Zależność harmoniczna. Wibracje i fale. Harmoniczny ruch oscylacyjny. Kinematyka ruchu oscylacyjnego

Zmiany w czasie zgodnie z prawem sinusoidalnym:

gdzie x- wartość zmiennej wielkości w chwili czasu T, A- amplituda , ω - częstotliwość kołowa, φ jest początkową fazą oscylacji, ( t + φ ) to całkowita faza oscylacji . Jednocześnie wartości A, ω oraz φ - stały.

Do drgań mechanicznych o wartości oscylacyjnej x są w szczególności przemieszczenie i prędkość, dla oscylacji elektrycznych - napięcie i natężenie prądu.

Wibracje harmoniczne zajmują szczególne miejsce wśród wszystkich rodzajów drgań, ponieważ jest to jedyny rodzaj drgań, których kształt nie ulega zniekształceniu przy przejściu przez jednorodny ośrodek, tj. fale rozchodzące się ze źródła drgań harmonicznych również będą harmoniczne. Każda wibracja nieharmoniczna może być reprezentowana jako suma (całka) różnych wibracji harmonicznych (w postaci widma wibracji harmonicznych).

Przemiany energii podczas drgań harmonicznych.

W procesie oscylacji następuje przejście energii potencjalnej Wp w kinetyczny Wk i wzajemnie. W położeniu maksymalnego odchylenia od położenia równowagi energia potencjalna jest maksymalna, energia kinetyczna wynosi zero. Gdy wracamy do pozycji równowagi, prędkość ciała oscylującego wzrasta, a wraz z nim wzrasta również energia kinetyczna, osiągając maksimum w pozycji równowagi. Energia potencjalna spada wtedy do zera. Dalszy ruch szyi następuje wraz ze spadkiem prędkości, która spada do zera, gdy ugięcie osiąga drugie maksimum. Energia potencjalna wzrasta tutaj do wartości początkowej (maksymalnej) (przy braku tarcia). Zatem oscylacje energii kinetycznej i potencjalnej występują z podwójną (w porównaniu z oscylacjami samego wahadła) częstotliwością i są w przeciwfazie (tj. między nimi występuje przesunięcie fazowe równe π ). Całkowita energia wibracji W pozostaje bez zmian. Dla ciała oscylującego pod działaniem siły sprężystej jest on równy:

gdzie v m- maksymalna prędkość ciała (w pozycji równowagi), x m = A- amplituda.

Ze względu na obecność tarcia i oporu ośrodka, drgania swobodne tłumią się: ich energia i amplituda maleją z czasem. Dlatego w praktyce częściej stosuje się nie swobodne, ale wymuszone oscylacje.

Zmiany wielkości opisujemy prawami sinusa lub cosinusa, wtedy takie oscylacje nazywamy harmonicznymi. Rozważ obwód wykonany z kondensatora (który został naładowany przed włączeniem do obwodu) i cewki indukcyjnej (rys. 1).

Obrazek 1.

Równanie oscylacji harmonicznych można zapisać w następujący sposób:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha )_0)$ (1)

gdzie $t$-czas; $q$ ładunek, $q_0$-- maksymalne odchylenie ładunku od jego średniej (zerowej) wartości podczas zmian; $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- faza oscylacji; $(\alpha )_0$ - faza początkowa; $(\omega )_0$ - częstotliwość cykliczna. W tym okresie faza zmienia się o $2\pi $.

Wpisz równanie:

równanie oscylacji harmonicznych w postaci różniczkowej dla obwodu oscylacyjnego, który nie będzie zawierał czynnej rezystancji.

Jakikolwiek okresowe wahania można dokładnie przedstawić jako sumę oscylacji harmonicznych, tzw. szereg harmoniczny.

Dla okresu oscylacji obwodu składającego się z cewki i kondensatora otrzymujemy wzór Thomsona:

Jeśli różnicujemy wyrażenie (1) ze względu na czas, otrzymamy wzór na funkcję $I(t)$:

Napięcie na kondensatorze można znaleźć jako:

Ze wzorów (5) i (6) wynika, że ​​siła prądu jest o $\frac(\pi )(2) wyższa niż napięcie na kondensatorze.$

Oscylacje harmoniczne można przedstawić zarówno w postaci równań, funkcji, jak i wykresów wektorowych.

Równanie (1) przedstawia swobodne, nietłumione oscylacje.

Równanie drgań tłumionych

Zmianę ładunku ($q$) na płytkach kondensatora w obwodzie z uwzględnieniem rezystancji (rys. 2) opiszemy równaniem różniczkowym o postaci:

Rysunek 2.

Jeżeli rezystancja będąca częścią obwodu $R \

gdzie $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ to częstotliwość oscylacji cyklicznych. $\beta =\frac(R)(2L)-$współczynnik tłumienia. Amplituda drgań tłumionych wyrażana jest jako:

W przypadku, gdy przy $t=0$ ładunek na kondensatorze jest równy $q=q_0$, w obwodzie nie ma prądu, to dla $A_0$ możemy napisać:

Faza oscylacji w początkowym momencie czasu ($(\alpha )_0$) jest równa:

Dla $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ zmiana ładunku nie jest oscylacją, rozładowanie kondensatora nazywa się aperiodycznym.

Przykład 1

Ćwiczenie: Maksymalna wartość opłaty wynosi $q_0=10\C$. Zmienia się harmonijnie z okresem $T=5c$. Określ maksymalny możliwy prąd.

Rozwiązanie:

Jako podstawę do rozwiązania problemu wykorzystujemy:

Aby znaleźć aktualną siłę, wyrażenie (1.1) musi być zróżnicowane w zależności od czasu:

gdzie maksimum (wartość amplitudy) natężenia prądu jest wyrażeniem:

Z warunków zadania znamy wartość amplitudy ładunku ($q_0=10\ Kl$). Powinieneś znaleźć naturalną częstotliwość drgań. Wyraźmy to jako:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\lewo(1.4\prawo).\]

W takim przypadku żądaną wartość można znaleźć za pomocą równań (1.3) i (1.2) jako:

Ponieważ wszystkie wielkości w warunkach problemu są przedstawione w układzie SI, przeprowadzimy obliczenia:

Odpowiedź:$I_0=12,56\ A.$

Przykład 2

Ćwiczenie: Jaki jest okres oscylacji w obwodzie zawierającym cewkę indukcyjną $L=1$H i kondensator, jeśli prąd w obwodzie zmienia się zgodnie z prawem: $I\left(t\right)=-0.1sin20\pi t \ \left(A \right)?$ Jaka jest pojemność kondensatora?

Rozwiązanie:

Z równania oscylacji prądu podanego w warunkach zadania:

widzimy, że $(\omega )_0=20\pi $, stąd możemy obliczyć Okres Oscylacji ze wzoru:

\ \

Zgodnie ze wzorem Thomsona dla obwodu, który zawiera cewkę indukcyjną i kondensator, mamy:

Obliczmy pojemność:

Odpowiedź:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

Fluktuacje - proces zmiany stanów układu wokół punktu równowagi, powtarzający się w takim czy innym stopniu w czasie.

Oscylacja harmoniczna - oscylacje, w których wielkość fizyczna (lub jakakolwiek inna) zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusoidalnym lub cosinusoidalnym. Kinematyczne równanie drgań harmonicznych ma postać

gdzie x jest przesunięciem (odchyleniem) punktu oscylacyjnego od położenia równowagi w czasie t; A - amplituda oscylacji, jest to wartość określająca maksymalne odchylenie punktu oscylacji od położenia równowagi; ω - częstotliwość cykliczna, wartość pokazująca liczbę pełnych oscylacji występujących w ciągu 2π sekund - pełna faza oscylacji, 0 - początkowa faza oscylacji.

Amplituda - maksymalna wartość przemieszczenia lub zmiany zmiennej od wartości średniej podczas ruchu oscylacyjnego lub falowego.

Amplituda i początkowa faza oscylacji są określone przez początkowe warunki ruchu, tj. położenie i prędkość punktu materialnego w chwili t=0.

Uogólnione oscylacje harmoniczne w postaci różniczkowej

amplituda fal dźwiękowych i sygnałów dźwiękowych zwykle odnosi się do amplitudy ciśnienia powietrza w fali, ale czasami jest określana jako amplituda przemieszczenia z równowagi (powietrza lub membrany głośnika)

Częstotliwość to wielkość fizyczna, charakterystyczna dla procesu okresowego, równa liczbie pełnych cykli procesu w jednostce czasu. Częstotliwość drgań fal dźwiękowych zależy od częstotliwości drgań źródła. Wibracje o wysokiej częstotliwości zanikają szybciej niż drgania o niskiej częstotliwości.

Odwrotność częstotliwości drgań nazywana jest okresem T.

Okres oscylacji to czas trwania jednego pełnego cyklu oscylacji.

W układzie współrzędnych z punktu 0 rysujemy wektor А̅, którego rzut na oś OX jest równy Аcosϕ. Jeżeli wektor А̅ obraca się jednostajnie z prędkością kątową ω˳ w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to ϕ=ω˳t + ϕ˳, gdzie ϕ˳ jest wartością początkową ϕ (faza oscylacji), to amplituda oscylacji jest modułem jednostajnie wirującego wektora А̅, faza oscylacji (ϕ ) to kąt między wektorem А̅ a osią ОХ, faza początkowa (ϕ˳) -wartość początkowa pod tym kątem częstotliwość kątowa oscylacji (ω) to prędkość kątowa obrotu wektora А̅..

2. Charakterystyka procesów falowych: czoło fali, wiązka, prędkość fali, długość fali. Fale podłużne i poprzeczne; przykłady.

Powierzchnia, która oddziela ten moment czas, już pokryty i jeszcze nie pokryty oscylacjami, ośrodek nazywa się frontem fali. We wszystkich punktach takiej powierzchni, po odejściu czoła fali, powstają drgania o identycznej fazie.

Wiązka jest prostopadła do czoła fali. Promienie akustyczne, podobnie jak promienie świetlne, są prostoliniowe w jednorodnym ośrodku. Odbite i załamane na styku dwóch mediów.

Długość fali - odległość między dwoma najbliższymi sobie punktami, oscylującymi w tych samych fazach, zwykle długość fali jest oznaczona literą grecką. Przez analogię do fal, które powstają w wodzie z rzuconego kamienia, długość fali to odległość między dwoma sąsiednimi grzbietami fal. Jedna z głównych cech drgań. Mierzone w jednostkach odległości (metry, centymetry itp.)

• wzdłużny fale (kompresja, fale P) - cząstki ośrodka oscylują równoległy(wzdłuż) kierunku propagacji fali (jak na przykład w przypadku propagacji dźwięku);
• poprzeczny fale (ścinanie, fale S) - cząstki ośrodka oscylują prostopadły kierunek propagacji fal (fale elektromagnetyczne, fale na powierzchniach separacji mediów);

Częstotliwość kątowa oscylacji (ω) to prędkość kątowa obrotu wektora А̅(V), przemieszczenie x punktu oscylacji to rzut wektora А̅ na oś OX.

V=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Vmsin(ω˳t+ϕ˳), gdzie Vm=Аω˳ to maksymalna prędkość (amplituda prędkości)

3. Drgania swobodne i wymuszone. Częstotliwość drgań własnych układu. Zjawisko rezonansu. Przykłady .

Swobodne (naturalne) wibracje nazywane są tymi, które są wykonywane bez wpływów zewnętrznych ze względu na energię początkowo otrzymaną przez ciepło. Charakterystyczne modele takich drgań mechanicznych to punkt materialny na sprężynie (wahadło sprężynowe) oraz punkt materialny na nierozciągliwej nici (wahadło matematyczne).

W tych przykładach oscylacje powstają albo z powodu energii początkowej (odchylenie punktu materialnego od położenia równowagi i ruchu bez prędkości początkowej), albo z powodu energii kinetycznej (ciało otrzymuje prędkość w początkowej pozycji równowagi) lub z powodu do obu tych energii (prędkość jest przekazywana ciału odchylonemu od pozycji równowagi).

Rozważ wahadło sprężynowe. W położeniu równowagi siła sprężystości F1

równoważy siłę grawitacji mg. Jeśli sprężyna zostanie naciągnięta na odległość x, na punkt materialny zadziała duża siła sprężystości. Zmiana wartości siły sprężystej (F), zgodnie z prawem Hooke'a, jest proporcjonalna do zmiany długości sprężyny lub przemieszczenia x punktu: F= - rx

Inny przykład. Wahadło matematyczne odchylenia od położenia równowagi ma tak mały kąt α, że trajektorię ruchu punktu materialnego można traktować jako linię prostą pokrywającą się z osią OX. W tym przypadku spełniona jest przybliżona równość: α ≈sin α≈ tgα ≈x/L

Nietłumione wibracje. Rozważ model, w którym pomija się siłę oporu.
Amplitudę i początkową fazę oscylacji określają początkowe warunki ruchu, tj. położenie i prędkość punktu materialnego momentu t=0.
Wśród różnego rodzaju oscylacja oscylacja harmoniczna jest najprostszą formą.

W ten sposób punkt materialny zawieszony na sprężynie lub gwincie wykonuje drgania harmoniczne, jeśli nie są brane pod uwagę siły oporu.

Okres oscylacji można obliczyć ze wzoru: T=1/v=2P/ω0

tłumione wibracje. W rzeczywistym przypadku na drgający korpus działają siły oporu (tarcia), zmienia się charakter ruchu i drgania zostają wytłumione.

W odniesieniu do ruchu jednowymiarowego ostatnią formułę podajemy w postaci: Fс= - r * dx/dt

Szybkość spadku amplitudy oscylacji zależy od współczynnika tłumienia: im silniejsze działanie opóźniające ośrodka, tym większe ß i tym szybciej maleje amplituda. W praktyce jednak stopień tłumienia często charakteryzuje się logarytmicznym dekrementem tłumienia, czyli wartością równą logarytmowi naturalnemu ze stosunku dwóch kolejnych amplitud oddzielonych odstępem czasu równym okresowi oscylacji, a więc współczynnikowi tłumienia a logarytmiczny dekrement tłumienia jest powiązany dość prostą zależnością: λ=ßT

Przy silnym tłumieniu widać ze wzoru, że okres oscylacji jest wielkością urojoną. Ruch w tym przypadku nie będzie już okresowy i nazywa się aperiodycznym.

Wibracje wymuszone. Oscylacje wymuszone nazywane są oscylacjami występującymi w układzie z udziałem siły zewnętrznej, która zmienia się zgodnie z prawem okresowym.

Załóżmy, że oprócz siły sprężystości i siły tarcia na punkt materialny F=F0 cos ωt działa zewnętrzna siła napędowa

Amplituda drgań wymuszonych jest wprost proporcjonalna do amplitudy siły napędowej i ma złożoną zależność od współczynnika tłumienia ośrodka oraz częstotliwości kołowych drgań własnych i wymuszonych. Jeżeli dla układu podano ω0 i ß, to amplituda drgań wymuszonych ma wartość maksymalną przy określonej częstotliwości siły napędowej, zwanej rezonansowy Samo zjawisko - osiągnięcie maksymalnej amplitudy wymuszonych oscylacji dla danych ω0 i ß - nazywa się rezonans.

Rezonansową częstotliwość kołową można znaleźć z warunku minimalnego mianownika w: ωres=√ωₒ- 2ß

Rezonans mechaniczny może być zarówno korzystny, jak i szkodliwy. Szkodliwy efekt związany jest głównie ze zniszczeniem, jakie może spowodować. Tak więc w technice, biorąc pod uwagę różne wibracje, konieczne jest zapewnienie możliwości wystąpienia warunków rezonansowych, w przeciwnym razie mogą wystąpić zniszczenia i katastrofy. Ciała mają zwykle kilka częstotliwości drgań własnych i odpowiednio kilka częstotliwości rezonansowych.

W narządach wewnętrznych zachodzą zjawiska rezonansowe pod wpływem zewnętrznych drgań mechanicznych. Jest to najwyraźniej jedna z przyczyn negatywnego wpływu drgań i wibracji infradźwiękowych na organizm człowieka.

6. Metody badań dźwiękowych w medycynie: perkusja, osłuchiwanie. Fonokardiografia.

Dźwięk może być źródłem informacji o stanie narządy wewnętrzne dlatego takie metody badania stanu pacjenta, jak osłuchiwanie, perkusja i fonokardiografia, są szeroko rozpowszechnione w medycynie.

Osłuchiwanie

Do osłuchiwania używa się stetoskopu lub fonendoskopu. Fonendoskop składa się z wydrążonej kapsułki z membraną przenoszącą dźwięk nałożoną na ciało pacjenta, z której prowadzą gumowe rurki do ucha lekarza. W kapsule dochodzi do rezonansu słupa powietrza, w wyniku czego dźwięk zostaje wzmocniony i poprawia się osłuchiwanie. Podczas osłuchiwania płuc słychać odgłosy oddechu, różne świszczące oddechy, charakterystyczne dla chorób. Możesz także posłuchać serca, jelit i żołądka.

Perkusja

W tej metodzie nasłuchiwany jest dźwięk poszczególnych części ciała, gdy są one stukane. Wyobraź sobie zamkniętą jamę wewnątrz jakiegoś ciała, wypełnioną powietrzem. Jeśli spowodujesz wibracje dźwiękowe w tym ciele, to przy określonej częstotliwości dźwięku powietrze we wnęce zacznie rezonować, podkreślając i wzmacniając ton odpowiadający rozmiarowi i położeniu wnęki. Ciało ludzkie można przedstawić jako kombinację objętości wypełnionej gazem (płuca), cieczy (narządy wewnętrzne) i stałej (kości). Podczas uderzania w powierzchnię ciała dochodzi do drgań, których częstotliwości mają szeroki zakres. Z tego zakresu niektóre drgania dość szybko wygasną, inne, zbiegające się z naturalnymi drganiami pustych przestrzeni, będą się nasilać i dzięki rezonansowi będą słyszalne.

Fonokardiografia

Służy do diagnozowania stanu czynności serca. Metoda polega na graficznej rejestracji tonów i szmerów serca oraz ich interpretacji diagnostycznej. Fonokardiograf składa się z mikrofonu, wzmacniacza, systemu filtrów częstotliwości oraz urządzenia rejestrującego.

9. Ultradźwiękowe metody badawcze (ultradźwięki) w diagnostyce medycznej.

1) Metody diagnostyki i badań

Obejmują one metody lokalizacyjne wykorzystujące głównie promieniowanie impulsowe. To jest echoencefalografia - definicja guzów i obrzęku mózgu. Kardiografia ultrasonograficzna - pomiar wielkości serca w dynamice; w okulistyce - lokalizacja ultradźwiękowa do określania wielkości mediów oka.

2) Metody oddziaływania

Fizjoterapia ultradźwiękowa - mechaniczne i termiczne oddziaływanie na tkankę.

11. Fala uderzeniowa. Produkcja i wykorzystanie fal uderzeniowych w medycynie.
fala uderzeniowa – powierzchnia nieciągłości, która porusza się względem gazu i na przecięciu której następuje skok ciśnienia, gęstości, temperatury i prędkości.
Przy dużych zakłóceniach (wybuch, naddźwiękowy ruch ciał, silne wyładowanie elektryczne itp.) prędkość oscylujących cząstek medium może stać się porównywalna z prędkością dźwięku , pojawia się fala uderzeniowa.

Fala uderzeniowa może mieć znaczną energię, więc, w wybuch jądrowy do powstania fali uderzeniowej w środowisko zużywa się około 50% energii wybuchu. Dlatego fala uderzeniowa, docierając do obiektów biologicznych i technicznych, może spowodować śmierć, obrażenia i zniszczenia.

Fale uderzeniowe są wykorzystywane w technologii medycznej, które są niezwykle krótkim, silnym impulsem ciśnienia o wysokich amplitudach ciśnienia i małym składniku rozciągania. Są one generowane na zewnątrz ciała pacjenta i przenoszone w głąb ciała, wywołując efekt terapeutyczny, zapewniany przez specjalizację modelu sprzętu: kruszenie kamieni moczowych, leczenie stref bólowych i następstw urazów układu mięśniowo-szkieletowego, stymulacja regeneracji mięśnia sercowego po zawale mięśnia sercowego, wygładzenie cellulitu itp.

>> Wibracje harmoniczne

§ 22 OSCYLACJE HARMONICZNE

Wiedząc, w jaki sposób są powiązane przyspieszenie i współrzędna ciała oscylującego, można na podstawie analizy matematycznej znaleźć zależność współrzędnej od czasu.

Przyspieszenie to druga pochodna współrzędnej względem czasu. Prędkość chwilowa punktu, jak wiecie z kursu matematyki, jest pochodną współrzędnej punktu względem czasu. Przyspieszenie punktu jest pochodną jego prędkości względem czasu lub drugą pochodną współrzędnej względem czasu. Dlatego równanie (3.4) można zapisać w następujący sposób:

gdzie x " jest drugą pochodną współrzędnej względem czasu. Zgodnie z równaniem (3.11) podczas swobodnych oscylacji współrzędna x zmienia się w czasie tak, że druga pochodna współrzędnej po czasie jest wprost proporcjonalna do samej współrzędnej i jest do niej przeciwna.

Z kursu matematyki wiadomo, że drugie pochodne sinusa i cosinusa ze względu na swój argument są proporcjonalne do samych funkcji, przyjmowanych ze znakiem przeciwnym. V Analiza matematyczna udowodniono, że żadne inne funkcje nie mają tej właściwości. Wszystko to pozwala nam słusznie stwierdzić, że współrzędna ciała wykonującego swobodne oscylacje zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa lub pasyny. Rysunek 3.6 przedstawia zmianę współrzędnej punktu w czasie zgodnie z prawem cosinusów.

Okresowe zmiany wielkości fizycznej w zależności od czasu, zachodzące zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, nazywamy oscylacjami harmonicznymi.

Amplituda oscylacji. Amplituda drgań harmonicznych jest modułem największego przemieszczenia ciała z położenia równowagi.

Amplituda może być różne znaczenia w zależności od tego, jak bardzo przemieścimy ciało z położenia równowagi w początkowym momencie czasu, lub jaka prędkość jest zgłaszana ciału. Amplituda jest określona przez warunki początkowe, a raczej przez energię przekazaną ciału. Ale maksymalne wartości modułu sinus i cosinus są równe jeden. Dlatego rozwiązanie równania (3.11) nie może być wyrażone po prostu przez sinus lub cosinus. Powinien mieć postać iloczynu amplitudy oscylacji x m przez sinus lub cosinus.

Rozwiązanie równania opisującego drgania swobodne. Rozwiązanie równania (3.11) zapisujemy w postaci:

a drugą pochodną będzie:

Otrzymaliśmy równanie (3.11). Dlatego funkcja (3.12) jest rozwiązaniem pierwotnego równania (3.11). Rozwiązaniem tego równania będzie również funkcja

Zgodnie z (3.14) wykresem zależności współrzędnej ciała od czasu jest falą kosinusoidalną (patrz ryc. 3.6).

Okres i częstotliwość drgań harmonicznych. Podczas wibracji ruchy ciała są okresowo powtarzane. Okres czasu T, w którym układ wykonuje jeden pełny cykl drgań, nazywany jest okresem drgań.

Znając okres, możesz określić częstotliwość oscylacji, czyli liczbę oscylacji na jednostkę czasu, na przykład na sekundę. Jeżeli w czasie T wystąpi jedna oscylacja, to liczba oscylacji na sekundę

V międzynarodowy system jednostki (SI) częstotliwość oscylacji jest równa jeden, jeśli występuje jedna oscylacja na sekundę. Jednostka częstotliwości nazywa się herc (w skrócie Hz) na cześć niemieckiego fizyka G. Hertza.

Liczba oscylacji w 2 s to:

Wartość - cykliczna lub kołowa częstotliwość oscylacji. Jeśli w równaniu (3.14) czas t jest równy jednemu okresowi, to T \u003d 2. Tak więc, jeśli w czasie t \u003d 0 x \u003d x m, to w czasie t \u003d T x \u003d x m, czyli przez okres czasu równy jednemu okresowi, oscylacje są powtarzane.

Częstotliwość swobodnych oscylacji określa częstotliwość drgań własnych układu oscylacyjnego 1.

Zależność częstotliwości i okresu oscylacji swobodnych od właściwości układu. Częstotliwość drgań własnych ciała przyczepionego do sprężyny, zgodnie z równaniem (3.13), jest równa:

Im większa, tym większa sztywność sprężyny k, a im mniejsza, tym większa masa ciała m. Łatwo to zrozumieć: sztywna sprężyna daje ciału większe przyspieszenie, szybciej zmienia prędkość ciała. A im bardziej masywne ciało, tym wolniej zmienia prędkość pod wpływem siły. Okres oscylacji to:

Mając zestaw sprężyn o różnej sztywności i korpusach o różnych masach, łatwo można z doświadczenia zweryfikować, że wzory (3.13) i (3.18) poprawnie opisują naturę zależności u T od k i m.

Godne uwagi jest to, że okres drgań ciała na sprężynie i okres drgań wahadła przy małych kątach wychylenia nie zależą od amplitudy drgań.

Moduł współczynnika proporcjonalności między przyspieszeniem t a przemieszczeniem x w równaniu (3.10), opisującym drgania wahadła, jest, podobnie jak w równaniu (3.1), kwadratem częstotliwości cyklicznej. W konsekwencji częstotliwość drgań własnych wahadła matematycznego przy małych kątach odchylenia nitki od pionu zależy od długości wahadła i przyspieszenia swobodnego spadania:

Ta formuła została po raz pierwszy uzyskana i przetestowana przez holenderskiego naukowca G. Huygensa, współczesnego I. Newtonowi. Dotyczy tylko małych kątów ugięcia gwintu.

1 Często w dalszej części, dla zwięzłości, będziemy odnosić się do częstotliwości cyklicznej po prostu jako do częstotliwości. Możesz odróżnić częstotliwość cykliczną od zwykłej poprzez notację.

Okres oscylacji zwiększa się wraz z długością wahadła. Nie zależy od masy wahadła. Można to łatwo zweryfikować eksperymentując z różnymi wahadłami. Można również znaleźć zależność okresu oscylacji od przyspieszenia swobodnego spadania. Im mniejsze g, tym dłuższy okres oscylacji wahadła, a co za tym idzie wolniejszy zegar z wahadłem. Tak więc zegar z wahadłem w postaci ciężarka na pręcie opóźni się w ciągu dnia o prawie 3 s, jeśli zostanie podniesiony z piwnicy na piętro Uniwersytetu Moskiewskiego (wysokość 200 m). A to tylko ze względu na zmniejszenie przyspieszenia swobodnego spadania wraz z wysokością.

W praktyce wykorzystuje się zależność okresu drgań wahadła od wartości g. Mierząc okres oscylacji, g można bardzo dokładnie określić. Zmiany przyspieszenia swobodnego spadania od szerokość geograficzna. Ale nawet na danej szerokości geograficznej nie wszędzie jest tak samo. W końcu gęstość skorupy ziemskiej nie wszędzie jest taka sama. Na obszarach, gdzie występują gęste skały, przyspieszenie g jest nieco większe. Jest to brane pod uwagę podczas poszukiwania minerałów.

Tak więc ruda żelaza ma zwiększoną gęstość w porównaniu do konwencjonalnych skał. Pomiary przyspieszenia grawitacyjnego pod Kurskiem, przeprowadzone pod kierunkiem akademika A. A. Michajłowa, pozwoliły na wyjaśnienie lokalizacji Ruda żelaza. Po raz pierwszy odkryto je za pomocą pomiarów magnetycznych.

Właściwości drgań mechanicznych wykorzystywane są w urządzeniach większości wag elektronicznych. Ważone ciało umieszcza się na platformie, pod którą zamontowana jest sztywna sprężyna. W efekcie powstają drgania mechaniczne, których częstotliwość mierzy odpowiedni czujnik. Mikroprocesor podłączony do tego czujnika przekłada częstotliwość drgań na masę ważonego ciała, ponieważ częstotliwość ta zależy od masy.

Otrzymane wzory (3.18) i (3.20) dla okresu oscylacji wskazują, że okres oscylacji harmonicznych zależy od parametrów układu (sztywność sprężyny, długość gwintu itp.)

Myakishev G. Ya., Fizyka. Klasa 11: podręcznik. dla kształcenia ogólnego instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / G. Ya Myakishev, B. V. Bukhovtsev, V. M. Charugin; wyd. V. I. Nikołajew, N. A. Parfenteva. - 17. ed., poprawione. i dodatkowe - M.: Edukacja, 2008. - 399 s.: chor.

Pełna lista tematów według klas, plan kalendarza według szkolnego programu nauczania z fizyki online, pobierz materiał wideo z fizyki dla klasy 11

Treść lekcji podsumowanie lekcji wsparcie ramka prezentacja lekcji metody akceleracyjne technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia samokontrola warsztaty, szkolenia, case'y, questy praca domowa pytania do dyskusji pytania retoryczne od studentów Ilustracje audio, wideoklipy i multimedia fotografie, obrazki grafika, tabele, schematy humor, anegdoty, dowcipy, komiksy przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły chipy dla dociekliwych ściągawki podręczniki podstawowe i dodatkowe słowniczek pojęć inne Doskonalenie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu w podręczniku elementów innowacji na lekcji zastępując przestarzałą wiedzę nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarzowy na rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane lekcje

1.18. OSCYLACJE HARMONICZNE I ICH CHARAKTERYSTYKA

Definicja drgań harmonicznych. Charakterystyka drgań harmonicznych: odchylenie od położenia równowagi, amplituda drgań, faza drgań, częstotliwość i okres drgań. Prędkość i przyspieszenie punktu oscylacyjnego. Energia oscylatora harmonicznego. Przykłady oscylatorów harmonicznych: matematycznych, sprężynowych, skrętnych i fizycznych wahadła.

Akustyka, inżynieria radiowa, optyka i inne gałęzie nauki i techniki opierają się na doktrynie oscylacji i fal. Ważną rolę odgrywa teoria drgań w mechanice, zwłaszcza w obliczeniach wytrzymałości samolotów, mostów, niektórych typów maszyn i zespołów.

wahania to procesy, które powtarzają się w regularnych odstępach czasu (jednak nie wszystkie powtarzające się procesy są fluktuacjami!). W zależności od fizycznego charakteru powtarzającego się procesu rozróżnia się oscylacje mechaniczne, elektromagnetyczne, elektromechaniczne itp. Podczas drgań mechanicznych zmieniają się okresowo pozycje i współrzędne ciał.

Siła regeneracji - siła, pod działaniem której zachodzi proces oscylacyjny. Siła ta ma tendencję do przywracania ciała lub punktu materialnego odchylonego od pozycji spoczynkowej do pierwotnego położenia.

W zależności od charakteru uderzenia w ciało oscylujące rozróżnia się drgania swobodne (lub naturalne) i drgania wymuszone.

W zależności od charakteru oddziaływania na układ oscylacyjny rozróżnia się drgania swobodne, drgania wymuszone, drgania własne i drgania parametryczne.

wolny (własny) oscylacjami nazywa się takie oscylacje, które występują w układzie pozostawionym samemu sobie po naciśnięciu lub wyprowadzeniu go z równowagi, tj. kiedy tylko siła przywracająca działa na oscylujący korpus, np. drgania kulki zawieszonej na gwincie. Aby wywołać wibracje, musisz albo popchnąć kulkę, albo odsuwając ją na bok, puścić. W przypadku braku rozpraszania energii, swobodne oscylacje nie są tłumione. Jednak rzeczywiste procesy oscylacyjne są tłumione, ponieważ na oscylujące ciało działają siły oporu ruchu (głównie siły tarcia).

· zmuszony drgania takie nazywane są, podczas których układ oscylacyjny jest wystawiony na działanie zewnętrznej, okresowo zmieniającej się siły (np. drgania mostu, które powstają, gdy przechodzą po nim ludzie idący krokiem). W wielu przypadkach systemy wykonują oscylacje, które można uznać za harmoniczne.

· Samooscylacje , jak i drganiom wymuszonym towarzyszą im siły zewnętrzne działające na układ drgający, jednak momenty, w których te efekty są realizowane, są ustalane przez sam układ drgający. Oznacza to, że sam system kontroluje wpływ zewnętrzny. Przykładem układu samo-oscylacyjnego jest zegar, w którym wahadło otrzymuje wstrząsy pod wpływem energii uniesionego ciężaru lub skręconej sprężyny, a wstrząsy te występują w momentach przejścia wahadła przez pozycję środkową.

· Parametryczny oscylacje są przeprowadzane z okresową zmianą parametrów układu oscylacyjnego (osoba bujająca się na huśtawce okresowo podnosi i obniża swój środek ciężkości, zmieniając w ten sposób parametry układu). W określonych warunkach układ staje się niestabilny - przypadkowe odchylenie od położenia równowagi prowadzi do pojawienia się i wzrostu oscylacji. Zjawisko to nazywa się parametrycznym wzbudzeniem oscylacji (tj. oscylacje są wzbudzane przez zmianę parametrów układu), a same oscylacje nazywane są parametrycznymi.

Pomimo odmiennej natury fizycznej, oscylacje charakteryzują się tymi samymi prawidłowościami, które bada się metodami ogólnymi. Ważną cechą kinematyczną jest forma drgań. Jest to określone przez postać funkcji czasu, która opisuje zmianę tej lub innej wielkości fizycznej podczas oscylacji. Najważniejsze są te fluktuacje, w których zmieniająca się wartość zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa . Nazywają się harmoniczny .

Wibracje harmoniczne nazywane są oscylacjami, w których oscylująca wielkość fizyczna zmienia się zgodnie z prawem sinusa (lub cosinusa).

Ten rodzaj oscylacji jest szczególnie ważny z następujących powodów. Po pierwsze, oscylacje natury i technologii często mają charakter bardzo bliski harmonii. Po drugie, procesy okresowe o różnej postaci (o różnej zależności czasowej) można przedstawić jako nałożenie lub superpozycję oscylacji harmonicznych.

Równanie oscylatora harmonicznych

Oscylacje harmoniczne opisuje prawo okresowości:

Ryż. 18.1. oscylacja harmoniczna

W

tutaj
- charakteryzuje zmiana dowolna wielkość fizyczna podczas oscylacji (przesunięcie położenia wahadła z położenia równowagi; napięcie na kondensatorze w obwodzie oscylacyjnym itp.), A - amplituda oscylacji ,
- faza oscylacji , - faza początkowa ,
- częstotliwość cykliczna ; wartość
nazywane również własny częstotliwość drgań. Ta nazwa podkreśla, że ​​częstotliwość ta jest określona przez parametry układu oscylacyjnego. Układ, którego prawo ruchu ma postać (18.1), nazywa się jednowymiarowy oscylator harmoniczny . Oprócz powyższych wielkości wprowadza się następujące pojęcia w celu scharakteryzowania oscylacji: Kropka , tj. czas jednej oscylacji.

(Okres oscylacji T nazywany najmniejszym okresem czasu, po którym powtarzają się stany układu oscylacyjnego (wykonywana jest jedna pełna oscylacja), a faza oscylacji otrzymuje przyrost 2p).

oraz częstotliwości
, który określa liczbę oscylacji w jednostce czasu. Jednostką częstotliwości jest częstotliwość takiej oscylacji, której okres wynosi 1 s. Ta jednostka nazywa się herc (Hz ).

Częstotliwość oscylacjin zwany odwrotnością okresu oscylacji - liczba pełnych oscylacji w jednostce czasu.

Amplituda- maksymalna wartość przemieszczenia lub zmiany zmiennej podczas ruchu oscylacyjnego lub falowego.

Faza oscylacji- argument funkcji okresowej lub opisujący harmoniczny proces oscylacyjny (ω - częstotliwość kątowa, T- czas, - początkowa faza oscylacji, czyli faza oscylacji w początkowym momencie czasu T = 0).

Pochodne pierwszej i drugiej wielkości oscylującej harmonicznie również wykonują oscylacje harmoniczne o tej samej częstotliwości:

W tym przypadku za podstawę przyjmuje się równanie oscylacji harmonicznych, zapisane zgodnie z prawem cosinusów. W tym przypadku pierwsze z równań (18.2) opisuje prawo, według którego zmienia się prędkość oscylującego punktu materialnego (ciała), drugie równanie opisuje prawo, według którego zmienia się przyspieszenie punktu oscylacyjnego (ciała).

Amplitudy
oraz
równe odpowiednio
oraz
. wahanie
przed
w fazie do ; i wahania
przed
na . Wartości A oraz można wyznaczyć z podanych warunków początkowych
oraz
:

,
. (18.3)

Energia oscylacji oscylatora

P

Ryż. 18.2. Wahadło sprężynowe

Zobaczmy teraz, co się stanie energia wibracji . Jako przykład drgań harmonicznych rozważ drgania jednowymiarowe wykonywane przez ciało o masie m Pod wpływem elastyczny siła
(na przykład wahadło sprężynowe, patrz rys. 18.2). Siły o charakterze innym niż sprężyste, ale w których spełniony jest warunek F = -kx, nazywamy quasi-elastyczny. Pod wpływem tych sił ciała również wykonują drgania harmoniczne. Pozwalać:

stronniczość:
prędkość:
przyśpieszenie:

Tych. równanie na takie oscylacje ma postać (18.1) o częstotliwości drgań własnych
. Siła quasi-sprężysta to konserwatywny . Dlatego całkowita energia takich harmonicznych oscylacji musi pozostać stała. W procesie oscylacji zachodzi przemiana energii kinetycznej mi Do w potencjał mi P i odwrotnie, ponadto w momentach największego odchylenia od położenia równowagi całkowita energia jest równa maksymalnej wartości energii potencjalnej, a gdy układ przechodzi przez położenie równowagi, całkowita energia jest równa maksimum wartość energii kinetycznej. Zobaczmy, jak zmienia się energia kinetyczna i potencjalna w czasie:

Energia kinetyczna:

Energia potencjalna:

(18.5)

Biorąc pod uwagę, że m.in. , ostatnie wyrażenie można zapisać jako:

Zatem całkowita energia oscylacji harmonicznej okazuje się być stała. Z relacji (18,4) i (18,5) wynika również, że średnie wartości energii kinetycznej i potencjalnej są sobie równe i stanowią połowę energii całkowitej, ponieważ wartości średnie
oraz
za okres wynoszą 0,5. Korzystając ze wzorów trygonometrycznych można stwierdzić, że energia kinetyczna i potencjalna zmieniają się wraz z częstotliwością
, tj. o częstotliwości dwukrotnie większej od częstotliwości harmonicznej.

Przykładami oscylatora harmonicznego są wahadła sprężynowe, wahadła fizyczne, wahadła matematyczne i wahadła skrętne.

1. Wahadło sprężynowe- jest to ładunek o masie m, zawieszony na absolutnie sprężystej sprężynie i wykonujący drgania harmoniczne pod działaniem siły sprężystości F = -kx, gdzie k jest sztywnością sprężyny. Równanie ruchu wahadła ma postać lub (18.8) Ze wzoru (18.8) wynika, że ​​wahadło sprężynowe wykonuje oscylacje harmoniczne zgodnie z prawem x \u003d Acos (ω 0 t + φ) z częstotliwością cykliczną

(18.9) i kropka

(18.10) Wzór (18.10) jest prawdziwy dla oscylacji sprężystych w granicach, w których spełnione jest prawo Hooke'a, tj. jeśli masa sprężyny jest mała w porównaniu z masą ciała. Energia potencjalna wahadła sprężynowego, przy użyciu (18.9) i wzoru na energię potencjalną z poprzedniego rozdziału, wynosi (patrz 18.5)

2. fizyczne wahadło- to solidny, który oscyluje pod wpływem grawitacji wokół ustalonej osi poziomej, która przechodzi przez punkt O, który nie pokrywa się ze środkiem masy C ciała (rys. 1).

Rys.18.3 Wahadło fizyczne

Jeżeli wahadło jest odchylone od położenia równowagi o pewien kąt α, to korzystając z równania dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego, moment siły przywracającej (18.11) M, gdzie J jest momentem bezwładności wahadło wokół osi przechodzącej przez punkt zawieszenia O, l to odległość osi od środka masy wahadła, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα to siła przywracająca (znak minus wskazuje, że kierunki F τ a α są zawsze przeciwne, sinα ≈ α, ponieważ oscylacje wahadła są uważane za małe, tzn. wahadło odchyla się od położenia równowagi o małe kąty). Piszemy równanie (18.11) jako

Lub biorąc (18.12) otrzymujemy równanie

Identyczny z (18,8), którego rozwiązanie znajdujemy i zapisujemy jako:

(18.13) Ze wzoru (18.13) wynika, że ​​dla małych drgań wahadło fizyczne wykonuje drgania harmoniczne o częstotliwości cyklicznej ω 0 i okresie

(18.14) gdzie wartość L=J/(m ja) - . Punkt O” na przedłużeniu prostej OS, który jest oddzielony od punktu O zawieszenia wahadła w odległości zmniejszonej długości L, nazywa się centrum huśtawki fizyczne wahadło(Rys. 18.3). Stosując twierdzenie Steinera dla momentu bezwładności osi, otrzymujemy

Oznacza to, że OO "jest zawsze większe niż OS. Punkt zawieszenia O wahadła i środek wychylenia O" mają właściwość zamienności: jeśli punkt zawieszenia zostanie przesunięty do środka obrotu, to stary punkt zawieszenia O będzie nowym środkiem obrotu, a okres drgań wahadła fizycznego nie ulegnie zmianie.

3. Wahadło matematyczne jest wyidealizowanym systemem składającym się z punktu materialnego o masie m, który jest zawieszony na nierozciągliwej, nieważkości nici i który oscyluje pod wpływem grawitacji. Dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego jest mała, ciężka kulka zawieszona na długiej, cienkiej nitce. Moment bezwładności wahadła matematycznego

(8) gdzie ja to długość wahadła.

Ponieważ wahadło matematyczne jest szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego, jeśli założymy, że cała jego masa jest skupiona w jednym punkcie - środku masy, to zastępując (8) do (7), znajdujemy wyrażenie na okres małych drgań wahadła matematycznego (18.15) Porównując wzory (18.13 ) i (18.15) widzimy, że jeśli zmniejszona długość L wahadła fizycznego jest równa długości ja wahadła matematycznego, to okresy oscylacji tych wahadeł są takie same. Znaczy, zmniejszona długość wahadła fizycznego jest długością takiego wahadła matematycznego, w którym okres drgań pokrywa się z okresem drgań danego wahadła fizycznego. Dla wahadła matematycznego (punkt materialny o masie m zawieszony na nieważkości, nierozciągliwej nici o długości ja w polu grawitacyjnym z przyspieszeniem swobodnego spadania równym g) przy małych kątach odchylenia (nie przekraczających 5-10 stopni kątowych) od położenia równowagi, częstotliwość drgań własnych:
.

4. Ciało zawieszone na elastycznej nici lub innym elastycznym elemencie, który oscyluje w płaszczyźnie poziomej, jest wahadło skrętne.

Jest to mechaniczny układ oscylacyjny, który wykorzystuje siły odkształceń sprężystych. Na ryc. 18.4 przedstawia kątowy analog liniowego oscylatora harmonicznego, który wykonuje drgania skrętne. Dysk umieszczony poziomo wisi na elastycznej nici zamocowanej w jego środku masy. Gdy dysk obraca się o kąt θ, powstaje moment sił m sprężyste odkształcenie skrętne:

gdzie i = iC jest momentem bezwładności dysku wokół osi przechodzącej przez środek masy, ε jest przyspieszeniem kątowym.

Przez analogię z obciążeniem sprężyny możesz uzyskać.