قضیه فیثاغورث: پیشینه، شواهد، نمونه هایی از کاربرد عملی

پتانسیل خلاقیت معمولاً به علوم انسانی نسبت داده می شود و تحلیل علمی طبیعی، رویکرد عملی و زبان خشک فرمول ها و اعداد باقی می ماند. ریاضیات را نمی توان جزو رشته های علوم انسانی طبقه بندی کرد. اما بدون خلاقیت در "ملکه همه علوم" راه دوری نخواهید رفت - مردم مدتهاست که از این موضوع می دانند. مثلاً از زمان فیثاغورث.

متأسفانه، کتاب‌های درسی مدرسه معمولاً توضیح نمی‌دهند که در ریاضیات نه تنها به هم ریختن قضایا، بدیهیات و فرمول‌ها اهمیت دارد. درک و احساس اصول اساسی آن مهم است. و در عین حال، سعی کنید ذهن خود را از کلیشه ها و حقایق ابتدایی رها کنید - فقط در چنین شرایطی همه اکتشافات بزرگ متولد می شوند.

از جمله اکتشافاتی که امروزه به عنوان قضیه فیثاغورث می شناسیم. با کمک آن، ما سعی خواهیم کرد نشان دهیم که ریاضیات نه تنها می تواند، بلکه باید سرگرم کننده باشد. و اینکه این ماجراجویی نه تنها برای آدم‌های با لیوان‌های ضخیم، بلکه برای همه افرادی که از نظر ذهنی قوی و از نظر روحی قوی هستند مناسب است.

از تاریخچه موضوع

به بیان دقیق، اگرچه این قضیه "قضیه فیثاغورث" نامیده می شود، اما خود فیثاغورث آن را کشف نکرد. مثلث قائم الزاویه و خواص ویژه آن مدت ها قبل از آن مورد مطالعه قرار گرفته است. در این موضوع دو دیدگاه قطبی وجود دارد. طبق یک نسخه، فیثاغورث اولین کسی بود که اثبات کامل این قضیه را پیدا کرد. به گفته دیگری، اثبات متعلق به نویسنده فیثاغورث نیست.

امروز دیگر نمی توانید بررسی کنید که چه کسی درست می گوید و چه کسی اشتباه می کند. فقط معلوم است که اثبات فیثاغورث، اگر زمانی وجود داشته باشد، باقی نمانده است. با این حال، پیشنهاداتی وجود دارد که اثبات معروف عناصر اقلیدس ممکن است متعلق به فیثاغورس باشد، و اقلیدس فقط آن را ثبت کرده است.

امروزه نیز شناخته شده است که مشکلات مربوط به مثلث قائم الزاویه در منابع مصری از زمان فرعون آمنه هت اول، بر روی الواح گلی بابلی از سلطنت پادشاه حمورابی، در رساله هند باستانی Sulva Sutra و اثر چینی باستانی Zhou یافت می شود. -بی سون جین.

همانطور که می بینید، قضیه فیثاغورث از زمان های قدیم ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده است. تقریباً 367 مدرک مختلف که امروزه وجود دارد به عنوان تأیید عمل می کند. هیچ قضیه دیگری از این نظر نمی تواند با آن رقابت کند. نویسندگان شواهد برجسته عبارتند از لئوناردو داوینچی و بیستمین رئیس جمهور ایالات متحده، جیمز گارفیلد. همه اینها حاکی از اهمیت فوق العاده این قضیه برای ریاضیات است: بیشتر قضایای هندسه از آن مشتق شده اند یا به نوعی با آن مرتبط هستند.

اثبات قضیه فیثاغورث

کتب درسی مدرسه اکثراً اثبات جبری می دهند. اما اصل قضیه در هندسه است، پس بیایید ابتدا آن دسته از براهین قضیه معروف را که مبتنی بر این علم هستند، در نظر بگیریم.

اثبات 1

برای ساده ترین اثبات قضیه فیثاغورث برای یک مثلث قائم الزاویه، باید شرایط ایده آل را تنظیم کنید: بگذارید مثلث نه تنها قائم الزاویه، بلکه متساوی الساقین نیز باشد. دلایلی وجود دارد که باور کنیم این مثلثی است که در ابتدا توسط ریاضیدانان باستان مورد توجه قرار گرفته است.

بیانیه "مربع ساخته شده بر روی فرضیه مثلث قائم الزاویه برابر است با مجموع مربع های ساخته شده بر روی پاهای آن"را می توان با نقاشی زیر نشان داد:

به مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین ABC نگاه کنید: روی هیپوتنوز AC می توانید مربعی متشکل از چهار مثلث برابر با ABC اصلی بسازید. و روی پاهای AB و BC بر مربعی ساخته شده که هر کدام شامل دو مثلث مشابه است.

به هر حال، این نقاشی اساس حکایات و کاریکاتورهای متعددی را تشکیل داد که به قضیه فیثاغورث اختصاص یافته است. شاید معروف ترین آنها باشد "شلوار فیثاغورثی در همه جهات برابر است":

اثبات 2

این روش جبر و هندسه را با هم ترکیب می کند و می تواند به عنوان گونه ای از اثبات هندی باستانی ریاضیدان بهاسکاری دیده شود.

یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع بسازید الف، ب و ج(عکس. 1). سپس دو مربع با اضلاع برابر با مجموع طول دو پایه بسازید - (الف + ب). در هر یک از مربع ها مانند شکل های 2 و 3 ساختارهایی ایجاد کنید.

در مربع اول، چهار مثلث مشابه شکل 1 بسازید. در نتیجه، دو مربع به دست می آید: یکی با ضلع a، دومی با ضلع. ب.

در مربع دوم، چهار مثلث مشابه ساخته شده مربعی با ضلع برابر با هیپوتانوس تشکیل می دهند ج.

مجموع مساحت مربع های ساخته شده در شکل 2 برابر است با مساحت مربعی که در شکل 3 با ضلع c ساخته ایم. این را می توان به راحتی با محاسبه مساحت مربع ها در شکل 1 تأیید کرد. 2 طبق فرمول و مساحت مربع محاط شده در شکل 3. با کم کردن مساحت چهار مثلث قائم الزاویه مساوی که در مربع حک شده اند از مساحت یک مربع بزرگ با یک ضلع. (الف + ب).

با کنار گذاشتن همه اینها، داریم: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. پرانتزها را باز کنید، تمام محاسبات جبری لازم را انجام دهید و آن را بدست آورید a 2 + b 2 = a 2 + b 2. در همان زمان، مساحت حکاکی شده در شکل 3. مربع را نیز می توان با استفاده از فرمول سنتی محاسبه کرد S=c2. آن ها a2+b2=c2شما قضیه فیثاغورث را ثابت کردید.

اثبات 3

همان اثبات باستانی هندی در قرن دوازدهم در رساله «تاج دانش» («سیدانتا شیرومانی») شرح داده شده است، و نویسنده به عنوان استدلال اصلی از توسلی به استعدادهای ریاضی و قدرت مشاهده دانش آموزان استفاده می کند. پیروان: "نگاه کن!"

اما ما این اثبات را با جزئیات بیشتری تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:

در داخل مربع، چهار مثلث قائم الزاویه همانطور که در نقاشی نشان داده شده است بسازید. ضلع مربع بزرگ که همان فرض نیز می باشد نشان داده می شود با. پاهای مثلث را صدا کنیم آو ب. طبق نقشه، ضلع مربع داخلی است (الف-ب).

از فرمول مساحت مربع استفاده کنید S=c2برای محاسبه مساحت مربع بیرونی و در همان زمان با جمع مساحت مربع داخلی و مساحت چهار مثلث قائم الزاویه، همان مقدار را محاسبه کنید: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

می توانید از هر دو گزینه برای محاسبه مساحت مربع استفاده کنید تا مطمئن شوید که نتیجه یکسانی دارند. و این به شما این حق را می دهد که آن را بنویسید c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. در نتیجه حل، فرمول قضیه فیثاغورث را دریافت خواهید کرد c2=a2+b2. قضیه ثابت شده است.

اثبات 4

این شواهد عجیب چینی باستانی "صندلی عروس" نامیده شد - به دلیل شکل صندلی مانندی که از تمام ساختارها حاصل می شود:

از نقشه‌ای استفاده می‌کند که قبلاً در شکل 3 در اثبات دوم دیده‌ایم. و مربع داخلی با ضلع c به همان روشی که در برهان هندی باستان ارائه شده در بالا ساخته شده است.

اگر به صورت ذهنی دو مثلث قائم الزاویه سبز را از نقاشی شکل 1 جدا کنید، آنها را به اضلاع مقابل مربع با ضلع c منتقل کنید و زیرپوست ها را به زیرپوتنوس مثلث های یاسی وصل کنید، شکلی به نام عروس دریافت خواهید کرد. صندلی» (شکل 2). برای وضوح، می توانید همین کار را با مربع ها و مثلث های کاغذی انجام دهید. خواهید دید که "صندلی عروس" از دو مربع تشکیل شده است: مربع های کوچک با یک طرف بو بزرگ با یک طرف آ.

این ساخت و سازها به ریاضیدانان چینی باستان و ما که آنها را دنبال می کنیم این امکان را می دهد که به این نتیجه برسیم c2=a2+b2.

اثبات 5

این روش دیگری برای یافتن راه حلی برای قضیه فیثاغورث بر اساس هندسه است. این روش گارفیلد نام دارد.

یک مثلث قائم الزاویه بسازید ABC. ما باید این را ثابت کنیم BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

برای این کار، پا را ادامه دهید ACو یک بخش بسازید سی دی، که برابر با ساق پا است AB. عمود پایین آگهیبخش ED. بخش ها EDو ACبرابر هستند. نقطه ها را به هم وصل کنید Eو V، همچنین Eو باو یک نقاشی مانند تصویر زیر دریافت کنید:

برای اثبات برج، دوباره به روشی که قبلاً آزمایش کرده ایم متوسل می شویم: مساحت شکل حاصل را به دو صورت پیدا می کنیم و عبارات را با یکدیگر برابر می کنیم.

مساحت یک چند ضلعی را پیدا کنید تختخوابرا می توان با اضافه کردن مساحت سه مثلث تشکیل دهنده آن انجام داد. و یکی از آنها ERU، نه تنها مستطیل، بلکه متساوی الساقین نیز می باشد. این را نیز فراموش نکنیم AB=CD, AC=EDو قبل از میلاد = پیش از میلاد- این به ما امکان می دهد ضبط را ساده کنیم و آن را بیش از حد بارگذاری نکنیم. بنابراین، S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

در عین حال بدیهی است که تختخوابذوزنقه است. بنابراین، مساحت آن را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: SABED=(DE+AB)*1/2AD. برای محاسبات ما، نمایش بخش راحت تر و واضح تر است آگهیبه عنوان مجموع بخش ها ACو سی دی.

بیایید هر دو روش را برای محاسبه مساحت یک شکل با قرار دادن علامت مساوی بین آنها بنویسیم: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). ما از برابری بخش هایی که قبلاً برای ما شناخته شده و در بالا توضیح داده شده است برای ساده کردن سمت راست نماد استفاده می کنیم: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. و اکنون پرانتزها را باز می کنیم و برابری را تغییر می دهیم: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. پس از اتمام تمام تحولات، دقیقاً آنچه را که نیاز داریم دریافت می کنیم: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. ما قضیه را ثابت کردیم.

البته این فهرست شواهد هنوز کامل نیست. قضیه فیثاغورث را می توان با استفاده از بردارها، اعداد مختلط، معادلات دیفرانسیل، استریومتری و غیره نیز اثبات کرد. و حتی فیزیکدانان: اگر مثلاً مایع در حجم های مربع و مثلثی مشابه آنچه در نقشه ها نشان داده شده است ریخته شود. با ریختن مایع می توان تساوی مساحت ها و در نتیجه خود قضیه را اثبات کرد.

چند کلمه در مورد سه قلوهای فیثاغورثی

این موضوع در برنامه درسی مدرسه کم یا کم مطالعه شده است. در ضمن بسیار جالب است و در هندسه از اهمیت بالایی برخوردار است. سه گانه فیثاغورثی برای حل بسیاری از مسائل ریاضی استفاده می شود. ایده آنها می تواند در ادامه تحصیل برای شما مفید باشد.

پس سه قلوهای فیثاغورثی چیست؟ به این اعداد طبیعی می گویند که در سه عدد جمع آوری شده اند که مجموع مربع های دو عدد از آنها برابر با عدد سوم مجذور است.

سه گانه فیثاغورثی می تواند به شرح زیر باشد:

• ابتدایی (هر سه عدد نسبتا اول هستند)؛
• غیر ابتدایی (اگر هر عدد از یک سه گانه در همان عدد ضرب شود، یک سه گانه جدید به دست می آورید که ابتدایی نیست).

حتی قبل از دوران ما، مصریان باستان مجذوب شیدایی تعداد سه گانه فیثاغورثی بودند: در وظایف آنها مثلث قائم الزاویه با اضلاع 3.4 و 5 واحد را در نظر می گرفتند. به هر حال، هر مثلثی که اضلاع آن برابر با اعداد سه گانه فیثاغورثی باشد، به طور پیش فرض مستطیل شکل است.

نمونه هایی از سه گانه فیثاغورثی: (3، 4، 5)، (6، 8، 10)، (5، 12، 13)، (9، 12، 15)، (8، 15، 17)، (12، 16، 20))، (15، 20، 25)، (7، 24، 25)، (10، 24، 26)، (20، 21، 29)، (18، 24، 30)، (10، 30، 34) )، (21، 28، 35)، (12، 35، 37)، (15، 36، 39)، (24، 32، 40)، (9، 40، 41)، (27، 36، 45)، (14، 48، 50)، (30، 40، 50) و غیره.

کاربرد عملی قضیه

قضیه فیثاغورث نه تنها در ریاضیات، بلکه در معماری و ساخت و ساز، نجوم و حتی ادبیات نیز کاربرد دارد.

اول، در مورد ساخت و ساز: قضیه فیثاغورث به طور گسترده ای در آن در مسائل با سطوح مختلف پیچیدگی استفاده می شود. به عنوان مثال، به پنجره رمانسک نگاه کنید:

بیایید عرض پنجره را به عنوان نشان دهیم ب، سپس شعاع نیم دایره بزرگ را می توان به عنوان نشان داد آرو از طریق بیان کنید b: R=b/2. شعاع نیم دایره های کوچکتر را نیز می توان بر حسب بیان کرد b: r=b/4. در این مشکل، ما به شعاع دایره داخلی پنجره (بیایید آن را بنامیم). پ).

قضیه فیثاغورث فقط برای محاسبه مفید است آر. برای این کار از مثلث قائم الزاویه استفاده می کنیم که در شکل با خط نقطه چین مشخص شده است. هیپوتنوز مثلث از دو شعاع تشکیل شده است: b/4+p. یک پا شعاع است ب/4، یکی دیگر b/2-p. با استفاده از قضیه فیثاغورث می نویسیم: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. بعد، براکت ها را باز می کنیم و می گیریم b 2/16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. بیایید این عبارت را به bp/2=b 2/4-bp. و سپس تمام اصطلاحات را به تقسیم می کنیم ب، موارد مشابه را برای بدست آوردن می دهیم 3/2*p=b/4. و در پایان متوجه می شویم p=b/6- همان چیزی است که ما نیاز داشتیم.

با استفاده از قضیه، می توانید طول تیرهای سقف شیروانی را محاسبه کنید. تعیین کنید که ارتفاع یک برج متحرک برای رسیدن سیگنال به محل مشخصی چقدر است. و حتی به طور پیوسته درخت کریسمس را در میدان شهر نصب کنید. همانطور که می بینید، این قضیه نه تنها در صفحات کتاب های درسی زندگی می کند، بلکه اغلب در زندگی واقعی نیز مفید است.

تا آنجا که به ادبیات مربوط می شود، قضیه فیثاغورث از دوران باستان الهام بخش نویسندگان بوده است و امروزه نیز ادامه دارد. برای مثال، نویسنده آلمانی قرن نوزدهم آدلبرت فون چامیسو از او برای نوشتن غزل الهام گرفت:

نور حقیقت به زودی از بین نمی رود،
اما، با درخشش، بعید است که از بین برود
و مانند هزاران سال پیش،
باعث تردید و اختلاف نخواهد شد.

عاقلانه ترین زمانی که به چشم می رسد
نور حقیقت، خدا را شکر.
و صد گاو نر، چاقو خورده، دروغ می گویند -
هدیه برگشت فیثاغورث خوش شانس.

از آن زمان، گاو نر ناامیدانه غرش می کند:
برای همیشه قبیله گاو نر را برانگیخت
رویداد ذکر شده در اینجا

آنها فکر می کنند زمان آن فرا رسیده است
و باز هم قربانی خواهند شد
چند قضیه عالی

(ترجمه ویکتور توپوروف)

و در قرن بیستم، یوگنی ولتیستوف نویسنده شوروی در کتاب خود "ماجراهای الکترونیک" یک فصل کامل را به اثبات قضیه فیثاغورث اختصاص داد. و نیم فصل از یک داستان در مورد جهانی دو بعدی که اگر قضیه فیثاغورث به قانون اساسی و حتی دین برای یک جهان تبدیل شود، می تواند وجود داشته باشد. زندگی در آن بسیار ساده تر است، اما بسیار خسته کننده تر است: برای مثال، هیچ کس در آنجا معنای کلمات "گرد" و "کرکی" را نمی فهمد.

و نویسنده در کتاب "ماجراهای الکترونیک" از زبان معلم ریاضیات تاراتارا می گوید: "مهمترین چیز در ریاضیات حرکت فکر است، ایده های جدید." این پرواز خلاقانه تفکر است که قضیه فیثاغورث را ایجاد می کند - بی جهت نیست که این همه شواهد متنوع دارد. این کمک می کند تا فراتر از حد معمول بروید و به چیزهای آشنا به روشی جدید نگاه کنید.

نتیجه

این مقاله به این منظور ایجاد شده است که بتوانید فراتر از برنامه درسی مدرسه در ریاضیات نگاه کنید و نه تنها برهان های قضیه فیثاغورث را که در کتاب های درسی "هندسه 7-9" (ال. اس. آتاناسیان، وی. ان. رودنکو) و "هندسه 7 -11" آورده شده است، بیاموزید. ” (AV Pogorelov) و همچنین راه های عجیب دیگری برای اثبات قضیه معروف. و همچنین نمونه هایی از نحوه اعمال قضیه فیثاغورث را در زندگی روزمره ببینید.

اولاً، این اطلاعات به شما امکان می دهد در کلاس های ریاضی نمرات بالاتری کسب کنید - اطلاعات مربوط به این موضوع از منابع اضافی همیشه بسیار قدردانی می شود.

ثانیاً، ما می‌خواستیم به شما کمک کنیم تا درک کنید که ریاضیات چقدر جالب است. تا با مثال های خاص متقاعد شود که همیشه جایی برای خلاقیت در آن وجود دارد. امیدواریم قضیه فیثاغورث و این مقاله به شما انگیزه دهد تا تحقیقات و اکتشافات هیجان انگیز خود را در ریاضیات و سایر علوم انجام دهید.

اگر شواهد ارائه شده در مقاله را جالب دیدید، در نظرات به ما بگویید. آیا این اطلاعات را در مطالعات خود مفید دیدید؟ نظر خود را در مورد قضیه فیثاغورث و این مقاله با ما در میان بگذارید - ما خوشحال خواهیم شد که همه اینها را با شما در میان بگذاریم.

blog.site، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک منبع الزامی است.