Определение сегмента круга
Сегмент - это геометрическая фигура, которая получается путем отсечение части круга хордой.
Онлайн-калькулятор
Находится эта фигура между хордой и дугой круга.
ХордаЭто отрезок, лежащий внутри круга и соединяющий две произвольно выбранные точки на нем.
При отсечении части круга хордой можно рассмотреть две фигуры: это наш сегмент и равнобедренный треугольник, боковые стороны которого - радиусы круга.
Площадь сегмента можно найти как разность площадей сектора круга и этого равнобедренного треугольника.
Площадь сегмента можно найти несколькими способами. Остановимся на них более подробно.
Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac{1}{2}\cdot R\cdot s-\frac{1}{2}\cdot h\cdot a S = 2 1 ⋅ R ⋅ s − 2 1 ⋅ h ⋅ a
R R
R
- радиус круга;
s s
s
- длина дуги;
h h
h
- высота равнобедренного треугольника;
a a
a
- длина основания этого треугольника.
Дан круг, его радиус, численно равный 5 (см.), высота, которая проведена к основанию треугольника, равная 2 (см.), длина дуги 10 (см.). Найти площадь сегмента круга.
Решение
R = 5 R=5
R
=
5
h = 2 h=2
h
=
2
s = 10 s=10
s
=
1
0
Для вычисления площади нам не хватает только основания треугольника. Найдем его по формуле:
A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt{h\cdot(2\cdot R-h)}=2\cdot\sqrt{2\cdot(2\cdot 5-2)}=8 a = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8
Теперь можно вычислить площадь сегмента:
S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac{1}{2}\cdot R\cdot s-\frac{1}{2}\cdot h\cdot a=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 8=17 S = 2 1 ⋅ R ⋅ s − 2 1 ⋅ h ⋅ a = 2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (см. кв.)
Ответ: 17 см. кв.
Формула площади сегмента круга по радиусу круга и центральном углу
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) S=\frac{R^2}{2}\cdot(\alpha-\sin(\alpha)) S = 2 R 2 ⋅ (α − sin (α ) )
R R
R
- радиус круга;
α \alpha
α
- центральный угол между двумя радиусами, стягивающий хорду, измеряющийся в радианах
.
Найти площадь сегмента круга, если радиус круга равен 7 (см.), а центральный угол 30 градусов.
Решение
R = 7 R=7
R
=
7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ}
α
=
3
0
∘
Переведем сначала угол в градусах в радианы. Поскольку π \pi
π
радиан равен 180 градусов, то:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^{\circ}=30^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{\pi}{6}
3
0
∘
=
3
0
∘
⋅
1
8
0
∘
π
=
6
π
радиан. Тогда площадь сегмента:
S = R 2 2 ⋅ (α − sin (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin (π 6)) ≈ 0.57 S=\frac{R^2}{2}\cdot(\alpha-\sin(\alpha))=\frac{49}{2}\cdot\Big(\frac{\pi}{6}-\sin\Big(\frac{\pi}{6}\Big)\Big)\approx0.57 S = 2 R 2 ⋅ (α − sin (α ) ) = 2 4 9 ⋅ ( 6 π − sin ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (см. кв.)
Ответ: 0.57 см. кв.
Площадь кругового сегмента равна разности площади соответствующего кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами соответствующего сегменту сектора и хордой, ограничивающей сегмент.
Пример 1
Длина хорды, стягивающей окружность равна величине а. Градусная мера дуги, соответствующей хорде, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.
Решение
Треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, является равнобедренным, поэтому высота, проведенная из вершины центрального угла на сторону треугольника, образованную хордой, будет также являться биссектрисой центрального угла, поделив его пополам и медианой, поделив пополам хорду. Зная, что синус угла в равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, можно вычислить величину радиуса:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Соответственно, S▲=√3/4*a².
Площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:
Sсег = πa²/6 - √3/4*a²
Подставив числовое значение вместо величины a, можно с легкостью вычислить числовое значение площади сегмента.
Пример 2
Радиус окружности равен величине а. Градусная мера дуги, соответствующей сегменту, равна 60°. Найти площадь кругового сегмента.
Решение:
Площадь сектора, соответствующего заданному углу можно вычислить по следующей формуле:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Площадь соответствующего сектору треугольника вычисляется следующим образом:
S▲=1/2*ah, где h - высота, проведенная из вершины центрального угла к хорде. По теореме Пифагора h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Соответственно, S▲=√3/4*a².
И, наконец, площадь сегмента, вычисляемая как Sсег = Sc - S▲, равна:
Sсег = πa²/6 - √3/4*a².
Решения в обоих случаях практически идентичны. Таким образом можно сделать вывод, что для вычисления площади сегмента в простейшем случае достаточно знать величину угла, соответствующего дуге сегмента и один из двух параметров - либо радиус окружности, либо длину хорды, стягивающей дугу окружности, образующую сегмент.
Математическая величина площади известна со времен древней Греции. Еще в те далекие времена греки выяснили, что площадью является сплошная часть поверхности, которая ограничена со всех сторон замкнутым контуром. Это числовая величина, которая измеряется в квадратных единицах. Площадь является численной характеристикой как плоских геометрических фигур (планиметрических), так и поверхностей тел в пространстве (объемных).
В настоящее время она встречается не только в рамках школьной программы на уроках геометрии и математики, но и в астрономии, быту, в строительстве, в конструкторских разработках, в производстве и во многих других человека. Очень часто к вычислению площадей сегментов мы прибегаем на приусадебном участке при оформлении ландшафтной зоны или при ремонтных работах ультрасовременного дизайна помещения. Поэтому знания методов вычисления площади различных пригодятся всегда и везде.
Для вычисления площади кругового сегмента и сегмента сферы необходимо разобраться с геометрическими терминами, которые понадобятся при вычислительном процессе.
Прежде всего, сегментом круга называется фрагмент плоской фигуры круга, который расположен между дугой окружности и отсекающей ее хордой. Не стоит это понятие путать с фигурой сектора. Это совершенно разные вещи.
Хордой называется отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности.
Центральный угол образуется между двумя отрезками - радиусами. Он измеряется в градусах дугой, на которую упирается.
Сегмент сферы образуется при отсекании какой-либо плоскостью части При этом основанием сферического сегмента получается круг, а высотой является перпендикуляр, исходящий от центра круга до пересечения с поверхностью сферы. Эта точка пересечения называется вершиной сегмента шара.
Для того, чтобы определить площадь сегмента сферы, нужно знать отсеченного круга и высоту шарового сегмента. Произведение этих двух составляющих и будет являться площадью сегмента сферы: S=2πRh, где h - высота сегмента, 2πR - длина окружности, а R - радиус большого круга.
Для того, чтобы вычислить площадь сегмента круга, можно прибегнуть к следующим формулам:
1. Чтобы найти площадь сегмента самым простым способом, необходимо вычислить разность между площадью сектора, в который вписан сегмент, и у которого основание является хордой сегмента: S1=S2-S3, где S1 - площадь сегмента, S2 - площадь сектора и S3 - площадь треугольника.
Можно воспользоваться приближенной формулой вычисления площади кругового сегмента: S=2/3*(a*h), где a - основание треугольника или h - высота сегмента, которая является результатом разности между радиусом круга и
2. Площадь сегмента, отличающегося от полукруга, подсчитывается следующим образом: S = (π R2:360)*α ± S3, где π R2 - площадь круга, α - градусная мера центрального угла, которая содержит дугу сегмента круга, S3 - площадь треугольника, который образовался между двумя радиусами круга и хордой, владеющего углом в центральной точке круга и двумя вершинами в местах соприкосновения радиусов с окружностью.
Если угол α < 180 градусов, используется знак минус, если α > 180 градусов, применяется знак плюс.
3. Вычислить площадь сегмента можно и другими методами при помощи тригонометрии. Как правило, за основу берется треугольник. Если центральный угол измеряется в градусах, тогда приемлема следующая формула: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, где R2 - квадрат радиуса круга, α - градусная мера центрального угла.
4. Чтобы рассчитать площадь сегмента с помощью тригонометрических функций, можно воспользоваться и другой формулой при условии, что центральный угол измеряется в радианах: S= R2 * (α - sin α)/2, где R2 - квадрат радиуса круга, α - градусная мера центрального угла.
- 01.10.2018
На базе wi-fi модуля NodeMcu v3 с чипом ESP8266 (ESP-12e) можно сделать (для примера) термометр на цифровом датчике 18B20, информация об температуре при помощи GET запроса будет отправятся в базу данных MySQL. Следующий скетч позволяет отправлять GET запросы на указанную страницу, в моем случае это test.php. #include
#include … - 22.09.2014
Автоматический стационарный светорегулятор, управляемый фоторезистором R7, предназначен для эксплуатации в жестких условиях холодного и умеренно холодного климата при температуре окружающей среды от -25 до +45 °С, относительной влажности воздуха до 85 % при температуре +20 °С и атмосферном давлении в пределах 200…900 мм рт.ст. Светорегулятор применяют для регулирования освещенности индивидуального …
- 25.09.2014
Для избежания повреждения проводки во время ремонтных работ необходимо использовать прибор для обнаружения скрытой проводки. Прибор обнаруживает не только место скрытой проводки, но и место повреждения скрытой проводки. Прибор представляет собой усилитель звуковой частоты, в первом каскаде для повышения входного сопротивления используется полевой транзистор. Во втором каскаде ОУ. Датчик — …
- 03.10.2014
Предлагаемое устройство стабилизирует напряжение до 24В и током до 2А с защитой от замыкания. В случае неустойчивого запуска стабилизатора следует применить синхронизацию от автономного генератора импульсов рис. 2 . Схема стабилизатора показана на рис.1. На VT1 VT2 собран триггер Шмитта, который управляет мощным регулирующим транзистором VT3. Детали: VT3 снабжен теплоотводом …
