Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель: повысить мотивацию к обучению; развивать вычислительные навыки, сообразительность, умение работать в команде.
Ход занятия
Актуализация знаний. Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью?
Окружность - это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.
На слайде изображена окружность, отмечен ее центр - точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius - “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).
Также нам понадобится определение хорды окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).
Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.
Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие и касательные.
Доказывать эти свойства вы будете на уроках математики, а наша задача научиться применять эти свойства при решении задач, так как они находят широкое применение на экзаменах и в форме ЕГЭ, и в форме ГИА.
Задание для команд.
- Изобразить и записать свойство пересекающихся в точке Р хорд КМ и NF.
- Изобразить и записать свойство касательной КМ и секущей КF.
- Изобразить и записать свойство секущих КМ и МF.
Используя данные на рисунке, найдите х. Слайд 5–6
Кто быстрее, правильней. С последующим обсуждением и проверкой решения всех задач. Отвечающие зарабатывают для своей команды поощрительные баллы.
Ну, а теперь приступим к решению более серьезных задач. Вашему вниманию предлагается три блока: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие. Подробным образом разберем решение по одной задачи из каждого блока.
(Разбирается решение с подробной записью №4, №7, №12)
2. Практикум по решению задач
а) Пересекающиеся хорды
1. E – точка пересечения хорд AB и CD. AE=4, AB=10, СE:ED=1:6. Найти CD.
Решение:
2. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Найти AE и BE.
Решение:
3. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Найти CE.
Решение:
4. E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.
Решение:
б) Касательная и секущая
5. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная равна 6, секущая – 18. Определить внутренний отрезок секущей.
Решение:
6. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти касательную, если известно, что она меньше внутреннего отрезка секущей на 4 и больше внешнего отрезка на 4.
Решение:
7. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний её отрезок относится к внешнему, как 3:1, а длина касательной равна 12.
Решение:
8. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти внешний отрезок, секущей, если известно, что внутренний её отрезок 12, а длина касательной 8.
Решение:
9. Касательная и секущая, исходящие из одной точки, соответственно равны 12 и 24. Определить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12.
Решение:
в) Две секущие
10. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.
Решение:
11. Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок первой секущей относится к своему внутреннему, как 1:3. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой и относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.
Решение:
12. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведен прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.
Решение:
13. Из точки А проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, составляющая внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.
Решение:
- 10,5; 17,5
- 12;18
3. Закрепление знаний
Считаю, что вы обладаете достаточным запасом знаний, чтобы отправится в небольшое путешествие по лабиринтам вашего интеллекта, посетив следующие станции:
- Соображай-ка!
- Решай-ка!
- Отвечай-ка!
На станции можно находиться не более 6 минут. За каждое верное решение задачи команда получает поощрительные баллы.
Командам вручаются маршрутные листы:
Маршрутный лист
| Станция | Номера задач | Отметка о решении |
| Решай-ка! | №1, №3 | |
| Соображай-ка! | №5, №8 | |
| Отвечай-ка! | №10, №11 |
Хотелось бы подвести итоги нашего занятия:
Помимо новых знаний надеюсь, вы лучше познакомились друг с другом, приобрели опыт работы в команде. А как вы думаете, полученные знания находят где-то применение в жизни?
Поэт Г. Лонгфелло был еще и математиком. Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе “Каванг”, позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Читаем в романе следующую задачу:
“Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого требовалось определить глубину озера” (1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя – 21 дюйму).
А решается эта задача на основе свойства пересекающихся хорд. Посмотрите на рисунок, и станет ясно, как находится глубина озера.
Решение:
§ 11. Пропорциональные отрезки в круге .
1. Ферма моста ограничена дугой окружности (черт. 38); высота фермы MK= h = 3 м; радиус дуги АМВ пролёта R = 8,5 м. Вычислить длину АВ пролёта моста.
2. В сводчатом подвале, имеющем форму полуцилиндра, надо поставить две стойки, каждую на одинаковом расстоянии от ближайшей стены. Определить высоту стоек, если ширина подвала по низу равна 4 м, а расстояние между стойками 2 м.
3. 1) Из точки окружности проведён перпендикуляр на диаметр. Определить его длину при следующей длине отрезков диаметра: 1) 12 см и3 см; 2) 16см и 9 см, 3)2 м и 5 дм.
2) Из точки диаметра проведён перпендикуляр до пересечения с окружностью. Определить длину этого перпендикуляра, если диаметр равен 40 см, а проведённый перпендикуляр отстоит от одного из концов диаметра на 8 см.
4. Диаметр разделён на отрезки: АС= 8 дм и СВ=5 м, и из точки С проведён к нему перпендикуляр CD данной длины. Указать положение точки D относительно круга, когда CD равняется: 1) 15 дм; 2) 2 м; 3) 23 дм.
5. АСВ-полуокружность; CD - перпендикуляр на диаметр АВ. Требуется:
1) определить DB, если AD = 25 и CD =10;
2) определить АВ, если AD: DB= 4: 9 и CD=30;
3) определить AD, если CD=3AD, а радиус равен r ;
4) определить AD, если AВ=50 и CD= 15.
6. 1) Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на радиус, равный 34 см, делит его в отношении 8:9 (начиная от центра). Определить длину перпендикуляра.
2) Хорда BDC перпендикулярна к радиусу ODA. Определить ВС, если ОA = 25 см и AD=10 см.
3) Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 8 дм; хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 4 м. Определить радиусы окружностей.
7. С помощью сравнения отрезков доказать, что среднее арифметическое двух неравных чисел больше их среднего геометрического.
8. Построить отрезок, средний пропорциональный между отрезками 3 см и 5 см.
9. Построить отрезок, равный: √15 ; √10 ; √6 ; √3 .
10. ADB-диаметр; АС-хорда; CD-перпендикуляр к диаметру. Определить хорду АС: 1) если АВ=2 м и AD = 0,5 м; 2) если AD = 4 см и DB = 5 см; 3) если AB=20 м и DB= 15 м.
11. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:
1) определить AD, если АB=18 см и АС=12 см;
2) определить радиус, если AС=12 м и AD=4 м;
3) определить DB, если AС=24 см и DB = 7 / 9 AD.
12. АВ-диаметр; АС-хорда; AD-её проекция на диаметр АВ. Требуется:
1) определить АС, если АВ = 35 см и AC=5AD;
2) определить АС, если радиус равен r и AC=DB.
13. Две хорды пересекаются внутри круга. Отрезки одной хорды равны 24 см и 14 см; один из отрезков другой хорды равен 28 см. Определить второй её отрезок.
14. Мостовая ферма ограничена дугой окружности (черт. 38); длина моста АВ= 6 м, высота А =1,2 м. Определить радиус дуги (OM= R).
15. Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке М так, что МА =7 см, MB=21 см,
МС = 3 см и MD = 16 см. Лежат ли точки А, В, С и D на одной окружности?
16. Длина маятника MA = l = 1 м (черт. 39), высота подъёма его, при отклонении на угол α, CA = h = 10 см. Найти расстояние ВС точки В от МА (ВС = х ).
17. Для перевода железнодорожного пути шириной b = 1,524 м в месте АВ (черт. 40) сделано закругление; при этом оказалось, ; что BС= а = 42,4 м. Определить радиус закругления OA = R.
18. Хорда АМВ повёрнута около точки М так, что отрезок МА увеличился в 2 1 / 2 раза. Как изменился отрезок MB?
19. 1) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 48 см и 3 см, а другая - пополам. Определить длину второй хорды.
2) Из двух пересекающихся хорд одна разделилась на части в 12 м и 18 м, а другая- в отношении 3:8. Определить длину второй хорды.
20. Из двух пересекающихся хорд первая равна 32 см, а отрезки другой хорды равны
12 см и 16 см. Определить отрезки первой хорды.
21. Секущая ABC повёрнута около внешней точки А так, что внешний её отрезок АВ уменьшился в три раза. Как изменилась длина секущей?
22. Пусть ADB и AЕС-две прямые, пересекающие окружность: первая -в точках D и В, вторая -в точках E и С. Требуется:
1) определить АЕ, если AD = 5 см, DB=15 см и АС=25 см;
2)определитьBD, если АВ = 24 м, АС= 16 м и ЕС=10м;
3) определить АВ и АС, если АВ+АС=50 м, a AD: AE = 3:7.
23. Радиус окружности равен 7 см. Из точки, удалённой от центра на 9 см, проведена секущая так, что она делится окружностью пополам. Определить длину этой секущей.
24. МАВ и MCD-две секущие к одной окружности. Требуется:
1) определить CD, если МВ= 1 м, MD = 15 дм и CD = MA;
2) определить MD, если MA =18 см, АВ=12 см и MC:CD = 5:7;
3) определить АВ, если АВ= МС, МА = 20 и CD= 11.
25. Две хорды продолжены до взаимного пересечения. Определить длину полученных продолжений, если хорды равны а и b , а их продолжения относятся, как т: п .
26. Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Определить длину касательной, если внешний и внутренний отрезки секущей соответственно выражаются следующими числами: 1) 4 и 5; 2) 2,25 и 1,75; 3) 1 и 2.
27. Касательная равна 20 см, а наибольшая секущая, проведённая из той же точки, равна 50 см. Определить радиус круга.
28. Секущая больше своего внешнего отрезка в 2 1 / 4 раза. Во сколько раз она больше касательной, проведённой из той же точки?
29. Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать, что они равны.
30. На одной стороне угла А отложены один за другим отрезки: AВ=6 см и ВС =8 см; а на другой стороне отложен отрезок AD = 10 см. Через точки В, С и D проведена окружность. Узнать, касается ли этой окружности прямая AD, а если нет, то будет ли точка D первой (считая от A) или второй точкой пересечения.
31. Пусть будет: АВ-касательная и ACD-секущая той же окружности. Требуется:
1) определить CD, если АВ = 2 см и AD = 4 см;
2) определить AD, если AC:CD = 4:5 и АВ=12 см;
3) определить АВ, если AB = CD и АС = а .
32. 1) Как далеко видно с воздушного шара (черт. 41), поднявшегося на высоту 4 км над землёй (радиус земли равен = 6370 км)?
2) Гора Эльбрус (на Кавказе) поднимается над уровнем моря на 5 600 м. Как далеко можно видеть с вершины этой горы?
3) М - наблюдательный пункт высотой А метров над землёй (черт. 42); радиус земли R, МТ= d есть наибольшее видимое расстояние. Доказать, что d = √2Rh + h 2
Замечание. Так как h 2 вследствие своей малости сравнительно с 2Rh на результат почти не влияет, то можно пользоваться приближённой формулой d ≈ √2Rh .
33. 1) Касательная и секущая, выходящие из одной точки, соответственно равны 20 см и 40 см; секущая удалена от центра на 8 см. Определить радиус круга.
2) Определить расстояние от центра до той точки, из которой выходят касательная и секущая, если они соответственно равны 4 см и 8 см, а секущая удалена от центра на
12 см.
34. 1) Из общей точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить длину касательной, если она на 5 см больше внешнего отрезка секущей и на столько же меньше внутреннего отрезка.
2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а , а её внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Определить касательную.
36. Из одной точки проведены к одной окружности касательная и секущая. Касательная больше внутреннего и внешнего отрезков секущей соответственно на 2 см и 4 см. Определить длину секущей.
36. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Определить их длину, если касательная на 20 см меньше внутреннего отрезка секущей и на 8 см больше внешнего отрезка.
37. 1) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 30 см, а внутренний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.
2) Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Определить секущую и касательную.
38. Отрезок АВ продолжен на расстояние ВС. На АВ и АС, как на диаметрах, построены окружности. К отрезку АС в точке В проведён перпендикуляр BD до пересечения с большей окружностью. Из точки С проведена касательная СК к меньшей окружности. Доказать, что CD = СК.
39. К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Радиус есть средняя пропорциональная между отрезками третьей касательной. Доказать.
40. Даны две параллельные прямые на расстоянии 15 дм одна от другой; между ними дана точка М на расстоянии 3 дм от одной из них. Через точку М проведена окружность, касательная к обеим параллелям. Определить расстояние между проекциями центра и точки М на одну из данных параллелей.
41. В круг радиуса r вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру круга. Определить высоту.
42. Определить радиус круга, описанного около равнобедренного треугольника: 1) если основание равно 16 см, а высота 4 см; 2) если боковая сторона равна 12 дм, а высота 9 дм; 3) если боковая сторона равна 15 м, а основание 18 м.
43. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 дм, а боковая сторона равна 30 дм. Определить радиусы кругов, описанного и вписанного, и расстояние между их центрами.
44. Радиус равен r , хорда данной дуги равна а . Определить хорду удвоенной дуги.
45. Радиус окружности равен 8 дм; хорда АВ равна 12 дм. Через точку А проведена касательная, а из точки В-хорда ВС, параллельная касательной. Определить расстояние между касательной и хордой ВС.
46. Точка А удалена от прямой MN на расстояние с . Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку А и касается линии MN. Определить расстояние между полученной точкой касания и данной точкой А.
Теорема 111 . 1) Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, среднепропорционален между частями диаметра. Этот перпендикуляр называется иногда ординатой.
2) Хорда, соединяющая конец диаметра с точкой окружности, среднепропорциональна между диаметром и отрезком, прилежащем хорде.
Дано. Опустим из какой-нибудь точки C окружности перпендикуляр CD на диаметр AB (черт. 169).
Требуется доказать, что 1) AD/CD = CD/DB, а также 2) AD/AC = AC/AB.
Доказательство . Соединим точку C с концами диаметра AB, тогда при точке C образуется прямой угол ACB, в котором отрезок CD есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.
На основании теоремы 100 имеет место пропорция:
на основании теоремы 101 пропорция:
AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)
Следствие . Квадраты хорд относятся как соответствующие отрезки диаметра.
Доказательство . Из пропорции (1) следуют равенства:
AC 2 = AB · AD, CB 2 = AB · BD
откуда по разделении находим:
AC 2 /CB 2 = AD/DB.
Теорема 112 . Части пересекающихся хорд обратно пропорциональны между собой.
Даны две пересекающиеся хорды AB и CD (черт. 170).
Требуется доказать, что
т. е. большая часть первой хорды относится к большей части второй как меньшая часть второй хорды к меньшей части первой .
Доказательство . Соединим точку A с C и B с D, тогда образуются два подобных треугольника ACE и DBE, ибо углы при точке E равны как вертикальные, ∠CAB = ∠CDB как опирающиеся на концы дуги CB, ∠ACD = ∠ABD как опирающиеся на концы дуги AD.
Из подобия треугольников ACE и DBE вытекает пропорция:
BE/DE = CE/AE (a)
Из пропорции (a) вытекает равенство:
BE · AE = DE · CE
показывающее, что произведение отрезков одной равно произведению отрезков другой хорды.
Теорема 113 . Две секущие, проведенные из одной и той же точки вне окружности, обратно пропорциональны внешним своим частям.
Даны две секущие AB и AC, проведенные из точки A (черт 171).
Требуется доказать, что
т. е. первая секущая относится ко второй, как внешняя часть второй относится к внешней части первой секущей.
Доказательство . Соединим точки D с C, а B с E.
Два треугольника ∠ABE и ∠ADC подобны, ибо угол A общий, B = C как опирающиеся на концы одной и той же дуги DE, следовательно и ∠ADC = ∠AEB.
Из подобия треугольников ADC и ABE вытекает пропорция:
AC/AB = AD/AE (ЧТД).
Из этой же пропорции вытекает равенство
AC · AE = AB · AD
показывающее, что произведение секущей на ее внешний отрезок равно произведению другой секущей на ее отрезок (если секущие выходят из одной точки).
Теорема 114 . Касательная среднепропорциональна между целой секущей и внешней ее частью.
Дана касательная AB и секущая BC (черт. 172).
Требуется доказать, что
Доказательство . Соединим точку A с точками C и D.
Треугольники ABC и ABD подобны, ибо угол B общий, ∠BAD = ∠ACD, следовательно, ∠CAB = ∠ADB.
BC/AB = AB/BD (ЧТД).
Из этой пропорции вытекает равенство:
AB 2 = BC · BD
показывающее, что квадрат касательной равен произведению секущей на внешнюю ее часть .
Свойство сторон вписанного четырехугольника
Теорема 115 . Во всяком четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
Это предположение, известное под именем теоремы Птоломея, встречается в первый раз в сочинении Птоломея «Альагест» во II веке по Р. Х.
Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 173) и проведены диагонали AC и BD.
Требуется доказать, что AC · BD = AB · CD + BC · AD.
Доказательство . Проведем прямую BE так, чтобы угол EBC равнялся углу ABD. Два треугольника ABD и BEC подобны, ибо ∠ABD = ∠CBE по построению, ∠ADB = ∠BCE как опирающиеся на одну и ту же дугу AB, следовательно,
Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:
BC/BD = EC/AD (a)
Треугольники ABE и BCD подобны, ибо ∠ABE = ∠DBC по построению, ∠BAE = ∠BDC как опирающиеся на дугу BC, следовательно,
∠BEA = ∠BCD.
Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:
AB/BD = AE/CD (b)
Из пропорций (a) и (b) вытекают равенства:
BC ·
AD = BD ·
EC
AB ·
CD = BD ·
AE
Сложив эти равенства, имеем:
BC · AD + AB · CD = BD · EC + BD · AE = BD (EC + AE)
Так как EC + AE = AC, то
BD · AC = BC · AD + AB · CD (ЧТД).
Теорема 116 . Во всяком вписанном четырехугольнике диагонали относятся как суммы произведений сторон, опирающихся на концы диагоналей.
Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 174) и проведены диагонали AC и BD.
Требуется доказать, что
BD/AC = (AD · DC + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)
Доказательство . а) От точки B отложим дугу BE равную DC и соединим точку E с точками A, B, D.
Для вписанного четырехугольника ABED имеет место равенство:
AE · BD = AD · BE + AB · DE.
Так как BE = CD по построению, DE = BC, ибо ◡DE = ◡DC + ◡CE и ◡BC = ◡BE + ◡CE.
Заменив BE и DE их величинами, имеем равенство:
AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)
b) Отложив от точки A дугу AF равную дуге BC и соединив точку F с точками A, D, C, имеем для четырехугольника AFCD равенство:
AC · DF = AF · CD + AD · CF
В этом равенстве AF = BC по построению, CF = AB (ибо ◡CF = ◡BC + ◡BF и ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)
Заменяя величины AF и CF их величинами, найдем равенство:
AC · DF = BC · CD + AD · AB (b)
В равенствах (a) и (b) отрезки AE и DF равны, ибо
◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF
Разделяя равенства (a) и (b), находим:
BC/AD = (AD · C D + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB) (ЧТД).
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Рассмотрим сначала секущую АС, проведенную из внешней по отношению к данной окружности точки А (рис. 288). Из той же точки проведем касательную АТ. Будем называть отрезок между точкой А и ближайшей к ней точкой пересечения с окружностью внешней частью секущей (отрезок АВ на рис. 288), отрезок же АС до более далекой из двух точек пересечения - просто секущей. Отрезок касательной от А до точки касания также коротко называем касательной. Тогда справедлива
Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
Доказательство. Соединим точку . Треугольники ACT и ВТ А подобны, так как угол при вершине А у них общий, а углы ACT и равны, поскольку оба они измеряются половиной одной и той же дуги ТВ. Следовательно, Отсюда получаем требуемый результат:
Касательная равна среднему геометрическому между секущей, проведенной из той же точки, и ее внешней частью.
Следствие. Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение ее длины на внешнюю часть постоянно:
Рассмотрим теперь хорды, пересекающиеся во внутренней точке. Справедливо утверждение:
Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (имеются в виду отрезки, на которые хорда разбивается точкой пересечения).
Так, на рис. 289 хорды АВ и CD пересекаются в точке М, и мы имеем Иначе говоря,
Для данной точки М произведение отрезков, на которые она разбивает любую проходящую через нее хорду, постоянно.
Для доказательства заметим, что треугольники МВС и MAD подобны: углы СМВ и DMA вертикальные, углы MAD и МСВ опираются на одну и ту же дугу. Отсюда находим
что и требовалось доказать.
Если данная точка М лежит на расстоянии l от центра, то, проведя через нее диаметр и рассматривая его как одну из хорд, найдем, что произведение отрезков диаметра, а значит, и любой другой хорды, равно Оно же равно квадрату минимальной полухорды (перпендикулярной к указанному диаметру), проходящей через М.
Теорема о постоянстве произведения отрезков хорды и теорема о постоянстве произведения секущей на ее внешнюю часть суть два случая одного и того же утверждения, различие состоит лишь в том, проводятся ли секущие через внешнюю или внутреннюю точку круга. Теперь можно указать еще один признак, отличающий вписанные четырехугольники:
Во всяком вписанном четырехугольнике произведения отрезное, на которые разбиваются диагонали точкой их пересечения, равны.
Необходимость условия очевидна, так как диагонали будут хордами описанной окружности. Можно показать, что это условие также и достаточно.
