه جدی. ضریب زاویه ای چنین مماس برابر است با مقدار مشتق (x1/3)" = (1/3)x -2/3 در x = 1، یعنی 1/3. از آنجایی که نقطه (1،1) روی منحنی قرار دارد و زاویه ای ضریب مماس بر منحنی در این نقطه 1/3 است، معادله مماس به شکل "> است.
در x = 1.033. اما می توانید از نزدیک بودن عدد 1.033 به 1 و آن استفاده کنید
. نزدیک x = 1 می توانیم نمودار را با یک منحنی جایگزین کنیم
مماس بدون انجام هیچ اشتباه جدی. ضریب زاویه ای چنین مماس برابر است با مقدار مشتق (x1/3)" = (1/3)x -2/3 در x = 1، یعنی 1/3. از آنجایی که نقطه (1،1) روی منحنی قرار دارد و زاویه ای ضریب مماس بر منحنی در این نقطه 1/3 است، معادله مماس به شکل

یا

در این خط مستقیم در x = 1.033

مقدار y حاصل باید بسیار نزدیک به مقدار y واقعی باشد. و در واقع، فقط 0.00012 بیشتر از واقعی است. در تجزیه و تحلیل ریاضی، روش هایی توسعه یافته اند که امکان افزایش دقت این نوع تقریب های خطی را فراهم می کند. این روش ها قابلیت اطمینان محاسبات تقریبی ما را تضمین می کنند. روشی که توضیح داده شد یک نماد مفید را نشان می دهد. فرض کنید P نقطه متناظر در نمودار تابع f به متغیر x باشد و تابع f(x) قابل تمایز باشد. اجازه دهید نمودار منحنی نزدیک نقطه P را با مماس بر روی آن که در این نقطه ترسیم شده است جایگزین کنیم. اگر x با مقدار h تغییر کند، آنگاه مختصات مماس با مقدار h*f"(x) تغییر می کند. اگر h بسیار کوچک باشد، آنگاه مقدار دوم تقریب خوبی برای تغییر واقعی در y است. اگر به جای h نماد dx را بنویسیم (این حاصل ضرب نیست!) و تغییر y را با dy نشان دهیم، آنگاه dy = f"(x)dx یا dy می‌شویم. /dx = f"(x) (شکل 11 را ببینید). بنابراین، به جای Dy یا f"(x) برای نشان دادن نماد مشتق dy/dx اغلب استفاده می شود. راحتی این نماد عمدتاً به ظاهر صریح قانون زنجیره (تمایز یک تابع پیچیده) بستگی دارد. در نماد جدید این فرمول به صورت زیر است:

جایی که منظور این است که y به u بستگی دارد و u به نوبه خود به x بستگی دارد. کمیت dy دیفرانسیل y نامیده می شود. در واقع به دو متغیر یعنی x و افزایش dx بستگی دارد. هنگامی که تغییر در dx بسیار کوچک است، مقدار dy نزدیک به تغییر متناظر در مقدار y است. اما نیازی به فرض کوچک بودن افزایش dx نیست. مشتق تابع y = f(x) را به صورت f"(x) یا dy/dx نشان می دهیم. اغلب می توان مشتق مشتق را گرفت. نتیجه را مشتق دوم f(x) می نامند و f"(x) یا d 2y/dx2 نشان داده شده است. به عنوان مثال، اگر f(x) = x3 - 3x2، پس f"(x) = 3x2 - 6x و f"(x) = 6x - 6. نمادگذاری مشابه برای مشتقات مرتبه بالاتر استفاده می شود. با این حال، برای جلوگیری از مقدار زیاد strokes (برابر مرتبه مشتق)، مشتق چهارم (مثلا) را می توان به صورت f (4)(x) و مشتق مرتبه n را به صورت f (n)(x) نوشت. می توان نشان داد که منحنی در یک نقطه اگر مشتق دوم مثبت باشد به سمت پایین محدب است و اگر مشتق دوم منفی باشد به سمت بالا محدب است. اگر تابعی مشتق دوم داشته باشد، تغییر مقدار y مربوط به افزایش dx متغیر x را می توان تقریباً با استفاده از فرمول محاسبه کرد.

این تقریب، به عنوان یک قاعده، بهتر از آن چیزی است که توسط دیفرانسیل f"(x)dx ارائه می شود. مربوط به جایگزینی بخشی از منحنی نه با یک خط مستقیم، بلکه با یک سهمی است. اگر تابع f(x) مشتقاتی داشته باشد. پس از سفارشات بالاتر

عبارت باقی مانده دارای فرم است

که در آن x عددی بین x و x + dx است. نتیجه فوق فرمول تیلور با ترم باقیمانده نامیده می شود. اگر f(x) مشتقاتی از همه مرتبه ها داشته باشد، معمولاً Rn (r) 0 برای n (r) Ґ.
حساب انتگرال
مربع هاهنگام مطالعه مناطق شکل های صفحه منحنی، جنبه های جدیدی از تجزیه و تحلیل ریاضی آشکار می شود. یونانیان باستان سعی در حل مشکلاتی از این دست داشتند که برای آنها تعیین مساحت دایره یکی از دشوارترین کارها بود. ارشمیدس در حل این مشکل به موفقیت بزرگی دست یافت، او همچنین توانست مساحت یک بخش سهموی را پیدا کند (شکل 12). ارشمیدس با استفاده از استدلال بسیار پیچیده ثابت کرد که مساحت یک قطعه سهموی 2/3 مساحت مستطیل محصور شده است و بنابراین در این مورد برابر است با (2/3)(16) = 32/. 3. همانطور که در ادامه خواهیم دید، این نتیجه را می توان به راحتی با روش های تحلیل ریاضی به دست آورد.

پیشینیان نیوتن و لایب نیتس، عمدتاً کپلر و کاوالیری، مشکلات محاسبه مساحت اشکال منحنی را با استفاده از روشی حل کردند که به سختی می توان آن را منطقاً صحیح نامید، اما بسیار پربار بود. هنگامی که والیس در سال 1655 روش های کپلر و کاوالیری را با روش های دکارت (هندسه تحلیلی) ترکیب کرد و از جبر تازه ظهور بهره برد، صحنه کاملاً برای ظهور نیوتن آماده شد. والیس شکل، مساحتی که باید محاسبه شود را به نوارهای بسیار باریک تقسیم کرد، که هر کدام را تقریباً یک مستطیل در نظر گرفت. سپس مساحت مستطیل‌های تقریبی را جمع کرد و در ساده‌ترین حالت‌ها مقداری را به دست آورد که مجموع مساحت مستطیل‌ها زمانی که تعداد نوارها به بی‌نهایت میل می‌کند، به آن گرایش دارد. در شکل شکل 13 مستطیل های مربوط به یک تقسیم معین به نوارهایی از ناحیه زیر منحنی y = x2 را نشان می دهد.

قضیه اصلیکشف بزرگ نیوتن و لایب نیتس این امکان را فراهم کرد که روند پرزحمت رفتن به مرز مجموع مساحت ها حذف شود. این به لطف نگاه جدید به مفهوم منطقه انجام شد. نکته این است که ما باید ناحیه زیر منحنی را به‌صورتی تصور کنیم که توسط یک اردیتی که از چپ به راست حرکت می‌کند، ایجاد می‌شود و بپرسیم که مساحتی که رده‌ها تابیده می‌شوند با چه سرعتی تغییر می‌کند. اگر دو مورد خاص را در نظر بگیریم که منطقه از قبل شناخته شده است، کلید پاسخ به این سوال را به دست خواهیم آورد. بیایید با مساحت زیر نمودار تابع خطی y = 1 + x شروع کنیم، زیرا در این مورد می توان مساحت را با استفاده از هندسه ابتدایی محاسبه کرد. فرض کنید A(x) بخشی از صفحه محصور بین خط مستقیم y = 1 + x و قطعه OQ باشد (شکل 14). با حرکت QP به سمت راست، ناحیه A(x) افزایش می یابد. با چه سرعتی؟ پاسخ به این سوال دشوار نیست، زیرا می دانیم که مساحت ذوزنقه برابر با حاصل ضرب ارتفاع و نصف مجموع پایه های آن است. از این رو،

میزان تغییر ناحیه A(x) با مشتق آن تعیین می شود

می‌بینیم که A"(x) با ضریب در نقطه P منطبق است. آیا این تصادفی است؟ بیایید سعی کنیم سهمی را که در شکل 15 نشان داده شده است بررسی کنیم. ناحیه A (x) زیر سهمی y = x2 در فاصله از 0 به x برابر است با A(x) = (1/3)(x)(x2) = x3/3 میزان تغییر این ناحیه با

که دقیقاً با ترتیب نقطه متحرک P منطبق است. اگر فرض کنیم که این قاعده در حالت کلی رعایت می شود به طوری که

نرخ تغییر مساحت زیر نمودار تابع y = f(x) است، سپس می توان از آن برای محاسبات مناطق دیگر استفاده کرد. در واقع، رابطه A"(x) = f(x) یک قضیه اساسی را بیان می کند که می توان آن را به صورت زیر بیان کرد: مشتق یا نرخ تغییر مساحت به عنوان تابعی از x برابر است با مقدار تابع f(x) در نقطه x. به عنوان مثال برای پیدا کردن مساحت زیر نمودار تابع y = x3 از 0 تا x (شکل 16)، بگذارید

پاسخ احتمالی به شرح زیر است:

از آنجایی که مشتق x4/4 واقعا برابر با x3 است. همچنین، A(x) در x = 0 صفر است، همانطور که اگر A(x) واقعا یک مساحت باشد، باید باشد. تجزیه و تحلیل ریاضی ثابت می کند که پاسخ دیگری به جز عبارت فوق برای A(x) وجود ندارد. اجازه دهید نشان دهیم که این جمله با استفاده از استدلال اکتشافی (غیر دقیق) زیر قابل قبول است. فرض کنید راه حل دوم B(x) وجود دارد. اگر A(x) و B(x) به طور همزمان از صفر در x = 0 "شروع" کنند و همیشه با سرعت یکسان تغییر کنند، آنگاه مقادیر آنها نمی تواند در هیچ x متفاوت باشد. آنها باید در همه جا منطبق باشند. بنابراین، یک راه حل منحصر به فرد وجود دارد. چگونه می توان رابطه A"(x) = f(x) را در حالت کلی توجیه کرد؟ این سوال را فقط با مطالعه نرخ تغییر مساحت به عنوان تابعی از x در حالت کلی می توان پاسخ داد. فرض کنید m کوچکترین باشد. مقدار تابع f (x) در محدوده x تا (x + h) و M - بالاترین ارزشاین تابع در همان بازه زمانی سپس افزایش مساحت هنگام حرکت از x به (x + h) باید بین مساحت دو مستطیل قرار گیرد (شکل 17). پایه هر دو مستطیل برابر با h است. مستطیل کوچکتر دارای ارتفاع m و مساحت mh است، مستطیل بزرگتر به ترتیب دارای M و Mh است. نمودار مساحت در مقابل x (شکل 18) نشان می‌دهد که وقتی آبسیسا با h تغییر می‌کند، مقدار ارتین (یعنی مساحت) با مقدار موجود بین mh و Mh افزایش می‌یابد. شیب سکنت در این نمودار بین m و M است. وقتی h به صفر می‌رسد چه اتفاقی می‌افتد؟ اگر نمودار تابع y = f(x) پیوسته باشد (یعنی شامل ناپیوستگی نباشد)، هر دو M و m به f(x) تمایل دارند. در نتیجه، شیب A"(x) نمودار مساحت به عنوان تابعی از x برابر است با f(x) این دقیقاً نتیجه ای است که باید به آن می رسید.

لایب نیتس نماد مساحت زیر منحنی y = f(x) را از 0 تا a پیشنهاد کرد.

در یک رویکرد دقیق، این به اصطلاح انتگرال معین باید به عنوان حد مبالغ معین به روش والیس تعریف شود. با در نظر گرفتن نتیجه به دست آمده در بالا، واضح است که این انتگرال در شرایطی محاسبه می شود که بتوانیم تابع A(x) را پیدا کنیم که در x = 0 ناپدید می شود و مشتق A"(x) برابر با f (x) دارد. یافتن چنین توابعی معمولاً انتگرال نامیده می شود، اگرچه مناسب تر است که این عملیات را ضد تمایز بنامیم، به این معنی که به نوعی معکوس تمایز است. در مورد چند جمله ای، یکپارچه سازی به سادگی انجام می شود. اگر

که

که با افتراق A(x) به راحتی قابل تایید است. برای محاسبه مساحت A1 زیر منحنی y = 1 + x + x2/2، موجود بین مختصات 0 و 1، به سادگی می نویسیم

و با جایگزینی x = 1، A1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3 بدست می آوریم. مساحت A(x) از 0 تا 2 A2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3 است. همانطور که در شکل دیده میشود. 19، مساحت محصور بین دستورات 1 و 2 A2 - A1 = 11/3 است. معمولاً به صورت یک انتگرال معین نوشته می شود

حجم هااستدلال مشابه، محاسبه حجم اجسام چرخشی را به طرز شگفت انگیزی آسان می کند. بیایید این را با مثال محاسبه حجم یک کره نشان دهیم، یکی دیگر از مشکلات کلاسیک که یونانیان باستان با استفاده از روش های شناخته شده برای آنها، موفق به حل آن به سختی شدند. اجازه دهید بخشی از صفحه را که در داخل یک چهارم دایره شعاع r قرار دارد با زاویه 360 درجه حول محور x بچرخانیم. در نتیجه، نیمکره ای به دست می آید (شکل 20) که حجم آن با V(x) نشان داده می شود. ما باید سرعت افزایش V(x) را با افزایش x تعیین کنیم. با حرکت از x به x + h، به راحتی می توان تأیید کرد که افزایش حجم کمتر از حجم p(r2 - x2)h یک استوانه دایره ای با شعاع است.

Max-width="" :="" height:="" auto="" width:="">
و ارتفاع h بنابراین، در نمودار تابع V(x)، شیب سکنت بین p(r2 - x2) و p[] است. همانطور که h به سمت صفر میل می کند، شیب به سمت «> می شود

و ارتفاع h و بزرگتر از حجم p[]h یک استوانه با شعاع

و ارتفاع h بنابراین، در نمودار تابع V(x)، شیب سکنت بین p(r2 - x2) و p[] است. همانطور که h به سمت صفر میل می کند، شیب به سمت صفر می رود

از این رو،

برای x = r به دست می آوریم

برای حجم نیمکره، و بنابراین 4pr3/3 برای حجم کل کره. یک روش مشابه به فرد امکان می دهد طول منحنی ها و نواحی سطوح منحنی را پیدا کند. به عنوان مثال، اگر a(x) طول قوس PR در شکل 2 باشد. 21، سپس وظیفه ما محاسبه a"(x) است. در سطح اکتشافی، از تکنیکی استفاده خواهیم کرد که به ما امکان می دهد به حد معمول برای اثبات دقیق نتیجه متوسل نشویم. اجازه دهید فرض کنیم که سرعت تغییر تابع a(x) در نقطه P یکسان است، اگر منحنی با مماس PT آن در نقطه P جایگزین شود چه خواهد بود. اما از شکل 21 بلافاصله مشخص می شود که با یک گام h به سمت راست یا چپ از نقطه x در امتداد PT مقدار a(x) به تغییر می کند

بنابراین، نرخ تغییر تابع a(x) برابر است

برای یافتن تابع a(x)، فقط باید عبارت سمت راست برابری را ادغام کنید. به نظر می رسد که یکپارچه سازی برای اکثر توابع بسیار دشوار است. بنابراین، توسعه روش های حساب انتگرال بخش بزرگی از تجزیه و تحلیل ریاضی را تشکیل می دهد.
ضد مشتقاتهر تابعی که مشتق آن برابر با یک تابع معین f(x) باشد، برای f(x) پاد مشتق (یا ابتدایی) نامیده می شود. به عنوان مثال، x3/3 یک پاد مشتق برای تابع x2 است، زیرا (x3/3)" = x2. البته x3/3 تنها پاد مشتق تابع x2 نیست، زیرا x3/3 + C نیز یک مشتق است. برای x2 برای هر ثابت C با این حال، در موارد زیر موافقت می کنیم که چنین ثابت های افزایشی را حذف کنیم.

که در آن n یک عدد صحیح مثبت است، زیرا (xn + 1/(n + 1))" = xn. اگر n با هر عدد گویا k جایگزین شود، به جز -1، رابطه (1) به معنای کلی تر ارضا می شود. تابع پاد مشتق دلخواه برای یک تابع معین f(x) معمولاً انتگرال نامعین f(x) نامیده می شود و به صورت نشان داده می شود.

به عنوان مثال، از آنجایی که (sin x)" = cos x، فرمول معتبر است

از فرمول (1) نتیجه می گیرد که

برای n برابر با -1 نیست. از آنجا که (lnx)" = x-1، پس

.
در بسیاری از موارد که فرمولی برای انتگرال نامعین یک تابع معین وجود دارد، می توان آن را در جداول متعدد منتشر شده از انتگرال های نامعین یافت. انتگرال های توابع ابتدایی(اینها شامل توان ها، لگاریتم ها، تابع نمایی، توابع مثلثاتی، توابع مثلثاتی معکوس و همچنین ترکیبات محدود آنها که با استفاده از عملیات جمع، تفریق، ضرب و تقسیم به دست آمده است). با استفاده از انتگرال های جدول می توانید انتگرال توابع پیچیده تر را محاسبه کنید. راه های زیادی برای محاسبه انتگرال های نامعین وجود دارد. رایج ترین آنها روش جایگزینی متغیر یا جایگزینی است. این شامل این واقعیت است که اگر بخواهیم x را در انتگرال نامعین (2) با یک تابع متمایز x = g(u) جایگزین کنیم، برای اینکه انتگرال تغییر نکند، باید x را با g"(u) جایگزین کنیم. به عبارت دیگر، برابری واقعی است

مثال 1.

(جایگزینی 2x = u، از آنجا 2dx = du). اجازه دهید روش ادغام دیگری را ارائه دهیم - روش ادغام توسط قطعات. این بر اساس فرمول از قبل شناخته شده است

می توان اینگونه نوشت:

با ادغام سمت چپ و راست و در نظر گرفتن آن

ما گرفتیم

این فرمول فرمول یکپارچه سازی با قطعات نامیده می شود.
مثال 2.نیاز به پیدا کردن

. از آنجایی که cos x = (sin x)»، می توانیم آن را بنویسیم

از (5) با فرض u = x و v = sin x، بدست می آوریم

و از آنجا که (-cos x)" = sin x آن را می یابیم

و

مثال 3.

باید تاکید کرد که ما خودمان را به خیلی محدود کردیم یک مقدمه کوتاهبه یک موضوع بسیار گسترده، که در آن تکنیک های مبتکرانه متعددی انباشته شده است.
توابع دو متغیردر ارتباط با منحنی y = f(x) دو مسئله را در نظر گرفتیم. 1) ضریب زاویه ای مماس بر منحنی را در یک نقطه مشخص پیدا کنید. این مشکل با محاسبه مقدار مشتق f"(x) در نقطه مشخص حل می شود. 2) مساحت زیر منحنی بالای قطعه محور x را که با خطوط عمودی x = a و x = b محدود شده است، پیدا کنید. این مشکل با محاسبه انتگرال معین حل می شود

مثال های زیر نشان می دهد که چگونه این مشکلات حل می شوند.
مثال 4.صفحه مماس به سطح را پیدا کنید

در نقطه (0،0،2). یک صفحه تعریف می شود که دو خط متقاطع در آن داده شود. یکی از این خطوط مستقیم (l1) را در صفحه xz (y = 0)، دومی (l2) در صفحه yz (x = 0) خواهیم داشت (شکل 23 را ببینید).

اول از همه، اگر y = 0، پس z = f(x,0) = 2 - 2x - 3x2. مشتق نسبت به x که با f"x(x,0) = -2 - 6x نشان داده می شود، در x = 0 دارای مقدار -2 است. خط l1 که با معادلات z = 2 - 2x، y = 0 - داده می شود. مماس بر C1، خط تقاطع سطح با صفحه y = 0. به طور مشابه، اگر x = 0، آنگاه f(0,y) = 2 - y - y2، و مشتق نسبت به y شکل دارد.

از آنجایی که f"y(0,0) = -1، منحنی C2 - خط تقاطع سطح با صفحه yz - دارای مماس l2 است که با معادلات z = 2 - y، x = 0 به دست می آید. مماس مورد نظر صفحه شامل هر دو خط مستقیم l1 و l2 است و توسط معادله نوشته می شود

این معادله هواپیما است. علاوه بر این، خطوط مستقیم l1 و l2 را با فرض y = 0 و x = 0 به دست می آوریم. این واقعیت که رابطه (7) واقعاً صفحه مماس را تعریف می کند، می توان در یک سطح اکتشافی تأیید کرد اگر متوجه شویم که این معادله شامل عبارات است. از مرتبه اول موجود در معادله (6) و اینکه عبارت های مرتبه دوم را می توان به شکل -[] نشان داد. از آنجایی که این عبارت برای همه مقادیر x و y منفی است، به جز x = y = 0، سطح (6) در زیر صفحه (7) در همه جا قرار دارد، به جز نقطه P = (0,0,0). می توان گفت که سطح (6) در نقطه P به سمت بالا محدب است.
مثال 5.صفحه مماس به سطح z = f(x,y) = x2 - y2 را در مبدا 0 پیدا کنید. در صفحه y = 0 داریم: z = f(x,0) = x2 و f"x(x, 0) = 2x. در C1، خط تقاطع، z = x2. در نقطه O، شیب برابر است با f"x(0,0) = 0. در صفحه x = 0 داریم: z = f( 0,y) = -y2 و f"y (0,y) = -2y. در C2، خط تقاطع، z = -y2. در نقطه O، شیب منحنی C2 f"y (0,0) است. = 0. از آنجایی که مماس های C1 و C2 محورهای x و y هستند، صفحه مماس حاوی آن صفحه z = 0 است. اما در همسایگی مبدا، سطح ما در یک سمت صفحه مماس نیست. . در واقع، منحنی C1 در همه جا، به استثنای نقطه 0، بالای صفحه مماس، و منحنی C2، به ترتیب در زیر آن قرار دارد. سطح صفحه مماس z = 0 را در امتداد خطوط مستقیم y = x و y = -x قطع می کند. گفته می شود که چنین سطحی در مبدا دارای یک نقطه زین است (شکل 24).

مشتقات جزئی.در مثال های قبلی از مشتقات f (x,y) نسبت به x و y استفاده کردیم. اجازه دهید اکنون چنین مشتقاتی را به معنای کلی تر در نظر بگیریم. اگر تابعی از دو متغیر داشته باشیم، به عنوان مثال، F(x,y) = x2 - xy، در هر نقطه می توانیم دو مشتق جزئی آن را تعیین کنیم، یکی با متمایز کردن تابع نسبت به x و ثابت کردن y، دیگری با تمایز نسبت به y و ثابت کردن x. اولین مورد از این مشتقات به صورت f"x(x,y) یا df/dx نشان داده می شود؛ دومی - به صورت f"y(x,y) یا df/dy. اگر f(x,y) = x2 - xy، df/dx = 2x - y و df/dy = -x. توجه داشته باشید که مشتقات جزئی هر تابع، به طور کلی، توابع جدیدی هستند. در عمل، این توابع به نوبه خود قابل تمایز هستند. مشتقات جزئی f"x نسبت به x و y معمولاً به ترتیب با و یا d2f/dx2 و d2f/dxdy نشان داده می شوند؛ نمادهای مشابه برای مشتقات جزئی f"y استفاده می شود. اگر هر دو مشتق مخلوط (با توجه به x و y، نسبت به y و x) پیوسته باشند، آنگاه d2f/dxdy = d2f/dydx. در مثال ما d2f/dxdy = d2f/dydx = -1. مشتق جزئی f"x(x,y) میزان تغییر تابع f را در نقطه (x,y) در جهت افزایش x و f"y(x,y) نشان دهنده نرخ تغییر است. تابع f در جهت افزایش y. سرعت تغییر تابع f در نقطه (x,y) در جهت خط مستقیمی که زاویه q را با جهت مثبت محور x ایجاد می کند، مشتق تابع f نسبت به جهت نامیده می شود. مقدار آن ترکیبی از دو مشتق جزئی تابع f - نسبت به x و y است و برابر است با

همانطور که قبلاً در موارد خاص دیدیم، صفحه مماس به سطح z = f(x,y) در نقطه (x0, y0) دارای معادله است.

اگر x - x0 را با dx و y - y0 را با dy نشان دهیم، معادله صفحه مماس به این معنی است که تغییر dz = z - z0 در صفحه مماس، زمانی که x با dx و y با dy تغییر می کند، برابر است با dz = f"x (x0,y0)dx + f"y(x0,y0)dy. این کمیت را دیفرانسیل تابع f می نامند. اگر f مشتقات جزئی پیوسته داشته باشد، آنگاه تغییر dz در صفحه مماس تقریباً برابر است (برای dx و dy کوچک) با تغییر واقعی z در سطح، اما محاسبه دیفرانسیل معمولاً آسان‌تر است. فرمول حاصل از روش تغییر متغیر که قبلاً در نظر گرفتیم، به عنوان مشتق تابع مختلط یا قانون زنجیره شناخته می شود، در حالت تک بعدی که y به x و x به t بستگی دارد، به شکل زیر است:

برای توابع دو متغیر، یک فرمول مشابه به شکل زیر است:

تعمیم مفاهیم و نمادهای تمایز جزئی به ابعاد بالاتر آسان است. به ویژه، اگر سطح به طور ضمنی با معادله f(x,y,z) = 0 داده شود، معادله صفحه مماس به سطح را می توان شکل متقارن تری ارائه داد: معادله صفحه مماس در نقطه ( x0,y0,z0) دارای فرم است

اگر به یک سطح f(x,y,z) = 0 داده شود و ما بخواهیم بفهمیم که چه چیزی روی سطح اتفاق می افتد، معمولاً هر دو از سه متغیر را می توان مستقل در نظر گرفت و متغیر سوم را می توان وابسته به آن در نظر گرفت. آنها را گاهی اوقات از نماد (dz/dx)y برای نشان دادن مشتقات جزئی در این مورد استفاده می شود تا تأکید شود که تمایز با توجه به x انجام می شود و y متغیر مستقل در نظر گرفته می شود. ما داریم:

این فرمول تاکید می کند که ما نمی توانیم به نمادهای dx، dy، dz معنای مستقلی بدهیم یا dz/dx را به عنوان نسبت dz به dx در نظر بگیریم. اکنون به مثال مشکل دوم می پردازیم، یعنی. محاسبه حجم ها
مثال 6.حجم جسم محصور شده بین سطح را بیابید

و بالای مربع واحد، شکل 25.

فرض کنید V(x) حجم محدود شده توسط سطح و پنج صفحه، یعنی z = 0، y = 0، y = 1، x = 0 و صفحه PQRS، عمود بر محور x و قطع کننده این محور در فاصله باشد. x از مبدا. به راحتی می توان دید که مشتق V"(x) برابر با A(x)، سطح مقطع PQRS است.

اما A(x) مساحت زیر منحنی است

از این رو،

جایی که ادغام بر روی y انجام می شود و x به عنوان یک ثابت در نظر گرفته می شود. با جایگزینی (9) به (8)، V را به عنوان یک انتگرال تکرار شده می نویسیم

فرمول (10) فرض می کند که ابتدا یکپارچگی داخلی انجام می شود. نتیجه این ادغام، عبارت [[(5/6) - (x2/4)]]، سپس بر روی x از 0 تا 1 ادغام می شود. نتیجه نهایی 3/4 است. فرمول (10) را می توان به عنوان یک انتگرال دوگانه نیز تفسیر کرد. به عنوان حدی از مجموع حجم های "سلول های" ابتدایی. هر کدام از این سلول ها دارای یک پایه DxDy و ارتفاعی برابر با ارتفاع سطح بالای یک نقطه مشخص از پایه مستطیلی است (شکل 26 را ببینید). می توان نشان داد که هر دو دیدگاه در فرمول (10) معادل هستند. انتگرال های دوگانه برای یافتن مراکز ثقل و گشتاورهای متعددی که در مکانیک با آن مواجه می شوند استفاده می شود.

یک توجیه دقیق تر از دستگاه ریاضی. تاکنون مفاهیم و روش های تحلیل ریاضی را در سطح شهودی ارائه کرده ایم و از توسل به اشکال هندسی دریغ نکرده ایم. برای ما باقی مانده است که به طور خلاصه روش های دقیق تری را که در قرن 19 و 20 پدیدار شدند، بررسی کنیم. در آغاز قرن نوزدهم، زمانی که دوران طوفان و فشار در "ایجاد تجزیه و تحلیل ریاضی" به پایان رسید، سؤالات توجیه آن بر سر زبان ها افتاد. در آثار آبل، کوشی و تعدادی دیگر از ریاضیدانان برجسته، مفاهیم "حد"، "تابع پیوسته"، "سری همگرا" دقیقاً تعریف شده است. این امر به منظور وارد کردن نظم منطقی به اساس تحلیل ریاضی به منظور تبدیل آن به یک ابزار تحقیق قابل اعتماد ضروری بود. نیاز به یک توجیه کامل پس از کشف در سال 1872 توسط وایرشتراس توابعی که در همه جا پیوسته بودند اما هیچ جا قابل تمایز نبودند، آشکارتر شد (گراف چنین توابعی در هر نقطه پیچیدگی دارد). این نتیجه تأثیر خیره کننده ای بر ریاضیدانان داشت، زیرا به وضوح با شهود هندسی آنها در تضاد بود. نمونه بارزتر از غیرقابل اعتماد بودن شهود هندسی، منحنی پیوسته ساخته شده توسط D. Peano بود که یک مربع خاص را کاملاً پر می کند. عبور از تمام نقاط آن این اکتشافات و سایر اکتشافات باعث ایجاد برنامه "حساب سازی" ریاضیات شد، یعنی. با اثبات همه، آن را قابل اعتمادتر می کند مفاهیم ریاضیبا استفاده از مفهوم عدد پرهیز تقریباً خالصانه از وضوح در آثار مربوط به مبانی ریاضیات توجیه تاریخی خود را داشت. با توجه به قوانین جدید دقت منطقی، صحبت در مورد مساحت زیر منحنی y = f(x) و بالای قسمتی از محور x غیر قابل قبول است، حتی اگر f یک تابع پیوسته باشد، بدون اینکه ابتدا معنای دقیق آن تعریف شود. اصطلاح "منطقه" و بدون اینکه مشخص شود منطقه ای که به این ترتیب تعریف شده است واقعا وجود دارد. این مشکل در سال 1854 توسط B. Riemann که تعریف دقیقی از مفهوم انتگرال معین ارائه کرد، با موفقیت حل شد. از آن زمان، ایده جمع بندی در پس مفهوم انتگرال معین موضوع بسیاری از مطالعات و تعمیم های عمیق بوده است. در نتیجه امروزه می توان به انتگرال معین معنا بخشید، حتی اگر انتگرال در همه جا ناپیوسته باشد. مفاهیم جدید ادغام، که A. Lebesgue (1875-1941) و دیگر ریاضیدانان سهم زیادی در ایجاد آنها داشتند، قدرت و زیبایی تجزیه و تحلیل ریاضی مدرن را افزایش داد. به سختی می توان به جزئیات در مورد همه این مفاهیم و مفاهیم دیگر پرداخت. ما فقط به ارائه تعاریف دقیق از حد و انتگرال معین اکتفا می کنیم. 1) عدد L را حد تابع f (x) برای x می نامند که به a تمایل دارد، اگر برای هر عدد دلخواه کوچک e یک عدد مثبت متناظر d وجود داشته باشد به طوری که

گردآوری شده توسط Yu.V. Obrubov

کالوگا - 2012

مقدمه ای بر تحلیل ریاضی.

اعداد واقعی. متغیرها و ثابت ها

یکی از مفاهیم اساسی ریاضیات است عدد. اعداد مثبت 1،2،3، ... که هنگام شمارش به دست می آیند، نامیده می شوند طبیعی اعداد ... -3،-2،-1،0،1،2،3،... را اعداد صحیح می گویند. اعدادی که می توانند به صورت نسبت متناهی دو عدد صحیح بیان شوند (
) نامیده می شوند گویا. این شامل اعداد صحیح و کسرها، اعداد مثبت و منفی است. اعدادی که با کسرهای نامتناهی غیر تناوبی نشان داده می شوند نامیده می شوند غیر منطقی نمونه هایی از اعداد غیر منطقی هستند
,
. در مجموعه اعداد غیر منطقی وجود دارد ماورایی شماره. اینها اعدادی هستند که حاصل عملیات غیر جبری هستند. معروف ترین آنها عدد است و شماره Neperovo . اعداد گویا و غیر منطقی نامیده می شوند معتبر . اعداد واقعی با نقاط روی خط اعداد نشان داده می شوند. هر نقطه در خط اعداد مربوط به یک عدد واقعی منفرد و برعکس، هر عدد واقعی مربوط به یک نقطه از خط اعداد است. بنابراین، یک تناظر یک به یک بین اعداد واقعی و نقاط روی خط اعداد برقرار می شود. این باعث می شود که از اصطلاحات "عدد a" و "نقطه a" به طور مساوی استفاده شود.

در فرآیند مطالعه فرآیندهای مختلف فیزیکی، اقتصادی و اجتماعی، اغلب باید با کمیت هایی سروکار داشت که مقادیر عددی پارامترهای پدیده های مورد مطالعه را نشان می دهند. در همان زمان، برخی از آنها تغییر می کنند، در حالی که برخی دیگر ارزش های خود را حفظ می کنند.

متغیر کمیتی است که مقادیر عددی متفاوتی به خود می گیرد. کمیتی که مقدار عددی آن در یک مسئله یا آزمایش معین تغییر نمی کند نامیده می شود ثابت. مقادیر متغیر معمولاً با حروف لاتین نشان داده می شوند
و ثابت ها
.

مقدار متغیر اگر مجموعه مقادیری که می تواند بگیرد مشخص باشد داده شده در نظر گرفته می شود. این مجموعه را محدوده تغییرات متغیر می نامند.

انواع مختلفی از مجموعه مقادیر یک متغیر عددی وجود دارد.

فاصله مجموعه مقادیر x موجود بین اعداد a و b است، در حالی که اعداد a و b به مجموعه مورد نظر تعلق ندارند. فاصله با: (a,b) مشخص می شود

بر اساس بخش مجموعه مقادیر x موجود بین اعداد a و b است، در حالی که اعداد a و b متعلق به مجموعه مورد نظر هستند. بخش با ,a≤x≤b نشان داده می شود.

مجموعه تمام اعداد حقیقی یک بازه باز است. نشان داده شده با: (- ∞، + ∞)، -∞<х <+∞, R.

همسایگی نقطه x 0 یک بازه دلخواه (a,b) حاوی نقطه x 0 است، همه نقاط این بازه نابرابری را برآورده می کنند.

ε - همسایگی نقطه الف بازه ای با مرکز در نقطه a است که نابرابری a–ε را برآورده می کند

تابع. تعاریف و مفاهیم اساسی

تابع یکی از مفاهیم اساسی تحلیل ریاضی است. بگذارید X و Y مجموعه دلخواه اعداد حقیقی باشند.

اگر هر عدد x X، طبق برخی قاعده یا قانون، با یک عدد واقعی به خوبی تعریف شده yY همراه باشد، آنگاه می گویند که داده شده تابع با دامنه تعریف X و مجموعه مقادیر Y. با y = f (x) مشخص می شود. متغیر x نامیده می شود بحث و جدل کارکرد.

در تعریف تابع، دو نکته ضروری است: نشان دادن حوزه تعریف و ایجاد قانون مطابقت.

حوزه تعریف یا حوزه وجودی یک تابع مجموعه ای از مقادیر آرگومان است که تابع برای آنها وجود دارد، یعنی منطقی است.

منطقه را تغییر دهید یک تابع مجموعه ای از مقادیر y است که مقادیر قابل قبول x را می گیرد.

روش های تعیین یک تابع

روش تحلیلی تعیین یک تابع.

با این روش تعیین یک تابع، قانون مطابقت به شکل یک فرمول (یک عبارت تحلیلی) نوشته می شود که نشان می دهد از طریق چه تبدیل های ریاضی می توان مقدار متناظر y را از مقدار شناخته شده آرگومان x یافت.

یک تابع را می توان با یک عبارت تحلیلی در کل دامنه تعریف آن مشخص کرد یا مجموعه ای از چندین عبارت تحلیلی را نشان داد.

به عنوان مثال: y = گناه (x 2 + 1)

2. روش جدولی برای تعیین یک تابع

در نتیجه مشاهده مستقیم یا مطالعه تجربی هر پدیده یا فرآیندی، مقادیر آرگومان x و مقادیر مربوط به y به ترتیب مشخصی نوشته می شوند.

این جدول تابع y از x را تعریف می کند.

نمونه ای از روش جدولی برای تعیین تابع می تواند جداول توابع مثلثاتی، جداول لگاریتم، تاریخ و نرخ مبادله، دما و رطوبت هوا و غیره باشد.

3. روش گرافیکی تعیین یک تابع.

روش گرافیکی تعیین یک تابع شامل به تصویر کشیدن نقاط (x, y) در صفحه مختصات با استفاده از ابزارهای فنی است. روش گرافیکی تعیین یک تابع در تحلیل ریاضی استفاده نمی شود، اما همیشه از تصویر گرافیکی توابع تعریف شده به صورت تحلیلی استفاده می شود.

تجزیه و تحلیل ریاضی

بخشی از ریاضیات، که در آن کارکردو تعمیم آنها با روش بررسی می شود محدودیت هامفهوم حد ارتباط نزدیکی با مفهوم کمیت نامتناهی دارد، بنابراین می توان گفت که M. a. به مطالعه توابع و تعمیم آنها با استفاده از روش بینهایت کوچک می پردازد.

نام "م. الف." - اصلاح مختصری از نام قدیمی این بخش از ریاضیات - "تحلیل بی نهایت کوچک"؛ دومی محتوا را به‌طور کامل‌تر نشان می‌دهد، اما به اختصار نیز نوشته می‌شود (عنوان «تحلیل با استفاده از بی‌نهایت‌ها» موضوع را با دقت بیشتری مشخص می‌کند). در کلاسیک M.a. موضوعات مورد مطالعه (تحلیل) در درجه اول توابع هستند. "اول از همه" زیرا توسعه M. a. منجر به امکان مطالعه با روش های خود در تشکیلات پیچیده تر از - تابع ها، عملگرها و غیره شد.

در طبیعت و فناوری، حرکات و فرآیندها در همه جا یافت می شوند که با توابع توصیف می شوند. قوانین پدیده های طبیعی نیز معمولاً با توابع توصیف می شوند. از این رو اهمیت عینی M. a. به عنوان وسیله ای برای مطالعه توابع.

م. ا. در معنای وسیع کلمه، بخش بسیار زیادی از ریاضیات را در بر می گیرد. آن شامل دیفرانسیل، حساب انتگرال، نظریه توابع یک متغیر مختلط،تئوری معادلات دیفرانسیل معمولی،تئوری معادلات دیفرانسیل جزئی،تئوری معادلات انتگرال، حساب تغییرات، تجزیه و تحلیل عملکردو تعدادی ریاضی دیگر رشته ها نوین نظریه اعدادو نظریه احتمالاعمال و توسعه روش های MA.

با این حال، اصطلاح M. a. اغلب برای نامگذاری تنها مبانی تجزیه و تحلیل ریاضی، که تئوری را ترکیب می کند، استفاده می شود عدد واقعینظریه حدود، نظریه ردیف ها،حساب دیفرانسیل و انتگرال و کاربردهای مستقیم آنها مانند نظریه ماکزیمم و مینیمم، نظریه توابع ضمنی، سری فوریه، انتگرال های فوریه.

تابع.در م.الف. از تعریف تابع طبق لوباچفسکی و دیریکله شروع کنید. اگر هر عدد xy از مجموعه معینی از اعداد F، به موجب k.-l. قانون در شماره گنجانده شده است y،سپس این تابع را تعریف می کند

از یک متغیر ایکس.تابع به طور مشابه تعریف شده است

از متغیرها، جایی که x=(x 1 ، ...، x ص) - نقطه در فضای n بعدی. توابع را نیز در نظر بگیرید

از نقاط x=(x 1 ، ایکس 2 , ...) از یک فضای بی‌بعدی معین، که با این حال، بیشتر تابعی نامیده می‌شوند.

توابع ابتداییاهمیت اساسی در M. a. بازی توابع ابتداییدر عمل، آنها عمدتاً با توابع ابتدایی کار می کنند؛ از آنها برای تقریب توابع با ماهیت پیچیده تر استفاده می شود. توابع ابتدایی را می‌توان نه تنها برای x واقعی، بلکه برای x مختلط نیز در نظر گرفت؛ سپس ایده‌های مربوط به این توابع، به معنای خاصی، کامل می‌شوند. در ارتباط با این، شاخه مهمی از م پدید آمد به نام. نظریه توابع یک متغیر مختلط یا نظریه توابع تحلیلی

عدد واقعیمفهوم تابع اساساً مبتنی بر مفهوم یک عدد واقعی (گویا و غیر منطقی) است. سرانجام در پایان قرن نوزدهم شکل گرفت. به ویژه، ارتباط منطقی بی عیب و نقصی بین اعداد و نقاط هندسی برقرار شده است. خط مستقیم، که منجر به اثبات رسمی ایده های R. Descartes (R. Descartes، اواسط قرن 17) شد، که سیستم های مختصات مستطیلی را وارد ریاضیات و نمایش توابع در آنها توسط نمودارها کرد.

حد.در م.الف. روش مطالعه توابع است. بین حد یک دنباله و حد یک تابع تمایز گذاشته می شود. این مفاهیم در نهایت تنها در قرن 19 شکل گرفت، اگرچه یونان باستان ایده ای در مورد آنها داشت. دانشمندان کافی است بگوییم ارشمیدس (قرن 3 قبل از میلاد) قادر به محاسبه بخشی از سهمی با استفاده از فرآیندی بود که ما آن را گذر تا حد می نامیم. روش فرسودگی).

توابع پیوستهتوابع مهم مورد مطالعه در MA شکل می گیرند توابع پیوستهیک تعریف ممکن از این مفهوم: تابع y=f(x).از یک متغیر ایکس،در فاصله زمانی ( الف، ب), تماس گرفت پیوسته در یک نقطه ایکس،اگر

تابع در بازه ( الف، ب), اگر در تمام نقاطش پیوسته باشد. سپس یک منحنی است که در درک روزمره از کلمه مستمر است.

مشتق و .در بین توابع پیوسته، باید توابعی را برجسته کنیم که دارند مشتق.مشتق از یک تابع

در یک نقطه، نرخ تغییر در این نقطه است، یعنی حد

اگر مختصات نقطه ای را دارید که در امتداد محور مختصات در زمان حرکت می کند ایکس،سپس f" (x) سرعت لحظه ای نقطه در لحظه زمان است ایکس.

با علامت مشتق f" (x) . درباره ماهیت تغییر در f(x) قضاوت کنید: اگر f"(z)> 0 ( f"(ایکس) <0 ). در فاصله زمانی ( SD، سپس تابع / در این بازه افزایش (کاهش) می یابد. اگر تابع / در یک نقطه x به یک حد اکثر محلی (حداکثر یا حداقل) برسد و در این نقطه مشتق داشته باشد، در این نقطه دومی برابر با صفر است f "(x 0) = 0.

برابری (1) را می توان با برابری معادل جایگزین کرد

کجا بی نهایت کوچک است، یعنی اگر تابع f در نقطه مشتق داشته باشد ایکس،سپس افزایش آن در این نقطه به دو ترم تجزیه می شود. از اینها، اولی

از (متناسب) است، دومی - سریعتر از صفر تمایل دارد

مقدار (2) فراخوانی شد. دیفرانسیلتوابع مربوط به افزایش در کوچک را می توان تقریباً برابر در نظر گرفت دو:

ملاحظات فوق در مورد دیفرانسیل برای MA معمولی است. آنها به توابع بسیاری از متغیرها و توابع گسترش می یابند.

به عنوان مثال، اگر تابع

از متغیرها پیوسته دارد مشتقات جزئیدر نقطه x=(x 1 , ... , x n) سپس افزایش آن مربوط به افزایش متغیرهای مستقل را می توان به شکل نوشت

کجا وقتی که اگر همه

در اینجا اولین عبارت در سمت راست (3) دیفرانسیل است dzتوابع f. به صورت خطی به آن بستگی دارد و جمله دوم با سرعتی بیشتر از صفر به صفر گرایش دارد

بگذارید داده شود (به هنر مراجعه کنید. حساب تغییرات)

به کلاس های تابع x(t) گسترش یافته است , داشتن مشتق پیوسته روی قطعه و ارضای شرایط مرزی x( t 0)=x 0،ایکس( t 1)=x l،جایی که x 0، x 1 -شماره داده ها؛ بگذارید کلاس تابع h(t) باشد. , داشتن مشتق پیوسته روی و به گونه ای که h( t 0)=h(t 1)=0. بدیهی است، اگر

در محاسبات تغییرات ثابت شده است که تحت شرایط خاصی در L، افزایش تابعی J(x) را می توان به شکل نوشت

در کجا

و بنابراین، جمله دوم در سمت راست (4) سریعتر از ||h|| به صفر تمایل دارد، و جمله اول به صورت خطی به جمله اول در (4) وابسته است. تغییر تابع و با dJ( x، h).

انتگرال. در کنار مشتق، در ریاضیات از اهمیت اساسی برخوردار است. انتگرال های نامعین و معین وجود دارد.

انتگرال نامعین ارتباط نزدیکی با تابع ضد مشتق دارد. تابع F(x). فراخوانی می شود. ضد مشتق تابع f در بازه ( الف، ب، اگر در این بازه زمانی باشد اف"(ایکس) =f(ایکس).

انتگرال معین (ریمان) تابع / در بازه [ آ،ب] محدودیتی وجود دارد

اگر تابع f مثبت و پیوسته در بازه [ الف، ب], سپس انتگرال آن در این بخش برابر است با مساحت شکل محدود شده توسط منحنی y=f(x)، محور اوهو مستقیم x=a، x=b.

کلاس توابع ادغام پذیر ریمان شامل تمام توابع پیوسته در [ الف، ب]توابع و توابع ناپیوسته معین. اما همه آنها لزوما محدود هستند. برای توابع نامحدود که خیلی سریع رشد نمی کنند و همچنین برای توابع خاصی که در فواصل بی نهایت تعریف شده اند، به اصطلاح انتگرال های نامناسب،برای تعریف آنها نیاز به عبور مضاعف از حد مجاز است.

مفهوم انتگرال ریمان برای تابعی از یک متغیر به توابع بسیاری از متغیرها گسترش می یابد. انتگرال چندگانه).

از سوی دیگر نیازهای م.الف. منجر به تعمیم انتگرال در جهت و معنای کاملاً متفاوت شد انتگرال Lebesgueیا کلی تر انتگرال Lebesgue-Stieltjes.در تعریف این انتگرال ها، مقدمه ای برای مجموعه های معینی که قابل اندازه گیری نامیده می شوند، مفهوم اندازه گیری آنها و بر این اساس، مفهوم تابع قابل اندازه گیری ضروری است. برای توابع قابل اندازه گیری، انتگرال Lebesgue - Stieltjes معرفی شده است. در این مورد، طیف وسیعی از معیارهای مختلف و کلاس های مربوط به مجموعه ها و توابع قابل اندازه گیری در نظر گرفته می شود. این امکان تطبیق یک یا آن انتگرال را با یک مشکل خاص فراهم می کند.

فرمول نیوتن لایب نیتس بین مشتق و انتگرال ارتباط وجود دارد که با فرمول نیوتن-لایبنیتس بیان می شود (قضیه)

در اینجا f(x).پیوسته در [ الف، ب]تابع، یک F(x) - نمونه اولیه آن

فرمول و تیلور. در کنار مشتق و انتگرال، مهمترین مفهوم (ابزار تحقیق) در ریاضیات ریاضی است. هستند Taylor n Taylor row.اگر تابع f(x) ، آ مشتقات پیوسته تا مرتبه n شامل در همسایگی نقطه x 0 دارد، سپس می توان آن را در این همسایگی با یک چند جمله ای تقریب زد.

تماس گرفت با توان های چند جمله ای تیلور (درجه n). x-x 0:

(فرمول تیلور)؛ در این مورد خطای تقریب

به سمت صفر میل می کند

سریعتر از

بنابراین، تابع f(x). در همسایگی نقطه x 0 را می توان با هر درجه ای از دقت با یک تابع بسیار ساده (چند جمله ای) تقریب زد، که برای محاسبه آن فقط به محاسبات نیاز دارد. عملیات - جمع، تفریق و ضرب.

به خصوص مهم هستند به اصطلاح. توابعی که در یک همسایگی مشخص x 0 تحلیلی هستند و تعداد مشتقات نامتناهی دارند، به طوری که برای آنها در این همسایگی در می توان آنها را به صورت یک سری توان تیلور بی نهایت نشان داد:

تحت شرایط خاص، بسط های تیلور برای توابع بسیاری از متغیرها و همچنین توابع و عملگرها امکان پذیر است.

مرجع تاریخیتا قرن هفدهم م. ا. مجموعه ای از راه حل ها برای مشکلات خاص جدا شده بود. به عنوان مثال، در حساب انتگرال، اینها مسائل مربوط به محاسبه مساحت ارقام، حجم اجسام با مرزهای منحنی، کار یک نیروی متغیر و غیره است. برای پیش از تاریخ ریاضیات، مقاله را ببینید حساب بی نهایت کوچک), م. ا. به عنوان یک واحد و سیستماتیک کل در آثار I. Newton، G. Leibniz، L. Euler، J. Lagrange و دیگر دانشمندان قرن هفدهم تا هجدهم شکل گرفت و نظریه حدود او توسط O. کومی (A. کوشی) در آغاز. قرن 19 تحلیلی عمیق از مفاهیم اولیه MA. با توسعه در قرن 19 و 20 همراه بود. نظریه مجموعه ها، نظریه اندازه گیری، نظریه توابع یک متغیر واقعی و منجر به تعمیم های مختلف شد.

روشن شد: La Valle - P u s e n Sh.-J. d e, Course of Analysis of infinitesimals, trans. از فرانسه، ج 1-2، م.، 1933; Ilyin V. A., Poznyak E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3rd ed., part 1, M., 1971; ویرایش دوم، قسمت 2، م.، 1980; Il and N V. A., Sadovnichy V. A., Seidov B. X., Mathematical Analysis, M., 1979; K u d r i v c e v L. D., Mathematical analysis, 2nd ed., vol. 1-2, M., 1973; Nikolsky S. M., Course of Mathematical Analysis, 2nd ed., vol. 1-2, M., 1975; U i t e k e r E. T.، V a t s o n D J. ن.، دوره تحلیل مدرن، ترجمه. از انگلیسی، قسمت 1-2، ویرایش دوم، م.، 1962-1963; F ikhtengolts G.M., Course of Differential and Integral Calculus, 7th ed., she 1-2, M., 1970; چاپ پنجم، ج 3، م.، 1970م. S. M. Nikolsky.

دایره المعارف ریاضی. - م.: دایره المعارف شوروی. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

ببینید «تحلیل ریاضی» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

آنالیز ریاضی، مجموعه‌ای از شاخه‌های ریاضیات است که به مطالعه توابع با روش‌های حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال اختصاص دارد. دایره المعارف مدرن

مجموعه‌ای از شاخه‌های ریاضیات که به مطالعه توابع با روش‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال اختصاص دارد. این اصطلاح بیشتر آموزشی است تا علمی: دروس آنالیز ریاضی در دانشگاه ها و دانشکده های فنی تدریس می شود. فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

انگلیسی تجزیه و تحلیل ریاضی آلمانی تجزیه و تحلیل ریاضی شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه توابع با روش‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال اختصاص دارد. آنتی نازی دایره المعارف جامعه شناسی، 2009 ... دایره المعارف جامعه شناسی

موجود، تعداد مترادف ها: 2 متان (2) تجزیه و تحلیل ریاضی (2) فرهنگ لغت مترادف ASIS. V.N. تریشین. 2013 … فرهنگ لغت مترادف

تجزیه و تحلیل ریاضی- تجزیه و تحلیل ریاضی. مجموعه ای از شاخه های ریاضیات که به مطالعه توابع ریاضی با روش های حساب دیفرانسیل و انتگرال اختصاص دارد. استفاده از روش های M. a. وسیله ای مؤثر برای حل مهمترین ... ... فرهنگ لغت جدید اصطلاحات و مفاهیم روش شناختی (تئوری و عملی آموزش زبان)

تجزیه و تحلیل ریاضی- — EN تجزیه و تحلیل ریاضی شاخه ای از ریاضیات که به صراحت با فرآیند حد یا مفهوم همگرایی مرتبط است. شامل نظریه های تمایز، …… راهنمای مترجم فنی

تجزیه و تحلیل ریاضی- آنالیز ریاضی، مجموعه‌ای از شاخه‌های ریاضیات که به مطالعه توابع با روش‌های حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال اختصاص دارد. ... فرهنگ لغت دایره المعارف مصور

انبوهی از فرمول های ترسناک، کتابچه های راهنمای ریاضیات عالی که باز می کنید و بلافاصله می بندید، جستجوی دردناک برای یافتن راه حلی برای یک مسئله به ظاهر ساده... این وضعیت غیرمعمول نیست، به خصوص زمانی که آخرین باری که یک کتاب ریاضی باز شد در کلاس یازدهم دور بود. در همین حال، در دانشگاه ها، برنامه های درسی بسیاری از تخصص ها شامل مطالعه ریاضیات عالی مورد علاقه همه است. و در این شرایط، شما اغلب احساس می کنید که یک قوری کامل در مقابل انبوهی از گوبلزهای ریاضی وحشتناک هستید. علاوه بر این، وضعیت مشابهی می تواند هنگام مطالعه هر موضوعی به خصوص از علوم طبیعی ایجاد شود.

چه باید کرد؟ برای یک دانشجوی تمام وقت، همه چیز بسیار ساده تر است، مگر اینکه، البته، موضوع بسیار نادیده گرفته شود. می‌توانید با معلم، همکلاسی‌هایتان مشورت کنید یا به سادگی از همسایه‌تان پشت میزتان کپی کنید. حتی یک قوری پر در ریاضیات عالی در چنین شرایطی از جلسه جان سالم به در خواهد برد.

اگر فردی در رشته مکاتبات یک دانشگاه درس می خواند و به بیان خفیف، در آینده به ریاضیات عالی بعید است چه باید کرد؟ علاوه بر این، مطلقاً زمانی برای کلاس ها وجود ندارد. در بیشتر موارد اینگونه است ، اما هیچ کس تکمیل تست ها و قبولی در امتحان را لغو نکرد (اغلب کتبی). با تست‌های ریاضیات عالی، همه چیز ساده‌تر است، چه آدم ساختگی باشید یا نه - آزمون ریاضی قابل سفارش است. مثلا برای من. برای سایر اقلام نیز می توانید سفارش دهید. دیگر اینجا نیست. اما تکمیل و ارائه تست ها برای بررسی منجر به ثبت مطلوب در دفترچه نمره نمی شود. اغلب اتفاق می افتد که یک اثر هنری سفارشی باید محافظت شود و توضیح داده شود که چرا آن حروف به آن فرمول منجر می شود. علاوه بر این، امتحانات در راه است و در آنجا باید تعیین کننده ها، حدود و مشتقات را خودتان حل کنید. البته، مگر اینکه معلم هدایای ارزشمندی را بپذیرد یا خیرخواه اجیر شده بیرون از کلاس باشد.

اجازه بدهید توصیه های بسیار مهمی به شما بدهم. در طول آزمون ها و امتحانات علوم دقیق و طبیعی، فهمیدن حداقل چیزی بسیار مهم است. به یاد داشته باشید، حداقل چیزی. فقدان کامل فرآیندهای فکری به سادگی معلم را خشمگین می کند؛ من مواردی را می شناسم که دانش آموزان پاره وقت 5-6 بار رد شده اند. یادم می آید یک جوان 4 بار در آزمون شرکت کرد و بعد از هر بار امتحان مجدد برای مشاوره رایگان تضمینی به من مراجعه کرد. در پایان متوجه شدم که در پاسخ او به جای حرف پی، حرف «په» نوشته است که تحریم‌های شدیدی از سوی داور در پی داشت. دانش آموز حتی نمی خواست وارد تکلیف شود که با بی دقتی آن را بازنویسی کرد.

شما می توانید کاملاً مبتدی در ریاضیات عالی باشید، اما بسیار مطلوب است که بدانید مشتق یک ثابت برابر با صفر است. زیرا اگر به یک سوال اساسی به یک سوال احمقانه پاسخ دهید، احتمال اینکه تحصیل شما در دانشگاه به همین جا ختم شود بسیار زیاد است. معلمان نسبت به دانش آموزی که حداقل سعی می کند موضوع را بفهمد، نسبت به دانش آموزی که هر چند اشتباهاً سعی در حل، توضیح یا اثبات چیزی دارد بسیار مطلوب تر هستند. و این جمله برای همه رشته ها صادق است. بنابراین، نگرش "من چیزی نمی دانم، من چیزی نمی فهمم" باید قاطعانه رد شود.

دومین نکته مهم این است که در سخنرانی ها شرکت کنید، حتی اگر تعداد آنها کم باشد. قبلاً در صفحه اصلی سایت به این موضوع اشاره کردم. ریاضیات برای دانش آموزان مکاتبه ای. تکرار اینکه چرا این بسیار مهم است، فایده ای ندارد، آنجا را بخوانید.

بنابراین، اگر یک آزمون یا امتحان در ریاضیات عالی نزدیک است، اما همه چیز اسفناک است - حالت یک قوری پر، یا، دقیق تر، خالی، چه باید کرد؟

یکی از گزینه ها استخدام معلم خصوصی است. بزرگترین پایگاه داده معلمان را می توان در (عمدتا مسکو) یا (عمدتا سن پترزبورگ) یافت. با استفاده از یک موتور جستجو، می توانید یک معلم خصوصی در شهر خود پیدا کنید یا به روزنامه های تبلیغاتی محلی نگاه کنید. بسته به صلاحیت معلم، قیمت خدمات معلم می تواند از 400 روبل یا بیشتر در ساعت متغیر باشد. لازم به ذکر است که ارزان بودن به معنای بد نیست، به خصوص اگر آموزش ریاضی خوبی داشته باشید. در همان زمان، برای 2-3K روبل شما مقدار زیادی دریافت خواهید کرد. بیهوده است که هیچکس چنین پولی را نمی گیرد و بیهوده است که هیچ کس چنین پولی را نمی پردازد ;-). تنها نکته مهم این است که سعی کنید مربی با تحصیلات تخصصی پرورشی انتخاب کنید. و در واقع، ما برای کمک قانونی به دندانپزشک نمی رویم.

اخیراً خدمات تدریس خصوصی آنلاین محبوبیت زیادی پیدا کرده است. زمانی که نیاز فوری به حل یک یا دو مشکل، درک موضوع یا آماده شدن برای امتحان دارید، بسیار راحت است. مزیت بدون شک قیمت هایی است که چندین برابر کمتر از یک معلم خصوصی آفلاین است + صرفه جویی در زمان سفر که به ویژه برای ساکنان شهرهای بزرگ بسیار مهم است.

در یک دوره عالی ریاضی، تسلط بر برخی چیزها بدون معلم بسیار دشوار است؛ شما نیاز به توضیح "زنده" دارید.

با این حال، تشخیص بسیاری از مشکلات به تنهایی کاملاً امکان پذیر است و هدف از این بخش از سایت آموزش حل مثال ها و مشکلات معمولی است که تقریباً همیشه در امتحانات یافت می شوند. علاوه بر این، برای تعدادی از کارها الگوریتم های "سخت" وجود دارد که در آن "هیچ گریزی" از راه حل صحیح وجود ندارد. و تا جایی که می دانم سعی خواهم کرد به شما کمک کنم، به خصوص که در رشته تخصصی خود تحصیلات و تجربه آموزشی دارم.

بیایید شروع کنیم به پاک کردن غول ریاضی. اشکالی ندارد، حتی اگر مبتدی باشید، ریاضیات عالی واقعا ساده و واقعاً قابل دسترس است.

و باید با تکرار درس ریاضی مدرسه شروع کنید. تکرار مادر عذاب است.

قبل از اینکه شروع به مطالعه مطالب آموزشی من کنید، و در واقع شروع به مطالعه مطالب در مورد ریاضیات عالی کنید، اکیداً توصیه می کنم مطالب زیر را بخوانید.

برای حل موفقیت آمیز مسائل در ریاضیات بالاتر، باید:

با یک ماشین حساب میکرو تهیه کنید.

برنامه ها شامل Excel (انتخاب عالی!). من کتابچه راهنمای آدمک ها را در کتابخانه آپلود کردم.

بخورم؟ در حال حاضر خوب است.

– تنظیم مجدد شرایط، مجموع را تغییر نمی دهد.: .
اما اینها چیزهای کاملاً متفاوتی هستند:

شما نمی توانید فقط "X" و "چهار" را دوباره مرتب کنید. در همان زمان، حرف نمادین "X" را به یاد بیاوریم که در ریاضیات به یک کمیت ناشناخته یا متغیر اشاره می کند.

– تنظیم مجدد فاکتورها محصول را تغییر نمی دهد: .
این ترفند با تقسیم کار نخواهد کرد و این دو کسر کاملاً متفاوت هستند و مرتب کردن مجدد صورت با مخرج بدون عواقب نیست.
همچنین به یاد داریم که اغلب مرسوم است که علامت ضرب ("نقطه") را ننویسیم:

– قوانین باز کردن پرانتز را به خاطر بسپارید:
- در اینجا علائم شرایط تغییر نمی کند
- و در اینجا آنها به عکس تغییر می کنند.
و برای ضرب:

به طور کلی، به یاد آوردن آن کافی است دو منهای به علاوه، آ سه منهای - یک منهای بدهید. و سعی کنید هنگام حل مسائل در ریاضیات بالاتر در این مورد گیج نشوید (یک اشتباه بسیار رایج و آزاردهنده).

– بیایید کاهش اصطلاحات مشابه را به یاد بیاوریم، باید عمل زیر را به خوبی درک کنید:

– بیایید به یاد بیاوریم که مدرک چیست:

, , , .

یک توان فقط یک ضرب ساده است.

–به یاد داشته باشید که کسرها را می توان کاهش داد: (کاهش 2)، (کاهش پنج)، (کاهش شده توسط ).

– یادآوری عملیات با کسری:

و همچنین یک قانون بسیار مهم برای آوردن کسرها به مخرج مشترک:

اگر این مثال ها نامشخص هستند، به کتاب های درسی مدرسه نگاه کنید.
بدون این تنگ خواهد بود.

مشاوره: بهتر است تمام محاسبات متوسط ​​در ریاضیات بالاتر را در کسرهای معمولی مناسب و نامناسب انجام دهید، حتی اگر کسرهای وحشتناکی مانند . این کسر نباید به شکل نمایش داده شود، و علاوه بر این، شما نباید صورت را بر مخرج ماشین حساب تقسیم کنید و 4.334552102 به دست آورید.

استثنا قاعده پاسخ نهایی تکلیف است، پس بهتر است یا یادداشت کنید.

– معادله. یک سمت چپ و یک سمت راست دارد. مثلا:

شما می توانید هر عبارت را با تغییر علامت آن به قسمت دیگر منتقل کنید:
برای مثال، تمام عبارت ها را به سمت چپ منتقل می کنیم:

یا سمت راست:

در تاریخ ریاضیات، تقریباً می توان دو دوره اصلی را تشخیص داد: ریاضیات ابتدایی و ریاضیات جدید. نقطه عطفی که مرسوم است از آن دوره ریاضیات جدید (گاهی اوقات بالاتر نامیده می شود) را بشماریم قرن هفدهم بود - قرن ظهور تجزیه و تحلیل ریاضی. تا پایان قرن هفدهم. I. Newton، G. Leibniz و پیشینیان آنها دستگاه حساب دیفرانسیل و حساب انتگرال جدیدی را ایجاد کردند که اساس تجزیه و تحلیل ریاضی و حتی، شاید، مبنای ریاضی همه علوم طبیعی مدرن را تشکیل می دهد.

آنالیز ریاضی رشته وسیعی از ریاضیات با موضوع مطالعه مشخص (کمیت متغیر)، روش تحقیق منحصر به فرد (تحلیل با استفاده از بینهایت کوچک یا با استفاده از گذر به حدود)، سیستم معینی از مفاهیم اساسی (تابع، حد، مشتق) است. ، دیفرانسیل، انتگرال، سری) و دائماً در حال بهبود و دستگاه در حال توسعه است که اساس آن حساب دیفرانسیل و انتگرال است.

بیایید سعی کنیم ایده ای در مورد اینکه چه نوع انقلاب ریاضی در قرن هفدهم رخ داده است، انتقال مرتبط با تولد تجزیه و تحلیل ریاضی از ریاضیات ابتدایی به آنچه اکنون موضوع تحقیق در تجزیه و تحلیل ریاضی است، مشخص می شود و چه چیزی آن را توضیح می دهد. نقش اساسی در کل سیستم مدرن دانش نظری و کاربردی.

تصور کنید که در مقابل شما یک عکس رنگی به زیبایی اجرا شده از یک موج طوفانی اقیانوس است که به ساحل می تازد: یک پشت خمیده قدرتمند، یک سینه شیب دار اما کمی فرورفته، یک سر که قبلاً به جلو خم شده و آماده سقوط با یال خاکستری است که در عذاب است. باد شما لحظه ای را متوقف کردید، توانستید موج را بگیرید و اکنون می توانید بدون عجله آن را با دقت تمام جزئیات را مطالعه کنید. یک موج را می توان اندازه گیری کرد و با استفاده از ابزار ریاضیات ابتدایی می توان نتایج مهم زیادی در مورد این موج و در نتیجه تمام خواهران اقیانوسی آن گرفت. اما با توقف موج آن را از حرکت و حیات محروم کردی. منشأ، توسعه، دویدن، نیرویی که با آن به ساحل برخورد می کند - همه اینها خارج از میدان دید شما است، زیرا شما هنوز زبان یا دستگاه ریاضی مناسب برای توصیف و مطالعه ندارید نه ایستا، بلکه فرآیندهای در حال توسعه، پویا، متغیرها و روابط آنها.

"تحلیل ریاضی کمتر از خود طبیعت جامع نیست: همه روابط محسوس را تعیین می کند، زمان ها، فضاها، نیروها، دماها را اندازه گیری می کند." جی فوریه

حرکت، متغیرها و روابط آنها همه جا ما را احاطه کرده است. انواع مختلف حرکت و الگوهای آنها هدف اصلی مطالعه علوم خاص را تشکیل می دهد: فیزیک، زمین شناسی، زیست شناسی، جامعه شناسی و غیره. بنابراین، زبان دقیق و روش های ریاضی مربوط به توصیف و مطالعه کمیت های متغیر در همه زمینه ها ضروری است. دانش تقریباً به اندازه اعداد و محاسبات هنگام توصیف روابط کمی ضروری است. بنابراین، تجزیه و تحلیل ریاضی اساس زبان و روش های ریاضی برای توصیف متغیرها و روابط آنها را تشکیل می دهد. امروزه، بدون تجزیه و تحلیل ریاضی، نه تنها محاسبه مسیرهای فضایی، عملکرد راکتورهای هسته ای، حرکت امواج اقیانوس ها و الگوهای توسعه طوفان غیرممکن است، بلکه مدیریت اقتصادی تولید، توزیع منابع، سازماندهی فرآیندهای فناوری، پیش بینی سیر واکنش های شیمیایی یا تغییر در تعداد گونه های مختلف به هم پیوسته در طبیعت حیوانات و گیاهان، زیرا همه اینها فرآیندهای پویا هستند.

ریاضیات ابتدایی عمدتاً ریاضیات مقادیر ثابت بود ، عمدتاً روابط بین عناصر اشکال هندسی ، خصوصیات حسابی اعداد و معادلات جبری را مطالعه می کرد. نگرش آن به واقعیت را می توان تا حدی با مطالعه دقیق، حتی کامل و کامل هر فریم ثابت فیلم مقایسه کرد که دنیای زنده در حال تغییر و توسعه را در حرکت خود به تصویر می کشد، اما در یک قاب جداگانه قابل مشاهده نیست و که تنها با نگاه کردن به نوار به عنوان یک کل قابل مشاهده است. اما همانطور که سینما بدون عکاسی غیرممکن است، ریاضیات مدرن نیز بدون آن بخش از آن که ما معمولاً ابتدایی می‌نامیم، بدون ایده‌ها و دستاوردهای بسیاری از دانشمندان برجسته که گاهی ده‌ها قرن از هم جدا شده‌اند، غیرممکن است.

ریاضیات متحد است و بخش "بالاتر" آن با بخش "ابتدایی" به همان شکلی که طبقه بعدی یک خانه در حال ساخت به طبقه قبلی متصل است و عرض افق هایی که ریاضیات باز می کند. برای ما در دنیای اطراف ما بستگی به این دارد که در کدام طبقه از این ساختمان موفق شده ایم بالا بریم. در قرن هفدهم متولد شد. تجزیه و تحلیل ریاضی امکاناتی را برای توصیف علمی، مطالعه کمی و کیفی متغیرها و حرکت به معنای وسیع کلمه باز کرده است.

پیش نیازهای پیدایش تحلیل ریاضی چیست؟

تا پایان قرن هفدهم. وضعیت زیر به وجود آمده است. اولاً، در چهارچوب خود ریاضیات در طی سالیان متمادی، چندین کلاس مهم از مسائل از یک نوع جمع شده اند (مثلاً مسائل اندازه گیری مساحت و حجم ارقام غیر استاندارد، مسائل ترسیم مماس بر منحنی ها) و روش هایی برای حل. آنها در موارد خاص مختلف ظاهر شده اند. ثانیاً، مشخص شد که این مشکلات ارتباط نزدیکی با مشکلات توصیف حرکت مکانیکی دلخواه (نه لزوما یکنواخت) و به ویژه با محاسبه ویژگی های آنی آن (سرعت، شتاب در هر زمان) و همچنین با یافتن مسافت طی شده برای حرکت با سرعت متغیر معین. حل این مشکلات برای توسعه فیزیک، نجوم و فناوری ضروری بود.

سرانجام، سوم، در اواسط قرن هفدهم. آثار R. Descartes و P. Fermat پایه های روش تحلیلی مختصات (به اصطلاح هندسه تحلیلی) را ایجاد کردند که امکان فرمول بندی مسائل هندسی و فیزیکی با منشأ ناهمگن را در زبان عمومی (تحلیلی) اعداد فراهم کرد. و وابستگی های عددی، یا، همانطور که اکنون می گوییم، توابع عددی.

نیکولای نیکولایویچ لوزین (1883-1950) N. N. Luzin - ریاضیدان شوروی، بنیانگذار مدرسه نظریه توابع شوروی، آکادمیک (1929). لوزین در تومسک به دنیا آمد و در ورزشگاه تومسک تحصیل کرد. فرمالیسم درس ریاضی ژیمناستیک، این جوان با استعداد را از خود بیگانه کرد و تنها معلمی توانا توانست زیبایی و عظمت علم ریاضی را برای او آشکار کند. در سال 1901، لوزین وارد بخش ریاضیات دانشکده فیزیک و ریاضیات دانشگاه مسکو شد. از همان سال های اول تحصیل، مسائل مربوط به بی نهایت در دایره علایق او قرار گرفت. در پایان قرن نوزدهم. دانشمند آلمانی G. Cantor نظریه کلی مجموعه های نامتناهی را ایجاد کرد که کاربردهای متعددی در مطالعه توابع ناپیوسته دریافت کرد. لوزین شروع به مطالعه این نظریه کرد، اما در سال 1905 تحصیل او قطع شد. این دانشجو که در فعالیت های انقلابی شرکت می کرد، مجبور شد مدتی به فرانسه عزیمت کند. او در آنجا به سخنرانی های برجسته ترین ریاضیدانان فرانسوی آن زمان گوش داد. پس از بازگشت به روسیه، لوزین از دانشگاه فارغ التحصیل شد و به حال خود رها شد تا برای کرسی استادی آماده شود. به زودی دوباره به پاریس و سپس به گوتینگن رفت و در آنجا با بسیاری از دانشمندان نزدیک شد و اولین آثار علمی خود را نوشت. مشکل اصلی که دانشمند را مورد توجه قرار داد این سوال بود که آیا می‌توان مجموعه‌هایی حاوی عناصر بیشتر از مجموعه اعداد طبیعی، اما کمتر از مجموعه نقاط یک قطعه (مسئله پیوسته) وجود داشت. برای هر مجموعه نامتناهی که با استفاده از عملیات اتحاد و تقاطع مجموعه‌های قابل شمارش از بخش‌ها به دست می‌آمد، این فرضیه برآورده شد و برای حل مسئله، باید مشخص شد که چه راه‌های دیگری برای ساخت مجموعه‌ها وجود دارد. . در همان زمان، لوزین این سوال را مورد مطالعه قرار داد که آیا می توان هر تابع تناوبی، حتی تابعی با نقاط ناپیوستگی بی نهایت، را به عنوان مجموع یک سری مثلثاتی نشان داد، یعنی. مجموع بی نهایت ارتعاش هارمونیک. لوزین نتایج قابل توجهی در مورد این مسائل به دست آورد و در سال 1915 از پایان نامه خود با عنوان "سری های انتگرال و مثلثاتی" دفاع کرد، که برای آن بلافاصله مدرک آکادمیک دکترای ریاضیات محض را دریافت کرد و مدرک کارشناسی ارشد متوسط ​​را که در آن زمان وجود داشت دور زد. در سال 1917 لوزین استاد دانشگاه مسکو شد. او که معلمی با استعداد بود، تواناترین دانش آموزان و ریاضیدانان جوان را به خود جذب کرد. مکتب لوزین در اولین سالهای پس از انقلاب به اوج خود رسید. شاگردان لوزین یک تیم خلاق تشکیل دادند که به شوخی آن را "لوزیتانیا" نامیدند. بسیاری از آنها در دوران دانشجویی نتایج علمی درجه یک را دریافت کردند. به عنوان مثال، P. S. Aleksandrov و M. Ya. Suslin (1894-1919) روش جدیدی را برای ساخت مجموعه ها کشف کردند که به عنوان آغاز توسعه یک جهت جدید - نظریه مجموعه های توصیفی بود. تحقیقات انجام شده در این زمینه توسط لوزین و شاگردانش نشان داد که روش های معمول نظریه مجموعه ها برای حل بسیاری از مشکلاتی که در آن به وجود می آید کافی نیست. پیش بینی های علمی لوزین در دهه 60 به طور کامل تأیید شد. قرن XX بسیاری از شاگردان N.N. Luzin بعداً آکادمیک و اعضای متناظر آکادمی علوم اتحاد جماهیر شوروی شدند. از جمله آنها P. S. Alexandrov است. A. N. Kolmogorov. M. A. Lavrentyev، L. A. Lyusternik، D. E. Menshov، P. S. Novikov. L. G. Shnirelman و دیگران. ریاضیدانان مدرن شوروی و خارجی در آثار خود ایده های N. N. Luzin را توسعه می دهند.

تلاقی این شرایط به این واقعیت منجر شد که در پایان قرن هفدهم. دو دانشمند - I. Newton و G. Leibniz - مستقل از یکدیگر موفق به ایجاد یک دستگاه ریاضی برای حل این مسائل، جمع بندی و تعمیم نتایج فردی پیشینیان خود، از جمله دانشمند باستانی ارشمیدس و معاصران نیوتن و لایبنیتس - B. کاوالیری، بی. پاسکال، دی. گریگوری، آی. بارو. این دستگاه اساس تجزیه و تحلیل ریاضی را تشکیل داد - شاخه جدیدی از ریاضیات که فرآیندهای مختلف در حال توسعه را مطالعه می کند. روابط بین متغیرها که در ریاضیات به آنها وابستگی تابعی یا به عبارت دیگر توابع گفته می شود. به هر حال، اصطلاح "تابع" خود مورد نیاز بود و به طور طبیعی دقیقاً در قرن هفدهم پدید آمد و تاکنون نه تنها اهمیت ریاضی عمومی، بلکه همچنین اهمیت علمی عمومی را به دست آورده است.

اطلاعات اولیه در مورد مفاهیم اساسی و دستگاه ریاضی تجزیه و تحلیل در مقالات "حساب دیفرانسیل" و "حساب انتگرال" آورده شده است.

در خاتمه، مایلم تنها بر روی یک اصل انتزاع ریاضی، مشترک در همه ریاضیات و ویژگی تجزیه و تحلیل، صحبت کنم و در این رابطه توضیح دهم که تحلیل ریاضی به چه شکلی متغیرها را مطالعه می کند و راز جهانی بودن روش های آن برای مطالعه چیست. انواع فرآیندهای توسعه خاص و روابط متقابل آنها.

بیایید به چند مثال و تشبیه گویا نگاه کنیم.

گاهی اوقات دیگر متوجه نمی شویم که مثلاً یک رابطه ریاضی که نه برای سیب، صندلی یا فیل، بلکه به شکل انتزاعی که از اشیاء خاص انتزاع شده است، نوشته شده است، یک دستاورد علمی برجسته است. این یک قانون ریاضی است که همانطور که تجربه نشان می دهد برای اشیاء خاص مختلف قابل اجرا است. به این معنی که با مطالعه در ریاضیات خصوصیات کلی اعداد مجرد و مجرد، روابط کمی دنیای واقعی را مطالعه می کنیم.

به عنوان مثال، از یک درس ریاضی مدرسه مشخص است که بنابراین، در یک موقعیت خاص می توانید بگویید: "اگر دو کامیون شش تنی به من ندهند تا 12 تن خاک را حمل کنم، می توانم بپرسم. برای سه کامیون چهار تنی کمپرسی و کار انجام می شود و اگر فقط یک کمپرسی چهار تنی به من بدهند، او باید سه پرواز انجام دهد. بنابراین، اعداد انتزاعی و الگوهای عددی که اکنون برای ما آشنا هستند، با تظاهرات و کاربردهای خاص آنها مرتبط هستند.

قوانین تغییر در متغیرهای خاص و فرآیندهای در حال توسعه طبیعت تقریباً به همان شکل با تابع شکل انتزاعی و انتزاعی که در آن ظاهر می شوند و در تحلیل ریاضی مورد مطالعه قرار می گیرند، مرتبط هستند.

به عنوان مثال، یک نسبت انتزاعی ممکن است وابستگی گیشه سینما به تعداد بلیت های فروخته شده را منعکس کند، اگر 20 آن 20 کوپک باشد - قیمت یک بلیط. اما اگر در یک بزرگراه دوچرخه سواری کنیم و با سرعت 20 کیلومتر در ساعت حرکت کنیم، همین نسبت را می توان به عنوان رابطه بین زمان (ساعت) سفر دوچرخه سواری ما و مسافت طی شده در این مدت (کیلومتر) تفسیر کرد. همیشه بگویید که، برای مثال، تغییر چند برابری منجر به تغییر متناسب (یعنی همان تعداد دفعات) در مقدار می شود، و اگر، نتیجه مخالف نیز صادق است. این بدان معنی است که برای دو برابر کردن باکس آفیس یک سینما، باید دو برابر بیشتر تماشاگر جذب کنید و برای اینکه با دوچرخه دو برابر با سرعت یکسان بپیمایید، باید دو برابر بیشتر رانندگی کنید. .

ریاضیات هم ساده‌ترین وابستگی‌ها و هم وابستگی‌های بسیار پیچیده‌تر را به شکلی کلی و انتزاعی که از یک تفسیر خاص انتزاع شده است، مطالعه می‌کند. ویژگی‌های یک تابع یا روش‌های مطالعه این ویژگی‌های شناسایی‌شده در چنین مطالعه‌ای از ماهیت تکنیک‌های ریاضی عمومی، نتیجه‌گیری، قوانین و نتیجه‌گیری‌های قابل اجرا برای هر پدیده خاصی که تابع مورد مطالعه به شکل انتزاعی در آن رخ می‌دهد، صرف نظر از اینکه در چه حوزه‌ای رخ می‌دهد، خواهد بود. دانش این پدیده متعلق به .

بنابراین، تجزیه و تحلیل ریاضی به عنوان شاخه ای از ریاضیات در پایان قرن 17 شکل گرفت. موضوع مطالعه در آنالیز ریاضی (آنطور که از موقعیت های مدرن به نظر می رسد) توابع یا به عبارت دیگر وابستگی های بین کمیت های متغیر هستند.

با ظهور تجزیه و تحلیل ریاضی، ریاضیات برای مطالعه و بازتاب فرآیندهای در حال توسعه در دنیای واقعی قابل دسترسی شد. ریاضیات شامل متغیرها و حرکت بود.