Чотирикутники. Опуклі чотирикутники. Сума кутів чотирикутника. Паралелограм. Види паралелограмів і їх властивості. Ромб, прямокутник, квадрат. Трапеція і її властивості. Багатокутник, опуклий багатокутник, чотирикутник

Одна з найбільш цікавих тем по геометрії з шкільного курсу - це «Чотирикутники» (8 клас). Які види таких фігур існують, якими особливими властивостями вони володіють? У чому унікальність чотирикутників з кутами по дев'яносто градусів? Давайте розберемося в усьому цьому.

Яка геометрична фігура називається чотирикутником

Багатокутники, які складаються з чотирьох сторін і, відповідно, з чотирьох вершин (кутів), називаються в геометрії Евкліда чотирикутниками.

Цікава історія назви цього виду фігур. У російській мові іменник «чотирикутник» утворено від словосполучення «чотири кути» (точно так само, як «трикутник» - три кути, «п'ятикутник» - п'ять кутів і т. П.).

Однак на латині (через посередництво якої прийшли багато геометричні терміни в більшість мов світу) він називається quadrilateral. Це слово утворене з числівника quadri (чотири) і іменника latus (сторона). Так що можна зробити висновок, що у стародавніх цей багатокутник іменувався не інакше як "четирехсторонников".

До речі, таку назву (з упором на наявність у фігур цього виду чотирьох сторін, а не кутів) збереглося в деяких сучасних мовах. Наприклад, в англійському - quadrilateral і в французькому - quadrilatère.

При цьому в більшості слов'янських моврозглянутий вид фігур ідентифікують все так же за кількістю кутів, а не сторін. Наприклад, в словацькому (štvoruholník), в болгарському ( «четірі'г'лнік»), в білоруському ( «чатирохкутнік»), в українському ( «чотірікутнік»), в чеському (čtyřúhelník), але в польському чотирикутник називають за кількістю сторін - czworoboczny.

Які види чотирикутників вивчаються в шкільній програмі

У сучасній геометрії виділяються 4 види багатокутників з чотирма сторонами.

Однак через занадто складних властивостей деяких з них на уроках геометрії школярів знайомлять тільки з двома видами.

• Паралелограм (parallelogram).Протилежні сторони чотирикутника такого попарно паралельні між собою і, відповідно, рівні також попарно.
• Трапеція (trapezium або trapezoid).Цей чотирикутник складається з двох протилежних сторін, паралельних між собою. Однак інша пара сторін не має такої особливості.

Чи не вивчаються в шкільному курсі геометрії види чотирикутників

Крім перерахованих вище, існують ще два види чотирикутників, з якими школярів не знайомлять на уроках геометрії, через їх особливої ​​складності.

• Дельтоид (kite)- фігура, в якій кожна з двох пар суміжних сторін дорівнює по довжині між собою. Свою назву такої чотирикутник отримав через те, що по зовнішнім виглядомвін досить сильно нагадує букву грецького алфавіту - «дельта».
• Антипаралелограм (antiparallelogram)- ця фігура так само складна, як і її назва. У ній дві протилежні сторони рівні, але при цьому вони не паралельні між собою. Крім того, довгі протилежні сторони цього чотирикутника перетинаються між собою, як і продовження двох інших, більш коротких сторін.

види паралелограма

Розібравшись з основними видами чотирикутників, варто звернути увагу на його підвиди. Так, все паралелограми, в свою чергу, теж діляться на чотири групи.

• Класичний паралелограм.
• Ромб (rhombus)- чотирикутна фігура з рівними сторонами. Її діагоналі перетинаються під прямим кутом, ділячи ромб на чотири рівних прямокутних трикутника.
• Прямокутник (rectangle).Назва це говорить сама за себе. Так як це чотирикутник з прямими кутами (кожен з них дорівнює дев'яноста градусів). Протилежні сторони його не тільки паралельні між собою, а й рівні.
• Квадрат (square).Як і прямокутник, це чотирикутник з прямими кутами, але у нього всі сторони рівні між собою. Цим дана фігура близька до ромбу. Так що можна стверджувати, що квадрат - це щось середнє між ромбом і прямокутником.

Особливі властивості прямокутника

Розглядаючи фігури, в яких кожен з кутів між сторонами, дорівнює дев'яноста градусів, варто більш уважно зупинитися на прямокутнику. Отже, якими особливими він має ознаки, що відрізняють його від інших паралелограмів?

Щоб стверджувати, що даний паралелограм - прямокутник, його діагоналі повинні бути рівні між собою, а кожен з кутів - прямими. Крім того, квадрат його діагоналей повинен відповідати сумі квадратів двох суміжних сторін цієї фігури. Іншими словами, класичний прямокутник складається з двох прямокутних трикутників, А в них, як відомо, У ролі гіпотенузи виступає діагональ розглянутого чотирикутника.

Останній з перерахованих ознак цієї фігури є також її особливим властивістю. Крім цього, є й інші. Наприклад, те, що всі сторони досліджуваного чотирикутника з прямими кутами - це одночасно і його висоти.

Крім того, якщо навколо будь-якого прямокутника накреслити коло, його діаметр буде дорівнює діагоналі вписаною фігури.

Серед інших властивостей чотирикутника цього, то, що він є плоским і в неевклідової геометрії не існує. Це пов'язано з тим, що в такій системі відсутні чотирикутні фігури, сума кутів яких дорівнює триста шістдесят градусів.

Квадрат і його особливості

Розібравшись з ознаками і властивостями прямокутника, варто звернути увагу на другий відомий науцічотирикутник з прямими кутами (це квадрат).

Будучи за фактом тим же прямокутником, але з рівними сторонами, ця фігура має всі його властивості. Але на відміну від нього, квадрат присутній в неевклідової геометрії.

Крім цього, у даній фігури, є й інші власні відмінні риси. Наприклад, те, що діагоналі квадрата не просто рівні між собою, а й перетинаються під прямим кутом. Таким чином, як і ромб, квадрат складається з чотирьох прямокутних трикутників, на які її ділять діагоналі.

Крім цього, дана фігура є найбільш симетричним серед всіх чотирикутників.

Чому дорівнює сума кутів чотирикутника

Розглядаючи особливості чотирикутників евклідової геометрії, варто звернути увагу на їх кути.

Так, в кожній з перерахованих вище фігур, незалежно від того, є у неї прямі кути чи ні, загальна сума їх завжди однакова - триста шістдесят градусів. Це унікальна відмінна риса цього виду фігур.

периметр чотирикутників

Розібравшись з тим, чому дорівнює сума кутів чотирикутника і іншими особливими властивостями фігур цього виду, варто дізнатися, якими формулами найкраще користуватися, щоб обчислити їх периметр і площу.

Щоб визначити периметр будь-якого чотирикутника, потрібно лише скласти між собою довжину всіх його сторін.

Наприклад, у фігурі KLMN її периметр можна обчислити за формулою: Р = KL + LM + MN + KN. Якщо підставити сюди числа, вийде: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).

У разі коли розглянута фігура - це ромб або квадрат, для знаходження периметра можна спростити формулу, просто помноживши довжину однієї з його сторін на чотири: Р = KL х 4. Наприклад: 6 х 4 = 24 (см).

Формули чотирикутників площі

Розібравшись з тим, як знайти периметр будь-якого фігури з чотирма кутами і сторонами, варто розглянути найбільш популярні і прості способизнаходження її площі.

Інші властивості чотирикутників: вписані і описані окружності

Розглянувши особливості та властивості чотирикутника як фігури геометрії Евкліда, варто звернути увагу на можливість описувати навколо або вписувати всередині нього кола:

• Якщо суми протилежних кутів фігури складають по сто вісімдесят градусів і попарно рівні між собою, то навколо такого чотирикутника можна вільно описати коло.
• Згідно з теоремою Птолемея, якщо зовні багатокутника з чотирма сторонами описаний коло, то твір його діагоналей дорівнює сумі творів протилежних сторін даної фігури. Таким чином, формула буде виглядати так: КМ х LN = KL х MN + LM х KN.
• Якщо побудувати чотирикутник, в якому суми протилежних сторін рівні між собою, то в нього можна вписати коло.

Розібравшись з тим, що таке чотирикутник, що за види його існують, які з них мають тільки прямі кути між сторонами і якими властивостями вони володіють, варто запам'ятати весь цей матеріал. Особливо формули знаходження периметра і площі розглянутих багатокутників. Адже фігури такої форми - одні з найпоширеніших, і ці знання можуть стати в нагоді для обчислень в реальному житті.

«Описана окружність»ми бачили, що навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Тобто, для будь-якого трикутника знайдеться така окружність, що всі три вершини трикутника «сидять» на ній. Ось так:

Питання: а чи можна те ж саме сказати про чотирикутнику? Чи правда, що завжди знайдеться окружність, на якій будуть «сидіти» всі чотири вершини чотирикутника?

Ось виявляється, що це НЕПРАВДА! НЕ ЗАВЖДИ чотирикутник можна вписати в коло. Є дуже важлива умова:

На нашому малюнку:

.

Подивися, кути і лежать один навпроти одного, значить, вони протилежні. А що ж тоді з кутами і? Вони начебто теж протилежні? Чи можна замість кутів і взяти кути і?

Звичайно можна! Головне, щоб у чотирикутника знайшлися якісь два протилежних кута, сума яких буде. Два кута тоді самі собою теж дадуть в сумі. Не віриш? Давай переконаємося. Дивись:

Нехай. Чи пам'ятаєш ти, чому дорівнює сума всіх чотирьох кутів будь-якого чотирикутника? Звісно, ​​. Тобто - завжди! . Але, →.

Чари прямо!

Так що запам'ятай міцно-міцно:

Якщо чотирикутник вписаний в окружність, то сума будь-яких двох його протилежних кутів дорівнює

і навпаки:

Якщо у чотирикутника є два протилежних кута, сума яких дорівнює, то такий чотирикутник вписаний.

Доводити все це ми тут не будемо (якщо цікаво, зазирай в наступні рівні теорії). Але давай подивимося, до чого призводить цей чудовий факт про те, що у вписаного чотирикутника сума протилежних кутів дорівнює.

Ось, наприклад, приходить в голову питання, а чи можна описати коло навколо паралелограма? Спробуємо спершу «методом тику».

Ось якось не виходить.

Тепер застосуємо знання:

припустимо, що нам якось вдалося посадити на паралелограм окружність. Тоді неодмінно має бути:, тобто.

А тепер згадаємо про властивості паралелограма:

у всякого паралелограма протилежні кути рівні.

У нас вийшло, що

А що ж кути і? Ну, те ж саме звичайно.

Вписаний → →

Паралелограм → →

Приголомшливо, правда?

Вийшло, що якщо паралелограм вписаний в окружність, то все його кути рівні, тобто це прямокутник!

І ще при цьому - центр окружності збігається з точкою перетину діагоналей цього прямокутника. Це, так би мовити, в якості бонуса додається.

Ну, ось значить, з'ясували, що паралелограм, вписаний в окружність - прямокутник.

А тепер поговоримо про трапеції. Що буде, якщо трапецію вписати в коло?А виявляється, буде рівнобедрена трапеція. Чому?

Ось нехай трапеція вписана в коло. Тоді знову, але через паралельності прямих і.

Значить, маємо: → → трапеція равнобокая.

Навіть простіше ніж з прямокутником, правда? Але запам'ятати потрібно твердо - стати в нагоді:

Давай ще раз перерахуємо головні затвердження, Що стосуються чотирикутника, вписаного в коло:

1. Чотирикутник вписаний в окружність тоді і тільки тоді, коли сума двох його протилежних кутів дорівнює
2. Паралелограм, вписаний в окружність - неодмінно прямокутникі центр окружності збігається з точкою перетину діагоналей
3. Трапеція, вписана в коло - равнобокая.

Вписаний чотирикутник. Середній рівень

Відомо, що для будь-якого трикутника існує описана окружність (це ми доводили в темі «Описана окружність»). Що ж можна сказати про чотирикутнику? Ось, виявляється, що НЕ ВСЯК чотирикутник можна вписати в коло, А є така теорема:

Чотирикутник вписаний в окружність тоді і тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює.

На нашому малюнку -

Давай спробуємо зрозуміти, чому так? Іншими словами, ми зараз доведемо цю теорему. Але перш ніж доводити, потрібно зрозуміти, як влаштовано саме твердження. Ти помітив в утвердженні слова «тоді і тільки тоді»? Такі слова означають, що шкідливі математики впихнули два твердження в одне.

розшифровуємо:

1. «Тоді» означає: Якщо чотирикутник вписаний в окружність, то сума будь-яких двох його протилежних кутів дорівнює.
2. «Тільки тоді» означає: Якщо у чотирикутника знайдуться два протилежних кута, сума яких дорівнює, то такий чотирикутник можна вписати в коло.

Прямо як у Аліси: «думаю, що говорю» і «говорю, що думаю».

А тепер розбираємося, чому ж вірно і 1, і 2?

Спочатку 1.

Нехай чотирикутник вписаний в коло. Відзначимо її центр і проведемо радіуси і. Що ж вийде? Чи пам'ятаєш ти, що вписаний кут вдвічі менше відповідного центрального? Якщо пам'ятаєш - зараз застосуємо, а якщо не дуже - зазирни в тему «Коло. Вписаний кут ».

вписаний

вписаний

Але подивися:.

Отримуємо, що якщо - вписаний, то

Ну, і ясно, що і теж в сумі становить. (Потрібно так само розглянути і).

Тепер і «навпаки», тобто 2.

Нехай виявилося так, що у чотирикутника сума яких - то двох протилежних кутів дорівнює. Скажімо, нехай

Ми поки не знаємо, чи можемо описати навколо нього коло. Але ми точно знаємо, що навколо трикутника ми гарантовано окружність описати можемо. Так і зробимо це.

Якщо крапка не «сіла» на окружність, то вона неминуче виявилася або зовні або всередині.

Розглянемо обидва випадки.

Нехай спочатку точка - зовні. Тоді відрізок перетинає коло в якійсь точці. З'єднаємо і. Вийшов вписаний (!) Чотирикутник.

Про нього вже знаємо, що сума його протилежних кутів дорівнює, тобто, а за умовою у нас.

Виходить, що мало б бути так, що.

Але це ніяк не може бути оскільки - зовнішній кут для і значить,.

А всередині? Проробимо схожі дії. Нехай точка всередині.

Тоді продовження відрізка перетинає коло в точці. Знову - вписаний чотирикутник, а за умовою повинно виконуватися, але - зовнішній кут для і значить, тобто знову ніяк не може бути так, що.

Тобто точка не може виявитися ні зовні, ні всередині кола - значить, вона на окружності!

Довели всю-всю теорему!

Тепер подивимося, які ж хороші слідства дає ця теорема.

слідство 1

Паралелограм, вписаний в коло, може бути тільки прямокутником.

Давай-ка зрозуміємо, чому так. Нехай паралелограм вписаний в коло. Тоді має виконуватися.

Але з властивостей паралелограма ми знаємо, що.

І те ж саме, природно, щодо кутів і.

Ось і вийшов прямокутник - всі кути по.

Але, крім того, є ще додатковий приємний факт: центр кола, описаного навколо прямокутника, збігається з точкою перетину діагоналей.

Давай зрозуміємо чому. Сподіваюся, ти відмінно пам'ятаєш, що кут, що спирається на діаметр - прямий.

Діаметр,

Діаметр

а значить, - центр. От і все.

слідство 2

Трапеція, вписана в коло - рівнобедрена.

Нехай трапеція вписана в коло. Тоді.

І також.

Чи все ми обговорили? Не зовсім. Насправді є ще один, «секретний» спосіб, як дізнаватися вписаний чотирикутник. Ми цей спосіб сформулюємо не надто суворо (але зрозуміло), а доведемо тільки в останньому рівні теорії.

Якщо в чотирикутнику можна спостерігати таку картинку, як тут на малюнку (тут кути, «дивляться» на сторону з точок і, рівні), то такий чотирикутник - вписаний.

Це дуже важливий малюнок - в задачах часто буває легше знайти рівні кути, ніж суму кутів і.

Незважаючи на досконале відсутність строгості в нашій формулюванні, вона вірна, і більш того, завжди приймається перевіряючими ЄДІ. Ти повинен писати приблизно так:

«- вписаний» - і все буде відмінно!

Не забувай цей важливий ознака - запам'ятай картинку, і, можливо, вона тобі вчасно кинеться в очі при виконанні завдання.

Вписаний чотирикутник. Короткий опис і основні формули

Якщо чотирикутник вписаний в окружність, то сума будь-яких двох його протилежних кутів дорівнює

і навпаки:

Якщо у чотирикутника є два протилежних кута, сума яких дорівнює, то такий чотирикутник вписаний.

Чотирикутник вписаний в окружність тоді і тільки тоді, коли сума двох його протилежних кутів дорівнює.

Паралелограм, вписаний в окружність- неодмінно прямокутник, і центр окружності збігається з точкою перетину діагоналей.

Трапеція, вписана в коло - равнобокая.

Визначення 1. Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок (вершини), ніякі три з яких не лежать на одній прямій, і чотирьох послідовно з'єднують їх непересічних відрізків (сторони).
Визначення 2. Сусідніми називають вершини, які є кінцями однієї сторони.
Визначення 3. Вершини, які не є сусідніми, називають протилежними.
Визначення 4. Відрізки, що з'єднують протилежні вершини чотирикутника, називаються його діагоналями.
Теорема 1. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360 о.
Дійсно, поділивши чотирикутник діагоналлю на два трикутника, отримуємо, що сума його кутів дорівнює сумі кутів цих двох трикутників. Знаючи, що сума кутів трикутника дорівнює 180 о, отримуємо дані: 2 * 180 о = 360 о
Визначення d1. Описаний чотирикутник - це чотирикутник, всі сторони якого стосуються деякої окружності. Нагадаємо, що поняття сторони, що стосується окружності: окружність вважається стосується даної боку, якщо вона стосується прямої, що містить цю сторону, і точка дотику лежить на цій стороні.
Визначення d2. Вписаний чотирикутник - це чотирикутник, всі вершини якого належать деякій окружності.
Теорема 2. У будь-якого чотирикутника, вписаного в коло, суми пар протилежних кутів рівні 180 о.
Кути А і С обидва спираються на дугу BD тільки з різних сторін, тобто охоплюють всю окружність, а сама окружність - це дуга величиною в 360 о, але ми знаємо теоремму, яка твердить, що величина вписаного кута дорівнює половині кутовий величини дуги, на яку він спирається, тому можемо ствердити, що сума цих кутів (А і С зокрема) дорівнює 180 о. Тим же способом можна жоказать цю теорему і для іншої пари кутів.
Теорема 3. Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то суми довжин його протилежних сторін рівні.
Для доведення цієї теореми скористаємося теоремою з теми коло і окружність, в якій мовиться: Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні, тобто ВК = ВР, СР = СН, DH = DT і АТ = АК. Підсумовуємо боку АВ і CD: AB + CD = (AK + KB) + (DH + HC) = AT + BP + DT + CP = (AT + TD) + (BP + PC) = AD + BC, Ч.Т. д.

Для теорем 2 і 3 існують зворотні. Запишемо їх відповідно:

Теорема 4. Близько чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли сума протилежних кутів рівні 180 градусам
Теорема 5. У чотирикутник можна вписати коло тоді і тільки тоді, коли суми довжин протилежних сторін рівні.

Доведення:Нехай ABCD - даний чотирикутник, і нього AB + CD = AD + BC. Проведемо бісектриси його кутів A і D. Ці бісектриси непаралельні, а значить, перетинаються в деякій точці O. Опустимо з точки O на сторони AB, AD і CD перпендикуляри OK, OL і OM. Тоді OK = OL, і OL = OM, а значить, окружність з центром в точці O і радіусом OK стосується сторін AB, AD і CD даного чотирикутника. Проведемо з точки B дотичну до цього кола. Нехай ця дотична перетинає пряму CD в точці P. Тоді ABPD - описаний чотирикутник. Отже, по властивості описаного чотирикутника, AB + DP = AD + BP. Також, за умовою, AB + CD = AD + BC. Отже, BP + PC = BC, а значить, за нерівністю трикутника, точка P лежить на відрізку BC. Отже, прямі BP і BC збігаються, а значить, пряма BC стосується окружності з центром в точці O, тобто ABCD - описаний чотирикутник по визначенню. Теорема доведена.
Теорема 6. Площа чотирикутника дорівнює половині твори його діагоналей і синуса кута між ними.

Доведення:Нехай ABCD - даний чотирикутник. Нехай також O - точка перетину діагоналей. тоді
S ABCD = S ABO + S BCO + S CDO + S DAO =
= 1/2 (AO · BO · sin∠ AOB + BO · CO · sin∠ BOC +
+ CO · DO · sin∠ COD + DO · AO · sin∠ AOD) =
= 1/2 · sin∠ BOC · (AO + CO) · (BO + DO) =
= 1/2 · sin∠ BOC · AC · BD.
Теорема доведена.
Теорема d1. (Варіньона) Чотирикутник з вершинами в серединах сторін будь-якого чотирикутника є паралелограм, причому площа цього паралелограма дорівнює половині площі вихідного чотирикутника.

Доведення:Нехай ABCD - даний чотирикутник, а K, L, M і N - середини його сторін. Тоді KL - середня лінія трикутника ABC, а значить, KL паралельно AC. Також LM паралельно BD, MN паралельно AC, а NK паралельно BD. Отже, KL паралельно MN, LM паралельно KN. Значить, KLMN - паралелограм. Площа цього паралелограма - KL · KN · sin∠ NKL =
1/2 · AC · BD · sin∠ DOC = 1 / 2S ABCD.
Теорема доведена.

Вписаного і описаного багатокутника,

§ 106. властивості вписаного і описаного чотирикутника.

Теорема 1. Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 °.

Нехай в коло з центром О вписаний чотирикутник ABCD (рис. 412). Потрібно довести, що / А + / С = 180 ° і / В + / D = 180 °.

/ А, як вписаний в окружність О, вимірюється 1/2 BCD.
/ З, як вписаний в ту ж коло, вимірюється 1/2 BAD.

Отже, сума кутів А і С вимірюється напівсумою дуг BCD і BAD в сумі ж ці дуги складають коло, т. Е. Мають 360 °.
Звідси / А + / С = 360 °: 2 = 180 °.

Аналогічно доводиться, що і / В + / D = 180 °. Однак це можна вивести і іншим шляхом. Ми знаємо, що сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 °. Сума кутів А і С дорівнює 180 °, значить, на суму інших двох кутів чотирикутника залишається теж 180 °.

теорема 2(Зворотна). Якщо в чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180 ° , То близько такого чотирикутника можна описати коло.

Нехай сума протилежних кутів чотирикутника ABCD дорівнює 180 °, а саме
/ А + / С = 180 ° і / В + / D = 180 ° (рис. 412).

Доведемо, що близько такого чотирикутника можна описати коло.

Доведення. Через кожні 3 вершини цього чотирикутника можна провести окружність, наприклад через точки А, В і С. Де буде знаходитися точка D?

Точка D може зайняти тільки одне з наступних трьох положень: опинитися всередині кола, опинитися поза колом, опинитися на окружності кола.

Припустимо, що вершина виявиться всередині кола і займе положення D "(рис. 413). Тоді в чотирикутнику ABCD" будемо мати:

/ В + / D "= 2 d.

Продовживши сторону AD "до перетину з колом в точці Е і з'єднавши точки Е і С, отримаємо вписаний чотирикутник АВСЕ, в якому по прямій теоремі

/ B + / Е = 2 d.

З цих двох рівностей випливає:

/ D "= 2 d - / B;
/ E = 2 d - / B;

/ D "= / E,

але цього бути не може, так як / D ", як зовнішній щодо трикутника CD" E, повинен бути більше кута Е. Тому точка D не може опинитися всередині кола.

Так само доводиться, що вершина D не може зайняти положення D "поза колом (рис. 414).

Залишається визнати, що вершина D повинна лежати на окружності кола, т. Е. Співпасти з точкою Е, значить, близько чотирикутника ABCD можна описати коло.

Слідства. 1. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.

2. Навколо рівнобедреної трапеції можна описати коло.

В обох випадках сума протилежних кутів дорівнює 180 °.

Теорема 3.В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні. Нехай чотирикутник ABCD описаний близько окружності (рис. 415), т. Е. Боку його АВ, ВС, CD і DA - дотичні до цієї окружності.

Потрібно довести, що АВ + CD = AD + ВС. Позначимо точки дотику буквами М, N, К, Р, На підставі властивостей дотичних, проведених до кола з однієї точки (§ 75), маємо:

АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.

Складемо почленно ці рівності. отримаємо:

АР + ВР + DN + CN = АК + ВМ + DK + СМ,

т. е. АВ + CD = AD + ВС, що й треба було довести.

Вправи.

1. У вписанном чотирикутнику два протилежних кута ставляться як 3: 5,
а інші два відносяться як 4: 5. Визначити величину цих кутів.

2. В описаному чотирикутнику сума двох протилежних сторін дорівнює 45 см. Інші дві сторони відносяться як 0,2: 0,3. Знайти довжину цих сторін.