نمونه هایی از نگاشت های منسجم مفهوم نگاشت منسجم نگاشتهای منسجم توابع ابتدایی

در این فصل ما برخی از کاربردهای تئوری توابع یک متغیر مختلط را در مسائل هیدرودینامیک صفحه، الکترواستاتیک و تئوری الاستیسیته بررسی خواهیم کرد. تبدیل منسجم نقش اساسی در این کاربردها ایفا می کند و ما این فصل را با نگاهی دقیق تر به تبدیل منسجم آغاز می کنیم. خواص اساسی تبدیل انجام شده توسط یک تابع منظم توسط ما در و سپس در روشن شد. ما این تبدیل را با جزئیات بیشتری هم در نقاطی که مشتق غیر صفر است و هم در نقاطی که برابر با صفر است بررسی کردیم. در نقاط نوع اول، زوایای بدون تغییر باقی می‌مانند، اما در مورد نقاط نوع دوم، در این نقاط زاویه‌ها همانطور که در نشان داده شده افزایش می‌یابند. اجازه دهید

یک تابع منظم که تبدیل همسان دامنه B به دامنه را انجام می دهد. اگر در هیچ کجای ناحیه B ناپدید نشود، آن ناحیه هیچ نقطه انشعاب ندارد، اما همچنان می تواند چند ورقی باشد، یعنی روی خودش همپوشانی داشته باشد. اجازه دهید در منطقه B تعدادی تابع منحنی تعریف شده بر روی این منحنی و انتگرال منحنی را در نظر بگیریم

عنصر قوس منحنی l کجاست. در نتیجه تبدیل (1)، منحنی l به منحنی معینی تبدیل می شود که در ناحیه قرار دارد و عنصر قوس منحنی جدید به عنوان یک محصول بیان می شود زیرا ضریب تغییر در ابعاد خطی را می دهد.

معرفی یک تابع

ما معکوس (1) خواهیم داشت، بدیهی است، بنابراین می توانیم بنویسیم

بنابراین انتگرال در نتیجه تبدیل به شکل بیان می شود

به طور مشابه، با در نظر گرفتن اینکه ضریب تغییر مساحت در یک مکان معین چه چیزی ایجاد می کند، فرمول زیر را برای تبدیل انتگرال مضاعف تحت یک تبدیل منسجم خواهیم داشت:

و برای عنصر مساحت فرمول زیر اعمال خواهد شد:

اگر در فرمول (1) قسمت واقعی و خیالی را از هم جدا کنیم.

آنگاه به راحتی می توان فهمید که چه چیزی برابر با تعیین کننده تابعی توابع در متغیرهای x و y است. در واقع، این تعیین کننده عملکردی با فرمول بیان می شود

یا به موجب معادلات کوشی-ریمان، با فرمول

و این دقیقاً مربع مدول مشتق است

اجازه دهید در صفحه دو خانواده از خطوط فرم را در نظر بگیریم

که در آن ثابت دلخواه هستند. در هواپیما آنها با خطوط موازی مطابقت دارند محورهای مختصات، و در نتیجه خطوط (7) از شبکه ای از خطوط مستقیم موازی با محورها با استفاده از تبدیل (2) به دست می آیند. از اینجا، اتفاقاً، مستقیماً نتیجه می شود که خطوط (7) متعلق به خانواده های مختلف متعامد هستند، به جز نقاطی که در آنها صفر است. برعکس، اگر معادلات را در نظر بگیریم

و در سمت راست این معادلات یا جایی که ثابت های دلخواه هستند، شبکه ای را در صفحه متشکل از دو خانواده از خطوط متعامد به دست می آوریم.

این شبکه از شبکه ای از خطوط مستقیم موازی با محورهای مختصات صفحه با استفاده از تبدیل انجام شده توسط تابع (1) به دست می آید. این دو شبکه که در آینده نقش بسزایی خواهند داشت، معمولاً شبکه های همدما نامیده می شوند. بیایید معنی این نام را دریابیم. بخش واقعی (یا خیالی) یک تابع منظم باید معادله لاپلاس را برآورده کند:

اما چنین معادله ای با دما در مورد جریان گرمای ثابت برآورده می شود و ما در نظر می گیریم که یک حالت صاف وجود دارد، یعنی دما به یکی از مختصات بستگی ندارد.

با این تفسیر از تابع به عنوان دما در جریان گرمای ثابت، خطوط اولین خانواده (7) خطوطی با دمای مساوی خواهند بود، از این رو شبکه همدما نامیده می شود. در مورد مورد بررسی، خطوط دوم از خانواده ها (7)، متعامد به اول، به عنوان خطوط برداری برای بردارهایی که در آنها در نظر گرفتیم و آنها را بردار جریان گرما نامیدیم، عمل می کنند.

هنگام تبدیل (1)، دو خط به خطوط مستقیم موازی با محورها می روند و بخشی از ناحیه B که توسط خطوط فوق محدود شده است، به قسمتی از نوار که توسط خطوط مستقیم فوق محدود شده است، موازی با محور.

یک چهارضلعی منحنی محدود شده توسط چهار خط از یک شبکه همدما در نتیجه تبدیل (1) به یک مستطیل محصور شده توسط خطوط مستقیم موازی با محورها تبدیل می شود (شکل 26).

بیایید قبل از اینکه به مثال‌ها برویم، یک اضافه دیگر به مبانی کلی تبدیل هم‌نوع اضافه کنیم. دیده‌ایم که در طول تبدیل انجام شده توسط یک تابع منظم در نقاطی که مشتق غیر صفر است، زوایا نه تنها از نظر بزرگی، بلکه در جهت مرجع خود نیز حفظ می‌شوند. گاهی اوقات تبدیل های صفحه ای در نظر گرفته می شود که در آن مقادیر زوایا حفظ می شود و جهت مرجع آنها در جهت مخالف می رود.

این دگرگونی را گاهاً تبدیل منسجم از نوع دوم می نامند. به عنوان مثال، ما یک تبدیل تقارن را در محور واقعی نشان می‌دهیم، که بدیهی است یک تبدیل مطابق نوع دوم خواهد بود (شکل 27). این تبدیل را می توان به صورت فرمول نوشت. به طور کلی، اگر یک تابع منظم در دامنه B وجود دارد، پس فرمول

یک تبدیل منسجم از نوع دوم را ارائه می دهد که در ناحیه متقارن با B با توجه به محور واقعی تعریف شده است. در واقع، انتقال از z به با حفظ مقادیر زوایا به B تبدیل می شود، اما با تغییر جهت شمارش آنها. انتقال بعدی از به مطابق فرمول (8) دیگر نه بزرگی زوایا و نه جهت خوانش آنها را تغییر نخواهد داد و بنابراین، در تبدیل نهایی از z به w، تبدیلی هم‌نوع از نوع دوم خواهیم داشت.

هنگام حل مسائل کاربردی، اغلب نیاز به تبدیل یک ناحیه معین به ناحیه ای با فرم ساده تر و به گونه ای وجود دارد که زوایای بین منحنی ها حفظ شود. دگرگونی های وقف شده با این خاصیت، حل موفقیت آمیز مسائل آیرودینامیک و هیدرودینامیک، نظریه کشش، نظریه میدان های طبیعت مختلف و بسیاری دیگر را ممکن می سازد. ما خود را به دگرگونی مناطق مسطح محدود خواهیم کرد. نگاشت پیوسته r = /(r) یک ناحیه مسطح به یک ناحیه روی صفحه در صورتی که در این نقطه خاصیت امتداد ثابت و حفظ زوایا را داشته باشد، منسجم نامیده می شود. اگر نگاشت یک به یک از یکی از این نواحی به نواحی دیگر و در هر نقطه منسجم باشد، به مناطق باز معادل همسان گفته می شود. قضیه ریمان. هر دو ناحیه مسطح که به سادگی به هم متصل شده اند و مرزهای آنها از بیش از یک نقطه تشکیل شده است به طور مشابه معادل هستند. مشکل اصلی در حل مسائل خاص، ساختن یک نگاشت صریح یک به یک مطابق از یکی از آنها به دیگری از مناطق مسطح معین است. یکی از راه‌های حل این مشکل در حالت صفحه، استفاده از دستگاه تئوری توابع یک متغیر مختلط است. همانطور که در بالا ذکر شد، یک تابع تحلیلی یک ظرفیتی با مشتق غیرصفر، یک نگاشت همسان از حوزه تخصیص خود را بر روی تصویر خود انجام می دهد. هنگام ساختن نگاشتهای همسان، قانون زیر بسیار مفید است. اصل مطابقت مرزها. اجازه دهید در یک منطقه ساده H) از صفحه مختلط z، که توسط کانتور 7 محدود شده است، یک تابع تحلیلی تک مقداری w = f(z)، پیوسته در بسته 9) و منعکس کننده کانتور 7 بر روی کانتور 7 اینچی پیچیده داده شود. خطی بودن w. اگر جهات با عبور از کانتور حفظ شوند، تابع w - f(z) یک نگاشت منسجم از ناحیه صفحه مختلط z را بر روی ناحیه Z1 صفحه مختلط w انجام می دهد که توسط کانتور 7 اینچ محدود شده است. (عکس. 1). هدف از این بخش این است که با استفاده از دامنه‌های یک‌وجهی توابع ابتدایی اولیه یک متغیر مختلط که قبلاً یافت شده بود، ساختن نگاشت‌های منسجم از دامنه‌های صفحه ساده متصل باز، که اغلب در برنامه‌ها با آن‌ها مواجه می‌شوند، بر روی دامنه‌ها - نیمه بالایی، یاد بگیرند. -صفحه و دایره واحد (شکل .2). برای استفاده کارآمدتر از جدول زیر، برخی از تبدیل های ساده صفحه مختلط مفید هستند. تبدیل‌های صفحه‌ای که انجام می‌دهند: 1. ترجمه موازی (تغییر با عدد مختلط a) (شکل. 3)، شکل 3 2. چرخش (در یک زاویه معین 3. کشش (fc > 1) یا فشرده سازی (شکل 5). بنابراین، یک تبدیل از نوع 0، هر دایره ای را می توان به یک دایره واحد با مرکز تبدیل کرد. در صفر (شکل 6)، هر نیم صفحه ای را می توان به نیمه صفحه بالایی تبدیل کرد، هر پاره خط مستقیم را می توان به قطعه ای از محور واقعی تبدیل کرد (شکل 14). «>(صفحه با برش در امتداد پرتوهای واقعی J -oo، 0] و (I, +oo[ صفحه با برش در امتداد پرتو واقعی صفحه با برش در امتداد یک قطعه (O, 1J شماره 21 1 صفحه با برش پرتوهای y دروغ گفتن یک خط مستقیم که از مبدا در امتداد پرتوهای واقعی می گذرد] - "у, 0] و (1. صفحه با برش در امتداد پرتو واقعی (0، + در (صفحه با برش در امتداد قوس دایره Ixl - 1 , lm z > O صفحه با برش در امتداد قوس دایره ای III - I, Re z > O صفحه با برش در امتداد یک پرتو واقعی (0, صفحه با برش در امتداد یک قوس دایره ای صفحه با برش در امتداد یک پرتو واقعی [C , + co [ شماره 25 نیم صفحه با برش ها نیم صفحه l با برش در امتداد یک قطعه با برش در امتداد پرتوی خیالی دایره با برش دایره 1 با برش در امتداد یک قطعه (1/2, 1J شماره 30 صفحه با برش در امتداد یک قطعه (-1، 5/4] دایره Izl با برش در امتداد قطعات (-1 . -1/2] و (1/2، 1] شماره 31 صفحه با برش در امتداد برش ها I -5/4، 5/4] دایره ایجل با برش های متقارن در امتداد محور فرضی دایره با برش های متقارن در امتداد محور واقعی نمای خارجی دایره با بریدگی دایره واحد خارجی I با برش در امتداد قطعه و 11, 2) شماره 34 صفحه با برش در امتداد قطعه [ -1, 5/4] صفحه با برش در امتداد قطعه I - 5/ 4, 3/4] w = e "^z ظاهر یک دایره منفرد Izl > 1 با برش‌هایی در امتداد قطعاتی که امتداد قطر آن هستند بیرون یک دایره واحد Iwl > 1 با برش‌هایی در امتداد قطعاتی که روی محور واقعی قرار دارند نیم‌دایره با برش‌ها -r2 Nfc 36 دایره ایول با برش در امتداد قطعه [ -1/4، 1] نیم دایره، با برش در امتداد قطعه (0, i/2) نیم دایره، با برش در امتداد قطعه (شکل 13). در این مورد، مناطق

(نیم دایره پایین و نیم صفحه بالا با نیم دایره بیرون انداخته شده) به نیمه صفحه بالا و نواحی (نیم دایره بالا و نیم صفحه پایین با نیم دایره بیرون زده) به نیمه صفحه پایین می روند. .

7. - تابع خطی کسری. ویژگی های اصلی آن در بخش نظری درس 7 و 8 آورده شده است.

در عمل، ما اغلب با دامنه‌هایی از انواع زیر مواجه می‌شویم که گاهی اوقات نیاز به نگاشت مطابق با نیم صفحه بالایی دارند.

1. مناطقی که مرزهای آنها دارای دو نقطه گوشه است (شکل 14).

با استفاده از تابع کسری خطی، نمایش

یکی از نقاط گوشه در 0، و دیگری در، پس از آن شما یک زاویه با راس در مبدا دریافت کنید. سپس تابع power را بچرخانید و اعمال کنید.

2. دایره، بیرون یک دایره یا یک نیم دایره با برش (شکل 15).

تبدیل شباهت و تابع ژوکوفسکی را اعمال کنید، پس از آن یک صفحه یا نیم صفحه با برش ها بدست می آورید.

3. نواحی محدود شده توسط دایره ها (خطوط مستقیم) یا کمان های دایره هایی که نقطه تماس دارند (شکل 16).

با استفاده از یک تابع کسری خطی، نقطه مماس به را ترسیم کنید، که منجر به یک نوار یا نیم نوار می شود. سپس تابع نمایی را اعمال کنید.

4. مناطقی که مرزهای آنها دارای سه یا چند نقطه گوشه است (شکل 17).

با استفاده از تابع پاور، برخی از گوشه ها را صاف کنید.

وظایف

1. تصویر خط را هنگام نمایش پیدا کنید.

راه حل. بگذارید سپس از شرط Re z = و برابری، i.e. برابری هایی داریم که x = , که به استثنای x و y از آنها می گیریم. بنابراین، تصویر خط مستقیم Re z = سهمی خواهد بود.

2. تصاویر خطوط را هنگام نمایش پیدا کنید.

راه حل. شمارش از برابری

ما پیدا می کنیم: . با افزودن یک شرط به این تساوی ها و حذف x و y از برابری های حاصل، به دست می آوریم. این معادله یک مارپیچ لگاریتمی در و پرتو در = 0 را توصیف می کند.

3. هنگام نمایش تصویر نیم صفحه بالایی را با برش در امتداد بخش پیدا کنید.

راه حل.تابع نیمه صفحه بالایی را که به عنوان یک زاویه در نظر گرفته شده است را بر روی یک زاویه ترسیم می کند. روی صفحه ای با برش در امتداد نیم محور مثبت واقعی. از این ناحیه نیز باید تصویر قطعه را هنگام نمایش حذف کنیم. بخش با شرایط x = 0، مشخص می شود. از این شرایط و تساوی های به دست آمده از برابری به استثنای x و y به دست می آید: . این به این معنی است که تصویر قطعه یک قطعه خواهد بود و تصویر ناحیه اصلی صفحه ای با برش در امتداد پرتو خواهد بود.

4. برخی از نگاشتهای منسجم را به نیم صفحه بالایی Im z > 0 از دامنه های زیر بیابید:

ج) یک هواپیما با برش در امتداد پرتوها و;

د) نیمه صفحه بالایی با برش در امتداد بخش.

ه) نمای بیرونی یک دایره واحد با مرکز در نقطه 0 و برش در امتداد پرتو.

و) نیمه بالایی یک دایره واحد با برش در امتداد بخش.

ز) بخش؛

ح) نیمه نوار؛

ل) نوار با برش در امتداد پرتو.

راه حل.دنباله‌ای از نقشه‌برداری‌ها که به کمک آن‌ها نگاشت‌های هم‌نوع مناطق داده‌شده بر روی نیم صفحه بالایی انجام می‌شود، و همچنین مناطق به‌دست‌آمده از این نگاشت‌ها، در شکل‌های زیر نشان داده شده‌اند.

مرزهای یک منطقه داده شده دارای دو نقطه گوشه -1 و 1 هستند که با استفاده از تابع z 1 به ترتیب به و 0 نگاشت می شوند. نقطه z = یک نقطه گوشه از مرز نیست، زیرا در بی نهایت پرتوها و به عنوان یک قسمت از خط مستقیم Im z = 0 در نظر گرفته می شوند، زاویه تشکیل نمی دهند. تابع z 1 یک منطقه معین را با زاویه قدر با یک راس در مبدا ترسیم می کند، که با استفاده از تابع توانبه زاویه قدر ترسیم می شود، یعنی. به نیم صفحه بالایی.

از آنجایی که زمانی که z 1 نمایش داده می شود، پرتوها و در مجموع به یک پرتو تبدیل می شوند، پس تصویر یک ناحیه معین زمانی که z 1 نمایش داده می شود، کل صفحه با یک برش در امتداد پرتو خواهد بود، یعنی. زاویه قدر با راس در مبدا، که با استفاده از یک تابع، بر روی نیم صفحه بالایی نگاشت می شود.

تابع ژوکوفسکی z 1 نمای بیرونی یک دایره واحد را در قسمت بیرونی یک قطعه و برش را در امتداد یک پرتو بر روی یک پرتو ترسیم می کند. بنابراین، تصویر ناحیه اصلی هنگام نمایش z 1، قسمت بیرونی قطعه ای است که پرتو دیگری از آن پرتاب می شود، یعنی. یک هواپیما با برش در امتداد پرتو وجود خواهد داشت.

تبدیل، نیم دایره بالایی واحد را روی یک دایره واحد با برش در امتداد پاره، و قطعه را به قطعه نگاشت می کند، بنابراین تصویر ناحیه اصلی هنگام نگاشت z 1 یک دایره واحد با برش هایی در امتداد پاره ها و . ناحیه حاصل توسط تابع ژوکوفسکی z 2 بر روی صفحه ای با برش در امتداد یک پرتو نگاشت می شود، زیرا با این نگاشت دایره واحد به قسمت بیرونی قطعه، قطعه به قطعه و قطعه به پرتو می رود.

مرز ناحیه منبع دارای نقطه مماس z = 0 است که به نگاشت شده است. در این مورد، خود منطقه به یک نوار تبدیل می شود.

برای نگاشت نیم نوار نشان داده شده در صفحه z 3 بر روی نیم صفحه بالایی، از پاسخ مثال h استفاده کردیم، جایی که . سپس .

وقتی نمایش داده می شود، نوار به گوشه می رود، یعنی. به یک صفحه با برش در امتداد پرتو، و برش به پرتو می رود، بنابراین منطقه اصلی به یک صفحه با برش در امتداد پرتوها می رود و. سپس از پاسخ مثال ج استفاده کردیم.

5. نیم دایره را روی دایره ترسیم کنید تا .

راه حل.ابتدا، اجازه دهید مقداری نگاشت منسجم از یک نیم دایره معین را بر روی نیم صفحه بالایی پیدا کنیم. یکی از این نگاشت ها با دنباله ای از نگاشت های منسجم نشان داده شده در شکل های زیر ارائه شده است.

یک نیم دایره معین را به صورت همسان بر روی نیم صفحه بالایی ترسیم می کند. در این صورت نقطه داخلی به نقطه و نقطه مرزی 2 به نقطه 1 می رود. اکنون نیم صفحه را روی یک دایره ترسیم می کنیم تا نقطه به نقطه 0 و نقطه 1 به نقطه 1 برود. نقشه برداری خطی-کسری است، سپس با توجه به خاصیت تقارن یک تابع کسری خطی، نقطه متقارن به نقطه نسبت به مرز نیم صفحه به نقطه متقارن به نقطه 0 نسبت به مرز می رود. دایره. در نتیجه، نگاشت مورد نیاز به ترتیب نقاط , , 1 را به نقاط 0, , 1 می برد و از رابطه پیدا می شود

جایی که . این تابع یک نیم دایره داده شده را به یک دایره واحد ترسیم می کند تا .