Цілі уроку:

Учні повинні знати:

• що називається кутовим коефіцієнтом прямої;
• кутом між прямою та віссю Ох;
• у чому полягає геометричний зміст похідної;
• рівняння щодо графіку функції;
• спосіб побудови дотичної до параболи;
• вміти застосовувати теоретичні знання практично.

Завдання уроку:

Освітні: створити умови для оволодіння учнями системи знань, умінь та навичок з поняттями механічний та геометричний зміст похідної.

Виховні: формувати в учнів науковий світогляд.

Розвиваючі: розвивати в учнів пізнавальний інтерес, творчі здібності, волю, пам'ять, мова, увага, уява, сприйняття.

Методи організації навчально-пізнавальної діяльності:

• наочні;
• практичні;
• з розумової діяльності: індуктивний;
• із засвоєння матеріалу: частково-пошуковий, репродуктивний;
• за рівнем самостійності: лабораторна робота;
• стимулюючі: заохочення;
• контролю: усне фронтальне опитування.

План уроку

1. Усні вправи (знайти похідну)
2. Повідомлення учня на тему "Причини появи математичного аналізу".
3. Вивчення нового матеріалу
4. Фіз. Хвилинка.
5. Розв'язання завдань.
6. Лабораторна робота.
7. Підбиття підсумків уроку.
8. Коментування домашнього завдання.

Устаткування: мультимедійний проектор (презентація), картки ( Лабораторна робота).

Хід уроку

"Людина лише там чогось - то домагається, де він вірить у свої сили"

Л. Фейєрбах

I. Організаційний момент.

Організація класу протягом усього уроку, готовність учнів до уроку, порядок та дисципліна.

Постановка цілей вчення перед учнями, як у весь урок, і деякі його етапи.

Визначити значущість досліджуваного матеріалу як у цій темі, і у курсі.

Усний рахунок

1. Знайдіть похідні:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логічний тест.

а) Вставити пропущений вираз.

5х 3-6х	15х2-6	30х
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

ІІ. Повідомлення учня на тему "Причини появи математичного аналізу".

Загальний напрямок розвитку науки, зрештою, обумовлено вимогами практики людської діяльності. Існування стародавніх держав зі складною ієрархічною системою управління було б неможливо без достатнього розвитку арифметики та алгебри, бо збирання податків, організація постачання армії, будівництво палаців і пірамід, створення зрошувальних систем вимагали виконання складних розрахунків. В епоху Відродження розширюються зв'язки між різними частинами середньовічного світу, розвиваються торгівля та ремесла. Починається швидке піднесення технічного рівня виробництва, промислове застосування одержують нові джерела енергії, не пов'язані з м'язовими зусиллями людини чи тварин. У XI-XII столітті з'являються сукнувальні та ткацькі верстати, а в середині XV - друкарський верстат. У зв'язку з потребою у швидкому розвитку громадського виробництва, у цей період змінюється сутність природничих наук, які з часів давнини описовий характер. Метою природознавства стає поглиблене вивчення природних процесів, а чи не предметів. Описовому природознавству давнини відповідала математика, що оперувала незмінними величинами. Потрібно було створити математичний апарат, який давав би опис не результату процесу, а характеру його течії та властивих йому закономірностей. У результаті до кінця XII століття Ньютон в Англії і Лейбніц в Німеччині завершили перший етап створення математичного аналізу. Що ж таке “ математичний аналіз”? Як можна охарактеризувати, передбачити особливості перебігу будь-якого процесу? Чи використовувати ці особливості? Глибоко проникати у сутність того чи іншого явища?

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Підемо шляхом Ньютона і Лейбніца і подивимося, як можна аналізувати процес, розглядаючи його як функцію часу.

Введемо кілька понять, які допоможуть нам надалі.

Графіком лінійної функції y=kx+ b є пряма, число k називають кутовим коефіцієнтом прямої. k=tg, де – кут прямої, тобто кут між цією прямою і позитивним напрямом осі Ох.

Малюнок 1

Розглянемо графік функції у = f (x). Проведемо січу через будь-які дві точки, наприклад, січу АМ. (Мал.2)

Кутовий коефіцієнт січної k=tg. У прямокутному трикутнику АМС<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Малюнок 2

Малюнок 3

Сам термін "швидкість" характеризує залежність зміни однієї величини від зміни іншої, і остання необов'язково має бути часом.

Отже, тангенс кута нахилу секущою tg = .

Нас цікавить залежність зміни величин у коротший проміжок часу. Спрямуємо збільшення аргументу до нуля. Тоді права частина формули – похідна функції у точці А (поясніть чому). Якщо х –> 0, то точка М рухається за графіком до точки А, отже пряма АМ наближається до деякої прямої АВ, яка є дотичної до графіка функції у = f(х) у точці А. (Мал.3)

Кут нахилу січної прагне до куту нахилу дотичної.

Геометричний зміст похідної у тому, що значення похідної у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіку функції у точці.

Механічний сенс похідної.

Тангенс кута нахилу дотичної є величина, що показує миттєву швидкість зміни функції у цій точці, тобто нова характеристика процесу, що вивчається. Цю величину Лейбніц назвав похідний, а Ньютон говорив, що похідною називається сама миттєва швидкість.

IV. Фізкультхвилинка.

V. Розв'язання завдань.

№91(1) стор 91 – показати на дошці.

Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої f(х) = х 3 у точці х 0 - 1 є значення похідної цієї функції при х = 1. f '(1) = 3х2; f'(1) = 3.

№91 (3,5) – під диктовку.

№92(1) – на дошці за бажанням.

№ 92 (3) - самостійно з усною перевіркою.

№92 (5) – за дошкою.

Відповіді: 45 0 , 135 0 , 1,5 е 2 .

VI. Лабораторна робота.

Мета: відпрацювання поняття "механічний зміст похідної".

Програми похідної до механіки.

Задано закон прямолінійного рухуточки х = х(t), t.

1. Середню швидкість руху на вказаному відрізку часу;
2. Швидкість та прискорення у момент часу t 04
3. Моменти зупинки; продовжує точка після моменту зупинки рухатися в тому ж напрямку або починає рухатися в протилежному напрямку;
4. Найбільшу швидкість руху на вказаному відрізку часу.

Робота виконується за 12 варіантами, завдання диференційовані за рівнем складності (перший варіант – найменший рівень складності).

Перед початком роботи розмова з питань:

1. Який фізичний зміст похідної переміщення? (Швидкість).
2. Чи можна знайти похідну швидкість? Чи використовується ця величина у фізиці? Як вона називається? (Прискорення).
3. Миттєва швидкістьдорівнює нулю. Що можна сказати про рух тіла у цей момент? (Це момент зупинки).
4. Який фізичний зміст наступних висловлювань: похідна рухи дорівнює нулю в точці t 0; при переході через точку t 0 похідна змінює знак? (Тіло зупиняється; змінюється напрямок руху на протилежне).

Приклад виконання роботи учням.

х (t) = t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Малюнок 4

У протилежному напрямі.

Накреслимо схематично графік швидкості. Найбільша швидкість досягається у точці

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300-40 = 260

Малюнок 5

VII. Підбиття підсумків уроку

1) У чому полягає геометричний зміст похідної?
2) У чому полягає механічний зміст похідної?
3) Зробіть висновок про свою роботу.

VIII. Коментування домашнього завдання.

стор.90. №91(2,4,6), №92(2,4,6,), стор 92 №112.

Використовувана література

• Підручник Алгебра та початку аналізу.
  Автори: Ю.М. Колягін, М.В. Ткачова, Н.Є. Федорова, М.І. Шабуніна.
  За редакцією А. Б. Жижченко.
• Алгебра 11 клас. Поурочні плани за підручником Ш. А. Алімова, Ю. М. Колягіна, Ю. В. Сидорова. Частина 1.
• Інтернет ресурси: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Що таке похідна?
Визначення та сенс похідної функції

Багато хто здивується несподіваному розташуванню цієї статті в моєму авторському курсі про похідну функцію однієї змінної та її додатків. Адже як було ще зі школи: стандартний підручник насамперед дає визначення похідної, її геометричний, механічний зміст. Далі учні знаходять похідні функцій за визначенням, і, власне, лише потім відточується техніка диференціювання за допомогою таблиці похідних.

Але на мій погляд, більш прагматичний наступний підхід: перш за все, доцільно ДОБРО ЗРОЗУМІТИ межа функції, і, особливо, нескінченно малі величини. Справа в тому що визначення похідної виходить з понятті межі, яке слабо розглянуте у шкільному курсі Саме тому значна частина молодих споживачів граніту знань погано вникають у суть похідної. Таким чином, якщо ви слабо орієнтуєтеся в диференціальному обчисленні або мудрий мозок за довгі роки успішно позбувся його багажу, будь ласка, почніть з меж функцій. Заодно освоїте/згадайте їхнє рішення.

Той самий практичний сенс підказує, що спочатку вигідно навчитися знаходити похідні, в тому числі похідні складних функцій. Теорія теорією, а диференціювати, як кажуть, хочеться завжди. У зв'язку з цим краще опрацювати перелічені базові уроки, а може й стати майстром диференціюваннянавіть не усвідомлюючи сутності своїх дій.

До матеріалів цієї сторінки рекомендую приступати після ознайомлення із статтею Найпростіші завдання з похідною, де, зокрема, розглянуто завдання про дотичну до графіку функції. Але можна і почекати. Справа в тому, що багато додатків похідної не вимагають її розуміння, і не дивно, що теоретичний урок з'явився досить пізно - коли мені потрібно було пояснювати знаходження інтервалів зростання/зменшення та екстремумівфункції. Більше того, він досить довго перебував у темі « Функції та графіки», Поки я все-таки не вирішив поставити його раніше.

Тому, шановні чайники, не поспішайте поглинати суть похідної як голодні звірі, бо насичення буде несмачним і неповним.

Поняття зростання, зменшення, максимуму, мінімуму функції

Багато навчальні посібникипідводять до поняття похідної за допомогою будь-яких практичних завдань, і я теж вигадав цікавий приклад. Уявіть, що ми маємо подорож до міста, до якого можна дістатися різними шляхами. Відразу відкинемо криві петляючі доріжки, і розглядатимемо лише прямі магістралі. Однак прямолінійні напрямки теж бувають різними: до міста можна дістатися рівним автобаном. Або по горбистій шосе - вгору-вниз, вгору-вниз. Інша дорога йде тільки в гору, а ще одна - весь час під ухил. Екстремали виберуть маршрут через ущелину з крутим урвищем та стрімким підйомом.

Але якими б не були ваші уподобання, бажано знати місцевість або щонайменше розташовувати її топографічною картою. А якщо такої інформації немає? Адже можна вибрати, наприклад, рівний шлях, та в результаті натрапити на гірськолижний спуск із веселими фінами. Не факт, що навігатор та навіть супутниковий знімок дадуть достовірні дані. Тому непогано було б формалізувати рельєф шляху засобами математики.

Розглянемо деяку дорогу (вид збоку):

Про всяк випадок нагадую елементарний факт: подорож відбувається зліва направо. Для простоти вважаємо, що функція безперервнана ділянці, що розглядається.

Які особливості даного графіка?

На інтервалах функція зростає, тобто кожне наступне її значення більшепопереднього. Грубо кажучи, графік іде знизу вгору(забираємось на гірку). А на інтервалі функція зменшується– кожне наступне значення меншепопереднього, і наш графік йде зверху вниз(Спускаємося по схилу).

Також звернемо увагу на особливі точки. У точці ми досягаємо максимуму, тобто існуєтака ділянка шляху, на якому значення буде найбільшим (високим). У точці ж досягається мінімум, і існуєтака її околиця, у якій значення найменше (низьке).

Суворішу термінологію та визначення розглянемо на уроці про екстремуми функції, а поки що вивчимо ще одну важливу особливість: на проміжках функція зростає, але зростає вона з різною швидкістю. І перше, що впадає у вічі – на інтервалі графік злітає вгору набагато крутішеніж на інтервалі. Чи не можна виміряти крутість дороги за допомогою математичного інструментарію?

Швидкість зміни функції

Ідея полягає в наступному: візьмемо деяке значення (читається "дельта ікс"), яке назвемо збільшенням аргументу, і почнемо його «приміряти» до різних точок нашого шляху:

1) Подивимося на саму ліву точку: минаючи відстань, ми піднімаємося схилом на висоту (зелена лінія). Величина називається збільшенням функції, й у разі це приріст позитивно (різниця значень по осі – більше нуля). Складемо відношення, яке і буде мірилом крутості нашої дороги. Очевидно, що - це цілком конкретне число, і, оскільки обидва збільшення позитивні, то .

Увага! Позначення є ЄДИНИМсимволом, тобто не можна відривати дельту від ікса і розглядати ці літери окремо. Зрозуміло, коментар стосується символу збільшення функції.

Досліджуємо природу отриманого дробу змістовніше. Нехай спочатку ми знаходимося на висоті 20 метрів (у лівій чорній точці). Подолавши відстань метрів (ліва червона лінія), ми опинимося на висоті 60 метрів. Тоді збільшення функції складе метрів (зелена лінія) та: . Таким чином, на кожному метріцієї ділянки дороги висота збільшується в середньомуна 4 метри…не забули альпіністське спорядження? =) Інакше кажучи, побудоване ставлення характеризує СЕРЕДНЮ ШВИДКІСТЬ ЗМІНИ (у разі – зростання) функції.

Примітка : числові значенняРозглянутого прикладу відповідають пропорціям креслення лише приблизно.

2) Тепер пройдемо ту ж саму відстань від правої чорної точки. Тут підйом більш пологий, тому збільшення (малинова лінія) відносно невелике, і відношення в порівнянні з попереднім випадкомбуде дуже скромним. Умовно кажучи, метрів та швидкість зростання функціїскладає. Тобто тут на кожен метр шляху доводиться в середньомупівметра підйому.

3) Невелика пригода на схилі гори. Подивимося верхню чорну точку, розташовану на осі ординат. Припустимо, що це позначка 50 метрів. Знову долаємо відстань, внаслідок чого опиняємося нижче – на рівні 30 метрів. Оскільки здійснено рух зверху вниз(в «протихід» напрямку осі), то підсумкове збільшення функції (висоти) буде негативним: метрів (коричневий відрізок на кресленні). І в даному випадку мова вже йде про швидкості спаданняфункції: , тобто за кожен метр шляху цієї ділянки висота зменшується в середньомуна 2 метри. Бережіть одяг на п'ятій точці.

Тепер запитаємо себе: яке значення «вимірювального еталона» найкраще використовувати? Цілком зрозуміло, 10 метрів – це дуже грубо. На них запросто вміститься добра дюжина купин. Та що там купини, внизу може бути глибока ущелина, а за кілька метрів – інша його сторона з подальшим стрімким підйомом. Таким чином, при десятиметровому ми не отримаємо зрозумілої характеристики подібних ділянок за допомогою відношення.

З проведеного міркування слідує висновок - чим менше значеннятим точніше ми опишемо рельєф дороги. Більше того, справедливі такі факти:

– Для будь-якоїточки підйомів можна підібрати значення (нехай і дуже мале), що вміщається у межах тієї чи іншої підйому. А це означає, що відповідне збільшення висоти буде гарантовано позитивним, і нерівність коректно вкаже зростання функції в кожній точці цих інтервалів.

– Аналогічно, для будь-якоїточки схилу існує значення, яке повністю вміститься на цьому схилі. Отже, відповідне збільшення висоти однозначно негативно, і нерівність коректно покаже зменшення функції в кожній точці даного інтервалу.

– Особливо цікавий випадок, коли швидкість зміни функції дорівнює нулю: . По-перше, нульове збільшення висоти () – ознака рівного шляху. А по-друге, є інші цікаві ситуації, приклади яких ви бачите на малюнку. Уявіть, що доля завела нас на саму вершину пагорба з орлами, що ширяють, або дно яру з жабами, що квакають. Якщо зробити невеликий крок у будь-який бік, то зміна висоти буде дуже мало, і можна сказати, що швидкість зміни функції фактично нульова. У точках спостерігається саме така картина.

Таким чином, ми підійшли до дивовижної можливості ідеально точно охарактеризувати швидкість зміни функції. Адже математичний аналіз дозволяє спрямувати збільшення аргументу нанівець: , тобто зробити його нескінченно малим.

За підсумком виникає ще одне закономірне питання: чи можна для дороги та її графіка знайти іншу функцію, яка повідомляла б нампро всі рівні ділянки, підйоми, спуски, вершини, низини, а також про швидкість зростання/зменшення в кожній точці шляху?

Що таке похідна? Визначення похідної.
Геометричний зміст похідної та диференціала

Будь ласка, прочитайте вдумливо та не надто швидко – матеріал простий та доступний кожному! Нічого страшного, якщо подекуди щось здасться не дуже зрозумілим, до статті завжди можна повернутися пізніше. Скажу більше, теорію корисно проштудувати кілька разів, щоб якісно усвідомити всі моменти (рада особливо актуальна для студентів-«технарів», у яких вища математика відіграє значну роль у навчальному процесі).

Звичайно, і в самому визначенні похідної в точці замінимо на :

До чого ми дійшли? А дійшли ми до того, що для функції згідно із законом ставиться у відповідність інша функція, яка називається похідною функцією(або просто похідною).

Похідна характеризує швидкість змінифункції. Яким чином? Думка йде червоною ниткою від початку статті. Розглянемо деяку точку області визначенняфункції. Нехай функція диференційована у цій точці. Тоді:

1) Якщо , то функція зростає у точці . І, очевидно, існує інтервал(нехай навіть дуже малий), що містить точку , у якому функція зростає, та її графік йде «знизу нагору».

2) Якщо , то функція зменшується у точці . І є інтервал, що містить точку , у якому функція зменшується (графік йде «згори донизу»).

3) Якщо , то нескінченно близькоПри точці функція зберігає свою швидкість постійної. Так буває, як зазначалося, у функції-константи та у критичних точках функції, зокрема у точках мінімуму та максимуму.

Трохи семантики. Що в широкому розумінні означає дієслово «диференціювати»? Диференціювати – це означає виділити будь-яку ознаку. Диференціюючи функцію , ми «виділяємо» швидкість її у вигляді похідної функції . А що, до речі, розуміється під словом похідна? Функція відбуласявід функції.

Терміни дуже вдало тлумачить механічний зміст похідної. :
Розглянемо закон зміни координати тіла, що залежить від часу, та функцію швидкості руху даного тіла. Функція характеризує швидкість зміни координати тіла, тому першої похідної функції за часом: . Якби в природі не існувало поняття «рух тіла», то не існувало б і похідногопоняття "швидкість тіла".

Прискорення тіла – це швидкість зміни швидкості, тому: . Якби в природі не існувало вихідних понять «рух тіла» та «швидкість руху тіла», то не існувало б і похідногопоняття «прискорення тіла».

Конспект відкритого урокувикладача ДБПОУ « Педагогічного коледжу№ 4 Санкт-Петербурга»

Мартусевич Тетяни Олегівни

Дата: 29.12.2014.

Тема: Геометричний зміст похідної.

Тип уроку: Вивчення нового матеріалу.

Методи навчання: наочний, частково пошуковий.

Ціль уроку.

Ввести поняття дотичної до графіку функції у точці, з'ясувати у чому полягає геометричний зміст похідної, вивести рівняння дотичної і навчити знаходити його.

Освітні завдання:

Домогтися розуміння геометричного сенсу похідної; виведення рівняння дотичної; навчитись вирішувати базові завдання;

забезпечити повторення матеріалу на тему «Визначення похідної»;

створити умови контролю (самоконтролю) знань та умінь.

Розвиваючі завдання:

сприяти формуванню умінь застосовувати прийоми порівняння, узагальнення, виділення головного;

продовжити розвиток математичного кругозору, мислення та мови, уваги та пам'яті.

Виховні завдання:

сприяти вихованню інтересу до математики;

виховання активності, мобільності, уміння спілкуватися.

Тип уроку - Комбінований урок з використанням ІКТ.

Устаткування – мультимедійна установка, презентаціяMicrosoftPowerPoint.

Етап уроку

Час

Діяльність викладача

Діяльність учня

1. Організаційний момент.

Повідомлення теми та мети уроку.

Тема: Геометричний зміст похідної.

Ціль уроку.

Ввести поняття дотичної до графіку функції у точці, з'ясувати у чому полягає геометричний зміст похідної, вивести рівняння дотичної і навчити знаходити його.

Підготовка студентів до роботи на занятті.

Підготовка до роботи на занятті.

Усвідомлення теми та мети уроку.

Конспектування.

2. Підготовка до вивчення нового матеріалу через повторення та актуалізацію опорних знань.

Організація повторення та актуалізації опорних знань: визначення похідної та формулювання її фізичного сенсу.

Формулювання визначення похідної та формулювання її фізичного сенсу. Повторення, актуалізація та закріплення опорних знань.

Організація повторення та формування навички знаходження похідної статечної функціїта елеменіарних функцій.

Знаходження похідної даних функцій за формулами.

Повторення властивостей лінійної функції.

Повторення, сприйняття креслень та висловлювань викладача

3. Робота з новим матеріалом: пояснення.

Пояснення сенсу відношення збільшення функції до збільшення аргументу

Пояснення геометричного сенсу похідної.

Введення нового матеріалу за допомогою словесних пояснень із залученням образів та наочних засобів: мультимедійної презентації з анімацією.

Сприйняття пояснення, розуміння, відповіді питання вчителя.

Формулювання питання викладачеві у разі утруднення.

Сприйняття нової інформації, її первинне розуміння та осмислення.

Формулювання питань викладачеві у разі утруднення.

Створення конспекту.

Формулювання геометричного сенсу похідної.

Розгляд трьох випадків.

Конспектування, виконання малюнків.

4. Робота із новим матеріалом.

Первинне осмислення та застосування вивченого матеріалу, його закріплення.

У яких точках похідна позитивна?

Негативна?

Рівна нулю?

Навчання пошуку алгоритму відповіді поставлені питання за графіком.

Розуміння та осмислення та застосування нової інформації для вирішення задачі.

5. Первинне осмислення та застосування вивченого матеріалу, його закріплення.

Повідомлення умови завдання.

Запис умови завдання.

Формулювання питання викладачеві у разі утруднення

6. Застосування знань: самостійна робота навчального характеру.

Розв'яжіть завдання самостійно:

Застосування набутих знань.

Самостійна роботаз розв'язання задачі на перебування похідної за малюнком. Обговорення та звіряння відповідей у ​​парі, формулювання питання викладачеві у разі утруднення.

7. Робота з новим матеріалом: пояснення.

Висновок рівняння щодо графіку функції у точці.

Детальне поясненнявисновку рівняння щодо графіку функції у точці із залученням як наочність як мультимедійної презентації, відповіді питання учнів.

Висновок рівняння щодо спільно з викладачем. Відповіді питання викладача.

Конспектування, створення малюнка.

8. Робота з новим матеріалом: пояснення.

У діалозі зі студентами висновок алгоритму знаходження рівняння щодо графіку цієї функції у цій точці.

У діалозі з викладачем висновок алгоритму знаходження рівняння щодо графіку цієї функції у цій точці.

Конспектування.

Повідомлення умови завдання.

Навчання застосування отриманих знань.

Організація пошуку шляхів вирішення задачі та їх реалізація. докладний розбіррішення з поясненням.

Запис умови завдання.

Висунення припущень про можливих шляхахрозв'язання задачі при реалізації кожного пункту плану дій. Вирішення завдання спільно з викладачем.

Запис розв'язання задачі та відповіді.

9. Застосування знань: самостійна робота навчального характеру.

Індивідуальний контроль Консультування та допомога студентам у міру потреби.

Перевірка та пояснення рішення з використанням презентації.

Застосування набутих знань.

Самостійна робота з розв'язання задачі на перебування похідної на малюнку. Обговорення та звіряння відповідей у ​​парі, формулювання питання викладачеві у разі утруднення

10. Домашнє завдання.

§48, задачі 1 і 3, розібратися у рішенні та записати його в зошит, з малюнками.

№ 860 (2,4,6,8),

Повідомлення домашнього завдання із коментарями.

Запис домашнього завдання.

11. Підбиття підсумків.

Повторили визначення похідної; фізичний зміст похідної; властивості лінійної функції.

Дізналися, у чому полягає геометричний зміст похідної.

Навчилися виводити рівняння щодо графіку цієї функції у цій точці.

Коригування та уточнення підсумків уроку.

Перелік підсумків уроку.

12. Рефлексія.

1. Вам було на уроці: легко); б) зазвичай; в) важко.

а) засвоїв(а) повністю, можу застосувати;

б) засвоїв(а), але важко у застосуванні;

в) не засвоїв(ла).

3. Мультимедійна презентація на уроці:

а) допомагала засвоєнню матеріалу; б) не допомагала засвоєнню матеріалу;

в) заважала засвоєнню матеріалу.

Проведення рефлексії.

Похідна функції - одна із складних тем у шкільній програмі. Не кожен випускник дасть відповідь на запитання, що таке похідна.

У цій статті просто і зрозуміло розказано про те, що таке похідна і для чого вона потрібна. Ми не будемо зараз прагнути математичної суворості викладу. Найголовніше – зрозуміти сенс.

Запам'ятаємо визначення:

Похідна – це швидкість зміни функції.

На малюнку – графіки трьох функцій. Як ви вважаєте, яка з них швидше росте?

Відповідь очевидна – третя. У неї найбільша швидкість зміни, тобто найбільша похідна.

Ось інший приклад.

Костя, Гриша та Матвій одночасно влаштувалися на роботу. Подивимося, як змінювався їхній дохід протягом року:

На графіці відразу все видно, чи не так? Дохід Кості за півроку зріс більш ніж удвічі. І у Гриші дохід теж зріс, але зовсім трохи. А прибуток Матвія зменшився до нуля. Стартові умови однакові, а швидкість зміни функції, тобто похідна, - Різна. Що ж до Матвія - у його доходу похідна взагалі негативна.

Інтуїтивно ми легко оцінюємо швидкість зміни функції. Але як це робимо?

Насправді ми дивимося, наскільки круто йде нагору (або вниз) графік функції. Іншими словами - наскільки швидко змінюється у зі зміною х. Очевидно, що та сама функція в різних точках може мати різне значення похідної - тобто може змінюватися швидше або повільніше.

Похідна функції позначається.

Покажемо як знайти за допомогою графіка.

Намальовано графік деякої функції. Візьмемо на ньому крапку з абсцисою. Проведемо у цій точці дотичну до графіку функції. Ми хочемо оцінити, наскільки круто вгору йде графік функції. Зручна величина для цього - тангенс кута нахилу дотичної.

Похідна функції у точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.

Зверніть увагу - як кут нахилу дотичної ми беремо кут між дотичним і позитивним напрямом осі.

Іноді учні запитують, що таке, що стосується графіку функції. Це пряма, що має на даній ділянці єдину загальну точку з графіком, причому так, як показано на малюнку. Схоже на дотичну до кола.

Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутникудорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. З трикутника:

Ми знайшли похідну за допомогою графіка навіть не знаючи формулу функції. Такі завдання часто зустрічаються в ЄДІ з математики під номером.

Є й інше важливе співвідношення. Згадаймо, що пряма задається рівнянням

Величина у цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Вона дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі.

.

Ми отримуємо, що

Запам'ятаємо цю формулу. Вона виражає геометричний зміст похідної.

Похідна функції у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.

Іншими словами, похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної.

Ми вже сказали, що в однієї й тієї функції в різних точках може бути різна похідна. Подивимося, як пов'язана похідна з поведінкою функції.

Намалюємо графік деякої функції. Нехай на одних ділянках ця функція зростає, на інших – зменшується, причому з різною швидкістю. І нехай ця функція матиме точки максимуму і мінімуму.

У точці функція зростає. Дотична до графіка, проведена в точці, утворює гострий кут з позитивним напрямом осі. Отже, у точці похідна позитивна.

У точці наша функція зменшується. Стосовна у цій точці утворює тупий кут з позитивним напрямом осі. Оскільки тангенс тупого кута негативний, у точці похідна негативна.

Ось що виходить:

Якщо функція зростає, її похідна є позитивною.

Якщо зменшується, її похідна негативна.

А що ж буде у точках максимуму та мінімуму? Ми бачимо, що у точках (точка максимуму) та (точка мінімуму) дотична горизонтальна. Отже, тангенс кута нахилу дотичної в цих точках. дорівнює нулюі похідна теж дорівнює нулю.

Крапка - точка максимуму. У цій точці зростання функції змінюється зменшенням. Отже, знак похідної змінюється у точці з плюсу на мінус.

У точці - точці мінімуму - похідна теж дорівнює нулю, але її знак змінюється з мінусу на плюс.

Висновок: за допомогою похідної можна дізнатися про поведінку функції, що нас цікавить.

Якщо похідна позитивна, то функція зростає.

Якщо похідна негативна, то функція зменшується.

У точці максимуму похідна дорівнює нулю і змінює знак із «плюсу» на «мінус».

У точці мінімуму похідна теж дорівнює нулю і змінює знак з мінусу на плюс.

Запишемо ці висновки у вигляді таблиці:

	зростає	точка максимуму	зменшується	точка мінімуму	зростає
+	0	-	0	+

Зробимо два невеликі уточнення. Одне з них знадобиться вам під час вирішення завдань ЄДІ. Інше - першому курсі, за більш серйозному вивченні функцій і похідних.

Можливий випадок, коли похідна функції у будь-якій точці дорівнює нулю, але ні максимуму, ні мінімуму у функції у цій точці немає. Це так звана :

У точці дотична до графіка горизонтальна і похідна дорівнює нулю. Однак до точки функція зростала – і після точки продовжує зростати. Знак похідної не змінюється – вона як була позитивною, так і залишилася.

Буває й так, що в точці максимуму чи мінімуму похідна не існує. На графіці це відповідає різкому зламу, коли дотичну у цій точці провести неможливо.

Як знайти похідну, якщо функція задана не графіком, а формулою? У цьому випадку застосовується

Тема. Похідна. Геометричний та механічний зміст похідної

Якщо ця межа існує, то функція називається точкою, що диференціюється. Похідна функція позначається (формула 2).

1. Геометричний зміст похідної. Розглянемо графік функції. З рис.1 видно, що з будь-яких двох точок A і B графіка функції можна записати формула 3). У ній - кут нахилу AB.

Таким чином, різницеве ​​відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної. Якщо зафіксувати точку A і рухати до неї точку B, то необмежено зменшується і наближається до 0, а січна АВ наближається до дотичної АС. Отже, межа різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A. Звідси випливає висновок.

Похідна функції в точці є кутовий коефіцієнт, що стосується графіка цієї функції в цій точці. У цьому полягає геометричний сенс похідної.

1. Рівняння дотичної . Виведемо рівняння щодо графіку функції в точці. У випадку рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вид: . Щоб знайти b, скористаємося тим, що дотична проходить через точку A: . Звідси випливає: . Підставляючи цей вираз замість b, одержуємо рівняння дотичної (формула 4).