Kako mogu izgraditi piramidu? Na površini r Konstruiramo bilo koji poligon, poput pentagona ABCDE. Izvan aviona r Uzmite poantu S. Spajanjem segmenata poanti sa svim točkama poligona, dobivamo piramidu Sabcde (Sl.).

Point S se zove vjerči poligon abcde - bazaova piramida. Dakle, piramida s Vertex S i bazom ABCDE kombinacija svih segmenata, gdje je m ∈ abcde.

Trougles Sab, SBC, SCD, SDE, more se nazivaju bočne ivice Piramide, zajedničke strane SA, SB, SC, SD, SE - bočna rebra.

Piramide se zovu trokutasti, četverokutan, P-ugljen Ovisno o broju baza. Na slici. Slike su date trokutaste, četverokutne i šesterokutne piramide.

Naziva se avion koji prolazi kroz vrh piramide i osnovne dijagonale dijagonala, a rezultirajući odjeljak - dijagonala. Na slici. 186 Jedan od dijagonalnih dijelova šesterokutne piramide zasjenjeni su.

Segment okomit koji se provodi kroz vrntex piramide do ravnine baze naziva se visina piramide (krajevi ovog segmenta su vrhunac piramide i bazu okomiče).

Piramida zvana pravoAko je osnova poligona ispravnog piramide i vrh piramide dizajnirani do svog centra.

Sva strana lica desne piramide su u skladu s trouglovima bez. U pravoj piramidi, sva strana rebara u skladu.

Visina bočnog lica desne piramide, izvedena iz njene vertexa, zove se apofističanpiramide. Svi apofemi desne piramide sudjeluju.

Ako odredite stranu baze alii apofem kroz h.Tada je područje jedne bočno lice piramide 1/2 ah.

Iznos površine svih strana lica piramide se zove bočni površinski prostorpiramide i označavaju sa strane.

Budući da se bočna površina ispravne piramide sastoji od n. Kongrevna lica

S strane. \u003d 1/2 ahn. \u003d P. h. / 2 ,

gde je p perimetar baze piramide. Otuda,

S strane. \u003d P. h. / 2

i.E. bočna površina desne piramide jednaka je polovini rada oboda baze na Apophemu.

Područje pune površine piramide izračunava se formulom

S \u003d s ocn + S strane. .

Glasnoća piramide je jedna trećina proizvoda svoje baze s OCN-a. Do visine H:

V \u003d 1/3 s OCN. N.

Povlačenje ovoga i neke druge formule dat će se u jednom od sljedećih poglavlja.

Sada ćemo napraviti piramidu na drugi način. Neka se dat višestruki kut, na primjer, pet maršira, iz vrhove s (Sl.).

Izvodimo avion r Tako da pređe sve ivice ovog višestrukog ugla na različitim točkama A, B, C, D, E (Sl.). Tada se piramida Sabcde-a može posmatrati kao raskrižje višestrukih kuta i pola prostora sa granicom ru kojem se nalazi Vertex S.

Očito je broj svih lica piramide može biti proizvoljna, ali ne manja od četiri. Pri prelasku trokutastog ugla, trokutasta piramida dobiva se avionom, koji ima četiri lica. Bilo koja trokutasta piramida se ponekad naziva tetrahedronŠta znači tetraedron.

Skraćena piramida Možete dobiti ako piramida pređe ravninu paralelno sa osnovnom ravninom.

Na slici. Daje se slika četverokutne skraćene piramide.

Nazivaju se i srođene piramide trokutasti, četverokutan, n-ugljen Ovisno o broju baza. Od izgradnje skraćene piramide slijedi da ima dvije baze: gornje i donje. Osnove skraćene piramide su dva poligona čija je strana paralelna. Bočna lica skraćene piramide - trapezoidi.

Visina Skraćena piramida naziva se okomitim segmentom koji se provodi iz bilo koje točke gornje baze do donje ravnine.

Pravilna skraćena piramida Zove se dio desne piramide, zaključen između baze i aviona presjeka, paralelno s osnovom. Visina bočnog lica ispravne skraćene piramide (trapezijum) se zove apofističan.

Može se dokazati da su u desnom skraćenoj piramidi bočna rebara u skladu sa sva su bočna lica u skladu, svi apofimi su u skladu.

Ako u desnoj skraćenoj n.Smrznuta piramida kroz ali i b N. odrediti dužinu bočne strane gornje i donje baze i kroz h. - Dužina apohema, a zatim površina svakog bočnog lica piramide jednaka je

1 / 2 (ali + b N.) h.

Zbroj područja svih strana lica piramide naziva se površinom bočne površine i označava se sa strane. . Očito, za desno skraćeno n.Smrznuta piramida

S strane. \u003d. n. 1 / 2 (ali + b N.) h..

Kao pa\u003d R I. nB N.\u003d P 1 - perimetri baze skraćene piramide, zatim

S strane. \u003d 1/2 (P + P 1) h,

i.E., bočna površina ispravne skraćene piramide jednaka je pola količine količine perimetra njegovih baza na apofemu.

Odjeljak paralelno sa postoljem piramide

Teorem. Ako piramida pređe ravninu paralelno sa bazom, onda:

1) bočna rebra i visina podijeljeni su u proporcionalne dijelove;

2) u odjeljku će ispasti poligon, sličan tlu;

3) Podsječno područje i baze uključuju kvadrate njihovih udaljenosti iz vrha.

Teorem je dovoljan da dokaže trokutastu piramidu.

Budući da paralelni avioni presijecaju treću ravninu paralelnom direktnom, a zatim (AB) || (A 1 u 1), (BC) || (u 1 C 1), (AS) || (1 c 1) (Sl.).

Paralelno ravno uglova rezanja proporcionalnih dijelova, i zato

$$ \\ frac (\\ lijevo | \\ desno |) (\\ lijevo | (SA_1) \\ desno |) \u003d \\ frac (\\ lijevo | \\ desno |) (\\ lijevo | \\ desno | ) \u003d \\ Frac (\\ lijevo | (sc) \\ desno |) (\\ lijevo | (SC_1) \\ desno |) $$

Slijedom toga, Δsab ~ Δsa 1 b 1 i

$$ \\ frac (\\ lijevo | \\ desno |) (\\ lijevo | (A_ (1) b_1) \\ desno |) \u003d \\ frac (\\ lijevo | \\ desno |) (\\ lijevo | (sb_1) ) \\ Desno |) $$

ΔSBC ~ Δsb 1 c 1 i

$$ \\ frac (\\ lijevo | \\ desno |) (\\ lijevo | (B_ (1) c_1) \\ desno |) \u003d \\ frac (\\ lijevo | \\ desno |) (\\ lijevo | (sb_1) ) \\ Desno |) \u003d \\ frac (\\ lijevo | (SC) \\ desno |) (\\ lijevo | (SC_1) \\ desno |) $$

Na ovaj način,

$$ \\ frac (\\ lijevo | \\ desno |) (\\ lijevo | (A_ (1) B_1) \\ desno |) \u003d \\ frac (\\ lijevo | (BC) (B_ (1) c_1) \\ desno |) \u003d \\ frac (\\ lijevo | (AC) \\ desno |) (\\ lijevo | (A_ (1) c_1) \\ desno |) $$

Odgovarajući uglovi ABC-a i 1 b 1 B 1 C 1 su ustođeni, kao uglovi s paralelnim i podjednako režirani stranci. stoga

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Područje takvih trouglova pripada kao trgovi odgovarajućih stranaka:

$$ \\ frac (s_ (abc)) (s_ (a_1 b_1 c_1) \u003d \\ frac (\\ lijevo | (AB) \\ desno | ^ 2) (\\ lijevo | b_1) \\ desno | ^ 2) \\ desno | ^ 2 ) $$.

$$ \\ frac (\\ lijevo | \\ desno |) (\\ lijevo | (A_ (1) b_1) \\ desno |) \u003d \\ frac (\\ lijevo | (sh_1 | (sh_1) ) \\ Desno |) $$

Otuda,

$$ \\ frac (s_ (abc)) (s_ (a_1 b_1 c_1) \u003d \\ frac (\\ lijevo | (sh) \\ desno | ^ 2) (\\ lijevo | \\ desno | ^ 2) $$

Teorem. Ako se dvije piramide s jednakim visinama seziraju na istoj udaljenosti od vrhova s \u200b\u200bavionima, paralelnim bazama, tada su presjeci proporcionalni na terenu.

Neka je (prokletstvo 84) u i u 1. baznoj površini dvije piramide, H je visina svakog od njih, b. i b. 1 - presjek područja po avionima, paralelnim bazama i uklonjene iz vrhova na istoj udaljenosti h..

Prema prethodnoj teoremu, imat ćemo:

$$ \\ frac (b) (b) \u003d \\ frac (h ^ 2) \\: i \\: \\ frac (b_1) (b_1) \u003d \\ frac (h ^ 2) $ $
od
$$ \\ frac (b) (b) \u003d \\ frac (b_1) (B_1) \\: ili \\: \\ frac (b) (b_1) \u003d \\ frac (b) (b_1) $$

Korolija. Ako je u 1, onda b. = b. 1, I.E. ako su dvije piramide jednake s jednakim visinama baze, jednak je, jednak je odjeljcima jednakim vertexu.

Ostali materijali

Tri poglavlje

Polihedra

1. prevlakina i piramida

Svojstva paralelnih presjeka u piramidi

74. Teorem. Ako je piramida (Prokletstvo 83) prešao je avion paralelno sa bazom, a zatim:

1) bočni rebra i visina podijeljeni su u ovaj avion na proporcionalne dijelove;

2) presjek presjeka pokaže poligon (abcde. ), slična osnova;

3) podsječno područje i baze uključuju kvadrate njihovih udaljenosti iz vrha.

1) ravno aB i AB se mogu smatrati linijama raskrižja dva paralelna aviona (baze i secinsa) trećeg plana ASB; tako aB|| AB (§ 16). Iz istog razloga bC.|| BC, cD|| CD, ... i at.|| am; Samim tim

S. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: / sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:A \u003d S. b. / b.B \u003d S. c. / c.C \u003d ... \u003d s m. / m.M.

2) od sličnosti asb trouglova i sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:S. b., a zatim dipl i b.S. c. I tako dalje. Položimo:

AB / aB \u003d BS. / bS. ; BS. / bS. \u003d BC. / bC. ,

AB / aB \u003d BC. / bC.

BC. / bC. \u003d Cs. / cS. ; CS. / cS. \u003d CD / cD odakle je bc. / bC. \u003d CD / cD .

Dokažem i proporcionalnost drugih strana poligona ABCDE-a i abcde.. Od, štoviše, ovi su poligoni jednaki odgovarajućim uglovima (u skladu sa paralelnim i jednako režiranim stranama), tada su slične.

3) sličnosti poligona uključuju kao kvadrati sličnih stranaka; tako

75. Posljedica. U desnom skraćenoj piramidu gornja je baza ispravan poligon, sličan donjim osnovi, a bočna lica suštine jednakog i jednakog trapeza(Prokletstvo 83).

Naziva se visina bilo kojeg od ovih trapeza apofističan Pravilna skraćena piramida.

76. Teorema. Ako se dvije piramide s jednakim visinama seziraju na istoj udaljenosti od vrhova s \u200b\u200bavionima, paralelnim bazama, tada su presjeci proporcionalni na terenu.

Neka (prokletstvo 84) u i na 1. kvadratu baze dve piramide, H je iz njih iz svih njih, b. i b. 1 - presjek područja po avionima, paralelnim bazama i uklonjene iz vrhova na istoj udaljenosti h..

Prema prethodnoj teoremu, imat ćemo:

77. Posljedica. Ako je u 1, onda b. = b. 1, I.E. ako su dvije piramide jednake s jednakim visinama baze, jednak je, jednak je odjeljcima jednakim vertexu.

Pitanje:

Piramida prelazi ravninu paralelno sa bazom. Osnovna površina je 1690dm2, a područje presjeka jednaka je 10dm2. U kakvom stavu, brojanje od vrha, ravnina sekvence dijeli visinu piramide?

Odgovori:

paralelna ravnina proglašava piramidu sličnu ovom (H1 / h) ² \u003d S1 / S (H1 / h) ² \u003d 10/1690 \u003d 1/169 H1 / H \u003d √1 / 169 \u003d 1/13 JNDTN 1/13

Slična pitanja

• Test na temu: "Specifikacije Narachichija" Provjerite je li sufiks kraće, odvojeno i fuzijsko pravopis nije sa prilozima, fuzijom, zasebnom, zapisom izmučene verzije 1. 1. Rezanje Nosači. Mark "Treći kraj": a) SAT (ne) seli; Video sam (ne) Cayano; pjevao (ne) glasno; b) kasno (ne); Gotovo (ne) lijepo; vrlo (ne) pristojno; c) (ne) u prijateljskom; (ne) je u tisku; (pogrešno; d) (ne) LEPO; (ne) uspoređivanje; (ne) blizu i daleko; e) izuzetno (ne) prisiljen; vrlo (ne) atraktivan; Uopće (ne) prijeteće; 2. "ne" piše u udarci po svim riječima serije: a) (ne) istina; (ne) ženke; (nije lijepo; ozlijeđen (ne) zanimljiv; b) (ne) za napraviti; (nepravda; Gotovo (ne) daleko; (ne) veselo; c) (ne) iskreno; (ne) lijepa; (ne) godina; (nezahtjevni; d) (ne) zajmovi; (ne) dolazak; (ne) pepino; (u pogrešno vreme; 3. Držite broj s negativnim prilozima: a) nimalo; niko; nigde; bez nikoga; b) nigde; niko; nikad; nigde; c) uopšte ne; ne sve; nigde; nema potrebe; 4. Pronađite "treći dodatni": a) n ... gotovo uplašen; N ... kao što nije pronađeno; n ... koliko puta; b) n ... gdje ići; N ... zašto pitati; n ... koliko nije ljubomorna; c) n ... koliko nije uznemireno; n ... kad nije bio ljut; N ... kuda čekati; 5. "NN" je napisano na svim riječima serije: a) pnees ... oh zrela; govorio uplašeno ... oh; radio vanjsko ... oh; b) prekrio je neobično ... oh; Crtanje kvalifikatora ... o; Vrijeme ne radi ... o; c) govorio uzbuđenje ... Oh; Malo lijevo ... o; odgovorio ... oh; 6. Definirajte prijedlog sa prilozima: a) prikupljanje iskopa ... o poruci. b) Društvo je bilo pretjerano ... o tome. c) rekla joj je uzbuđenje ... Oh. U prislovima je napisano _____________________________________ 7. Umetnite propuštena slova. Mark "Četvrta podrška": a) vruće ...; svjež ...; sjajan ...; Dobro ...; b) još ...; pjevači ...; čvrsto ..; zloinos ...; c) prtljag ... m; ... m; nosh ... th; nož ... m; d) buj ... NOK; Skvirch ... NOK; Sudar ... NKA; Ježin ... NOK; 8. Pitanja pića koja označavaju priloge koji su napisani sufiksima - A i - O: i o a) od leđa ...; b) Promjena ...; c) bezobrazan ...; d) imati pravo ...; e) trebate ...; e) kontakt ...; g) smalod ...; h) oseg ...; i) Sysons ...; Napišite adverb, koji nema sufikse - A i - o: ______________________________ Opcija 2. 1. Držači za rezanje. Mark "Treći superiorni": a) Whit (ne) je zanimljiv; u potpunosti (ne) zanimljivo; daleko (ne) zabava; b) (ne) u ugodnom; (ne) po našem mišljenju; (pogrešno; c) (ne) malo; (ne) prijateljski; (ne) dobro, ali loše; d) pročitati (ne) izražajno; izgledao je (ne) u redu; živeo (ne) daleko; e) vrlo (ne) lijepo; Nikad nije kasno; Izuzetno (ne) zamišljen; 2. "ne" napisano je u udaru svih riječi: a) (ne) malo; (ne) LEPO; (ne) je razumljiv; (ne) skrivanje; b) (ne) mamac; (neiskrenost; (ne) lijepa; (ne) zamišljen; c) daleko (ne) zabava; (ne) htio; (ne) u daljini; (nevolja; d) (ne) na vrijeme; (Fidget; (ne) reći; (ne) poverenje; 3. Zadržite red s negativnim prilozima: a) ništa; nigde; nigde; mnogo; b) Niskolacko; nema potrebe; ni na koji način; Nema sredstava; c) Ništa? niko; niko; niko; 4. Pronađite "treći dodatni": a) Nije bilo ... gde; n ... zašto pitati; N ... kada je bio trener; b) nije povrijedio ... malo; N ... koliko nije izgaralo; n ... gdje ostati; c) n ... gde neću ići; N ... kad ne pitam; Bio sam ... kada; 5. "H" je napisano u svim riječima: a) na ulici ulicu ... Oh; Odgovara na misao ... o; Neddden ... O-negada ... Oh; b) govorio mudro ... o; Primljeni vjetar ... o; Govorio sam u ... Oh; c) okretanje lica ... o; pjevao je prodor ... Oh; Radio sam interno ... oh; 6. utvrdio je prijedlog avanturama: a) Njegova odluka se opaže ... Oh, profesionalno. B) Uvijek djeluje po poštovanju ... Oh. C) Sve je temeljno promatrano ... o. 7. Umetnite propuštena slova. Provjerite "četvrtu podršku": a) razgovor zajedničkim ...; vruće ...; svjež ...; iscrpljen ...; b) prijatelj ... k; kaiševi ... k; Petush ... k; Viš ... NKA; c) još ...; protestiranje ...; izazivajući ...; zloinos ...; d) doktor ... m; Strizh ... m; ... t; Berezh ... t; 8. Pišite u slom ćelija koji označavaju priloge koji su napisani sufiksima - A i - O: i oh a) prvo ...; b) smalio ...; c) trajalo ...; d) levo ...; d) potpisan je ...; e) brend ...; g) robovi ...; h) tamnije ...; i) dugo je ...; Zapišite prilog, a ne da imate sufikse - A i - o: ______________________________

); Izložbe (0 Noaxes0);

Sl. 1.10: Pravougaoni paralelepiped

1.3 Svojstva paralelnih presjeka u piramidi

1.3.1 Teoremi na odjeljcima u piramidi

Ako je piramida (1.11) prekrižena avionom paralelnom sa bazom, tada:

1) bočna rebra i visina podijeljeni su s ovim ravninom na proporcionalne dijelove;

2) u odjeljku se dobija poligon (ABCDE), sličan bazi;

3) podsječno područje i baze uključuju kvadrate njihovih udaljenosti iz vrha.

1) Direktni AB i AB mogu se smatrati linijama raskrižja dva paralelna aviona (baze i secinsa) trećeg ravnina ASB; Stoga Abkab. Iz istog razloga, BCKBC, CDKCD .... i Amkam; Samim tim

aA SA \u003d BB SB \u003d CC SC \u003d ::: \u003d mm SM:

2) od sličnosti trouglova ASB-a i ASB-a, tada dipl.ing i bsc itd. Izlazimo:

AB AB \u003d BS BS; BS BS \u003d BC BC;

AB AB \u003d BC BC:

BC BC \u003d CS CS; CS CS \u003d CD CD;

BC BC \u003d CD CD

Također dokazujemo i proporcionalnost preostalih strana ABCDE i ABCDE. Dakle, izvan toga su ovi poligoni jednaki odgovarajućim uglovima (u skladu s paralelnim i podjednako režirani stranci), tada su slične. Kvadrat takvih poligona pripadaju kvadratima sličnih stranaka; tako

Ab ab \u003d kao i \u003d m msss;

sET2D (1; 9; 1; 14);

; 0 dash0);

; 0 dash0);

			Sl. 1.11: piramida
p5 \u003d Toalyplot (

[0a 0; 0 b 0; 0 C 0; 0 d 0; 0 e 0; 0 a 0; 0 b 0; 0 C 0; 0 d 0; 0 m 0; 0 m 0; 0 s 0];

); Izložbe (0 Noaxes0);

1.3.2

U desnom skraćenoj piramidu gornja je baza desni poligon, sličan donjoj bazi, a bočna lica suštine jednakog i jednakog trapeza (1.11).

Visina bilo kojeg od tih trapeza naziva se apoferalnom ispravnom skraćenom piramidom.

1.3.3 Teorema na paralelnom presjeku u piramidi

Ako se dvije piramide s jednakim visinama seziraju na istoj udaljenosti od vrhova s \u200b\u200bavionima, paralelnim bazama, tada su presjeci proporcionalni na terenu.

Pustio (1,12) površine baze dve piramide, H, visina svakog od njih, B i B1 područja presjeka po avionima paralelno s bazama i uklanjaju se iz vrhova na istoj udaljenosti h.

Prema prethodnoj teoremu, imat ćemo:

H2 B1.

sET2D (2; 36; 2; 23);

23 );

p10 \u003d Tableplot (			; 0 arrow0);

p11 \u003d tableplot (			; 0 arrow0);

p12 \u003d Tableplot (			; 0 arrow0);

p13 \u003d Tableplot (			; 0 arrow0);

p14 \u003d Tableplot (				; 0 dash0);