وابستگی هارمونیک نوسان و امواج. حرکت نوسانی هارمونیک سینماتیک حرکت نوسانی

بر اساس قانون سینوسی در طول زمان تغییر می کند:

جایی که ایکس- مقدار کمیت در حال نوسان در لحظه زمان تی, آ- دامنه، ω - فرکانس دایره ای، φ - فاز اولیه نوسانات، ( φt + φ ) - فاز کامل نوسانات. در عین حال، ارزش ها آ, ω و φ - دائمی

برای ارتعاشات مکانیکی با قدر نوسان ایکسبه ویژه، جابجایی و سرعت، برای ارتعاشات الکتریکی - ولتاژ و جریان.

ارتعاشات هارمونیک اشغال می کند مکان خاصدر میان انواع نوسانات، زیرا این تنها نوع نوساناتی است که شکل آن هنگام عبور از هر محیط همگن تغییر نمی کند، یعنی امواج منتشر شده از منبع نوسانات هارمونیک نیز هارمونیک خواهند بود. هر نوسان غیر هارمونیک را می توان به صورت مجموع (انتگرال) نوسانات هارمونیک مختلف (به شکل طیفی از نوسانات هارمونیک) نشان داد.

تبدیل انرژی در طی ارتعاشات هارمونیک

در طول فرآیند نوسان، انتقال انرژی پتانسیل رخ می دهد W صبه جنبشی هفتهو بالعکس. در موقعیت حداکثر انحراف از موقعیت تعادل، انرژی پتانسیل حداکثر است، انرژی جنبشی صفر است. با بازگشت به حالت تعادل، سرعت جسم در حال نوسان افزایش می یابد و با آن انرژی جنبشی نیز افزایش می یابد و در وضعیت تعادل به حداکثر می رسد. انرژی پتانسیل به صفر می رسد. حرکت بیشتر با کاهش سرعت اتفاق می‌افتد که وقتی انحراف به حداکثر دوم خود می‌رسد، به صفر می‌رسد. انرژی پتانسیل در اینجا به مقدار اولیه (حداکثر) خود (در صورت عدم وجود اصطکاک) افزایش می یابد. بنابراین، نوسانات انرژی جنبشی و پتانسیل با فرکانس دو برابر (در مقایسه با نوسانات خود آونگ) رخ می دهد و در پادفاز است (یعنی بین آنها یک تغییر فاز برابر با π ). کل انرژی ارتعاشی دبلیوبدون تغییر باقی می ماند. برای جسمی که تحت اثر نیروی کشسان در حال نوسان است برابر است با:

جایی که v m- حداکثر سرعت بدن (در وضعیت تعادل)، x m = آ- دامنه

به دلیل وجود اصطکاک و مقاومت محیط، ارتعاشات آزاد کاهش می یابد: انرژی و دامنه آنها با گذشت زمان کاهش می یابد. بنابراین، در عمل، آنها اغلب از نه رایگان، بلکه استفاده می کنند نوسانات اجباری.

تغییرات در هر کمیت با استفاده از قوانین سینوس یا کسینوس توصیف می شود، سپس چنین نوساناتی هارمونیک نامیده می شود. بیایید مداری متشکل از یک خازن (که قبل از وارد شدن به مدار شارژ شده است) و یک سلف (شکل 1) را در نظر بگیریم.

تصویر 1.

معادله ارتعاش هارمونیک را می توان به صورت زیر نوشت:

$q=q_0cos((\omega )_0t+(\alpha)_0)$ (1)

جایی که $t$ زمان است. $q$ شارژ، $q_0$-- حداکثر انحراف شارژ از مقدار متوسط ​​(صفر) آن در طول تغییرات. $(\omega )_0t+(\alpha)_0$- فاز نوسان; $(\alpha )_0$- فاز اولیه; $(\omega )_0$ - فرکانس چرخه ای. در طول دوره، فاز با $2\pi $ تغییر می کند.

معادله فرم:

معادله نوسانات هارمونیک به شکل دیفرانسیل برای مدار نوسانی که مقاومت فعال ندارد.

هر نوعی نوسانات دوره ایرا می توان با دقت به عنوان مجموع ارتعاشات هارمونیک، به اصطلاح سری هارمونیک نشان داد.

برای دوره نوسان مداری که از یک سیم پیچ و یک خازن تشکیل شده است، فرمول تامسون را به دست می آوریم:

اگر عبارت (1) را با توجه به زمان متمایز کنیم، می‌توانیم فرمول تابع $I(t)$ را بدست آوریم:

ولتاژ دو سر خازن را می توان به صورت زیر یافت:

از فرمول های (5) و (6) نتیجه می شود که قدرت جریان به مقدار $\frac(\pi )(2) از ولتاژ خازن جلوتر است.

نوسانات هارمونیک را می توان به صورت معادلات، توابع و نمودارهای برداری نشان داد.

معادله (1) نوسانات بدون میرایی آزاد را نشان می دهد.

معادله نوسان میرایی

تغییر بار ($q$) روی صفحات خازن در مدار، با در نظر گرفتن مقاومت (شکل 2)، با یک معادله دیفرانسیل به شکل زیر توضیح داده می شود:

شکل 2.

اگر مقاومتی که بخشی از مدار است $R\

جایی که $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ فرکانس نوسان چرخه ای است. $\beta =\frac(R)(2L)-$ضریب میرایی. دامنه نوسانات میرا شده به صورت زیر بیان می شود:

اگر در $t=0$ شارژ خازن برابر با $q=q_0$ باشد و جریانی در مدار نباشد، آنگاه برای $A_0$ می‌توانیم بنویسیم:

فاز نوسانات در لحظه اولیه زمان ($(\alpha )_0$) برابر است با:

وقتی $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ تغییر شارژ یک نوسان نباشد، تخلیه خازن را غیر پریودیک می نامند.

مثال 1

ورزش:حداکثر مقدار شارژ $q_0=10\ C$ است. به طور هماهنگ با دوره $T = 5 s$ تغییر می کند. حداکثر جریان ممکن را تعیین کنید.

راه حل:

به عنوان مبنایی برای حل مشکل از:

برای یافتن قدرت فعلی، عبارت (1.1) باید با توجه به زمان متمایز شود:

که در آن حداکثر (مقدار دامنه) قدرت جریان عبارت است:

از شرایط مسئله، مقدار دامنه شارژ را می دانیم ($q_0=10\ C$). شما باید فرکانس طبیعی نوسانات را پیدا کنید. بیایید آن را اینگونه بیان کنیم:

\[(\omega)_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\راست).\]

در این حالت مقدار مورد نظر با استفاده از معادلات (1.3) و (1.2) به صورت زیر بدست می آید:

از آنجایی که تمام مقادیر در شرایط مشکل در سیستم SI ارائه شده است، محاسبات را انجام خواهیم داد:

پاسخ:$I_0=12.56\ A.$

مثال 2

ورزش:دوره نوسان در مداری که دارای یک سلف $L=1$H و یک خازن است، اگر شدت جریان مدار طبق قانون تغییر کند چقدر است: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)؟$ ظرفیت خازن چقدر است؟

راه حل:

از معادله نوسانات جریان که در شرایط مسئله آورده شده است:

می بینیم که $(\omega )_0=20\pi $، بنابراین، می توانیم دوره نوسان را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم:

\ \

طبق فرمول تامسون برای مداری که شامل یک سلف و یک خازن است، داریم:

بیایید ظرفیت را محاسبه کنیم:

پاسخ:$T=0.1$ c, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$

نوسانات فرآیند تغییر حالت های یک سیستم در اطراف نقطه تعادل است که به درجات مختلف در طول زمان تکرار می شود.

نوسان هارمونیک - نوساناتی که در آن یک کمیت فیزیکی (یا هر دیگری) در طول زمان بر اساس قانون سینوسی یا کسینوس تغییر می کند. معادله سینماتیکی نوسانات هارمونیک شکل دارد

که در آن x جابجایی (انحراف) نقطه نوسان از موقعیت تعادل در زمان t است. A دامنه نوسانات است، این مقداری است که حداکثر انحراف نقطه نوسان را از موقعیت تعادل تعیین می کند. ω - فرکانس چرخه ای، مقداری که تعداد نوسانات کاملی را نشان می دهد که در عرض 2π ثانیه رخ می دهد - فاز کامل نوسانات، 0 - فاز اولیه نوسانات.

دامنه حداکثر مقدار جابجایی یا تغییر یک متغیر از مقدار متوسط ​​در طول حرکت نوسانی یا موجی است.

دامنه و فاز اولیه نوسانات با شرایط اولیه حرکت تعیین می شود، یعنی. موقعیت و سرعت نقطه مادی در لحظه t=0.

نوسان هارمونیک تعمیم یافته به شکل دیفرانسیل

دامنه امواج صوتی و سیگنال های صوتی معمولاً به دامنه فشار هوا در موج اشاره دارد، اما گاهی اوقات به عنوان دامنه جابجایی نسبت به تعادل (هوا یا دیافراگم بلندگو) توصیف می شود.

فرکانس یک کمیت فیزیکی است، مشخصه یک فرآیند دوره ای، برابر با تعداد چرخه های کامل فرآیند تکمیل شده در واحد زمان. فرکانس ارتعاش در امواج صوتی با فرکانس ارتعاش منبع تعیین می شود. نوسانات فرکانس بالا سریعتر از نوسانات فرکانس پایین فروپاشی می کنند.

متقابل فرکانس نوسان را دوره T می نامند.

دوره نوسان، مدت یک چرخه کامل نوسان است.

در سیستم مختصات، از نقطه 0 بردار A̅ رسم می کنیم که برآمدگی آن بر روی محور OX برابر با Acosφ است. اگر بردار A به طور یکنواخت با سرعت زاویه‌ای ω˳ خلاف جهت عقربه‌های ساعت بچرخد، ϕ=ω˳t +ϕ˳، که در آن ϕ˳ مقدار اولیه ϕ (فاز نوسان) است، دامنه نوسانات مدول یکنواخت است. بردار چرخشی A̅، فاز نوسان (φ) - زاویه بین بردار A̅ و محور OX، فاز اولیه (ϕ˳) -مقدار اولیهاز این زاویه، فرکانس زاویه‌ای نوسانات (ω) سرعت زاویه‌ای چرخش بردار A است.

2. ویژگی های فرآیندهای موج: جلو موج، پرتو، سرعت موج، طول موج. امواج طولی و عرضی؛ مثال ها.

تقسیم سطح این لحظهزمان، محیطی که قبلاً پوشیده شده و هنوز توسط نوسانات پوشیده نشده است، جبهه موج نامیده می شود. در تمام نقاط چنین سطحی، پس از خروج جبهه موج، نوساناتی ایجاد می شود که در فاز یکسان هستند.

پرتو عمود بر جبهه موج است. پرتوهای آکوستیک، مانند پرتوهای نور، در یک محیط همگن مستطیل هستند. آنها در رابط بین 2 رسانه منعکس و شکسته می شوند.

طول موج فاصله بین دو نقطه نزدیک به یکدیگر است که در فازهای مشابه در نوسان هستند، معمولاً طول موج با حرف یونانی نشان داده می شود. در قیاس با امواج ایجاد شده در آب توسط سنگ پرتاب شده، طول موج فاصله بین دو تاج موج مجاور است. یکی از ویژگی های اصلی ارتعاشات. اندازه گیری در واحدهای فاصله (متر، سانتی متر و غیره)

• طولیامواج (امواج فشرده سازی، امواج P) - ذرات محیط مرتعش می شوند موازی(در امتداد) جهت انتشار موج (مثلاً در مورد انتشار صدا).
• عرضیامواج (امواج برشی، امواج S) - ذرات محیط مرتعش می شوند عمود برجهت انتشار موج ( امواج الکترومغناطیسی، امواج روی سطوح جداسازی)؛

فرکانس زاویه‌ای نوسانات (ω) سرعت زاویه‌ای چرخش بردار A̅(V) است، جابجایی x نقطه نوسان، پیش‌بینی بردار A بر روی محور OX است.

V=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Vmsin(ω˳t+ϕ˳)، که در آن Vm=Aω˳ حداکثر سرعت (دامنه سرعت) است.

3. ارتعاشات آزاد و اجباری. فرکانس طبیعی نوسانات سیستم. پدیده رزونانس. مثال ها .

ارتعاشات رایگان (طبیعی). به آنهایی گفته می شود که به دلیل انرژی اولیه حاصل از گرما بدون تأثیر خارجی رخ می دهند. مدل های مشخصه چنین نوسانات مکانیکی یک نقطه مادی روی یک فنر (آونگ فنری) و یک نقطه مادی روی یک نخ غیر قابل امتداد (آونگ ریاضی) است.

در این مثال ها، نوسانات یا به دلیل انرژی اولیه (انحراف یک نقطه مادی از موقعیت تعادل و حرکت بدون سرعت اولیه) یا به دلیل جنبشی (به بدن در موقعیت تعادل اولیه سرعت داده می شود) یا به دلیل هر دو ایجاد می شود. انرژی (اعمال سرعت به بدن منحرف از موقعیت تعادل).

یک آونگ فنری را در نظر بگیرید. در موقعیت تعادل، نیروی الاستیک F1

نیروی گرانش میلی گرم را متعادل می کند. اگر فنر را با فاصله x بکشید، نیروی کشسان زیادی روی نقطه مادی وارد می شود. تغییر مقدار نیروی ارتجاعی (F)، طبق قانون هوک، متناسب با تغییر طول فنر یا جابجایی x نقطه است: F= - rx

مثالی دیگر. آونگ ریاضی انحراف از موقعیت تعادل آنقدر زاویه α کوچک است که مسیر یک نقطه مادی را می توان خط مستقیم منطبق بر محور OX در نظر گرفت. در این مورد، برابری تقریبی برآورده می شود: α ≈sin α≈ tanα ≈x/L

نوسانات بدون میراگر اجازه دهید مدلی را در نظر بگیریم که در آن نیروی مقاومت نادیده گرفته شده است.
دامنه و فاز اولیه نوسانات با شرایط اولیه حرکت تعیین می شود، یعنی. موقعیت و سرعت گشتاور نقطه مادی t=0.
در میان انواع مختلفارتعاش هارمونیک ساده ترین شکل ارتعاش است.

بنابراین، اگر نیروهای مقاومت در نظر گرفته نشوند، یک نقطه مادی معلق روی یک فنر یا نخ، نوسانات هارمونیک را انجام می دهد.

دوره نوسان را می توان از فرمول یافت: T=1/v=2П/ω0

نوسانات میرا شده. در یک حالت واقعی، نیروهای مقاومت (اصطکاک) روی یک جسم نوسانی اثر می‌کنند، ماهیت حرکت تغییر می‌کند و نوسان میرا می‌شود.

در رابطه با حرکت یک بعدی، آخرین فرمول را به شکل زیر می دهیم: Fc = - r * dx/dt

سرعت کاهش دامنه نوسان توسط ضریب میرایی تعیین می شود: هر چه اثر ترمز محیط قوی تر باشد، ß بیشتر و دامنه سریعتر کاهش می یابد. با این حال، در عمل، درجه میرایی اغلب با کاهش میرایی لگاریتمی مشخص می شود، به این معنی که این مقدار برابر با لگاریتم طبیعی نسبت دو دامنه متوالی است که با فاصله زمانی برابر با دوره نوسان از هم جدا می شوند؛ بنابراین، میرایی ضریب و کاهش میرایی لگاریتمی با یک رابطه نسبتاً ساده مرتبط هستند: λ=ßT

با میرایی قوی، از فرمول مشخص می شود که دوره نوسان یک کمیت خیالی است. حرکت در این حالت دیگر دوره ای نخواهد بود و به آن دوره ای می گویند.

ارتعاشات اجباری نوسانات اجباری به نوساناتی گفته می شود که در یک سیستم با مشارکت نیروی خارجی رخ می دهد که طبق قانون تناوبی تغییر می کند.

فرض کنید نقطه مادی، علاوه بر نیروی الاستیک و نیروی اصطکاک، توسط یک نیروی محرکه خارجی F=F0 cos ωt بر روی آن اثر می گذارد.

دامنه نوسان اجباری نسبت مستقیمی با دامنه نیروی محرکه دارد و وابستگی پیچیده ای به ضریب میرایی محیط و فرکانس های دایره ای نوسانات طبیعی و اجباری دارد. اگر ω0 و ß برای سیستم داده شود، دامنه نوسانات اجباری دارای حداکثر مقدار در فرکانس خاصی از نیروی محرکه است، به نام طنین انداز خود پدیده - دستیابی به حداکثر دامنه نوسانات اجباری برای ω0 و ß داده شده - نامیده می شود. رزونانس

فرکانس دایره‌ای تشدید را می‌توان از شرط حداقل مخرج در: ωres=√ωₒ- 2ß یافت.

رزونانس مکانیکی می تواند هم مفید و هم مضر باشد. اثرات مضر عمدتاً به دلیل تخریبی است که می تواند ایجاد کند. بنابراین، در فناوری، با در نظر گرفتن ارتعاشات مختلف، لازم است برای وقوع احتمالی شرایط رزونانسی فراهم شود، در غیر این صورت ممکن است تخریب و بلایا رخ دهد. اجسام معمولاً دارای چندین فرکانس ارتعاش طبیعی و بر این اساس، چندین فرکانس تشدید دارند.

پدیده های تشدید تحت تأثیر ارتعاشات مکانیکی خارجی در اندام های داخلی رخ می دهد. ظاهراً این یکی از دلایل تأثیر منفی ارتعاشات و ارتعاشات فروصوت بر بدن انسان است.

6. روش تحقیق صدا در پزشکی: ضربی، سمع. فونوکاردیوگرافی.

صدا می تواند منبع اطلاعات وضعیت باشد اعضای داخلیانسان، بنابراین در پزشکی از روش‌هایی برای بررسی وضعیت بیمار مانند سمع، پرکاشن و فونوکاردیوگرافی استفاده می‌شود.

سمع

برای سمع از گوشی پزشکی یا فونندوسکوپ استفاده می شود. فونندوسکوپ از یک کپسول توخالی با یک غشای انتقال صدا تشکیل شده است که روی بدن بیمار اعمال می شود و از آن لوله های لاستیکی به گوش پزشک می رود. رزونانس ستون هوا در کپسول رخ می دهد که منجر به افزایش صدا و بهبود سمع می شود. هنگام سمع ریه ها صداهای تنفسی و خس خس های مختلف مشخصه بیماری ها شنیده می شود. همچنین می توانید به قلب، روده و معده گوش دهید.

پرکاشن

در این روش صدای تک تک اعضای بدن با ضربه زدن به آنها گوش داده می شود. بیایید یک حفره بسته را در داخل بدنی تصور کنیم که پر از هوا است. اگر ارتعاشات صوتی را در این بدن القا کنید، در فرکانس مشخصی از صدا، هوا در حفره شروع به طنین‌اندازی می‌کند و صدایی متناسب با اندازه و موقعیت حفره آزاد و تقویت می‌کند. بدن انسان را می توان به صورت مجموعه ای از حجم های پر از گاز (ریه ها)، مایع (ارگان های داخلی) و جامد (استخوان ها) نشان داد. هنگام برخورد با سطح جسم، ارتعاشاتی رخ می دهد که فرکانس های آن محدوده وسیعی دارد. از این محدوده، برخی از ارتعاشات به سرعت محو می شوند، در حالی که برخی دیگر، همزمان با ارتعاشات طبیعی حفره ها، تشدید می شوند و به دلیل رزونانس، قابل شنیدن خواهند بود.

فونوکاردیوگرافی

برای تشخیص بیماری های قلبی استفاده می شود. این روش شامل ضبط گرافیکی صداها و سوفل های قلب و تفسیر تشخیصی آنها است. فونوکاردیوگراف از یک میکروفون، یک تقویت کننده، یک سیستم فیلتر فرکانس و یک دستگاه ضبط تشکیل شده است.

9. روش های تحقیق اولتراسوند (سونوگرافی) در تشخیص پزشکی.

1) روش های تشخیصی و تحقیقاتی

این شامل روش های مکان یابی با استفاده از تشعشعات پالسی است. این اکوآنسفالوگرافی است - تشخیص تومورها و ادم مغز. سونوگرافی قلب - اندازه گیری اندازه قلب در دینامیک. در چشم پزشکی - محل اولتراسونیک برای تعیین اندازه محیط چشم.

2) روش های نفوذ

فیزیوتراپی اولتراسوند - اثرات مکانیکی و حرارتی بر روی بافت.

11. موج شوک. تولید و استفاده از امواج شوک در پزشکی.
موج شوک - یک سطح ناپیوستگی که نسبت به گاز حرکت می کند و هنگام عبور از آن فشار، چگالی، دما و سرعت یک جهش را تجربه می کند.
تحت اختلالات بزرگ (انفجار، حرکت مافوق صوت اجسام، تخلیه الکتریکی قوی و غیره)، سرعت ذرات در حال نوسان محیط می تواند با سرعت صوت قابل مقایسه باشد. , یک موج شوک رخ می دهد.

موج ضربه ای می تواند انرژی قابل توجهی داشته باشد، بله، در انفجار هسته ایبرای تشکیل یک موج ضربه ای در محیطحدود 50 درصد از انرژی انفجار مصرف می شود. بنابراین، رسیدن موج ضربه ای به اجسام بیولوژیکی و فنی می تواند باعث مرگ، آسیب و تخریب شود.

امواج شوک در فناوری پزشکی استفاده می شود، نشان دهنده یک پالس فشار بسیار کوتاه و قدرتمند با دامنه های فشار بالا و یک جزء کششی کوچک است. آنها خارج از بدن بیمار تولید می شوند و به اعماق بدن منتقل می شوند و یک اثر درمانی ارائه شده توسط تخصص مدل تجهیزات ایجاد می کنند: خرد کردن سنگ های ادراری، درمان نواحی درد و عواقب آسیب های سیستم اسکلتی عضلانی، تحریک بازیابی عضله قلب پس از سکته قلبی، صاف کردن تشکیلات سلولیت و غیره.

>>ارتعاشات هارمونیک

§ 22 ارتعاشات هارمونیک

با دانستن اینکه شتاب و مختصات یک جسم نوسانی چگونه به یکدیگر مرتبط هستند، می توان بر اساس تجزیه و تحلیل ریاضی، وابستگی مختصات را به زمان پیدا کرد.

شتاب دومین مشتق مختصات نسبت به زمان است. سرعت لحظه ایهمانطور که از یک درس ریاضی می دانید یک نقطه مشتق مختصات یک نقطه نسبت به زمان است. شتاب یک نقطه مشتق سرعت آن نسبت به زمان یا مشتق دوم مختصات نسبت به زمان است. بنابراین، معادله (3.4) را می توان به صورت زیر نوشت:

جایی که x " - مشتق دوم مختصات با توجه به زمان. مطابق رابطه (3.11)، در طول نوسانات آزاد، مختصات x با زمان تغییر می کند به طوری که مشتق دوم مختصات نسبت به زمان با خود مختصات نسبت مستقیم دارد و از نظر علامت مخالف است.

از درس ریاضیات مشخص است که مشتقات دوم سینوس و کسینوس با توجه به استدلال آنها با خود توابع متناسب هستند که با علامت مخالف گرفته شده اند. که در تجزیه و تحلیل ریاضیثابت شده است که هیچ توابع دیگری این ویژگی را ندارند. همه اینها به ما اجازه می دهد تا به طور قانونی ادعا کنیم که مختصات جسمی که نوسانات آزاد را انجام می دهد در طول زمان طبق قانون سینوس یا پازین تغییر می کند. شکل 3.6 تغییر مختصات یک نقطه را در طول زمان طبق قانون کسینوس نشان می دهد.

تغییرات تناوبی در یک کمیت فیزیکی بسته به زمان که طبق قانون سینوس یا کسینوس رخ می دهد، نوسانات هارمونیک نامیده می شود.

دامنه نوسانات.دامنه نوسانات هارمونیک مدول بیشترین جابجایی یک جسم از موقعیت تعادل آن است.

دامنه ممکن است داشته باشد معانی مختلفبسته به اینکه چقدر بدن را از وضعیت تعادل در لحظه اولیه زمان جابه جا می کنیم یا اینکه با چه سرعتی به بدن منتقل می شود. دامنه توسط شرایط اولیه یا به طور دقیق تر با انرژی داده شده به بدن تعیین می شود. اما حداکثر مقادیر مدول سینوسی و مدول کسینوس برابر با یک است. بنابراین، جواب معادله (3.11) را نمی توان به سادگی به صورت سینوس یا کسینوس بیان کرد. باید به شکل حاصل ضرب دامنه نوسان x m توسط سینوس یا کسینوس باشد.

حل معادله ای که ارتعاشات آزاد را توصیف می کند.اجازه دهید جواب معادله (3.11) را به شکل زیر بنویسیم:

و مشتق دوم برابر خواهد بود با:

معادله (3.11) را بدست آورده ایم. در نتیجه، تابع (3.12) راه حلی برای معادله اصلی (3.11) است. جواب این معادله نیز تابع خواهد بود

نمودار مختصات بدن در مقابل زمان مطابق (3.14) یک موج کسینوس است (شکل 3.6 را ببینید).

دوره و فرکانس نوسانات هارمونیک. هنگام نوسان، حرکات بدن به صورت دوره ای تکرار می شود. دوره زمانی T که در طی آن سیستم یک چرخه کامل از نوسانات را کامل می کند، دوره نوسانات نامیده می شود.

با دانستن دوره، می توانید فرکانس نوسانات، یعنی تعداد نوسانات در واحد زمان، به عنوان مثال در هر ثانیه را تعیین کنید. اگر یک نوسان در زمان T رخ دهد، تعداد نوسانات در ثانیه است

که در سیستم بین المللیواحد (SI) فرکانس نوسان برابر با یک است اگر یک نوسان در هر ثانیه رخ دهد. واحد فرکانس به افتخار فیزیکدان آلمانی G. Hertz هرتز (به اختصار: هرتز) نامیده می شود.

تعداد نوسانات در 2 ثانیه برابر است با:

کمیت، فرکانس حلقوی یا دایره ای نوسانات است. اگر در رابطه (3.14) زمان t برابر با یک دوره باشد، آنگاه T = 2. بنابراین، اگر در زمان t = 0 x = x m، در آن زمان t = T x = x m، یعنی در یک دوره زمانی برابر با یک دوره، نوسانات تکرار می شود.

فرکانس ارتعاشات آزاد با فرکانس طبیعی سیستم نوسانی 1 تعیین می شود.

وابستگی فرکانس و دوره نوسانات آزاد به خواص سیستم.فرکانس طبیعی ارتعاش جسم متصل به فنر، طبق رابطه (3.13)، برابر است با:

هرچه سفتی فنر k بیشتر باشد، بیشتر است و هر چه کمتر باشد، جرم بدن m بیشتر است. درک این موضوع آسان است: فنر سفت شتاب بیشتری به بدن می دهد و سرعت بدن را سریعتر تغییر می دهد. و هر چه بدن جرم بیشتری داشته باشد، تحت تأثیر نیرو سرعت آن کندتر تغییر می کند. دوره نوسان برابر است با:

با داشتن مجموعه ای از فنرها با سختی های مختلف و بدنه هایی با جرم های مختلف، به راحتی می توان از تجربه تأیید کرد که فرمول های (3.13) و (3.18) به درستی ماهیت وابستگی و T به k و m را توصیف می کنند.

قابل توجه است که دوره نوسان جسم روی فنر و دوره نوسان آونگ در زوایای انحراف کوچک به دامنه نوسانات بستگی ندارد.

مدول ضریب تناسب بین شتاب t و جابجایی x در رابطه (3.10) که نوسانات آونگ را توصیف می کند، مانند رابطه (3.11)، مربع فرکانس چرخه ای است. بنابراین، فرکانس طبیعی نوسانات آونگ ریاضیدر زوایای کوچک انحراف نخ از عمود بستگی به طول آونگ و شتاب گرانش دارد:

این فرمول برای اولین بار توسط دانشمند هلندی G. Huygens، یکی از معاصران I. Newton به دست آمد و آزمایش شد. فقط برای زوایای کوچک انحراف نخ معتبر است.

1 اغلب در ادامه، برای اختصار، بسادگی فرکانس چرخه ای را فرکانس می نامیم. شما می توانید فرکانس چرخه ای را از فرکانس معمولی با علامت گذاری تشخیص دهید.

دوره نوسان با افزایش طول آونگ افزایش می یابد. به جرم آونگ بستگی ندارد. این را می توان به راحتی به صورت تجربی با آونگ های مختلف تأیید کرد. وابستگی دوره نوسان به شتاب گرانش نیز قابل تشخیص است. هر چه g کوچکتر باشد، دوره نوسان آونگ طولانی‌تر است و بنابراین، ساعت آونگ کندتر کار می‌کند. بنابراین، یک ساعت با آونگ به شکل وزنه روی میله، اگر از زیرزمین به طبقه بالای دانشگاه مسکو (ارتفاع 200 متر) بلند شود، تقریباً 3 ثانیه در روز عقب می‌افتد. و این تنها به دلیل کاهش شتاب سقوط آزاد با ارتفاع است.

وابستگی دوره نوسان آونگ به مقدار g در عمل استفاده می شود. با اندازه گیری دوره نوسان، g را می توان بسیار دقیق تعیین کرد. شتاب گرانش با تغییر عرض جغرافیایی. اما حتی در یک عرض جغرافیایی معین در همه جا یکسان نیست. به هر حال، چگالی پوسته زمین در همه جا یکسان نیست. در مناطقی که سنگ های متراکم وجود دارند، شتاب g تا حدودی بیشتر است. این مورد در هنگام جستجو برای مواد معدنی در نظر گرفته می شود.

بنابراین سنگ آهن در مقایسه با سنگ های معمولی چگالی بالاتری دارد. اندازه گیری شتاب سقوط آزاد در نزدیکی کورسک، که تحت رهبری آکادمیسین A. A. Mikhailov انجام شد، این امکان را فراهم کرد که مکان این سقوط مشخص شود. سنگ آهن. آنها ابتدا از طریق اندازه گیری های مغناطیسی کشف شدند.

از خواص ارتعاشات مکانیکی در دستگاه های اکثر ترازوهای الکترونیکی استفاده می شود. بدنه ای که باید توزین شود روی سکویی قرار می گیرد که زیر آن فنر سفت و سختی تعبیه شده است. در نتیجه، ارتعاشات مکانیکی ایجاد می شود که فرکانس آن توسط یک سنسور مربوطه اندازه گیری می شود. ریزپردازنده مرتبط با این سنسور فرکانس نوسان را به جرم جسمی که وزن می‌شود تبدیل می‌کند، زیرا این فرکانس به جرم بستگی دارد.

فرمول های حاصل (3.18) و (3.20) برای دوره نوسان نشان می دهد که دوره نوسانات هارمونیک به پارامترهای سیستم (سفتی فنر، طول رزوه و غیره) بستگی دارد.

Myakishev G. Ya.، فیزیک. پایه یازدهم: آموزشی. برای آموزش عمومی موسسات: پایه و مشخصات. سطوح / G. Ya. Myakishev، B. V. Bukhovtsev، V. M. Charugin; ویرایش شده توسط V. I. Nikolaeva، N. A. Parfentieva. - ویرایش هفدهم، بازبینی شده. و اضافی - م.: آموزش و پرورش، 1387. - 399 ص: بیمار.

لیست کامل مباحث بر اساس پایه، برنامه تقویم طبق برنامه درسی مدرسه فیزیک آنلاین، مطالب ویدئویی در مورد فیزیک برای پایه یازدهم دانلود

محتوای درس یادداشت های درسیفن آوری های تعاملی روش های شتاب ارائه درس فریم پشتیبانی می کند تمرین کارها و تمرینات کارگاه های خودآزمایی، آموزش ها، موارد، کوئست ها سوالات بحث تکلیف سوالات بلاغی از دانش آموزان تصاویر صوتی، کلیپ های ویدئویی و چند رسانه ایعکس، عکس، گرافیک، جداول، نمودار، طنز، حکایت، جوک، کمیک، تمثیل، گفته ها، جدول کلمات متقاطع، نقل قول افزونه ها چکیده هاترفندهای مقاله برای گهواره های کنجکاو کتاب های درسی پایه و فرهنگ لغت اضافی اصطلاحات دیگر بهبود کتب درسی و دروستصحیح اشتباهات کتاب درسیبه روز رسانی یک قطعه در کتاب درسی، عناصر نوآوری در درس، جایگزینی دانش منسوخ شده با دانش جدید فقط برای معلمان درس های کاملبرنامه تقویم برای سال دستورالعمل هابرنامه های بحث و گفتگو دروس تلفیقی

1.18. ارتعاشات هارمونیک و خصوصیات آنها

تعریف ارتعاشات هارمونیک ویژگی های نوسانات هارمونیک: جابجایی از موقعیت تعادل، دامنه نوسانات، فاز نوسان، فرکانس و دوره نوسانات. سرعت و شتاب یک نقطه نوسان. انرژی یک نوسان ساز هارمونیک نمونه هایی از نوسان سازهای هارمونیک: ریاضی، فنری، پیچشی و فیزیکی آونگ های چینی.

آکوستیک، مهندسی رادیو، اپتیک و سایر شاخه‌های علم و فناوری مبتنی بر مطالعه نوسانات و امواج است. تئوری ارتعاشات نقش مهمی در مکانیک به ویژه در محاسبات قدرت هواپیما، پل ها و انواع خاصی از ماشین ها و اجزا دارد.

نوسانات فرآیندهایی هستند که در فواصل زمانی منظم تکرار می شوند (و همه فرآیندهای تکرار شونده نوسان نیستند!). بسته به ماهیت فیزیکی فرآیند تکرار، ارتعاشات بین مکانیکی، الکترومغناطیسی، الکترومکانیکی و غیره متمایز می شوند. در طول ارتعاشات مکانیکی، موقعیت ها و مختصات اجسام به طور متناوب تغییر می کند.

بازیابی نیرو - نیرویی که تحت تأثیر آن فرآیند نوسانی رخ می دهد. این نیرو تمایل دارد یک جسم یا یک نقطه مادی را که از وضعیت استراحت خود منحرف شده است، به موقعیت اصلی خود بازگرداند.

بسته به ماهیت ضربه بر جسم نوسانی، بین ارتعاشات آزاد (یا طبیعی) و ارتعاشات اجباری تمایز قائل می‌شود.

بسته به ماهیت تأثیر بر سیستم نوسانی، نوسانات آزاد، نوسانات اجباری، نوسانات خود و نوسانات پارامتری متمایز می شوند.

رایگان (خود) نوسانات نوساناتی هستند که در یک سیستم پس از فشار دادن به خود رها شده و یا از وضعیت تعادل خارج شده رخ می دهند. هنگامی که فقط یک نیروی بازگردان بر روی جسم نوسانی اثر می کند.مثال آن نوسان یک توپ معلق بر روی یک نخ است. برای ایجاد ارتعاش، یا باید توپ را فشار دهید یا با حرکت دادن آن به کنار، آن را رها کنید. در صورتی که اتلاف انرژی رخ ندهد، نوسانات آزاد میر نمی شوند. با این حال، فرآیندهای نوسانی واقعی میرا می شوند، زیرا جسم نوسانی در معرض نیروهای مقاومت حرکتی (عمدتاً نیروهای اصطکاک) است.

· مجبور شد چنین نوساناتی نامیده می شود، که در طی آن سیستم نوسانی در معرض یک نیروی خارجی متناوب در حال تغییر قرار می گیرد (به عنوان مثال، نوسانات یک پل که هنگام راه رفتن افراد در امتداد آن رخ می دهد، قدم می زنند). در بسیاری از موارد، سیستم ها دچار نوساناتی می شوند که می توان آن ها را هارمونیک در نظر گرفت.

· خود نوسانات , مانند نوسانات اجباری، با ضربه بر سیستم نوسانی همراه هستند نیروهای خارجیبا این حال، لحظات زمانی که این تأثیرات انجام می شود توسط خود سیستم نوسانی تنظیم می شود. یعنی خود سیستم تأثیرات خارجی را کنترل می کند. نمونه ای از سیستم های خود نوسان ساعتی است که در آن آونگ در اثر انرژی یک وزنه برآمده یا فنر پیچ خورده ضربه هایی را دریافت می کند و این ضربه ها در لحظاتی اتفاق می افتد که آونگ از موقعیت وسط عبور می کند.

· پارامتریک نوسانات زمانی اتفاق می افتد که پارامترهای سیستم نوسانی به طور دوره ای تغییر می کند (شخصی که روی یک تاب می چرخد ​​به طور دوره ای مرکز ثقل خود را بالا و پایین می آورد و در نتیجه پارامترهای سیستم را تغییر می دهد). تحت شرایط خاص، سیستم ناپایدار می شود - یک انحراف تصادفی از موقعیت تعادل منجر به ظهور و افزایش نوسانات می شود. این پدیده را تحریک پارامتریک نوسانات می نامند (یعنی نوسانات با تغییر پارامترهای سیستم برانگیخته می شوند) و خود نوسانات را پارامتریک می نامند.

علیرغم ماهیت فیزیکی متفاوت، ارتعاشات با الگوهای یکسانی مشخص می شوند که با روش های کلی مورد مطالعه قرار می گیرند. یک ویژگی مهم سینماتیکی شکل ارتعاشات است. با توجه به نوع تابع زمان که تغییر در یک یا چند مقدار فیزیکی را در طول نوسانات توصیف می کند، تعیین می شود. مهمترین نوسانات آنهایی هستند که در آنها کمیت نوسان در طول زمان تغییر می کند. طبق قانون سینوس یا کسینوس . آنها نامیده می شوند هارمونیک .

ارتعاشات هارمونیکبه نوساناتی گفته می شود که در آن کمیت فیزیکی نوسانی مطابق قانون سینوس (یا کسینوس) تغییر می کند.

این نوع نوسان به دلایل زیر اهمیت ویژه ای دارد. اولاً، ارتعاشات در طبیعت و فناوری اغلب شخصیتی بسیار نزدیک به هارمونیک دارند. ثانیاً، فرآیندهای تناوبی با فرم متفاوت (با وابستگی زمانی متفاوت) را می توان به عنوان برهم نهی یا برهم نهی نوسانات هارمونیک نشان داد.

معادله نوسان ساز هارمونیک

نوسان هارمونیک با یک قانون تناوبی توصیف می شود:

برنج. 18.1. نوسان هارمونیک

ز

اینجا
- مشخص می کند تغییر دادن هر مقدار فیزیکی در حین نوسانات (جابجایی موقعیت آونگ از موقعیت تعادل؛ ولتاژ خازن در مدار نوسانی و غیره) آ - دامنه ارتعاش ,
- فاز نوسان , - فاز اولیه ,
- فرکانس چرخه ای ; اندازه
همچنین به نام خود فرکانس ارتعاش این نام تاکید می کند که این فرکانس توسط پارامترهای سیستم نوسانی تعیین می شود. سیستمی که قانون حرکت آن شکل (18.1) دارد نامیده می شود نوسان ساز هارمونیک یک بعدی . علاوه بر مقادیر ذکر شده، مفاهیم دوره زمانی ، یعنی زمان یک نوسان

(دوره نوسان تی کوتاه ترین مدت زمانی است که پس از آن حالت های سیستم نوسانی تکرار می شود (یک نوسان کامل کامل می شود) و فاز نوسان 2 p افزایش می یابد.

و فرکانس ها
، که تعداد نوسانات را در واحد زمان تعیین می کند. واحد فرکانس فرکانس چنین نوسانی است که دوره آن 1 ثانیه است. این واحد نامیده می شود هرتز (هرتز ).

فرکانس نوسانn متقابل دوره نوسان است - تعداد نوسانات کامل انجام شده در واحد زمان.

دامنه- حداکثر مقدار جابجایی یا تغییر در یک متغیر در حین حرکت نوسانی یا موجی.

فاز نوسان- آرگومان یک تابع تناوبی یا تابعی که یک فرآیند نوسانی هارمونیک را توصیف می کند (ω - فرکانس زاویه ای، تی- زمان، - فاز اولیه نوسانات، یعنی فاز نوسانات در لحظه اولیه زمان. تی = 0).

مشتقات بار اول و دوم یک کمیت نوسانی هارمونیک نیز نوسانات هارمونیک با فرکانس یکسان را انجام می دهند:

در این حالت معادله نوسانات هارمونیک نوشته شده بر اساس قانون کسینوس مبنا قرار می گیرد. در این مورد، اولی از معادلات (18.2) قانونی را شرح می دهد که بر اساس آن سرعت یک نقطه (جسم) مادی نوسانی تغییر می کند، معادله دوم قانونی را توصیف می کند که بر اساس آن شتاب یک نقطه (جسم) نوسانی تغییر می کند.

دامنه ها
و
به ترتیب برابر هستند
و
. تردید
در پیش
در فاز توسط ; و تردید
در پیش
بر . ارزش های آو را می توان از شرایط اولیه داده شده تعیین کرد
و
:

,
. (18.3)

انرژی نوسانات نوسانگر

پ

برنج. 18.2. آونگ فنری

حالا ببینیم چه اتفاقی خواهد افتاد انرژی ارتعاشی . به عنوان نمونه ای از نوسانات هارمونیک، نوسانات یک بعدی انجام شده توسط جسمی با جرم را در نظر بگیرید. متر تحت تاثیر کشسان استحکام - قدرت
(به عنوان مثال، آونگ فنری، به شکل 18.2 مراجعه کنید). نیروهایی که ماهیت متفاوتی نسبت به الاستیک دارند، اما در آنها شرط F = -kx برآورده می شود، نامیده می شوند. شبه الاستیکتحت تأثیر این نیروها، اجسام نیز ارتعاشات هارمونیک را انجام می دهند. بگذار:

جانبداری:
سرعت:
شتاب:

آن ها معادله چنین نوساناتی به شکل (18.1) با فرکانس طبیعی است
. نیروی شبه الاستیک است محافظه کار . بنابراین، انرژی کل چنین نوسانات هارمونیکی باید ثابت بماند. در طی فرآیند نوسانات، انرژی جنبشی تبدیل می شود E بهبه پتانسیل E پو بالعکس و در لحظه های بیشترین انحراف از موقعیت تعادل، انرژی کل برابر با حداکثر مقدار انرژی پتانسیل است و زمانی که سیستم از موقعیت تعادل عبور می کند، انرژی کل برابر با حداکثر مقدار است. از انرژی جنبشی بیایید دریابیم که انرژی جنبشی و پتانسیل چگونه در طول زمان تغییر می کند:

انرژی جنبشی:

انرژی پتانسیل:

(18.5)

با توجه به اینکه i.e. ، آخرین عبارت را می توان به صورت زیر نوشت:

بنابراین، انرژی کل نوسانات هارمونیک ثابت می شود. از روابط (18.4) و (18.5) نیز چنین استنباط می شود که مقادیر متوسط ​​انرژی جنبشی و پتانسیل برابر با یکدیگر و نیمی از انرژی کل است، زیرا مقادیر متوسط
و
در هر دوره برابر با 0.5 است. با استفاده از فرمول های مثلثاتی می توان دریافت که انرژی جنبشی و پتانسیل با فرکانس تغییر می کند
، یعنی با فرکانس دو برابر فرکانس ارتعاش هارمونیک.

نمونه هایی از نوسان ساز هارمونیک شامل آونگ های فنری، آونگ های فیزیکی، آونگ های ریاضی و آونگ های پیچشی هستند.

1. آونگ فنری- این باری به جرم m است که روی یک فنر کاملاً الاستیک معلق است و تحت تأثیر نیروی الاستیک F = –kx نوسانات هارمونیک را انجام می دهد که k سفتی فنر است. معادله حرکت آونگ به شکل (18.8) از فرمول (18.8) به دست می آید که آونگ فنری طبق قانون x = Асos(ω 0 t+φ) با فرکانس چرخه ای نوسانات هارمونیک انجام می دهد.

(18.9) و دوره

(18.10) فرمول (18.10) برای ارتعاشات الاستیک در محدوده هایی که قانون هوک در آن رعایت می شود صادق است، یعنی اگر جرم فنر در مقایسه با جرم بدن کوچک باشد. انرژی پتانسیل یک آونگ فنری با استفاده از (18.9) و فرمول انرژی پتانسیل بخش قبل برابر است با (نگاه کنید به 18.5)

2. آونگ فیزیکی- این جامد، که تحت تأثیر گرانش حول محور افقی ثابتی که از نقطه O می گذرد و با مرکز جرم C جسم منطبق نیست در نوسان است (شکل 1).

شکل 18.3 آونگ فیزیکی

اگر آونگ با زاویه ای معین α از موقعیت تعادل منحرف شود، با استفاده از معادله دینامیک حرکت چرخشی یک جسم صلب، ممان M نیروی بازگردان (11.18) که در آن J ممان اینرسی است. آونگ نسبت به محوری که از نقطه تعلیق O عبور می کند، l فاصله بین محور و مرکز جرم آونگ است، F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα نیروی ترمیم کننده است (علامت منفی نشان می دهد که جهت های F τ و α همیشه مخالف هستند؛ sinα ≈ α زیرا نوسانات آونگ کوچک در نظر گرفته می شود، یعنی آونگ از موقعیت تعادل با زوایای کوچک منحرف می شود. معادله (18.11) را به صورت می نویسیم

یا با گرفتن (18.12) معادله را بدست می آوریم

مشابه (18.8) که راه حل آن به صورت زیر پیدا و نوشته می شود:

(18.13) از فرمول (18.13) چنین بر می آید که برای نوسانات کوچک، آونگ فیزیکی نوسانات هارمونیک با فرکانس چرخه ای ω 0 و یک دوره انجام می دهد.

(18.14) که در آن مقدار L=J/(m ل) - . نقطه O در ادامه خط مستقیم OS که در فاصله کاهش یافته L از نقطه O تعلیق آونگ قرار دارد، نامیده می شود. مرکز نوسانآونگ فیزیکی (شکل 18.3). با اعمال قضیه اشتاینر برای ممان اینرسی محور، متوجه می شویم

یعنی OO" همیشه بزرگتر از OS است. نقطه تعلیق O آونگ و مرکز تاب O" دارند. خاصیت تعویض پذیری: اگر نقطه تعلیق به مرکز نوسان منتقل شود، نقطه تعلیق قبلی O مرکز نوسان جدید خواهد بود و دوره نوسان آونگ فیزیکی تغییر نخواهد کرد.

3. آونگ ریاضییک سیستم ایده آل متشکل از یک نقطه مادی به جرم m است که بر روی یک نخ بی وزن معلق است و تحت تأثیر گرانش در نوسان است. یک تقریب خوب از یک آونگ ریاضی یک توپ کوچک سنگین است که روی یک نخ نازک بلند آویزان است. ممان اینرسی آونگ ریاضی

(8) کجا ل- طول آونگ

از آنجایی که یک آونگ ریاضی یک مورد خاص از یک آونگ فیزیکی است، اگر فرض کنیم که تمام جرم آن در یک نقطه - مرکز جرم متمرکز شده است، با جایگزین کردن (8) به (7)، عبارتی برای دوره پیدا می کنیم. از نوسانات کوچک یک آونگ ریاضی (18.15) با مقایسه فرمول های (18.13) و (18.15)، می بینیم که اگر طول کاهش یافته L آونگ فیزیکی برابر با طول باشد. لپاندول ریاضی، پس دوره های نوسان این آونگ ها یکسان است. به معنای، کاهش طول آونگ فیزیکی- این طول یک آونگ ریاضی است که دوره نوسان آن با دوره نوسان یک آونگ فیزیکی معین منطبق است. برای یک آونگ ریاضی (نقطه مادی با جرم متر، روی یک نخ غیر قابل امتداد بی وزن به طول آویزان شده است لدر میدان گرانشی با شتاب سقوط آزاد برابر با gدر زوایای انحراف کوچک (که از 5-10 درجه زاویه ای بیشتر نباشد) از موقعیت تعادل، فرکانس طبیعی نوسانات:
.

4. جسمی که بر روی یک نخ الاستیک یا عنصر الاستیک دیگر معلق است و در یک صفحه افقی در حال نوسان است. آونگ پیچشی

این یک سیستم نوسانی مکانیکی است که از نیروهای تغییر شکل الاستیک استفاده می کند. در شکل شکل 18.4 آنالوگ زاویه ای یک نوسان ساز هارمونیک خطی را نشان می دهد که نوسانات پیچشی را انجام می دهد. یک دیسک که به صورت افقی قرار دارد، روی یک نخ الاستیک متصل به مرکز جرم آن آویزان است. هنگامی که دیسک از طریق زاویه θ می چرخد، یک لحظه نیرو رخ می دهد مکنترل تغییر شکل پیچشی الاستیک:

جایی که من = منسیممان اینرسی دیسک نسبت به محور است که از مرکز جرم می گذرد، ε شتاب زاویه ای است.

با قیاس با بار روی فنر، می توانید دریافت کنید.