Колебания нелинейных систем. Нелинейные колебания и синхронизация колебаний. Андрианов И., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин

Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образования

Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина

Физический факультет

Кафедра методики преподавания физики и ОТД

КУРСОВАЯРАБОТА

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И СИНХРОНИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ

Выполнил студент группы ФИ-51

Пашкевич А.Я.

Научный руководитель:

к. ф.-м. н., доцент Ворсин Н.Н.

Брест, 2012

Введение

1.1 Линейные колебания в присутствии детерминированной внешней силы

2. Свободные колебания консервативных систем с нелинейными восстанавливающими силами

2.1 Свободные нелинейные колебания систем с затуханием и нелинейной восстанавливающей силой

2.2 Различные типы особенностей0

3. Незатухающие и релаксационные колебания

3.1 Качественный анализ уравнения Ван дер Поля

3.2 Связанные нелинейные колебания, регенеративный приемник с привязкой по фазе и принцип синхронизации

3.3 Основные уравнения

3.4 Колебания при большойрасстройке

3.5 Комбинированные колебания постоянной амплитуды

3.6 Электротехнические задачи, приводящие к уравнению Хилла

Заключение

Список литературы

Введение

Нет ничего удивительного в том, что физик должен уметь находить решение нелинейных задач, поскольку множество явлений, которые совершаются в мире вокруг него, управляются нелинейными зависимостями. В процессе развития математических наук трудности нелинейного анализа мешали формулировке представлений о нелинейных движениях, которые позволили бы глубже понять такие явления.

Если оглянуться назад на историю достижений науки, поражает тот факт, что основные усилия исследователей были сосредоточены лишь на изучении линейных систем и на линейных понятиях. Если в то же самое время бросить взгляд на окружающий нас мир, буквально на каждом шагу сталкиваешься с явлениями, которые нелинейны по своей природе. Линейные представления дают только поверхностное понимание многого из того, что встречается в природе. Чтобы сделать анализ более реалистичным, необходимо достичь более высокого уровня и большей легкости в понимании и использовании нелинейных представлений.

За последние годы получили развитие компьютерные методы анализа, и во многих случаях полагалось, что полученные решения могут дать лучшее понимание проявлений нелинейности. Вообще говоря, обнаружилось, что простой перебор численных решений ведет лишь к чуть большему пониманию нелинейных процессов, чем, например, наблюдение за самой природой, «перемалывающей» решения такой конкретной нелинейной задачи, как погода. Похоже, что наше понимание основывается не на уравнениях или их решениях, а, скорее, на фундаментальных и хорошо усвоенных представлениях. Обычно мы понимаем окружающее, только когда можем описать его посредством понятий, которые настолько просты, что они могут быть хорошо усвоены, и настолько широки, чтобы можно было оперировать ими, не обращаясь к конкретной ситуации. Перечень таких понятий обширен и включает, например, такие термины как резонанс, гистерезис, волны, обратная связь, граничные слои, турбулентность, ударные волны, деформация, погодные фронты, иммунитет, инфляция, депрессия и т. д. Большинство наиболее полезных процессов нелинейны по своему характеру, и наша неспособность описать точным математическим языком такие повседневные явления, как поток воды в водосточном желобе или закручивание дыма от сигареты, частично кроется в том, что мы не желали ранее погрузиться в нелинейную математику и понять ее.

Явление резонанса, как известно, часто встречается в живой материи. Следуя Винеру , Сент-Дьердьи предположил важность резонанса для устройства мышц. Оказывается, что субстанции с сильными резонансными свойствами обычно обладают исключительной способностью запасать как энергию, так и информацию, а такое аккумулирование, несомненно, имеет место в мышце.

Нелинейные колебания, случайные нелинейные колебания и связанные (синхронизированные по фазе) нелинейные колебания составляют самую суть явлений во многих областях науки и техники, например связи и энергетики; ритмические процессы имеют место в биологических и физиологических системах. Биофизик, метеоролог, геофизик, физик-атомщик, сейсмолог - все они имеют дело с нелинейными колебаниями, часто в той или иной форме синхронизированными по фазе. Например, инженер-энергетик занимается проблемой устойчивости синхронных машин, инженер-связист - неустойчивостью временной селекции или синхронизации, физиолог имеет дело с клонусом, невропатолог - с атаксией, метеоролог - с частотой колебаний атмосферного давления, кардиолог - с колебаниями, вызванными работой сердца, биолог - с колебаниями, обусловленными ходом биологических часов.

Основная цель дипломной работы - рассмотреть ряд задач теории нелинейных колебаний, связанных с такими основополагающими понятиями, как захватывание (или синхронизация), слежение, демодуляция, фазокогерентные системы связи. Будет сделана попытка дать обзор нелинейных задач, представляющих практический интерес, решения которых записаны в доступной форме. Обзор не является исчерпывающим, но он включает примеры задач, которые служат иллюстрацией основных представлений, необходимых для понимания нелинейных свойств систем фазовой синхронизации. Вопрос о существовании и единственности решений затрагивается лишь поверхностно; основное внимание уделяется методам получения решений.

Рассмотренный материал можно сгруппировать по трем основным темам. Первая тема включает изложение результатов теории линейных колебаний в системах с одной степенью свободы, имеющих постоянные параметры. Этот материал используется как справочный и для сопоставления с результатами, полученными из теории нелинейных колебаний. Вторая тема посвящена легко интегрируемым нелинейным системам, на которые не действуют внешние силы, зависящие от времени. Здесь посредством аппарата фазовой плоскости подробно изучаются свободные колебания нелинейных систем. Приводится краткое изложение теории Пуанкаре об особых точках дифференциальных уравнений первого порядка. Полезность понятия об особой точке иллюстрируется решением ряда физических задач. Наконец, третья тема охватывает колебания вынужденные, самоподдерживающиеся (автоколебания) и релаксационные нелинейные колебания. В частности, будет обсуждено применение теории Ван дер Поля к задачам синхронизации и слежения, а завершит главу рассмотрение уравнения Хилла.

1. Свободные колебания в линейных системах

Представляется ценным и интересным суммировать основные особенности линейных колебаний. Существует ряд причин, чтобы выполнить это здесь. Одна из наших принципиальных задач состоит в сопоставлении линейных и нелинейных методов исследования колебаний. Кроме того, сложилась практика применять, насколько это возможно, терминологию, используемую в линейных задачах, и в нелинейных. Наконец, полезно иметь сводку основных идей и формул линейной теории для удобства ссылок.

Пожалуй, самый простой пример задачи о линейных колебаниях дает простая электрическая схема, состоящая из индуктивности, соединенной последовательно с емкостью и резистором (рис. 1). Механический аналог, изображенный на рис. 1, состоит из тела массой,прикрепленного к пружине, развивающей усилие (называемое возвращающей силой), пропорциональное смещению тела. Для этой электрической системы, используя закон Кирхгофа, имеем

Если положить, что тело в механической системе движется в среде, которая оказывает сопротивление, пропорциональное скорости (вязкое трение), то уравнение движения для колебаний механической системы задается соотношением

По аналогии имеем, что; ; и, причем токявляется аналогом смещения.

Рис. 1.Линейная электрическая и механическая системы

Полагая пока, что внешняя сила и вводя обозначения

приводим (1.2) к виду

Поскольку, колебания, определяемые этим линейным однородным уравнением, называются свободными линейными колебаниями. Общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами есть линейная комбинация двух экспоненциальных функций:

где и - произвольные константы, которые определяются начальными условиями, a и являются корнями характеристического уравнения

Таким образом, и заданы соотношениями

Если мы хотим представить решение (1.5) в вещественной форме, рассмотрим три случая, когда величина: а) вещественна, б) нуль, в) мнимая. Легко показать, что решения примут вид

где и - вещественные; и - произвольные постоянные, которые определяются заданием значений смещения (тока) и скорости в некоторый начальный момент.

Уравнение (1.8 - а) возникает на практике чаще всего. Как легко видеть из (1.3), этот случай имеет место, если коэффициент демпфирования мал по сравнению с. Уравнение (1.8 - а) в этом случае описывает такое колебательное движение, что каждые два последовательных максимума и смещения удовлетворяют соотношению

До сих пор, рассматривая разного типа неустойчивости, мы ограничивали себя только режимами малых амплитуд, когда благодаря возможности линеаризации, сильно упрощается запись и решение дисперсионных уравнений. На самом деле в существующих на практике электронных устройствах в процессе нарастания колебаний, как правило, процессы становятся существенно нелинейными. В качестве немногочисленных исключений можно указать, пожалуй, очень короткоимпульсные или очень короткие вдоль электронного потока электронно-пучковые системы, где колебания не успевают перейти в нелинейную стадию.

Рассматривая особенности нелинейных колебаний, сначала, обратимся к простейшим уравнениям. Вспомним, что линейные колебания автономной одномерной системы без потерь описываются уравнением

Это простейшее уравнение преобразуется к виду, характерному для нелинейных колебаний, если второй член в левой части равенства - нелинейная функция f (x )

(10.5)

Простейший пример нелинейных колебаний - колебания электрона с большой амплитудой в периодическом поле типа показанного на рис.10.1. Такая ситуация реализуется в поле бегущей волны, которая может возникнуть, например, в ЛБВ или ЛОВ .

В
системе координат, движущейся с волной, изменение потенциальной энергии электрона описывается

уравнением

(10.6)

Поэтому уравнение движения электрона может быть записано в виде

так как
и
.

Таким образом, в типичной для СВЧ устройств ситуации движение электрона описывается принципиально нелинейным уравнением. Однако в данном случае проявляется одно из свойств нелинейных систем - их неизохронность , т.е. зависимость их состояния от начальной энергии колеблющейся частицы. Если начальная колебательная энергия электрона мала, он совершает колебательные движения с малой амплитудой вблизи минимума потенциала. В этом случае его движение - практически гармоническое. Если же начальная энергия велика и сравнима с глубиной потенциальной ямы, то амплитуда колебаний тоже велика и в результате движение одновременно становится существенно нелинейным.

Другой отличительной чертой нелинейных колебаний является их негармоничность. Негармоничность нелинейных колебательных поясним подробнее на другом примере.

Пусть мы имеем дело с электронным пучком, распространяющимся вдоль оси x , т.е. движение электронов одномерно. Введем начальную малую по амплитуде модуляцию скорости электронов

, (10.8)

т.е. теперь полная скорость электронов V равна сумме V=V o +u

Введение этого возмущения приводит к тому, что в пучке начнется группировка электронов. Обратим внимание, что рассматриваемая ситуация близка к реализуемой в клистроне, где в резонаторе происходит модуляция по скорости, а в пространстве дрейфа модуляция по скорости преобразуется в модуляцию по плотности.

Рассмотрим эволюцию пучка во времени в системе координат, движущейся с начальной скоростью электронов V o . В этой системе движение обусловлено только начальным возмущением и уравнение движения можно записать в форме

(10.9)

Равенство нулю полной производной возмущения скорости означает, что мы пренебрегаем возникновением электрических сил из-за группировки электронов и ведем рассмотрение без магнитного поля. Конечно, пренебрежение электрическими силами оправдано только на начальной стадии группировки. Затем электрическими полями сгустков уже пренебрегать будет нельзя. Именно эти поля будут ограничивать группировку. Таким образом, мы более-менее корректно можем анализировать только начальный этап эволюции группировки в пучке электронов. Пренебречь действием магнитного поля можно и в том случае, когда оно существует, но ориентировано в направлении движения электронов. При этом однако важно, чтобы электроны не имели поперечных по отношению к силовым линиям магнитного поля скоростей.

Проследим эволюцию характеристик электронного потока, воспользовавшись фазовой плоскостью x,u (рис.10.2). Рассмотрим для начала случай, когда в среде нет дисперсии. В фазовой плоскости каждая точка движется со своей скоростью. Точки верхней полуплоскости движутся вправо, а нижней - влево, причем скорость каждой точки пропорциональна удалению от оси х . Начальное состояние изображено синусоидой (тонкая линия на рисунке 10.2a). Затем синусоида искажается (толстая линия на том же рисунке) и в результате группировки электронов формируются максимумы плотности пространственного заряда вблизи точек, где величина u =0 (рис.10.2b). Одновременно изменение по х скоростей становится негармоническим и формируются сгустки пространственного заряда. Далее появляются точки, где производная стремится к бесконечности, а следовательно и концентрация электронов стремится к бесконечности.

Затем происходит “опрокидывание волны” (кривая на рис.10.2с). После этого уже существуют пары точек с бесконечной производной и с бесконечной концентрацией электронов (рис.10.2d).

Дальнейшая эволюция пучка ведет к тому, что сингулярные максимумы расходятся (левые идут налево, а правые в противоположном направлении.

Проведенное рассмотрение поясняет группировку электронов в клистроне и ярко иллюстрирует еще одну важную особенность нелинейных систем - их негармоничность . Действительно, распределение скоростей и плотности пространственного заряда в пучке описывались гармоническими функциями только в начальный момент. Далее все

характеристики становятся существенно негармоническими. Это же рассмотрение поясняет условия оптимальной группировки. Такие условия реализуются перед началом опрокидывания волны.

НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Нелинейность процессов, в том числе и колебаний, математически выражается в нелинейности соответствующих уравнений движения. С точки зрения физики нелинейность колебаний характеризуется двумя совершенно различными свойствами: ангармоничностью и неизохронностью. Под ангармоничностью понимают наличие в спектре колебаний частот, кратных основной, - Фурье-гармоник, или обертонов. Неизохронными называются колебания, частоты (основной и высших гармоник) которых зависят от амплитуды или энергии колебаний.

Классическим примером нелинейных колебаний может служить обращение планет вокруг Солнца - задача, с решения которой начались современные механика и физика. По третьему закону Кеплера, частота со обращения планет вокруг Солнца задаётся их полной энергией:

w=│E │ 3/2 .

Неизохронность, вообще говоря, не связана с ангармоничностью. Так, заряженная частица, движущаяся по круговой орбите в постоянном магнитном поле со скоростью, близкой к скорости света, совершает колебания чисто гармонические, а частота её обращения обратно пропорциональна энергии.

НЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Линейный (в отсутствие затухания - гармонический) осциллятор - основная модель линейной теории колебаний. Его уравнение движения (по второму закону Ньютона):

где х - величина, колебания которой описывает модель (амплитуда смещения маятника, ток или напряжение в колебательном контуре, численность популяции и т. д.),- её «ускорение».

Нелинейный осциллятор - основная модель нелинейной теории колебаний. Его уравнение движения:

где f (.х ) - нелинейная функция, содержащая по крайней мере один нелинейный (не первой степени по х ) член. Полная энергия системы не зависит от времени, т. е. система консервативна.

Неизохронные колебания совершает, например, частица в плоской потенциальной яме - ящике с бесконечно высокими стенками:

U(x) =0 при - l / 2<х< l / 2; U(х) =¥ при х £- l / 2, х >l / 2.

Частица движется с постоянной скоростью внутри ящика, мгновенно упруго отражаясь на границах. Её кинетическая энергия Е к = mv 2 /2, т. е. скорость V = Ö (2Е к / m ) зависит от энергии. Период колебаний частицы выражается формулой

Из формулы (3) видно, что период колебаний убывает с ростом энергии (для других систем он может возрастать).

Закон сохранения энергии Е осциллятора (консервативной нелинейной системы) имеет вид

Полную качественную картину движения нелинейного осциллятора даёт его фазовый портрет. Из закона сохранения энергии можно вывести

ЛЕОНИД ИСААКОВИЧ МАНДЕЛЬШТАМ

Даже неполный перечень открытий и фундаментальных работ академика Леонида Исааковича Мандельштама (1879-1944) поражает разнообразием: комбинационное и флуктуационное рассеяние света, теория микроскопа, нелинейные колебания и радиотехника, теория резонансов, радиогеодезия, новый вид генераторов электромагнитных волн - параметрические машины. Исключительная, чтобы не сказать болезненная, требовательность Л. И. Мандельштама к результатам работы не позволила включить в этот перечень ряд других, не менее важных открытий, - например, экспериментальное обнаружение в 1912 г. (за несколько лет до классических опытов Стюарта и Толмена) инерции электронов в металлах.

Но за всем впечатляющим разнообразием достижений и широтой интересов в научном творчестве Мандельштама отчётливо прослеживается главная тема - теория колебаний. Впервые познакомившись с этой областью по двухтомной «Теории звука» лорда Рэлея, Мандельштам проникся красотой её идей и неоднократно прибегал к «колебательной помощи», позволявшей находить аналогии между результатами из разных разделов физики.

В Мандельштаме счастливо воплотилось редкое сочетание теоретика и экспериментатора, исследователя и лектора. Он говорил, что существует понимание первого рода, когда читают и понимают всё, что написано, могут вывести любую формулу, но ещё не способны самостоятельно ответить на любой вопрос из прочитанного, и понимание второго рода, когда ясна вся картина, вся связь идей, явлений. Глубокий и тонкий мыслитель, Мандельштам достиг понимания второго рода всей физики и щедро делился знаниями с многочисленными учениками (среди них А. А. Андронов, А. А. Витт, Г. С. Горелик, Г. С. Ландсберг, М. А. Леонтович, В. В. Мигулин, С. М. Рытов, С. П. Стрелков, И. Е. Тамм, С. Э. Хайкин, С. П. Шубин и др.) и студентами.

Родился Мандельштам в Могилёве в семье, давшей миру учёных, врачей и писателей. Вскоре семья переехала в Одессу. До 12 лет мальчик учился дома, затем в гимназии, которую окончил с золотой медалью. В 1897 г. он поступил на математическое отделение физико-математического факультета Новороссийского университета (в Одессе). Через два года в связи со студенческими волнениями юношу исключили из университета. По совету родителей Мандельштам уехал в Страсбург, один из центров физических исследований, где и продолжил образование. В Страсбургском университете тогда преподавали математик Генрих Вебер (ученик Римана и автор классического курса «Дифференциальные уравнения математической физики»), физик Фердинанд Браун (по совместительству директор Физического института), кафедрой теоретической физики заведовал Эмиль Кон (автор известного труда «Электромагнитное поле»).

Пер. с англ. Болдова Б. А. и Гусева Г. Г. Под редакцией В. Е. Боголюбова. - М.: Мир, 1968. - 432 с.
Удк 534 (Механические колебания. Акустика). Есть текстовый слой (т. е. легко копируется текст).
Монография известного японского ученого Т. Хаяси посвящена теории нелинейных колебательных процессов, происходящих в самых различных физических системах.
Книга представляет собой переработанное и дополненное издание одной из более ранних работ автора, знакомой советскому читателю по русскому переводу (Хаяси Т., Вынужденные колебания в нелинейных системах, Ил, М. , 1957). Однако после переработки и дополнения получилась фактически новая книга.
Она отличается от предыдущей не только новыми разделами, но и значительно усовершенствованной методикой изложения. Книга представляет интерес как для физиков и инженеров различных специальностей, имеющих дело с теорией нелинейных колебаний и ее приложениями, так и для математиков, занимающихся теорией дифференциальных уравнений.
Оглавление.
Предисловие к русскому изданию.
Предисловие.
Введение.
Часть i. Основные методы анализа нелинейных колебаний.
Глава i.
Аналитические методы.
Введение.
Метод возмущений.
Метод итераций.
Метод усреднения.
Принцип гармонического баланса.
Численные примеры решения уравнения Дуффинга.
Глава ii.
Топологические методы и графические решения.
Введение.
Интегральные кривые и особые точки на плоскости состояний.
Интегральные кривые и особые точки в пространстве состояний.
Метод изоклин.
Метод Льенара.
Дельта-метод.
Метод наклонных прямых.
Глава iii.
Устойчивость нелинейных систем.
Определение устойчивости по Ляпунову.
Критерий Рауса - Гурвица для нелинейных систем.
Критерий устойчивости по Ляпунову.
Устойчивость периодических колебаний.
Уравнение Матье.
Уравнение Хилла.
Улучшенное приближение характеристического показателя для.
уравнения Хилла.
Часть ii, Вынужденные колебания в установившемся режиме.
Глава iy.
Устойчивость периодических колебаний в системах второго порядка.
Введение.
Условие устойчивости периодических решений.
Улучшенные условия устойчивости.
Дополнительные замечания об условиях устойчивости.
Глава y.
Гармонические колебания.
Гармонические колебания при симметричной нелинейной характеристике.
Гармонические колебания при несимметричной нелинейной характеристике.

Глава Yi.
Ультрагармонические колебания.
Ультрагармонические колебания в.
последовательно-резонансных цепях.
Экспериментальное исследование.
Ультрагармонические колебания в параллельно-резонансных цепях.
Экспериментальное исследование.
Глава Yii.
Субгармонические колебания.
Введение.
Связь между нелинейной характеристикой и порядком.
субгармонических колебаний.

характеристике, представленной кубической функцией.
Субгармонические колебания порядка 1/3 при нелинейной.
характеристике, представленной полиномом пятой степени.
Экспериментальное исследование.

характеристике, представленной полиномом третьей степени.
Субгармонические колебания порядка 1/2 при нелинейной.
характеристике, представленной симметричной квадратичной.
функцией.
Экспериментальное исследование.
Часть iii. Переходные процессы вынужденных колебаний.
Глава Yiii.
Гармонические колебания.
Введение.
Периодические решения и их устойчивость.
Анализ гармонических колебаний с помощью интегральных.
кривых.
Анализ гармонических колебаний на фазовой плоскости.
Геометрический анализ интегральных кривых для консервативных систем.
Геометрический анализ интегральных кривых для диссипативных систем.
Экспериментальное исследование.
Глава ix.
Субгармонические колебания.
Анализ субгармонических колебаний с помощью интегральных кривых.
Анализ субгармонических колебаний порядка 1/3 на фазовой плоскости.
Экспериментальное исследование.
Субгармонические колебания порядка 1/5.
Субгармонические колебания порядка 1/2.
Анализ субгармонических колебаний порядка 1/2 на фазовой.
плоскости.
Исследование на аналоговой вычислительной машине.
Глава x.
Начальные условия, приводящие к различным видам.
периодических колебаний.
Метод анализа.
Симметричные системы.

колебаний порядка 1/3.
Несимметричные системы.
Области притяжения для гармонических и субгармонических.
колебаний порядков 1/2 и 1/3.
Экспериментальные исследования.
Глава Xi.

Введение.
Почти периодические колебания в резонансной цепи с подмагничиванием постоянным током.
Оглавление.
Экспериментальное исследование.
Почти периодические колебания в параметрически.
возбуждаемой цепи.
Часть iv. Автоколебательные системы при периодическом воздействии внешней силы.
Глава Xii.
Захватывание частоты.
Введение.

Гармоническое захватывание.
Ультрагармоническое захватывание.
Субгармоническое захватывание.
Области захватывания частоты.
Анализ при помощи аналоговой вычислительной машины.

Автоколебательная система при нелинейной восстанавливающей силе.
Глава Xiii.
Почти периодические колебания.
Уравнение Ван-дер-Поля с вынуждающим членом.

гармонических колебаний.
Геометрическое рассмотрение интегральных кривых на.
границе гармонического захватывания.
Почти периодические колебания, возникающие из.
ультрагармонических колебаний.
Почти периодические колебания, возникающие из.
субгармонических колебаний.
Автоколебательная система с нелинейной восстанавливающей силой.
Приложение i. Разложения функций Матье.
Приложение ii. Неустойчивые решения уравнения Хилла.
Приложение iii. Неустойчивые решения обобщенного уравнения Хилла.
Приложение iv. Критерий устойчивости, полученный с помощью метода.
возмущений.
Приложение v. Замечания, касающиеся интегральных кривых и особых точек.
Приложение Vi. Электронный синхронный коммутатор.
Задачи.
Литература.
Указатель.
Т. Хаяси.
Нелинейные колебания в физических системах.

Редактор Н. Плужнакова Художник А. Шкловская.
Художественный редактор В. Шаповалов Технический редактор Н. Турсукова.
Сдано в производство 9/Х 1967 г. Подписано к печати 25/Ш 1968 г.
Бумага 60х90у1в-= 13,5 бум. л. 27,0 печ. л.
Уч. -изд. л. 24,
0. Изд. № 1/3899.
Цена 1 р. 91 к. Зак. 907.
Темплан 1968 г. изд-ва «Мир», пор. № 38.
Издательство "Мир", Москва, 1-й Рижский пер. , 2.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета.
по печати при Совете Министров Ссср. Измайловский пр. , 29.

Смотрите также

Андрианов И.В., Данишевский В.В., Иванков А.О. Асимптотические методы в теории колебаний балок и пластин

формат файла: pdf
размер: 5.53 МБ
добавлен: 25 сентября 2011 г.

Днепропетровск: Приднепровская государственная академия строительства и архитектуры, 2010 г., 217 с. В монографии рассматриваются асимптотические методы решения задач колебаний балок и пластин. Основное внимание уделено гомотопическому методу возмущений, который основывается на введении искусственного малого параметра. Исследованы линейные колебания конструкций со смешанными граничными условиями, а также нелинейные колебания систем с распределен...

Вибрации в технике. Том 6. Защита от вибрации и ударов

формат файла: djvu
размер: 7.28 МБ
добавлен: 27 октября 2009 г.

Фролов К. В. В шестом томе изложены методы снижения виброактивности источников колебаний и настройки динамических гасителей. Рассмотрены вопросы балансировки вращающихся деталей машин, уравновешивания машин и механизмов, выбора рациональных законов перемещения рабочих органов машин, изоляции оборудования и основания, а также проблемы защиты человека от вибрации. Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занятых расчетами, пр...

Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел

формат файла: djvu
размер: 8.89 МБ
добавлен: 27 октября 2011 г.

М.:Наука,1976, 432 с. Исследованы нелинейные колебания в пространственном движении, в частности условия возникновения резонансов. Работа актуальна при создании систем амортизации авиационной и космической техники. Ганиев Р. Ф. - акад. РАН, Кононенко В. О. - акад. АН Украины. Амортизатор упругий 39 Виброамортизация 145, 41, 7 Виброизоляция 145, 417 Возбуждение кинематическое 134, 358 Гирорама двухосная 343 Гирорама трехосная 353 Гироскоп астатичес...

Ден-Гартог Д.П. Механические колебания

формат файла: djvu
размер: 7.5 МБ
добавлен: 25 мая 2010 г.

М. Физматгиз. 1960г. 574 с. Кинематика колебаний. Системы с одной степенью свободы. Две степени свободы. Системы с произвольным числом степеней свободы. Многоцилиндровые двигатели. Вращающиеся части машин. Автоколебания. Квазигармонические и нелинейные колебания систем.

Мигулин В.В. Основы теории колебаний

формат файла: djvu
размер: 3.88 МБ
добавлен: 10 января 2010 г.

Книга знакомит читателя с общими свойствами колебательных процессов, происходящих в радиотехнических, оптических и других системах, а также с различными качественными и количественными методами их изучения. Значительное внимание уделено рассмотрению параметрических, автоколебательных и других нелинейных колебательных систем. Изучение описанных в книге колебательных систем и процессов в них приведено известными методами теории колебаний без подроб...

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний

формат файла: pdf
размер: 8.75 МБ
добавлен: 23 февраля 2010 г.

Колебания в физич. системах, описываемые нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений

где содержит члены не ниже 2-й степени по компонентам вектора - вектор-функция времени - малый параметр (либо и ). Возможные обобщения связаны с рассмотрением разрывных систем, воздействий с разрывными характеристиками (напр., типа гистерезиса), запаздывания и случайных воздействий, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений, колебательных систем с распределенными параметрами, описываемыми дифференциальными уравнениями с частными производными, а также с использованием методов оптимального управления нелинейными колебательными системами. Основные общие задачи Н. к.: отыскание положений равновесия, стационарных режимов, в частности периодич. движений, автоколебаний и исследование их устойчивости, проблемы синхронизации и стабилизации Н. к.

Все физич. системы, строго говоря, являются нелинейными. Одна из наиболее характерных особенно--стей Н. к.- это нарушение в них принципа суперпозиции колебаний: результат каждого из воздействий в присутствии другого оказывается иным, чем в случае отсутствия другого воздействия.

Квазилинейные системы - системы (1) при . Основным методом исследования является малого параметра метод. Прежде всего это метод Пуанкаре - Линдштедта определения переодич. решений квазилинейных систем, аналитических по параметру при его достаточно малых значениях, либо в виде рядов по степеням (см. гл. IX), либо в виде рядов по степеням и - добавок к начальным значениям компонент вектора (см. гл. III). О дальнейшем развитии этого метода см., напр., в - .

Другим из методов малого параметра является метод осреднения. Вместе с тем в исследование квазилинейных систем проникали и новые методы: асимптотич. методы (см. , ), метод К-функций (см. ), базирующийся на фундаментальных результатах А. М. Ляпунова - Н. Г. Четаева, и др.

Существенно нелинейные системы, в к-рых отсутствует заранее предписываемый малый параметр . Для систем Ляпунова

причем среди собственных чисел -матрицы нет кратных корню - аналитич. вектор-функция х, разложение к-рой начинается с членов не ниже 2-го порядка, и имеет место аналитический первый интеграл специального вида, А. М. Ляпунов (см. § 42) предложил метод отыскания периодич. решений в виде ряда по степеням произвольной постоянной с(за к-рую может быть принято начальное значение одной из двух крнтич. переменных либо ).

Для систем, близких к системам Ляпунова,

где того же вида, что и в (2), - аналитич. вектор-функция и малого параметра , непрерывная и -периодическая по t, также предложен метод определения периодич. решений (см. гл. VIII). Системы типа Ляпунова (2), в к-рых матрица имеет lнулевых собственных значений с простыми элементарными делителями, два - чисто мнимых собственных значения и не имеет собственных значений, кратных - такая же, как и в (2), могут быть сведены к системам Ляпунова (см. IV.2). Исследовались также Н. к. в системах Ляпунова и в т. н. системах Ляпунова с демпфированием, а также решалась общая задача о перекачке энергии в них (см. гл. I, III, IV).

Пусть существенно нелинейная автономная система приведена к жорданову виду ее линейной части

где вектор по предположению имеет хотя бы одну ненулевую компоненту; , равны нулю или единице соответственно при отсутствии пли наличии непростых элементарных делителей матрицы линейной части,- коэффициенты; множество значений вектора с целочисленными компонентамп таково:

Тогда существует нормализующее преобразование:

приводящее (3) к нормальной форме дифференциальных уравнений

и такое, что , если . Таким образом, нормальная форма (5) содержит лишь резонансные члены, т. е. коэффициенты могут быть отличны от нуля лишь для тех , для к-рых выполнено резонансное уравнение

играющее существенную роль в теории колебаний. Сходимость и расходимость нормализующего преобразования (4) исследована (см. ч. I, гл. II, III); дано вычисление коэффициентов (посредством их симметризации) (см. § 5.3). В ряде задач о Н. к. существенно нелинейных автономных систем оказался эффективным метод нормальных форм (см. , гл. VI-VIII).

Из других методов исследования существенно нелинейных систем применяются метод точечных отображений (см. , ), стробосконич. метод и функционально-аналитич. методы .

Качественные методы Н. к. Исходными здесь являются исследования вида интегральных кривых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, проведенные А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. ). Приложения для задач Н. к., описываемых автономными системами 2-го порядка см. в , . Изучены вопросы существования периодич. решений и их устойчивости в большом для многомерных систем; рассмотрены почти периодические Н. к. Приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при нек-рых производных к задачам релаксационных Н. к. см. в .

Важные аспекты Н. к. и лит. см. в статьях Возмущений теория, Колебаний теория.

Лит. : Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц., т. 1, М., 1971; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Булгаков Б. В., Колебания, М., 1954; Малкин И. Г., Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, М., 1956: Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 1, К., 1969; [б] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М-, 1974; Каменков Г. В., Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; Ляпунов А. М., Собр. соч., т. 2, М.- Л., 195В, с. 7-263; Старжинский В. М., Прикладные методы нелинейных колебаний, М., 1977; Брюно А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с. 199-239; Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний, М., 1972; Мinorsky N., Introduction to non-linear mechanics, Ann Arbor, 1947; Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С, Нелинейные почти периодические колебания, М., 1970; Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М. -Л., 1947; Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А., Введение в теорию нелинейных колебаний, М., 1976; Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М. -Л., 1964; Мищенко Е. Ф., Розов Н. X., Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания, М., 1975.

- движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени...
Физическая энциклопедия
- тензорные коэффициенты, связывающие нелинейную часть поляризации Р = Р л + Р нл единичного объёма среды, возникающую под действием сильных электрических полей, с величинами...
Физическая энциклопедия
- изменения сигнала S вых, приводящие к искажению передаваемого сообщения S вх, обусловленные нелинейностью оператора тракта передачи L: S вых = LS вх...
Физическая энциклопедия
- процессы в колебат. и волновых системах, не удовлетворяющие суперпозиции принципу...
Физическая энциклопедия
- колебательные системы, св-ва к-рых зависят от происходящих в них процессов. Колебания таких систем описываются нелинейными ур-ниями. Нелинейными явл.: механич...
Физическая энциклопедия
- ур-ния, не обладающие свойством линейности...
Физическая энциклопедия
- возникают в результате взаимодействия волн, полей и частиц, при к-рых не выполняется принцип суперпозиции волн и к-рые описываются с учётом нелинейных слагаемых в ур-ниях кинетики или...
Физическая энциклопедия
- нелинейные оптич...
Физическая энциклопедия
- колебат. и волновые системы, свойства к-рых зависят от происходящих в них процессов; описываются нелинейными диффсренц. ур-ниями. Одна из наиб. характерных особенностей Н.с.- нарушение принципа суперпозиции...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- системы, свойства и характеристики которых зависят от их состояния. Среди них могут быть механические и электрические колебательные системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями...
Начала современного Естествознания
- движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени - трептения - kmitání; kmity - Schwingungen - rezgés - хэлбэлзэл - wahania; drgania - oscilaţii - oscilacije - oscilaciones - oscillations; vibrations - oscillations...
Строительный словарь
- Статьиволокно...
Энциклопедический словарь нанотехнологий
- термин, который иногда употребляют, подразумевая колебания в нелинейных системах...
- Колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов...
Большая Советская энциклопедия

«КОЛЕБАНИЯ» ОПРЕДЕЛЕНИЙ

автора Головин Борис Николаевич

«КОЛЕБАНИЯ» ОПРЕДЕЛЕНИЙ На уроке учащимся было задано упражнение: ввести определение в словосочетание пять рабочих. Ученики быстро предложили свои примеры: пять молодых рабочих, пять старых рабочих, пять квалифицированных рабочих... Затруднений никаких не возникло.

§ 1 Экономические колебания

Из книги Основы экономики автора Борисов Евгений Филиппович

§ 1 Экономические колебания При поиске истины мы наталкиваемся на парадокс (неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям).Как выглядит волнообразное движение экономикиЧтобы убедиться в том, что происходит в действительности, давайте посмотрим на

Китайгородский Александр Исаакович

V. Колебания Равновесие В некоторых случаях равновесие очень трудно поддержать – попробуйте пройтись по натянутому канату. В то же время никто не награждает аплодисментами сидящего в кресле-качалке. А ведь он тоже поддерживает свое равновесие.В чем же разница в этих

Колебания

Из книги Курс русской истории (Лекции XXXIII-LXI) автора Ключевский Василий Осипович

Колебания Отвечая на этот вопрос, мы переберем все наиболее видные явления нашей внутренней жизни. Они очень сложны, идут различными, часто пересекающимися и иногда встречными течениями. Но можно разглядеть их общий