اهداف درس:

دانش آموزان باید بدانند:

• شیب خط نامیده می شود.
• زاویه بین خط مستقیم و محور Ox؛
• معنای هندسی مشتق چیست;
• معادله مماس بر نمودار یک تابع.
• روشی برای ساختن مماس بر سهمی.
• بتواند دانش نظری را در عمل به کار گیرد.

اهداف درس:

آموزشی: ایجاد شرایطی برای دانش آموزان برای تسلط بر سیستم دانش، مهارت ها و توانایی ها با مفاهیم مکانیکی و هندسی یک مشتق.

آموزشی: ایجاد جهان بینی علمی در دانش آموزان.

رشدی: برای ایجاد علاقه شناختی، خلاقیت، اراده، حافظه، گفتار، توجه، تخیل، ادراک دانش آموزان.

روش های سازماندهی فعالیت های آموزشی و شناختی:

• دیداری؛
• کاربردی؛
• با فعالیت ذهنی: استقرایی;
• با توجه به جذب مواد: جستجوی جزئی، تولید مثل؛
• بر اساس درجه استقلال: کار آزمایشگاهی.
• تحریک کننده: تشویق
• کنترل: بررسی پیشانی دهان.

طرح درس

1. تمرینات شفاهی (مشتق را پیدا کنید)
2. پیام دانش آموز با موضوع "دلایل پیدایش آنالیز ریاضی".
3. یادگیری مطالب جدید
4. فیزیک فقط یک دقیقه
5. حل وظایف.
6. کار آزمایشگاهی.
7. جمع بندی درس.
8. اظهار نظر مشق شب.

تجهیزات: پروژکتور چند رسانه ای (ارائه)، کارت ( کار آزمایشگاهی).

در طول کلاس ها

"آدم فقط در جایی به چیزی می رسد که به قدرت خود ایمان داشته باشد"

ال. فویرباخ

I. لحظه سازمانی.

سازماندهی کلاس در طول درس، آمادگی دانش آموزان برای درس، نظم و انضباط.

تعیین اهداف یادگیری برای دانش آموزان، هم برای کل درس و هم برای مراحل جداگانه آن.

اهمیت مطالب مورد مطالعه را هم در این مبحث و هم در کل دوره تعیین کنید.

شمارش شفاهی

1. مشتقات را بیابید:

"، ()"، (4sin x)"، (cos2x)"، (tg x)"، "

2. تست منطق.

الف) عبارت گم شده را وارد کنید.

5x 3 -6x	15x 2 -6	30 برابر
2sinx	2cosx…
cos2x	… …

II. پیام دانش آموز با موضوع "دلایل پیدایش آنالیز ریاضی".

جهت کلی توسعه علم در نهایت با الزامات تمرین فعالیت انسانی تعیین می شود. وجود دولت های باستانی با سیستم مدیریت سلسله مراتبی پیچیده بدون توسعه کافی حساب و جبر غیرممکن بود، زیرا جمع آوری مالیات، سازماندهی تدارکات ارتش، ساختن کاخ ها و اهرام و ایجاد سیستم های آبیاری نیازمند محاسبات پیچیده بود. در طول رنسانس، ارتباطات بین بخش های مختلف جهان قرون وسطی گسترش یافت، تجارت و صنایع دستی توسعه یافت. افزایش سریع سطح فنی تولید آغاز می شود و منابع جدید انرژی که با تلاش عضلانی انسان یا حیوانات مرتبط نیستند به صورت صنعتی مورد استفاده قرار می گیرند. در قرن XI-XII، ماشین های پرکننده و بافندگی ظاهر شد، و در اواسط قرن پانزدهم - دستگاه چاپ. به دلیل نیاز به توسعه سریع تولید اجتماعی در این دوره، جوهره علوم طبیعی که از قدیم الایام توصیفی بود تغییر کرد. هدف علوم طبیعی مطالعه عمیق فرآیندهای طبیعی است نه اشیا. ریاضیات، که با کمیت های ثابت عمل می کرد، با علوم طبیعی توصیفی دوران باستان مطابقت داشت. لازم بود یک دستگاه ریاضی ایجاد شود که نه نتیجه فرآیند، بلکه ماهیت جریان و الگوهای ذاتی آن را توصیف کند. در نتیجه، در پایان قرن دوازدهم، نیوتن در انگلستان و لایب نیتس در آلمان اولین مرحله ایجاد تجزیه و تحلیل ریاضی را به پایان رساندند. چیست " تجزیه و تحلیل ریاضی"؟ چگونه می توان ویژگی های هر فرآیندی را مشخص و پیش بینی کرد؟ استفاده از این ویژگی ها؟ برای نفوذ عمیق تر به ماهیت یک پدیده خاص؟

III. یادگیری مطالب جدید.

بیایید مسیر نیوتن و لایب نیتس را دنبال کنیم و ببینیم چگونه می‌توانیم فرآیند را با در نظر گرفتن تابعی از زمان تحلیل کنیم.

اجازه دهید چندین مفهوم را معرفی کنیم که بیشتر به ما کمک می کند.

نمودار تابع خطی y=kx+b یک خط مستقیم است، عدد k نامیده می شود شیب خط مستقیم k=tg، زاویه خط مستقیم کجاست، یعنی زاویه بین این خط مستقیم و جهت مثبت محور Ox.

تصویر 1

نمودار تابع y=f(x) را در نظر بگیرید. بیایید یک سکنت را از هر دو نقطه رسم کنیم، برای مثال، AM را قطع کنیم. (شکل 2)

ضریب زاویه ای مقطع k=tg. در یک مثلث قائم الزاویه AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

شکل 2

شکل 3

اصطلاح «سرعت» به خودی خود وابستگی تغییر در یک کمیت به تغییر در مقدار دیگر را مشخص می‌کند و دومی لزوماً نباید زمان باشد.

بنابراین، مماس زاویه میل مقطع tg = .

ما علاقه مند به وابستگی تغییرات در مقادیر در یک دوره زمانی کوتاهتر هستیم. اجازه دهید افزایش آرگومان را به صفر هدایت کنیم. سپس سمت راست فرمول مشتق تابع در نقطه A است (توضیح دهید که چرا). اگر x -> 0 باشد، نقطه M در طول نمودار به نقطه A حرکت می کند، به این معنی که خط مستقیم AM به خط مستقیم AB نزدیک می شود. مماس بر نمودار تابع y = f(x) در نقطه A. (شکل 3)

زاویه تمایل سکنت به زاویه میل مماس میل می کند.

معنای هندسی مشتق این است که مقدار مشتق در یک نقطه برابر است با شیب مماس بر نمودار تابع در نقطه.

معنای مکانیکی مشتق.

مماس زاویه مماس مقداری است که سرعت تغییر آنی تابع را در یک نقطه مشخص نشان می دهد، یعنی مشخصه جدیدی از فرآیند مورد مطالعه. لایب نیتس این کمیت را نامید مشتقو نیوتن گفت که خود مشتق آنی نامیده می شود سرعت.

IV. دقیقه تربیت بدنی

V. حل مسائل.

شماره 91 (1) صفحه 91 - روی تخته نشان می دهد.

ضریب زاویه ای مماس بر منحنی f(x) = x 3 در نقطه x 0 – 1 مقدار مشتق این تابع در x = 1 است. f’(1) = 3x 2 ; f'(1) = 3.

شماره 91 (3.5) – دیکته.

شماره 92 (1) - در صورت تمایل روی تخته.

شماره 92 (3) - به طور مستقل با تست شفاهی.

شماره 92 (5) - در هیئت مدیره.

پاسخ ها: 45 0، 135 0، 1.5 و 2.

VI. کار آزمایشگاهی.

هدف: توسعه مفهوم "معنای مکانیکی یک مشتق".

کاربرد مشتقات در مکانیک.

قانون وضع شده است حرکت مستقیمنقاط x = x(t)، t.

1. میانگین سرعت حرکت در یک بازه زمانی مشخص؛
2. سرعت و شتاب در زمان t 04
3. لحظات توقف؛ آیا نقطه پس از لحظه توقف در همان جهت به حرکت خود ادامه می دهد یا در جهت مخالف شروع به حرکت می کند.
4. بالاترین سرعت حرکت در یک بازه زمانی مشخص.

کار بر اساس 12 گزینه انجام می شود، وظایف بر اساس سطح دشواری متمایز می شوند (گزینه اول پایین ترین سطح دشواری است).

قبل از شروع کار، گفتگو در مورد سوالات زیر:

1. معنای فیزیکی مشتق جابجایی چیست؟ (سرعت).
2. آیا می توان مشتق سرعت را پیدا کرد؟ آیا این کمیت در فیزیک استفاده می شود؟ به آن چه گفته می شود؟ (شتاب).
3. سرعت لحظه ایبرابر با صفر در مورد حرکت بدن در این لحظه چه می توان گفت؟ (این لحظه توقف است).
4. معنای فیزیکی عبارات زیر چیست: مشتق حرکت در نقطه t 0 برابر با صفر است. آیا مشتق هنگام عبور از نقطه t 0 تغییر می کند؟ (بدن می ایستد، جهت حرکت به عکس تغییر می کند).

نمونه کار دانشجویی

x(t)= t 3 -2 t 2 +1، t 0 = 2.

شکل 4

در جهت مخالف.

بیایید یک نمودار شماتیک از سرعت رسم کنیم. بالاترین سرعت در نقطه به دست می آید

t=10، v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260

شکل 5

VII. جمع بندی درس

1) معنای هندسی مشتق چیست؟
2) معنای مکانیکی مشتق چیست؟
3) در مورد کار خود نتیجه بگیرید.

هشتم. اظهار نظر در مورد تکالیف

صفحه 90. شماره ۹۱(۲،۴،۶)، شماره ۹۲(۲،۴،۶،)، ص ۹۲ شماره ۱۱۲.

کتاب های استفاده شده

• کتاب درسی جبر و آغاز تحلیل.
  نویسنده: Yu.M. کولیاژین، ام.و. تکاچوا، N.E. فدورووا، M.I. شبونینا.
  ویرایش شده توسط A. B. Zhizhchenko.
• جبر یازدهم. طرح های درسی بر اساس کتاب درسی Sh.A. Alimov، Yu. M. Kolyagin، Yu. V. Sidorov. قسمت 1.
• منابع اینترنتی: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

مشتق چیست؟
تعریف و معنای تابع مشتق

بسیاری از قرار دادن غیرمنتظره این مقاله در درس نویسنده من در مورد مشتق تابع یک متغیر و کاربردهای آن شگفت زده خواهند شد. از این گذشته، همانطور که از دوران مدرسه بوده است: کتاب درسی استاندارد اول از همه تعریف مشتق، معنای هندسی و مکانیکی آن را می دهد. سپس، دانش‌آموزان مشتقات توابع را با تعریف پیدا می‌کنند، و در واقع تنها در این صورت است که تکنیک تمایز را با استفاده از جداول مشتق.

اما از دیدگاه من، رویکرد زیر عمل گرایانه تر است: اول از همه، توصیه می شود به خوبی درک کنید حد یک تابعو به ویژه کمیت های بی نهایت کوچک. حقیقت این هست که تعریف مشتق بر اساس مفهوم حد است، که در دوره مدرسه ضعیف در نظر گرفته شده است. به همین دلیل است که بخش قابل توجهی از مصرف کنندگان جوان گرانیت دانش، ماهیت مشتق را درک نمی کنند. بنابراین، اگر درک کمی از حساب دیفرانسیل دارید یا یک مغز عاقل با موفقیت از شر این توشه خلاص شده است، لطفا با محدودیت های عملکرد. در همان زمان، راه حل آنها را استاد/به خاطر بسپارید.

همان حس عملی حکم می کند که اولاً سودمند است پیدا کردن مشتقات را بیاموزید، شامل مشتقات توابع پیچیده. تئوری تئوری است، اما، همانطور که می گویند، شما همیشه می خواهید تفاوت ایجاد کنید. در این زمینه بهتر است دروس پایه ذکر شده و شاید هم کار شود استاد تمایزبدون اینکه حتی به اصل اعمال خود پی ببرند.

توصیه می کنم پس از خواندن مقاله با مطالب موجود در این صفحه شروع کنید. ساده ترین مشکلات با مشتقات، که در آن، به طور خاص، مشکل مماس بر نمودار یک تابع در نظر گرفته می شود. اما شما می توانید صبر کنید. واقعیت این است که بسیاری از کاربردهای مشتق نیازی به درک آن ندارند، و جای تعجب نیست که درس نظری بسیار دیر ظاهر شد - زمانی که من نیاز به توضیح داشتم. یافتن فواصل افزایش/کاهش و افراطکارکرد. علاوه بر این، او برای مدت طولانی در این موضوع بود. توابع و نمودارها"، تا اینکه بالاخره تصمیم گرفتم آن را زودتر بگذارم.

بنابراین قوری های عزیز در جذب ذات مشتق مانند حیوانات گرسنه عجله نکنید زیرا اشباع بی مزه و ناقص خواهد بود.

مفهوم افزایش، کاهش، حداکثر، حداقل یک تابع

زیاد وسایل کمک آموزشیمنجر به مفهوم مشتق با استفاده از برخی مسائل عملی شد و من نیز به مثال جالبی رسیدم. تصور کنید که قرار است به شهری سفر کنیم که از راه های مختلف می توان به آن دسترسی داشت. بیایید فورا مسیرهای پیچ در پیچ منحنی را کنار بگذاریم و فقط بزرگراه های مستقیم را در نظر بگیریم. با این حال، جهت های خط مستقیم نیز متفاوت است: می توانید در امتداد یک بزرگراه صاف به شهر بروید. یا در امتداد یک بزرگراه تپه ای - بالا و پایین، بالا و پایین. جاده دیگری فقط سربالایی می رود و یکی دیگر همیشه سرازیر می شود. علاقه مندان به اکستریم مسیری را از طریق تنگه ای با صخره شیب دار و صعود شیب دار انتخاب می کنند.

اما ترجیحات شما هر چه باشد، توصیه می شود که منطقه را بشناسید یا حداقل آن را پیدا کنید نقشه توپوگرافی. اگر چنین اطلاعاتی وجود نداشته باشد چه؟ پس از همه، شما می توانید، به عنوان مثال، یک مسیر صاف را انتخاب کنید، اما در نتیجه به یک پیست اسکی با فنلاندی های شاد برخورد کنید. این یک واقعیت نیست که یک ناوبر یا حتی یک تصویر ماهواره ای داده های قابل اعتمادی را ارائه دهد. بنابراین، خوب است که تسکین مسیر را با استفاده از ریاضیات رسمی کنیم.

بیایید به برخی از جاده ها نگاه کنیم (نمای جانبی):

در هر صورت، یک واقعیت ابتدایی را به شما یادآوری می کنم: سفر اتفاق می افتد از چپ به راست. برای سادگی، فرض می کنیم که تابع مداومدر منطقه مورد نظر

این نمودار چه ویژگی هایی دارد؟

در فواصل زمانی تابع افزایش، یعنی هر مقدار بعدی آن بیشترقبلی. به طور کلی، برنامه در حال اجرا است پایین بالا(از تپه بالا می رویم). و در بازه تابع کاهش می دهد- هر مقدار بعدی کمترقبلی، و برنامه ما فعال است بالا پایین(از شیب پایین می رویم).

به نکات خاصی هم توجه کنیم. در نقطه ای که می رسیم بیشترین، به این معنا که وجود داردچنین بخشی از مسیر که در آن مقدار بزرگترین (بالاترین) خواهد بود. در همان نقطه به دست می آید کمترین، و وجود داردهمسایگی آن که مقدار آن کوچکترین (کمترین) است.

ما در کلاس به اصطلاحات و تعاریف دقیق تری خواهیم پرداخت. در مورد حداکثر تابع، اما در حال حاضر اجازه دهید یکی دیگر را مطالعه کنیم ویژگی مهم: در فواصل زمانی عملکرد افزایش می یابد، اما افزایش می یابد در سرعت های مختلف. و اولین چیزی که توجه شما را جلب می کند این است که نمودار در طول بازه زمانی اوج می گیرد خیلی باحال تر, از در فاصله . آیا می توان شیب جاده را با استفاده از ابزارهای ریاضی اندازه گیری کرد؟

نرخ تغییر عملکرد

ایده این است: بیایید مقداری ارزش بگیریم ("دلتا x" را بخوانید)، که با آن تماس خواهیم گرفت افزایش آرگومان، و بیایید شروع به "آزمایش آن" در نقاط مختلف مسیر خود کنیم:

1) به سمت چپ ترین نقطه نگاه می کنیم: با گذر از مسافت، از شیب به ارتفاع (خط سبز) بالا می رویم. کمیت نامیده می شود افزایش تابعو در این حالت این افزایش مثبت است (تفاوت مقادیر در امتداد محور بزرگتر از صفر است). بیایید نسبتی ایجاد کنیم که معیاری برای شیب جاده ما باشد. بدیهی است که این یک عدد بسیار خاص است و از آنجایی که هر دو افزایش مثبت هستند، پس .

توجه! تعیین ها هستند ONEنماد، یعنی شما نمی توانید "دلتا" را از "X" جدا کنید و این حروف را جداگانه در نظر بگیرید. البته، نظر به نماد افزایش تابع نیز مربوط می شود.

بیایید ماهیت کسری به دست آمده را با معنی بیشتری بررسی کنیم. اجازه دهید ابتدا در ارتفاع 20 متری (در نقطه سیاه سمت چپ) باشیم. پس از طی مسافت متری (خط قرمز سمت چپ) خود را در ارتفاع 60 متری خواهیم دید. سپس افزایش تابع خواهد بود متر (خط سبز) و: . بدین ترتیب، در هر متراین بخش از جاده قد افزایش می یابد میانگیندر 4 متر... تجهیزات کوهنوردی خود را فراموش کرده اید؟ =) به عبارت دیگر، رابطه ساخته شده میانگین نرخ تغییر (در این مورد، رشد) تابع را مشخص می کند.

توجه داشته باشید : مقادیر عددینمونه مورد بررسی فقط تقریباً با نسبت های نقاشی مطابقت دارد.

2) حالا به همان فاصله از سمت راست ترین نقطه سیاه برویم. در اینجا افزایش ملایم تر است، بنابراین افزایش (خط زرشکی) نسبتاً کم است و نسبت در مقایسه با مورد قبلیبسیار متواضع خواهد بود به طور نسبی، متر و نرخ رشد تابعاست . یعنی اینجا به ازای هر متر مسیر وجود دارد میانگینارتفاع نیم متری

3) کمی ماجراجویی در دامنه کوه. بیایید به نقطه سیاه بالای واقع در محور ارتین نگاه کنیم. بیایید فرض کنیم که این علامت 50 متر است. ما دوباره بر فاصله غلبه می کنیم، در نتیجه خود را پایین تر می یابیم - در سطح 30 متر. از آنجایی که حرکت انجام می شود بالا پایین(در جهت "ضد" محور)، سپس نهایی افزایش تابع (ارتفاع) منفی خواهد بود: متر (قسمت قهوه ای در نقاشی). و در این مورد ما قبلاً در مورد آن صحبت می کنیم نرخ کاهشامکانات: یعنی به ازای هر متر مسیر این قسمت از ارتفاع کم می شود میانگیندر 2 متر در نقطه پنجم مراقب لباس خود باشید.

حال بیایید این سوال را از خود بپرسیم: چه مقداری از "استاندارد اندازه گیری" برای استفاده بهتر است؟ کاملاً قابل درک است، 10 متر بسیار ناهموار است. یک دوجین خوب هوموک به راحتی روی آنها قرار می گیرد. بدون توجه به دست اندازها، ممکن است دره عمیقی در زیر وجود داشته باشد و پس از چند متر سمت دیگر آن با شیب تند تر وجود دارد. بنابراین، با یک ده متر، توصیف قابل فهمی از چنین بخش هایی از مسیر از طریق نسبت دریافت نخواهیم کرد.

از بحث فوق نتیجه زیر حاصل می شود: هر چه مقدار کمتر باشد، هرچه توپوگرافی جاده را با دقت بیشتری توصیف کنیم. علاوه بر این، حقایق زیر صادق است:

– برای هرکسنقاط بلند کردن شما می توانید یک مقدار (حتی اگر بسیار کوچک) را انتخاب کنید که در محدوده یک افزایش خاص قرار می گیرد. این بدان معنی است که افزایش ارتفاع متناظر مثبت خواهد بود و نابرابری به درستی رشد تابع را در هر نقطه از این فواصل نشان می دهد.

- به همین ترتیب، برای هرچینقطه شیب مقداری وجود دارد که به طور کامل روی این شیب قرار می گیرد. در نتیجه، افزایش متناظر در ارتفاع به وضوح منفی است و نابرابری به درستی کاهش تابع را در هر نقطه از بازه داده شده نشان خواهد داد.

- یک مورد به خصوص جالب زمانی است که نرخ تغییر تابع صفر باشد: . اولاً، افزایش ارتفاع صفر () نشانه یک مسیر صاف است. و ثانیا موقعیت های جالب دیگری نیز وجود دارد که نمونه هایی از آنها را در شکل مشاهده می کنید. تصور کنید که سرنوشت ما را به بالای تپه ای با عقاب های سر به فلک کشیده یا به پایین دره ای با قورباغه های غر زده رسانده است. اگر گام کوچکی در هر جهت بردارید، تغییر ارتفاع ناچیز خواهد بود و می توان گفت که سرعت تغییر تابع در واقع صفر است. این دقیقاً همان تصویری است که در نقاط مشاهده می شود.

بنابراین، ما به یک فرصت شگفت‌انگیز رسیده‌ایم که نرخ تغییر یک تابع را به‌طور دقیق مشخص کنیم. از این گذشته، تجزیه و تحلیل ریاضی این امکان را فراهم می کند که افزایش آرگومان را به صفر هدایت کنیم: یعنی آن را بسازیم. بی نهایت کوچک.

در نتیجه، یک سوال منطقی دیگر مطرح می شود: آیا می توان برای جاده و برنامه آن پیدا کرد عملکرد دیگر، که به ما اطلاع می داددر مورد تمام بخش‌های مسطح، صعودها، فرودها، قله‌ها، دره‌ها و همچنین میزان رشد/کاهش در هر نقطه از مسیر؟

مشتق چیست؟ تعریف مشتق.
معنای هندسی مشتق و دیفرانسیل

لطفا با دقت و نه خیلی سریع بخوانید - مطالب ساده و در دسترس برای همه است! اشکالی ندارد اگر در بعضی جاها چیزی خیلی واضح به نظر نمی رسد، همیشه می توانید بعداً به مقاله بازگردید. بیشتر می گویم، برای درک کامل همه نکات، چندین بار مطالعه تئوری مفید است (توصیه ها به ویژه برای دانش آموزان "فنی" که برای آنها ریاضیات عالی نقش مهمی در روند آموزشی ایفا می کند مرتبط است).

طبیعتاً در تعریف مشتق در یک نقطه آن را با:

به چی رسیدیم؟ و به این نتیجه رسیدیم که برای عملکرد طبق قانون مطابق قرار داده شده است عملکرد دیگر، که نامیده می شود تابع مشتق(یا به سادگی مشتق).

مشتق مشخص می کند نرخ تغییرکارکرد چگونه؟ این ایده از همان ابتدای مقاله مانند یک نخ قرمز اجرا می شود. بیایید یک نکته را در نظر بگیریم حوزه تعریفکارکرد اجازه دهید تابع در یک نقطه مشخص قابل تفکیک باشد. سپس:

1) اگر، پس تابع در نقطه افزایش می یابد. و بدیهی است که وجود دارد فاصله(حتی بسیار کوچک)، حاوی نقطه ای است که در آن تابع رشد می کند، و نمودار آن از پایین به بالا می رود.

2) اگر، پس تابع در نقطه کاهش می یابد. و یک بازه حاوی نقطه ای وجود دارد که در آن تابع کاهش می یابد (گراف از بالا به پایین می رود).

3) اگر، پس بی نهایت نزدیکدر نزدیکی یک نقطه تابع سرعت خود را ثابت نگه می دارد. این اتفاق می افتد، همانطور که اشاره شد، با یک تابع ثابت و در نقاط بحرانی تابع، به خصوص در حداقل و حداکثر امتیاز.

کمی معناشناسی فعل «متمایز کردن» در معنای وسیع به چه معناست؟ متمایز کردن به معنای برجسته کردن یک ویژگی است. با متمایز کردن یک تابع، نرخ تغییر آن را به شکل مشتق تابع "ایزوله" می کنیم. به هر حال، منظور از کلمه "مشتق" چیست؟ تابع اتفاق افتاداز تابع

اصطلاحات با معنای مکانیکی مشتق بسیار موفق تفسیر می شوند :
اجازه دهید قانون تغییر مختصات یک جسم را بسته به زمان و تابع سرعت حرکت یک جسم معین در نظر بگیریم. تابع سرعت تغییر مختصات بدن را مشخص می کند، بنابراین اولین مشتق تابع نسبت به زمان است: . اگر مفهوم "حرکت بدن" در طبیعت وجود نداشت، وجود نداشت مشتقمفهوم "سرعت بدن".

شتاب یک جسم میزان تغییر سرعت است، بنابراین: . اگر مفاهیم اولیه "حرکت بدن" و "سرعت بدن" در طبیعت وجود نداشتند، وجود نداشتند مشتقمفهوم "شتاب بدن".

خلاصه درس بازمعلم GBPOU " دانشکده معلمانشماره 4 سن پترزبورگ"

مارتوسویچ تاتیانا اولگونا

تاریخ: 1393/12/29.

موضوع: معنای هندسی مشتقات.

نوع درس: یادگیری مطالب جدید

روش های تدریس: بصری، تا حدی جستجو

هدف از درس.

مفهوم مماس بر نمودار تابع در یک نقطه را معرفی کنید، معنای هندسی مشتق را دریابید، معادله مماس را استخراج کنید و نحوه یافتن آن را آموزش دهید.

اهداف آموزشی:

دستیابی به درک معنای هندسی مشتق؛ استخراج معادله مماس؛ یادگیری حل مسائل اساسی؛

ارائه تکرار مطالب در مورد موضوع "تعریف مشتق"؛

ایجاد شرایط برای کنترل (خودکنترلی) دانش و مهارت.

وظایف رشدی:

ترویج شکل گیری مهارت ها برای استفاده از تکنیک های مقایسه، تعمیم و برجسته کردن چیز اصلی.

ادامه توسعه افق های ریاضی، تفکر و گفتار، توجه و حافظه.

وظایف آموزشی:

ترویج علاقه به ریاضیات؛

آموزش فعالیت، تحرک، مهارت های ارتباطی.

نوع درس - یک درس ترکیبی با استفاده از فناوری اطلاعات و ارتباطات.

تجهیزات - نصب چند رسانه ای، ارائهمایکروسافتقدرتنقطه.

مرحله درس

زمان

فعالیت های معلم

فعالیت دانشجویی

1. زمان سازماندهی.

موضوع و هدف درس را بیان کنید.

موضوع: معنای هندسی مشتقات.

هدف از درس.

مفهوم مماس بر نمودار تابع در یک نقطه را معرفی کنید، معنای هندسی مشتق را دریابید، معادله مماس را استخراج کنید و نحوه یافتن آن را آموزش دهید.

آماده سازی دانش آموزان برای کار در کلاس.

آمادگی برای کار در کلاس.

درک موضوع و هدف درس.

یادداشت برداری.

2. آمادگی برای یادگیری مطالب جدید از طریق تکرار و به روز رسانی دانش پس زمینه.

سازمان تکرار و به روز رسانی دانش پایه: تعریف مشتق و تدوین معنای فیزیکی آن.

تدوین تعریف مشتق و تنظیم معنای فیزیکی آن. تکرار، به روز رسانی و تثبیت دانش پایه.

سازماندهی تکرار و توسعه مهارت یافتن مشتق تابع توانو توابع ابتدایی

یافتن مشتق این توابع با استفاده از فرمول.

تکرار ویژگی های یک تابع خطی.

تکرار، درک نقاشی ها و اظهارات معلم

3. کار با مواد جدید: توضیح.

توضیح معنای رابطه بین افزایش تابع و افزایش آرگومان

توضیح معنای هندسی مشتق.

معرفی مطالب جدید از طریق توضیحات شفاهی با استفاده از تصاویر و وسایل کمک بصری: ارائه چند رسانه ای با انیمیشن.

درک توضیح، درک، پاسخ به سوالات معلم.

طرح سوال از معلم در صورت مشکل.

درک اطلاعات جدید، درک اولیه و درک آن.

تنظیم سوالات به معلم در صورت مشکل.

ایجاد یادداشت.

فرمول بندی معنای هندسی مشتق.

رسیدگی به سه مورد.

یادداشت برداری، نقاشی کشیدن.

4. کار با مواد جدید

درک اولیه و کاربرد مطالب مورد مطالعه، تثبیت آن.

مشتق در چه نقاطی مثبت است؟

منفی؟

برابر با صفر؟

آموزش یافتن الگوریتمی برای پاسخ به سوالات مطرح شده بر اساس برنامه زمانبندی.

درک، درک و استفاده از اطلاعات جدید برای حل یک مشکل.

5. درک اولیه و کاربرد مطالب مورد مطالعه، تثبیت آن.

پیام شرایط کار

ثبت شرایط تکلیف.

طرح سوال از معلم در صورت مشکل

6. کاربرد دانش: کار مستقل با ماهیت آموزشی.

خودتان مشکل را حل کنید:

کاربرد دانش کسب شده

کار مستقلدر حل مسئله یافتن مشتق از نقاشی. بحث و بررسی و تایید پاسخ ها به صورت دو نفره، طرح سوال از معلم در صورت مشکل.

7. کار با مواد جدید: توضیح.

استخراج معادله مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه.

توضیح مفصلاستخراج معادله مماس بر نمودار یک تابع در یک نقطه با استفاده از ارائه چند رسانه ای برای وضوح، پاسخ به سوالات دانش آموزان.

استخراج معادله مماس همراه با معلم. پاسخ به سوالات معلم.

یادداشت برداری، ایجاد یک نقاشی.

8. کار با مواد جدید: توضیح.

در گفت و گو با دانش آموزان، استخراج الگوریتمی برای یافتن معادله مماس بر نمودار یک تابع معین در یک نقطه معین.

در گفتگو با معلم، الگوریتمی برای یافتن معادله مماس بر نمودار یک تابع معین در یک نقطه معین استخراج کنید.

یادداشت برداری.

پیام شرایط کار

آموزش به کارگیری دانش کسب شده.

سازماندهی جستجو برای راه های حل یک مشکل و اجرای آنها. تجزیه و تحلیل دقیقراه حل ها با توضیح

ثبت شرایط تکلیف.

فرضیات در مورد راه های ممکنحل مشکل هنگام اجرای هر نقطه از برنامه اقدام. حل مسئله با معلم

ثبت راه حل مسئله و پاسخ.

9. کاربرد دانش: کار مستقل با ماهیت آموزشی.

کنترل فردی مشاوره و کمک به دانشجویان در صورت نیاز.

راه حل را با استفاده از یک ارائه بررسی و توضیح دهید.

کاربرد دانش کسب شده

کار مستقل روی حل مشکل یافتن مشتق از نقاشی. بحث و بررسی و تایید پاسخ ها به صورت دو نفره، طرح سوال از معلم در صورت مشکل

10. تکالیف.

§48، مسائل 1 و 3، راه حل را بفهمید و آن را در دفترچه یادداشت کنید، همراه با نقاشی.

№ 860 (2,4,6,8),

پیام تکلیف همراه با نظرات.

ضبط تکالیف.

11. جمع بندی.

تعریف مشتق را تکرار کردیم. معنای فیزیکی مشتق؛ ویژگی های یک تابع خطی

ما فهمیدیم که معنای هندسی مشتق چیست.

ما یاد گرفتیم که چگونه معادله مماس بر نمودار یک تابع معین را در یک نقطه مشخص استخراج کنیم.

تصحیح و شفاف سازی نتایج درس.

فهرست کردن نتایج درس.

12. انعکاس.

1. درس را یافتید: الف) آسان. ب) معمولا؛ ج) دشوار

الف) کاملاً بر آن مسلط شده ام، می توانم آن را اعمال کنم.

ب) آن را یاد گرفته اند، اما به کار بردن آن مشکل است.

ج) متوجه نشدم

3. ارائه چند رسانه ای در کلاس:

الف) به تسلط بر مطالب کمک کرد. ب) به تسلط بر مطالب کمک نکرد.

ج) در جذب مواد تداخل داشته باشد.

انجام بازتاب.

مشتق تابع یکی از موضوعات دشوار در برنامه درسی مدرسه است. هر فارغ التحصیل به این سؤال پاسخ نمی دهد که مشتق چیست.

این مقاله به روشی ساده و واضح توضیح می دهد که مشتق چیست و چرا به آن نیاز است.. ما اکنون برای دقت ریاضی در ارائه تلاش نخواهیم کرد. مهمترین چیز این است که معنی را درک کنید.

بیایید تعریف را به خاطر بسپاریم:

مشتق نرخ تغییر یک تابع است.

شکل نمودارهای سه تابع را نشان می دهد. به نظر شما کدام یک سریعتر رشد می کند؟

پاسخ واضح است - سوم. بالاترین نرخ تغییر یعنی بزرگترین مشتق را دارد.

در اینجا یک مثال دیگر است.

کوستیا، گریشا و ماتوی در همان زمان شغل پیدا کردند. بیایید ببینیم درآمد آنها در طول سال چگونه تغییر کرده است:

نمودار همه چیز را به یکباره نشان می دهد، اینطور نیست؟ درآمد Kostya در شش ماه بیش از دو برابر شد. و درآمد گریشا نیز افزایش یافت، اما کمی. و درآمد Matvey به صفر کاهش یافت. شرایط شروع یکسان است، اما نرخ تغییر تابع، یعنی مشتق، - ناهمسان. در مورد ماتوی، مشتق درآمد او به طور کلی منفی است.

به طور شهودی، ما به راحتی نرخ تغییر یک تابع را تخمین می زنیم. اما چگونه این کار را انجام دهیم؟

چیزی که ما واقعاً به آن نگاه می کنیم این است که نمودار یک تابع با چه شدتی بالا (یا پایین) می رود. به عبارت دیگر، با تغییر x چقدر سریع y تغییر می کند؟ بدیهی است که یک تابع در نقاط مختلف می تواند مقادیر مشتق متفاوتی داشته باشد - یعنی می تواند سریعتر یا کندتر تغییر کند.

مشتق یک تابع نشان داده می شود.

ما به شما نشان خواهیم داد که چگونه آن را با استفاده از نمودار پیدا کنید.

نمودار برخی از تابع ها رسم شده است. بیایید یک نقطه با یک آبسیسا روی آن بگیریم. اجازه دهید یک مماس بر نمودار تابع در این نقطه رسم کنیم. ما می خواهیم تخمین بزنیم که نمودار یک تابع با چه شدتی بالا می رود. یک مقدار مناسب برای این است مماس زاویه مماس.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با مماس زاویه مماس کشیده شده به نمودار تابع در این نقطه.

لطفاً توجه داشته باشید که به عنوان زاویه تمایل مماس، زاویه بین مماس و جهت مثبت محور را در نظر می گیریم.

گاهی اوقات دانش آموزان می پرسند مماس بر نمودار یک تابع چیست؟ این یک خط مستقیم است که یک نقطه مشترک با نمودار این بخش دارد و همانطور که در شکل ما نشان داده شده است. به نظر مماس بر دایره است.

بیا پیداش کنیم ما به یاد داریم که مماس یک زاویه حاد در راست گوشهبرابر با نسبت طرف مقابل به ضلع مجاور. از مثلث:

ما مشتق را با استفاده از یک نمودار بدون دانستن فرمول تابع پیدا کردیم. چنین مشکلاتی اغلب در امتحان دولتی واحد در ریاضیات زیر عدد یافت می شود.

رابطه مهم دیگری نیز وجود دارد. به یاد بیاورید که خط مستقیم با معادله داده می شود

کمیت در این معادله نامیده می شود شیب یک خط مستقیم. برابر است با مماس زاویه میل خط مستقیم به محور.

.

ما آن را دریافت می کنیم

بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم. معنای هندسی مشتق را بیان می کند.

مشتق تابع در یک نقطه برابر است با شیب مماس رسم شده به نمودار تابع در آن نقطه.

به عبارت دیگر مشتق برابر با مماس زاویه مماس است.

قبلاً گفتیم که یک تابع می تواند مشتقات مختلفی در نقاط مختلف داشته باشد. بیایید ببینیم مشتق چگونه با رفتار تابع مرتبط است.

بیایید یک نمودار از یک تابع رسم کنیم. اجازه دهید این تابع در برخی مناطق افزایش و در برخی دیگر کاهش یابد و با نرخ های مختلف. و اجازه دهید این تابع حداکثر و حداقل امتیاز داشته باشد.

در یک نقطه عملکرد افزایش می یابد. مماس بر نمودار رسم شده در نقطه، یک زاویه تند با جهت مثبت محور تشکیل می دهد. این بدان معنی است که مشتق در نقطه مثبت است.

در نقطه ای که عملکرد ما کاهش می یابد. مماس در این نقطه با جهت مثبت محور یک زاویه منفرد تشکیل می دهد. از آنجایی که مماس یک زاویه منفی منفی است، مشتق در نقطه منفی است.

این چیزی است که اتفاق می افتد:

اگر تابعی در حال افزایش باشد، مشتق آن مثبت است.

اگر کاهش یابد، مشتق آن منفی است.

در نقاط حداکثر و حداقل چه اتفاقی خواهد افتاد؟ می بینیم که در نقاط (حداکثر نقطه) و (نقطه حداقل) مماس افقی است. بنابراین، مماس زاویه مماس در این نقاط برابر با صفر، و مشتق نیز صفر است.

نقطه - حداکثر امتیاز. در این مرحله، افزایش تابع با کاهش جایگزین می شود. در نتیجه، علامت مشتق در نقطه از "بعلاوه" به "منفی" تغییر می کند.

در نقطه - حداقل نقطه - مشتق نیز صفر است، اما علامت آن از "منهای" به "بعلاوه" تغییر می کند.

نتیجه‌گیری: با استفاده از مشتق می‌توانیم هر چیزی را که در مورد رفتار یک تابع مورد علاقه ماست، دریابیم.

اگر مشتق مثبت باشد، تابع افزایش می یابد.

اگر مشتق منفی باشد، تابع کاهش می یابد.

در حداکثر نقطه، مشتق صفر است و علامت "بعلاوه" را به "منفی" تغییر می دهد.

در حداقل نقطه، مشتق نیز صفر است و علامت "منهای" را به "بعلاوه" تغییر می دهد.

بیایید این نتایج را در قالب یک جدول بنویسیم:

	افزایش	حداکثر امتیاز	کاهش می دهد	حداقل امتیاز	افزایش
+	0	-	0	+

اجازه دهید دو توضیح کوچک ارائه دهیم. هنگام حل مشکلات USE به یکی از آنها نیاز خواهید داشت. دیگری - در سال اول، با مطالعه جدی تر از توابع و مشتقات.

ممکن است مشتق یک تابع در نقطه ای برابر با صفر باشد، اما تابع در این نقطه نه ماکزیمم داشته باشد و نه حداقل. این به اصطلاح است :

در یک نقطه مماس بر نمودار افقی و مشتق آن صفر است. با این حال، قبل از نقطه، تابع افزایش یافته است - و بعد از نقطه به افزایش ادامه می دهد. علامت مشتق تغییر نمی کند - همانطور که بود مثبت می ماند.

همچنین اتفاق می افتد که در نقطه حداکثر یا حداقل مشتق وجود ندارد. در نمودار، این مربوط به یک شکست شدید است، زمانی که کشیدن مماس در یک نقطه مشخص غیرممکن است.

اگر تابع نه با نمودار، بلکه با فرمول داده شود، مشتق را چگونه می توان پیدا کرد؟ در این مورد اعمال می شود

موضوع. مشتق. معنای هندسی و مکانیکی مشتق

اگر این حد وجود داشته باشد، گفته می شود که تابع در یک نقطه قابل تمایز است. مشتق تابع با (فرمول 2) نشان داده می شود.

1. معنای هندسی مشتق. بیایید به نمودار تابع نگاه کنیم. از شکل 1 مشخص است که برای هر دو نقطه A و B از نمودار تابع، فرمول 3 را می توان نوشت). این شامل زاویه تمایل مقطع AB است.

بنابراین، نسبت اختلاف برابر با شیب سکنت است. اگر نقطه A را ثابت کنید و نقطه B را به سمت آن حرکت دهید، آنگاه بدون محدودیت کاهش می یابد و به 0 نزدیک می شود و مقطع AB به مماس AC نزدیک می شود. بنابراین، حد نسبت اختلاف برابر با شیب مماس در نقطه A است. این منجر به نتیجه می شود.

مشتق تابع در یک نقطه، شیب مماس بر نمودار این تابع در آن نقطه است. این معنای هندسی مشتق است.

1. معادله مماس . اجازه دهید معادله مماس بر نمودار تابع در یک نقطه را استخراج کنیم. در حالت کلی معادله خط مستقیم با ضریب زاویه ای به صورت زیر است: . برای یافتن b از این که مماس از نقطه A عبور می کند استفاده می کنیم: . این دلالت می کنه که: . با جایگزینی این عبارت به جای b، معادله مماس (فرمول 4) به دست می آید.